Часто перетворення і спрощення математичних виразів вимагає переходу від коренів до ступенями і навпаки. Дана стаття розповідає про те, як здійснювати переклад кореня в ступінь і назад. Розглядається теорія, практичні приклади і найбільш поширені помилки.

Перехід від ступенів з дробовими показниками до коріння

Припустимо, ми маємо число з показником ступеня у вигляді звичайного дробу - a m n. Як записати такий вираз у вигляді кореня?

Відповідь випливає з самого визначення ступеня!

визначення

Позитивне число a в ступеня m n - це корінь ступеня n з числа a m.

При цьому, обов'язково має виконуватися умова:

a\u003e 0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ.

Дробная ступінь числа нуль визначається аналогічно, однак в цьому випадку число m приймається не цілим, а натуральним, щоб не виникло поділу на 0:

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0.

Відповідно до визначення, ступінь a m n можна представити у вигляді кореня a m n.

Наприклад: 3 2 5 \u003d 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 \u003d 1 2 3 - 3 4.

Однак, як уже було сказано, не слід забувати про умови: a\u003e 0; m ∈ ℤ; n ∈ ℕ.

Так, вираз - 8 1 3 не можна представити у вигляді - 8 -1 3, так як запис - 8 1 3 попросту не має сенсу - ступінь негативних чисел на определена.Прі цьому, сам корінь - 8 1 3 має сенс.

Перехід від ступенів з виразами в підставі і дробовими показниками здійснюється аналогічно на всій області допустимих значень (Далі - ОПЗ) вихідних виразів в підставі ступеня.

Наприклад, вираз x 2 + 2 x + 1 - 4 1 2 можна представити у вигляді квадратного кореня x 2 + 2 x + 1 - 4 .Вираженіе в ступеня x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 переходить у вираз x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 для всіх x, y, z з ОДЗ даного виразу.

Зворотній заміна коренів ступенями, коли замість виразу з коренем записується вираження зі ступенем, також можлива. Просто перевернемо рівність з попереднього пункту і отримаємо:

Знову ж таки, перехід очевидний для позитивних чисел a. Наприклад, 7 6 4 \u003d 7 6 4, або 2 7 - 5 3 \u003d 2 7 - 5 3.

Для негативних a коріння мають сенс. Наприклад - 4 2 6, - 2 3. Однак, уявити ці корені у вигляді ступенів - 4 2 6 і - 2 1 3 не можна.

Чи можна взагалі перетворити такі вирази зі ступенями? Так, якщо зробити деякі попередні перетворення. Розглянемо, які.

Використовуючи властивості ступенів, можна виконати перетворення виразу - 4 2 6.

4 2 6 \u003d - 1 | 2 · 4 2 6 \u003d 4 2 6.

Так як 4\u003e 0, можна записати:

У випадку з коренем непарного степеня з від'ємного числа, можна записати:

A 2 m + 1 \u003d - a 2 m + 1.

Тоді вираз - 2 3 набуде вигляду:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Розберемося тепер, як коріння, під якими містяться вирази, замінюються на ступеня, що містять ці вирази в підставі.

Позначимо буквою A деякий вираз. Однак не будемо поспішати з поданням A m n у вигляді A m n. Пояснимо, що тут мається на увазі. Наприклад, вираз х - 3 2, 3, грунтуючись на рівність з першого пункту, хочеться представити у вигляді x - 3 2 3. Така заміна можлива тільки при x - 3 ≥ 0, а для інших ікс з ОДЗ вона не підходить, так як для негативних a формула a m n \u003d a m n не має сенсу.

Таким чином, в розглянутому прикладі перетворення виду A m n \u003d A m n є перетворенням, що звужує ОДЗ, а через неакуратне застосування формули A m n \u003d A m n нерідко виникають помилки.

Щоб правильно перейти від кореня A m n до ступеня A m n, необхідно дотримуватися кількох пунктів:

  • У разі, якщо число m - ціле і непарне, а n - натуральне і парне, то формула A m n \u003d A m n справедлива на всій ОДЗ змінних.
  • Якщо m - ціле і непарне, а n - натуральне і непарне, то вираз A m n можна замінити:
    - на A m n для всіх значень змінних, при яких A ≥ 0;
    - на - - A m n для для всіх значень змінних, при яких A< 0 ;
  • Якщо m - ціле і парне, а n - будь-яке натуральне число, То A m n можна замінити на A m n.

Зведемо всі ці правила в таблицю і наведемо кілька прикладів їх використання.

Повернемося до вираження х - 3 2 3. Тут m \u003d 2 - ціле і парне число, А n \u003d 3 - натуральне число. Значить, вираз х - 3 2 3 правильно буде записати у вигляді:

х - 3 2 3 \u003d x - 3 2 3.

Наведемо ще один приклад з корінням і ступенями.

Приклад. Переклад кореня в ступінь

x + 5 - 3 5 \u003d x + 5 - 3 5, x\u003e - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5

Обґрунтуємо результати, наведені в таблиці. Якщо число m - ціле і непарне, а n - натуральне і парне, для всіх змінних з ОДЗ в вираженні A m n значення A позитивно або неотрицательно (при m\u003e 0). Саме тому A m n \u003d A m n.

У другому варіанті, коли m - ціле, позитивне і непарне, а n - натуральне і непарне, значення A m n розділяються. Для змінних з ОДЗ, при яких A неотрицательно, A m n \u003d A m n \u003d A m n. Для змінних, при яких A негативно, отримуємо A m n \u003d - A m n \u003d - 1 m · A m n \u003d - A m n \u003d - A m n \u003d - A m n.

Аналогічно розглянемо і такий випадок, коли m - ціле і парне, а n - будь-яке натуральне число. Якщо значення A позитивно або неотрицательно, то для таких значень змінних з ОДЗ A m n \u003d A m n \u003d A m n. Для негативних A отримуємо A m n \u003d - A m n \u003d - 1 m · A m n \u003d A m n \u003d A m n.

Таким чином, в третьому випадку для всіх змінних з ОДЗ можна записати A m n \u003d A m n.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Для витягання кореня в Excel і зведення числа в ступінь використовуються вбудовані функції і математичні оператори. Розглянемо на прикладах.

Приклади функції Корінь в Excel

Вбудована функція Корінь повертає позитивне значення квадратного кореня. У меню «Функції» вона знаходиться в категорії «Математичні».

Синтаксис функції: \u003d КОРІНЬ (число).

Єдиний і обов'язковий аргумент являє собою позитивне число, для якого функція обчислює квадратний корінь. Якщо аргумент має негативне значення, Excel поверне помилку # ЧИСЛО !.

Як аргумент можна вказувати конкретне значення або посилання на клітинку з числовим значенням.

Розглянемо приклади.

Функція повернула квадратний корінь числа 36. Аргумент - певне значення.

Функція ABS повертає абсолютне значення числа -36. Її використання дозволило уникнути помилки при добуванні квадратного кореня з негативного числа.

Функція витягла квадратний корінь від суми 13 і значення комірки C1.



Функція піднесення до степеня в Excel

Синтаксис функції: \u003d РІВЕНЬ (значення; число). Обидва аргументи обов'язкові.

Значення - будь речовий числове значення. Число - показник ступеня, в яку потрібно звести задане значення.

Розглянемо приклади.

В осередку C2 - результат піднесення числа 10 в квадрат.

Функція повернула число 100, зведена до ¾.

Зведення до ступеня за допомогою оператора

Для зведення числа до ступеня в Excel, можна скористатися математичним оператором «^». Для його введення натиснути Shift + 6 (з англійською розкладкою клавіатури).

Щоб Excel сприймав інформацію, що вводиться як формулу, спочатку ставиться знак «\u003d». Далі водиться цифра, яку потрібно звести в ступінь. А після значка «^» - значення ступеня.

Замість будь-якого значення даної математичної формули можна використовувати посилання на комірки з цифрами.

Це зручно, якщо потрібно звести безліч значень.

Скопіювавши формулу на весь стовпець, швидко отримали результати зведення чисел в стовпці A в третю ступінь.

Витяг коренів n-го ступеня

Корінь - це функція квадратного кореня в Excel. А як витягувати корінь 3-й, 4-й і інший ступенів?

Згадаймо один з математичних законів: щоб витягти корінь n-й ступеня, необхідно звести число до степеня 1 / n.

Наприклад, щоб витягти кубічний корінь, зводимо число в ступінь 1/3.

Скористаємося формулою для вилучення коренів різних ступенів в Excel.

Формула повернула значення кубічного кореня з числа 21. Для введення в дробовий ступінь використовували оператор «^».


Перетворення виразів з коренями і ступенями часто вимагає виконання переходів від коренів до ступенями і назад. У цій статті ми розберемо, як такі переходи здійснюються, що лежить в їх основі, і в яких моментах найчастіше виникають помилки. Все це забезпечимо характерними прикладами з детальним розбором рішень.

Навігація по сторінці.

Перехід від ступенів з дробовими показниками до коріння

Можливість переходу від ступеня з дробовим показником до кореню диктується самим визначенням ступеня. Нагадаємо, як визначається: ступенем позитивного числа a з дробовим показником m / n, де m - ціле, а n - натуральне число, називають корінь n-го ступеня з am, тобто, де a\u003e 0, m∈Z, n∈ N. Аналогічно визначається і дрібна ступінь нуля , З тією лише різницею, що в цьому випадку m вже вважається не цілим, а натуральним, щоб не виникало ділення на нуль.

Таким чином, ступінь завжди можна замінити на корінь. Наприклад, від можна перейти до, а ступінь можна замінити коренем. А ось переходити від виразу до кореня не слід, так як ступінь самого початку не має сенсу (ступінь негативних чисел не визначена), незважаючи на те, що корінь має сенс.

Як бачите, в переході від ступенів чисел до коріння немає абсолютно нічого модерного. Аналогічно здійснюється перехід до коріння від ступенів з дробовими показниками, в основі яких знаходяться довільні вирази. Зауважимо, що зазначений перехід здійснюється на ОДЗ змінних для вихідного вираження. Наприклад, вираз на всій ОДЗ змінної x для цього виразу можна замінити коренем . А від ступеня перейти до кореня , Така заміна має місце для будь-якого набору змінних x, y і z з ОДЗ для вихідного вираження.

Заміна коренів ступенями

Можлива і зворотна заміна, тобто, заміна коренів на ступеня з дробовими показниками. В її основі також лежить рівність, яке в даному випадку використовується справа наліво, тобто, у вигляді.

Для позитивних a вказаний перехід очевидний. Наприклад, можна замінити ступенем, а від кореня перейти до ступеня з дробовим показником виду.

А при негативних a рівність не має сенсу, але корінь при цьому може мати сенс. Наприклад, коріння і мають сенс, але замінити їх ступенями і не можна. Так чи можна їх взагалі перетворити в вирази зі ступенями? Можна, якщо провести попередні перетворення, які полягають в переході до коріння з невід'ємними числами під ними, які потім і замінити ступенями з дробовими показниками. Покажемо, в чому полягають ці попередні перетворення і як їх провести.

У випадку з коренем дозволяють виконати такі перетворення: . А так як 4 - позитивне число, то останній корінь можна замінити ступенем. А в другому випадку визначення кореня непарного степеня з від'ємного числа -a (при цьому a - позитивне), що виражається рівністю , Дозволяє корінь замінити виразом, в якому кубічний корінь з двох уже можна замінити ступенем, і воно набуде вигляду.

Залишилося розібрати, як замінюються коріння, під якими знаходяться вирази, на ступеня, що містять ці вирази в підставі. Тут не варто поспішати з заміною на, буквою A ми позначили деякий вираз. Наведемо приклад, що пояснює, що під цим мається на увазі. Корінь так і хочеться замінити ступенем, грунтуючись на рівність. Але така заміна доречна лише за умови x-3≥0, а для інших значень змінної x з ОДЗ (б відповідала умовам x-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Через такого неакуратне застосування формули нерідко виникають помилки при переході від коренів до ступенями. Наприклад, в підручнику дано завдання, представити вирази у вигляді ступеня з раціональним показником, і наведено відповідь, який викликає питання, так як в умові не обмежений b\u003e 0. А в підручнику присутній перехід від вираження , Швидше за все через такі перетворення ірраціонального виразу

до вираження. Останній перехід також викликає питання, так як звужує ОДЗ.

Виникає закономірне питання: «Як же правильно перейти від кореня до ступеня для всіх значень змінних з ОДЗ»? Така заміна проводиться на базі наступних тверджень:


Перш ніж обґрунтувати записані результати, наведемо кілька прикладів їх використання для переходу від коренів до ступенями. Для початку повернемося до вираження. Його треба було замінювати нема на, а на (в даному випадку m \u003d 2 - ціле парне, n \u003d 3 - натуральне). Інший приклад: .

Тепер обіцяне обгрунтування результатів.

Коли m - ціле непарне, а n - натуральне парне, то для будь-якого набору змінних з ОДЗ для вираження значення виразу A позитивно (якщо m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Тому,.

Переходимо до другого результату. Нехай m - ціле позитивне непарне, а n - натуральне непарне. Для всіх значень змінних з ОДЗ, для яких значення виразу A неотрицательно, , А для яких негативно,

аналогічно доводиться наступного результат для цілих негативних і непарних m і натуральних непарних n. Для всіх значень змінних з ОДЗ, для яких значення виразу A позитивно, , А для яких негативно,

Нарешті, останній результат. Нехай m - ціле парне, n - будь-яке натуральне. Для всіх значень змінних з ОДЗ, для яких значення виразу A позитивно (якщо m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . А для яких негативно,. Таким чином, якщо m - ціле парне, n - будь-яке натуральне, то для будь-якого набору значень змінних з ОДЗ для вираження його можна замінити на.

Список літератури.

  1. алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин і ін .; Під ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е вид.- М .: Просвещение, 2004. 384 с .: іл.- ISBN 5-09-013651-3.
  2. алгебра і початку математичного аналізу. 11 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий і профілі. рівні / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; під ред. А. Б. Жижченко. - М .: Просвещение, 2009.- 336 с .: іл.- ISBN 979-5-09-016551-8.

Прийшов час розібрати способи добування коренів. Вони базуються на властивостях коренів, зокрема, на рівність, яке справедливо для будь-якого невід'ємного числа b.

Нижче ми по черзі розглянемо основні способи добування коренів.

Почнемо з найпростішого випадку - з вилучення коренів з натуральних чисел з використанням таблиці квадратів, таблиці кубів і т.п.

Якщо ж таблиці квадратів, кубів і т.п. немає під руками, то логічно скористатися способом добування кореня, який має на увазі розкладання подкоренного числа на прості множники.

Окремо варто зупинитися на, що можливо для коренів з непарними показниками.

Нарешті, розглянемо спосіб, що дозволяє послідовно знаходити розряди значення кореня.

Приступимо.

Використання таблиці квадратів, таблиці кубів і т.д.

У найпростіших випадках витягувати коріння дозволяють таблиці квадратів, кубів і т.д. Що ж являють собою ці таблиці?

Таблиця квадратів цілих чисел від 0 до 99 включно (вона показана нижче) складається з двох зон. Перша зона таблиці розташовується на сірому тлі, вона за допомогою вибору певного рядка і певного стовпця дозволяє скласти число від 0 до 99. Для прикладу виберемо рядок 8 десятків і стовпець 3 одиниці, цим ми зафіксували кількість 83. Друга зона займає частину таблиці. Кожна її осередок знаходиться на перетині певного рядка і певного стовпчика, і містить квадрат відповідного числа від 0 до 99. На перетині обраної нами рядки 8 десятків і стовпці 3 одиниці знаходиться осередок з числом 6 889 яке є квадратом числа 83.


Таблиці кубів, таблиці четверте ступенів чисел від 0 до 99 і так далі аналогічні таблиці квадратів, тільки вони в другій зоні містять куби, четверті ступеня і т.д. відповідних чисел.

Таблиці квадратів, кубів, четверте ступенів і т.д. дозволяють витягувати квадратний корінь, кубічні корені, корені четвертого ступеня і т.д. відповідно з чисел, що знаходяться в цих таблицях. Пояснимо принцип їх застосування при добуванні коренів.

Припустимо, нам потрібно витягти корінь n-го ступеня з числа a, при цьому число a міститься в таблиці n -их ступенів. З цієї таблиці знаходимо число b таке, що a \u003d b n. тоді , Отже, число b буде шуканим коренем n-го ступеня.

Як приклад покажемо, як за допомогою таблиці кубів витягується кубічний корінь з 19 683. Знаходимо число 19 683 в таблиці кубів, з неї знаходимо, що це число є кубом числа 27, отже, .


Зрозуміло, що таблиці n -их ступенів дуже зручні при добуванні коренів. Однак їх часто не надається під руками, а їх складання вимагає певного часу. Більш того, часто доводиться витягати коріння з чисел, які не містяться у відповідних таблицях. У цих випадках доводиться вдаватися до інших методів вилучення коренів.

Розкладання подкоренного числа на прості множники

Досить зручним способом, що дозволяє провести добування кореня з натурального числа (якщо звичайно корінь витягується), є розкладання подкоренного числа на прості множники. його суть полягає в наступному: Після його досить легко уявити у вигляді ступеня з потрібним показником, що дозволяє отримати значення кореня. Пояснимо цей момент.

Нехай з натурального числа a витягується корінь n-го ступеня, і його значення дорівнює b. В цьому випадку вірно рівність a \u003d b n. Число b як будь-яке натуральне число можна подати у вигляді добутку всіх своїх простих множників p 1, p 2, ..., pm у вигляді p 1 · p 2 · ... · pm, а підкореневе число a в цьому випадку представляється як (p 1 · p 2 · ... · pm) n. Так як розкладання числа на прості множники єдино, то розкладання подкоренного числа a на прості множники буде мати вигляд (p 1 · p 2 · ... · p m) n, що дає можливість обчислити значення кореня як.

Зауважимо, що якщо розкладання на прості множники подкоренного числа a не може бути представлено у вигляді (p 1 · p 2 · ... · p m) n, то корінь n-го ступеня з такого числа a остачі не виймається.

Розберемося з цим при вирішенні прикладів.

Приклад.

Вийміть квадратний корінь з 144.

Рішення.

Якщо звернутися до таблиці квадратів, даної в попередньому пункті, то добре видно, що 144 \u003d 12 2, звідки зрозуміло, що квадратний корінь з 144 дорівнює 12.

Але в світлі даного пункту нас цікавить, як витягується корінь за допомогою розкладання подкоренного числа 144 на прості множники. Розберемо цей спосіб вирішення.

розкладемо 144 на прості множники:

Тобто, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3. На підставі з отриманим розкладанням можна провести такі перетворення: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2 · 2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2 · 3) 2 \u003d 12 2. отже, .

Використовуючи властивості ступеня і властивості коренів, рішення можна було оформити і трохи інакше:.

відповідь:

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення ще двох прикладів.

Приклад.

Розрахуйте значення кореня.

Рішення.

Розклад на прості множники подкоренного числа 243 має вигляд 243 \u003d 3 5. Таким чином, .

відповідь:

Приклад.

Чи є значення кореня цілим числом?

Рішення.

Щоб відповісти на це питання, розкладемо підкореневе число на прості множники і подивимося, представимо воно у вигляді куба цілого числа.

Маємо 285 768 \u003d 2 3 • 3 6 ∙ 7 2. Отримане розкладання не представляється у вигляді куба цілого числа, так як ступінь простого множника 7 не кратна трьом. Отже, кубічний корінь з числа 285 768 не розгорнеться остачі.

відповідь:

Ні.

Витяг коренів з дрібних чисел

Прийшов час розібратися, як витягується корінь з дрібного числа. Нехай дробове підкореневе число записано в вигляді як p / q. Відповідно до властивості кореня з приватного справедливо наступне рівність. З цієї рівності випливає правило добування кореня з дробу: Корінь з дробу дорівнює частці від ділення кореня з чисельника на корінь з знаменника.

Розберемо приклад радикал з дробу.

Приклад.

Чому дорівнює квадратний корінь з звичайного дробу 25/169.

Рішення.

По таблиці квадратів знаходимо, що квадратний корінь з чисельника вихідної дробу дорівнює 5, а квадратний корінь з знаменника дорівнює 13. тоді . На цьому добування кореня з звичайного дробу 25/169 завершено.

відповідь:

Корінь з десяткового дробу або змішаного числа витягується після заміни підкореневих чисел звичайними дробами.

Приклад.

Вийміть кубічний корінь з десяткового дробу 474,552.

Рішення.

Уявімо вихідну десяткову дріб у вигляді звичайного дробу: 474,552 \u003d 474552/1000. тоді . Залишилося отримати кубічні корені, що знаходяться в чисельнику і знаменнику отриманої дробу. Так як 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 і 1 000 \u003d 10 3, то і . Залишилося лише завершити обчислення .

відповідь:

.

Витяг кореня з негативного числа

Окремо варто зупинитися на добуванні коренів з негативних чисел. При вивченні коренів ми сказали, що коли показник кореня є непарним числом, то під знаком кореня може перебувати негативне число. Таким записів ми додали наступний сенс: для негативного числа -a і непарного показника кореня 2 · n-1 справедливо . Це рівність дає правило вилучення коренів непарного степеня з негативних чисел: Щоб витягти корінь з від'ємного числа потрібно витягти корінь з протилежного йому позитивного числа, і перед отриманим результатом поставити знак мінус.

Розглянемо рішення прикладу.

Приклад.

Знайдіть значення кореня.

Рішення.

Перетворимо вихідне вираз, щоб під знаком кореня виявилося позитивне число: . Тепер змішане число замінимо звичайної дробом: . Застосовуємо правило добування кореня з звичайного дробу: . Залишилося обчислити корені в чисельнику і знаменнику отриманої дробу: .

Наведемо коротку запис рішення: .

відповідь:

.

Порязрядное знаходження значення кореня

У загальному випадку під коренем знаходиться число, яке за допомогою розібраних вище прийомів не вдається представити у вигляді n-го ступеня будь-якого числа. Але при цьому буває необхідність знати значення даного кореня, хоча б з точністю до деякого знака. В цьому випадку для вилучення кореня можна скористатися алгоритмом, який дозволяє послідовно отримати достатню кількість значень розрядів шуканого числа.

На першому кроці даного алгоритму потрібно з'ясувати, який старший розряд значення кореня. Для цього послідовно зводяться до рівня n числа 0, 10, 100, ... до того моменту, коли буде отримано число, що перевершує підкореневе число. Тоді число, яке ми зводили в ступінь n на попередньому етапі, вкаже відповідний старший розряд.

Для прикладу розглянемо цей крок алгоритму при добуванні квадратного кореня з п'яти. Беремо числа 0, 10, 100, ... і зводимо їх в квадрат, поки не отримаємо число, що перевершує 5. Маємо 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, значить, старшим розрядом буде розряд одиниць. Значення цього розряду, а також більш молодших, буде знайдено на наступних кроках алгоритму вилучення кореня.

Всі наступні кроки алгоритму мають на меті послідовне уточнення значення кореня за рахунок того, що знаходяться значення наступних розрядів шуканого значення кореня, починаючи від найстаршого, а просуваючись до молодших. Наприклад, значення кореня на першому кроці виходить 2, на другому - 2,2, на третьому - 2,23, і так далі 2,236067977 .... Опишемо, як відбувається знаходження значень розрядів.

Знаходження розрядів проводиться за рахунок перебору їх можливих значень 0, 1, 2, ..., 9. При цьому паралельно обчислюються n -і ступеня відповідних чисел, і вони порівнюються з подкоренное числом. Якщо на якомусь етапі значення ступеня перевершить підкореневе число, то значення розряду, відповідне попереднього значення, вважається знайденим, і проводиться перехід до наступного кроку алгоритму вилучення кореня, якщо ж цього не відбувається, то значення цього розряду дорівнює 9.

Пояснимо ці моменти все на тому ж прикладі добування квадратного кореня з п'яти.

Спочатку знаходимо значення розряду одиниць. Будемо перебирати значення 0, 1, 2, ..., 9, обчислюючи відповідно 0 2, 1 2, ..., 9 2 до того моменту, поки не отримаємо значення, більше подкоренного числа 5. Всі ці обчислення зручно представляти у вигляді таблиці:

Так значення розряду одиниць дорівнює 2 (так як 2 2<5 , а 2 3 >5). Переходимо до знаходження значення розряду десятих. При цьому будемо зводити в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2, ..., 2,9, порівнюючи отримані значення з подкоренное числом 5:

Так як 2,2 2<5 , а 2,3 2 >5, то значення розряду десятих дорівнює 2. Можна переходити до знаходження значення розряду сотих:

Так знайдено таке значення кореня з п'яти, воно дорівнює 2,23. І так можна продовжувати далі знаходити значення: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Для закріплення матеріалу розберемо добування кореня з точністю до сотих за допомогою розглянутого алгоритму.

Спочатку визначаємо старший розряд. Для цього будуємо в куб числа 0, 10, 100 і т.д. поки не отримаємо число, що перевершує 2 151,186. Маємо 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, таким чином, старшим розрядом є розряд десятків.

Визначимо його значення.

Тому що 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, то значення розряду десятків дорівнює 1. Переходимо до одиниць.

Таким чином, значення розряду одиниць дорівнює 2. Переходимо до десятих.

Так як навіть 12,9 3 менше подкоренного числа 2 151,186, то значення розряду десятих дорівнює 9. Залишилося виконати останній крок алгоритму, він нам дасть значення кореня з необхідною точністю.

На цьому етапі знайдено значення кореня з точністю до сотих: .

На закінчення цієї статті хочеться сказати, що існує маса інших способів вилучення коренів. Але для більшості завдань достатньо тих, які ми вивчили вище.

Список літератури.

  • Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
  • Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін. Алгебра і початки аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
  • Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

формули ступенів використовують в процесі скорочення та спрощення складних виразів, в рішенні рівнянь і нерівностей.

число c є n-ної ступенем числа a коли:

Операції зі ступенями.

1. Примножуючи ступеня з однаковим підставою їх показники складаються:

a m· A n \u003d a m + n.

2. У розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники вираховуються:

3. Ступінь твори 2-х або більшої кількості множників дорівнює добутку ступенів цих співмножників:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Ступінь дробу дорівнює відношенню ступенів діленого і дільника:

(A / b) n \u003d a n / b n.

5. Зводячи ступінь в ступінь, показники ступенів перемножують:

(A m) n \u003d a m n.

Кожна вищенаведена формула вірна в напрямках зліва направо і навпаки.

наприклад. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15² \u003d 900/225 \u003d 4.

Операції з корінням.

1. Корінь з твору декількох співмножників дорівнює добутку коренів з цих співмножників:

2. Корінь з відносини дорівнює відношенню діленого і дільника коренів:

3. При зведенні кореня в ступінь досить звести до цього степеня подкоренное число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в n раз і в той же час звести в n-у ступінь подкоренное число, то значення кореня не поміняється:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в n раз і в той же час витягти корінь n-го ступеня з подкоренного числа, то значення кореня не поміняється:

Ступінь з негативним показником.Ступінь деякого числа з непозитивним (цілим) показником визначають як одиницю, поділену на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютній величині непозитивним показника:

формулу a m: A n \u003d a m - n можна використовувати не тільки при m> n , Але і при m< n.

наприклад. a 4: a 7 \u003d a 4 - 7 \u003d a -3.

щоб формула a m: A n \u003d a m - n стала справедливою при m \u003d n, Потрібна присутність нульової ступеня.

Ступінь з нульовим показником.Ступінь всякого числа, які не рівного нулю, з нульовим показником дорівнює одиниці.

наприклад. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Ступінь з дробовим показником.Щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, Необхідно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а.