Триъгълник, вписан в сферата. Вписан и описан кръг. Ако страничните стени са със същата дължина

Определение 2.

Многоъгълникът, удовлетворяващ условие за дефиниция 1, се нарича описан близо до кръга.

Фигура 1. Изписан кръг

Теорема 1 (около кръга, вписан в триъгълника)

Теорема 1.

Във всеки триъгълник можете да влезете в кръга и освен това само един.

Доказателства.

Помислете за триъгълник $ abc $. Ще извършим бисектор, който пресича при $ o $ точка и ще извърши перпендикулярно на триъгълника (фиг. 2)

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Съществуване: Ще проведем кръг с Центъра на $ o $ point и радиус от $ OK. $ Тъй като $ O $ toet се крие на три бисактора, тя е равносилен от страната на $ abc $ триъгълник. Това е, $ om \u003d OK \u003d OL $. Следователно, конструираният кръг също преминава през точките $ m и l $. Тъй като $ - перпендикулярно на страните на триъгълника, след това от теоремата за допирателна част от кръга, конструираният кръг се отнася до трите страни на триъгълника. Следователно, поради произволния триъгълник, във всеки триъгълник можете да влезете в кръг.

Уникалност: Да предположим, че $ abc $ триъгълник може да влезе в друга обиколка с центъра на $ O "$. Центърът му е равносилен от страните на триъгълника и следователно съвпада с $ o $ точка и има радиус, равен на $ OK $. Но тогава този кръг съвпада с първия.

Теорема се доказва.

Следствие 1: Центърът, вписан в триъгълника на кръга, се намира в точката на пресичане на нейния бисектор.

Даваме още няколко факта, свързани с концепцията за вписана обиколка:

Не в четириъгълник може да влезе в кръга.

Във всяка описана четиристранна сума противоположна страна равен.

Ако сумите от противоположни страни на изпъкналите четиристранни са равни, тогава тя може да бъде поставена в нея.

Определение 3.

Ако всички върхове на полигона лежат върху кръга, кръгът се нарича описан близо до полигона (фиг. 3).

Определение 4.

Полигон, който отговаря на условието за определяне 2 се нарича вписан в кръг.

Фигура 3. Описаният кръг

Теорема 2 (около кръга, описан близо до триъгълника)

Теорема 2.

Близо до всеки триъгълник можете да опишете кръга и освен това само един.

Доказателства.

Помислете за триъгълник $ abc $. Ще проведем средно перпендикулярно в нея, пресичайки се при $ o $ точка и го свържете с върховете на триъгълника (фиг. 4)

Фигура 4. Илюстрация на теорема 2

Съществуване: изграждане на кръг с център на $ o $ точка и $ oc $ радиус. $ O $ point е равен на върховете на триъгълника, т.е. $ OA \u003d OB \u003d OC $. Следователно, построеният кръг преминава през всички върхове този триъгълникТова означава, че е описано близо до този триъгълник.

Уникалност: Да предположим, че в близост до $ abc $ триъгълник може да бъде описан друга обиколка с центъра на $ O "$. Центърът му е равносилен на върховете на триъгълника и следователно съвпада с точката $ o $ и има радиус и има радиус равен на дължината на $ OC. $, но след това този кръг съвпада с първия.

Теорема се доказва.

Следствие 1: Центърът на обиколката, описан близо до триъгълника, съвпада с точката на пресичане на средната си перпендикулярна.

Ние даваме още няколко факти, свързани с описаната концепция за обиколката:

Близо до четириъгълника не винаги описват кръга.

Във всеки е вписан четириъгълник, сумата от противоположните ъгли е $ (180) ^ 0 $.

Ако сумата от противоположните ъгли на четириъгълника е $ (180) ^ 0 $, тогава кръгът може да бъде описан близо до него.

Пример за задача за вписаните и описани кръга

Пример 1.

В еднакво търгуван триъгълник Базата е 8 см, страничната страна е 5 см. Намерете радиуса на вписания кръг.

Решение.

Помислете за триъгълник $ abc $. По отношение на разследването, ние знаем, че центърът на вписания кръг се крие на пресечната точка на бисера. Ще извършим Bisector $ AK $ и $ BM $, който се пресича при $ o $. Ние ще извършим перпендикулярно $ OH от $ o $ point до $ bc $. Рисуване на картина:

Фигура 5.

Тъй като триъгълникът е предшестван, тогава $ bm $ и median и височина. Според Pythagora Theorem $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, BM \u003d SQRT ((BC) ^ 2- \\ t (4)) \u003d 2) (4)) \u003d sqrt (25-16) \u003d sqrt (9) \u003d $ 3. $ Om \u003d oh \u003d r $ е желаният радиус на вписания кръг. От $ mc $ и $ ch $ сегменти пресичащи допирателни, а след това от теорема на пресичащи се допирателни, имаме $ ch \u003d mc \u003d 4 cm $. Следователно, $ bh \u003d 5-4 \u003d 1 cm $. $ Bo \u003d 3-R $. От триъгълника $ $ $, според теоремата Pythagora, получаваме:

[((3-R)) ^ 2 \u003d R ^ 2 + 1 \\ t

Отговор: $ Frac (4) (3) $.

Определение 2.

Многоъгълникът, удовлетворяващ условие за дефиниция 1, се нарича описан близо до кръга.

Фигура 1. Изписан кръг

Теорема 1 (около кръга, вписан в триъгълника)

Теорема 1.

Във всеки триъгълник можете да влезете в кръга и освен това само един.

Доказателства.

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Теорема се доказва.

Следствие 1: Центърът, вписан в триъгълника на кръга, се намира в точката на пресичане на нейния бисектор.

Даваме още няколко факта, свързани с концепцията за вписана обиколка:

Не в четириъгълник може да влезе в кръга.

Във всеки описан четирилиландия сумата от противоположните страни е равна.

Определение 3.

Ако всички върхове на полигона лежат върху кръга, кръгът се нарича описан близо до полигона (фиг. 3).

Определение 4.

Полигон, който отговаря на условието за определяне 2 се нарича вписан в кръг.

Фигура 3. Описаният кръг

Теорема 2 (около кръга, описан близо до триъгълника)

Теорема 2.

Близо до всеки триъгълник можете да опишете кръга и освен това само един.

Доказателства.

Фигура 4. Илюстрация на теорема 2

Съществуване: изграждане на кръг с център на $ o $ точка и $ oc $ радиус. $ O $ point е равен на върховете на триъгълника, т.е. $ OA \u003d OB \u003d OC $. Следователно, конструираният кръг преминава през всички върхове на този триъгълник, това означава, че е описано близо до този триъгълник.

Теорема се доказва.

Ние даваме още няколко факти, свързани с описаната концепция за обиколката:

Близо до четириъгълника не винаги описват кръга.

Във всеки е вписан четириъгълник, сумата от противоположните ъгли е $ (180) ^ 0 $.

Пример за задача за вписаните и описани кръга

Пример 1.

В равновесен триъгълник основата е 8 cm, страничната страна е 5 cm. Намерете радиуса на вписания кръг.

Решение.

Фигура 5.

[((3-R)) ^ 2 \u003d R ^ 2 + 1 \\ t

Отговор: $ Frac (4) (3) $.

Помислете за кръг, вписан в триъгълник (фиг. 302). Спомнете си, че нейният център o се поставя на пресечната точка на бисекта на вътрешния ъгъл на триъгълника. Сегменти OA, OS, OS се свързва с върхове aBC триъгълник, прекъснете триъгълника за три триъгълника:

AY, VOS, SOA. Височината на всеки от тези триъгълници е равна на радиуса и следователно тяхната площ ще бъде изразена като

Площта на целия триъгълник S е равна на сумата от тези три области:

къде - полу-версията на триъгълника. Оттук

Радиусът на вписания кръг е равен на отношението на триъгълника в неговата половин версия.

За да получите формула за радиуса на описания триъгълник, доказваме следното изречение.

Теореми A: Във всеки триъгълник страната е равна на диаметъра на описания кръг, умножен по синуса на противоположния ъгъл.

Доказателства. Помислете за произволен триъгълник ABC и кръгът, описан около него, радиусът от който се обозначава с R (фиг. 303). Нека бъде остър ъгъл на триъгълника. Ще проведем RADII, операционната система на кръга и ще пропуснем от центъра си за перпендикулярно добре отстрани на слънчевия триъгълник. Обърнете внимание, че ъгълът на триъгълник се измерва половин дъга на слънцето, за който ъгълът на BOS е централен ъгъл. Оттук се вижда това. Ето защо, от правоъгълен триъгълник, откриваме сок или какво е необходимо да се докаже.

Ограничена фиг. 303 и разсъжденията се отнасят до случая остър кът триъгълник; Би било лесно доказателство и за случаи на директен и глупав ъгъл (читателят го прави самостоятелно), но можете да използвате синусовата теорема (218.3). Както трябва да е откъде

Синусовите теореми също се записват. видео

и сравнение с формата на запис (218.3) дава

Радиусът на описания кръг е равен на съотношението на работата на три страни на триъгълника към нейната счетоводна област.

Задача. Намерете страните на равновесителния триъгълник, ако е вписан и описаните кръгове имат съответно радиуси

Решение. Ние пишем формули, които изразяват радиусите, вписани и описани триъгълни кръгове:

За равновесен триъгълник със страничната и основата, площта се изразява по формулата

или, като показах част от различен множител, ще имаме

това води до квадратно уравнение относно

Има два решения:

Заместваме вместо изражението си към някое от уравненията за или r, ще намерим най-накрая два отговора на нашата задача:

Упражнения

1. Височината на правоъгълния триъгълник, извършен от върха на директния ъгъл, дефинира хипотенузата да се намери отношението на всеки от катеретите към хипотенузата.

2. База равен трапецописан близо до кръга е равен на a и b. Намерете радиуса на кръга.

3. Две кръгове се отнасят отвън. Техните общи допирателни са наклонени на линията на центровете под ъгъл от 30 °. Дължината на тангенциалната дължина между точките на досега е 108 cm. Намирането на радиусите на кръговете.

4. Trailless триъгълни картички са равни на a и b. Намерете триъгълник, страните на които са височината и медианата на този триъгълник, извършени от върха на директния ъгъл и сегментът на хипотенузата между точките на тяхното пресичане с хипотенуза.

5. Страните на триъгълника са равни на 13, 14, 15. Намерете проекцията на всеки от тях в две други.

6. Триъгълникът познава страна и височина, за да намери страните Б и стр.

7. Двете страни на триъгълника и медиана намират третата страна на триъгълника.

8. Две страни на триъгълника и ъгъла и между тях са дадени: Намерете радиочестотните и описани кръгове.

9. Известна страна на триъгълника A, B, p. Какви са сегментите, на които те са нарушени от контактните точки на вписания кръг със страните на триъгълника?

Определение 2.

Многоъгълникът, удовлетворяващ условие за дефиниция 1, се нарича описан близо до кръга.

Фигура 1. Изписан кръг

Теорема 1 (около кръга, вписан в триъгълника)

Теорема 1.

Във всеки триъгълник можете да влезете в кръга и освен това само един.

Доказателства.

Фигура 2. Илюстрация на теорема 1

Теорема се доказва.

Следствие 1: Центърът, вписан в триъгълника на кръга, се намира в точката на пресичане на нейния бисектор.

Даваме още няколко факта, свързани с концепцията за вписана обиколка:

Не в четириъгълник може да влезе в кръга.

Във всеки описан четирилиландия сумата от противоположните страни е равна.

Определение 3.

Ако всички върхове на полигона лежат върху кръга, кръгът се нарича описан близо до полигона (фиг. 3).

Определение 4.

Полигон, който отговаря на условието за определяне 2 се нарича вписан в кръг.

Фигура 3. Описаният кръг

Теорема 2 (около кръга, описан близо до триъгълника)

Теорема 2.

Близо до всеки триъгълник можете да опишете кръга и освен това само един.

Доказателства.

Фигура 4. Илюстрация на теорема 2

Теорема се доказва.

Ние даваме още няколко факти, свързани с описаната концепция за обиколката:

Близо до четириъгълника не винаги описват кръга.

Във всеки е вписан четириъгълник, сумата от противоположните ъгли е $ (180) ^ 0 $.

Пример за задача за вписаните и описани кръга

Пример 1.

В равновесен триъгълник основата е 8 cm, страничната страна е 5 cm. Намерете радиуса на вписания кръг.

Решение.

Фигура 5.

[((3-R)) ^ 2 \u003d R ^ 2 + 1 \\ t

Отговор: $ Frac (4) (3) $.

Вписан триъгълник - Триъгълник, всички върхове, които лежат в кръга. След това обиколката се нарича триъгълник, описан около триъгълника.
Очевидно е, че разстоянието от центъра на описания кръг към всеки от върховете на триъгълника е еднакво равно на радиуса на този кръг.
Около всеки триъгълник можете да опишете кръга и само един.

Кръг изписан В триъгълник, ако се отнася до всичките му страни. Тогава самата триъгълник ще бъде описано Около кръга. Разстоянието от центъра на вписания кръг към всяка страна на триъгълника е равно на радиуса на този кръг.
Във всеки триъгълник можете да влезете в кръг и само един.

Опитайте се да опишете кръга около триъгълника и inter. Кръг в триъгълник.
Какво мислите, че центърът на вписания кръг е точката на пресичане на триъгълника bisectris, а центърът на описания кръг е точката на пресичане на средната перпендикулярна на нейните партии?

В задачи EGGE. Най-често се срещат вписани и описани правилно триъгълници.

Има и други задачи. За да ги разрешите, ще ви трябва още две формули на триъгълника, както и синусов теорема.

■ площ триъгълник Равен на половината от работата на периметъра си върху радиуса на вписания кръг.

S \u003d p r,
където p \u003d ( a + B + C) - половин мярка,
R е радиусът на кръга, вписан в триъгълника.

Има друга формула, използвана главно в целите на частта с:

Където a, B, C - Страните на триъгълника, R са радиусът на описания кръг.

За всеки триъгълник е правилен синусов теорема:

1. радиусът на кръга, вписан в равновесие право триъгълник, равен на 2. Намерете хипотея с този триъгълник. В отговор, посочете.

Триъгълникът е правоъгълен и аносортиран. Така че неговите катетри са едни и същи. Нека всяка ролка е равна но. Тогава хипотенузата е равна но .
Ние пиша площта на триъгълника на ABC по два начина:

Приравнявате тези изрази, ние го получаваме. Тъй като ние го получаваме. Тогава.
В отговор, запишете.

2. ABC глупавият триъгълник AB страна е равен на радиуса на обиколката, описана близо до нея. Намерете ъгъла на C. Отговорете в градуси.

На теоремата на синусите,

Получаваме този грях c \u003d. Ъгъл С - глупав. Това означава, че е равно на 150 °.

Отговор: 150.

3. Страничните страни на уравнения триъгълник са равни на 40, базата е 48. Намерете радиуса на описания кръг на този триъгълник.

Ъглите на триъгълника не са дадени. Е, ще изразим своята област по две по различни начини.

S \u003d ah, където h е височината на триъгълника. Лесно е да се намери - в края на краищата, надморската височина е и медиана, т.е. разделя страната на AB на половина. От теоремата Pythagore откриваме h \u003d 32. След това R \u003d 25.

EGE-проучване » Методически материали »Геометрия: От надраскване до С4» е вписан и описан четириъгълник