Квадратне рівняння - вирішується просто! * Далі в тексті «КУ».Друзі, здавалося б, що може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним у багатьох є проблеми. Вирішив подивитися скільки показів за запитом на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:

Що це означає? Це означає те, що близько 70000 чоловік в місяць шукають цю інформацію, при чому це літо, а що буде серед учбового року - запитів буде в два рази більше. Це й не дивно, адже ті хлопці і дівчата, які давно закінчили школу і готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив теж внести свою лепту і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться щоб по даному запиту і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» буду давати посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його вирішенні трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Приступимо!Зміст статті:

Квадратне рівняння - це рівняння виду:

де коефіцієнти a,b і з довільні числа, при чому a ≠ 0.

В шкільному курсі матеріал дають в наступному вигляді - умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два кореня.

2. * Мають тільки один корінь.

3. Не мають коренів. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюються коріння? Просто!

Обчислюємо дискриминант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

* Ці формули потрібно знати напам'ять.

Можна відразу записувати і вирішувати:

приклад:

1. Якщо D\u003e 0, то рівняння має два кореня.

2. Якщо D \u003d 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, в шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, тут він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але ...

Зазначене подання кілька дещо некоректно. Насправді виходить два кореня. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівних кореня, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два кореня:

х 1 \u003d 3 х 2 \u003d 3

Але це так - невеличкий відступ. У школі можете записувати і говорити, що корінь один.

Тепер наступний приклад:

Як нам відомо - корінь з від'ємного числа не розгорнеться, тому рішення в даному випадку немає.

Ось і весь процес вирішення.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це вкрай важливо розуміти (надалі в одній зі статей ми докладно будемо розбирати рішення квадратного нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с - задані числа, при чому a ≠ 0

Графіком є \u200b\u200bпарабола:

Тобто, виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискриминант позитивний), одна (дискриминант дорівнює нулю) і жодної (дискриминант негативний). Детально про квадратичної функції можете подивитись статтю у Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а \u003d 2 b \u003d 8 c \u003d -192

D \u003d b 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Відповідь: х 1 \u003d 8 х 2 \u003d -12

* Можна було відразу ж ліву і праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простіше.

Приклад 2: вирішити x 2–22 x + 121 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -22 c \u003d 121

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Отримали, що х 1 \u003d 11 і х 2 \u003d 11

У відповіді допустимо записати х \u003d 11.

Відповідь: х \u003d 11

Приклад 3: вирішити x 2 -8x + 72 \u003d 0

а \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d b 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Дискримінант негативний, рішення в дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння в разі коли виходить негативний дискриминант. Ви що-небудь знаєте про комплексних числах? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їх конкретна роль і необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Поняття комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z \u003d a + bi

де a і b - дійсні числа, i - так звана уявна одиниця.

a + bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не складання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучених кореня.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, це коли коефіцієнт «b» або «з» дорівнює нулю (або обидва дорівнюють нулю). Вони вирішуються легко без всяких Дискримінант.

Випадок 1. Коефіцієнт b \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

перетворимо:

приклад:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Випадок 2. Коефіцієнт з \u003d 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворимо, розкладаємо на множники:

* Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

приклад:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 або x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Випадок 3. Коефіцієнти b \u003d 0 і c \u003d 0.

Тут зрозуміло, що рішенням рівняння завжди буде х \u003d 0.

Корисні властивості і закономірності коефіцієнтів.

Є властивості, які дозволяють вирішити рівняння з великими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b + З \u003d 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + З \u003db, то

Дані властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, значить

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

виконується рівність a + З \u003db, значить

Закономірності коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d -а х 2 \u003d -1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 6х 2 + 37х + 6 \u003d 0.

х 1 \u003d -6 х 2 \u003d -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 - bx + c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 +1) ∙ х + а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 15х 2 -226х +15 \u003d 0.

х 1 \u003d 15 х 2 \u003d 1/15.

3. Якщо в рівнянніax 2 + bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт «c» чисельно рівний коефіцієнту «a», то його коріння рівні

аx 2 + (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d - а х 2 \u003d 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 17х 2 + 288х - 17 \u003d 0.

х 1 \u003d - 17 х 2 \u003d 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 - bx - c \u003d 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 - 1), а коефіцієнт з чисельно рівний коефіцієнту «а», то його коріння рівні

аx 2 - (а 2 -1) ∙ х - а \u003d 0 \u003d\u003e х 1 \u003d а х 2 \u003d - 1 / a.

Приклад. Розглянемо рівняння 10х 2 - 99х -10 \u003d 0.

х 1 \u003d 10 х 2 \u003d - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається по імені знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна висловити суму і твір коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумі число 14 дають тільки 5 і 9. Це коріння. При певному навику, використовуючи представлену теорему, багато квадратні рівняння ви зможете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після рішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримані коріння можна перевіряти. Рекомендую це робити завжди.

СПОСІБ перекидання

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його і називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і, що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

якщо а± b + c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х +5 = 0 (1) => х 2 – 11х +10 = 0 (2)

По теоремі Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 \u003d 10 х 2 \u003d 1

Отримані корені рівняння необхідно розділити на 2 (тому що від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5.

Яке обгрунтування? Подивіться що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) і (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять тільки різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходять в 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

* Якщо будемо перекидати трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 \u003d 5 х 2 \u003d 0,5

Кв. ур-ие і ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанту необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до вирішення квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто відзначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявній». Наприклад, можлива така запис:

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15х + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 або 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися при вирішенні).

2. Пам'ятайте, що х це невідома величина і вона може бути позначена будь-який інший буквою - t, q, p, h та іншими.

Початковий рівень

Квадратні рівняння. вичерпний гід (2019)

У терміні «квадратне рівняння» ключовим є слово «квадратне». Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) в квадраті, і при цьому не повинно бути іксів в третій (і більшою) мірою.

Рішення багатьох рівнянь зводиться до вирішення саме квадратних рівнянь.

Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якусь іншу.

Приклад 1.

Позбудемося знаменника і домножимо кожен член рівняння на

Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку убування ступенів ікси

Тепер можна з упевненістю сказати, що дане рівняння є квадратним!

Приклад 2.

Домножим ліву і праву частину на:

Це рівняння, хоча в ньому спочатку був, не є квадратним!

Приклад 3.

Домножим все на:

Страшно? Четверта і друга ступені ... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:

Приклад 4.

Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все в ліву частину:

Бачиш, скоротився - і тепер це просте лінійне рівняння!

Тепер спробуй сам визначити, які з наступного рівнянь є квадратними, а які ні:

приклади:

відповіді:

квадратне;
квадратне;
нЕ квадратне;
нЕ квадратне;
нЕ квадратне;
квадратне;
нЕ квадратне;
квадратне.

Математики умовно ділять все квадратні рівняння на виду:

Повні квадратні рівняння - рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як в прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені - це рівняння, в яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще і наведеним!)

Неповні квадратні рівняння - рівняння, в яких коефіцієнт і чи вільний член з дорівнюють нулю:
Неповні вони, тому що в них не вистачає якогось елементу. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс в квадраті !!! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.

Навіщо придумали такий розподіл? Здавалося б, є ікс в квадраті, і ладно. Такий поділ обумовлено методами рішення. Розглянемо кожен з них детальніше.

Рішення неповних квадратних рівнянь

Для початку зупинимося на рішенні неповних квадратних рівнянь - вони набагато простіше!

Неповні квадратні рівняння бувають типів:

, В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
, В цьому рівнянні вільний член дорівнює.
, В цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

1. і. Оскільки ми знаємо, як витягувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння

Вираз може бути як негативним, так і позитивним. Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, так що: якщо, то рівняння не має рішень.

А якщо, то отримуємо два кореня. Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне, ти повинен знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.

Давай спробуємо вирішити кілька прикладів.

Приклад 5:

Розв'яжіть рівняння

Тепер залишилося витягти корінь з лівої і правої частини. Адже ти пам'ятаєш як витягувати коріння?

відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком !!!

Приклад 6:

Розв'яжіть рівняння

відповідь:

Приклад 7:

Розв'яжіть рівняння

Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коренів!

Для таких рівнянь, в яких немає коренів, математики придумали спеціальний значок - (порожня множина). І відповідь можна записати так:

відповідь:

Таким чином, дане квадратне рівняння має два кореня. Тут немає ніяких обмежень, так як корінь ми не отримували.
Приклад 8:

Розв'яжіть рівняння

Винесемо загальний множник за дужки:

Таким чином,

У цього рівняння два кореня.

відповідь:

Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони все прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Тут обійдемося без прикладів.

Рішення повних квадратних рівнянь

Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де

Рішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.

Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, для початку опановуй рішення за допомогою дискримінанту.

1. Рішення квадратних рівнянь за допомогою дискримінанту.

Рішення квадратних рівнянь цим способом дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул.

Якщо, то рівняння має корняНужно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує нам на кількість коренів рівняння.

Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння буде мати всього корінь.
Якщо, то ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта на кроці. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Повернемося до наших рівнянь і розглянемо кілька прикладів.

Приклад 9:

Розв'яжіть рівняння

Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має два кореня.

Крок 3.

відповідь:

Приклад 10:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

А значить рівняння має один корінь.

відповідь:

Приклад 11:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння представлено в стандартному вигляді, тому Крок 1 пропускаємо.

Крок 2.

Знаходимо дискримінант:

Азначіт ми не зможемо витягти корінь з дискриминанта. Коренів рівняння не існує.

Тепер ми знаємо, як правильно записувати такі відповіді.

відповідь:Корній немає

2. Рішення квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.

Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт а дорівнює):

Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:

сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює, а твір коренів одно.

Приклад 12:

Розв'яжіть рівняння

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що .

Сума коренів рівняння дорівнює, тобто отримуємо перше рівняння:

А твір одно:

Складемо і вирішимо систему:

і. Сума дорівнює;
і. Сума дорівнює;
і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

відповідь: ; .

Приклад 13:

Розв'яжіть рівняння

відповідь:

Приклад 14:

Розв'яжіть рівняння

Рівняння наведене, а значить:

відповідь:

КВАДРАТНІ Рівняння. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Що таке квадратне рівняння?

Іншими словами, квадратне рівняння - це рівняння виду, де - невідоме, - деякі числа, причому.

Число називають старшим або першим коефіцієнтом квадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, А - вільним членом.

Чому? Тому що якщо, рівняння відразу стане лінійним, тому що пропаде.

При цьому і можуть бути рівні нулю. У цьому стулчае рівняння називають неповним. Якщо ж всі складові на місці, тобто, рівняння - повне.

Рішення різних типів квадратних рівнянь

Методи рішення неповних квадратних рівнянь:

Для початку розберемо методи рішень неповних квадратних рівнянь - вони простіше.

Можна виділити типу таких рівнянь:

I., в цьому рівнянні коефіцієнт і вільний член дорівнюють.

II. , В цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.

III. , В цьому рівнянні вільний член дорівнює.

Тепер розглянемо рішення кожного з цих підтипів.

Очевидно, що дане рівняння завжди має тільки один корінь:

Число, зведена в квадрат, не може бути негативним, адже при перемножуванні двох негативних або двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:

якщо, то рівняння не має рішень;

якщо, маємо учаем два кореня

Ці формули не потрібно запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.

приклади:

рішення:

відповідь:

Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!

Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння

немає коренів.

Щоб коротко записати, що у завдання немає рішень, використовуємо значок порожнього безлічі.

відповідь:

Отже, це рівняння має два кореня: і.

відповідь:

Винесемо загальним множник за дужки:

Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:

Отже, дане квадратне рівняння має два кореня: і.

приклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:

відповідь:

Методи вирішення повних квадратних рівнянь:

1. Дискримінант

Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій і пару формул. Запам'ятай, будь квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.

Ти помітив корінь з дискриминанта у формулі для коренів? Але ж дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує нам на кількість коренів рівняння.

Якщо, то рівняння має корені:
Якщо, то рівняння має однакових кореня, а по суті, один корінь:
Такі коріння називаються дворазовими.
Якщо, то корінь з дискриминанта не розгорнеться. Це вказує на те, що рівняння не має коренів.

Чому можливо різна кількість коренів? Звернемося до геометричного змісту квадратного рівняння. Графік функції є параболою:

В окремому випадку, яким є квадратне рівняння,. А це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь, або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.

Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо - то вниз.

приклади:

рішення:

відповідь:

Відповідь:.

відповідь:

А значить, рішень немає.

Відповідь:.

2. Теорема Вієта

Використовувати теорему Вієта дуже легко: треба всього лише підібрати таку пару чисел, твір яких одно вільному члену рівняння, а сума - другого коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.

Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведених квадратних рівняннях ().

Розглянемо кілька прикладів:

Приклад №1:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Це рівняння підходить для вирішення з використанням теореми Вієта, тому що . Решта коефіцієнти:; .

Сума коренів рівняння дорівнює:

А твір одно:

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, і перевіримо, дорівнює чи їх сума:

і. Сума дорівнює;
і. Сума дорівнює;
і. Сума дорівнює.

і є рішенням системи:

Таким чином, і - корені нашого рівняння.

Відповідь:; .

Приклад №2:

Рішення:

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, а потім перевіримо, дорівнює чи їх сума:

і: в сумі дають.

і: в сумі дають. Щоб отримати, достатньо просто поміняти знаки передбачуваних коренів: і, адже твір.

відповідь:

Приклад №3:

Рішення:

Вільний член рівняння негативний, а значить і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один з коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.

Підберемо такі пари чисел, які в творі дають, і різниця яких дорівнює:

і: їх різниця дорівнює - не підходить;

і: - не підходить;

і: - підходить. Залишається тільки згадати, що один з коренів негативний. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним повинен бути менший за модулем корінь:. перевіряємо:

відповідь:

Приклад №4:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Вільний член негативний, а значить і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння від'ємний, а інший позитивний.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно, а потім визначимо, який коренів повинен мати негативний знак:

Очевидно, що під перша умова підходять тільки коріння і:

відповідь:

Приклад №5:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Рівняння наведене, а значить:

Сума коренів негативна, а це значить що, по крайней мере, один з коренів негативний. Але оскільки їх твір позитивно, то значить обидва кореня зі знаком мінус.

Підберемо такі пари чисел, твір яких одно:

Очевидно, що корінням є числа і.

відповідь:

Погодься, це дуже зручно - придумувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей противний дискриминант. Намагайся використовувати теорему Вієта якомога частіше.

Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити і прискорити знаходження коренів. Щоб тобі було вигідно її використовувати, ти повинен довести дії до автоматизму. А для цього повирішувати-ка ще пяток прикладів. Але не шахраювати: дискриминант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:

Рішення завдань для самостійної роботи:

Завдання 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

По теоремі Вієта:

Як завжди, починаємо підбір з твору:

Не підходить, так як сума;

: Сума - то що треба.

Відповідь:; .

Завдання 2.

І знову наша улюблена теорема Вієта: в сумі повинно вийти, а добуток дорівнює.

Але так як повинно бути не, а, міняємо знаки коренів: і (в сумі).

Відповідь:; .

Завдання 3.

Хм ... А де тут що?

Треба перенести всі складові в одну частину:

Сума коренів дорівнює, твір.

Так, стоп! Рівняння щось не наведене. Але теорема Вієта застосовна тільки в наведених рівняннях. Так що спершу потрібно рівняння привести. Якщо привести не виходить, кидай цю затію і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що привести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт дорівнює:

Відмінно. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.

Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).

Відповідь:; .

Завдання 4.

Вільний член негативний. Що в цьому особливого? А то, що коріння будуть різних знаків. І тепер під час підбору перевіряти не суму коренів, а різниця їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.

Отже, коріння рівні і, але один з них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і, так як.

Відповідь:; .

Завдання 5.

Що потрібно зробити в першу чергу? Правильно, привести рівняння:

Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:

Коріння рівні і, але один з них з мінусом. Який? Їх сума повинна дорівнювати, значить, з мінусом буде більший корінь.

Відповідь:; .

Підведу підсумок:

Теорема Вієта використовується тільки в наведених квадратних рівняннях.
Використовуючи теорему Вієта можна знайти коріння підбором, усно.
Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).

3. Метод виділення повного квадрата

Якщо всі складові, що містять невідоме, представити у вигляді доданків з формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.

наприклад:

Приклад 1:

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

Приклад 2:

Розв'яжіть рівняння:.

Рішення:

відповідь:

В загалом вигляді перетворення буде виглядати так:

Звідси випливає: .

Нічого не нагадує? Це ж дискриминант! Саме так, формулу дискримінанту так і отримали.

КВАДРАТНІ Рівняння. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Квадратне рівняння- це рівняння виду, де - невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.

Повний квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнти, не рівні нулю.

Наведене квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнт, тобто:.

Неповне квадратне рівняння - рівняння, в якому коефіцієнт і чи вільний член з дорівнюють нулю:

якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд:,
якщо вільний член, рівняння має вигляд:,
якщо і, рівняння має вигляд:.

1. Алгоритм рішення неповних квадратних рівнянь

1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Висловимо невідоме:,

2) Перевіряємо знак вираження:

якщо, то рівняння не має рішень,
якщо, то рівняння має два кореня.

1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де,:

1) Винесемо загальним множник за дужки:,

2) Твір дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два кореня:

1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:

Дане рівняння завжди має тільки один корінь:.

2. Алгоритм рішення повних квадратних рівнянь виду де

2.1. Рішення за допомогою дискримінанту

1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду:,

2) Обчислимо дискримінант за формулою:, який вказує на кількість коренів рівняння:

3) Знайдемо коріння рівняння:

якщо, то рівняння має кореня, які знаходяться за формулою:
якщо, то рівняння має корінь, який знаходиться за формулою:
якщо, то рівняння не має коренів.

2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта

Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а твір коренів одно, тобто , А.

2.3. Рішення методом виділення повного квадрата

Квадратні рівняння вивчають в 8 класі, тому нічого складного тут немає. Уміння вирішувати їх абсолютно необхідно.

Квадратне рівняння - це рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0, де коефіцієнти a, b і c - довільні числа, причому a ≠ 0.

Перш, ніж вивчати конкретні методи рішення, зауважимо, що всі квадратні рівняння можна умовно розділити на три класи:

Не мають коренів;
Мають рівно один корінь;
Мають два різних кореня.

В цьому полягає важлива відмінність квадратних рівнянь від лінійних, де корінь завжди існує і єдиний. Як визначити, скільки коренів має рівняння? Для цього існує чудова річ - дискриминант.

дискримінант

Нехай дано квадратне рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0. Тоді дискриминант - це просто число D \u003d b 2 - 4ac.

Цю формулу треба знати напам'ять. Звідки вона береться - зараз неважливо. Важливо інше: по знаку дискримінанту можна визначити, скільки коренів має квадратне рівняння. А саме:

якщо D< 0, корней нет;
Якщо D \u003d 0, тобто рівно один корінь;
Якщо D\u003e 0, коренів буде два.

Зверніть увагу: дискриминант вказує на кількість коренів, а зовсім не на їх знаки, як чомусь багато хто вважає. Погляньте на приклади - і самі все зрозумієте:

Завдання. Скільки коренів мають квадратні рівняння:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Випишемо коефіцієнти для першого рівняння і знайдемо дискримінант:
a \u003d 1, b \u003d -8, c \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Отже, дискриминант позитивний, тому рівняння має два різних кореня. Аналогічно розбираємо друге рівняння:
a \u003d 5; b \u003d 3; c \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Дискримінант негативний, коренів немає. Залишилося останнє рівняння:
a \u003d 1; b \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Дискримінант дорівнює нулю - корінь буде один.

Зверніть увагу, що для кожного рівняння були виписані коефіцієнти. Так, це довго, так, це нудно - зате ви не переплутати коефіцієнти і не допустите дурних помилок. Вибирайте самі: швидкість або якість.

До речі, якщо «набити руку», через деякий час вже не буде потрібно виписувати всі коефіцієнти. Такі операції ви будете виконувати в голові. Більшість людей починають робити так десь після 50-70 вирішених рівнянь - загалом, не так і багато.

Коріння квадратного рівняння

Тепер перейдемо, власне, до вирішення. Якщо дискримінант D\u003e 0, коріння можна знайти за формулами:

Основна формула коренів квадратного рівняння

Коли D \u003d 0, можна використовувати будь-яку з цих формул - вийде одне і те ж число, яке і буде відповіддю. Нарешті, якщо D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Перше рівняння:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d -2; c \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 · (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ рівняння має два кореня. Знайдемо їх:

Друге рівняння:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; b \u003d -2; c \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ рівняння знову має два кореня. знайдемо їх

\\ [\\ Begin (align) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2 + \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2 \\ sqrt (64)) (2 \\ cdot \\ left (-1 \\ right)) \u003d 3. \\\\ \\ end (align) \\]

Нарешті, третє рівняння:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; b \u003d 12; c \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ рівняння має один корінь. Можна використовувати будь-яку формулу. Наприклад, першу:

Як видно з прикладів, все дуже просто. Якщо знати формули і вміти рахувати, проблем не буде. Найчастіше помилки виникають при підстановці в формулу негативних коефіцієнтів. Тут знову ж таки допоможе прийом, описаний вище: дивіться на формулу буквально, розписуйте кожен крок - і дуже скоро позбудетеся від помилок.

Неповні квадратні рівняння

Буває, що квадратне рівняння дещо відрізняється від того, що дано у визначенні. наприклад:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Нескладно помітити, що в цих рівняннях відсутня одна з складових. Такі квадратні рівняння вирішуються навіть легше, ніж стандартні: в них навіть не буде потрібно вважати дискримінант. Отже, введемо нове поняття:

Рівняння ax 2 + bx + c \u003d 0 називається неповним квадратним рівнянням, якщо b \u003d 0 або c \u003d 0, тобто коефіцієнт при змінній x або вільний елемент дорівнює нулю.

Зрозуміло, можливий зовсім важкий випадок, коли обидва цих коефіцієнта дорівнюють нулю: b \u003d c \u003d 0. У цьому випадку рівняння приймає вид ax 2 \u003d 0. Очевидно, таке рівняння має єдиний корінь: x \u003d 0.

Розглянемо інші випадки. Нехай b \u003d 0, тоді отримаємо неповне квадратне рівняння виду ax 2 + c \u003d 0. Трохи перетворимо його:

Оскільки арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід'ємного числа, остання рівність має сенс виключно при (-c / a) ≥ 0. Висновок:

Якщо в неповному квадратному рівнянні виду ax 2 + c \u003d 0 виконано нерівність (-c / a) ≥ 0, коренів буде два. Формула дана вище;
Якщо ж (-c / a)< 0, корней нет.

Як бачите, дискриминант не поставила вимогу про - в неповних квадратних рівняннях взагалі немає складних обчислень. Насправді навіть необов'язково пам'ятати нерівність (-c / a) ≥ 0. Досить висловити величину x 2 і подивитися, що стоїть з іншого боку від знака рівності. Якщо там позитивне число - коренів буде два. Якщо негативне - коріння не буде взагалі.

Тепер розберемося з рівняннями виду ax 2 + bx \u003d 0, в яких вільний елемент дорівнює нулю. Тут все просто: коренів завжди буде два. Досить розкласти многочлен на множники:

Винесення спільного множника за дужки

Добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Звідси знаходяться корені. На закінчення розберемо кілька таких рівнянь:

Завдання. Вирішити квадратні рівняння:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ x · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. Корній немає, тому що квадрат не може дорівнювати негативного числа.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Рішення рівнянь в математиці займає особливе місце. Цьому процесу передує безліч годин вивчення теорії, в ході яких учень дізнається способи розв'язання рівнянь, визначення їх виду і доводить навик до повного автоматизму. Однак далеко не завжди пошук коренів має сенс, тому що їх може просто не бути. Існують особливі прийоми знаходження коренів. У даній статті ми розберемо основні функції, їх області визначення, а також випадки, коли їх коріння відсутні.

Яке рівняння не має коренів?

Рівняння не має коренів в тому випадку, якщо не існує таких дійсних аргументів х, при яких рівняння тотожне вірно. Для неспеціаліста це формулювання, як і більшість математичних теорем і формул, виглядає дуже розмитою і абстрактної, однак це в теорії. На практиці все стає гранично просто. Наприклад: рівняння 0 * х \u003d -53 не має рішення, тому що не знайдеться такого числа х, твір якого з нулем дало б щось, крім нуля.

Зараз ми розглянемо базові типи рівнянь.

1. Лінійне рівняння

Рівняння називається лінійним, якщо його права і ліва частини представлені у вигляді лінійних функцій: ax + b \u003d cx + d або в узагальненому вигляді kx + b \u003d 0. Де а, b, с, d - відомі числа, а х - невідома величина . Яке рівняння не має коренів? Приклади лінійних рівнянь представлені на ілюстрації нижче.

В основному лінійні рівняння вирішуються простим перенесенням числовий частини в одну частину, а вмісту з х - в іншу. Виходить рівняння виду mx \u003d n, де m і n - числа, а х - невідоме. Щоб знайти х, досить розділити обидві частини на m. Тоді х \u003d n / m. В основному лінійні рівняння мають тільки один корінь, проте бувають випадки, коли коріння або нескінченно багато, або немає зовсім. При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння набирає вигляду 0 * х \u003d 0. Рішенням такого рівняння буде абсолютно будь-яке число.

Однак яке рівняння не має коренів?

При m \u003d 0 і n \u003d 0 рівняння не має коренів з безлічі дійсних чисел. 0 * х \u003d -1; 0 * х \u003d 200 - ці рівняння не мають коренів.

2. Квадратне рівняння

Квадратним рівнянням називається рівняння виду ax 2 + bx + c \u003d 0 при а \u003d 0. Найпоширенішим є рішення через дискримінант. Формула знаходження дискримінанту квадратного рівняння: D \u003d b 2 - 4 * a * c. Далі знаходиться два кореня х 1,2 \u003d (-b ± √D) / 2 * a.

При D\u003e 0 рівняння має два кореня, при D \u003d 0 - корінь один. Але яке квадратне рівняння не має коренів? Поспостерігати кількість коренів квадратного рівняння найпростіше за графіком функції, що представляє собою параболу. При а\u003e 0 гілки спрямовані вгору, при а< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Також можна визначити візуально кількість коренів, що не обчислюючи дискриминант. Для цього потрібно знайти вершину параболи і визначити в який бік спрямовані гілки. Визначити координату x вершини можна за формулою: х 0 \u003d -b / 2a. В цьому випадку координата y вершини знаходиться простий підстановкою значення х 0 в початкове рівняння.

Квадратне рівняння x 2 - 8x + 72 \u003d 0 не має коренів, так як має негативний дискриминант D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. Це означає, що парабола не стосується осі абсцис і функція ніколи не приймає значення 0, отже, рівняння не має дійсних коренів.

3. Тригонометричні рівняння

Тригонометричні функції розглядаються на тригонометричної окружності, проте можуть бути представлені і в декартовій системі координат. У даній статті ми розглянемо дві основні тригонометричні функції і їх рівняння: sinx і cosx. Так як дані функції утворюють тригонометричну окружність з радіусом 1, | sinx | і | cosx | не можуть бути більше 1. Отже, яке рівняння sinx не має коренів? Розглянемо графік функції sinx, представлений на зображенні нижче.

Ми бачимо, що функція є симетричною і має період повторення 2pi. Виходячи їх цього, можна говорити, що максимальним значенням цієї функції може бути 1, а мінімальним -1. Наприклад, вираз cosx \u003d 5 не матиме коріння, так як по модулю воно більше одиниці.

Це найпростіший приклад тригонометричних рівнянь. Насправді їх рішення може займати безліч сторінок, в кінці яких ви усвідомлюєте, що використовували неправильну формулу і все потрібно починати спочатку. Часом навіть при правильному знаходженні коренів ви можете забути врахувати обмеження по ОПЗ, через що у відповіді з'являється зайвий корінь або інтервал, і вся відповідь звертається в помилковий. Тому строго стежте за всіма обмеженнями, адже не всі корені вписуються в рамки завдання.

4. Системи рівнянь

Система рівнянь являє собою сукупність рівнянь, об'єднаних фігурною або квадратної дужками. Фігурні дужки позначають спільне виконання всіх рівнянь. Тобто якщо хоча б одне з рівнянь не має коренів або суперечить іншому, вся система не має рішення. Квадратні дужки позначають слово "або". Це означає, що якщо хоча б одне з рівнянь системи має рішення, то вся система має рішення.

Відповіддю системи з є сукупність всіх коренів окремих рівнянь. А системи з фігурним дужками мають тільки спільне коріння. Системи рівнянь можуть включати абсолютно різноманітні функції, тому така складність не дозволяє сказати відразу, яке рівняння не має коренів.

У задачниках і підручниках зустрічаються різні типи рівнянь: такі, які маю коріння, і не мають їх. В першу чергу, якщо у вас не виходить знайти коріння, не думайте, що їх немає зовсім. Можливо, ви зробили десь помилку, тоді досить лише уважно перевірити ваше рішення.

Ми розглянули базові рівняння та їх види. Тепер ви можете сказати, яке рівняння не має коренів. У більшості випадків зробити це зовсім не важко. Для досягнення успіху у вирішенні рівнянь потрібно лише увагу і зосередженість. Практикуйтеся більше, це допоможе вам орієнтуватися в матеріалі набагато краще і швидше.

Отже, рівняння не має коренів, якщо:

в лінійному рівнянні mx \u003d n значення m \u003d 0 і n \u003d 0;
в квадратному рівнянні, якщо дискримінант менше нуля;
в тригонометричному рівнянні виду cosx \u003d m / sinx \u003d n, якщо | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
в системі рівнянь з фігурними дужками, якщо хоча б одне рівняння не має коренів, і з квадратними дужками, якщо всі рівняння не мають коренів.

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали в Особливому розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже ..."
І для тих, хто "дуже навіть ...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівняння ключовим словом є "Квадратне". Воно означає, що в рівнянні обов'язково повинен бути присутнім ікс в квадраті. Крім нього, в рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) Просто ікс (в першого ступеня) і просто число (Вільний член). І не повинно бути іксів в ступеня, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння - це рівняння виду:

тут a, b і з - якісь числа. b і c - зовсім будь-які, а а- будь-який, крім нуля. наприклад:

тут а =1; b = 3; c = -4

тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутня повний набір членів. Ікс в квадраті з коефіцієнтом а,ікс в першого ступеня з коефіцієнтом b і вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b \u003d 0, що у нас вийде? У нас пропаде ікс в першого ступеня. Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 \u003d 0,

2х 2 -6х \u003d 0,

х 2 + 4х \u003d 0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнта, b і c дорівнюють нулю, то все ще простіше:

2х 2 \u003d 0,

-0,3х 2 \u003d 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями. Що цілком логічно.) Прошу зауважити, що ікс в квадраті присутній у всіх рівняннях.

До речі, чому а не може дорівнювати нулю? А ви підставте замість а нулик.) У нас зникне ікс в квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше ...

Ось і всі головні види квадратних рівнянь. Повні і неповні.

Рішення квадратних рівнянь.

Рішення повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами і чітким нескладних правил. На першому етапі треба задане рівняння привести до стандартного вигляду, тобто до виду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно.) Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, b і c.

Формула для знаходження коренів квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискриминант. Але про нього - нижче. Як бачимо, для знаходження ікси, ми використовуємо тільки a, b і з. Тобто коефіцієнти з квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і з в цю формулу і вважаємо. підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, в рівнянні:

а =1; b = 3; c \u003d -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішене:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитися не можна? Ну да, як же ...

Найпоширеніші помилки - плутанина зі знаками значень a, b і з. Вірніше, не з їх знаками (де там плутатися?), А з підстановкою негативних значень в формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули з конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий прімерчік вирішити:

тут a = -6; b = -5; c = -1

Припустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву рядок займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма скобочки і знаками:

Це здається неймовірно важким, так ретельно розписувати. Але це тільки здається. Спробуйте. Ну, або вибирайте. Що краще, швидко, або правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час відпаде потреба так ретельно все розписувати. Саме буде правильно виходити. Особливо, якщо будете застосовувати практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться запросто і без помилок!

Але, частенько, квадратні рівняння виглядають злегка інакше. Наприклад, ось так:

Дізналися?) Так! це неповні квадратні рівняння.

Рішення неповних квадратних рівнянь.

Їх теж можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно зрозуміти, чому тут рівняються a, b і з.

Зрозуміли? У першому прикладі a \u003d 1; b \u003d -4; а c? Його взагалі немає! Ну да, правильно. У математиці це означає, що c \u003d 0 ! От і все. Підставляємо в формулу нуль замість c, і все у нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !

Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без усяких формул. Розглянемо перший неповне рівняння. Що там можна зробити в лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А то, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли який-небудь з множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульових числа, які при перемножуванні нуль дадуть!
Не виходить? Ото ж бо ...
Отже, можна впевнено записати: х 1 \u003d 0, х 2 \u003d 4.

Усе. Це і будуть коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці будь-якого з них у вихідне рівняння, ми отримаємо вірне тотожність 0 \u003d 0. Як бачите, рішення куди простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а який другим - абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядочку, х 1 - то, що менше, а х 2 - то, що більше.

Друге рівняння теж можна вирішити просто. Переносимо 9 в праву частину. отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. вийде:

Теж два кореня . х 1 \u003d -3, х 2 \u003d 3.

Так вирішуються всі неповні квадратні рівняння. Або за допомогою винесення ікси за дужки, або простим перенесенням числа вправо з подальшим витяганням кореня.
Сплутати ці прийоми вкрай складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь з ікси витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого ...

Дискримінант. Формула дискримінанту.

чарівне слово дискриминант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість і обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанту не доводиться! Він простий і безвідмовний в зверненні.) Нагадую саму загальну формулу для вирішення будь-яких квадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискриминант позначається буквою D. Формула дискримінанту:

D \u003d b 2 - 4ac

І чим же примітно це вираз? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанту? адже -b, або 2a в цій формулі спеціально ніяк не називають ... Букви і букви.

Справа ось в чому. При вирішенні квадратного рівняння за цією формулою, можливі всього три випадки.

1. Дискримінант позитивний. Це означає, з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, чи погано - питання інше. Важливо, що витягується в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння - два кореня. Два різних рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас вийде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакових. Але, в спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний корінь не розгорнеться. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому рішенні квадратних рівнянь, поняття дискримінанту не особливо-то і потрібно. Підставляємо в формулу значення коефіцієнтів, так вважаємо. Там все само собою виходить, і два кореня, і один, і жодного. Однак, при вирішенні більш складних завдань, не повідомляючи сенсу і формули дискримінанту не обійтись. Особливо - в рівняннях з параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДПА та ЗНО!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняння через дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Чи вмієте правильно визначати a, b і з. Чи вмієте уважно підставляти їх в формулу коренів і уважно вважати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут - уважно?

А тепер візьміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. ... За які потім буває боляче і прикро ...

прийом перший . Не лінуйтеся перед рішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після всяких перетворень ви отримали ось таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коренів! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b і с. Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс в квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтеся! Мінус перед іксом в квадраті може здорово вас засмутити. Забути його легко ... Позбавтеся від мінуса. Як? Так як вчили в попередній темі! Треба помножити все рівняння на -1. отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коренів, вважати дискримінант і дорешівать приклад. Вирішимо самостійно. У вас повинні вийти коріння 2 і -1.

Прийом другий. Перевіряйте коріння! По теоремі Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! перевіряємо останнє рівняння. Тобто то, за яким ми записували формулу коренів. Якщо (як в цьому прикладі) коефіцієнт а \u003d 1, Перевірити коріння легко. Досить їх перемножити. Повинен вийти вільний член, тобто в нашому випадку -2. Зверніть увагу, не 2, а -2! вільний член зі своїм знаком . Якщо не вийшло - значить вже десь накосячілі. Шукайте помилку.

Якщо вийшло - треба скласти коріння. Остання і остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт b з протилежним знаком. У нашому випадку -1 + 2 \u003d +1. А коефіцієнт b, Який перед іксом, дорівнює -1. Значить, все вірно!
Шкода, що це так просто тільки для прикладів, де ікс в квадраті чистий, з коефіцієнтом а \u003d 1. Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Все менше помилок буде.

прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбудьтеся від дробів! Домножьте рівняння на спільний знаменник, Як описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Чи тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки, чомусь так і лізуть ...

До речі, я обіцяв злий приклад з купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, домножаем рівняння на -1. отримуємо:

От і все! Вирішувати - одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом в квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові - ліквідуємо дробу множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс в квадраті - чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і повирішувати.)

Вирішити рівняння:

8х 2 - 6x + 1 \u003d 0

х 2 + 3x + 8 \u003d 0

х 2 - 4x + 4 \u003d 0

(Х + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Відповіді (в безладді):

х 1 \u003d 0
х 2 \u003d 5

х 1,2 \u003d2

х 1 \u003d 2
х 2 \u003d -0,5

х - будь-яке число

х 1 \u003d -3
х 2 \u003d 3

рішень немає

х 1 \u003d 0,25
х 2 \u003d 0,5

Все сходиться? Відмінно! Квадратні рівняння - не ваша головний біль. Перші три вийшли, а інші - ні? Тоді проблема не в квадратних рівняннях. Проблема в тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся по посиланню, це корисно.

Не зовсім виходить? Або зовсім не виходить? Тоді вам на допомогу Розділ 555. Там всі ці приклади розібрані по кісточках. Показані головні помилки в рішенні. Розповідається, зрозуміло, і про застосування тотожних перетворень в рішенні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт ...

До речі, у мене є ще парочка цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів і дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося - з інтересом!)

можна познайомитися з функціями і похідними.