1. tund

Kolmnurga mediaanlased. Ristumiskoht on mediaan.

Mediaan Kolmnurga nimetatakse segmenti, mis ühendab kolmnurga tipu keskmist vastaskast küljest.

Tõendid:

Ristumiskohas keskmise kolmnurk on raskusaste keskus selle kolmnurga.

Ülesanne 1.Kolmnurga mediaani ristumiskoht on selle tipud vahemaad võrdsed 4, 6 ja 8. Leidke keskmise kolmnurga pikkus.

Otsus.Oletame, et kolmnurga ABC am, Be ja CD - Mediaans, K - punkt nende ristmik, KC \u003d 4, KA \u003d 6 ja SQ \u003d 8.

https://pandia.ru/text/78/182/Ilages/image004_34.gif "laius \u003d" laius \u003d "76" kõrgus \u003d "50"\u003e, see tähendab, et segmendis on 2 osa ja üks osa, siis kõik mediaan Olen kolmest võrdsed osad ja https://pandia.ru/text/78/182/images/image006_24.gif "laius \u003d" 104 "kõrgus \u003d" 41 "\u003e.

Sarnaselt

,

Vastus: 6, 9 ja 12

Ülesanne 2.AM-i mediaanid ja ABC Triangle SK on vastastikku risti ja võrdsed, vastavalt 6 ja 9. Arvutage osapoolte pikkused AB ja Sun.

https://pandia.ru/text/78/182/Ilages/image010_15.gif "laius \u003d" 104 "kõrgus \u003d" 41 "\u003e

nii ja

, .

enamgi veel

, .

Arvuta Pythagore teoreem pikkus segmentide AK ja CM, me saame

Nüüd arvutame AV-i ja Sun'i külgede pikkused:

AV \u003d 2AK \u003d 10, päike \u003d 2 cm \u003d.

Vastus: 10;.

Testi enesekontrolli jaoks.

1. Mediaan kolmnurk jagab pooleks (valige üks vastuseid)

1) kolmnurga nurk

2) kolmnurga pool

3) kolmnurga kaks külge

2. Mis on kolmnurga mediaani ristmiku suhtumise punkt jagab iga kolmnurga mediaani (valige vastuste jaoks õiged valikud).


1) 2: 1 loendamine kolmnurga alusest

2) 1: 2 loendamine kolmnurga ülaosast

3) 2: 1 loendamine kolmnurga ülaosast

4) 1: 2 Loendamine kolmnurga alusest

5) kaheks võrdseks osaks

3. Kui ABC kolmnurk läbi mediaan Am ja R - ristmikut kolmnurga mediaan, milline osa mediaanist on segment AP? (Valige üks vastusvõimalustest)

4. Kolmnurga ABC läbi mediaan AM ja P - ristmikut kolmnurga mediaan. Milline osa mediaanist on pm segment? (Valige üks vastusvõimalustest)

5. Kolmnurga ABC läbi mediaan AM ja P - ristmikut kolmnurga mediaan. Milline osa AR-i segmendist muudab selle pm segmendiks? (Valige üks vastusvõimalustest)

Vaadake õigeid vastuseid.

Self-lahenduste ülesanded.

1. Kolmnurga mediaani ristumiskoht on selle tipud vahemaad 6 cm, 8 cm ja 12 cm. Leidke kolmnurga mediaani pikkus.

Vaadake lahendust.

2. Mediaanid VM ja SK kolmnurk ABS on vastastikku risti ja võrdsed, vastavalt 15 ja 36. Leia pikkused AV ja AS.

Vaadake lahendust.

3. Kolmnurga mediaanlased on võrdsed 6, 9 ja 12. Millisel kaugusel tipud on kolmnurga mediaani ristmiku punkt?

Vaadake lahendust.

4. Kolmnurga mediaanlased on võrdsed 9, 12 ja 18. Leia kaugused kolmnurga kõrvalekalded raskuskeskuseni see kolmnurk.

Vaadake lahendust.

5. Kolmnurga raskuskese on oma parteide keskel vahemaad. Võrdsed 5, 6 ja 7. Leia selle kolmnurga mediaanlased.

Vaadake lahendust.

6. Kolmeksanurga mediaani ristumiskoht eemaldatakse selle külgede keskel kaugustel, mis on võrdsed 2, 3 ja 4. Millistel kaugustel tipust kolmnurga on see punkt?

Vaadake lahendust.

Gomelian teadus- ja praktiline konverents Koolilapsed matemaatika, selle rakenduste ja infotehnoloogiad "Otsing"

Abstraktne teemal:

"Triangle Mediaans"

Õpilased:

9 "Riigi klass

haridus asutused

"Gomelskaya Urban

Multidistsiplinaarne gümnaasium nr 14 "

Morozova Elizabeth

Khodosovskaya Alyes.

Teadusnõunik

Matemaatiline õpetaja kõrgem kategooria

SAFONOVA ALLA VIKTOROVNA

Gomeli 2009.


Sissejuhatus

1. Kolmnurga mediaanlased ja nende omadused

2. Saksa matemaatika Avamine Labitsa

3. Kasutamine mediaan matemaatiline statistika

4. Tetrahedra mediaanlased

5. Kuus tõendit teoreemi mediaanlaste kohta

Järeldus

Kasutatud allikate ja kirjandus

taotlus


Sissejuhatus

Geomeetria algab kolmnurga. Kahe aastatuhande jaoks on kolmnurk juba geomeetria sümbol, kuid see ei ole sümbol. Triangle - geomeetria aatom.

Kolmnurk on ammendamatu - selle uued omadused avavad pidevalt. Et kõik tuntud omadused, see on vajalik, et maht võrreldes mahuga mahuga Suur entsüklopeedia. Me tahame rääkida kolmnurga mediaanist ja selle omadustest ning mediaani kasutamisest.

Esiteks me mäletame, et kolmnurga keskmine keskmine segment, mis ühendab kolmnurga tippude tippude keskmist vastasküljel. Mediaanlastel on palju omadusi. Aga me vaatame ühte vara ja 6 erinevat tõendit. Kolm mediaani lõikuvad ühes punktis, mida nimetatakse tsentroidiks (kesklinnas) ja jagatakse 2: 1 suhtes.

Seal on mediaanlased mitte ainult kolmnurga, vaid ka tetrapeedra. Segment, mis ühendab tetraeedri tippu tsentroidiga (vahemikus ristumiskoha mediaan) vastupidise nägu nimetatakse mediaan tetrahedron. Me kaalume ka mediaani tetraeedri vara.

Mediaani kasutatakse matemaatilise statistika. Näiteks, et leida teatud arvu numbrite keskmine väärtus.


1. Kolmnurga mediaanlased ja nende omadused

Nagu on teada, nimetatakse kolmnurga mediaanid segmendid, mis ühendavad selle tippu vastaspoolte keskelt. Kõik kolm mediaani lõikuvad ühes punktis ja jagavad seda 1: 2.

Ristumiskohas keskmine keskmine on kolmnurga raskuskese. Kui sa riputate pappi kolmnurga oma mediaani ristumiskohas, on see tasakaalus olekus

See on uudishimulik, et seal on kuus kolmnurka, mille jaoks mis tahes kolmnurk on selle mediaanide poolt purunenud, on sama ala.

Kolmnurga mediaanlased oma osapoolte kaudu väljendatakse sellist:

, , .

Kui kaks mediaani on risti, siis osapoolte ruutude summa, millele nad välja jäetakse, 5 korda rohkem kui kolmanda osapoole väljak.

Me ehitame kolmnurga, mille pooled on võrdsed selle kolmnurga mediaanidega, siis konstrueeritud kolmnurga mediaanlased on võrdsed algse kolmnurga 3/4 külgedega.

Seda kolmnurga nimetatakse kõigepealt, kolmnurk oma mediaanist - teiseks, teise kolmandiku mediaanist kolmnurk, siis kolmnurgad paaritu numbritega (1,3, 5, 7, ...) on sarnased omavaheliste ja kolmnurkade seas Isegi numbritega (2, 4, 6, 8, ...) on sarnased ka üksteisega sarnased.

Kõigi kolmnurga mediaani pikkuse ruutude summa võrdub selle külgede pikkuse ruutude summadega.


2. Saksa matemaatika Avamine Labitsa

Kuulsad saksa matemaatik Labnitz Avastati imeline fakt: summa ruutude vahemaa suvalisest punktist tasapinna tippude tipusse kolmnurga selles lennukis on võrdne summa ruutude summa ruutude kauguse ristumiskohas oma tipud, volditud kolmekordse ruudu kauguse kauguse kauguse ristumiskohad mediaani valitud punkti.

Sellest tuleneb sellest, et lennukile punkt, mille puhul selle kolmnurga tippude ruudude summa on minimaalne, on selle kolmnurga mediaani ristmiku punkt.

Samal ajal on kolmnurga tippude miinimumsumma (ja mitte nende ruudud) punktile, kust kolmnurga mõlemal küljel on nähtav 120 ° nurga all, kui ükski kolmnurga nurk ei ole rohkem kui 120 ° (punktitalu) ja tipu igava nurga all, kui see on suurem kui 120 °.

Teoreem Leibnitsa ja eelmise heakskiidu on lihtne leida kaugus d.kirjeldatud ringi keskele mediaani ristmikust. Tõepoolest, see vahemaa Leibness'i teoreemil on võrdne ühe kolmandiku juureväljakuga, vahe kauguse summa vahemaa ruutude summa vahel kirjeldatud ringi keskpunktist kolmnurga tippude ja summa vahel

Ruutude ruudud vahemaade vahemaade vahemaade mediaan tippude kolmnurga. Me saame selle

.

Punkt M.keskmise kolmnurga AVS-i ristmik on kolmnurga ainus punkt, mille jaoks vektorite summa MaMB. ja MS. võrdne nulliga. Punkti koordinaadid M.(Survarraliste telgede suhtes) on võrdsed kolmnurga tippude keskmise aritmeetilise koordinaatidega. Nendest väidetest saate tõestada mediaanide teoreemi.

3. Taotlus mediaan matemaatilise statistika

Mediaanlased ei ole mitte ainult geomeetrias, vaid ka matemaatilises statistikas. Olge vajalik teatud arvu numbrite keskmise väärtuse leidmiseks

, , ..., ja lk.Loomulikult saate keskmise jaoks aritmeetilise keskmise vastu võtta

Kuid mõnikord on ebamugav. Oletame, et peate määrama Moskva teise klassi keskmise kasvu. Inspireerige juhuslikult 100 koolilapsi ja kirjutage nende kasvu. Kui üks nali poisid ütleb, et selle kasv on võrdne kilomeetri võrra, on liiga suur keskmine aritmeetiline salvestatud numbrite keskmine. Palju parem kui keskmise mediaannumbrid

, ..., ja lk.

Oletame, et numbrid on paaritu summa ja panna need mitte-vähendamata järjekorras. Keskmise koha numbri nimetatakse mediaaniks. Näiteks keskmine hulk numbreid 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 on 2 (ja aritmeetiline keskmine on palju suurem - see on võrdne 6-ga).

4. Tetrahedra mediaanlased

Tuleb välja, et saate rääkida mediaanlastest mitte ainult kolmnurga, vaid ka tetrapedra jaoks. Segment ühendav tipatrooni tippu tsentroidiga (ristumiskoht mediaan) vastupidine nägu nimetatakse mediaantetrahedra. Nagu kolmnurga mediaanlased, lõikuvad tetrapedra mediaanid ühel hetkel, massi keskele või tetraeedri tsentroidi keskele, kuid suhtumine, millesse need on jagatud selles punktis, teiste - 3: 1, loendades tippudest. Sama punkt asub kõigil segmentidel, mis ühendavad tetraeedri keskpaika, tema bimedia ja jagavad need pooleks. Seda saab tõendada näiteks mehaanilistest kaalutlustest, paigutades igasse masside tetraeedri nelja tippu.

5. Kuus tõendit teoreemi mediaanlaste kohta

On juba ammu märganud, et see on kasulikum tutvuda erinevate lahendustega kui sama tüüpi lahenduste erinevate ülesannete. Üks teoreemidest, mis võimaldavad elementaarse geomeetria klassikalisi teoreeme, mitmed õpetlikud tõendid, on

Teoreem kolmnurga mediaanlaste kohta. Mediaanlased, kolmnurga ja sealtAv lõikuvad mingil hetkel m ja igaüks neist jagatakse selle punktiga seoses2:1, loendamine ülemisest osast:OLEN.: M.= Bm.: M.= Cm.: M.=2. (1)

Kõikides tõendites esitatud tõendid, välja arvatud kuuendaks, paigaldame selle ainult selle mediana pass läbi punkti M, mis jagab mediaan a seoses2: 1. Kui asjakohastes põhjendustes asendage segment Sisselõigatud Alatessiis me saame selle ja Alatesläheb läbi M.See tõestatakse, et kõik kolm mediaani lõikuvad mingil hetkel M,enamgi veel AM: m - 2.Kuna kõik mediaanlased on võrdsed, saate asendada AGAkohta Sissevõi SS 1. Siit sellest järeldub (1).

Mediana on kolmnurga üks peamisi jooni. See segment ja otsene, millele see asub, ühendab kolmnurga nurga all olevat punkti sama näitaja vastaskülje keskelt. Mediaani võrdlas kolmnurgas on ka bisektor ja kõrgus.

Keskmine vara, mis suurendab oluliselt paljude ülesannete lahendamist, on järgmine: kui teil on kolmnurga nurga all mediaanlased, jagatakse kõik need, mis ületavad ühe punkti, jagatakse 2: 1 suhe. Suhe tuleks lugeda nurgamisest ülaosast.

Mediaanil on vara, et jagada kõik võrdselt. Näiteks jagab iga mediaan kolmnurga kaheks teiseks võrdseks oma piirkonnas. Ja kui sa kulutad kõik kolm mediaani, siis suures kolmnurgas toob välja 6 väikest, samuti piirkonnas võrdne. Selliseid jooniseid (sama piirkonnaga) nimetatakse isomeetriliseks.

Bisektor

Bisectrix on tala, mis algab nurga ülaosas ja jagab sama nurga poole poole. Punktid, mis asuvad selle tala vastu, on nurga poole võrdsed. Bisektori omadused on hästi aidanud kolmnurkade ülesannete lahendamisel.

Kolmnurgas nimetatakse bisektoriks segmenti, mis asub nurga tala bisektoris ja ühendab tipu vastasküljega. Lähiüksuse ristmäär jagab selle segmentideks, mille suhtumine on võrdne nende kõrval asuva osapoolte suhtumisega.

Kui kolmnurgas siseneda ringi, siis selle keskus langeb kokku selle kolmnurga kõigi bisectri ristumiskohaga. See vara peegeldub stereomeetria - seal rolli kolmnurga mängib püramiidi ja ringi on pall.

Kõrgus

Ka mediaan ja bisektor, kolmnurga kõrgus siduda peamiselt nurga ja vastupidise külje peal. See ühendus varred tuleneb järgmistes küsimustes: kõrgus on tipult läbi viidud risti sirgjoonele, mis sisaldab vastasküljel.

Kui kõrgus viiakse läbi ristkülikukujulise kolmnurga, siis jagab vastaspoolset külge, see jagab kogu kolmnurga kaheks teiseks, mis omakorda on sarnane esimesena.

Sageli kasutatakse risti mõistet stereomeetrias, et määrata otseste erinevate lennukite ja nende vahemaad. Sellisel juhul peab risti funktsioonide funktsioonide segment olema mõlema sirge nurk. Seejärel näitab selle segmendi numbriline väärtus kahe numbri vahele.

Õppetund 3.

Mediaan jagab kolmnurga ala poole

Kutsutakse kaks kolmnurka isomeetriline. Kui neil on sama ala.

Teoreem 1. Mediaan jagab kolmnurga kaheks isomeetriliseks kolmnurgaks.

Tõendid:

Olgu VM - keskmise kolmnurk ABC. Me tõestame seda

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image002_97.jpg "laius \u003d" 289 "kõrgus \u003d" 227 "\u003e

Me kulutame BH kolmnurga ABC kõrguse. Siis

,

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image005_99.gif "laius \u003d" 136 "kõrgus \u003d" 34 SRC \u003d "\u003e.

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image007_80.gif "laius \u003d" 217 "kõrgus \u003d" 55 SRC \u003d "\u003e.

Q.E.D.

Teoreem 2.. Kolmnurga mediaanlased murdsid selle kuue isomeetrilise kolmnurga.

Teoreemilt, eelkõige järeldub, et kui mediaani ristmik on kolmnurk, mis ühendab kõik selle tipud, siis kolmnurk katkeb kolm Isomeetrilised osad.

Ülesanne 1. Kaks kolmnurga mediaani on vastastikku risti ja võrdsed, vastavalt 3 ja 4. Leidke kolmnurga ala.

Otsus.

Oletame kolmnurga ABC mediaan AM ja V võrra vastavalt 3 ja 4 võrra ,, kuni - mediaani ristumiskohas.

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image013_46.gif "laius \u003d" 120 "kõrgus \u003d" 47 SRC \u003d "\u003e.

Kuna kolmnurk AVK on ristkülikukujuline koos otsese nurgaga, siis .

Kuna mediaan on jagatud kolme isomeetrilise osa kolmnurgaga.

Vastus: 8

Ülesanne 2. Kolmnurga mediaanlased on 6, 8 ja 10, leidke kolmnurga ala.

Otsus.

Laske mediaanlastel AGAM., Olgu olema. ja Cd See kolmnurk on vastavalt 6, 8 ja 10, k - nende ristmiku punkt. Ma edasi lükata jätkumise tala eespool punktis segmendi EF.= Ke.. Ühendage punktid C, F ja A.

Mõtle kolmnurga Kaf..


https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image018_31.gif "laius \u003d" 152 "kõrgus \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image020_25.gif "laius \u003d" 67 "kõrgus \u003d" 19 SRC \u003d "\u003e, kuna Ckae on paralleelogramm (paralleelogrammi põhjal: sõid diagonaali QuadRangle on jagatud ristmikupunkti poole poole, selle nelinurkse paralleelse), me saame .

Kuna https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image023_26.gif "laius \u003d" 125 "kõrgus \u003d" 20 SRC \u003d "\u003e vastupidine teoreem. Pythagora (kui kolmnurga ühe külje ruut võrdne summaga Teiste kahe külje ruudud, siis kolmnurk on ristkülikukujuline) Kolmnurk Kaf on ristkülikukujuline ja.

Arvutage kolmnurga AKF ala:

https://pandia.ru/text/78/448/vages/image026_24.gif "laius \u003d" 104 "kõrgus \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e. GIF" laius \u003d "104" kõrgus \u003d "41 SRC \u003d"\u003e.

https://pandia.ru/text/78/448/Ilages/image030_18.gif "laius \u003d" 16 kõrgus \u003d 41 "kõrgus \u003d" 41 "\u003e piirkonnast kolmnurga ise.

Tõendisse saab vaadata näiteks metoodiline käsiraamat "Toetada ülesandeid planeetriasse."

Küsimused enesetesti jaoks:

1. Millised kolmnurgad on isomeetrilised?

2. Kolmnurga ala on S. Mis on iga kolmnurga ala, kuhu mediaan kannab selle kolmnurga purunemise mõnele küljele?

3. Kuidas veetis kolmnurk kolm mediaani?

4. Kolmnurga ala on S. Selle kolmnurga tõsidus on ühendatud selle tippudega. Mis on iga saadud kolmnurga pindala?

5. Kolmnurga ala on 48, mis on võrdne selle kolmnurga mediaanist koosseisus oleva kolmnurga piirkonnaga?

6. Triangnurga ala, mis koosneb mõnede kolmnurga mediaanist, on võrdne 24-ga, mis on kolmnurga ala võrdne?

Vaata vastuseid.

Self lahenduste ülesanded:

1. Kaks kolmnurga mediaani on vastastikku risti ja vastavalt 6 ja 8 võrra. Leia kolmnurga ala.

Vaadake lahendust.

2. Kolmnurga mediaanlased on 3, 4 ja 5 leida kolmnurga ala.

Vaadake lahendust.

3. ABC kolmnurk, mille osapooled 13 cm, 14 cm ja 15 cm, purustatud kolme kolmnurga sektsioonidega, mis ühendasid punkti M. Kolmenurga mediaani ületamine kolmnurga tippudega. Leia kolmnurga ala Merevägi.

Vaadake lahendust.

4. Kaks külge kolmnurga on võrdsed 10 ja 12 ja keskmine kulutatud kolmas on võrdne 5. Leia kolmnurk ala.

Vaadake lahendust.

Geomeetriliste ülesannete lahendamisel on kasulik järgida algoritmi. Vajalike ülesannete tingimuste lugemisel

  • Tehke joonistus. Joonis peab maksimeerima ülesande seisundit, nii et selle peamine ülesanne on aidata leida otsust
  • Rakendage kõik andmed joonise ülesande tingimustest
  • Kirjutage kõik ülesandel leitud geomeetrilised mõisted
  • Meenuta kõik teoreemid, mis kuuluvad sellesse kontseptsiooni
  • Rakendage kõiki suhteid nende teoreemide geomeetriliste kujundite elementide vahel

Näiteks kui probleemi tekitava kolmnurga nurga bisektori probleem, on vaja meeles pidada bisektori määratlust ja omadusi ning määrata võrdsete või proportsionaalsete segmentide ja jooniste tähistamiseks.

Käesolevas artiklis leiate kolmnurga põhilised omadused, mida peate probleemide edukaks lahendamiseks teadma.

Kolmnurk.

Kolmnurga ala.

1. ,

siin on kolmnurga suvaline pool, kõrgus, mis langes sellel poolel.


2. ,

siin mõlemad - kolmnurga suvalised küljed on nende külgede nurk:

3. Gerona valem:

Siin - kolmnurga külje pikkus, - kolmnurga poolperiood,

4. ,

siin - kolmnurga poolversioon, kirjutatud ringi raadius.


Laske puutujate segmentide pikkus.


Seejärel saab geronivala valemit selles vormis registreerida:

5.

6. ,

siin - kolmnurga poole pikkus, kirjeldatud ümbermõõdu raadius.

Kui punkt võetakse kolmnurga poolel, mis jagab selle poole seoses m: N, siis segment ühendab selle punkti ülemise vastupidine nurk jagab kolmnurk kaheks kolmnurkne, mille piirkondades töödeldakse M: N:


Selliste kolmnurkade piirkondade suhe on võrdne sarnasuse koefitsiendi ruuduga.

Mediaan kolmnurk

See on segment, mis ühendab kolmnurga tipu keskpaigastikku.

Kolmnurga mediaanlased Ristige ühel hetkel ja jagada ristmiku punkt seoses 2: 1, loendades ülevalt.


Õige kolmnurga mediaani ristumiskoht jagab mediaani kaheks segmendiks, millest vähem on võrdne kirjutatud ringi raadiusega ja suurem on kirjeldatud ringi raadius.

Kirjeldatud ringi raadius on kahekordse kirjutatud ringi raadiusena: R \u003d 2R

Mediaanpikkus suvaline kolmnurk

,

siin - küljel kulutatud mediaan on kolmnurga poole pikkus.

Bisector kolmnurk

See on iga kolmnurga nurga bisektori segment, mis ühendab selle nurga tippu vastupidise küljega.

Bisector kolmnurk Jagab külgnevate osapooltega proportsionaalse segmentide poole:

Triangle Bisector Ületab ühel hetkel, mis on kirjutatud ringi keskpunkt.

Kõik nurga bisektori punktid on võrdsed nurga küljega.

Kolmnurga kõrgus

See on risti segment, mis langes kolmnurga ülemisest osast vastaspoolvõi selle jätkamine. Solp-kolmnurgas, kõrgus, mis toimub terava nurga ülaosast väljaspool kolmnurka.


Kolmenurga kõrgused lõikuvad ühel hetkel, mida nimetatakse orto kolmnurk.

Et leida kolmnurga kõrgusLäbi küljele, peate leidma oma ala igal kättesaadaval viisil ja kasutage seejärel valemit:

Triangle'i lähedal kirjeldatud ringi keskpunktLIES Triangle'i külgedel veedetud keskmise ristmiku ristmikul.

Kirjeldatud kolmnurga ümbermõõdu raadius võib leida sellistes valemites:

Siin - kolmnurga külje pikkus, - kolmnurga ala.

,

kus - kolmnurga külje pikkus on vastandlik nurk. (See valem tuleneb sinuse teoreemist).

Kolmnurga ebavõrdsus

Kolmnurga mõlemal küljel on teiste kahe vahel väiksem summa ja suurem erinevus.

Mis tahes kahe poole pikkuse summa on alati suurem kui kolmas pool:

Vastupidi, peamine külg on suurem nurk; Suurema nurga vastas on suurim pool:

Kui, siis vastupidine.

Sinus Theorem:

kolmnurga küljed on proportsionaalsed vastaskursuste sarnaste suhtes:


Kosiini teoreem:

kolmnurga ruudupoolne külg on võrdne kahe teise külje ruutude summaga ilma nende külgede kahekordse produktita nende nurga kosiinile:

Õige kolmnurk

- see on kolmnurk, mille üks nurgad on 90 °.

Summa Äge nurgad Ristkülikukujuline kolmnurk on 90 °.

Hüpotenuse on pool, kes asub 90 ° nurga all. Hüpotenuse on suurim külg.

Pythagorean Theorem:

hüpotenuse ruut on võrdne kateetide ruutude summaga:

Ristkülikukujulise kolmnurga kirjutatud ringi raadius on võrdne

,

siin on kirjutatud ringi raadius, - karteta, - hüpotenuse:


Ristkülikukujulise kolmnurga lähedal kirjeldatud ringi keskpunkt peitub hüpotenuse keskel:


Mediaan ristkülikukujuline kolmnurk, mis on läbi viidud hüpotenuse jaokson võrdne poole hüpotenusest.

Sinuse, kosiini, puutuja ja Catansen ristkülikukujulise kolmnurga määratlus Nägema

Elementide suhe ristkülikukujulises kolmnurgas:

Ristkülikukujulise kolmnurga kõrguse ruut, mis on läbi viidud otsese nurga tipult, on võrdne katettide prognooside prognoosiga hüpotenusele:

Kategooria ruut on võrdne hüpotenuse produktsiooniga hüpotenuse kategooria projektsioonil:


Söe võrdne poole hüpotenusest:

Isoscels kolmnurk.

Bisektor võrdse kolmnurgaAlusele läbi viidud on mediaan ja kõrgus.

Tasakaalutatud kolmnurgas on aluse nurgad võrdsed.

Nurgas ülaosas.

Ja - küljed,

Ja - nurgad baasil.

Kõrgus, bisektor ja mediaan.

Tähelepanu! Kõrgus, bisektor ja mediaan, mis kulutatakse küljele, ei lange kokku.

Õige kolmnurk

(või võrdkülgne kolmnurk ) Kas kolmnurk, kõik pooled ja nurgad, mis on üksteisega võrdsed.

Õige kolmnurga ruut võrdne

kus on kolmnurga külje pikkus.

Õige kolmnurga kirjutatud ringi keskpunktLangeb kokku ringi keskele, mida on kirjeldatud parempoolse kolmnurga lähedal ja asub mediaani ristumiskohas.

Ristumiskoht keskmise parem kolmnurk See jagab mediaani kaheks segmendiks, millest vähem on võrdne kirjutatud ringi raadiusega ja suurem on kirjeldatud ringi raadius.

Kui üks kõrgendatud kolmnurga nurkadest on 60 °, siis see kolmnurk on õige.

Kolmnurga keskjoone

See on segment, mis ühendab kahe külge keskel.

Joonis de on ABC kolmnurga keskjoon.

Kolmnurga keskjoon on paralleelne kolmanda poole ja on võrdne selle poolega: de || AC, AC \u003d 2DE

Väline kolmnurk

See on nurk, mis asub kolmnurga nurga all.

Kolmenurga väline nurk on võrdne kahe nurga summaga, mis ei ole sellega seotud.


Välise nurga trigonomeetrilised funktsioonid:

Kolmnurkade võrdsuse tunnused:

1 . Kui mõlemad küljed ja nende vahelised nurk on vastavalt üks kolmnurk, on võrdsed kahe külje ja teise kolmnurga nurgaga, siis on sellised kolmnurgad võrdsed.


2 . Kui külg ja kaks nurga all kõrvuti, üks kolmnurk, võrdub küljega ja kahe kolmnurga nurga all kõrval sellega, siis on sellised kolmnurgad võrdsed.


3 Kui ühe kolmnurga kolm külge võrdub vastavalt teise kolmnurga kolme külge, siis on sellised kolmnurgad võrdsed.


TÄHTIS: Kuna ristkülikukujulise kolmnurga kaks nurka on ilmselgelt võrdsed, siis kahe võrdõiguslikkus ristkülikukujulised kolmnurgad Võrdõiguslikkus nõuab ainult kahte elementi: kaks külge või külge ja äge nurk.

Kolmnurkade sarnasuse märgid:

1 . Kui ühe kolmnurga kaks külge on proportsionaalsed mõne teise kolmnurga poole ja nende külgede vahel sõlmitud nurgad on võrdsed, siis need kolmnurgad on sarnased.

2 . Kui ühe kolmnurga kolm külge on proportsionaalsed kolme teise kolmnurga poole, siis need kolmnurgad on sarnased.

3 . Kui ühe kolmnurga nurk on võrdne kahe teise kolmnurga nurgaga, on need kolmnurgad sarnased.

TÄHTIS: Sellistes kolmnurkades asuvad sarnased isikud võrdsete nurkade vastu.

Mellaya teoreem

Olgu otsese risti kolmnurga ja selle ristumiskoha poole selle küljega, selle ristmiinipunkti punktiga partei ja selle ristumiskoht osapoole jätkamisega. Siis