Е периметърът на тези триъгълници постоянна стойност. Периметъра на триъгълника, който има две равни страни. В три данни

Как да намерим триъгълник периметър? Този въпрос беше помолен всеки от нас, учене в училище. Нека се опитаме да си спомним всичко, което знаем за тази невероятна фигура, както и да отговорим на въпроса.

Отговорът на въпроса как да се намери периметър на триъгълник обикновено е доста прост - необходимо е само да се изпълни процедурата за добавяне на дължините на всичките му страни. Въпреки това, има някои по-прости методи за желаната стойност.

Съвети

В случай, че радиусът (R) на кръга, който е включен в триъгълника, и неговите райони (и) са известни, след това отговарят на въпроса как да се намери периметърът на триъгълника е доста прост. За да направите това, трябва да използвате обичайната формула:

Ако са известни два ъгъл, оставете, α и β, които са в непосредствена близост до страната, и дължината на самата страна, периметърът може да бъде намерен с помощта на много и много популярна формула, която има формата:

sIN ∙ A / (SIN (180 ° - β - α)) + SINΑ ∙ A / (SIN (180 ° - β - α)) + a

Ако знаете дължината на съседните страни и ъгъла β, който е между тях, за да се намери периметъра, е необходимо да се използва периметъра, изчислен по формулата:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2 - 2 ∙ B ∙ A ∙ КОСП),

където B2 и A2 са квадрати от съседни страни. Миналият израз е дължината на трета страна, която е неизвестна, изразена от космисъната теорема.

Ако не знаете как да намерите периметър, тогава всъщност няма нищо сложно. Изчисли го по формулата:

където Б е основата на триъгълника и нейните страни.

За да се намери периметърът на десния триъгълник, трябва да се използва от най-простата формула:

където А е дължината на страните.

Как да намерим периметър на триъгълник, ако са известни само повишаването на кръговете, които са описани близо до него или са вписани в него? Ако триъгълникът е равностранен, тогава трябва да се приложи формулата:

P \u003d 3R√3 \u003d 6R√3,

където R и R са радиуси от описания и вписан кръг, съответно.

Ако триъгълникът е еднакво chagin, формулата се прилага за него:

P \u003d 2R (sinβ + 2sinα),

където α е ъгъл, който лежи в основата, а β е ъгъл, който се противопоставя на основата.

Често за решаване на математически задачи се изисква най-дълбокият анализ и специфичната способност за намиране и премахване на необходимите формули и това е колко са известни, доста трудна работа. Въпреки че някои задачи могат да бъдат решени само с помощта на една формула.

Нека разгледаме формули, които са основни, за да отговорят на въпроса как да се намери периметъра на триъгълника, във връзка с най-различни видове триъгълници.

Разбира се, основното правило за намиране на периметъра на триъгълника е това изявление: да се намери периметъра на триъгълника, е необходимо да се сгънат дължините на всички свои партии съгласно съответната формула:

където b, А и С е дължината на страната на триъгълника и P е периметърът на триъгълника.

Има няколко специални случая на тази формула. Да предположим, че задачата ви е формулирана, както следва: "Как да намерим периметър правоъгълен триъгълник? В този случай трябва да се възползвате от следната формула:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2)

В тази формула В и А са директните дължини на катетите на правоъгълния триъгълник. Лесно е да се отгатне, че вместо частта на C (хипотензи) се използва изразът, получен върху теоремата на голямата научна древност - Pythagora.

Ако трябва да решите задачата, в която са подобни триъгълниците, би било логично да се използва това изявление: съотношението на периметъра съответства на съотношението подобие. Да предположим, че имате два подобни триъгълника - ΔABC и ΔA1B1C1. След това да се намери вероятност коефициентът, е необходимо да се раздели периметъра ΔABC на периметър ΔA1B1C1.

В заключение може да се отбележи, че периметърът на триъгълника може да бъде намерен с помощта на различни техники, в зависимост от източниците на данни, които имате. Необходимо е да се добави, че има някои специални случаи за правоъгълни триъгълници.

Предварителна информация

Периметърът на всички плоски геометрични форми в равнината се определя като сумата на дължините на всичките му страни. Изключение от това не е триъгълник. Първо даваме концепцията за триъгълник, както и видове триъгълници в зависимост от страните.

Определение 1.

Триъгълникът ще се нарича геометрична форма, която е съставена от три точки, свързани с сегменти (фиг. 1).

Определение 2.

Точките в рамките на дефиницията 1 ще бъдат наречени върховете на триъгълника.

Определение 3.

Сегменти в рамките на определението 1 ще бъдат наречени страните на триъгълника.

Очевидно всеки триъгълник ще има 3 върха, както и три страни.

В зависимост от отношението на страните един към друг, триъгълниците са разделени на гъвкави, равни и равномерни.

Определение 4.

Триъгълникът ще се нарече гъвкав, ако никой от страните му няма друг.

Определение 5.

Триъгълникът ще се нарича еднакво председателстван, ако двете му партии са равни един на друг, но не се равняват на трета страна.

Определение 6.

Триъгълникът ще бъде наречен равностранен, ако всички негови партии са равни един на друг.

Всички видове тези триъгълници можете да видите на фигура 2.

Как да намерим периметър на универсален триъгълник?

Нека дадем универсален триъгълник, в който дължините на страните ще бъдат равни на $ α $, $ β $ и $ γ $.

Изход:За да намерите периметъра на гъвкавия триъгълник, е необходимо да се сгънете всички дължини на страните му.

Пример 1.

Намерете периметъра на гъвкавия триъгълник е равен на $ 34 $ cm, $ 12 $ cm и $ 11 $ cm.

$ P \u003d 34 + 12 + 11 \u003d 57 $ cm

Отговор: $ 57 $ cm.

Пример 2.

Намерете периметъра на правоъгълен триъгълник, чиито катетри са равни на $ 6 $ и $ 8 $ cm.

Първо ще намерим дължината на хипотензите на този триъгълник на питагоровата теорема. Тогава го обозначи с $ α $

$ α \u003d $ 10 според правилото на периметъра на универсалния триъгълник, ние получаваме

$ P \u003d 10 + 8 + 6 \u003d 24 $ cm

Отговор: $ 24 $ cm.

Как да намерим периметър на равновесен триъгълник?

Нека да получим уравнителен триъгълник, в който дължините на страната на страните ще бъдат $ α $, а основната дължина е $ β $.

За определяне на периметъра на плоска геометрична форма, ние го получаваме

$ P \u003d α + α + β \u003d 2α + β $

Изход:Да намери периметър равен триъгълник Необходимо е да бъде два пъти по дължината на страните си с дължината на нейната основа.

Пример 3.

Намерете периметъра на равновесителния триъгълник, ако неговите странични страни са равни на $ 12 $ cm, а основата е 11 cm.

Според горния пример виждаме това

$ P \u003d 2 cdot 12 + 11 \u003d 35 $ cm

Отговор: $ 35 $ cm.

Пример 4.

Намерете периметър на еднакво окован триъгълник, ако височината, извършена на базата, се равнява на $ 8 $ cm, а основата е $ 12 $ cm.

Помислете за чертежа под условието на проблема:

Тъй като триъгълникът е предшестващ, тогава $ bd $ също е средно, следователно, $ ad \u003d $ 6 cm

Според теоремата Pythagora, от $ adb $ триъгълник, ще намерим страната. Тогава го обозначи с $ α $

Според правилата за изчисляване на периметъра на равновесическия триъгълник, ние получаваме

$ P \u003d 2 cdot 10 + 12 \u003d 32 $ cm

Отговор: $ 32 cm cm

Как да намерим периметъра на равностранен триъгълник?

Нека дадем равностранен триъгълник, в който дължините на всички страни ще бъдат $ α $.

За определяне на периметъра на плоска геометрична форма, ние го получаваме

$ P \u003d α + α + α \u003d 3α $

Изход: За да намери периметъра на равностранен триъгълник, страната на страната на триъгълника се умножава с $ 3 $.

Пример 5.

Намерете периметъра на равностранен триъгълник, ако неговата страна е равна на $ 12 $ cm.

Според горния пример виждаме това

$ P \u003d 3 cdot 12 \u003d 36 $ cm

Съвети

sIN ∙ A / (SIN (180 ° - β - α)) + SINΑ ∙ A / (SIN (180 ° - β - α)) + a

Ако знаете дължината на съседните страни и angle β, който е между тях, тогава, за да се намери периметъра, е необходимо да се използва теоремата на косинуса. Периметърът се изчислява по формулата:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2 - 2 ∙ B ∙ A ∙ КОСП),

Ако не знаете как да намерите периметър на уравнителен триъгълник, тогава всъщност няма нищо сложно. Изчисли го по формулата:

където Б е основата на триъгълника и нейните страни.

За да се намери периметърът на десния триъгълник, трябва да се използва от най-простата формула:

където А е дължината на страните.

P \u003d 3R√3 \u003d 6R√3,

където R и R са радиуси от описания и вписан кръг, съответно.

Ако триъгълникът е еднакво chagin, формулата се прилага за него:

P \u003d 2R (sinβ + 2sinα),

където α е ъгъл, който лежи в основата, а β е ъгъл, който се противопоставя на основата.

където b, А и С е дължината на страната на триъгълника и P е периметърът на триъгълника.

Има няколко специални случая на тази формула. Да предположим, че задачата ви е формулирана, както следва: "Как да намерим периметър на правоъгълен триъгълник?" В този случай трябва да се възползвате от следната формула:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2)

Съдържание:

Периметър е обща дължина граници на двуизмерната форма. Ако искате да намерите триъгълник периметър, тогава трябва да сгънете дължините на всичките му страни; Ако не знаете дължината на поне една страна на триъгълника, е необходимо да го намерите. Тази статия ще ви каже (а) как да намерите триъгълник периметър за три известни партии; б) как да се намери периметъра на правоъгълен триъгълник, когато са известни само две страни; в) как да се намери периметър на всеки триъгълник, когато между тях са дадени две страни и ъгъл (използвайки теоремата на косинуса).

Стъпка

1 в три данни

1 За да намерите периметъра, използвайте формулата: P \u003d A + B + C, където А, В, С - дължината от три страни, P е периметърът.
2 Намерете дължините на трите страни. В нашия пример: A \u003d 5, B \u003d 5, C \u003d 5.
- Това е равностранен триъгълник, тъй като трите страни имат същото дълго. Но горната формула се прилага към всеки триъгълник.
3 Сгънете дължината на трите страни, за да намерите периметъра. В нашия пример: 5 + 5 + 5 \u003d 15, т.е. p \u003d 15.
- Друг пример: a \u003d 4, b \u003d 3, c \u003d 5. р \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
4 В отговор не забравяйте да посочите единица за измерване. В нашия пример страните се измерват по сантиметри, така че крайният отговор следва да включва и сантиметри (или мярката на единици, посочени в състоянието на задачата).
- В нашия пример всяка страна е 5 cm, така че крайният отговор е: p \u003d 15 cm.

2 Според две данни от правоъгълния триъгълник

1 Помнете теоремата на Питагора. Тази теорема описва връзката между страните на правоъгълния триъгълник и е една от най-известните и употребявани математически теореми. Теоремата заявява, че във всеки правоъгълен триъгълник страните са свързани със следното отношение: 2 + В2 \u003d С2, където А, b - ядки, С - хипотенуза.
2 Нарисувайте триъгълник и посочете страните като a, b, c. Най-дългата страна на правоъгълния триъгълник е хипотенуза. Той се намира пред директен ъгъл. Означават хипотенузата като "c". Карти (страни в непосредствена близост до прав ъгъл) Посочете като "А" и "Б".
3 Заменете стойностите на известните страни в теоремата на Pythagore (2 + В2 \u003d С2). Вместо букви, заменете числата, предоставени на състоянието на задачата.
- Например, a \u003d 3 и b \u003d 4. замества тези стойности в теоремата на Pythagore: 3 2 + 4 2 \u003d С2.
- Друг пример: a \u003d 6 и c \u003d 10. след това: 6 2 + b 2 \u003d 10 2
4 Решете полученото уравнение, за да намерите неизвестна страна. За да направите това, вземете в квадратната известна дължина на партиите до площада (просто умножете броя на себе си върху себе си). Ако търсите хипотенуза, сгънете квадратите от двете страни и премахнете от полученото количество корен квадратен. Ако търсите кат, приспадате квадрата известна категория От квадрата на хипотенузата и от полученото частно отстраняване на квадратен корен.
- В първия пример: 3 2 + 4 2 \u003d С2; 9 + 16 \u003d С2; 25 \u003d С2; √25 \u003d p. Така, c \u003d 25.
- Във втория пример: 6 2 + В2 \u003d 10 2; 36 + B 2 \u003d 100. Прехвърляне 36 от дясната страна на уравнението и получаване: B 2 \u003d 64; B \u003d √64. По този начин, b \u003d 8.
5
- В нашия първи пример: P \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
- В нашия втори пример: P \u003d 6 + 8 + 10 \u003d 24.

3 Според два данни и ъгъла между тях

1 Всяка страна на триъгълника може да бъде намерена на теоремата косинус, ако ви се дават две страни и ъгъла между тях. Тази теорема се прилага към всички триъгълници и е много полезна формула. Косинус теорема: С2 \u003d А2 + В2 - 2АБКОс (с), където А, В, С - страни на триъгълника, А, В, С - ъгли, противопоставящи се на съответните страни на триъгълника.
2 Начертайте триъгълник и определете страните като А, В, С; Посочете ъглите, противоположни на съответните страни като A, B, C (т.е. ъгълът, противоположната страна "А", маркирайте като "А" и т.н.).
- Например, триъгълник със страни 10 и 12 и ъгъл между тях при 97 °, т.е., a \u003d 10, b \u003d 12, c \u003d 97 °.
3 Подгответе данните във формулата и намерете неизвестна страна "C". Първо вземете в квадрата на дължината на известните страни и сгънете получените стойности. След това намерете косинуса на ъгъла c (използвайки калкулатор или онлайн калкулатор). Умножете дължината на известните страни на косинуса този ъгъл и 2 (2BCOS (в)). Получената стойност се приспада от сумата на квадратите от двете страни (2 + В2) и ще получите C 2. От тази величина извадете квадратния корен, за да намерите дължината на неизвестната страна "С". В нашия пример:
- c 2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × COS (97) \\ t
- c 2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
- c 2 \u003d 244 - (-29,25)
- c 2 \u003d 244 + 29,25
- c 2 \u003d 273,25
- c \u003d 16,53.
4 Сгънете дължината на трите страни, за да намерите периметъра. Спомнете си, че периметърът се изчислява по формулата: р \u003d A + B + C.
- В нашия пример: р \u003d 10 + 12 + 16.53 \u003d 38.53.

Триъгълникът е един от основните геометрични фигурипредставляващи три пресичащи се сегмента директно. Тази цифра беше известна и на учените. Древен Египет, Древна Гърция и Древен Китайкоито досега досега повечето от формулите и моделите, използвани от учени, инженери и дизайнери досега.

Основните компоненти на триъгълника включват:

Стихове - точките на пресичане на сегменти.

Партита - пресичащи се сегменти на директно.

Въз основа на тези компонентни частиФормулира такива концепции като периметъра на триъгълника, неговата област, вписан и описан кръг. От училище е известно, че периметърът на триъгълника е цифров израз на сумата от трите страни. В същото време формулите за намиране на тази стойност са известни чудесно, в зависимост от източниците на данни, които изследователят има по един или друг начин.

1. Най-лесният начин за намиране на периметъра на триъгълника се използва, когато числови стойности от трите страни са известни (x, y, z), в резултат на това:

2. Периметърът на равностранения триъгълник може да бъде намерен, ако си спомним, че тази цифра обаче има всички страни, тъй като всички ъгли са равни. Познаването на дължината на тази страна, периметърът на равностранения триъгълник може да бъде определен по формулата:

3. при еднакво окован триъгълник, за разлика от равностранен, само две странични страни имат еднаква цифрова стойност, така че в този случай общ Периметърът ще бъде както следва:

4. Следните методи Ние сме необходими в случаите, когато цифровите стойности са известни не всички страни. Например, ако изследването има данни от две страни, както и ъгъла между тях, периметърът на триъгълника може да бъде намерен чрез определяне на третата страна и известния ъгъл. В този случай тази трета страна ще бъде намерена по формулата:

z \u003d 2x + 2y-2xycoSβ

Въз основа на това периметърът на триъгълника ще бъде равен на:

P \u003d X + Y + 2x + (2Y-2XYCOS β)

5. В случай, когато дължината първоначално се дава не повече от едната страна на триъгълника и цифровите стойности на два ъгли, съседни към нея, периметърът на триъгълника може да бъде изчислен чрез разчитане на теоремата на синусите:

P \u003d X + SIN р x / (sin (180 °β)) + sinγ x / (sin (180 ° -γ))

6. Има случаи, когато периметърът на триъгълника се използва, за да се използва от известните параметри, включени в обиколката. Тази формула е известна и на мнозинството от училищната пейка:

P \u003d 2S / R (S е площта на обиколката, докато R е неговият радиус).

От всичко по-горе, може да се види, че величината на периметъра на триъгълника може да бъде намерена по много начини, въз основа на тези данни, които изследователят притежава. Освен това има някои по-специални случаи на тази стойност. Така периметърът е една от най-важните стойности и характеристики на правоъгълния триъгълник.

Както е известно, такъв триъгълник се нарича фигура, две страни, които образуват пряк ъгъл. Периметърът на правоъгълния триъгълник се намира чрез цифровия израз на сумата от двете катетени и хипотензи. В случай, че изследователят знае данните само около две страни, останалите могат да бъдат изчислени, като се използва известната теорема за Pythagora: z \u003d (x2 + y2), ако двете категории са известни, или x \u003d (z2 - y2), ако хипотенузата е известно и ката.

В случай, че дължината на хипотенузата е известна и един от съседните ъгли в нея, след това другата страна е разположена съгласно формулите: x \u003d z sin р, y \u003d z copβ. В този случай периметърът ще бъде равен на:

P \u003d z (copp + sinβ +1)

Също така, специален случай е изчисляването на периметъра на правилния (или равностранен) триъгълник, т.е. такава цифра, в която всички страни и всички ъгли са равни. Изчисляването на периметъра на такъв триъгълник върху добре позната страна не представлява никакъв проблем, обаче, някои други данни са известни на изследователя. Така че, ако радиусът на вписания кръг е известен, периметърът на правилния триъгълник е във формулата:

И ако е дадена величината на радиуса на описания кръг, периметърът на правилния триъгълник ще бъде намерен, както следва:

Формулите трябва да бъдат запомнени да бъдат успешно прилагани на практика.