Трикутник вписаний в сферу. Вписана і описана окружності. Якщо боковини однакової довжини
визначення 2
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 1, називається описаним близько кола.
Малюнок 1. Вписана окружність
Теорема 1 (про кола, вписаного в трикутник)
теорема 1
У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $ O $ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (Рис. 2)
Малюнок 2. Ілюстрація теореми 1
Існування: Проведемо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OK. \\ $ Так як точка $ O $ лежить на трьох биссектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ ABC $. Тобто $ OM \u003d OK \u003d OL $. Отже, побудована окружність також проходить через точки $ M \\ і \\ L $. Так як $ OM, OK \\ і \\ OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичній до окружності, побудована окружність стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, в силу довільності трикутника, в будь-який трикутник можна вписати коло.
Единственность: Припустимо, що в трикутник $ ABC $ можна вписати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OK $ . Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр вписаною в трикутник кола лежить в точці перетину його биссектрис.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям вписаного кола:
Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.
визначення 3
Якщо на окружності лежать всі вершини багатокутника, то коло називається описаною навколо багатокутника (Рис. 3).
визначення 4
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним в коло.
Малюнок 3. Описана окружність
Теорема 2 (про кола, описаного навколо трикутника)
теорема 2
Близько будь-якого трикутника можна описати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, пересічні в точці $ O $, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)
Малюнок 4. Ілюстрація теореми 2
Існування: Побудуємо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OC $. Точка $ O $ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $ OA \u003d OB \u003d OC $. Отже, побудована окружність проходить через всі вершини даного трикутника, Значить, вона є описаного навколо цього трикутника.
Единственность: Припустимо, що близько трикутника $ ABC $ можна описати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OC. $ Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр описаного навколо трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:
Близько чотирикутника не завжди можна описати коло.
У будь-якому вписанном чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $ (180) ^ 0 $.
Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $ (180) ^ 0 $, то біля нього можна описати коло.
Приклад завдання на поняття вписаною і описаного кола
приклад 1
В трикутник основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.
Рішення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. За слідству 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині биссектрис. Проведемо бісектриси $ AK $ і $ BM $, які перетинаються в точці $ O $. Проведемо перпендикуляр $ OH $ з точки $ O $ на сторону $ BC $. Зобразимо малюнок:
Малюнок 5.
Так як трикутник рівнобедрений, то $ BM $ і медіана і висота. По теоремі Піфагора $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2 (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2 \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d 3 $. $ OM \u003d OH \u003d r $ - шуканий радіус вписаного кола. Так як $ MC $ і $ CH $ відрізки перетинаються дотичних, то по теоремі про пересічних дотичних, маємо $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ см $. Отже, $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ см $. $ BO \u003d 3-r $. З трикутника $ OHB $, по теоремі Піфагора, отримаємо:
\\ [((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\
відповідь: $ \\ Frac (4) (3) $.
визначення 2
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 1, називається описаним близько кола.
Малюнок 1. Вписана окружність
Теорема 1 (про кола, вписаного в трикутник)
теорема 1
У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $ O $ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (Рис. 2)
Малюнок 2. Ілюстрація теореми 1
Існування: Проведемо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OK. \\ $ Так як точка $ O $ лежить на трьох биссектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ ABC $. Тобто $ OM \u003d OK \u003d OL $. Отже, побудована окружність також проходить через точки $ M \\ і \\ L $. Так як $ OM, OK \\ і \\ OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичній до окружності, побудована окружність стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, в силу довільності трикутника, в будь-який трикутник можна вписати коло.
Единственность: Припустимо, що в трикутник $ ABC $ можна вписати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OK $ . Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр вписаною в трикутник кола лежить в точці перетину його биссектрис.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям вписаного кола:
Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.
визначення 3
Якщо на окружності лежать всі вершини багатокутника, то коло називається описаною навколо багатокутника (Рис. 3).
визначення 4
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним в коло.
Малюнок 3. Описана окружність
Теорема 2 (про кола, описаного навколо трикутника)
теорема 2
Близько будь-якого трикутника можна описати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, пересічні в точці $ O $, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)
Малюнок 4. Ілюстрація теореми 2
Існування: Побудуємо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OC $. Точка $ O $ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $ OA \u003d OB \u003d OC $. Отже, побудована окружність проходить через всі вершини даного трикутника, значить, вона є описаного навколо цього трикутника.
Единственность: Припустимо, що близько трикутника $ ABC $ можна описати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OC. $ Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр описаного навколо трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:
Близько чотирикутника не завжди можна описати коло.
У будь-якому вписанном чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $ (180) ^ 0 $.
Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $ (180) ^ 0 $, то біля нього можна описати коло.
Приклад завдання на поняття вписаною і описаного кола
приклад 1
У трикутник основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.
Рішення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. За слідству 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині биссектрис. Проведемо бісектриси $ AK $ і $ BM $, які перетинаються в точці $ O $. Проведемо перпендикуляр $ OH $ з точки $ O $ на сторону $ BC $. Зобразимо малюнок:
Малюнок 5.
Так як трикутник рівнобедрений, то $ BM $ і медіана і висота. По теоремі Піфагора $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2 (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2 \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d 3 $. $ OM \u003d OH \u003d r $ - шуканий радіус вписаного кола. Так як $ MC $ і $ CH $ відрізки перетинаються дотичних, то по теоремі про пересічних дотичних, маємо $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ см $. Отже, $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ см $. $ BO \u003d 3-r $. З трикутника $ OHB $, по теоремі Піфагора, отримаємо:
\\ [((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\
відповідь: $ \\ Frac (4) (3) $.
Розглянемо коло, вписану в трикутник (рис. 302). Нагадаємо, що її центр Про поміщається на перетині биссектрис внутрішніх углрв трикутника. Відрізки ОА, ОВ, ОС, що з'єднують Про з вершинами трикутника ABC, Розіб'ють трикутник на три трикутника:
АОВ, ВОС, СОА. Висота кожного з цих трикутників дорівнює радіусу, і тому їх площі виразяться як
Площа всього трикутника S дорівнює сумі цих трьох площ:
де - напівпериметр трикутника. Звідси
Радіус вписаного кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметр.
Для отримання формули для радіуса описаного кола трикутника доведемо наступну пропозицію.
Теорем а: У будь-якому трикутнику сторона дорівнює діаметру описаного кола, помноженому на синус протилежного кута.
Доведення. Розглянемо довільний трикутник ABC і описану навколо нього коло, радіус якої позначимо через R (рис. 303). Нехай А - гострий кут трикутника. Проведемо радіуси ОВ, ОС окружності і опустимо з її центру Про перпендикуляр ОК на сторону ВС трикутника. Зауважимо, що кут а трикутника вимірюється половиною дуги ВС, для якої кут ВОС є центральним кутом. Звідси видно, що. Тому з прямокутного трикутника СОК знаходимо, або, що й треба було довести.
Наведений рис. 303 і міркування відносяться до випадку гострого кута трикутника; неважко було б провести доказ і для випадків прямого і тупого кута (читач це зробить самостійно), але можна використовувати теорему синусів (218,3). Так як має бути звідки
Теорему синусів записують також в. вигляді
і порівняння з формою запису (218,3) дає для
Радіус описаного кола дорівнює відношенню твори трьох сторін трикутника до його учетверенной площі.
Завдання. Знайти сторони рівнобедреного трикутника, якщо його вписана і описана окружності мають відповідно радіуси
Рішення. Напишемо формули, що виражають радіуси вписаного та описаного кіл трикутника:
Для рівнобедреного трикутника з бічною стороною і підставою площа виражається формулою
або, скоротивши дріб на відмінний від нуля множник, матимемо
що призводить до квадратного рівняння щодо
Воно має два рішення:
Підставивши замість його виразу в будь-який з рівнянь для або R, знайдемо остаточно дві відповіді до нашого завдання:
вправи
1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, делнт гіпотенузу щодо Знайти відношення кожного з катетів до гіпотенузи.
2. Підстави рівнобедреної трапеції, Описаного навколо кола, рівні а й b. Знайти радіус кола.
3. Два кола стосуються зовнішнім чином. Їх загальні дотичні нахилені до лінії центрів під кутом 30 °. Довжина відрізка дотичної між точками дотику дорівнює 108 см. Знайти радіуси кіл.
4. Катети прямокутного трикутника дорівнюють а і b. Знайти площу трикутника, сторонами якого служать висота і медіана даного трикутника, проведені з вершини прямого кута, і відрізок гіпотенузи між точками їх перетину з гіпотенузою.
5. Сторони трикутника дорівнюють 13, 14, 15. Знайти проекцію кожної з них на дві інші.
6. У трикутнику відомі сторона і висоти Знайти боку b і с.
7. Відомі дві сторони трикутника і медіана Знайти третю сторону трикутника.
8. Дано дві сторони трикутника і кут а між ними: Знайти радіуси вписаного та описаного кіл.
9. Відомі боку трикутника а, b, с. Чому рівні відрізки, на які вони розбиваються точками дотику вписаного кола зі сторонами трикутника?
визначення 2
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 1, називається описаним близько кола.
Малюнок 1. Вписана окружність
Теорема 1 (про кола, вписаного в трикутник)
теорема 1
У будь-який трикутник можна вписати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому бісектриси, які перетинаються в точці $ O $ і проведемо з неї перпендикуляри на сторони трикутника (Рис. 2)
Малюнок 2. Ілюстрація теореми 1
Існування: Проведемо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OK. \\ $ Так як точка $ O $ лежить на трьох биссектрисах, то вона рівновіддалена від сторін трикутника $ ABC $. Тобто $ OM \u003d OK \u003d OL $. Отже, побудована окружність також проходить через точки $ M \\ і \\ L $. Так як $ OM, OK \\ і \\ OL $ - перпендикуляри до сторін трикутника, то по теоремі про дотичній до окружності, побудована окружність стосується всіх трьох сторін трикутника. Отже, в силу довільності трикутника, в будь-який трикутник можна вписати коло.
Единственность: Припустимо, що в трикутник $ ABC $ можна вписати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від сторін трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OK $ . Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр вписаною в трикутник кола лежить в точці перетину його биссектрис.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям вписаного кола:
Не у всякий чотирикутник можна вписати коло.
У будь-якому описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні.
Якщо суми протилежних сторін опуклого чотирикутника рівні, то в нього можна вписати коло.
визначення 3
Якщо на окружності лежать всі вершини багатокутника, то коло називається описаною навколо багатокутника (Рис. 3).
визначення 4
Багатокутник, що задовольняє умові визначення 2, називається вписаним в коло.
Малюнок 3. Описана окружність
Теорема 2 (про кола, описаного навколо трикутника)
теорема 2
Близько будь-якого трикутника можна описати коло і до того ж тільки одну.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. Проведемо в ньому серединні перпендикуляри, пересічні в точці $ O $, і з'єднаємо її з вершинами трикутника (рис. 4)
Малюнок 4. Ілюстрація теореми 2
Існування: Побудуємо коло з центром в точці $ O $ і радіусом $ OC $. Точка $ O $ рівновіддалена від вершин трикутника, тобто $ OA \u003d OB \u003d OC $. Отже, побудована окружність проходить через всі вершини даного трикутника, значить, вона є описаного навколо цього трикутника.
Единственность: Припустимо, що близько трикутника $ ABC $ можна описати ще одну окружність з центром в точці $ O "$. Її центр рівновіддалений від вершин трикутника, а, отже, збігається з точкою $ O $ і має радіус, рівний довжині $ OC. $ Але тоді ця окружність співпаде з першою.
Теорема доведена.
Слідство 1: Центр описаного навколо трикутника кола збігається з точкою перетину його серединних перпендикулярів.
Наведемо ще кілька фактів, пов'язаних з поняттям описаного кола:
Близько чотирикутника не завжди можна описати коло.
У будь-якому вписанном чотирикутнику сума протилежних кутів дорівнює $ (180) ^ 0 $.
Якщо сума протилежних кутів чотирикутника дорівнює $ (180) ^ 0 $, то біля нього можна описати коло.
Приклад завдання на поняття вписаною і описаного кола
приклад 1
У трикутник основа дорівнює 8 см, бічна сторона дорівнює 5 см. Знайти радіус вписаного кола.
Рішення.
Розглянемо трикутник $ ABC $. За слідству 1, ми знаємо, що центр вписаного кола лежить на перетині биссектрис. Проведемо бісектриси $ AK $ і $ BM $, які перетинаються в точці $ O $. Проведемо перпендикуляр $ OH $ з точки $ O $ на сторону $ BC $. Зобразимо малюнок:
Малюнок 5.
Так як трикутник рівнобедрений, то $ BM $ і медіана і висота. По теоремі Піфагора $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2 (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2 \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d 3 $. $ OM \u003d OH \u003d r $ - шуканий радіус вписаного кола. Так як $ MC $ і $ CH $ відрізки перетинаються дотичних, то по теоремі про пересічних дотичних, маємо $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ см $. Отже, $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ см $. $ BO \u003d 3-r $. З трикутника $ OHB $, по теоремі Піфагора, отримаємо:
\\ [((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\
відповідь: $ \\ Frac (4) (3) $.
вписаний трикутник - трикутник, всі вершини якого лежать на окружності. Тоді окружність називається описаної навколо трикутника.
Очевидно, відстань від центру описаного кола до кожної з вершин трикутника однаково і дорівнює радіусу цього кола.
Навколо будь-якого трикутника можна описати коло, причому тільки одну.
окружність вписана в трикутник, якщо вона стосується всіх його сторін. Тоді сам трикутник буде описаним навколо кола. Відстань від центру вписаного кола до кожної зі сторін трикутника дорівнює радіусу цього кола.
У будь-який трикутник можна вписати коло, причому тільки одну.
Спробуйте самі описати коло навколо трикутника і вписати окружність в трикутник.
Як ви думаєте, чому центр вписаного кола - це точка перетину биссектрис трикутника, а центр описаного кола - точка перетину серединних перпендикулярів до його сторонам?
В завданнях ЄДІ найчастіше зустрічаються вписані і описані правильні трикутники.
Є й інші завдання. Для їх вирішення вам знадобляться ще дві формули площі трикутника, а також теорема синусів.
Площа трикутника дорівнює половині твори його периметра на радіус вписаного кола.
S \u003d p r,
де p \u003d ( a + b + c) - напівпериметр,
r - радіус кола, вписаного в трикутник.
Є і ще одна формула, яка застосовується в основному в задачах частини З:
де a, b, c - сторони трикутника, R - радіус описаного кола.
Для будь-якого трикутника вірна теорема синусів:
1. Радіус кола, вписаного в рівнобедрений прямокутний трикутник, Дорівнює 2. Знайдіть гіпотенузу c цього трикутника. У відповіді вкажіть.
Трикутник прямокутний і рівнобедрений. Значить, його катети однакові. Нехай кожен катет дорівнює а. Тоді гіпотенуза дорівнює а .
Запишемо площа трикутника АВС двома способами:
Прирівнявши ці вирази, отримаємо, що. Оскільки, отримуємо, що. Тоді.
У відповідь запишемо.
2. Сторона AB тупоугольного трикутника ABC дорівнює радіусу описаного навколо нього кола. Знайдіть кут C. Відповідь дайте у градусах.
По теоремі синусів,
Отримуємо, що sin C \u003d. Кут С - тупий. Значить, він дорівнює 150 °.
Відповідь: 150.
3. Бічні сторони рівнобедреного трикутника рівні 40, основа дорівнює 48. Знайдіть радіус описаного кола цього трикутника.
Кути трикутника не дані. Що ж, висловимо його площа двома різними способами.
S \u003d ah, де h - висота трикутника. Її знайти нескладно - адже в трикутник висота є також і медіаною, тобто ділить сторону АВ навпіл. По теоремі Піфагора знайдемо h \u003d 32. Тоді R \u003d 25.
EGE-Study » Методичні матеріали »Геометрія: з нуля до C4» Вписані і описані чотирикутники