Модуль числа легко знайти, і теорія, що лежить у його основі, важлива під час вирішення завдань.

Властивості та правила розкриття, що використовуються при вирішенні вправ та на іспитах, будуть корисні школярам та студентам. Зароби гроші за допомогою своїх знань на https://teachs.ru!

Що таке модуль у математиці

Модуль числа визначає відстань на числовій лінії від нуля до точки без урахування того, в якому напрямку від нуля лежить точка. Математичне позначення : | x |.

Інакше кажучи, це абсолютна величина числа. Визначення доводить, що значення ніколи не буває негативним.

Властивості модуля

Важливо пам'ятати про такі властивості:

Модуль комплексного числа

Абсолютною величиною комплексного числаназивають довжину спрямованого відрізка, проведеного від початку комплексної площини точки (a, b).

Цей спрямований відрізок є вектором, що представляє комплексне число a + biтому абсолютна величина комплексного числа - це те ж саме, що і величина (або довжина) вектора, що представляє a+ bi.

Як вирішувати рівняння з модулем

Рівняння з модулем – це рівність, що містить вираз абсолютного значення. Якщо дійсного числа воно представляє його відстань від початку координат на числової лінії, то нерівності з модулем є типом нерівностей, які складаються з абсолютних значень.

Рівняння типу | x | = a

Рівняння | x | = a має дві відповіді x = a та x = –a, тому що обидва варіанти знаходяться на координатній прямій на відстані a від 0.

Рівність з абсолютною величиною немає рішення, якщо величина негативна.

Якщо | x |< a представляет собой расстояние чисел от начала координат, это значит, что нужно искать все числа, чье расстояние от начала координат меньше a.

Рівняння типу | x | = | y |

Коли є абсолютні значення з обох боків рівнянь, потрібно розглянути обидві можливості для прийнятних визначень – позитивні та негативні вирази.

Наприклад, для рівності | x − a | = | x + b | є два варіанти: (x - a) = - (x + b) або (x - a) = (x + b).

Рівняння типу | x | = y

Рівняння такого виду містять абсолютну величину виразу зі змінною зліва від нуля, а праворуч – ще одну невідому. Змінна y може бути як більшою, так і меншою за нуль.

Для отримання відповіді у такій рівності необхідно вирішити систему з кількох рівнянь, у якій необхідно переконатися, що y – невід'ємна величина:

Вирішення нерівностей з модулем

Щоб краще зрозуміти, як розкрити модуль різних типів рівностей і нерівностей, потрібно проаналізувати приклади.

Рівняння виду | x | = a

Приклад 1(Алгебра 6 клас). Вирішити: | + 2 = 4.

Рішення.

Такі рівняння вирішуються як і, як і рівності без абсолютних значень. Це означає, що, переміщаючи невідомі ліворуч, а константи - праворуч, вираз не змінюється.

Після переміщення константи праворуч отримано: |х| = 2.

Оскільки невідомі пов'язані з абсолютним значенням, ця рівність має дві відповіді: 2 і −2 .

Відповідь: 2 і −2 .

Приклад 2(Алгебра 7 клас). Вирішити нерівність | x + 2 | ≥ 1.

Рішення.

Перше, що потрібно зробити, знайти точки, де абсолютне значення зміниться. Для цього вираз прирівнюється до 0 . Отримано: x = -2.

Це означає, що –2 - Поворотна точка.

Розділимо інтервал на 2 частини:

для x + 2 ≥ 0

[−1; + ∞).

для х + 2< 0

Загальною відповіддю для цих двох нерівностей є інтервал (−∞; –3].

Остаточне рішення – об'єднання відповідей окремих частин:

x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞).

Відповідь: x∈ (–∞; –3] ∪ [–1; + ∞) .

Рівняння виду | x | = | y |

Приклад 1(Алгебра 8 клас). Розв'язати рівняння із двома модулями: 2 * |x – 1| + 3 = 9 - | x - 1 |.

Рішення:

Відповідь: x1=3; x 2 = − 1.

Приклад 2(Алгебра 8 клас). Вирішити нерівність:

Рішення:

Рівняння виду | x | = y

Приклад 1(Алгебра 10 клас). Знайти x:

Рішення:

Дуже важливо провести перевірку правої частини, інакше можна написати у відповідь помилкове коріння. Із системи видно, що не лежить у проміжку.

Відповідь: x = 0.

Модуль суми

Модуль різниці

Абсолютна величина різниці двох чисел xта y дорівнює відстані між точками з координатами Xі Yна координатній прямій.

приклад 1.

приклад 2.

Модуль негативного числа

Для знаходження абсолютного значення числа, яке менше нуля, потрібно дізнатися, як далеко воно розташоване від нуля. Оскільки відстань завжди є позитивною (неможливо пройти «негативні» кроки, це просто кроки в іншому напрямку), результат завжди позитивний. Тобто,

Простіше кажучи абсолютна величина негативного числа має протилежне значення.

Модуль нуля

Відома властивість:

Ось чому не можна сказати, що абсолютна величина - позитивне число: нуль не є ні негативним, ні позитивним.

Модуль у квадраті

Модуль у квадраті завжди дорівнює виразу у квадраті:

Приклади графіків із модулем

Часто в тестах та на іспитах зустрічаються завдання, які можна вирішити, лише проаналізувавши графіки. Розглянемо такі завдання.

приклад 1.

Дано функцію f(x) = |x|. Необхідно побудувати графік від – 3 до 3 із кроком 1.

Рішення:

Пояснення: З малюнка видно, що графік симетричний щодо осі Y.

Приклад 2. Необхідно намалювати та порівняти графіки функцій f(x) = |x–2| та g(x) = |x|–2.

Рішення:

Пояснення: константа всередині абсолютної величини переміщає весь графік праворуч, якщо її значення негативне, і ліворуч, якщо позитивне. Але постійна зовні переміщатиме графік вгору, якщо значення позитивне, і вниз, якщо воно негативне (як – 2 у функції g(x)).

Координата вершини x(Точка, в якій з'єднуються дві лінії, вершина графа) - це число, на яке графік зсувається вліво або вправо. А координата y- Це значення, на яке графік зсувається вгору або вниз.

Будувати такі графіки можна за допомогою онлайн додатківдля побудови. З їхньою допомогою можна наочно подивитися, як константи впливають на функції.

Метод інтервалів у задачах із модулем

Метод інтервалів – один із кращих способівзнайти відповідь у задачах з модулем, особливо якщо у виразі їх декілька.

Для використання методу слід зробити такі дії:

Прирівняти кожен вираз до нуля.
Знайти значення змінних.
Нанести на числову пряму точки, одержані в пункті 2.
Визначити на проміжках знак виразів (негативне чи позитивне значення) та намалювати символ – або + відповідно. Найпростіше визначити знак за допомогою методу підстановки (підставивши будь-яке значення із проміжку).
Вирішити нерівності з отриманими знаками.

Приклад 1. Вирішити шляхом інтервалів.

Рішення:

Модуль — одна з тих речей, про які начебто всі чули, але насправді ніхто нормально не розуміє. Тому сьогодні буде великий урок, присвячений вирішенню рівнянь із модулями.

Відразу скажу: урок буде нескладним. І взагалі модулі взагалі тема відносно нескладна. «Звісно, нескладна! У мене від неї мозок розривається! - скажуть багато учнів, але всі ці розриви мозку відбуваються через те, що у більшості людей у голові не знання, а якась хрень. І мета цього уроку - перетворити хрень на знання.

Трохи теорії

Тож поїхали. Почнемо з найважливішого: що таке модуль? Нагадаю, що модуль числа — це просто те саме число, але взяте без знака «мінус». Тобто, наприклад, $ \ left | -5 \right | = 5 $. Або $ \ left | -129,5 \ right | = 129,5 $.

Ось так просто? Да просто. А чому тоді дорівнює модуль позитивного числа? Тут ще простіше: модуль позитивного числа дорівнює самому цьому числу: $ \ left | 5 \right|=5$; $ \ left | 129,5 \right | = 129,5 $ і т.д.

\[\left| -a \right|=\left| a \right|\]

Ще один важливий факт: модуль ніколи не буває негативним. Яке число ми не взяли — хоч позитивне, хоч негативне — його модуль завжди виявляється позитивним (або в крайньому випадку нулем). Саме тому модуль часто називають абсолютною величиною числа.

Крім того, якщо поєднати визначення модуля для позитивного та негативного числа, то отримаємо глобальне визначення модуля для всіх чисел. А саме: модуль числа дорівнює самому числу, якщо число позитивне (або нуль), або дорівнює протилежному числу, якщо число негативне. Можна записати це у вигляді формули:

Ще є модуль нуля, але він завжди дорівнює нулю. Крім того, нуль — однина, яка не має протилежного.

Таким чином, якщо розглянути функцію $ y = \ left | x \right|$ і спробувати намалювати її графік, то вийде така «галка»:

Графік модуля та приклад розв'язання рівняння

З цієї картинки відразу видно, що $ \ left | -m \right|=\left| m \right|$, а графік модуля ніколи не опускається нижче за осі абсцис. Але це ще не все: червоною лінією відзначена пряма $y=a$, яка при позитивних $a$ дає нам відразу два корені: $((x)_(1))$ і $((x)_(2)) $, але про це ми поговоримо пізніше.

Крім чисто алгебраїчного визначення є геометричне. Припустимо, є дві точки на числовій прямій: $((x)_(1))$ і $((x)_(2))$. І тут вираз $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ - це просто відстань між зазначеними точками. Або, якщо завгодно, довжина відрізка, що з'єднує ці точки:

Модуль - це відстань між точками на числовій прямій

З цього визначення також випливає, що модуль завжди негативний. Але вистачить визначень та теорії — перейдемо до справжніх рівнянь.

Основна формула

Ну гаразд, з визначенням розібралися. Але легше від цього не стало. Як розв'язувати рівняння, що містять цей модуль?

Спокій тільки спокій. Почнемо з найпростіших речей. Розглянемо щось типу такого:

\[\left| x \right|=3\]

Отже, модуль$x$ дорівнює 3. Чому може дорівнювати $x$? Ну, судячи з визначення, нас цілком влаштує $x=3$. Дійсно:

\[\left| 3 \right|=3\]

Чи є інші числа? Кеп ніби натякає, що є. Наприклад, $ x = -3 $ - для нього теж $ \ left | -3 \right | = 3 $, тобто. необхідну рівність виконується.

То, може, якщо пошукати, подумати, ми знайдемо ще числа? А от обломіться: більше чиселні. Рівняння $ \ left | x \right|=3$ має лише два корені: $x=3$ і $x=-3$.

Тепер трохи ускладнимо завдання. Нехай замість змінної $x$ під знаком модуля тусується функція $f\left(x \right)$, а праворуч замість трійки поставимо довільне число $a$. Отримаємо рівняння:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Ну, і як таке вирішувати? Нагадаю: $f\left(x \right)$ - довільна функція, $ a $ - будь-яке число. Тобто. взагалі будь-яке! Наприклад:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \right|=-65\]

Звернімо увагу на друге рівняння. Про нього відразу можна сказати: коріння в нього немає. Чому? Все правильно: тому що в ньому потрібно, щоб модуль дорівнював негативному числу, чого ніколи не буває, оскільки ми вже знаємо, що модуль - число завжди позитивне або в крайньому випадку нуль.

А ось із першим рівнянням все веселіше. Тут два варіанти: або під знаком модуля стоїть позитивний вираз, і тоді $ \ left | 2x+1 \right|=2x+1$, або це вираз все-таки негативне, і тоді $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. У першому випадку наше рівняння перепишеться так:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

І раптово виходить, що підмодульний вираз $2x+1$ дійсно позитивний - він дорівнює числу 5. Тобто. ми можемо спокійно вирішувати це рівняння - отриманий корінь буде шматком відповіді:

Особливо недовірливі можуть спробувати підставити знайдений корінь у вихідне рівняння та переконатися, що справді під модулем буде позитивне число.

Тепер розберемо випадок негативного підмодульного виразу:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Rightarrow 2x+1=-5\]

Опа! Знову все чітко: ми припустили, що $2x+1 \lt 0$, і в результаті отримали, що $2x+1=-5$ — це вираз менше нуля. Вирішуємо отримане рівняння, при цьому вже точно знаючи, що знайдений корінь нас влаштує:

Разом ми знову отримали дві відповіді: $ x = 2 $ і $ x = 3 $. Так, обсяг обчислень виявився трохи більшим, ніж у зовсім простому рівнянні $ \ left | x \right|=3$, але нічого не змінилося. То, може, існує якийсь універсальний алгоритм?

Так, такий алгоритм існує. І зараз ми його розберемо.

Звільнення від знаку модуля

Нехай нам дано рівняння $ \ left | f\left(x \right) \right|=a$, причому $a\ge 0$ (інакше, як ми вже знаємо, коріння немає). Тоді можна позбавитися знака модуля за таким правилом:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Таким чином, наше рівняння із модулем розпадається на два, але вже без модуля. Ось і вся розробка! Спробуємо вирішити кілька рівнянь. Почнемо ось із такого

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Окремо розглянемо, коли праворуч стоїть десятка з плюсом, і окремо коли з мінусом. Маємо:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \&& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2,8. \\end(align)\]

От і все! Отримали два корені: $ x = 1,2 $ і $ x = -2,8 $. Все рішення зайняло буквально два рядки.

Ок, не питання, давайте розглянемо щось трохи серйозніше:

\[\left| 7-5x \right|=13\]

Знову відкриваємо модуль з плюсом та мінусом:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \&& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\end(align)\]

Знову кілька рядків — і відповідь готова! Як я й казав, у модулях немає нічого складного. Потрібно лише запам'ятати кілька правил. Тому йдемо далі і приступаємо з справді складнішим завданням.

Випадок змінної правої частини

А тепер розглянемо таке рівняння:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Це рівняння принципово відрізняється від попередніх. Чим? А тим, що праворуч від знака рівності стоїть вираз $2x$ — і ми не можемо заздалегідь знати, чи воно позитивне, чи негативне.

Як бути у такому разі? По-перше, треба раз і назавжди зрозуміти, що якщо права частина рівняння виявиться негативною, то рівняння не матиме коріння— ми вже знаємо, що модуль не може дорівнювати негативному числу.

А по-друге, якщо права частина таки позитивна (або дорівнює нулю), то можна діяти так само, як раніше: просто розкрити модуль окремо зі знаком «плюс» і окремо — зі знаком «мінус».

Таким чином, сформулюємо правило для довільних функцій $f\left(x \right)$ і $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Щодо нашого рівняння отримаємо:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\end(align) \right.\]

Ну, з вимогою $2x\ge 0$ ми якось впораємося. Зрештою, можна тупо підставити коріння, яке ми отримаємо з першого рівняння, і перевірити: чи виконується нерівність чи ні.

Тому розв'яжемо саме рівняння:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\end(align)\]

Ну і яке з цих двох коренів задовольняє вимогу $2x\ge 0$? Так обоє! Тому у відповідь підуть два числа: $ x = (4) / (3) \; $ і $ x = 0 $. Ось і все рішення.

Підозрюю, що хтось із учнів уже почав нудьгувати? Що ж, розглянемо ще складніше рівняння:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Хоч воно і виглядає злісно, за фактом це все те саме рівняння виду «модуль дорівнює функції»:

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

І вирішується воно так само:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

З нерівністю ми потім розберемося — воно якесь надто злісне (насправді просте, але ми його вирішувати не будемо). Поки що краще займемося отриманими рівняннями. Розглянемо перший випадок — коли модуль розкривається зі знаком «плюс»:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Ну, тут і їжу зрозуміло, що потрібно все зібрати зліва, навести подібні і подивитися, що вийде. А вийде ось що:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \&& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\end(align)\]

Виносимо загальний множник $((x)^(2))$ за дужку і отримуємо дуже просте рівняння:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Тут ми користувалися важливою властивістю твору, заради якого ми й розкладали вихідний багаточлен на множники: твір дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Тепер так само розберемося з другим рівнянням, яке виходить при розкритті модуля зі знаком «мінус»:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \&((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \&& -3((x)^(2))+2x=0; \& x\left(-3x+2 \right)=0. \\end(align)\]

Знову те саме: твір дорівнює нулю, коли дорівнює нулю хоча б один із множників. Маємо:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Ну ось ми отримали три корені: $ x = 0 $, $ x = 1,5 $ і $ x = (2) / (3) \; $. Ну, і що з цього набору піде в остаточну відповідь? Для цього пригадаємо, що ми маємо додаткове обмеження у вигляді нерівності:

Як врахувати цю вимогу? Та просто підставимо знайдене коріння і перевіримо: виконується нерівність при цих $x$ чи ні. Маємо:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27) \ ge 0; \\end(align)\]

Таким чином, корінь $ x = 1,5 $ нас не влаштовує. І у відповідь підуть лише два корені:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Як бачите, навіть у цьому випадку нічого складного не було – рівняння з модулями завжди вирішуються за алгоритмом. Потрібно лише добре розумітися на багаточленах і нерівностях. Тому переходимо до складніших завдань — там уже буде не один, а два модулі.

Рівняння з двома модулями

Досі ми вивчали лише самі прості рівняння— там був один модуль і ще щось. Це "щось ще" ми відправляли в іншу частину нерівності, подалі від модуля, щоб у результаті все звелося до рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ або навіть більш простому $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Але дитячий садокзакінчився — настав час розглянути щось серйозніше. Почнемо з рівнянь такого типу:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Це рівняння виду "модуль дорівнює модулю". Принципово важливим моментом є відсутність інших доданків та множників: тільки один модуль ліворуч, ще один модуль праворуч – і нічого більше.

Хтось зараз подумає, що такі рівняння вирішуються складніше, ніж те, що ми досі вивчали. А ось і ні: ці рівняння вирішуються навіть простіше. Ось формула:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Всі! Ми просто прирівнюємо підмодульні вирази, ставлячи перед одним із них знак «плюс-мінус». А потім вирішуємо отримані два рівняння - і коріння готове! Жодних додаткових обмежень, жодних нерівностей тощо. Все дуже просто.

Давайте спробуємо вирішувати таке завдання:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Елементарно, Ватсон! Розкриваємо модулі:

\[\left| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Розглянемо окремо кожен випадок:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\end(align)\]

У першому рівнянні коріння немає. Тому що коли це $3=-7$? За яких значень $x$? «Який ще нафіг $x$? Ти обкурився? Там взагалі немає $x$» - скажете ви. І будете праві. Ми здобули рівність, яка не залежить від змінної $x$, і при цьому сама рівність — неправильна. Тому і немає коріння.

З другим рівнянням все трохи цікавіше, але теж дуже просто:

Як бачимо, все вирішилося буквально в пару рядків - іншого від лінійного рівняння ми й не очікували.

У результаті остаточна відповідь: $ x = 1 $.

Ну як? Важко? Звичайно, ні. Спробуємо щось ще:

\[\left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Знову у нас рівняння виду $ \ left | f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Тому одразу переписуємо його, розкриваючи знак модуля:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Можливо, хтось зараз запитає: «Гей, що за маячня? Чому «плюс-мінус» стоїть у правого вираження, а не у лівого? Спокійно зараз все поясню. Дійсно, по-хорошому ми повинні були переписати наше рівняння так:

Потім потрібно розкрити дужки, перенести всі складові в один бік від знака рівності (оскільки рівняння, очевидно, в обох випадках буде квадратним), та й далі відшукати коріння. Але погодьтеся: коли «плюс-мінус» стоїть перед трьома доданками (особливо коли один із цих доданків — квадратний вираз), це якось складніше виглядає, ніж ситуація, коли «плюс-мінус» стоїть лише перед двома доданками.

Але ж ніщо не заважає нам переписати вихідне рівняння так:

Що сталося? Та нічого особливого: просто поміняли ліву та праву частину місцями. Дрібниця, яка в результаті трохи спростить нам життя.

Загалом вирішуємо це рівняння, розглядаючи варіанти з плюсом і з мінусом:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\end(align)\]

Перше рівняння має коріння $x=3$ та $x=1$. Друге взагалі є точним квадратом:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Тому має єдиний корінь: $x=1$. Але це коріння ми вже отримували раніше. Таким чином, у підсумкову відповідь підуть лише два числа:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Місія виконана! Можна взяти з полиці та з'їсти пиріжок. Там їх 2, ваш середній.:)

Важливе зауваження. Наявність однакового коріння при різних варіантахРозкриття модуля означає, що вихідні багаточлени розкладаються на множники, і серед цих множників обов'язково буде загальним. Дійсно:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\end(align)\]

Одна з властивостей модуля: $ \ left | acdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (тобто модуль твору дорівнює добутку модулів), тому вихідне рівняння можна переписати так:

\[\left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Як бачимо, у нас справді виник спільний множник. Тепер, якщо зібрати всі модулі з одного боку, можна винести цей множник за дужку:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\end(align)\]

Ну а тепер згадуємо, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\end(align) \right.\]

Таким чином, вихідне рівняння з двома модулями звелося до двох найпростіших рівнянь, про які ми говорили на початку уроку. Такі рівняння вирішуються буквально в пару рядків.

Дане зауваження, можливо, здасться надмірно складним та незастосовним на практиці. Однак насправді вам можуть зустрітися куди складніші завдання, ніж ті, що ми сьогодні розуміємо. У них модулі можуть комбінуватися з багаточленами, арифметичним корінням, логарифмами і т.д. І в таких ситуаціях можливість знизити загальний ступінь рівняння шляхом винесення чогось за дужку може виявитися дуже доречним.

Тепер хотілося б розібрати ще одне рівняння, яке на перший погляд може здатися маревним. На ньому «залипають» багато учнів, навіть ті, які вважають, що добре розібралися в модулях.

Проте це рівняння вирішується навіть простіше, ніж те, що ми розглядали раніше. І якщо ви зрозумієте чомусь, то отримаєте ще один прийом для швидкого вирішення рівнянь з модулями.

Отже, рівняння:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Ні, це не друкарська помилка: між модулями саме плюс. І нам потрібно знайти, за яких $x$ сума двох модулів дорівнює нулю.:)

У чому взагалі проблема? А проблема в тому, що кожен модуль — позитивне число, або в крайньому випадку нуль. А що буде, якщо скласти два позитивні числа? Очевидно, знову позитивне число:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; 0,004+0,0001=0,0041 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

Останній рядок може наштовхнути на думку: єдиний випадок, коли сума модулів дорівнює нулю - це якщо кожен модуль дорівнюватиме нулю:

А коли модуль дорівнює нулю? Тільки в одному випадку - коли підмодульний вираз дорівнює нулю:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\end(align) \right.\]

Таким чином, у нас є три точки, в яких обнулюється перший модуль: 0, 1 та −1; а також дві точки, в яких обнулюється другий модуль: −2 і 1. Однак нам потрібно, щоб обидва модулі обнулялися одночасно, тому серед знайдених чисел потрібно вибрати ті, що входять до обох наборів. Очевидно, таке число лише одне: $x=1$ — це буде остаточною відповіддю.

Метод розщеплення

Що ж, ми вже розглянули купу завдань та вивчили безліч прийомів. Думаєте, на цьому все? А ось і ні! Зараз ми розглянемо заключний прийом – і водночас найважливіший. Йтиметься про розщеплення рівнянь із модулем. Про що взагалі йтиметься? Повернемося трохи назад і розглянемо якесь просте рівняння. Наприклад, це:

\[\left| 3x-5 \right|=5-3x\]

В принципі ми вже знаємо, як вирішувати таке рівняння, тому що це стандартна конструкція виду $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Але спробуємо подивитись на це рівняння трохи під іншим кутом. Точніше, розглянемо вираз, що стоїть під знаком модуля. Нагадаю, що модуль будь-якого числа може дорівнювати самому числу, а може бути протилежний цьому числу:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a, \quad a \lt 0. \\end(align) \right.\]

Власне, у цій неоднозначності і полягає вся проблема: оскільки число під модулем змінюється (воно залежить від змінної), нам неясно — воно позитивне чи негативне.

Але що якщо спочатку вимагати, щоб це число було позитивним? Наприклад, потрібно, щоб $3x-5 \gt 0$ — у цьому випадку ми гарантовано отримаємо позитивне число під знаком модуля, і цього самого модуля можна повністю позбутися:

Таким чином, наше рівняння перетвориться на лінійне, яке легко вирішується:

Щоправда, всі ці роздуми мають сенс лише за умови $3x-5\gt 0$ — ми самі запровадили цю вимогу, щоб однозначно розкрити модуль. Тому давайте підставимо знайдений $x=\frac(5)(3)$ в цю умову і перевіримо:

Виходить, що з зазначеному значенні $x$ наша вимога не виконується, т.к. вираз виявився рівним нулю, а нам потрібно, щоб воно було строго більше нуля. Журбинка.:(

Але нічого страшного! Адже є ще варіант $3x-5 0$. Більше того: є ще й випадок $3x-5=0$ — це також потрібно розглянути, інакше рішення буде неповним. Отже, розглянемо випадок $3x-5 \lt 0$:

Очевидно, що модуль розкриється зі знаком «мінус». Але тоді виникає дивна ситуація: і ліворуч, і праворуч у вихідному рівнянні стирчатиме той самий вираз:

Цікаво, за яких таких $x$ вираз $5-3x$ дорівнюватиме виразу $5-3x$? Від таких рівнянь навіть Капітан очевидність подавився б слиною, але ми знаємо: це рівняння є тотожністю, тобто. воно вірне за будь-яких значень змінної!

А це означає, що нас влаштують будь-які $x$. Водночас ми маємо обмеження:

Іншими словами, відповіддю буде не якесь окреме число, а цілий інтервал:

Нарешті залишилося розглянути ще один випадок: $3x-5=0$. Тут все просто: під модулем буде нуль, а модуль нуля теж дорівнює нулю (це прямо випливає з визначення):

Але тоді вихідне рівняння $ \ left | 3x-5 \right|=5-3x$ перепишеться так:

Це коріння ми вже отримували вище, коли розглядали випадок $3x-5 \gt 0$. Більше того, це корінь є рішенням рівняння $3x-5=0$ - це обмеження, яке ми самі ж і ввели, щоб обнулити модуль.

Таким чином, крім інтервалу нас влаштує ще й число, що лежить на самому кінці цього інтервалу:

Об'єднання коренів у рівняннях з модулем

Разом остаточна відповідь: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Не дуже звично бачити таку хрень у відповіді до досить простого (по суті - лінійного) рівняння з модулем Що ж, звикайте: в тому і полягає складність модуля, що відповіді в таких рівняннях можуть виявитися абсолютно непередбачуваними.

Куди важливіше інше: ми щойно розібрали універсальний алгоритм розв'язання рівняння з модуляєм! І складається цей алгоритм із наступних кроків:

Прирівняти кожен модуль, що є в рівнянні, до нуля. Отримаємо кілька рівнянь;
Вирішити всі ці рівняння і відзначити коріння на числовій прямій. В результаті пряма розіб'ється на кілька інтервалів, на кожному з яких всі модулі однозначно розкриваються;
Вирішити вихідне рівняння для кожного інтервалу та об'єднати отримані відповіді.

От і все! Залишається лише одне питання: куди подіти саме коріння, отримане на 1-му кроці? Припустимо, у нас вийшло два корені: $ x = 1 $ і $ x = 5 $. Вони розіб'ють числову пряму на 3 шматки:

Розбиття числової осіна інтервали за допомогою точок

Ну, і які тут інтервали? Зрозуміло, що їх три:

Найлівіший: $x \lt 1$ — сама одиниця в інтервал не входить;
Центральний: $1\le x \lt 5$ - ось тут одиниця в інтервал входить, проте не входить п'ятірка;
Найправіший: $x\ge 5$ - п'ятірка входить тільки сюди!

Я гадаю, ви вже зрозуміли закономірність. Кожен інтервал включає лівий кінець і не включає правий.

На перший погляд, такий запис може здатися незручним, нелогічним і взагалі якимось маревним. Але повірте: після невеликого тренування ви виявите, що саме такий підхід є найбільш надійним і при цьому не заважає однозначно розкривати модулі. Краще використовувати таку схему, ніж щоразу думати: віддавати лівий/правий кінець у поточний інтервал або «перекидати» його в наступний.

На цьому урок закінчується. Завантажуйте завдання для самостійного рішення, тренуйтеся, порівнюйте з відповідями - і побачимося в наступному уроці, який буде присвячений нерівності з модулями.:)

Термін (module) у буквальному перекладі з латинської означає «захід». Це було введено в математику англійським ученим Р. Котесом. А німецький математик К. Вейєрштрас ввів в обіг знак модуля - символ, яким це поняття позначається при написанні.

Вконтакте

Вперше дане поняттявивчається у математиці за програмою 6 класу середньої школи. Згідно з одним із визначень, модуль - це абсолютне значення дійсного числа. Іншими словами, щоб дізнатись модуль дійсного числа, необхідно відкинути його знак.

Графічно абсолютне значення апозначається як |a|.

Основна відмінна риса цього поняття у тому, що він є неотрицательной величиною.

Числа, які відрізняються один від одного лише знаком, називаються протилежними. Якщо значення позитивне, протилежне йому буде негативним, а нуль є протилежним самому собі.

Геометричне значення

Якщо розглядати поняття модуля з позицій геометрії, то він позначатиме відстань, яка вимірюється в одиничних відрізках від початку координат до заданої точки. Це визначення повністю розкриває геометричний зміст терміну, що вивчається.

Графічно можна висловити так: |a| = OA.

Властивості абсолютної величини

Нижче будуть розглянуті всі математичні властивості цього поняття та способи запису у вигляді буквених виразів:

Особливості вирішення рівнянь із модулем

Якщо говорити про розв'язання математичних рівнянь і нерівностей, у яких міститься module, необхідно пам'ятати, що їх вирішення потрібно відкрити цей знак.

Наприклад, якщо знак абсолютної величини містить у собі деяке математичне вираз, перед тим як розкрити модуль, необхідно враховувати діючі математичні визначення.

|А + 5| = А + 5якщо, А більше або дорівнює нулю.

5-Аякщо А значення менше нуля.

У деяких випадках знак може розкриватися однозначно за будь-яких значень змінної.

Розглянемо ще один приклад. Побудуємо координатну пряму, де відзначимо все числові значенняабсолютною величиною яких буде 5.

Для початку необхідно накреслити координатну пряму, позначити на ній початок координат і встановити розмір одиничного відрізка. Крім того, пряма повинна мати напрямок. Тепер на цій прямій необхідно нанести розмітки, які дорівнюють величині одиничного відрізка.

Таким чином, ми можемо побачити, що на цій координатній прямій будуть дві точки, що цікавлять нас, зі значеннями 5 і -5.

МБОУ ЗОШ №17 м. Іванова

« Рівняння з модулем»
Методична розробка

Складено

вчителем математики

Лебедєвої Н.В.

20010

Пояснювальна записка

Розділ 1. Вступ

Розділ 2. Основні властивості Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа Розділ 4. Графік функції у = | х | Розділ 5. Умовні позначення

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль

Розділ 1.Рівняння виду | F (х) | = m (найпростіші) Розділ 2. Рівняння виду F(|х|) = m Розділ 3. Рівняння виду | F (x) | = G(х) Розділ 4. Рівняння виду | F (x) | = ± F(х) (найкрасивіші) Розділ 5. Рівняння виду | F (x) | = | G (x) | Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь Розділ 7. Рівняння виду | F (х) | + | G (x) | = 0 Розділ 8. Рівняння виду | а 1 х ± 1 | ± |а 2 х ± 2 | ± …|а n х ± у n | = m Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Глава 3. Приклади розв'язання різних рівнянь із модулем.

Розділ 1. Тригонометричні рівняння Розділ 2. Показові рівняння Розділ 3. Логарифмічні рівняння Розділ 4. Ірраціональні рівняння Розділ 5. Завдання підвищеної складності Відповіді до вправ Список літератури

Пояснювальна записка.

Поняття абсолютної величини (модуля) дійсного числа є одним із суттєвих його характеристик. Це поняття має широке поширення в різних розділах фізико-математичних та технічних наук. У практиці викладання курсу математики в середній школівідповідно до Програми МО РФ поняття «абсолютна величина числа» зустрічається неодноразово: у 6-му класі вводиться визначення модуля, його геометричний зміст; у 8-му класі формується поняття абсолютної похибки, розглядається вирішення найпростіших рівнянь і нерівностей, що містять модуль, вивчаються властивості арифметичного. квадратного кореня; в 11-му класі поняття зустрічається в розділі «Корінь n-ой ступеня».Досвід викладання показує, що учні часто стикаються з труднощами при вирішенні завдань, які потребують знання даного матеріалу, а нерідко пропускають, не приступаючи до виконання. У текстах екзаменаційних завдань за курс 9-ого та 11-ого класів також включені подібні завдання. Крім того, вимоги, які пред'являють до випускників шкіл ВНЗ відрізняються, а саме, більш високого рівняніж вимоги шкільної програми. Для життя в сучасному суспільствідуже важливим є формування математичного стилю мислення, що виявляється у певних розумових навичках. У процесі вирішення завдань із модулями потрібно вміння застосовувати такі прийоми, як узагальнення та конкретизація, аналіз, класифікація та систематизація, аналогія. Вирішення подібних завдань дозволяє перевірити знання основних розділів шкільного курсу, рівень логічного мислення, Початкові навички дослідницької діяльності. Ця роботаприсвячена одному з розділів - розв'язання рівнянь, що містять модуль. Вона складається з трьох розділів. У першому розділі вводяться основні поняття та найважливіші теоретичні викладки. У другому розділі пропонуються дев'ять основних типів рівнянь, що містять модуль, розглядаються методи їх вирішення, розбираються приклади різного рівня складності. У третьому розділі пропонуються складніші і нестандартні рівняння (тригонометричні, показові, логарифмічні та ірраціональні). До кожного типу рівнянь є вправи для самостійного вирішення (відповіді та вказівки додаються). Основне призначення даної роботи - це надання методичної допомоги викладачам при підготовці до уроків та при організації факультативних курсів. Матеріал також може бути використаний як навчального посібникадля старшокласників. Завдання, запропоновані в роботі, цікаві і не завжди прості у вирішенні, що дозволяє зробити навчальну мотиваціюучнів більш усвідомленої, перевірити свої здібності, підвищити рівень підготовки випускників шкіл до вступу до ВНЗ. Диференційований підбір пропонованих вправ передбачає перехід від репродуктивного рівня засвоєння матеріалу до творчого, і навіть можливість навчити застосовувати свої знання під час вирішення нестандартних завдань.

Розділ 1. Вступ.

Розділ 1. Визначення абсолютної величини .

Визначення : Абсолютною величиною (модулем) дійсного числа аназивається невід'ємне число: аабо -А. Позначення: │ а │ Запис читається так: «модуль числа а» або «абсолютна величина числа а»

│ а якщо а > 0

│а│ = │ 0, якщо а = 0 (1)

│ - а, якщо а
Приклади: 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
Розкрити модуль виразу:
а) │х - 8│, якщо х > 12 б) │2х + 3│, якщо х ≤ -2 │х – 8│= х – 8 │ 2х + 3│= - 2х – 3
Розділ 2. Основні характеристики.
Розглянемо основні властивості абсолютної величини. Властивість №1: Протилежні числа мають рівні модулі, тобто. │а│=│- а│Покажемо вірність рівності. Запишемо визначення числа – а : │- а│= (2) Порівняємо сукупності (1) та (2). Очевидно, що визначення абсолютних величинчисел аі – азбігаються. Отже, │а│=│- а│
При розгляді наступних властивостей обмежимося їх формулюванням, оскільки їх доказ наводиться в Властивість №2: Абсолютна величина суми кінцевого числа дійсних чиселне перевищує суми абсолютних величин доданків: │а 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│а 1 │+│а 2 │+ … + │а n │ Властивість №3: Абсолютна величина різниці двох дійсних чисел не перевищує суми їх абсолютних величин: │а - в│ ≤│а│+│в│ Властивість №4: Абсолютна величина добутку кінцевого числа дійсних чисел дорівнює добутку абсолютних величин множників: │а · в│=│а│·│в│ Властивість №5: Абсолютна величина частки дійсних чисел дорівнює частці їх абсолютних величин:

Розділ 3. Геометрична інтерпретація поняття модуля числа.

Кожному дійсному числу можна поставити у відповідність точку на числовій прямій, яка буде геометричним зображенням цього дійсного числа. Кожній точці на числовій прямий відповідає відстань від початку відліку, тобто. довжина відрізка від початку відліку до цієї точки. Ця відстань сприймається завжди як величина неотрицательная. Тому довжина відповідного відрізка і буде геометричною інтерпретацією абсолютної величини цього дійсного числа.

Подана геометрична ілюстрація наочно підтверджує якість №1, тобто. модулі протилежних чисел рівні. Звідси легко розуміється справедливість рівності: │х – а│= │а – х│. Також очевиднішим ставати рішення рівняння │х│= m, де m ≥ 0, а саме х 1,2 = ± m. Приклади: 1) │х│= 4 х 1,2 = ± 4 2) │х - 3│= 1

х 1,2 = 2; 4

Розділ 4. Графік функції у = │х│

Область визначення цієї функції все дійсні числа.

Розділ 5. Умовні позначення.

Надалі при розгляді прикладів розв'язання рівнянь буде використано наступні умовні позначення: ( - знак системи [ - знак сукупності При розв'язанні системи рівнянь (нерівностей) знаходиться перетин рішень входять до системи рівнянь (нерівностей). При розв'язанні сукупності рівнянь (нерівностей) перебуває об'єднання рішень рівнянь (нерівностей), що входять до сукупності.

Розділ 2. Розв'язання рівнянь, що містять модуль.

У цьому розділі ми розглянемо способи розв'язання алгебри рівнянь, що містять один або більше модуль.

Розділ 1. Рівняння виду │F(х)│= m

Рівняння цього виду називається найпростішим. Воно має рішення тоді і тільки тоді, коли m ≥ 0. За визначенням модуля, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(х)│=m

Приклади:
№1. Розв'яжіть рівняння: │7х - 2│= 9

Відповідь: х 1 = - 1; х 2 = 1 4 / 7 №2
│х 2 + 3х + 1│= 1

х 2 + 3х + 2 = 0 х 2 +3х = 0 х 1 = -1; х 2 = -2 х · (х + 3) = 0 х 1 = 0; х 2 = -3 Відповідь: сума коренів дорівнює - 2.№3
│х 4 -5х 2 + 2│= 2 х 4 – 5х 2 = 0 х 4 – 5х 2 + 4 = 0 х 2 · (х 2 – 5) = 0 позначимо х 2 = m, m ≥ 0 х = 0 ; ±√5 m 2 – 5m + 4 = 0 m = 1; 4 – обидва значення задовольняють умові m ≥ 0 х 2 = 1 х 2 = 4 х = ± 1 х = ± 2 Відповідь: кількість коренів рівняння 7. Вправи:
№1. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: │х - 5│= 3 №2 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть менший корінь: │х 2 + х│= 0 №3 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть більший корінь: │х 2 – 5х + 4│= 4 №4 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть цілий корінь: │2х 2 – 7х + 6│= 1 №5 . Розв'яжіть рівняння та вкажіть кількість коренів: │х 4 – 13х 2 + 50│= 14

Розділ 2. Рівняння виду F(│х│) = m

Аргумент функції у лівій частині перебуває під знаком модуля, а права частина залежить від змінної. Розглянемо два способи розв'язання рівнянь даного виду. 1 спосіб:За визначенням абсолютної величини вихідне рівняння рівносильне сукупності двох систем. У кожній з яких накладається умова підмодульний вираз. F(│х│) =m

Оскільки функція F(│х│) – парна по всій області визначення, то коріння рівнянь F(х) = m і F(-х) = m – це пари протилежних чисел. Тому достатньо вирішити одну із систем (при розгляді прикладів вказаним способом буде наводиться рішення однієї системи). 2 спосіб:Застосування методу запровадження нової змінної. При цьому вводиться позначення │х│= а де а ≥ 0. Цей спосібменш об'ємний за оформленням.
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння: 3х 2 – 4│х│= - 1 Скористаємося введенням нової змінної. Позначимо │х│= а де а ≥ 0. Отримаємо рівняння 3а 2 - 4а + 1 = 0 Д = 16 – 12 = 4 а 1 = 1 а 2 = 1 / 3 Повертаємося до вихідної змінної: │х│=1 і │х│= 1/3 . Кожне рівняння має два корені. Відповідь: х 1 = 1; х 2 = - 1; х 3 = 1 / 3 ; х 4 = - 1 / 3 . №2. Розв'яжіть рівняння: 5х 2 + 3│х│- 1 = 1 / 2 │х│ + 3х 2

Знайдемо рішення першої системи сукупності: 4х 2 + 5х – 2 =0 Д = 57 х 1 = -5+√57 / 8 х 2 = -5-√57 / 8 Зауважимо, що х 2 не задовольняє умову х ≥ 0. Рішенням другий системи буде число, протилежне значенню х 1 . Відповідь: х 1 = -5+√57 / 8 ; х 2 = 5-√57 / 8 .№3 . Розв'яжіть рівняння: х 4 – │х│= 0 Позначимо │х│= а, де а ≥ 0. Отримаємо рівняння а 4 – а = 0 а · (а 3 – 1) = 0 а 1 = 0 а 2 = 1 Повертаємось до вихідної змінної: │х│=0 та │х│= 1 х = 0; ± 1 Відповідь: х 1 = 0; х 2 = 1; х 3 = - 1.
Вправи: №6. Розв'яжіть рівняння: 2│х│ - 4,5 = 5 – 3 / 8 │х│ №7 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів: 3х 2 - 7│х│ + 2 = 0 №8 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілі рішення: х 4 + │х│ - 2 = 0

Розділ 3. Рівняння виду │F(х)│ = G(х)

Права частина рівняння цього виду залежить від змінної і, отже, має рішення тоді і тільки тоді, коли права частина функція G(х) ≥ 0. Вихідне рівняння можна вирішити двома способами: 1 спосіб:Стандартний, заснований на розкритті модуля, виходячи з його визначення і полягає в рівносильному переході до сукупності двох систем. │ F(х)│ =G(х)

Даний спосіб раціонально використовувати у разі складного виразудля функції G(x) і мене складного – для функції F(х), оскільки передбачається розв'язання нерівностей із функцією F(х). 2 спосіб:Складається у переході до рівносильної системи, у якій накладається умова праву частину. │ F(x)│= G(x)

Даний спосіб зручніше застосовувати, якщо вираз для функції G(х) менш складний, ніж для функції F(х), оскільки передбачається вирішення нерівності G(х) ≥ 0. Крім того, у випадку кількох модулів цей спосіб рекомендується застосовувати другий варіант. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння: │х + 2│= 6 -2х

(1 спосіб) Відповідь: х = 1 1 / 3 №2.
│х 2 – 2х - 1│= 2·(х + 1)

(2 спосіб) Відповідь: Твір коріння – 3.
№3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:
│х - 6│= х 2 - 5х + 9

Відповідь: сума коренів дорівнює 4.
Вправи: №9. │х + 4│= - 3х №10. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число розв'язків: │х 2 + х - 1│= 2х – 1 №11 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: │х + 3│= х 2 + х – 6

Розділ 4. Рівняння виду │F(x)│= F(x) та │F(x)│= - F(x)

Рівняння цього виду іноді називають «красивими». Оскільки права частина рівнянь залежить від змінної, рішення існують і тоді, коли права частина неотрицательна. Тому вихідні рівняння рівносильні нерівностям:
│F(x)│= F(x) F(x) ≥ 0 та │F(x)│= - F(x) F(x) Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший цілий корінь: │5х - 3│= 5х - 3 5х - 3 ≥ 0 5х ≥ 3 х ≥ 0,6 Відповідь: х = 1№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть довжину проміжку: │х 2 - 9│= 9 – х 2 х 2 – 9 ≤ 0 (х – 3) (х + 3) ≤ 0 [- 3; 3] Відповідь: довжина проміжку дорівнює 6.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │2 + х – х 2 │= 2 + х – х 2 2 + х – х 2 ≥ 0 х 2 – х – 2 ≤ 0 [-1; 2] Відповідь: 4 цілих рішення.№4 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:
│4 – х -

│= 4 – х –

х 2 - 5х + 5 = 0 Д = 5 х 1,2 =

≈ 1,4

Відповідь: х = 3.

Вправи: №12. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле коріння: │х 2 + 6х + 8│= х 2 + 6х + 8 №13. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть число цілих рішень: │13х – х 2 - 36│+ х 2 – 13х + 36 = 0 №14. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле число, що не є коренем рівняння:

Розділ 5. Рівняння виду │F(x)│= │G(x)│

Так як обидві частини рівняння невід'ємні, рішення передбачає розгляд двох випадків: підмодульні вирази рівні або протилежні за знаком. Отже, вихідне рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь: │ F(x)│= │ G(x)│

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь: │х + 3│=│2х - 1│

Відповідь: ціле коріння х = 4.№2. Розв'яжіть рівняння: │ х – х 2 - 1│=│2х – 3 – х 2 │

Відповідь: х = 2.№3 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:

Корні рівняння 4х 2 + 2х - 1 = 0 х 1,2 = - 1±√5 / 4 Відповідь: добуток коренів дорівнює – 0,25. Вправи: №15 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть ціле рішення: │х 2 – 3х + 2│= │х 2 + 6х - 1│ №16. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь:│5х - 3│=│7 - х│ №17 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів:

Розділ 6. Приклади розв'язання нестандартних рівнянь

У розділі ми розглянемо приклади нестандартних рівнянь, під час вирішення яких абсолютна величина висловлювання розкривається за визначенням. Приклади:

№1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: х · │х│- 5х – 6 = 0
Відповідь: сума коренів дорівнює 1 №2. . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: х 2 - 4х ·
- 5 = 0
Відповідь: менший корінь х = – 5. №3. Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = -1. Вправи: №18. Розв'яжіть рівняння та вкажіть суму коренів: х · │3х + 5│= 3х 2 + 4х + 3
№19. Розв'яжіть рівняння: х 2 – 3х =

№20. Розв'яжіть рівняння:

Розділ 7. Рівняння виду │F(x)│+│G(x)│=0

Неважко помітити, що у лівій частині рівняння цього виду сума неотрицательных величин. Отже, вихідне рівняння має рішення тоді і тільки тоді, коли обидва доданки одночасно дорівнюють нулю. Рівняння рівносильне системі рівнянь: │ F(x)│+│ G(x)│=0
Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння:

Відповідь: х = 2. №2. Розв'яжіть рівняння: Відповідь: х = 1. Вправи: №21. Розв'яжіть рівняння: №22 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №23 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість рішень:

Розділ 8. Рівняння виду │а 1 х + у 1 │±│а 2 х + у 2 │± … │а n х +в n │= m

Для вирішення рівнянь цього виду застосовується метод інтервалів. Якщо його вирішувати послідовним розкриттям модулів, то отримаємо nсукупностей систем, що дуже громіздко та незручно. Розглянемо алгоритм методу інтервалів: 1). Знайти значення змінної х, При яких кожен модуль дорівнює нулю (нулі підмодульних виразів):

2). Знайдені значення відзначити на числовій прямій, яка розбивається на інтервали (кількість інтервалів відповідно дорівнює n+1 ) 3). Визначити, з яким знаком розкривається кожен модуль кожному з отриманих інтервалів (при оформленні рішення можна використовувати числову пряму, відзначивши у ньому знаки) 4). Вихідне рівняння рівносильне сукупності n+1 систем, у кожному у тому числі вказується приналежність змінної ходному із інтервалів. Приклади: №1 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть найбільший корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 2; х = -3 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль отриманих інтервалах:
х – 2 х – 2 х – 2 - - + - 3 2 х 2х + 6 2х + 6 2х + 6 - + + 3)

- немає рішень Рівняння має два корені. Відповідь: найбільший корінь x = 2. №2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть цілий корінь:

1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1,5; х = - 1 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х + 1 х + 1 х + 1 - + +
-1 1,5 х 2х - 3 2х - 3 2х - 3 - - +
3).

Остання система не має рішень, отже, рівняння має два корені. Під час розв'язання рівняння слід звернути увагу на знак «-» перед другим модулем. Відповідь: ціле коріння х = 7. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 5; х = 1; х = - 2 2). Зазначимо знайдені значення на числовій прямій і визначимо, з яким знаком розкривається кожен модуль на отриманих інтервалах: х – 5 х – 5 х – 5 х – 5 - - - +
-2 1 5 х х – 1 х – 1 х – 1 х – 1 - - + + х + 2 х + 2 х + 2 х + 2 - + + +
3).

Рівняння має два корені х = 0 та 2. Відповідь: сума коренів дорівнює 2. №4 . Розв'яжіть рівняння: 1). Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 1; х = 2; х = 3. 2). Визначимо, з яким знаком відкривається кожен модуль отриманих інтервалах. 3).

Об'єднаємо рішення перших трьохсистем. Відповідь: ; х = 5.
Вправи: №24. Розв'яжіть рівняння:

№25. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: №26. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть менший корінь: №27. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть більший корінь:

Розділ 9. Рівняння, що містять декілька модулів

Рівняння, що містять кілька модулів, передбачають наявність абсолютних величин у підмодульних виразах. Основний принцип розв'язання рівнянь даного виду – це послідовне розкриття модулів, починаючи із зовнішнього. У результаті рішення використовуються прийоми, розглянуті розділах №1, №3.

Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 1; - 11. №2. Розв'яжіть рівняння:
Відповідь: х = 0; 4; - 4. №3. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння:
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 8. №4. Розв'яжіть рівняння:
Позначимо рівняння сукупності (1) і (2) та розглянемо рішення кожного з них окремо для зручності оформлення. Так як обидва рівняння містять більше одного модуля, зручніше здійснити рівносильний перехід до сукупностей систем. (1)

(2)

Відповідь:
Вправи: №36. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: 5 │3х-5│ = 25 х №37. Розв'яжіть рівняння, якщо коріння більше одного, у відповіді вкажіть суму коренів: │х + 2│ х – 3х – 10 = 1 №38. Розв'яжіть рівняння: 3 │2х -4│ = 9 │х│ №39. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів на : 2 │ sin х│ = √2 №40 . Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть кількість коренів:

Розділ 3. Логарифмічні рівняння.

Перед розв'язанням наступних рівнянь необхідно повторити властивості логарифмів та логарифмічної функції. Приклади: №1. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть добуток коріння: log 2 (х+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 О.Д.З. х+1≠0 х≠ - 1

1 випадок: якщо х ≥ - 1, то log 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 – задовольняє умові х ≥ - 1 2 випадок: якщо х log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 log 2 (-(x+1) 3) = log 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – задовольняє умові х - 1
Відповідь: добуток коренів дорівнює - 15.
№2. Розв'яжіть рівняння, у відповіді вкажіть суму коренів: lg
О.Д.З.

Відповідь: сума коренів дорівнює 0,5.
№3. Розв'яжіть рівняння: log 5
О.Д.З.

Відповідь: х = 9. №4. Розв'яжіть рівняння: │2 + log 0,2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ О.Д.З. х > 0 Скористаємося формулою переходу до іншої основи. │2 - log 5 x│+ 3 = │1 + log 5 x│
│2 - log 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 Знайдемо нулі підмодульних виразів: х = 25; х = Ці числа ділять область допустимих значеньна три інтервали, тому рівняння рівносильне сукупності трьох систем.
Відповідь: )