Кожному школяреві, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування завдання з даного розділу стереометрії викликають труднощі у великої кількості учнів. При цьому завдання, що вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати повинні все.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або перехресними. Кут між ними може бути гострим або прямим.

Для знаходження кута між прямими у ЄДІ або, наприклад, в рішенні, школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів вирішення завдань з даного розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми і теореми стереометрії. Школяру потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, для того щоб привести завдання до планіметричний задачі.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила і алгоритми. Головне в цьому випадку - правильно виконати всі обчислення. Відточити свої навички вирішення завдань на стереометрії та інших розділів шкільного курсу вам допоможе освітній проект «Школково».

Якщо на прямій в просторі відзначити дві довільні точки M 1 (x 1, y 1, z 1) і M 2 (x 2, y 2, z 2), то координати цих точок повинні задовольняти отриманому вище рівняння прямої:

Крім того, для точки М 1 можна записати:

.

Вирішуючи спільно ці рівняння, отримаємо:

.

Це рівняння прямої, що проходить через дві точки в просторі.

Загальні рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої може бути розглянуто як рівняння лінії перетину двох площин.

Загальні рівняння прямої в координатної формі:

Практична задача часто полягає у приведенні рівнянь прямих в загалом вигляді до канонічного вигляду.

Для цього треба знайти довільну точку прямої і числа m, n, p.

При цьому направляючий вектор прямої може бути знайдений як векторний добуток векторів нормалі до заданих площин.

Приклад. Знайти канонічне рівняння, якщо пряма задана у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, приймемо її координату х \u003d 0, а потім підставимо це значення в задану систему рівнянь.

Тобто А (0, 2, 1).

Знаходимо компоненти направляючого вектора прямої.

Тоді канонічні рівняння прямої:

Приклад.Привести до канонічного вигляду рівняння прямої, заданий у вигляді:

Для знаходження довільної точки прямої, яка є лінією перетину вказаних вище площин, приймемо z \u003d 0. Тоді:

;

2x - 9x - 7 \u003d 0;

Отримуємо: A (-1; 3; 0).

Спрямовує вектор прямої: .

Кут між площинами.

Кут між двома площинами в просторі  пов'язаний з кутом між нормалями до цих площинах  1 співвідношенням:  \u003d  1 або  \u003d 180 0 -  1, тобто

cos \u003d cos 1.

Визначимо кут  1. Відомо, що площині можуть бути задані співвідношеннями:

, де

(A 1, B 1, C 1), (A 2, B 2, C 2). Кут між векторами нормалі знайдемо з їх скалярного твори:

.

Таким чином, кут між площинами знаходиться за формулою:

Вибір знака косинуса залежить від того, який кут між площинами слід знайти - гострий, або суміжний з ним тупий.

Умови паралельності і перпендикулярності площин.

На основі отриманої вище формули для знаходження кута між площинами можна знайти умови паралельності і перпендикулярності площин.

Для того, щоб площини були перпендикулярні необхідно і достатньо, щоб косинус кута між площинами дорівнював нулю. Ця умова виконується, якщо:

Площині паралельні, вектори нормалей колінеарні:  .Це умова виконується, якщо: .

Кут між прямими в просторі.

Нехай в просторі задані дві прямі. Їх параметричні рівняння:

Кут між прямими  і кут між напрямними векторами  цих прямих пов'язані співвідношенням:  \u003d  1 або  \u003d 180 0 -  1. Кут між напрямними векторами знаходиться з скалярного твори. Таким чином:

.

Умови паралельності і перпендикулярності прямих в просторі.

Щоб дві прямі були паралельні необхідно і достатньо, щоб напрямні вектори цих прямих були колінеарні, тобто їх відповідні координати були пропорційні.

Даний матеріал присвячений такого поняття, як кут між двома пересічними прямими. У першому пункті ми пояснимо, що він із себе представляє, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, якими способами можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формули і покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам буде потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

визначення 1

Ми називаємо дві прямі перетинаються, якщо у них є одна загальна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма розділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кута, з яких два - вертикальні, а два - суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити і інші залишилися.

Припустимо, нам відомо, що один з кутів дорівнює α. В такому випадку кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж буде дорівнює α. Щоб знайти залишилися кути, нам треба обчислити різницю 180 ° - α. Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Пересічні під прямим кутом лінії називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

визначення 2

Кут, утворений двома пересічними прямими - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0, 90]. Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку буде дорівнює 90 градусам.

Уміння знаходити міру кута між двома пересічними прямими корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод рішення можна вибрати з декількох варіантів.

Для початку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кутах, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо боку трикутника і потрібно обчислити кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косинусів. Якщо у нас в умови є прямокутний трикутник, То для підрахунків нам також стане в нагоді знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод теж вельми зручний для вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використовувати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх буквами a і b. Прямі при цьому можна описати за допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M. Як визначити шуканий кут (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута в заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як спрямовує і нормальний вектор. Якщо у нас є рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох пересічних прямих.

Кут, утворений двома пересічними прямими, можна знайти за допомогою:

  • кута між напрямними векторами;
  • кута між нормальними векторами;
  • кута між нормальним вектором одній прямій і спрямовуючим вектором інший.

Тепер розглянемо кожен спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямних вектором a → \u003d (a x, a y) і пряма b з напрямних вектором b → (b x, b y). Тепер відкладемо два вектора a → і b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони будуть розташовуватися кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їх взаємного розташування. Див. Ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між пересічними прямими a і b. Якщо ж він тупий, то шуканий кут буде рівний куту, суміжному з кутом a →, b → ^. Таким чином, α \u003d a →, b → ^ в тому випадку, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °, і α \u003d 180 ° - a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.

Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати отримані рівності так: cos α \u003d cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.

У другому випадку були використані формули приведення. Таким чином,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

визначення 3

Косинус кута, утвореного двома пересічними прямими, буде дорівнює модулю косинуса кута між його направляючими векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) виглядає так:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → · b → \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) - це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад рішення задачі.

приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві пересічні прямі a і b. Їх можна описати параметричними рівняннями x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R і x 5 \u003d y - 6 - 3. Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас в умови є параметричне рівняння, значить, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її направляючого вектора. Для цього нам потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто пряма x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R буде мати направляючий вектор a → \u003d (4, 1).

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x 5 \u003d y - 6 - 3. Тут координати ми можемо взяти з знаменників. Таким чином, у цій прямій є спрямовує вектор b → \u003d (5, - 3).

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів в наведену вище формулу α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Отримуємо наступне:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

відповідь: Дані прямі утворюють кут в 45 градусів.

Ми можемо вирішити це завдання за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором na → \u003d (nax, nay) і пряма b з нормальним вектором nb → \u003d (nbx, nby), то кут між ними буде дорівнює куту між na → і nb → або кутку, який буде суміжних з na →, nb → ^. Цей спосіб показаний на зображенні:

Формули для обчислення косинуса кута між пересічними прямими і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α \u003d a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут n a → і n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.

приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 і x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть синус, косинус кута між ними і величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані за допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C \u003d 0. Нормальний вектор позначимо n → \u003d (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої і запишемо їх: n a → \u003d (3, 5). Для другої прямої x + 4 y - 17 \u003d 0 нормальний вектор матиме координати n b → \u003d (1, 4). Тепер додамо отримані значення в формулу і підрахуємо підсумок:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 × 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, то ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричну тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не є тупим, то sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

В такому випадку α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Відповідь: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок - знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати направляючого вектора одній прямій і нормального вектора інший.

Припустимо, що пряма a має направляючий вектор a → \u003d (a x, a y), а пряма b - нормальний вектор n b → \u003d (n b x, n b y). Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину і розглянути всі варіанти їх взаємного розташування. Див. На зображенні:

Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він буде доповнювати кут між a і b до прямого кута.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α в тому випадку, якщо a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Якщо він менше 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a →, n b → ^\u003e 90 °, тоді a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косинусів рівних кутів, запишемо:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α при a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α при a →, n b → ^\u003e 90 °.

Таким чином,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямних вектором першої прямої і нормальним вектором другий.

Запишемо необхідні формули. Знаходження синуса кута:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямних вектором першої прямої, а n b → - нормальним вектором другий.

приклад 3

Дві пересічні прямі задані рівняннями x - 5 \u003d y - 6 3 та x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати направляючого і нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → \u003d (- 5, 3) і n → b \u003d (1, 4). Беремо формулу α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попередньої задачі і отримали такий самий результат, але іншим способом.

відповідь: α \u003d a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a, яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y \u003d k 1 · x + b 1, і пряма b, задана як y \u003d k 2 · x + b 2. Це рівняння прямих з кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису були використані формули визначення кута через координати нормальних векторів.

приклад 4

Є дві пересічні на площині прямі, задані рівняннями y \u003d - 3 5 x + 6 і y \u003d посилання - 1 4 x + 17 4. Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих рівні k 1 \u003d - 3 5 і k 2 \u003d - 1 4. Додамо їх в формулу α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 і підрахуємо:

α \u003d a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

відповідь: α \u003d a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вчити напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних і / або нормальних векторів заданих прямих і вміти визначати їх по різних типах рівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.

Як обчислити кут між пересічними прямими в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів і визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі ж міркування, які ми приводили до цього.

Припустимо, що у нас є прямокутна система координат, розташована в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a і b з точкою перетину M. Для визначення координат направляючих векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → \u003d (a x, a y, a z) і b → \u003d (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

приклад 5

У нас є пряма, задана в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2. Відомо, що вона перетинається з віссю O z. Обчисліть кут перетину і косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба обчислити, буквою α. Запишемо координати направляючого вектора для першої прямої - a → \u003d (1, - 3, - 2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → \u003d (0, 0, 1) в якості направляючого. Ми отримали необхідні дані і можемо додати їх в потрібну формулу:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

У підсумку ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 \u003d 45 °.

відповідь: cos α \u003d 1, 2, α \u003d 45 °.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Інструкція

Зверніть увагу

період тригонометричної функції тангенс дорівнює 180 градусам, а значить кути нахили прямих не можуть, по модулю, перевищувати цього значення.

Корисна порада

Якщо кутові коефіцієнти рівні між собою, то кут між такими прямими дорівнює 0, так як такі прямі або збігаються або паралельні.

Щоб визначити величину кута між перехресними прямими, необхідно обидві прямі (або одну з них) перенести в нове положення методом паралельного перенесення до перетину. Після цього слід визначити величину кута між отриманими пересічними прямими.

Вам знадобиться

  • Лінійка, прямокутний трикутник, олівець, транспортир.

Інструкція

Отже, нехай заданий вектор V \u003d (а, b, с) і площину А x + В y + C z \u003d 0, де А, В і C - координати нормалі N. Тоді косинус кута α між векторами V та N дорівнює: сos α \u003d (а а + b В + з C) / (√ (а² + b² + с?) √ (а ² + В² + C²)).

Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від отриманого виразу розрахувати функцію, зворотну до косинусу, тобто арккосинус: α \u003d аrссos ((а А + b В + з C) / (√ (а² + b² + с?) √ (А ² + В² + C²))).

Приклад: знайдіть кут між вектором (5, -3, 8) і площиною, заданої загальним рівнянням 2 x - 5 y + 3 z \u003d 0.Решеніе: випишіть координати нормального вектора площини N \u003d (2, -5, 3). Підставте всі відомі значення в наведену формулу: сos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α \u003d 36,87 °.

Відео по темі

Пряма лінія, що має з колом одну спільну точку, є дотичною до кола. Інша особливість дотичній - вона завжди перпендикулярна радіусу, проведеного в точку дотику, тобто дотична і радіус утворюють прямий кут. Якщо з однієї точки А проведено дві дотичних до кола АВ і АС, то вони завжди рівні між собою. Визначення кута між дотичними ( кут АВС) проводиться за допомогою теореми Піфагора.

Інструкція

Для визначення кута необхідно знати радіус кола ОВ і ОС і відстань точки початку дотичній від центру кола - О. Отже, кути АВО і АСО рівні, радіус ОВ, наприклад 10 см, а відстань до центру кола АТ дорівнює 15 см. Визначте довжину дотичної по формулою відповідно до теореми Піфагора: АВ \u003d квадратний корінь з АО2 - ОВ2 або 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Нехай в просторі задані прямі lі m. Через деяку точку А простору проведемо прямі l 1 || lі m 1 || m (Рис. 138).

Зауважимо, що точка А може бути обрана довільно, зокрема вона може лежати на одній з даних прямих. якщо прямі lі m перетинаються, то за А можна взяти точку перетину цих прямих ( l 1 \u003d lі m 1 \u003d m).

Кутом між непаралельними прямими lі m називається величина найменшого з суміжних кутів, утворених пересічними прямими l 1 і m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Кут між паралельними прямими вважається рівним нулю.

Кут між прямими lі m позначається \\ (\\ widehat ((l; m)) \\). З визначення випливає, що якщо він вимірюється в градусах, то 0 ° < \\ (\\ Widehat ((l; m)) \\) < 90 °, а якщо в радіанах, то 0 < \\ (\\ Widehat ((l; m)) \\) < π / 2 .

Завдання. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Знайти кут між прямими АВ і DС 1.

Прямі АВ і DС 1 перехресні. Так як пряма DC паралельна прямий АВ, то кут між прямими АВ і DС 1, згідно з визначенням, дорівнює \\ (\\ widehat (C_ (1) DC) \\).

Отже, \\ (\\ widehat ((AB; DC_1)) \\) \u003d 45 °.

прямі lі m називаються перпендикулярними, Якщо \\ (\\ widehat ((l; m)) \\) \u003d π / 2. Наприклад, в кубі

Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими в просторі вирішується так само, як і на площині. Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2, а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90 ° (рис. 206,6), то φ \u003d 180 ° - ψ. Очевидно, що в обох випадках вірно рівність cos φ \u003d | cos ψ |. За формулою (косинус кута між ненульовими векторами а і b дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеній на добуток їхніх довжин) маємо

$$ cos \\ psi \u003d cos \\ widehat ((a; b)) \u003d \\ frac (a \\ cdot b) (| a | \\ cdot | b |) $$

отже,

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| a \\ cdot b |) (| a | \\ cdot | b |) $$

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

$$ \\ frac (x-x_1) (a_1) \u003d \\ frac (y-y_1) (a_2) \u003d \\ frac (z-z_1) (a_3) \\; \\; і \\; \\; \\ Frac (x-x_2) (b_1) \u003d \\ frac (y-y_2) (b_2) \u003d \\ frac (z-z_2) (b_3) $$

Тоді кут φ між прямими визначається за допомогою формули

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \\ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

Якщо одна з прямих (або обидві) задається не канонічecкімі рівняннями, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

Завдання 1. Обчислити кут між прямими

$$ \\ frac (x + 3) (- \\ sqrt2) \u003d \\ frac (y) (\\ sqrt2) \u003d \\ frac (z-7) (- 2) \\; \\; і \\; \\; \\ Frac (x) (\\ sqrt3) \u003d \\ frac (y + 1) (\\ sqrt3) \u003d \\ frac (z-1) (\\ sqrt6) $$

Направляючі вектори прямих мають координати:

а \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

За формулою (1) знаходимо

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| - \\ sqrt6 + \\ sqrt6-2 \\ sqrt6 |) (\\ sqrt (2 + 2 + 4) \\ sqrt (3 + 3 + 6)) \u003d \\ frac (2 \\ sqrt6) ( 2 \\ sqrt2 \\ cdot 2 \\ sqrt3) \u003d \\ frac (1) (2) $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 60 °.

Завдання 2. Обчислити кут між прямими

$$ \\ begin (cases) 3x-12z + 7 \u003d 0 \\\\ x + y-3z-1 \u003d 0 \\ end (cases) і \\ begin (cases) 4x-y + z \u003d 0 \\\\ y + z + 1 \u003d 0 \\ end (cases) $$

За спрямовує вектор а першої прямої візьмемо векторний добуток нормальних векторів n 1 \u003d (3; 0; -12) і n 2 \u003d (1; 1; -3) площин, які задають цю пряму. За формулою \\ (\u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ x_1 & y_1 & z_1 \\\\ x_2 & y_2 & z_2 \\ end (vmatrix) \\) отримуємо

$$ a \u003d\u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ 3 & 0 & -12 \\\\ 1 & 1 & -3 \\ end (vmatrix) \u003d 12i-3i + 3k $$

Аналогічно знаходимо спрямовує вектор другий прямий:

$$ b \u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ 4 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\ end (vmatrix) \u003d - 2i-4i + 4k $$

Але формулою (1) обчислюємо косинус шуканого кута:

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| 12 \\ cdot (-2) -3 (-4) +3 \\ cdot 4 |) (\\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \\ sqrt (2 ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d 0 $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 90 °.

Завдання 3. У трикутній піраміді МАВС ребра MA, MB і МС взаємно перпендикулярні, (рис. 207);

їх довжини відповідно рівні 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Знайти кут φ між прямими СА і DB.

Нехай СА і DB - напрямні вектори прямих СА і DB.

Приймемо точку М за початок координат. За умовою зядачі маємо А (4; 0; 0), В (0; 0; 3), С (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Тому \\ (\\ overrightarrow (CA) \\) \u003d (4; - 6; 0), \\ (\\ overrightarrow (DB) \\) \u003d (-2; 0; 3). Скористаємося формулою (1):

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| 4 \\ cdot (-2) + (- 6) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 3 |) (\\ sqrt (16 + 36 + 0) \\ sqrt (4 + 0 + 9 )) $$

По таблиці косинусів знаходимо, що кут між прямими СА і DB дорівнює приблизно 72 °.