З ними знаходяться всередині логарифмів.

приклади:

\\ (\\ Log_3\u2061x≥ \\ log_3\u20619 \\)
\\ (\\ Log_3\u2061 ((x ^ 2-3))< \log_3⁡{(2x)}\)
\\ (\\ Log_ (x + 1) \u2061 ((x ^ 2 + 3x-7))\u003e 2 \\)
\\ (\\ Lg ^ 2\u2061 ((x + 1)) + 10≤11 \\ lg\u2061 ((x + 1)) \\)

Як вирішувати логарифмічні нерівності:

Будь-яке логарифмічна нерівність потрібно прагнути привести до виду \\ (\\ log_a\u2061 (f (x)) ˅ \\ log_a (\u2061g (x)) \\) (символ \\ (˅ \\) означає будь-який з). Такий вид дозволяє позбутися від логарифмів і їх підстав, зробивши перехід до нерівності виразів під логарифмами, тобто до виду \\ (f (x) ˅ g (x) \\).

Але при виконанні цього переходу є одна дуже важлива тонкість:
\\ (- \\) якщо - число і воно більше 1 - знак нерівності при переході залишається колишнім,
\\ (- \\) якщо підстава - число більше 0, але менше 1 (лежить між нулем і одиницею), то знак нерівності повинен змінюватися на протилежний, тобто

приклади:

\\ (\\ Log_2\u2061 ((8-x))<1\)
ОДЗ: \\ (8-x\u003e 0 \\)
\\ (- x\u003e -8 \\)
\\ (X<8\)

Рішення:
\\ (\\ Log \\) \\ (_ 2 \\) \\ ((8-x)<\log\)\(_2\) \({2}\)
\\ (8-x \\) \\ (<\) \(2\)
\(8-2 \\ (X\u003e 6 \\)
Відповідь: \\ ((6; 8) \\)

\\ (\\ Log \\) \\ (_ (0,5\u2061) \\) \\ ((2x-4) \\) ≥ \\ (\\ log \\) \\ (_ (0,5) \\) \u2061 \\ (((x + 1)) \\)
ОДЗ: \\ (\\ begin (cases) 2x-4\u003e 0 \\\\ x + 1\u003e 0 \\ end (cases) \\)
\\ (\\ Begin (cases) 2x\u003e 4 \\\\ x\u003e -1 \\ end (cases) \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (\\ begin (cases) x\u003e 2 \\\\ x\u003e -1 \\ end (cases) \\) \\ (\\ Leftrightarrow \\) \\ (x \\ in (2; \\ infty) \\)

Рішення:
\\ (2x-4 \\) \\ (≤ \\) \\ (x + 1 \\)
\\ (2x-x≤4 + 1 \\)
\\ (X≤5 \\)
Відповідь: \\ ((2; 5] \\)

Дуже важливо! У будь-якому нерівності перехід від виду \\ (\\ log_a (\u2061f (x)) ˅ \\ log_a\u2061 (g (x)) \\) до порівняння виразів під логарифмами можна робити тільки якщо:


приклад . Вирішити нерівність: \\ (\\ log \\) \\ (≤-1 \\)

Рішення:

\\ (\\ Log \\) \\ (_ (\\ Frac (1) (3)) \u2061 (\\ frac (3x-2) (2x-3)) \\)\(≤-1\)

Випишемо ОДЗ.

ОДЗ: \\ (\\ frac (3x-2) (2x-3) \\) \\ (\u003e 0 \\)

\\ (\u2061 \\ frac (3x-2-3 (2x-3)) (2x-3) \\)\(≥\) \(0\)

Розкриваємо дужки, наводимо.

\\ (\u2061 \\ frac (-3x + 7) (2x-3) \\) \\ (≥ \\) \\ (0 \\)

Множимо нерівність на \\ (- 1 \\), не забувши при цьому перевернути знак порівняння.

\\ (\u2061 \\ frac (3x-7) (2x-3) \\) \\ (≤ \\) \\ (0 \\)

\\ (\u2061 \\ frac (3 (x- \\ frac (7) (3))) (2 (x- \\ frac (3) (2))) \\)\(≤\) \(0\)

Побудуємо числову вісь і відзначимо на ній точки \\ (\\ frac (7) (3) \\) і \\ (\\ frac (3) (2) \\). Зверніть увагу, точка з знаменника - виколоти, незважаючи на те, що нерівність Нечитка. Справа в тому, що ця точка не буде вирішенням, так як при підстановці в нерівність приведе нас до поділу на нуль.


\\ (X∈ (\\) \\ (\\ frac (3) (2) \\) \\ (; \\) \\ (\\ frac (7) (3)] \\)

Тепер на ту ж числову вісь наносимо ОДЗ і записуємо у відповідь той проміжок, який потрапляє в ОДЗ.


Записуємо остаточну відповідь.

відповідь: \\ (X∈ (\\) \\ (\\ frac (3) (2) \\) \\ (; \\) \\ (\\ frac (7) (3)] \\)

приклад . Вирішити нерівність: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)

Рішення:

\\ (\\ Log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)

Випишемо ОДЗ.

ОДЗ: \\ (x\u003e 0 \\)

Приступимо до вирішення.

Рішення: \\ (\\ log ^ 2_3\u2061x- \\ log_3\u2061x-2\u003e 0 \\)

Перед нами типова квадратно-логарифмічна нерівність. Робимо.

\\ (T \u003d \\ log_3\u2061x \\)
\\ (T ^ 2-t-2\u003e 0 \\)

Розкладаємо ліву частину нерівності на.

\\ (D \u003d 1 + 8 \u003d 9 \\)
\\ (T_1 \u003d \\ frac (1 + 3) (2) \u003d 2 \\)
\\ (T_2 \u003d \\ frac (1-3) (2) \u003d - 1 \\)
\\ ((T + 1) (t-2)\u003e 0 \\)

Тепер потрібно повернутися до вихідної змінної - Іксу. Для цього перейдемо до, має таке ж рішення, і зробимо зворотну заміну.

\\ (\\ Left [\\ begin (gathered) t\u003e 2 \\\\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\\\ \\ log_3\u2061x<-1 \end{gathered} \right.\)

Перетворюємо \\ (2 \u003d \\ log_3\u20619 \\), \\ (- 1 \u003d \\ log_3\u2061 \\ frac (1) (3) \\).

\\ (\\ Left [\\ begin (gathered) \\ log_3\u2061x\u003e \\ log_39 \\\\ \\ log_3\u2061x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Робимо перехід до порівняння аргументів. Підстави у логарифмів більше \\ (1 \\), тому знак нерівностей не змінюється.

\\ (\\ Left [\\ begin (gathered) x\u003e 9 \\\\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

З'єднаємо рішення нерівності і ОДЗ на одному малюнку.


Запишемо відповідь.

відповідь: \\ ((0; \\ frac (1) (3)) ∪ (9; ∞) \\)

при вирішенні логарифмічних нерівностей за основу беремо властивості логарифмічних функцій. А саме те, що функція у\u003d log a x при а\u003e 1 буде монотонно зростаючою, а при 0< а< 1 - монотонно убывающей.

проаналізуємо перетвореннянеобхідні для вирішення нерівності

log 1/5 (x - l)\u003e - 2.

Спочатку потрібно зрівняти підстави логарифмів, В зазначеному випадку показати праву частину у вигляді логарифма з необхідним підставою. перетворимо -2 \u003d -2 log 1/5 1/5 \u003d log 1/5 1/5 -2 \u003d log 1/5 25, Далі вкажемо вбрання нерівність у вигляді:

log 1/5 (x- l)\u003e log 1/5 25.

функція у \u003d Log 1/5 x буде монотонно спадної. Виходить, більшому значенню цієї функції відповідає менше значення аргументу. І відповідно маємо, х—1 < 25. К указанному неравенству требуется добавить еще неравенство х - 1\u003e 0, що відповідає тому факту, що під знаком логарифмаможе бути тільки позитивна величина. Виходить, що таку нерівність ідентично системі двох лінійних нерівностей. З огляду на, що підстава логарифма менше одиниці, в ідентичній системі знак нерівності змінюється на протилежний:

Вирішивши яке бачимо, що:

1 < х < 26.

Має велике значення не забути умова х- 1\u003e 0, інакше вийде не правильний висновок: х< 26. Тогда бы в эти «решения» входило бы и значение х = 0, при котором левая часть первоначального неравенства не существует.

Мета уроку:

дидактичні:

  • 1 рівень - навчити вирішувати найпростіші логарифмічні нерівності, застосовуючи визначення логарифма, властивості логарифмів;
  • 2 рівень - вирішувати логарифмічні нерівності, вибираючи самостійно спосіб вирішення;
  • 3 рівень - вміти застосовувати знання і вміння в нестандартних ситуаціях.

Розвиваючі: розвивати пам'ять, увагу, логічне мислення, навички порівняння, вміти узагальнювати і робити висновки

виховні:виховувати акуратність, відповідальність за яке виконує завдання, взаємодопомога.

Методи навчання: словесний , наочний , практичний , частково-пошуковий , самоврядування , контролю.

Форми організації пізнавальної діяльності учнів: фронтальний , індивідуальний , робота в парах.

устаткування: набір тестових завдань, опорний конспект, чисті аркуші для рішень.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу.

Хід уроку

1. Організаційний момент. Оголошуються тема і мети уроку, схема проведення уроку: кожному учневі видається оціночний лист, який учень заповнює протягом уроку; для кожної пари учнів - друковані матеріали із завданнями, виконувати завдання потрібно в парах; чисті аркуші для рішень; опорні листи: визначення логарифма; графік логарифмічною функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм вирішення логарифмічних нерівностей.

Всі рішення після самооцінки здаються вчителю.

Оціночний лист учня

2. Актуалізація знань.

Вказівки вчителя. Згадайте визначення логарифма, графік логарифмічною функції і її властивості. Для цього прочитайте текст на с.88-90, 98-101 підручника "Алгебра і початки аналізу 10-11» під редакцією Ш.А Алімова, Ю.М Колягина і ін.

Учням лунають листи, на яких записані: визначення логарифма; зображено графік логарифмічною функції, її властивості; властивості логарифмів; алгоритм вирішення логарифмічних нерівностей, приклад рішення логарифмічного нерівності, що зводиться до квадратному.

3. Вивчення нового матеріалу.

Рішення логарифмічних нерівностей засноване на монотонності логарифмічної функції.

Алгоритм рішення логарифмічних нерівностей:

А) Знайти область визначення нерівності (подлогаріфміческое вираз більше нуля).
Б) Уявити (якщо можливо) ліву і праву частини нерівності у вигляді логарифмів по одному і тій же підставі.
В) Визначити, зростаючій або спадної є логарифмічна функція: якщо t\u003e 1, то зростаюча; якщо 0 1, то спадна.
Г) Перейти до простішого нерівності (подлогаріфміческіх виразів), враховуючи, що знак нерівності збережеться, якщо функція зростає, і зміниться, якщо вона убуває.

Навчальний елемент № 1.

Мета: закріпити рішення найпростіших логарифмічних нерівностей

Форма організації пізнавальної діяльності учнів: індивідуальна робота.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин. Для кожного нерівності є кілька варіантів відповідей, потрібно вибрати правильний і перевірити по ключу.


КЛЮЧ: 13321, максимальна к-ть балів - 6 б.

Навчальний елемент № 2.

Мета: закріпити рішення логарифмічних нерівностей, застосовуючи властивості логарифмів.

Вказівки вчителя. Згадайте основні властивості логарифмів. Для цього прочитайте текст підручника на с.92, 103-104.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин.

КЛЮЧ: 2113, максимальна к-ть балів - 8 б.

Навчальний елемент № 3.

Мета: вивчити рішення логарифмічних нерівностей методом зведення до квадратного.

Вказівки вчителя: метод відомості нерівності до квадратному полягає в тому, що потрібно перетворити нерівність до такого виду, щоб деяку логарифмічну функцію позначити нової змінної, отримавши при цьому квадратне нерівність щодо цієї змінної.

Застосуємо метод інтервалів.

Ви пройшли перший рівень засвоєння матеріалу. Тепер вам доведеться самостійно вибрати метод вирішення логарифмічних рівнянь, використовуючи всі свої знання і можливості.

Навчальний елемент № 4.

Мета: закріпити рішення логарифмічних нерівностей, вибравши самостійно раціональний спосіб вирішення.

Завдання для самостійної роботи на 10 хвилин

Навчальний елемент № 5.

Вказівки вчителя. Молодці! Ви освоїли рішення рівнянь другого рівня складності. Метою подальшої вашої роботи є застосування своїх знань і умінь в більш складних і нестандартних ситуаціях.

Завдання для самостійного рішення:

Вказівки вчителя. Чудово, якщо ви впоралися з усім завданням. Молодці!

Оцінка за весь урок залежить від числа набраних балів з усіх навчальних елементів:

  • якщо N ≥ 20, то ви отримуєте оцінку "5",
  • при 16 ≤ N ≤ 19 - оцінка "4",
  • при 8 ≤ N ≤ 15 - оцінка "3",
  • при N< 8 выполнить работу над ошибками к следующему уроку (решения можно взять у учителя).

Оціночні лисиці здати вчителю.

5. Домашнє завдання: якщо ви набрали не більше 15 б - виконайте роботу над помилками (рішення можна взяти у вчителя), якщо ви набрали більше 15 б - виконайте творче завдання по темі "Логарифмічні нерівності".

рішення нерівності в режимі онлайн рішення майже будь-якого заданого нерівності онлайн. математичні нерівності онлайн для вирішення математики. швидко знайти рішення нерівності в режимі онлайн. Сайт www.сайт дозволяє знайти рішення майже будь-якого заданого алгебраїчного, тригонометричного або трансцендентного нерівності онлайн. При вивченні практично будь-якого розділу математики на різних етапах доводиться вирішувати нерівності онлайн. Щоб отримати відповідь відразу, а головне точну відповідь, необхідний ресурс, що дозволяє це зробити. Завдяки сайту www.сайт рішення нерівності онлайн займе кілька хвилин. Основна перевага www.сайт при вирішенні математичних нерівності онлайн - це швидкість і точність його видають відповіді. Сайт здатний вирішувати будь-які алгебраїчні нерівності онлайн, тригонометричні нерівності онлайн, трансцендентні нерівності онлайн, а також нерівності з невідомими параметрами в режимі онлайн. нерівності служать потужним математичним апаратом рішення практичних завдань. C допомогою математичних нерівностей можна висловити факти і співвідношення, які можуть здатися на перший погляд заплутаними і складними. невідомі величини нерівностей можна знайти, сформулювавши завдання на математичному мовою у вигляді нерівностей і вирішити отриману задачу в режимі онлайн на сайті www.сайт. Будь-яке алгебраїчне нерівність, тригонометрическое нерівність або нерівності містять трансцендентні функції Ви легко вирішите онлайн і отримаєте точну відповідь. Вивчаючи природні науки, неминуче стикаєшся з необхідністю рішення нерівностей. При цьому відповідь повинен бути точним і отримати його необхідно відразу в режимі онлайн. Тому для рішення математичних нерівностей онлайн ми рекомендуємо сайт www.сайт, який стане вашим незамінним калькулятором для рішення алгебраїчних нерівностей онлайн, тригонометричних нерівностей онлайн, а також трансцендентних нерівностей онлайн або нерівностей з невідомими параметрами. Для практичних завдань по знаходженню інетравол рішень різних математичних нерівностей ресурсу www .. Вирішуючи нерівності онлайн самостійно, корисно перевірити отриману відповідь, використовуючи онлайн рішення нерівностей на сайті www.сайт. Необхідно правильно записати нерівність і моментально отримаєте онлайн рішення, Після чого залишиться тільки порівняти відповідь з Вашим рішенням нерівності. Перевірка відповіді займе не більше хвилини, досить вирішити нерівність онлайн і порівняти відповіді. Це допоможе Вам уникнути помилок в рішенні і вчасно скорегувати відповідь при рішенні нерівностей онлайн будь то алгебраїчне, тригонометрическое, трансцендентне або нерівність з невідомими параметрами.

Логарифмическим рівнянням і нерівностям в варіантах ЄДІ з математики присвячена задача C3 . Навчитися вирішувати завдання C3 з ЄДІ з математики повинен кожен учень, якщо він хоче здати майбутній іспит на «добре» або «відмінно». У даній статті представлений короткий огляд найпоширеніших логарифмічних рівнянь і нерівностей, а також основних методів їх вирішення.

Отже, розберемо сьогодні кілька прикладів логарифмічних рівнянь і нерівностей, Які пропонувалися учням в варіантах ЄДІ з математики минулих років. Але почне з короткого викладення основних теоретичних моментів, які нам знадобляться для їх вирішення.

логарифмічна функція

визначення

функцію виду

0, \\, a \\ ne 1 \\] "title \u003d" (! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

називають логарифмічною функцією.

Основні властивості

Основні властивості логарифмічної функції y \u003d log a x:

Графіком логарифмічної функції є логарифмічна крива:


властивості логарифмів

логарифм твори двох позитивних чисел дорівнює сумі логарифмів цих чисел:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів цих чисел:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

якщо a і b a ≠ 1, то для будь-якого числа r справедливо рівність:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

рівність log a t \u003d log a s, де a > 0, a ≠ 1, t > 0, s \u003e 0, справедливо тоді і тільки тоді, коли t = s.

якщо a, b, c - позитивні числа, причому a і c відмінні від одиниці, то має місце рівність ( формула переходу до нового основи логарифма):

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Теорема 1. якщо f(x)\u003e 0 і g(x)\u003e 0, то логарифмічна рівняння log a f(x) \u003d Log a g(x) (Де a > 0, a ≠ 1) рівносильне рівнянню f(x) = g(x).

Рішення логарифмічних рівнянь і нерівностей

Приклад 1. Розв'яжіть рівняння:

Рішення. В область допустимих значень входять тільки ті x, При яких вираз, що знаходиться під знаком логарифма, більше нуля. Ці значення визначаються наступною системою нерівностей:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

З урахуванням того що

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

отримуємо проміжок, який визначає область допустимих значень даного логарифмічного рівняння:

На підставі теореми 1, всі умови якої тут виконані, переходимо до наступного рівносильному квадратичним рівнянням:

В область допустимих значень входить тільки перший корінь.

відповідь: x \u003d 7.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння:

Рішення. Область допустимих значень рівняння визначається системою нерівностей:

ql-right-eqno "\u003e

Рішення.Область допустимих значень рівняння визначається тут легко: x > 0.

Використовуємо підстановку:

Рівняння набуває вигляду:

Зворотній підстановка:

обидва відповіді входять в область допустимих значень рівняння, оскільки є позитивними числами.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння:

Рішення.Знову почнемо рішення з визначення області допустимих значень рівняння. Вона визначається наступною системою нерівностей:

ql-right-eqno "\u003e

Підстави логарифмів однакові, тому в області допустимих значень можна перейти до наступного квадратного рівняння:

Перший корінь не входить в область допустимих значень рівняння, другий - входить.

відповідь: x = -1.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння:

Рішення. Будемо шукати рішення в проміжку x > 0, x≠ 1. Перетворимо рівняння до рівносильному:

обидва відповіді входять в область допустимих значень рівняння.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння:

Рішення. Система нерівностей, що визначає область допустимих значень рівняння, має на цей раз вигляд:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Використовуючи властивості логарифма, перетворимо рівняння до рівносильному в області допустимих значень рівняння:

Використовуючи формулу переходу до нового основи логарифма, отримуємо:

В область допустимих значень входить тільки один відповідь: x = 4.

Перейдемо тепер до логарифмическим неравенствам . Це якраз те, з чим вам доведеться мати справу на ЄДІ з математики. Для вирішення подальших прикладів нам буде потрібно наступна теорема:

Теорема 2. якщо f(x)\u003e 0 і g(x)\u003e 0, то:
при a \u003e 1 логарифмічна нерівність log a f(x)\u003e Log a g(x) Рівносильна нерівності того ж сенсу: f(x) > g(x);
при 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x)\u003e Log a g(x) Рівносильна нерівності протилежного змісту: f(x) < g(x).

Приклад 7. Вирішіть нерівність:

Рішення. Почнемо з визначення області допустимих значень нерівності. Вираз, що стоїть під знаком логарифмічною функції, має приймати тільки позитивні значення. Це означає, що шукана область допустимих значень визначається наступною системою нерівностей:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Так як в основі логарифма стоїть число, менше одиниці, відповідна логарифмічна функція буде спадною, а тому рівносильним по теоремі 2 буде перехід до наступного квадратичному нерівності:

Остаточно, з урахуванням області допустимих значень отримуємо відповідь:

Приклад 8. Вирішіть нерівність:

Рішення. Знову почнемо з визначення області допустимих значень:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

На безлічі допустимих значень нерівності проводимо рівносильні перетворення:

Після скорочення і переходу до рівносильному по теоремі 2 нерівності отримуємо:

З урахуванням області допустимих значень отримуємо остаточний відповідь:

Приклад 9. Вирішіть логарифмічна нерівність:

Рішення. Область допустимих значень нерівності визначається наступною системою:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Видно, що в області допустимих значень вираз, що стоїть в основі логарифма, завжди більше одиниці, а тому рівносильним по теоремі 2 буде перехід до наступного нерівності:

З урахуванням області допустимих значень отримуємо остаточну відповідь:

Приклад 10. Вирішіть нерівність:

Рішення.

Область допустимих значень нерівності визначається системою нерівностей:

Title \u003d "(! LANG: Rendered by QuickLaTeX.com">!}

I спосіб. Скористаємося формулою переходу до нового основи логарифма і перейдемо до рівносильному в області допустимих значень нерівності.