Урок 1

Медіани трикутника. Точка перетину медіан.

медианой трикутника називається відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

Доведення:

Точка перетину медіан трикутника є центром тяжіння цього трикутника.

завдання 1Точка перетину медіан трикутника відстоїть від його вершин на відстані, рівні 4, 6 і 8. Знайти довжини медіан трикутника.

Рішення.Нехай в трикутнику АВС AM, BE і CD - медіани, К - точка їх перетину, KС \u003d 4, kа \u003d 6 і КВ \u003d 8.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image004_34.gif "width \u003d" 76 "height \u003d" 50 "\u003e, тобто на відрізок КА доводиться 2 частини, а на відрізок КМ - одна частина, то вся медіана АМ складається з трьох рівних частин і https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif "width \u003d" 104 "height \u003d" 41 "\u003e.

аналогічно,

,

відповідь: 6, 9 і 12

завдання 2Медіани AM і СК трикутника АВС взаємно перпендикулярні і дорівнюють відповідно 6 і 9. Обчислити довжини сторін АВ і ВС.

https://pandia.ru/text/78/182/images/image010_15.gif "width \u003d" 104 "height \u003d" 41 "\u003e,

тому і

, .

Крім того

, .

Обчислимо по теоремі Піфагора довжини відрізків AK і СМ, отримуємо

Тепер обчислимо довжини сторін АВ і ВС:

АВ \u003d 2АК \u003d 10, ВС \u003d 2см \u003d.

відповідь: 10;.

Тест для самоконтролю.

1. Медіана трикутника ділить навпіл (вибрати один з варіантів відповідей)

1) кут трикутника

2) сторону трикутника

3) дві сторони трикутника

2. У якому відношенні точка перетину медіан трикутника ділить кожну з медіан трикутника (вибрати правильні варіанти відповідей).


1) 2: 1 рахуючи від основи трикутника

2) 1: 2 рахуючи від вершини трикутника

3) 2: 1 починаючи з вершини трикутника

4) 1: 2 рахуючи від основи трикутника

5) на дві рівні частини

3. Якщо в трикутнику АВС проведена медіана АM і Р - точка перетину медіан трикутника, то яку частину медіани АМ становить відрізок АР? (Вибрати один з варіантів відповідей)

4. У трикутнику АВС проведена медіана АM і Р - точка перетину медіан трикутника. Яку частину медіани АМ становить відрізок РМ? (Вибрати один з варіантів відповідей)

5. У трикутнику АВС проведена медіана АM і Р - точка перетину медіан трикутника. Яку частину відрізка АР становить відрізок РМ? (Вибрати один з варіантів відповідей)

Подивитися правильні відповіді.

Завдання для самостійного рішення.

1. Точка перетину медіан трикутника відстоїть від його вершин на відстані, рівні 6 см, 8 см і 12 см. Знайдіть довжини медіан трикутника.

Подивитися рішення.

2. Медіани ВM і СК трикутника АВС взаємно перпендикулярні і дорівнюють відповідно 15 і 36. Знайдіть довжини сторін АВ і АС.

Подивитися рішення.

3. Медіани трикутника рівні 6, 9 і 12. На якій відстані від вершин знаходиться точка перетину медіан трикутника?

Подивитися рішення.

4. Медіани трикутника рівні 9, 12 і 18. Знайдіть відстані від середин сторін трикутника до центру ваги даного трикутника.

Подивитися рішення.

5. Центр ваги трикутника відстоїть від середин його сторін на відстані. Рівні 5, 6 і 7. Знайдіть медіани даного трикутника.

Подивитися рішення.

6. Точка перетину медіан трикутника віддалена від середин його сторін на відстані, рівні 2, 3 і 4. На яких відстанях від вершин трикутника знаходиться ця точка?

Подивитися рішення.

Гомельська науково-практична конференція школярів з математики, її додатків та інформаційних технологій «Пошук»

Реферат на тему:

«Медіани трикутника»

учнів:

9 "класу державного

установи освіти

«Гомельська міська

Багатопрофільна гімназія № 14 »

Морозової Єлизавети

Ходосівського Олесі

Науковий керівник-

Учитель математики вищої категорії

Сафонова Алла Вікторівна

Гомель 2009


Вступ

1. Медіани трикутника і їх властивості

2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца

3. Застосування медіан в математичній статистиці

4. Медіани тетраедра

5. Шість доказів теореми про медіану

висновок

Список використаних джерел та літератури

прикладна програма


Вступ

Геометрія починається з трикутника. Ось уже два тисячоліття трикутник є як би символом геометрії, але він не символ. Трикутник - атом геометрії.

Трикутник невичерпний - постійно відкриваються його нові властивості. Щоб розповісти про всі відомі його властивості, необхідний тому можна порівняти за обсягом з томом великий енциклопедії. Ми хочемо розповісти про медіані трикутника і її властивості, а так само про застосування медіан.

Спочатку згадаємо, що медіана трикутника - це відрізок з'єднує вершини трикутника з серединою протилежної сторони. Медіани мають безліч властивостей. Але ми розглянемо одну властивість і 6 різних його доказів. Три медіани перетинаються в одній точці, яка називається центроїдом (центром мас) і діляться у відношенні 2: 1.

Існує медіани не тільки трикутника, але і тетраедра. Відрізок, що з'єднує вершину тетраедра з центроїдом (точкою перетину медіан) противолежащей межі називається медіаною тетраедра. Ми так само розглянемо властивість медіан тетраедра.

Медіани використовуються в математичній статистиці. Наприклад, для знаходження середнього значення деякого набору чисел.


1. Медіани трикутника і їх властивості

Як відомо, медианами трикутника називаються відрізки, що з'єднують його вершини з серединами протилежних сторін. Всі три медіани перетинаються в одній точці і діляться нею у відношенні 1: 2.

Точка перетину медіан є також центром ваги трикутника. Якщо підвісити картонний трикутник в точці перетину його медіан то він буде перебувати в стані рівноваги

Цікаво, що вcе шість трикутників, на які всякий трикутник розбивається своїми медианами, мають однакові площі.

Медіани трикутника через його боку виражаються так:

, , .

Якщо дві медіани перпендикулярні, то сума квадратів сторін, на які вони опущені, в 5 разів більше квадрата третьої сторони.

Побудуємо трикутник, сторони якого рівні медианам даного трикутника, тоді медіани побудованого трикутника дорівнюватимуть 3/4 сторін початкового трикутника.

Даний трикутник назвемо першим, трикутник з його медіан - другим, трикутник з медіан другого - третім і т. Д. Тоді трикутники з непарними номерами (1,3, 5, 7, ...) подібні між собою і трикутники з парними номерами ( 2, 4, 6, 8, ...) також подібні між собою.

Сума квадратів довжин всіх медіан трикутника дорівнює ¾ суми квадратів довжин його сторін.


2. Відкриття німецького математика Г. Лейбніца

Знаменитий німецький математик Г. Лейбніц виявив чудовий факт: сума квадратів відстаней від довільної точки площини до вершин трикутника, що лежить в цій площині, дорівнює сумі квадратів відстаней від точки перетину медіан до його вершин, складеної з потроєною квадратом відстані від точки перетину медіан до обраної точки.

З цієї теореми випливає, що точка на площині, для якої сума квадратів відстаней до вершин даного трикутника є мінімальною, - це точка перетину медіан цього трикутника.

У той же час мінімальна сума відстаней до вершин трикутника (а не їх квадратів) буде для точки, з якої кожна сторона трикутника видно під кутом в 120 °, якщо жоден з кутів трикутника не більш 120 ° (точка Ферма), і для вершини тупого кута, якщо він більше 120 °.

З теореми Лейбніца і попереднього затвердження легко знайти відстань dвід точки перетину медіан до центру описаного кола. Дійсно, це відстань по теоремі Лейбніца дорівнює кореню квадратному з однієї третини різниці між сумою квадратів відстаней від центру описаного кола до вершин трикутника і сумою

Квадратів відстаней від точки перетину медіан до вершин трикутника. Отримуємо, що

.

Крапка Мперетину медіан трикутника AВС є єдиною точкою трикутника, для якої сума векторів МА,MB і МС дорівнює нулю. координати точки М(Щодо довільних осей) дорівнюють середнім арифметичним відповідних координат вершин трикутника. З цих тверджень можна отримати доказ теореми про медіану.

3. Застосування медіан в математичній статистиці

Медіани бувають не тільки в геометрії, а й в математичній статистиці. Нехай потрібно знайти середнє значення деякого набору чисел

, , ..., а п.Можна, звичайно, за середнє прийняти середнє арифметичне

Але іноді це незручно. Припустимо, що потрібно визначити середнє зростання другокласників Москви. Опитаємо навмання 100 школярів і запишемо їх зростання. Якщо один з хлопців жартома скаже, що його зріст дорівнює кілометру, то середнє арифметичне записаних чисел виявиться занадто великим. Набагато краще в якості середнього взяти медіанучисел

, ..., а п.

Припустимо, що чисел - непарна кількість, і розставимо їх в неубутних порядку. Число, яке опинилося на середньому місці, називається медіаною набору. Наприклад, медіана набору чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 дорівнює 2 (а середнє арифметичне значно більше - воно дорівнює 6).

4. Медіани тетраедра

Виявляється, можна говорити про медіану не тільки для трикутника, але і для тетраедра. Відрізок, що з'єднує вершину тетраедра з центроїдом (точкою перетину медіан) противолежащей межі, називається медианойтетраедра. Як і медіани трикутника, медіани тетраедра перетинаються в одній точці, центрі мас або центр ваги тетраедра, але ставлення, в якому вони діляться в цій точці, інше - 3: 1, рахуючи від вершин. Ця ж точка лежить і на всіх відрізках, що з'єднують середини протилежних ребер тетраедра, його бімедіанах, і ділить їх навпіл. Це можна довести, наприклад, з механічних міркувань, помістивши в кожну з чотирьох вершин тетраедра важки одиничної маси.

5. Шість доказів теореми про медіану

Давно помічено, що познайомитися з різними рішеннями одного завдання буває корисніше, ніж з однотипними рішеннями різних завдань. Однією з теорем, що допускають, як і багато інших класичні теореми елементарної геометрії, кілька повчальних доказів, є

Теорема про медіану трикутника. Медіани, В і С трикутникаABC перетинаються в деякій точці М, причому кожна з них ділиться цією точкою щодо2:1, рахуючи від вершини:AM: M= BM: M= CM: M=2. (1)

У всіх наведених далі доказах, крім шостого, ми встановлюємо тільки, що медіана У проходить через точку М, яка ділить медіану А щодо2: 1. Якщо у відповідному міркуванні замінити відрізок Вна відрізок С,то ми отримаємо, що і Зпроходить через М.Цим буде доведено, що всі три медіани перетинаються в деякій точці М,причому АМ: М - 2.Оскільки всі медіани рівноправні, можна замінити Ана Вабо СС 1 звідси випливає (1).

Медіана - це одна з основних ліній трикутника. Цей відрізок і пряма, на якій він лежить, з'єднує точку на чолі кута трикутника з серединою протилежної сторони цієї ж фігури. У рівносторонньому трикутнику медіана є також бісектрисою і висотою.

Властивість медіани, яке істотно полегшить вирішення багатьох завдань, полягає в наступному: якщо в трикутнику провести медіани з кожного кута, то всі вони, перетинаючись в одній точці, буде ділитися у співвідношенні 2: 1. Співвідношення слід відраховувати від вершини кута.

Медіана має властивість розділяти все порівну. Наприклад, будь-яка медіана ділить трикутник на два інших, рівних за своєю площею. А якщо провести всі три медіани, то в великому трикутнику вийде 6 маленьких, також рівних по площі. Такі фігури (з однаковою площею) називаються рівновеликими.

бісектриса

Бісектриса є промінь, який починається в вершині кута і ділить цей же кут навпіл. Точки, що лежать на даному промені, рівновіддалені від сторін кута. Властивості бісектриси добре допомагають у вирішенні завдань, пов'язаних з трикутниками.

У трикутнику биссектрисой називають відрізок, який лежить на промені бісектриси кута і з'єднує вершину з протилежною стороною. Точка перетину зі стороною ділить її на відрізки, відношення яких дорівнює відношенню прилеглих до них сторонам.

Якщо в трикутник вписати коло, то її центр буде збігатися з точкою перетину всіх биссектрис даного трикутника. Це властивість має відображення і в стереометрії - там роль трикутника грає піраміда, а окружності - куля.

Висота

Також як медіана і бісектриса, висота в трикутнику в першу чергу пов'язують вершину кута і протилежну сторону. Це зв'язок виникає в наступному: висота - це перпендикуляр, проведений з вершини, до прямої, яка містить в собі протилежну сторону.

Якщо висота проведена в прямокутному трикутнику, то, торкаючись протилежного боку, вона ділить весь трикутник на два інших, які в свою чергу подібні першому.

Нерідко поняття перпендикуляра застосовується в стереометрії, щоб визначити взаєморозташування прямих в різних площинах і відстань між ними. В цьому випадку відрізок, що виконує функцію перпендикуляра, повинен мати прямий кут з обома прямими. тоді числове значення даного відрізка буде показувати відстань між двома фігурами.

урок 3

Медіана ділить площу трикутника навпіл

Два трикутника називаються рівновеликими. Якщо вони мають однакову площу.

Теорема 1. Медіана ділить трикутник на два рівновеликих трикутника.

Доведення:

Нехай ВМ - медіана трикутника АВС. Доведемо, що

https://pandia.ru/text/78/448/images/image002_97.jpg "width \u003d" 289 "height \u003d" 227 "\u003e

Проведемо висоту BH трикутника АВС. тоді

,

https://pandia.ru/text/78/448/images/image005_99.gif "width \u003d" 136 "height \u003d" 34 src \u003d "\u003e.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image007_80.gif "width \u003d" 217 "height \u003d" 55 src \u003d "\u003e.

Що і потрібно було довести.

теорема 2. Медіани трикутника розбивають його на шість рівновеликих трикутників.

З теореми, зокрема випливає, що якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати з усіма його вершинами, то трикутник розіб'ється на три рівновеликі частини.

завдання 1 Дві медіани трикутника взаємно перпендикулярні і дорівнюють відповідно 3 і 4. Знайти площу трикутника.

Рішення.

Нехай в трикутнику АВС медіани АМ і ВЕ рівні 3 і 4 відповідно,, К - точка перетину медіан.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image013_46.gif "width \u003d" 120 "height \u003d" 47 src \u003d "\u003e.

Так як трикутник АВК прямокутний з прямим кутом ВКА, то .

Так як медіан ділять трикутник на 6 рівновеликих частин, то.

відповідь: 8

завдання 2 Медіани трикутника рівні 6, 8 і 10, знайти площу трикутника.

Рішення.

нехай медіани АM, BE і CD даного трикутника відповідно рівні 6, 8 і 10, К - точка їх перетину. Відкладемо на продовженні променя ВЕ за точку Е відрізок EF= KE. З'єднаємо точки С, F і A.

Розглянемо трикутник KAF.


https://pandia.ru/text/78/448/images/image018_31.gif "width \u003d" 152 "height \u003d" 41 src \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/78/448/images/image020_25.gif "width \u003d" 67 "height \u003d" 19 src \u003d "\u003e, так як CKAE - паралелограм (за ознакою паралелограма: їли діагоналі чотирикутника діляться точкою перетину навпіл, до даний чотирикутник паралелограм), отримуємо .

Так як https://pandia.ru/text/78/448/images/image023_26.gif "width \u003d" 125 "height \u003d" 20 src \u003d "\u003e, то по зворотної теоремі Піфагора (якщо квадрат одного боку трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то трикутник прямокутний) трикутник KAF - прямокутний і.

Обчислимо площу трикутника AKF:

https://pandia.ru/text/78/448/images/image026_24.gif "width \u003d" 104 "height \u003d" 41 src \u003d "\u003e. gif" width \u003d "104" height \u003d "41 src \u003d"\u003e.

https://pandia.ru/text/78/448/images/image030_18.gif "width \u003d" 16 height \u003d 41 "height \u003d" 41 "\u003e від площі самого трикутника.

Доказ можна подивитися, наприклад, в методичному посібнику «Опорні задачі з планіметрії».

Питання для самоперевірки:

1. Які трикутники називаються рівновеликими?

2. Площа трикутника дорівнює S. Чому дорівнює площа кожного з трикутників, на які його розбиває медіана, проведена до будь-якій стороні цього трикутника?

3. На скільки рівновеликих частин розбивають трикутник проведені в ньому три медіани?

4. Площа трикутника дорівнює S. Цент тяжкості цього трикутника з'єднали з його вершинами. Чому дорівнює площа кожного з вийшов трикутників?

5. Площа трикутника дорівнює 48, чому дорівнює площа трикутника, складеного з медіан цього трикутника?

6. Площа трикутника, складеного з медіан деякого трикутника дорівнює 24, чому дорівнює площа трикутника?

Подивитися відповіді.

Завдання для самостійного рішення:

1. Дві медіани трикутника взаємно перпендикулярні і дорівнюють відповідно 6 і 8. Знайти площу трикутника.

Подивитися рішення.

2. Медіани трикутника дорівнюють 3, 4 і 5 знайти площу трикутника.

Подивитися рішення.

3. Трикутник АВС, сторони якого 13 см, 14 см і 15 см, розбитий на три трикутника відрізками, що з'єднують точку М перетину медіан трикутника з вершинами трикутника. Знайти площу трикутника ВМС.

Подивитися рішення.

4. Дві сторони трикутника дорівнюють 10 і 12, а медіана, проведена до третьої, дорівнює 5. Знайдіть площу трикутника.

Подивитися рішення.

При вирішенні геометричних задач корисно дотримуватися такого алгоритму. Під час читання умови задачі необхідно

  • Зробити креслення. Креслення повинен максимально відповідати умові завдання, так його основне завдання допомогти знайти хід рішення
  • Нанести всі дані з умови задачі на креслення
  • Виписати всі геометричні поняття, які зустрічаються в задачі
  • Згадати все теореми, які відносяться до цих поняттю
  • Нанести на креслення все співвідношення між елементами геометричної фігури, Які слідують з цих теорем

Наприклад, якщо в задачі зустрічається слова бісектриса кута трикутника, потрібно згадати визначення і властивості бісектриси і позначити на кресленні рівні або пропорційні відрізки і кути.

У цій статті ви знайдете основні властивості трикутника, які необхідно знати для успішного вирішення завдань.

ТРИКУТНИК.

Площа трикутника.

1. ,

тут - довільна сторона трикутника, - висота, опущена на цю сторону.


2. ,

тут і - довільні боку трикутника, - кут між цими сторонами:

3. Формула Герона:

Тут - довжини сторін трикутника, - напівпериметр трикутника,

4. ,

тут - напівпериметр трикутника, - радіус вписаного кола.


Нехай - довжини відрізків дотичних.


Тоді формулу Герона можна записати в такому вигляді:

5.

6. ,

тут - довжини сторін трикутника, - радіус описаного кола.

Якщо на боці трикутника взята точка, яка ділить цю сторону щодо m: n, то відрізок, котрий поєднує цю точку з вершиною протилежного кута ділить трикутник на два трикутника, площі яких відносяться як m: n:


Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності.

медіана трикутника

Це відрізок, що з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.

медіани трикутника перетинаються в одній точці і діляться точкою перетину у відношенні 2: 1, рахуючи від вершини.


Точка перетину медіан правильного трикутника ділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.

Радіус описаного кола в два рази більший за радіус вписаного кола: R \u003d 2r

довжина медіани довільного трикутника

,

тут - медіана, проведена до сторони, - довжини сторін трикутника.

бісектриса трикутника

Це відрізок бісектриси будь-якого кута трикутника, що з'єднує вершину цього кута з протилежною стороною.

бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам:

бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром вписаного кола.

Всі точки бісектриси кута рівновіддалені від сторін кута.

Висота трикутника

Це відрізок перпендикуляра, опущений з вершини трикутника на протилежну сторону, Або її продовження. У тупоугольного трикутнику висота, проведена з вершини гострого кута лежить поза трикутником.


Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.

Щоб знайти висоту трикутника, Проведену до сторони, потрібно будь-яким доступним способом знайти його площа, а потім скористатися формулою:

Центр кола, описаного навколо трикутника, Лежить в точці перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника.

Радіус описаного кола трикутника можна знайти за такими формулами:

Тут - довжини сторін трикутника, - площа трикутника.

,

де - довжина сторони трикутника, - протилежні кут. (Ця формула випливає з теореми синусів).

нерівність трикутника

Кожна сторона трикутника менша від суми і більше різниці двох інших.

Сума довжин будь-яких двох сторін завжди більше довжини третьої сторони:

Навпаки більшої сторони лежить більший кут; навпаки більшого кута лежить більша сторона:

Якщо, то і навпаки.

Теорема синусів:

боку трикутника пропорційні синусів протилежних кутів:


Теорема косинусів:

квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними:

Прямокутний трикутник

- це трикутник, один з кутів якого дорівнює 90 °.

сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90 °.

Гіпотенуза - це сторона, яка лежить проти кута 90 °. Гіпотенуза є найбільшою стороною.

Теорема Піфагора:

квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів:

Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює

,

тут - радіус вписаного кола, - катети, - гіпотенуза:


Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника лежить в середині гіпотенузи:


Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, Дорівнює половині гіпотенузи.

Визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс прямокутного трикутника дивіться

Співвідношення елементів в прямокутному трикутнику:

Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної з вершини прямого кута, Дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу:

Квадрат катета дорівнює добутку гіпотенузи на проекцію катета на гіпотенузу:


Катет, що лежить проти кута дорівнює половині гіпотенузи:

Рівнобедрений трикутник.

бісектриса рівнобедреного трикутника, Проведена до основи є медіаною і висотою.

У трикутник кути при основі рівні.

Кут при вершині.

І - бічні сторони,

І - кути при підставі.

Висота, бісектриса і медіана.

Увага! Висота, бісектриса і медіана, проведені до бічної сторони не збігаються.

правильний трикутник

(або рівносторонній трикутник ) - це трикутник, всі сторони і кути якого рівні між собою.

Площа правильного трикутника дорівнює

де - довжина сторони трикутника.

Центр кола, вписаного в правильний трикутник, Збігається з центром кола, описаного навколо правильного трикутника і лежить в точці перетину медіан.

Точка перетину медіан правильного трикутника ділить медіану на два відрізки, менший з яких дорівнює радіусу вписаного кола, а більший - радіусу описаного кола.

Якщо один з кутів рівнобедреного трикутника дорівнює 60 °, то цей трикутник правильний.

Середня лінія трикутника

Це відрізок, що з'єднує середини двох сторін.

На малюнку DE - середня лінія трикутника ABC.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині: DE || AC, AC \u003d 2DE

Зовнішній кут трикутника

Це кут, суміжний якогось кутку трикутника.

Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох кутів, не суміжних з нею.


Тригонометричні функції зовнішнього кута:

Ознаки рівності трикутників:

1 . Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.


2 . Якщо сторона і два прилеглих до неї кути одного трикутника відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.


3 Якщо три сторони одного трикутника відповідно рівні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні.


важливо: оскільки в прямокутному трикутнику два кути свідомо рівні, то для рівності двох прямокутних трикутників потрібно рівність всього двох елементів: двох сторін, або сторони і гострого кута.

Ознаки подібності трикутників:

1 . Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника, і кути, укладені між цими сторонами рівні, то ці трикутники подібні.

2 . Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то ці трикутники подібні.

3 . Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то ці трикутники подібні.

важливо: в подібних трикутниках подібні боку лежать проти рівних кутів.

теорема Менелая

Нехай пряма перетинає трикутник, причому - точка її перетину зі стороною, - точка її перетину зі стороною, і - крапка її перетину з продовженням боку. тоді