Чи є периметр даних трикутників постійною величиною. Периметр трикутника, який має дві рівні сторони. По трьох даними сторонам

Як знайти периметр трикутника? Таким питанням задавався кожен з нас, навчаючись в школі. Спробуємо згадати все, що ми знаємо про цю дивовижну фігуру, а також відповісти на поставлене запитання.

Відповідь на питання про те, як знайти периметр трикутника, зазвичай є досить-таки простим - потрібно всього-лише виконати процедуру складання довжин всіх його сторін. Однак є ще кілька простих методів шуканої величини.

Поради

У тому випадку, якщо радіус (r) окружності, яка вписана в трикутник, і його площа (S) відомі, то відповісти на питання про те, як знайти периметр трикутника, досить просто. Для цього вам необхідно скористатися звичайною формулою:

Якщо відомі два кути, припустимо, α і β, які прилягають до сторони, і сама довжина сторони, то периметр можна знайти за допомогою вельми і вельми популярною формули, яка має вигляд:

sinβ ∙ а / (sin (180 ° - β - α)) + sinα ∙ а / (sin (180 ° - β - α)) + а

Якщо ви знаєте довжини суміжних сторін і кут β, що знаходиться між ними, то для того, щоб знайти периметр, потрібно скористатися Периметр обчислюється за формулою:

P \u003d b + a + √ (b2 + a2 - 2 ∙ b ∙ а ∙ cosβ),

де b2 і А2 є квадратами довжин суміжних сторін. Подкоренное вираз - це довжина третьої сторони, яка невідома, виражена за допомогою теореми косинусів.

Якщо ви не знаєте, як знайти периметр то тут, насправді, немає нічого складного. Обчисліть його за формулою:

де b - основа трикутника, а - його бічні сторони.

Для знаходження периметра правильного трикутника слід скористатися найпростішої формулою:

де а - довжина сторони.

Як знайти периметр трикутника, якщо відомі тільки радіуси кіл, які описані біля нього або вписані в нього? Якщо трикутник є рівностороннім, то тоді слід застосувати формулу:

P \u003d 3R√3 \u003d 6r√3,

де R і r є радіусами описаної і вписаного кола відповідно.

Якщо трикутник є рівнобедреним, то для нього може бути застосована формула:

P \u003d 2R (sinβ + 2sinα),

де α - це кут, який лежить в основі, а β - кут, який протіволежіт основи.

Найчастіше для вирішення математичних задач потрібно глибокий аналіз і специфічне вміння знаходити і виводити необхідні формули, а це, як багатьом відомо, досить непроста робота. Хоча деякі завдання можна вирішити лише за допомогою однієї-єдиної формули.

Давайте розглянемо формули, які є базовими для відповіді на питання про те, як знайти периметр трикутника, по відношенню до найрізноманітніших типам трикутників.

Безумовно, головне правило для знаходження периметра трикутника - це дане твердження: для знаходження периметра трикутника потрібно скласти довжини всіх його сторін за відповідною формулою:

де b, a і с - це довжини сторін трикутника, а Р - периметр трикутника.

Є кілька окремих випадків цієї формули. Припустимо, ваша задача формулюється так: «як знайти периметр прямокутного трикутника? » В такому випадку вам слід скористатися наступною формулою:

P \u003d b + a + √ (b2 + a2)

У цій формулі b і а є безпосередніми довжинами катетів прямокутного трикутника. Нескладно здогадатися, що замість боку с (гіпотенузи) використовується вираз, отримане за теоремою великого вченого давнини - Піфагора.

Якщо потрібно вирішити задачу, де трикутники є подібними, то логічно було б скористатися цим твердженням: ставлення периметрів відповідає коефіцієнту подібності. Припустимо, у вас є два подібних трикутника - ΔABC і ΔA1B1C1. Тоді для знаходження коефіцієнта подібності необхідно розділити периметр ΔABC на периметр ΔA1B1C1.

На закінчення можна відзначити, що периметр трикутника можна знайти за допомогою самих різних методик, в залежності від тих вихідних даних, які у вас є. Необхідно додати, що існують деякі окремі випадки для прямокутних трикутників.

попередні відомості

Периметр будь-якій плоскій геометричній фігур на площині визначається як сума довжин всіх його сторін. Винятком з цього не є і трикутник. Спочатку наведемо поняття трикутника, а також види трикутників в залежності від сторін.

визначення 1

Трикутником будемо називати геометричну фігуру, яка складена з трьох точок, з'єднаних між собою відрізками (рис. 1).

визначення 2

Точки в рамках визначення 1 будемо називати вершинами трикутника.

визначення 3

Відрізки в рамках визначення 1 будемо називати сторонами трикутника.

Очевидно, що будь-який трикутник матиме 3 вершини, а також три сторони.

Залежно від ставлення сторін одна до одної, трикутники діляться на різнобічні, рівнобедрені і равносторонние.

визначення 4

Трикутник будемо називати різнобічним, якщо жодна з його сторін не дорівнює ніякий інший.

визначення 5

Трикутник будемо називати рівнобедреним, якщо дві його сторони дорівнюють один одному, але не дорівнюють третій стороні.

визначення 6

Трикутник будемо називати рівностороннім, якщо всі його сторони дорівнюють один одному.

Всі види цих трикутників Ви можете бачити на малюнку 2.

Як знайти периметр різнобічного трикутника?

Нехай нам дано різнобічний трикутник, у якого довжини сторін будуть дорівнювати $ α $, $ β $ і $ γ $.

висновок:Для знаходження периметра різнобічного трикутника треба все довжин його сторін скласти між собою.

приклад 1

Знайти периметр різнобічного трикутника дорівнюють $ 34 $ см, $ 12 $ см і $ 11 $ см.

$ P \u003d 34 + 12 + 11 \u003d 57 $ см

Відповідь: $ 57 $ см.

приклад 2

Знайти периметр прямокутного трикутника, у якого катети дорівнюють $ 6 $ і $ 8 $ см.

Спочатку знайдемо довжину гіпотенуз цього трикутника по теоремі Піфагора. Позначимо її через $ α $, тоді

$ Α \u003d 10 $ За правилом обчислення периметра різнобічного трикутника, отримаємо

$ P \u003d 10 + 8 + 6 \u003d 24 $ см

Відповідь: $ 24 $ см.

Як знайти периметр рівнобедреного трикутника?

Нехай нам дано трикутник, у якого довжини бічних сторін будуть дорівнювати $ α $, а довжина підстави дорівнює $ β $.

За визначенням периметра плоскою геометричної фігури, отримаємо, що

$ P \u003d α + α + β \u003d 2α + β $

висновок:Для знаходження периметра рівнобедреного трикутника треба подвоєну довжину його сторін скласти з довжиною його заснування.

приклад 3

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його бічні сторони дорівнюють $ 12 $ см, а підстава $ 11 $ см.

За розглянутому вище прикладу, бачимо, що

$ P \u003d 2 \\ cdot 12 + 11 \u003d 35 $ см

Відповідь: $ 35 $ см.

приклад 4

Знайти периметр рівнобедреного трикутника, якщо його висота, проведена на підставу, дорівнює $ 8 $ см, а підстава $ 12 $ см.

Розглянемо малюнок за умовою задачі:

Так як трикутник рівнобедрений, то $ BD $ також є і медіаною, отже, $ AD \u003d 6 $ см.

По теоремі Піфагора, з трикутника $ ADB $, знайдемо бічну сторону. Позначимо її через $ α $, тоді

За правилом обчислення периметра рівнобедреного трикутника, отримаємо

$ P \u003d 2 \\ cdot 10 + 12 \u003d 32 $ см

Відповідь: $ 32 $ см.

Як знайти периметр рівностороннього трикутника?

Нехай нам дано рівносторонній трикутник, у якого довжини всіх сторін будуть дорівнювати $ α $.

За визначенням периметра плоскою геометричної фігури, отримаємо, що

$ P \u003d α + α + α \u003d 3α $

висновок: Для знаходження периметра рівностороннього трикутника треба довжину сторони трикутника помножити на $ 3 $.

приклад 5

Знайти периметр рівностороннього трикутника, якщо його сторона дорівнює $ 12 $ см.

За розглянутому вище прикладу, бачимо, що

$ P \u003d 3 \\ cdot 12 \u003d 36 $ см

Поради

sinβ ∙ а / (sin (180 ° - β - α)) + sinα ∙ а / (sin (180 ° - β - α)) + а

Якщо ви знаєте довжини суміжних сторін і кут β, що знаходиться між ними, то для того, щоб знайти периметр, потрібно скористатися теоремою косинусів. Периметр обчислюється за формулою:

P \u003d b + a + √ (b2 + a2 - 2 ∙ b ∙ а ∙ cosβ),

Якщо ви не знаєте, як знайти периметр рівнобедреного трикутника, то тут, на самому ділі, немає нічого складного. Обчисліть його за формулою:

де b - основа трикутника, а - його бічні сторони.

Для знаходження периметра правильного трикутника слід скористатися найпростішої формулою:

де а - довжина сторони.

P \u003d 3R√3 \u003d 6r√3,

де R і r є радіусами описаної і вписаного кола відповідно.

Якщо трикутник є рівнобедреним, то для нього може бути застосована формула:

P \u003d 2R (sinβ + 2sinα),

де α - це кут, який лежить в основі, а β - кут, який протіволежіт основи.

де b, a і с - це довжини сторін трикутника, а Р - периметр трикутника.

Є кілька окремих випадків цієї формули. Припустимо, ваша задача формулюється так: «як знайти периметр прямокутного трикутника?» В такому випадку вам слід скористатися наступною формулою:

P \u003d b + a + √ (b2 + a2)

вміст:

Периметр - це загальна довжина кордонів двовимірної форми. Якщо ви хочете знайти периметр трикутника, то ви повинні скласти довжини всіх його сторін; якщо ви не знаєте довжину хоча б одного боку трикутника, необхідно знайти її. Ця стаття розповість вам, (а) як знайти периметр трикутника за трьома відомими сторонами; (Б) як знайти периметр прямокутного трикутника, коли відомі тільки дві сторони; (В) як знайти периметр будь-якого трикутника, коли дано дві сторони і кут між ними (використовуючи теорему косинусів).

кроки

1 По трьох даними сторонам

1 Для знаходження периметра використовуйте формулу: Р \u003d a + b + c, де a, b, c - довжини трьох сторін, Р - периметр.
2 Знайдіть довжини всіх трьох сторін. У нашому прикладі: a \u003d 5, b \u003d 5, с \u003d 5.
- Це рівносторонній трикутник, тому що всі три сторони мають однакову довжину. Але вищевказана формула застосовується до будь-якого трикутника.
3 Складіть довжини всіх трьох сторін, щоб знайти периметр. У нашому прикладі: 5 + 5 + 5 \u003d 15, тобто Р \u003d 15.
- Інший приклад: a \u003d 4, b \u003d 3, с \u003d 5. Р \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
4 У відповіді не забувайте вказувати одиницю виміру. У нашому прикладі боку вимірюються в сантиметрах, тому ваш остаточний відповідь також повинен включати сантиметри (або одиниці виміру, зазначені в умові завдання).
- У нашому прикладі кожна сторона дорівнює 5 см, тому остаточну відповідь: Р \u003d 15 см.

2 По двом даними сторонам прямокутного трикутника

1 Згадайте теорему Піфагора. Ця теорема описує співвідношення між сторонами прямокутного трикутника і є однією з найбільш відомих і застосовуваних теорем математики. Теорема говорить, що в будь-якому прямокутному трикутнику сторони пов'язані наступним співвідношенням: a 2 + b 2 \u003d c 2, де а, b - катети, с - гіпотенуза.
2 Намалюйте трикутник і позначте боку як a, b, c. Найдовша сторона прямокутного трикутника - це гіпотенуза. Вона лежить навпроти прямого кута. Позначте гіпотенузи як «с». Катети (боку, прилеглі до прямого кута) Позначте як «a» і «b».
3 Підставте значення відомих сторін в теорему Піфагора (a 2 + b 2 \u003d c 2). Замість букв підставте числа, дані в умові задачі.
- Наприклад, а \u003d 3 і b \u003d 4. Підставте ці значення в теорему Піфагора: 3 2 +4 2 \u003d c 2.
- Інший приклад: а \u003d 6 і з \u003d 10. Тоді: 6 2 + b 2 \u003d 10 2
4 Вирішіть отримане рівняння, щоб знайти невідому сторону. Для цього спочатку зведіть в квадрат відомі довжини сторін (просто помножте дане вам число саме на себе). Якщо ви шукаєте гіпотенузу, складіть квадрати двох сторін і з отриманої суми витягніть квадратний корінь. Якщо ви шукаєте катет, відніміть квадрат відомого катета з квадрата гіпотенузи і з отриманого приватного витягніть квадратний корінь.
- У першому прикладі 3 2 +4 2 \u003d c 2; 9 + 16 \u003d c 2; 25 \u003d c 2; √25 \u003d с. Таким чином, c \u003d 25.
- У другому прикладі 6 2 + b 2 \u003d 10 2; 36 + b 2 \u003d 100. Перенесіть 36 на праву сторону рівняння і отримаєте: b 2 \u003d 64; b \u003d √64. Таким чином, b \u003d 8.
5
- У нашому першому прикладі: P \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
- У нашому другому прикладі: P \u003d 6 + 8 + 10 \u003d 24.

3 По двох даними сторонам і куту між ними

1 Будь-яку сторону трикутника можна знайти за теоремою косинусів, якщо вам дано дві сторони і кут між ними. Ця теорема застосовується до будь-яких трикутниках і є дуже корисною формулою. Теорема косинусів: c 2 \u003d a 2 + b 2 - 2abcos (C), де a, b, c - сторони трикутника, А, B, С - кути, протилежні відповідним сторонам трикутника.
2 Намалюйте трикутник і позначте боку як a, b, c; позначте протилежні відповідним сторонам кути як A, B, C (тобто кут, протилежний стороні «а», позначте як «А» і так далі).
- Наприклад, дано трикутник зі сторонами 10 і 12 і кутом між ними в 97 °, тобто a \u003d 10, b \u003d 12, C \u003d 97 °.
3 Підставте дані вам значення в формулу і знайдіть невідому сторону «с». Спочатку зведіть в квадрат довжини відомих сторін і складіть отримані значення. Потім знайдіть косинус кута С (за допомогою калькулятора або онлайн-калькулятора). Помножте довжини відомих сторін на косинус даного кута і на 2 (2abcos (C)). Отримане значення відніміть із суми квадратів двох сторін (a 2 + b 2), і ви отримаєте c 2. З цієї величини витягніть квадратний корінь, щоб знайти довжину невідомої сторони «з». У нашому прикладі:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c 2 \u003d 244 + 29,25
- c 2 \u003d 273,25
- c \u003d 16,53
4 Складіть довжини трьох сторін, щоб знайти периметр. Нагадаємо, що периметр обчислюється за формулою: P \u003d a + b + c.
- У нашому прикладі: Р \u003d 10 + 12 + 16,53 \u003d 38,53.

Трикутник являє собою одну з фундаментальних геометричних фігур, Що представляють собою три пересічних відрізка прямих. Ця фігура була відома ще вченим стародавнього Єгипту, Стародавній Греції і стародавнього Китаю, Які і вивели більшість формул і закономірностей, які використовуються вченими, інженерами та конструкторами досі.

До основних складових частин трикутника відносяться:

Вершини - точки перетину відрізків.

Сторони - пересічні відрізки прямих.

Виходячи з цих складових частин, Формулюють такі поняття, як периметр трикутника, його площа, вписана і описана окружність. Ще зі школи відомо, що периметр трикутника є числове вираз суми всіх трьох його сторін. У той же час формул для знаходження даної величини відомо безліч, в залежності від тих вихідних даних, які є у дослідника в тому чи іншому випадку.

1. Найпростіший спосіб знаходження периметра трикутника використовується в тому випадку, коли відомі числові значення всіх трьох його сторін (x, y, z), як наслідок:

2. Периметр рівностороннього трикутника можна знайти, якщо згадати, що у даній фігури усі сторони, втім, як і всі кути, рівні. Знаючи довжину цієї сторони, периметр рівностороннього трикутника можна визначити за формулою:

3. У рівнобедреного трикутника, на відміну від рівностороннього, тільки дві бічні сторони мають один і той же числове значення, тому в цьому випадку в загалом вигляді периметр буде перебувати в такий спосіб:

4. наступні способи необхідні в тих випадках, коли відомі числові значення не всіх сторін. Наприклад, якщо в дослідженні є дані про двох сторонах, а також відомий кут між ними, то периметр трикутника може бути знайдений за допомогою визначення третьої сторони і відомого кута. У цьому випадку ця третя сторона буде знайдена за формулою:

z \u003d 2x + 2y-2xycosβ

Виходячи з цього, периметр трикутника буде дорівнює:

P \u003d x + y + 2x + (2y-2xycos β)

5. У тому випадку, коли спочатку дана довжина не більше ніж одного боку трикутника і відомі числові величини двох кутів прилеглих до неї, то периметр трикутника можна обчислити, спираючись на теорему синусів:

P \u003d x + sinβ х / (sin (180 ° -β)) + sinγ x / (sin (180 ° -γ))

6. Бувають випадки, коли для знаходження периметра трикутника використовуються відомі параметри вписаною в нього кола. Дана формула також відома більшості ще зі шкільної лави:

P \u003d 2S / r (S - площа кола, тоді як r - її радіус).

З усього вищенаведеного видно, що величина периметра трикутника може бути знайдена безліччю способів, виходячи з тих даних, якими володіє дослідник. Крім того, є ще кілька окремих випадків знаходження даної величини. Так, периметр є однією з найважливіших величин і характеристик прямокутного трикутника.

Як відомо, таким трикутником називають фігуру, дві сторони якої утворюють прямий кут. Периметр прямокутного трикутника знаходиться через числове вираз суми обох катетів і гіпотенузи. У тому випадку, якщо досліднику відомі дані тільки про дві сторони, що залишилася можна обчислити за допомогою знаменитої теореми Піфагора: z \u003d (x2 + y2), якщо відомі обидва катета, або x \u003d (z2 - y2), якщо відома гіпотенуза і катет.

У тому випадку, якщо відома довжина гіпотенузи і один з прилеглих у ній кутів, то дві інші сторони знаходяться за формулами: х \u003d z sinβ, y \u003d z cosβ. В цьому випадку периметр буде дорівнює:

P \u003d z (cosβ + sinβ +1)

Також окремим випадком є \u200b\u200bобчислення периметра правильного (або рівностороннього) трикутника, тобто такої фігури, у якій усі сторони і всі кути рівні. Обчислення периметра такого трикутника за відомою стороні ніякої проблеми не становить, проте, часто досліднику відомі якісь інші дані. Так, якщо відомий радіус вписаного кола, периметр правильного трикутника знаходиться за формулою:

А якщо дана величина радіусу описаного кола, периметр правильного трикутника буде знайдений таким чином:

Формули потрібно запам'ятати, щоб успішно пріменть на практиці.