Розглянемо рішення наступних завдань.

1. Через ділянку тіла тварини проходить імпульс струму, який змінюється з часом за законом мА. Тривалість імпульсу 0,1 с. Визначити роботу, що здійснюються струмом за цей час, якщо опір ділянки дорівнює 20 кОм.

За малий інтервал часу d t, Коли струм практично не змінюється, на опорі R відбувається робота. За час всього імпульсу буде здійснена робота

.

Підставляючи в отримане вираз значення струму, отримаємо.

2. Швидкість точки дорівнює (М / с). знайти шлях S, Пройдений точкою за час t\u003d 4с, що минув від початку руху.

Знайдемо шлях, пройдений точкою за нескінченно малий проміжок часу. Так як протягом цього часу швидкість можна вважати постійної, то. Інтегруючи, маємо

3. Знайти силу тиску рідини на вертикальну трикутну пластину з підставою a і висотою h, Занурену в рідину так, що її вершина лежить на поверхні.

Систему координат розташуємо, як показано на рис. 5.

Розглянемо горизонтальну нескінченно малу смужку товщиною d x, Що знаходиться на довільній глибині x. Приймаючи цю смужку за прямокутник, знайдемо її підставу EF. З подоби трикутників ABC і AEF отримуємо

Тоді площа смужки дорівнює

Так як сила P тиску рідини на площадку S, Глибина занурення якої r, Згідно із законом Паскаля дорівнює

де r- щільність рідини, g- прискорення сили тяжіння, то шукана сила тиску на розглянуту майданчик d S обчислюється за формулою

.

Отже, сила тиску P рідини на площадку ABC

.

вирішити завдання.

5.41 Швидкість руху точки визначається рівнянням см / с. Знайти шлях, пройдений точкою за час t\u003d 5с, що минув від початку руху.

5.42 Швидкість тіла виражається формулою м / с. Знайти шлях, пройдений тілом за перші три секунди після початку руху.

5.43 Швидкість руху тіла визначається рівнянням см / с. Який шлях пройде тіло за третю секунду руху?

5.44 Два тіла починають рухатися одночасно з однієї і тієї ж точки: одна зі швидкістю (м / хв), а інший зі швидкістю (м / хв). На якій відстані один від одного вони будуть через 10 хв, якщо рухаються по одній лінії в одному напрямку?

5.45 На тіло масою 5 г, що рухається прямолінійно, діє сила (дин). Знайти відстань, пройдену тілом протягом третьої секунди руху.

5.46 Швидкість хитається точки змінюється за законом (См / с). Визначити зміщення точки через 0,1 с після початку руху.

5.47 Яку роботу потрібно зробити, щоб розтягнути пружину на 0,06 м, якщо сила в 1Н розтягує її на 0,01 м?

5.48 Швидкість хитається точки змінюється за законом (М / с). Визначити шлях, пройдений точкою за з від початку руху.

5.49 Азот, маса якого 7 г, розширюється при постійній температурі, яка дорівнює 300 ° К так, що його обсяг збільшується вдвічі. Визначити роботу, що здійснюються газом. Універсальна газова стала Дж / кмоль.

5.50 Яку роботу треба зробити, щоб розтягнути пружину довжиною в 25 см до довжини в 35 см, якщо відомо, що коефіцієнт жорсткості пружини дорівнює 400 Н / м?

5.51 Через тіло тварини проходить імпульс струму, який змінюється з часом за законом (мА). Тривалість імпульсу дорівнює 0,1 с. Визначити заряд, що протікає через тіло тварини.

5.52 Яка робота здійснюється при розтягуванні м'язи на l мм, якщо відомо, що при навантаженні P 0 м'яз розтягується на l 0 мм? Вважати, що сила, необхідна для розтягування м'язів, пропорційна її подовженню.

5.53 Тіло рухається в деякому середовищі прямолінійно за законом. Опір середовища пропорційно квадрату швидкості. Знайти роботу, вироблену силою опору середовища при пересуванні тіла від S\u003d 0 до S=a метрів.

ЄП 01 МАТЕМАТИКА

Збірник завдань для позааудиторної самостійної роботи по темі: «Застосування визначеного інтеграла для вирішення фізичних задач».

для спеціальності:

100126 Сервіс родинної злагоди і комунального господарства

Вологда 2013

Математика:Збірник завдань для позааудиторної самостійної роботи по темі: «Застосування визначеного інтеграла для розв'язування фізичних задач» для спеціальності: 100126 Сервіс родинної злагоди і комунального господарства

Даний збірник завдань для позааудиторної самостійної роботи по темі: «Застосування визначеного інтеграла для розв'язування фізичних задач» є навчально-методичний посібник з організації самостійної позааудиторної роботи студентів.

Містить завдання для самостійної позааудиторної роботи для шести варіантів і критерії оцінки виконання самостійної роботи.

Комплект покликаний допомогти студентам систематизувати і закріпити отримані на аудиторних заняттях з математики теоретичний матеріал, сформувати практичні навички.

Укладач: Є. А. Севалёва - викладач математики вищої категорії БОУ СПО ВО «Вологодський будівельний коледж»

1. Пояснювальна записка.

2. Самостійна робота.

3. Критерії оцінки.

4. Література.

Пояснювальна записка

Дана робота є навчально-методичний посібник з організації самостійної позааудиторної роботи студентів з дисципліни ЄП 01 «Математика» для спеціальності 100126 Сервіс родинної злагоди і комунального господарства.

Мета методичних вказівок полягає в забезпеченні ефективності самостійної роботи, визначенні її змісту, встановлення вимог до оформлення і результатами самостійної роботи.

Цілями самостійної роботи студентів з дисципліни ЄП 01 «Математика» є:

· Систематизації та закріплення отриманих теоретичних знань і практичних навичок;

· Поглиблення і розширення теоретичних знань;

· Формування умінь використовувати довідкову та додаткову літературу;

· розвиток пізнавальних здібностей і активності студентів, творчої ініціативи, самостійності і самоорганізації;

· Активізації навчально-пізнавальної діяльності майбутніх фахівців.

Самостійні роботи виконуються індивідуально у вільний від занять час.

Студент зобов'язаний:

  • перед виконанням самостійної роботи, повторити теоретичний матеріал, пройдений на аудиторних заняттях;
  • виконати роботу відповідно до завдання;
  • по кожній самостійної роботи уявити викладачеві звіт у вигляді письмової роботи.

Самостійна робота по темі:

«Застосування визначеного інтеграла для розв'язування фізичних задач»

мета:навчитися застосовувати певний інтеграл для вирішення фізичних завдань.

Теорія.

Обчислення шляху, пройденого точкою.

Шлях, пройдений точкою при нерівномірному русі по прямій зі змінною швидкістю а проміжок часу від до, обчислюється за формулою

…… (1)

Приклад 1. м / с. Знайти шлях, пройдений точкою за 10 з від початку руху.

Рішення: згідно з умовою , , .

За формулою (1) знаходимо:

Відповідь:.

Приклад 2.Швидкість руху точки змінюється за законом м / с. Знайти шлях, пройдений точкою за 4-у секунду.

Рішення:згідно з умовою , ,

отже:

Відповідь:.

Приклад 3.Швидкість руху точки змінюється за законом м / с. Знайти шлях, пройдений точкою від початку руху до її зупинки.

Рішення:

· Швидкість точки дорівнює 0 в момент початку руху і в момент зупинки.

· Визначимо, в який момент часу точка зупиниться, для цього вирішимо рівняння:

Тобто , .

· По формулі (1) знаходимо:

Відповідь:.

Обчислення роботи сили.

Робота, проведена змінної силою при переміщенні по осі Ох матеріальної точки від х \u003d адо х \u003d , Знаходиться за формулою:

…… (2)

При вирішенні завдань на обчислення роботи сили часто використовується закон Гука: ...... (3), де

сила ( Н);

х - абсолютне подовження (стиск) пружини, викликане силою ( м);

Коефіцієнт пропорційності ( Н / м).

Приклад 4.Обчислити роботу сили при стисненні пружини на 0,04 м, Якщо для стиснення її на 0,01 м потрібна сила 10 Н.

Рішення:

· Так як х \u003d0,01 м при силі \u003d 10 Н

, Знаходимо, тобто .

відповідь:Дж.

Приклад 5.Пружина в спокійному стані має довжину 0,2 м. Сила в 50 Н розтягує пружину на 0,01 м. Яку роботу треба зробити, щоб розтягнути пружину від 0,22 м до 0,32 м?

Рішення:

· Так як х \u003d0,01 при силі \u003d 50 Н, То, підставляючи ці значення в рівність (3):, отримаємо:

· Підставивши тепер в цей же рівність знайдене значення , Знаходимо, тобто .

· Знаходимо межі інтегрування: м, м.

· Шукану роботу знайдемо за формулою (2):

Тест по темі «Кінематика» Варіант 1.

1. Відстань між початковим і кінцевим пунктом - це:

А) шлях Б) переміщення В) зміщення Г) траєкторія

2. В якому з наступних випадків рух тіла можна розглядати як рух матеріальної точки?

А) Рух Землі навколо Сонця. Б) Рух супутника навколо Землі.

В) Політ літака з Владивостока в Москву. Г) Обертання деталі, що обробляється на

верстаті

3. Які з перерахованих величин є скалярними?
А) переміщення Б) шлях В) швидкість

4 . Що вимірює спідометр автомобіля?
А) прискорення; Б) модуль миттєвої швидкості;
В) середню швидкість; Г) переміщення

5. Яка одиниця часу є основною в Міжнародній системі одиниць?
А) 1год Б) 1 хв В) 1 з Г) 1 добу.

6. Два автомобіля рухаються по прямому шосе в одному напрямку. Якщо направити вісь ОХ вздовж напрямку руху тіл по шосе, тоді якими будуть проекції швидкостей автомобілів на вісь ОХ?


7. Автомобіль об'їхав Москву по кільцевій дорозі, довжина якої 109 км. Чому рівні пройдений шлях l і переміщення S автомобіля?
A) l \u003d 109 км; S \u003d 0 Б) l \u003d 218 км S \u003d 109 КМВ) l \u003d 218 км; S \u003d 0. Г) l \u003d 109 км; S \u003d 218 км

8.

А ) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4.

9 . Визначте шлях, пройдений точкою за 5 с. (Рис. 2).

А) 2м Б) 2,5 В) 5м Г) 10м.

10 .. На малюнку 3 представлений графік залежності шляху, пройденого велосипедистом, від часу. Визначити шлях, пройдений велосипедистом за інтервал часу від t 1 \u003d 1c до t 2 \u003d 3 с?

11 . Якщо прискорення дорівнює 2 м / с 2 , то це:

А) рівномірний рух Б) равнозамедленно рух

В) рівноприскореного руху Г) прямолінійне

12 . Прискорення характеризує зміну вектора швидкості

А) по величині й напрямку Б) у напрямку В) за величиною

13 . Автомобіль, що рухається прямолінійно равноускоренно, збільшив свою швидкість з
3 м / с до 9 м / с за 6 секунд. З яким прискоренням рухався автомобіль?
А) 0 м / с 2 Б) 3 м / с 2 В) 2 м / с 2 Г) 1 м / с 2

14. Яку швидкість набуває автомобіль при гальмуванні з прискоренням 0,5 м / с 2 через 10 с від початку гальмування, якщо початкова швидкість його дорівнювала 72 км / год?

А) 15м / с Б) 25м / с В) 10м / с Г) 20м / с.

Тест по темі «Кінематика» Варіант 2.

1 . Велосипедист рухається з точки А велотреку в точку В по кривій АВ. Назвіть
фізичну величину, яку зображує вектор АВ.
А) шлях Б) переміщення В) швидкість

2 . Чому при розрахунках можна вважати Місяць матеріальною точкою (щодо Землі)?

А) Місяць - шарБ) Місяць - супутник Землі В) Маса Місяця менше маси Землі

Г) Відстань від Землі до Місяця в багато разів більше радіуса Місяця.

3. . Фізичні величини бувають векторними і скалярними. яка фізична величина з перерахованих є скалярною?
А) прискорення Б) час У) швидкість Г) переміщення

4. . Які з перерахованих нижче величин є векторними:
1) шлях 2) переміщення 3) швидкість?
А) 1 і 2 Б) 2 і 3 В) 2 Г) 3 і 1.

5 . Основними одиницями довжини в СІ є:
А) метр Б) кілометр В) сантиметр Г) міліметр

6 . Два автомобіля рухаються по прямому шосе в протилежних напрямку. Якщо направити вісь ОХ вздовж напрямку руху першого автомобіля по шосе, тоді якими будуть проекції швидкостей автомобілів на вісь ОХ?
А) обидві позитивні Б) обидві негативні
В) першого - позитивна, другого - негативна
Г) першого - негативна, другого - позитивна

7 . Тіло, кинуте вертикально вгору, досягло найбільшої висоти 10 м і впало на
землю. Чому рівні шлях l і переміщення S за весь час його руху?
A) l \u003d 20 м, S \u003d 0 м Б) l \u003d 10 м, S \u003d 0 B) l \u003d 10 м, S \u003d 20 м Г) l \u003d 20 м, S \u003d 10 м.

8 . Який з графіків відповідає рівномірному руху? (Рис. 1).

А ) 3 Б) 4 В) 1 Г) 2

9 . Визначте шлях, пройдений точкою за 3 с. (Рис. 2).

А) 2м Б) 6м В) 5м Г) 1,5.

10. . На малюнку 3 представлений графік залежності шляху, пройденого велосипедистом, від часу. Визначити шлях, пройдений велосипедистом за інтервал часу від t 1 \u003d 2c до t 2 \u003d 4 с?

А) 9 м Б) 6 м В) 3 м. Г) 12 м

11 . Якщо прискорення дорівнює 3м / с 2 , то це:

А) рівномірний рух Б) рівноприскореного руху

В) равнозамедленно рух Г) прямолінійний рух

12 . Автомобіль рушає з місця і рухається зі зростаючою швидкістю прямолінійно.
А) прискорення дорівнює 0 Б) спрямований проти руху автомобіля
В) спрямований в бік руху автомобіля

13. Швидкість автомобіля за 20с зменшилася з 20м / с до 10м / с. З яким середнім прискоренням рухався автомобіль?

А) 0,5 / с 2 Б) 5м / с 2 В) -5м / с 2 Г) -0,5м / с 2

14 . Визначити швидкість тіла при гальмуванні з прискоренням 0,2 м / с 2 через 30с від початку руху, якщо початкова швидкість його дорівнювала 2м / с.

А) -4м Б) 4 м В) 6м Г) 8м.

відповіді

Варіант 1 Варіант 2

1-б 1-б

2 - г 2 - г

3 - а 3 - б

4 - б 4 - в

5 - в 5 - а

6 - а 6 - в

7 - в 7 - а

8 - б 8 - г

9 - г 9 - б

10 - б 10 - б

11 - в 11 - в

12 - а 12 - в

13 - г 13 - г

14 - б 14- а

1.13. Автомобіль рушає з місця і рухається зі зростаючою швидкістю прямолінійно.
Який напрям має вектор прискорення?

1.14. Автомобіль гальмує на прямолінійній ділянці дороги. Який напрям має
вектор прискорення?
А) прискорення дорівнює 0; Б) спрямований проти руху автомобіля;
В) спрямований в бік руху автомобіля.

1.16. Фізичні величини бувають векторними і скалярними. Яка фізична величина з перерахованих є скалярною?
А) прискорення; Б) час; В) швидкість; Г) переміщення.

1.18. Основними одиницями довжини в СІ є:
А) кілометр; Б) метр; В) сантиметр; Г) міліметр.

1.19. Які з перерахованих нижче величин є векторними:
1) шлях, 2) переміщення, 3) швидкість?
А) 1 і 2; Б) 2; В) 2 і 3; Г) 3 і 1.

1.22. Рухаючись прямолінійно, одне тіло за кожну секунду проходить шлях 5 м, інше тіло - за кожну секунду 10 м. Руху цих тіл є: А) рівномірними; Б) нерівномірними; В) першого нерівномірним, другого рівномірним; Г) першого рівномірним, другого нерівномірним

1 25. Модуль швидкості тіла за кожну секунду збільшувався в 2 рази. Яке твердження буде правильним?
А) прискорення зменшувалася в 2 рази; Б) прискорення не змінювалося;
В) прискорення збільшувалася в 2 рази

1.26. Тіло, кинуте вертикально вгору, досягло найбільшої висоти 10 м і впало на
землю. Чому рівні шлях l і переміщення S за весь час його руху?
A) l \u003d 10 м, S \u003d 0 м; Б) l \u003d 20 м, S \u003d 0;
B) l \u003d 10 м, S \u003d 20 м; Г) l \u003d 20 м, S \u003d 10 м.

1.35. При відході від станції прискорення поїзда становить 1 м / с2. Який шлях проходить поїзд за 10 с?
А) 5 м; Б) 10 м; В) 50 м; Г) 100 м.

1.36. при рівноприскореному русі протягом 5 з автомобіль збільшив швидкість від 10 до
15 м / с. Чому дорівнює модуль прискорення автомобіля?
А) 1 м / с2; Б) 2 м / с2; В) 3 м / с2; Г) 5 м / с2.

1.55. Яка з наведених функцій (v (t)) описує залежність модуля швидкості від
часу при рівномірному прямолінійній русі тіла уздовж осі ОХ зі швидкістю 5 м / с?
A) v \u003d 5t; Б) v \u003d t; B) v \u003d 5; Г) v \u003d -5.

1.65. Що знаходиться на горизонтальній поверхні столу бруска повідомили швидкість 5 м / с. Під дією сил тертя брусок рухається з прискоренням 1 м / с2. Чому дорівнює шлях, пройдений бруском за 6 секунд?
А) 48 м; Б) 12 м; В) 40 м; Г) 30 м.


13. На малюнку 3 представлений графік залежності шляху, пройденого велосипедистом, від часу. Визначити шлях, пройдений велосипедистом за інтервал часу від t 1 \u003d 1c до t 2 \u003d 4 с?

А) 15 м. Б) 3 м. В) 12 м. Г) 9 м. Д) 20 м.

14. На малюнку 3 представлений графік залежності шляху, пройденого велосипедистом, від часу. Визначити швидкість руху велосипедиста в момент часу t \u003d 2c.

А) 2 м / с. Б) 6 м / с. В) 3 м / с. Г) 12 м / с. Д) 8 м / с.

18. Тіло рухається прямолінійно і зменшує швидкість. Куди направлено прискорення?

А)По ходу руху. Б) За нормалі. В) Проти руху. Г) За радіусу-вектору до даної точці траєкторії. Д) По дотичній до траєкторії

А)Місяць - куля . Б) Місяць - супутник Землі. В)Маса Місяця менше маси Землі.

Г) Відстань від Землі до Місяця в багато разів більше радіуса Місяця.

Д) Серед запропонованих відповідей немає правильного.

Швидкість автомобіля за 20 з зменшилася з 20 м / с до 10 м / с . З яким середнім прискоренням рухався автомобіль? [-0,5 м / с 2 ]

Приклад 1. За заданим законом руху S \u003d10 + 20t - 5t 2 ([S] \u003d М; [T] \u003d з ) визначити вид руху, початкову швидкість і дотичне прискорення точки, час до зупинки.

Рішення

1. Вид руху: равнопеременное

2. При порівнянні рівнянь очевидно, що

  • початковий шлях, пройдений до початку відліку - 10 м;
  • початкова швидкість 20 м / с;
  • постійне дотичне прискорення a t/ 2 \u003d 5 м / с; a t\u003d - 10 м / с.
  • прискорення негативне, отже, рух сповільнений (равнозамедленно), прискорення направлено в сторону, протилежну напрямку швидкості руху.

3. Можна визначити час, при якому швидкість точки дорівнюватиме нулю:

v \u003d S " \u003d 20 - 2 5t; v \u003d 20 – 10t \u003d 0; t \u003d 20/10 \u003d 2 c.

Примітка. Якщо при равнопеременное русі швидкість зростає, значить, прискорення - позитивна величина, графік шляху - увігнута парабола. При гальмуванні швидкість падає, прискорення (уповільнення) - негативна величина, графік шляху - опукла парабола (рис. 10.4).

Приклад 2. Точка рухається по жолобу з точки А в ціль D(Рис. 10.5).

Як зміняться дотичне і нормальне прискорення при проходженні точки через В і З?

Рішення

1. Розглянемо ділянку АВ.Дотичне прискорення дорівнює нулю (V \u003dconst).

Нормальне прискорення ( а п = v 2 / r) при переході через точку В збільшується в 2 рази, воно змінює напрямок, т. к. центр дуги АВ не збігається з центром дуги ВС.

2. На ділянці ВС:

Дотичне прискорення дорівнює нулю: a t \u003d 0;

Нормальне прискорення при переході через точку З змінюється: до точки З рух обертальний, після точки С рух стає прямолінійним, нормальна напруга на прямолінійній ділянці дорівнює нулю.

3. На ділянці CD повне прискорення дорівнює нулю.

Приклад 3. За заданим графіком швидкості знайти шлях, пройдений за час руху (рис. 10.6).

Рішення

1. За графіком слід розглянути три ділянки руху. Перша ділянка - розгін зі стану спокою (рівноприскореного руху).

Друга ділянка - рівномірний рух: v \u003d 8 м / с; a 2 = 0.

Третя ділянка - гальмування до зупинки (равнозамедленно рух).

2. Шлях, пройдений за час руху, буде дорівнює:

Приклад 4. Тіло, що мало початкову швидкість 36 км / ч, пройшло 50 м до зупинки. Вважаючи рух равнозамедленно, визначити час гальмування.

Рішення

1. Записуємо рівняння швидкості для равнозамедленно руху:

v \u003d v про + at \u003d 0.

Визначаємо початкову швидкість в м / с: v про\u003d 36 * 1000/3600 \u003d 10 м / с.

Висловимо прискорення (уповільнення) з рівняння швидкості: a = - v 0 /t

2. Записуємо рівняння шляху: S \u003d v o t / 2 + at 2/2. Після підстановки отримаємо: S \u003d v o t / 2

3. Визначаємо час до повної зупинки (час гальмування):

Приклад 5. Точка рухається прямолінійно згідно з рівнянням s \u003d 20t - 5t 2 (s -м, t - с). Побудувати графіки відстаней, швидкості і прискорення для перших 4 з руху. Визначити шлях, пройдений точкою за 4 с, і описати рух точки.

Рішення

1. Точка рухається прямолінійно за рівнянням s \u003d 20t - 5t 2 отже, швидкість точки u \u003d ds / d / t \u003d 20 - 10t і прискорення a \u003d a t \u003d dv / dt \u003d-10 м / с 2. Значить, рух точки равнопеременное (A \u003d a t \u003d -10 м / c 2 \u003d const) з початковою швидкістю v 0 \u003d 20 м / с.

2. Складемо залежність числових значень s і v для перших 4 з руху

3. За наведеними числовим значенням побудуємо графіки відстаней (рис. а), Швидкості (рис. б) І прискорення (рис. в), Вибравши масштаби для зображення по осях ординат відстаней s, швидкості v і прискорення а, А також однаковий для всіх графіків масштаб часу по осі абсцис. Наприклад, якщо відстань s \u003d 5 м зображати на графіку довжиною відрізка l s \u003d 10 мм, то 5м \u003d μ s * 10мм, де коефіцієнт пропорційності μ s і є масштаб по осі Os : Μ s \u003d 5/10 \u003d 0,5 м / мм (0,5 м в 1 мм); якщо модуль швидкості v \u003d 10 м / с зображати на графіку довжиною l v \u003d 10 мм, то 10 м / c \u003d μ v * 10 мм і масштаб по осі Ov μ v \u003d 1 м / (с-мм) (1 м / с в 1 мм); якщо модуль прискорення а\u003d 10 м / с 2 зображати відрізком l a \u003d 10 мм, то, аналогічно попередньому, масштаб по осі Оа μ a \u003d 1 м / (з 2-мм) (1 м / с 2 в 1 мм); і нарешті, зображуючи проміжок часу Δt \u003d 1 з відрізком μ t \u003d 10 мм, отримаємо на всіх графіках масштаб по осях Ot μ t\u003d 0,1 с / мм (0,1 с в 1 мм).

4. З розгляду графіків випливає, що протягом часу від 0 до 2 з точка рухається равнозамедленно (швидкість v і прискорення протягом цього проміжку часу мають різні знаки, значить, їх вектори спрямовані в протилежні сторони); в період часу від 2 до 4 з точка рухається рівноприскореному (швидкість v і прискорення мають однакові знаки, т. е. їх вектори спрямовані в одну сторону).

За 4 з точка пройшла шлях s o _ 4 \u003d 40 м. Почавши рух зі швидкістю v 0 \u003d 20 м / с, точка по прямій пройшла 20 м, а потім повернулася у вихідне положення, маючи ту ж швидкість, але спрямовану в протилежну сторону.

Якщо умовно прийняти прискорення вільного падіння g \u003d 10 мс 2 і знехтувати опором повітря, то можна сказати, що графіки описують рух точки, кинутої вертикально вгору зі швидкістю а 0 \u003d 20 м / с.

Приклад 6. Точка рухається по траєкторії, зображеної на рис. 1.44, а, згідно з рівнянням s \u003d 0,2t 4 (s - в метрах, t - в секундах). Визначити швидкість і прискорення точки в положеннях 1 і 2.

Рішення

Час, необхідний для переміщення точки з положення 0 (початку відліку) в положення 1, визначимо з рівняння руху, підставивши приватні значення відстані та часу:

Рівняння зміни швидкості

Швидкість точки в положенні 1

Дотичне прискорення точки в положенні 1

Нормальне прискорення точки на прямолінійній ділянці траєкторії дорівнює нулю. Швидкість і прискорення точки в кінці цієї ділянки траєкторії показані на ріс.1.44, б.

Визначимо швидкість і прискорення точки на початку криволінійного ділянки траєкторії. Очевидно, що v 1 \u003d 11,5 м / с, а t1 \u003d 14,2 м / с 2.

Нормальне прискорення точки на початку криволінійного ділянки

Швидкість і прискорення на початку криволінійного ділянки показані на рис. 1.44, в (вектори a t 1 і a a 1 зображені без дотримання масштабу).

положення 2 рухається точки визначається пройденим шляхом, що складається з прямолінійного ділянки 0 - 1 і дуги кола 1 - 2, відповідної центральному куту 90 °:

Час, необхідний для переміщення точки з положення 0 в положеніе2,

Швидкість точки в положенні 2

Дотичне прискорення точки в положенні 2

Нормальне прискорення точки в положенні 2

Прискорення точки в положенні 2

Швидкість і прискорення точки в положенні 2 показані на рис. 1.44, в (вектори at"і а Пг зображені без дотримання масштабу).

Приклад 7. Точка рухається по заданій траєкторії (рис. 1.45, а) відповідно до рівняння s \u003d 5t 3 (S - у метрах, t - в секундах). Визначити прискорення точки і кут α між прискоренням і швидкістю в момент t 1, Коли швидкість точки v 1 \u003d 135 м / с.

Рішення

Рівняння зміни швидкості

час t 1 визначимо з рівняння зміни швидкості, підставивши приватні значення швидкості і часу:

Визначимо положення точки на траєкторії в момент 3 з:

Дуга кола довжиною 135 м відповідає центральному куту

Рівняння зміни дотичного прискорення

Дотичне прискорення точки в момент t t

Нормальне прискорення точки в момент t t

Прискорення точки в момент t x

Швидкість і прискорення точки в момент часу t 1 показані на рис. 1.45, б.

Як видно з рис. 1.45, б


Приклад 8. В шахту глибиною H \u003d 3000 м з поверхні землі без початкової швидкості кинутий предмет. Визначити, через скільки секунд звук, що виникає в момент удару предмета об дно шахти, досягне поверхні землі. Швидкість звуку 333 м / с.

Рішення

Рівняння руху вільно падаючого тіла

Час, необхідний для переміщення предмета від поверхні землі до дна шахти, визначимо з рівняння руху.

де x і y - в см, а t - в с. Визначити траєкторію руху точки, швидкість і прискорення в моменти часу t 0 \u003d 0 с, t 1 \u003d 1 з і t 2 \u003d 5 з, А також шлях, пройдений точкою за 5 с.

Рішення

розрахунок траєкторії

Визначаємо траєкторію точки. Множимо першим ставить рівняння на 3, друге - на (-4), а потім складаємо їх ліві і праві частини:

3x \u003d 6t 2 +6
-4y \u003d -6t 2 -4
————
3x-4y \u003d 2

Вийшло рівняння першого ступеня - рівняння прямої лінії, значить рух точки - прямолінійний (рисунок 1.5).

Для того, щоб визначити координати початкового положення точки A 0, підставимо в задані рівняння значення t 0 \u003d 0; з першого рівняння отримаємо x 0 \u003d 2 см, З другого y 0 \u003d 1 см. При будь-якому іншому значенні t координати x і y рухається точки тільки зростають, тому траєкторією точки служить полупрямая 3x-4y \u003d 2 з початком в точці A 0 (2: 1).

малюнок 1.5

розрахунок швидкості

Визначаємо, знайшовши спочатку її проекції на осі координат:

при t 0 \u003d 0С швидкість точки v 0 \u003d 0, при t 1 \u003d 1с - v 1 \u003d 5 см / с, при t 2 \u003d 5 с - v 2 \u003d 25см / с.

розрахунок прискорення

Визначаємо прискорення точки. Його проекції на осі координат:

Проекції прискорення не залежать від часу руху,

тобто рух точки равноускоренное, вектори швидкості і прискорення збігаються з траєкторією точки і спрямовані вздовж неї.

З іншого боку, оскільки рух точки прямолінійний, то модуль прискорення можна визначити шляхом безпосереднього диференціювання рівняння швидкості.