Вам знадобиться

• Трикутник з заданими параметрами
• Циркуль
• лінійка
• косинець
• Таблиця синусів і косинусів
• математичні поняття
• Визначення висоти трикутника
• Формули синусів і косинусів
• Формула площі трикутника

Інструкція

Накресліть трикутник з потрібними параметрами. Трикутник або за трьома сторонами, або за двома сторонами і кутом між ними, або по стороні і двом прилеглим до неї кутам. Позначте вершини трикутника як А, В і С, кути - як α, β, і γ, а протилежні вершин кутом боку - як а, b і c.

Проведіть до всіх сторін трикутника і знайдіть точку їх перетину. Позначте висоти як h з відповідними сторонам індексами. Знайдіть точку їх перетину і позначте її О. Вона і буде центром кола. Таким чином, радіусами цієї окружності будуть відрізки ОА, ОВ і ОС.

Радіус знайти за двома формулами. Для однієї вам необхідно спочатку обчислити. Вона дорівнює всіх сторін трикутника на синус будь-якого з кутів, поділеній на 2.

У цьому випадку радіус описаного кола обчислюється за формулою

Для іншої досить довжину однієї зі сторін і синус протилежного кута.

Обчисліть радіус і опишіть трикутника коло.

Корисна порада

Згадайте, що таке висота трикутника. Це перпендикуляр, проведений з кутка до протилежні стороні.

Площа трикутника може бути представлена \u200b\u200bі як твір квадрата однієї зі сторін на синуси двох прилеглих кутів, поділене на подвоєний синус суми цих кутів.
S \u003d А2 * sinβ * sinγ / 2sinγ

джерела:

• таблиця з радіусами описаного кола
• Радіус кола, описаного навколо рівностороннього

Вважається описаної навколо багатокутника в тому випадку, якщо вона стосується всіх його вершин. Що примітно, центр подібної окружності збігається з точкою перетину перпендикулярів, проведених з середин сторін багатокутника. радіус описаної окружності повністю залежить від того багатокутника, навколо якого вона описана.

Вам знадобиться

• Знати боку багатокутника, його площа / периметр.

Інструкція

Зверніть увагу

Навколо багатокутника можна описати окружність тільки в тому випадку, якщо він правильний, тобто всі його сторони рівні і всі його кути рівні.
Теза, що свідчить, що центром описаної навколо багатокутника кола є перетин його серединних перпендикулярів, справедливий для всіх правильних багатокутників.

джерела:

• як знайти радіус багатокутника

Якщо для багатокутника вдається побудувати і описану окружності, то площа цього багатокутника менше площі описаного кола, але більша за площу вписаного кола. Для деяких багатокутників відомі формули для знаходження радіусу вписаного і описаного кіл.

Інструкція

Вписаною в багатокутник окружність, що стосується всіх сторін багатокутника. для трикутника радіусу кола: r \u003d ((p-a) (p-b) (p-c) / p) ^ 1/2, де p - напівпериметр; a, b, c - сторони трикутника. Для формула спрощується: r \u003d a / (2 * 3 ^ 1/2), а - сторона трикутника.

Описаної навколо багатокутника називається така окружність, на якій лежать всі вершини багатокутника. Для трикутника радіус знаходиться за формулою: R \u003d abc / (4 (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ 1/2), де p - напівпериметр; a, b, c - сторони трикутника. Для правильного простіше: R \u003d a / 3 ^ 1/2.

Для багатокутників не завжди можливо з'ясувати співвідношення радіусів вписаних і і довжин його сторін. Найчастіше обмежуються побудовою таких кіл близько багатокутника, а потім фізичного радіусу кіл за допомогою вимірювальних приладів або векторного простору.
Для побудови описаного кола опуклого багатокутника будують бісектриси двох його кутів, на їх перетині лежить центр описаного кола. Радіусом буде відстань від точки перетину биссектрис до вершини будь-якого кута багатокутника. Центр вписаною на перетині перпендикулярів, побудованих усередину багатокутника з центрів сторін (ці перпендикуляри серединними). Досить побудувати два таких перпендикуляра. Радіус вписаного кола дорівнює відстані від точки перетину серединних перпендикулярів до сторони багатокутника.

Відео по темі

Зверніть увагу

У довільно заданий багатокутник можна вписати коло і описати коло навколо нього.

Корисна порада

У чотирикутник можна вписати коло, якщо a + c \u003d b + d, де a, b, с, d - сторони чотирикутника по порядку. Навколо чотирикутника можна описати коло, якщо протилежні його кути в сумі дають 180 градусів;

Для трикутника такі кола завжди існують.

Рада 4: Як знайти за трьома сторонами площа трикутника

Пошук площі трикутника - одна з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо для визначення площі будь-якого трикутника. В окремих випадках і рівностороннього трикутників досить знати довжини двох і одного боку відповідно.

Вам знадобиться

• довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косинусів

Інструкція

Формула Герона для площі трикутника наступним чином: S \u003d sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S \u003d sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2) ) \u003d (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

Можна вивести формулу для площі трикутника і з міркувань, наприклад, застосувавши теорему косинусів.

По теоремі косинусів AC ^ 2 \u003d (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Використовуючи введені позначення, ці можна також у вигляді: b ^ 2 \u003d (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Звідси, cos (ABC) \u003d ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Площа трикутника знаходиться також по формулі S \u003d a * c * sin (ABC) / 2 через дві сторони і кут між ними. Синус кута ABC можна виразити через його за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin (ABC) \u003d sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Підставляючи синус в формулу для площі і розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.

Відео по темі

Три точки, однозначно визначають трикутник в Декартовой системі координат - це його вершини. Знаючи їх положення щодо кожної з координатних осей можна обчислити будь-які параметри цієї плоскої фігури, включаючи і що обмежується її периметром площа. Це можна зробити декількома способами.

Інструкція

Використовуйте формулу Герона для розрахунку площі трикутника. У ній задіяні розміри трьох сторін фігури, тому обчислення начините с. Довжина кожної сторони повинна бути дорівнює кореню з суми квадратів довжин її проекцій на координатні осі. Якщо позначити координати A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) і C (X₃, Y₃, Z₃), довжини їх сторін можна виразити так: AB \u003d √ ((X₁-X₂) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC \u003d √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC \u003d √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Для спрощення розрахунків введіть допоміжну змінну - напівпериметр (Р). З, що це половина суми довжин всіх сторін: Р \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Розрахуйте площа (S) за формулою Герона - витягніть корінь з добутку напівпериметр на різницю між ним і довжиною кожної зі сторін. В загалом вигляді її можна записати так: S \u003d √ (P * (P-AB) * (P-BC) * (P-AC)) \u003d √ (P * (P-√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂ ) ² + (Z₁-Z₂) ²)) * (P-√ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²)) * (P-√ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²)).

Для практичних розрахунків зручно користуватися спеціалізованими -калькулятор. Це скрипти, розміщені на серверах деяких сайтів, які виконають всі необхідні розрахунки на основі координат, введених вами в відповідну форму. Єдиний такого сервісу - він не дає пояснень та обґрунтувань для кожного кроку обчислень. Тому, якщо вас цікавить тільки кінцевий результат, а не обчислення в загальному вигляді, перейдіть, наприклад, на сторінку http://planetcalc.ru/218/.

В поля форми введіть кожну координату кожної з вершин трикутника - вони тут як Ax, Ay, Az і т.д. Якщо трикутник заданий двомірними координатами, в поля - Az, Bz і Cz - пишіть нуль. В поле «Точність обчислення» встановіть потрібне число знаків після коми, клікаючи мишкою плюса або мінуса. Вміщену під формою помаранчеву кнопку «Розрахувати» натискати не обов'язково, обчислення будуть зроблені і без цього. Відповідь ви знайдете поруч з написом «Площа трикутника»- вона розміщена відразу під помаранчевої кнопкою.

джерела:

• знайдіть площа трикутника з вершинами в точках

Іноді близько опуклого багатокутника можна накреслити таким чином, щоб вершини всіх кутів лежали на ній. Таку окружність по відношенню до багатокутника треба називати описаної. її центр не обов'язково повинен перебувати всередині периметра вписаного фігури, але користуючись властивостями описаної окружності, Знайти цю точку, як правило, не дуже важко.

Вам знадобиться

• Лінійка, олівець, транспортир або косинець, циркуль.

Інструкція

Якщо багатокутник, біля якого потрібно описати коло, накреслений на папері, для знаходження центра кола досить лінійки, олівця і транспортира або косинця. Виміряйте довжину кожної зі сторін фігури, визначте її середину і поставте в цьому місці креслення допоміжну точку. За допомогою кутника або транспортира проведіть всередині багатокутника перпендикулярний цій стороні відрізок до перетину з протилежною стороною.

Проробіть цю ж операцію з будь-якою іншою стороною багатокутника. Перетин двох побудованих відрізків і буде шуканої точкою. Це випливає з основного властивості описаної окружності - її центр в опуклому багатокутнику з будь-яким сторін завжди лежить в точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до цих

Доведення теорем про властивості описаного навколо трикутника кола

Серединний перпендикуляр до відрізка

Визначення 1. Серединним перпендикуляром до відрізка називають, пряму, перпендикулярну до цього відрізка і проходить через його середину (рис. 1).

Теорема 1. Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка знаходиться на одному і тому ж відстані від кінців цього відрізка.

Доведення . Розглянемо довільну точку D, що лежить на серединному перпендикуляре до відрізка AB (рис.2), і доведемо, що трикутники ADC і BDC рівні.

Дійсно, ці трикутники є прямокутними трикутниками, у яких катети AC і BC рівні, а катет DC є загальним. З рівності трикутників ADC і BDC випливає рівність відрізків AD і DB. Теорема 1 доведена.

Теорема 2 (Зворотній до теоремі 1). Якщо точка знаходиться на одному і тому ж відстані від кінців відрізка, то вона лежить на серединному перпендикуляре до цього відрізка.

Доведення . Доведемо теорему 2 методом «від супротивного». З цією метою припустимо, що деяка точка E знаходиться на одному і тому ж відстані від кінців відрізка, але не лежить на серединному перпендикуляре до цього відрізка. Наведемо це припущення до протиріччя. Розглянемо спочатку випадок, коли точки E і A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра (рис.3). В цьому випадку відрізок EA перетинає серединний перпендикуляр в деякій точці, яку ми позначимо літерою D.

Доведемо, що відрізок AE довше відрізка EB. дійсно,

Таким чином, в разі, коли точки E і A лежать по різні боки від серединного перпендикуляра, ми отримали протиріччя.

Тепер розглянемо випадок, коли точки E і A лежать по одну сторону від серединного перпендикуляра (рис.4). Доведемо, що відрізок EB довше відрізка AE. дійсно,

Отримане протиріччя і завершує доведення теореми 2

Коло, описане навколо трикутника

Визначення 2. Окружністю, описаної близько трикутника, Називають коло, що проходить через всі три вершини трикутника (рис.5). В цьому випадку трикутник називають трикутником, вписаним в коло, або вписаним трикутником.

Властивості описаного навколо трикутника кола. теорема синусів

фігура	малюнок	властивість
серединні перпендикуляри до сторін трикутника		перетинаються в одній точці .
центр описаного навколо остроугольного трикутника окружності		Центр описаного навколо остроугольного всередині трикутника.
центр описаного навколо прямокутного трикутника окружності		Центром описаного навколо прямокутного середина гіпотенузи .
центр описаного навколо тупоугольного трикутника окружності		Центр описаного навколо тупоугольного трикутника окружності лежить поза трикутника.
		,
Площа трикутника		S \u003d2R 2 sin A sin B sin C ,
Радіус описаного кола		Для будь-якого трикутника справедливо рівність:

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника

Все серединні перпендикуляри , Проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються в одній точці .

Коло, описане навколо трикутника

Близько будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного навколо трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника.

Центр описаного навколо остроугольного трикутника окружності

Центр описаного навколо остроугольного трикутника окружності лежить всередині трикутника.

Центр описаного навколо прямокутного трикутника окружності

Центром описаного навколо прямокутного трикутника окружності є середина гіпотенузи .

Центр описаного навколо тупоугольного трикутника окружності

Центр описаного навколо тупоугольного трикутника окружності лежить поза трикутника.

Для будь-якого трикутника справедливі рівності (теорема синусів): , де a, b, c - сторони трикутника, A, B, С - кути трикутника, R - радіус описаного кола.

Площа трикутника

Для будь-якого трикутника справедливо рівність: S \u003d2R 2 sin A sin B sin C , де A, B, С - кути трикутника, S - площа трикутника, R - радіус описаного кола.

Радіус описаного кола

Для будь-якого трикутника справедливо рівність: де a, b, c - сторони трикутника, S - площа трикутника, R - радіус описаного кола.

Доведення теорем про властивості описаного навколо трикутника кола

Теорема 3. Все серединні перпендикуляри, проведені до сторін довільного трикутника, перетинаються в одній точці.

Доведення . Розглянемо два серединних перпендикуляра, проведених до сторін AC і AB трикутника ABC, і позначимо точку їх перетину буквою O (рис. 6).

Оскільки точка O лежить на серединному перпендикуляре до відрізка AC, то в силу теореми 1 справедливо рівність:

Оскільки точка O лежить на серединному перпендикуляре до відрізка AB, то в силу теореми 1 справедливо рівність:

Отже, справедливо рівність:

звідки за допомогою теореми 2 робимо висновок, що точка O лежить на серединному перпендикуляре до відрізка BC. Таким чином, всі три серединних перпендикуляра проходять через одну і ту ж точку, що й треба було довести.

Слідство. Близько будь-якого трикутника можна описати коло . Центром описаного навколо трикутника кола є точка, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника.

Доведення . Розглянемо точку O, в якій перетинаються всі серединні перпендикуляри, проведені до сторін трикутника ABC (рис. 6).

При доведенні теореми 3 було отримано рівність:

з якого випливає, що коло з центром в точці O і радіусами OA, OB, OC проходить через всі три вершини трикутника ABC, що й треба було довести.

Дуже часто при вирішенні геометричних задач доводиться здійснювати дії з допоміжними фігурами. Наприклад, знаходити радіус вписаного або описаного кола і т.д. Дана стаття покаже, як знаходити радіус кола, описаного навколо трикутника. Або, іншими словами, радіус кола, в яку вписаний трикутник.

Як знайти радіус кола, описаного навколо трикутника - загальна формула

Загальна формула виглядає наступним чином: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), де R - радіус описаного кола, p - периметр трикутника поділений на 2 (напівпериметр). a, b, c - сторони трикутника.

Знайти радіус описаного кола трикутника, якщо a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.

Таким чином, виходячи з вищенаведеної формули, обчислюємо напівпериметр:
p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Підставляємо значення в формулу і отримуємо:
R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.

Відповідь: R \u003d 126 / 16√5

Як знайти радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника

Для знаходження радіусу кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, існує досить проста формула: R \u003d a / √3, де a - величина його боку.

Приклад: Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5. Знайти радіус описаного кола.

Так як у рівностороннього трикутника всі сторони рівні, для вирішення завдання потрібно всього лише вписати її значення в формулу. Отримаємо: R \u003d 5 / √3.

Відповідь: R \u003d 5 / √3.

Як знайти радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника

Формула виглядає наступним чином: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, де a і b - катети і c - гіпотенуза. Якщо скласти квадрати катетів в прямокутному трикутнику, То отримаємо квадрат гіпотенузи. Як видно з формули, цей вислів знаходиться під коренем. Обчисливши корінь з квадрата гіпотенузи, ми отримаємо саму довжину. Множення отриманого виразу на 1/2 в результаті призводить нас до вираження 1/2 × c \u003d c / 2.

Приклад: Обчислити радіус описаного кола, якщо катети трикутника дорівнюють 3 і 4. Підставимо значення в формулу. Отримаємо: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2.5.

В даному вираз 5 - довжина гіпотенузи.

Відповідь: R \u003d 2.5.

Як знайти радіус кола, описаного навколо рівнобедреного трикутника

Формула виглядає наступним чином: R \u003d a² / √ (4a² - b²), де a - довжина стегна трикутника і b - довжина підстави.

Приклад: Обчислити радіус кола, якщо його стегно \u003d 7, а підстава \u003d 8.

Рішення: Підставляємо в формулу дані значення і отримуємо: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49 / √ (196 - 64) \u003d 49 / √132. Відповідь можна записати прямо так.

Відповідь: R \u003d 49 / √132

Онлайн ресурси для обчислення радіуса кола

Можна дуже легко заплутатися у всіх цих формулах. Тому при необхідності можна скористатися онлайн калькуляторами, Які допоможуть вам у вирішенні завдань на знаходження радіуса. Принцип роботи таких міні-програм дуже простий. Підставляєте значення боку в відповідне поле і отримуєте готову відповідь. Можна вибрати кілька варіантів округлення відповіді: до десяткових, сотих, тисячних і т.д.

Тема «Вписані і описані окружності в трикутниках» є однією з найскладніших в курсі геометрії. На уроках їй приділяється дуже мало часу.

Геометричні завдання цієї теми включаються в другу частину екзаменаційної роботи ЄДІ за курс середньої школи. Для успішного виконання цих завдань необхідні тверді знання основних геометричних фактів і деякий досвід у вирішенні геометричних задач.
Для кожного трикутника існує тільки одна описана окружність. Це така окружність, на якій лежать усі три вершини трикутника з заданими параметрами. Знайти її радіус може знадобитися не тільки на уроці геометрії. З цим доводиться постійно стикатися проектувальникам, закрійника, слюсарям і представникам багатьох інших професій. Для того, щоб знайти її радіус, необхідно знати параметри трикутника і його властивості. Центр описаного кола знаходиться в точці перетину серединних перпендикулярів трикутника.
Пропоную вашій увазі всі формули знаходження радіуса описаного кола і не тільки трикутника. Формули для вписаного кола можна подивитися.

a, b. с -боку трикутника,

α - кут, що лежить проти сторони a,
S -площа трикутника,

p -напівпериметр.

Тоді для знаходження радіуса ( R) Описаного кола використовують формули:

У свою чергу площа трикутника можна обчислити по одній з наступних формул:

А ось ще кілька формул.

1. Радіус описаного кола близько правильного трикутника. якщо a сторона трикутника, то

2. Радіус описаного кола близько рівнобедреного трикутника. нехай a, b - сторони трикутника, тоді

Діаметром окружності називають відрізок прямої, яка з'єднує дві найбільш віддалені одна від одної точки окружності, проходячи через центр кола. Назва діаметр, відбулося з грецької мови і в дослівному перекладі означало - поперечний. Діаметр позначають букой D латинського алфавіту або значком O.

Діаметр окружності

Для того, що б знати, як знайти діаметр кола, потрібно звернутися до формул. Основних формул, за якими можна обчислити діаметр окружності дві. Перша - D \u003d 2R. Тут діаметр дорівнює подвоєному радіусу, де радіус - проміжок від центру до будь-якої з точок кола (R). Розглянемо приклад, якщо в завданні відомий радіус і він дорівнює 10 см, то можна легко знайти діаметр. Для цього значення радіуса підставимо в формулу D \u003d 2 * 10 \u003d 20 см

Друга формула дає можливість знайти діаметр по довжині кола і виглядає вона так D \u003d L / П, де L- величина довжини окружності, а П - це число Пі, яке приблизно дорівнює 3,14. Цю формулу дуже зручно застосовувати в практиці. Якщо вам потрібно знати діаметр люка, кришки на бак, якогось котловану, варто, лише заміряти їх довжину окружності і поділити її на 3,14. Наприклад, довжина кола дорівнює 600 см, звідси D \u003d 600 / 3,14 \u003d 191,08 см.

Діаметр описаного кола

Діаметр описаного кола також можна знайти, якщо він описаний або вписаний в трикутник. Для цього спочатку потрібно знайти радіус для вписаного кола по формулі: R \u003d S / p, де S позначає площа трикутника, а р - його напівпериметр, p прирівнюється до (a + b + c) / 2. Після того, як відомий радіус, потрібно скористатися першою формулою. Або ж відразу підставити всі значення в формулу D \u003d 2S / p.

Якщо ви не знаєте, як знайти діаметр описаного кола, скористайтеся формулою, для знаходження радіусу кола описаного навколо трикутника. R \u003d (a * b * c) / 4 * S, S у формулі означає величину площі трикутника. Потім, так само підставте значення радіуса в формулу D \u003d 2R.