Спазването на поверителността ви е важно за нас. Поради тази причина сме разработили политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата Декларация за поверителност и ни информирайте, ако имате някакви въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Под лична информация подлежи на данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на определено лице или комуникация с него.

Можете да бъдете помолени да предоставите личната си информация по всяко време, когато свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, които можем да съберем и как можем да използваме такава информация.

Каква лична информация събираме:

  • Когато оставите приложение на сайта, можем да съберем различни информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Както използваме вашата лична информация:

  • Събрани от нас лична информация Позволява ни да се свържем с вас и да докладваме за уникални оферти, промоции и други събития и най-близки събития.
  • От време на време можем да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни уведомления и съобщения.
  • Можем също така да използваме персонализирана информация за вътрешни цели, като одит, анализ на данните и различни проучвания, за да подобрим услугите на нашите услуги и да ви предоставим препоръки за нашите услуги.
  • Ако участвате в наградите, конкуренцията или подобно стимулиращо събитие, можем да използваме информацията, която предоставяте, за да управлявате такива програми.

Разкриване на информация на трети страни

Ние не разкриваме информацията, получена от вас на трети страни.

Изключения:

  • Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебната процедура, в процеса и / или въз основа на публични запитвания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкрият вашата лична информация. Можем също така да разкрием информация за вас, ако определим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, поддържането на право и ред или други социално важни случаи.
  • В случай на реорганизация, сливания или продажби, можем да предадем личната информация, която събираме съответното на третата страна - наследник.

Защита на личната информация

Ние правим предпазни мерки - включително административни, технически и физически - за защита на личната ви информация от загуба, кражба и безскрупулна употреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промени и унищожаване.

Спазване на поверителността ви на фирменото ниво

За да се уверите, че вашата лична информация е в безопасност, ние носим нормата за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно следват изпълнението на мерките за поверителност.

Ще бъда кратък. Ъгълът между две права е равен на ъгъла между техните водещи вектори. По този начин, ако успеете да намерите координатите на водещите вектори a \u003d (x 1; y 1; z 1) и b \u003d (x 2; y2; z2), след това можете да намерите ъгъл. По-точно, косинусът на ъгъла по формулата:

Нека видим как тази формула работи в конкретни примери:

Задача. В Куба ABCDA 1 B 1 C 1 d1, точки e и f са средата на ребрата А1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между прав AE и BF.

Тъй като ръбът на куба не е посочен, ние поставяме AB \u003d 1. Въвеждаме стандартна координатна система: Стартирайте в точка А, X, y ос, изпратете съответно по AB, AD и AA 1. Един сегмент е AB \u003d 1. Сега откриваме координатите на водещите вектори за нашите прави линии.

Ще намерим координатите на вектора AE. За това ще се нуждаем от точки А \u003d (0; 0; 0) и e \u003d (0.5; 0; 1). Тъй като точката Е е средата на сегмента А 1 B 1, нейните координати са равни на средните аритметични координати на краищата. Имайте предвид, че началото на вектора AE съвпада с началото на координатите, следователно AE \u003d (0.5; 0; 1).

Сега ще се справим с вектора на BF. По същия начин разглобяваме точките B \u003d (1; 0; 0) и F \u003d (1; 0.5; 1), защото F - в средата на сегмента В 1 С1. Ние имаме:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).

Така че направляващите вектори са готови. Косинусът на ъгъла между прав е косинусът на ъгъла между водещите вектори, така че имаме:

Задача. В правилната трикардора призма на ABCA 1 B 1C 1, всички от които са 1, точките D и E са маркирани със средата на ребрата А 1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между права реклама и бъдете.

Въвеждаме стандартната координатна система: произходът в точката А, ос X ще насочи по AB, Z по AA 1. Оста Y ще изпрати така, че оксината равнина да съвпада с ABC равнината. Един сегмент е ab \u003d 1. Намерете координатите на водещите вектори за желаното директно.

За да започнем, ще намерим координатите на рекламния вектор. Обмислете точките: a \u003d (0; 0; 0) и d \u003d (0.5; 0; 1), защото D е средата на сегмента a 1 b 1. От началото на рекламния вектор съвпада с произхода на координатите, ние получаваме ad \u003d (0.5; 0; 1).

Сега откриваме координатите на вектора. Точка b \u003d (1; 0; 0) се счита за лесно. С точка Е - средата на сегмента C 1 B 1 - малко по-сложно. Ние имаме:

Остава да намериш косински ъгъл:

Задача. В правилната награда за шестоъгълник ABCDEFA 1 B 1 C 1 d 1 e 1 F 1, всички краища са 1, точките K и L са в средата на ребрата А 1 В1 и В1С 1, съответно. Намерете ъгъла между прав Ак и Бл.

Въвеждаме стандартната координатна система за призмата: началото на координатите ще бъдат поставени в центъра на долната база, осната ос ще се насочи по протежение на FC, ос Y - през средата на сегментите на AB и DE, и ос Z вертикално нагоре. Един разрез отново е равен на AB \u003d 1. Ние ще запишем координатите, които ни интересуват:

Точките K и L са в средата на сегментите А 1 B 1 и B 1C 1, съответно, следователно техните координати са чрез средноаритметичната средна стойност. Знаещи точки, ние ще намерим координатите на водещи вектори АК и Бл:

Сега откриваме косинуса на ъгъла:

Задача. Вдясно четириъгълна пирамида SABCD, всички от които са 1, са маркирани точки E и F - средните страни на SB и SC, съответно. Намерете ъгъла между прав AE и BF.

Въвеждаме стандартна координатна система: Стартиране в точка А, X и Y оста ще изпрати съответно AB и AD и Ax Axis ще се насочи вертикално. Един сегмент е AB \u003d 1.

Точки E и F - средни сегменти на SB и SC, съответно, следователно техните координати са разположени като средноаритметична средна стойност. Ние записваме координатите, които ни интересуват:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)

Знаещи точки, ние ще намерим координатите на водещите вектори AE и BF:

Координатите на вектора AE съвпадат с координатите на точката Е, тъй като точката А е началото на координатите. Остава да намериш косински ъгъл:


Ъгъл Между пространството, ние наричаме всеки от съседните ъгли, образувани от два директни, проведени чрез произволна точка, успоредна на данните.

Нека две прави линии са дадени в пространството:

Очевидно зад ъгъла φ между прав може да се вземе ъгъл между техните водещи вектори и. Тъй като според формулата за косинусов ъгъл между векторите получаваме

Условията за паралелизъм и перпендикулярност на двете прави линии са еквивалентни на условията на паралелизма и перпендикулярността на техните водещи вектори и:

Две права паралелен Тогава и само ако техните съответни коефициенти са пропорционални, т.е. л. 1 паралел л. 2, ако и само когато паралелно .

Две права перпендикулярно Тогава и само когато количеството на произведенията на съответните коефициенти е нула :.

W. цел между право и равнина

Нека изпратено д. - не перпендикулярно на равнината θ;
д.'- Директен проекцията д. на равнината θ;
Най-малките ъгли между права д. и д.- Ние наричаме. " ъгълът между правия и самолета.
Го означаваме като φ \u003d ( д.,θ)
Ако д.⊥θ, тогава ( д., θ) \u003d π / 2

Oi.→й.→к.→ - правоъгълна координатна система.
Равномерно уравнение:

θ: Брадва.+До+Cz.+Д.=0

Ние вярваме, че директен се определя от точка и водещ вектор: д.[М.0,пс.→]
Вектор н.→(А.,Б.,° С.)⊥θ
След това остава да откриете ъгъла между векторите. н.→ I. пс.→, го обозначи с γ \u003d ( н.→,пс.→).

Ако ъгълът γ.<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ако ъгълът γ\u003e π / 2, след това желания ъгъл φ \u003d γ-π / 2

sinφ \u003d SIN (2π-y) \u003d cossγ

sinφ \u003d sin (γ-2π) \u003d - cossγ

Тогава, ъгълът между правия и самолетаможе да се разгледа по формулата:

sinφ \u003d | coss | \u003d | | АП.1+Bp.2+Cp.3∣ ∣ √А.2+Б.2+° С.2√пс.21+пс.22+пс.23

Въпрос29. Концепцията за квадратична форма. Индивидуалност на квадратични форми.

Квадратична форма J (x 1, x 2, ..., x n) n валидни променливи x 1, x 2, ..., x n наречена сума от тип
, (1)

където a ij. - Някои номера, наречени коефициенти. Без ограничаването на общността, можем да приемем това a ij. = ji..

Квадратичната форма се нарича валидна ако a ij. Gr. Матрица на квадратична форма Наречена матрица, съставена от нейните коефициенти. Квадратична форма (1) съответства на една симетрична матрица
Това е И t \u003d a. Следователно, квадратичната форма (1) може да бъде записана в матричната форма J ( х.) = x t ah.където x T. = (х. 1 х. 2 … x N.). (2)


И напротив, всяка симетрична матрица (2) съответства на една квадратична форма с точност на обозначението на променливите.

Ранг квадратичен вид Те наричат \u200b\u200bранга на матрицата си. Квадратичната форма се нарича nondegenerate Ако nondegenerater е неговата матрица НО. (Припомни, че матрицата НО Тя се нарича nondegenerate, ако нейният детерминант не е нула). В противен случай квадратичната форма е дегенерирана.

дефинирани положително (или строго положителни), ако

j ( х.) > 0 , за всеки х. = (х. 1 , х. 2 , …, x N.), Освен това х. = (0, 0, …, 0).

Матрицата НО положително дефинирана квадратична форма J ( х.) Също така се нарича положително дефиниран. Следователно, положително дефинираната квадратична форма съответства на единична положителна матрица и обратно.

Квентичната форма (1) се нарича дефинирани отрицателно (или строго отрицателен), ако

j ( х.) < 0, для любого х. = (х. 1 , х. 2 , …, x N.), Освен това х. = (0, 0, …, 0).

По същия начин, както по-горе, матрицата на отрицателно дефинирана форма на Quad Ratich също се нарича негативно дефинирана.

Следователно, положителен (отрицателен) определен кварт-кърлеж от J ( х.) достига до минимум (максимален) стойност j ( х *) \u003d 0, когато х * = (0, 0, …, 0).

Трябва да се отбележи, че повечето от квадратичните форми не са различни, т.е. те не са нито положителни, нито отрицателни. Такива квадратични форми обжалват в 0 не само в началото на координатната система, но и в други точки.

Кога н. \u003e 2 изисква специални критерии за проверка на определението за квадратична форма. Помислете за тях.

Главни миньори Квадратична форма се нарича непълнолетни:


това е, това е непълнолетни около 1, 2, ..., н. Матрица НОНамира се в горния ляв ъгъл, последният от тях съвпада с определянето на матрицата НО.

Критерий за положителна сигурност (Критерий за Силвестър)

х.) = x t ah. Беше определено положително, необходимо е и достатъчно, че всички големи непълнолетни на матрицата НО бяха положителни, т.е. М. 1 > 0, М. 2 > 0, …, M N. > 0. Критерий за отрицателна сигурност С цел квадратник j ( х.) = x t ah. Беше необходимо за отрицателно, необходимо е и достатъчно за основните му непълнолетни от равномерното представяне, а странно - отрицателно, т.е. М. 1 < 0, М. 2 > 0, М. 3 < 0, …, (–1) Н.

Инструкция

Забележка

Период тригонометрична функция Допирателната е 180 градуса, което означава, че ъглите на склоновете на Direct не могат, в модула да надхвърлят тази стойност.

Полезни съвети

Ако ъгловите коефициенти са помежду си, ъгълът между такова право е 0, като такъв директен или съвпадащ или успореден.

За да се определи степента на ъгъла между пряк между кръстките, и двете (или един от тях) са необходими за прехвърляне към нова позиция по метода на паралелно прехвърляне към кръстовището. След това трябва да намерите стойността на ъгъла между полученото пресичане правилно.

Ще имаш нужда

Инструкция

Така че, оставете векторът v \u003d (a, b, c) и равнината и x + в Y + c z \u003d 0, където a, b и c - координатите на нормалния N. след това косинус на ъгъла α между Vectors V и N е: COS α \u003d (A + B B + Cc) / (√ (a² + b² + c²) √ (a² + c² + c²))).

За да изчислите величината на ъгъла в градуси или радиани, трябва да изчислите функцията обратно към косинуса, т.е. Arkkosinus: α \u003d ARSSOS ((A + B B + C в) / (√ (a² + b² + c²) √ (a² + c² + c²)))).

Пример: Намери ъгъл между тях вектор (5, -3, 8) и самолетпосочен общо уравнение 2 x - 5 Y + 3 Z \u003d 0.New: Напишете координатите на нормалния вектор на равнината n \u003d (2, -5, 3). Подготвят всички известни стойности в получената формула: cos α \u003d (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α \u003d 36.87 °.

Видео по темата

Права линия с кръг една обща точка е допирателна до обиколката. Друга особеност на допирателната - тя винаги е перпендикулярна на радиуса, изразходван по въпроса за докосване, т.е. допирателна и радиусска форма директно ъгъл. Ако има две допирателни към кръга AB и AC, тогава те винаги са равни един на друг. Определяне на ъгъла между допирателните ( ъгъл ABC) се извършва с помощта на питагоровата теорема.

Инструкция

За да се определи ъгъла, е необходимо да се знае радиусът на обиколката на операционната система и операционната система и разстоянието на началната точка допирателна от центъра на кръга - O. Така че ъглите на AVO и ASO са равни, радиус, Пример, 10 cm и разстоянието до центъра на кръга на АД са 15 cm. определят дължината на допирателната формула в съответствие с теоремата на Pythagores: AV \u003d корен квадратен от AO2 - OV2 или 152 - 102 \u003d 225 - 100 \u003d 125;

Този материал е посветен на такава концепция като ъгъл между две пресичащи се права. В първа точка ще обясним какво е той и го показва на илюстрациите. Тогава ще анализираме как може да се намери синусът, косинусът на този ъгъл и самия ъгъл (отделно разгледайте случаите със самолета и триизмерното пространство), ние даваме необходимите формули и показваме примерите за примерите, как точно те се прилагат на практика.

Yandex.rtb r-a-339285-1

За да разберем какъв ъгъл се формира от пресечната точка на две директни, ще трябва да припомним определянето на ъгъла, перпендикулярност и точки на пресичане.

Определение 1.

Ние наричаме две направо пресичащи се, ако имат една обща точка. Тази точка се нарича точка на пресичане на две прави линии.

Всяко директно се разделя от точката на пресичане на лъчите. И двете директни в същото време образуват 4 ъгли, от които две са вертикални и две са съседни. Ако знаем мярката на една от тях, можем да идентифицираме други останали.

Да предположим, че знаем, че един от ъглите е равен на α. В този случай ъгълът, който е вертикален по отношение на него, също ще бъде равен на α. За да намерите останалите ъгли, трябва да изчислим разликата между 180 ° - α. Ако α е равна на 90 градуса, тогава всички ъгли ще бъдат прав. Пресичането в десния ъгъл на линията се нарича перпендикулярно (индивидуалната статия е посветена на концепцията за перпендикулярност).

Обърнете внимание на чертежа:

Нека се обърнем към формулирането на основната дефиниция.

Определение 2.

Ъгълът, образуван от две пресичащи се права, е мярка за по-малък от 4-краищите, които образуват две от тези права.

От дефиницията е необходимо да се направи важно заключение: размерът на ъгъла в този случай ще бъде изразен чрез всяко реално число в интервала (0, 90]. Ако директен е перпендикулярен, тогава ъгълът между тях ще бъде равен на 90 степени.

Възможността за намиране на мярка за ъгъла между две пресичащи се директно е полезна за решаване на много практически задачи. Методът на разтвора може да бъде избран от няколко опции.

За начало можем да вземем геометрични методи. Ако знаем нещо за допълнителни ъгли, тогава можете да ги обвържете с ъгъла, от който се нуждаем, използвайки свойствата на равни или подобни форми. Например, ако знаем страната на триъгълника и трябва да изчислите ъгъла между директното, на което се намират тези партии, след това за решения, теоремата на косинуса е подходяща. Ако имаме правоъгълен триъгълник, тогава за изчисления използваме и знанията на синуса, косине и донкъл ъгъл.

Координатът е много удобен за решаване на проблеми от този тип. Нека обясним как да го използваме правилно.

Имаме правоъгълна (декартайска) координатна система O x Y, в която са дадени две прави линии. Означават ги с букви a и b. Директно с това може да бъде описано с помощта на всякакви уравнения. Изходът прави линии имат точка на пресичане M. Как да определите желания ъгъл (означаваме α) между тези права?

Нека започнем с формулировката на основния принцип за намиране на ъгъл при определени условия.

Знаем, че с концепцията за права линия, такива концепции като водач и нормален вектор са тясно свързани. Ако имаме уравнение на някакво право, можете да вземете координатите на тези вектори от него. Можем да го направим веднага за две пресичащи се прави линии.

Ъгълът, образуван от две пресичащи се прави, може да се намери чрез:

  • ъгълът между водещите вектори;
  • ъгъл между нормалните вектори;
  • ъгълът между нормалния вектор е един прав и е-водач вектор.

Сега помислете поотделно.

1. Да предположим, че имаме право А с водещ вектор A → \u003d (a x, y) и прав b с водещия вектор b → (b x, b y). Сега отложи два вектора → и b → от точка на пресичане. След това ще видим, че те ще бъдат разположени върху тях. След това имаме четири възможности за тяхното взаимно местоположение. Вижте илюстрация:

Ако ъгълът между два вектори не е глупав, тогава ще бъде ъгълът, който трябва да отидем между пресичането на права а и b. Ако е глупаво, тогава желаният ъгъл ще бъде равен на ъгъла в непосредствена близост до ъгъла на →, b → ^. По този начин, α \u003d a →, b → ^ ако a →, b → ^ ≤ 90 °, и α \u003d 180 ° - a →, b → ^, ако →, b → ^\u003e 90 °.

Въз основа на факта, че косините от равни ъгли са равни, можем да пренапишем полученото равенство: cos α \u003d cos a →, b → ^, ако →, b → ^ ≤ 90 °; Cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, ако a →, b → ^\u003e 90 °.

Във втория случай бяха използвани формулите. По този начин,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Пишаме последната формула с думите:

Определение 3.

Косинусът на ъгъл, образуван от две пресичащи се прави, ще бъде равен на модула на косинуса на ъгъла между неговите водещи вектори.

Общият външен вид на косинусната формула на ъгъла между два вектора a → \u003d (a x, y) и b → \u003d (b x, b y) изглежда така:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → → b → \u003d a x · b x + a y + b ya х 2 + a y2 · b x 2 + b y2

От нея можем да извлечем косинусната формула на ъгъла между двете посочени директно:

cos α \u003d a x · b x + a y + b ya х 2 + a y2 · b x 2 + b y2 \u003d a x · b x + a y + b ya х 2 + a y2 · b x 2 + b y2 \\ t

След това самият ъгъл може да бъде намерен по следната формула:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b ya х 2 + a y2 · b x 2 + b y2

Тук a → \u003d (a x, a y) и b → \u003d (b x, b y) са направляващите вектори на посоченото директно.

Нека да дадем пример за решаване на проблема.

Пример 1.

В правоъгълната координатна система на равнината са дадени две пресичащи се линии А и В. Те могат да бъдат описани чрез параметрични уравнения x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R и x 5 \u003d Y - 6 - 3. Изчислете ъгъла между тези права.

Решение

В нашето състояние има параметрично уравнение, това означава, че за това право можем незабавно да напишем координатите на своя водещ вектор. За това трябва да предприемем стойностите на коефициентите, когато параметър, т.е. Direct x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ r ще има водещ вектор A → \u003d (4, 1).

Вторият директ е описан с помощта на каноничното уравнение X 5 \u003d Y - 6 - 3. Тук можем да вземем координатите от знаменателите. Така този директ има водещ вектор B → \u003d (5, - 3).

След това отидете директно в намирането на ъгъла. За да направите това, ние просто замествайте наличните координати на двата вектора в горната формулба α \u003d A RC cos a x · b x + a y + b ya х 2 + a y2 · b x 2 + b y2. Получаваме следното:

α \u003d a rc cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a rc cos 17 17 · 34 \u003d a rc cos 1 2 \u003d 45 °

Отговор: Данните директно образуват ъгъл от 45 градуса.

Можем да разрешим такава задача, като намерим ъгъла между нормалните вектори. Ако имаме права с нормален Na → \u003d (Nax, Nax) вектор и прав b с нормален NB → \u003d (NBX, NBY) вектор, тогава ъгълът между тях ще бъде равен на ъгъла между NA → и NB → или ъгълът, който ще бъде в непосредствена близост до na →, nb → ^. Този метод е показан на снимката:

Формули за изчисляване на косинуса на ъгъла между пресичащия се права и по-голямата част от този ъгъл с помощта на координатите на нормалните вектори изглеждат така:

cos α \u003d cos na →, nb → ^ \u003d n и х · nbx + nay + nbynax 2 + nby 2 · nbx 2 + nby 2 α \u003d дъга cos nax · nbx + nay + nbynax 2 + nay 2 · nbx 2 + nby \\ t 2.

Тук n a → и n b → означават нормалните вектори на двата зададени директни.

Пример 2.

В правоъгълната координатна система се дават две прави линии, като се използват уравнения 3 x + 5 Y - 30 \u003d 0 и X + 4 Y - 17 \u003d 0. Намерете синуса, ъгъла на косин между тях и самата величина на този ъгъл.

Решение

Изходният линии се дават при използване на нормални уравнения на директната форма A X + B Y + C \u003d 0. Нормален вектор обозначава с n → \u003d (a, b). Ще открием координатите на първия нормален вектор за един прав и да ги напиша: n a → \u003d (3, 5). За втория директен X + 4 Y - 17 \u003d 0, нормалният вектор ще има координати n b → \u003d (1, 4). Сега добавете получените стойности във формулата и изчислете резултата:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 · 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Ако известяваме, че косинуктен ъгъл, тогава можем да го изчислим синус, използвайки основна тригонометрична идентичност. Тъй като ъгълът α, образуван от права, не е тъп, след това sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

В този случай, α \u003d a rc cos 23 2 34 \u003d а r c sin 7 2 34.

Отговор: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 234

Ние ще анализираме последния случай - намиране на ъгъла между права, ако знаем координатите на водещия вектор на един прав и нормален вектор на друг.

Да предположим, че Direct A има водещ вектор A → \u003d (a x, y) и права линия b е нормален вектор n b → \u003d (n b x, n b y). Трябва да отложим тези вектори от точка на пресичане и да разгледаме всички опции за тяхното взаимно местоположение. Виж на снимката:

Ако стойността на ъгъла между посочените вектори е не повече от 90 градуса, се оказва, че ще допълни ъгъла между А и В към директния ъгъл.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α, ако a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Ако е по-малко от 90 градуса, тогава ще получим следното:

a →, n b → ^\u003e 90 °, след това a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Използване на правилото на равните косинусови ъгли, пишете:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α при →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α при →, n b → ^\u003e 90 °.

По този начин,

sIN α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, A →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Ние формулираме изхода.

Определение 4.

За да намерите ъгъла на синуса между две прави линии, пресичащи се в равнината, трябва да се изчисли косинус модула между водещия вектор на първия прав и нормален вектор на втория.

Пишем необходимите формули. Намиране на синусовия ъгъл:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x · n b x + a y · n b ya х 2 + a y2 · n b x 2 + n b22

Намиране на ъгъла:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b ya х 2 + a y2 · n b x 2 + n b22

Тук a → е първият линеен водач Vector и N B → е нормален втори вектор.

Пример 3.

Две пресичащи се прави линии са зададени от уравненията X - 5 \u003d Y - 6 3 и X + 4 Y - 17 \u003d 0. Намерете ъгъла на пресичане.

Решение

Ние приемаме координатите на ръководството и нормалния вектор от посочените уравнения. Оказва се a → \u003d (- 5, 3) и n → b \u003d (1, 4). Ние приемаме формулата α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b ya х 2 + a y2 · n b х 2 + n b y2 и помислете:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Моля, обърнете внимание, че сме взели уравнения от предишната задача и имаме точно същия резултат, но по друг начин.

Отговор: α \u003d a r c sin 7 2 34

Даваме друг начин да намерим желания ъгъл, използвайки ъгловите коефициенти на посочената директна.

Ние имаме директен А, който е даден в правоъгълната координатна система, използвайки Y \u003d K1 · X + B 1 уравнение и права В, дадена като Y \u003d K2 · X + B 2. Това са уравнения директно с ъглов коефициент. За да намерите ъгъл на пресичане, използваме формулата:

α \u003d A Rc Cos K1 · K2 + 1 K12 + 1 · K22 + 1, където К1 и К2 са ъгловите коефициенти на посочените директни. За да се получи този запис, бяха използвани формулите за определяне на ъгъла чрез координатите на нормалните вектори.

Пример 4.

Има две пресичащи се на равнината уравнения, дадени от уравнения Y \u003d - 3 5 x + 6 и y \u003d - 1 4 x + 17 4. Изчислете величината на ъгъла на пресичане.

Решение

Ъгловите коефициенти на нашите линии са равни на K1 \u003d - 3 5 и K2 \u003d - 1 4. Ние ги добавяме към формулата α \u003d A RC COS K 1 · K2 + 1 K 1 2 + 1 · K 2 2 + 1 и изчисляваме:

α \u003d a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d a rc cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a rc cos 23 2 34

Отговор: α \u003d a r c cos 23 2 34

В заключенията на този елемент трябва да се отбележи, че дадените тук формули тук не се учат на сърцето. За да направите това, е достатъчно да знаете координатите на ръководството и / или нормалните вектори на посочените директно и да могат да ги определят в различни видове уравнения. Но формулата за изчисляване на косинуса на ъгъла е по-добре запомнена или записана.

Как да изчислим ъгъла между пресичането в космоса

Изчисляването на такъв ъгъл може да бъде намален до изчисляване на координатите на водещите вектори и определянето на ъгъла, оформен от тези вектори. За такива примери се използват същите аргументи, които сме довели до него.

Да предположим, че имаме правоъгълна координатна система, разположена в триизмерно пространство. Съдържа две прави линии А и Б с точка на пресичане m. За да се изчислят координатите на водещите вектори, трябва да знаем уравненията на тези директни. Обозначават направляващите вектори a → \u003d (a x, y, z) и b → \u003d (b x, b y, b z). За да изчислите косинуса на ъгъла между тях, ние използваме формулата:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d a x · b x + a y · b y + a · b z a x 2 + a2 + a z2 · b x 2 + b y2 + b z2

За да намерите самия ъгъл, ние ще се нуждаем от тази формула:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a · b z a x2 + a2 + a z2 · b x 2 + b y2 + b z2

Пример 5.

Ние имаме права линия, дадена в триизмерно пространство, използвайки уравнение X 1 \u003d Y - 3 \u003d Z + 3 - 2. Известно е, че се пресича с осите O Z. Изчислете ъгъла на пресичане и косинус на този ъгъл.

Решение

Обозначават ъгъла, който трябва да се изчисли, буквата α. Пишаме координатите на водещия вектор за първия директ - A → \u003d (1, - 3, - 2). За Appliqué Axis можем да вземем координатен вектор K → \u003d (0, 0, 1) като ръководство. Получихме необходимите данни и можем да ги добавим към желаната формула:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

В резултат на това получихме, че ъгълът, от който се нуждаем, ще бъде равен на Rc cos 1 2 \u003d 45 °.

Отговор: Cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter