Kuidas leida kolmnurga perimeetrit? Seda küsimust küsiti igaüks, õppida koolis. Püüame meeles pidada kõike, mida me selle hämmastava näitaja kohta teame ning vastata küsimusele.

Vastus küsimusele, kuidas leida kolmnurga ümbermõõt on tavaliselt üsna lihtne - see on vajalik ainult selleks, et täita kõikide külgede pikkuse lisamise kord. Siiski on soovitud väärtuse mõned lihtsamad meetodid.

Nõuanne

Juhul, kui kolmnurgas sisalduv ringi raadius (R) ja selle pindala (d) on teada, siis vastake selle küsimusele, kuidas leida kolmnurga perimeetrit on üsna lihtne. Selleks peate kasutama tavalist valemit:

Kui kaks nurka on teada, laske, α ja β, mis on külgse külje kõrval ja külgmise pikkuse kõrval, võib perimeetrit leida, kasutades väga ja väga populaarset valemit, millel on vorm:

sinβ ∙ / (sin (180 ° - α)) + sinα ∙ / (pattu (180 ° - β-a) + a

Kui teate külgnevate külgede pikkust ja nurga β pikkust, mis on nende vahel, et leida perimeetri, on vaja kasutada valemiga arvutatud perimeetrit:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2 - 2 ∙ B ∙ ∙ cosp),

kus B2 ja A2 on külgnevate külgede ruudud. Eelmine väljend on kolmanda osapoole pikkus, mis on teadmata, väljendatuna kosiini teoreem.

Kui te ei tea, kuidas leida perimeetrit, siis siin, tegelikult ei ole midagi keerulist. Arvutage see valemiga:

kus b on kolmnurga alus ja selle küljed.

Õige kolmnurga perimeetri leidmiseks tuleks kõige lihtsama valemi abil kasutada:

kus A on poolte pikkus.

Kuidas leida kolmnurga perimeetrit, kui tuntakse ainult ringide tõusu, mida kirjeldatakse selle lähedal või kantakse sellesse? Kui kolmnurk on võrdkülgne, tuleb valemit rakendada:

P \u003d 3R√3 \u003d 6R√3,

kus R ja R on kirjeldatud ja kirjutatud ringi raadiused.

Kui kolmnurk on võrdselt chagrin, taotleb valemit selle eest:

P \u003d 2R (Sinβ + 2Sinα),

kui a on nurk, mis asub baasil ja β on aluse vastu suunatud nurk.

Sageli on matemaatiliste ülesannete lahendamiseks vajaliku sügavaima analüüsi ja konkreetse võime leida ja eemaldada vajalikud valemid ja see on mitu teada, üsna raske töö. Kuigi mõned ülesanded saab lahendada ainult ühe valemi abil.

Olgem kaaluda valemeid, mis on põhilised, et vastata selle küsimusele, kuidas leida kolmnurga perimeetrit, võrreldes kõige mitmekesisemate kolmnurkade liikide puhul.

Loomulikult on peamine reegel kolmnurga perimeetri leidmise reegel selle avalduse leidmiseks: kolmnurga perimeetri leidmiseks on vaja kõikide osapoolte pikkused vastavalt vastavale valemile:

kus B, A ja C on kolmnurga külje pikkus ja p on kolmnurga perimeetrit.

Selle valemiga on mitmeid erijuhtumeid. Oletame, et teie ülesanne on sõnastatud järgmiselt: "Kuidas leida perimeetrit ristkülikukujuline kolmnurk" Sel juhul peaksite ära kasutama järgmise valemi:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2)

Selles valemis B ja A on ristkülikukujulise kolmnurga kateetide otsesed pikkused. Seda on lihtne ära arvata, et C (hüpotenuuste) asemel (hüpoteenused), kasutati suure teadusliku antiikaja teoreemil saadud ekspressiooni - Pythagora.

Kui teil on vaja lahendada ülesanne, kus kolmnurgad on sarnased, oleks loogiline kasutada seda avaldust: perimeetri suhe vastab sarnasuse suhtele. Oletame, et teil on kaks sarnast kolmnurka - ΔABC ja AA1B1C1. Siis leida tõenäosus koefitsient, on vaja jagada perimeetri ΔABC per-perimeetri ΔA1B1C1.

Kokkuvõttes võib märkida, et kolmnurga perimeetrit võib leida mitmesuguste tehnikate abil sõltuvalt teie allikatest andmetest. On vaja lisada, et ristkülikukujuliste kolmnurkade jaoks on mõned erijuhtumid.

Esialgne teave

Piirdemõõt tahes lame geomeetriliste kujundite tasapinnal määratletud summa pikkuse pikkuse kõik küljed. Erand sellest ei ole kolmnurk. Kõigepealt anname osapooltelt sõltuvalt osapooltest kolmnurga mõistet, samuti kolmnurkade tüüpe.

Määratlus 1.

Kolmnurga nimetatakse geomeetriliseks kujuks, mis koosneb kolmest punktist, mis on ühendatud segmentide poolt (joonis 1).

Määratlus 2.

Määratluse 1 raames punkte nimetatakse kolmnurga tippudeks.

Määratlus 3.

Määratluse 1 raames segmente nimetatakse kolmnurga külgedeks.

Ilmselgelt on iga kolmnurk 3 tippu, samuti kolm külge.

Sõltuvalt poolte suhtumisest üksteisega jagunevad kolmnurgad mitmekülgseks, võrdseks ja võrdseks.

Määratlus 4.

Kolmnurga nimetatakse mitmekülgseks, kui ükski tema parteid ei võrdu teistega.

Määratlus 5.

Kolmnurga nimetatakse võrdselt, kui tema kaks osapoolt on üksteisega võrdsed, kuid ei ole võrdne kolmanda osapoolega.

Määratlus 6.

Kolmnurga nimetatakse võrdseks, kui kõik tema parteid on üksteisega võrdsed.

Kõik sellised kolmnurgad näed joonisel 2.

Kuidas leida mitmekülgse kolmnurga perimeetrit?

Anna meile mitmekülgse kolmnurga, kus osapoolte pikkused on võrdsed $ α $, $ β $ ja $ γ $.

Väljund:Mitmekülgse kolmnurga perimeetri leidmiseks on vaja kõik oma külgede pikkused kokku panna.

Näide 1.

Leia mitmekülgse kolmnurga perimeetri on võrdne $ 34 $ cm, $ 12 $ cm ja $ 11 $ cm.

$ P \u003d 34 + 12 + 11 \u003d 57 $ cm

Vastus: $ 57 $ cm.

Näide 2.

Leia perimeeter ristkülikukujulise kolmnurga, kelle kateetid on võrdsed $ 6 $ ja $ 8 $ cm.

Me leiame kõigepealt selle kolmnurga hüpotenuuste pikkuse Pythagorean Teoremile. Tähistage seda läbi $ α $, siis

$ α \u003d $ 10 vastavalt mitmekülgse kolmnurga perimeetri reeglile, saame

$ P \u003d 10 + 8 + 6 \u003d 24 $ cm

Vastus: $ 24 $ cm.

Kuidas leida tasakaalustatud kolmnurga perimeetrit?

Andke meile anda võrdne kolmnurk, kus külgede külje pikkus on $ α $ ja baaspikkus on $ β $.

Kindla geomeetrilise kuju perimeetri määramiseks saame selle

$ P \u003d α + α + β \u003d 2α + β $

Väljund:Leia perimeetri võrdse kolmnurga Tema külgede pikkuse pikkus on vaja kahekordne pikkuse pikkus selle aluse pikkus.

Näide 3.

Leidke tasakaalustatud kolmnurga perimeetrit, kui selle külgmised küljed on võrdsed $ 12 $ cm ja baas on 11 cm.

Ülaltoodud näite kohaselt näeme seda

$ P \u003d 2 CDOT 12 + 11 \u003d 35 $ cm

Vastus: $ 35 $ cm.

Näide 4.

Leia võrdselt ahelaga kolmnurga perimeetri, kui selle kõrgus, mis viiakse läbi baasil, võrdub $ 8 $ cm ja baas on $ 12 $ cm.

Kaaluge joonist probleemi tingimuse all:

Kuna kolmnurk on eelnenud, siis $ BD $ on ka mediaan, seega $ AD \u003d $ 6 cm

Vastavalt Pythagora Theoremile, alates $ ADB $ Triangle, leiame külje. Tähistage seda läbi $ α $, siis

Vastavalt reeglite arvutamise perimeetri tasakaalustatud kolmnurk, me saame

$ P \u003d 2 CDOT 10 + 12 \u003d 32 $ cm

Vastus: $ 32 cm cm cm

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga perimeetrit?

Anna meile võrdkülgse kolmnurga, kus iga osa pikkus on $ α $.

Kindla geomeetrilise kuju perimeetri määramiseks saame selle

$ P \u003d α + α + α \u003d 3α $

Väljund: Osapoolse kolmnurga perimeetri leidmiseks korrutatakse kolmnurga külje külg $ 3 $ võrra.

Näide 5.

Leia võrdkülgse kolmnurga perimeeter, kui selle kõrval on 12 $ CM $.

Ülaltoodud näite kohaselt näeme seda

$ P \u003d 3 CDOT 12 \u003d 36 $ cm

Kuidas leida kolmnurga perimeetrit? Seda küsimust küsiti igaüks, õppida koolis. Püüame meeles pidada kõike, mida me selle hämmastava näitaja kohta teame ning vastata küsimusele.

Vastus küsimusele, kuidas leida kolmnurga ümbermõõt on tavaliselt üsna lihtne - see on vajalik ainult selleks, et täita kõikide külgede pikkuse lisamise kord. Siiski on soovitud väärtuse mõned lihtsamad meetodid.

Nõuanne

Juhul, kui kolmnurgas sisalduv ringi raadius (R) ja selle pindala (d) on teada, siis vastake selle küsimusele, kuidas leida kolmnurga perimeetrit on üsna lihtne. Selleks peate kasutama tavalist valemit:

Kui kaks nurka on teada, laske, α ja β, mis on külgse külje kõrval ja külgmise pikkuse kõrval, võib perimeetrit leida, kasutades väga ja väga populaarset valemit, millel on vorm:

sinβ ∙ / (sin (180 ° - α)) + sinα ∙ / (pattu (180 ° - β-a) + a

Kui teate külgnevate külgede pikkust ja nurga β pikkust, mis on nende vahel, siis selleks, et leida perimeetri, on vaja kasutada kosiini teoreemi. Perimeeter arvutatakse valemiga:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2 - 2 ∙ B ∙ ∙ cosp),

kus B2 ja A2 on külgnevate külgede ruudud. Eelmine väljend on kolmanda osapoole pikkus, mis on teadmata, väljendatuna kosiini teoreem.

Kui te ei tea, kuidas leida võrdse kolmnurga perimeetrit, siis siin ei ole midagi keerulist. Arvutage see valemiga:

kus b on kolmnurga alus ja selle küljed.

Õige kolmnurga perimeetri leidmiseks tuleks kõige lihtsama valemi abil kasutada:

kus A on poolte pikkus.

Kuidas leida kolmnurga perimeetrit, kui tuntakse ainult ringide tõusu, mida kirjeldatakse selle lähedal või kantakse sellesse? Kui kolmnurk on võrdkülgne, tuleb valemit rakendada:

P \u003d 3R√3 \u003d 6R√3,

kus R ja R on kirjeldatud ja kirjutatud ringi raadiused.

Kui kolmnurk on võrdselt chagrin, taotleb valemit selle eest:

P \u003d 2R (Sinβ + 2Sinα),

kui a on nurk, mis asub baasil ja β on aluse vastu suunatud nurk.

Sageli on matemaatiliste ülesannete lahendamiseks vajaliku sügavaima analüüsi ja konkreetse võime leida ja eemaldada vajalikud valemid ja see on mitu teada, üsna raske töö. Kuigi mõned ülesanded saab lahendada ainult ühe valemi abil.

Olgem kaaluda valemeid, mis on põhilised, et vastata selle küsimusele, kuidas leida kolmnurga perimeetrit, võrreldes kõige mitmekesisemate kolmnurkade liikide puhul.

Loomulikult on peamine reegel kolmnurga perimeetri leidmise reegel selle avalduse leidmiseks: kolmnurga perimeetri leidmiseks on vaja kõikide osapoolte pikkused vastavalt vastavale valemile:

kus B, A ja C on kolmnurga külje pikkus ja p on kolmnurga perimeetrit.

Selle valemiga on mitmeid erijuhtumeid. Oletame, et teie ülesanne on sõnastatud järgmiselt: "Kuidas leida ristkülikukujulise kolmnurga perimeetrit?" Sel juhul peaksite ära kasutama järgmise valemi:

P \u003d B + A + √ (B2 + A2)

Selles valemis B ja A on ristkülikukujulise kolmnurga kateetide otsesed pikkused. Seda on lihtne ära arvata, et C (hüpotenuuste) asemel (hüpoteenused), kasutati suure teadusliku antiikaja teoreemil saadud ekspressiooni - Pythagora.

Kui teil on vaja lahendada ülesanne, kus kolmnurgad on sarnased, oleks loogiline kasutada seda avaldust: perimeetri suhe vastab sarnasuse suhtele. Oletame, et teil on kaks sarnast kolmnurka - ΔABC ja AA1B1C1. Siis leida tõenäosus koefitsient, on vaja jagada perimeetri ΔABC per-perimeetri ΔA1B1C1.

Kokkuvõttes võib märkida, et kolmnurga perimeetrit võib leida mitmesuguste tehnikate abil sõltuvalt teie allikatest andmetest. On vaja lisada, et ristkülikukujuliste kolmnurkade jaoks on mõned erijuhtumid.

Sisu:

Perimeeter on kogupikkus kahemõõtmelise vormi piirid. Kui soovite leida kolmnurga perimeetri, siis peate kõik oma külgede pikkused korda kinnitama; Kui te ei tea vähemalt ühe kolmnurga poole pikkust, on vaja seda leida. See artikkel ütleb teile (a) Kuidas leida kolmnurga perimeetrit kolme tuntud osapoole jaoks; b) kuidas leida ristkülikukujulise kolmnurga perimeetrit, kui teadaolevad ainult kaks külge; c) Kuidas leida iga kolmnurga perimeetrit, kui nende vahel on kaks külge ja nurka (kosiini teoreemi abil).

Sammud

1 kolmest andmetest

  1. 1 Perimeetri leidmiseks kasutage valemit: P \u003d A + B + C, kus a, b, c - kolme külje pikkus, p on perimeetri.
  2. 2 Leia kõigi kolme külje pikkused. Meie näites: a \u003d 5, b \u003d 5, c \u003d 5.
    • See on võrdkülgne kolmnurk, kuna kõik kolm külge on sama pikk. Kuid ülaltoodud valem rakendatakse mistahes kolmnurgale.
  3. 3 Keerake perimeetri leidmiseks kõigi kolme külge pikkus. Meie näites: 5 + 5 + 5 \u003d 15, st p \u003d 15.
    • Teine näide: a \u003d 4, b \u003d 3, c \u003d 5. p \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
  4. 4 Vastuseks ärge unustage näidata mõõtühik. Meie näites mõõdetakse pooled sentimeetrites, nii et teie lõplik vastus peaks hõlmama ka sentimeetrit (või ülesande tingimustes märgitud meetmeühikuid).
    • Meie näites on mõlemal pool 5 cm, nii et lõplik vastus on: p \u003d 15 cm.

2 ristkülikukujulise kolmnurga andmetel

  1. 1 Pea meeles Pythagora teoreemi. See teoreem kirjeldab ristkülikukujulise kolmnurga külgede vahelisi suhteid ja on üks kuulsamaid ja kasutatud matemaatika teoreemide vahel. Teoreem väidab, et mis tahes ristkülikukujulises kolmnurga pooled on pooled seotud järgmise suhtega: A 2 + B2 \u003d C2, kus a, b - pähklid, C - hüpotenuse.
  2. 2 Joonistage kolmnurk ja määrake pooled a, b, c. Ristkülikukujulise kolmnurga pikim külg on hüpotenuse. See asub otsese nurga all. Tähistavad hüpotenuse kui "C". Kartets (pooled kõrval asuvad sirge nurgas) Märkige "A" ja "B".
  3. 3 Asendada tuntud külgede väärtused Pythagore'i teoreemil (A 2 + B2 \u003d C2). Kirjade asemel asenda ülesande tingimusele antud numbrid.
    • Näiteks a \u003d 3 ja b \u003d 4. asenda need väärtused pythagore'i teoreemil: 3 2 + 4 2 \u003d C2.
    • Teine näide: A \u003d 6 ja C \u003d 10. Seejärel: 6 2 + B 2 \u003d 10 2
  4. 4 Otsustage saadud võrrand, et leida tundmatu pool. Selleks võtke ruudukujuliste tuntud pikkused ruudukujulised pikkused (lihtsalt mitmekordistavad ennast iseendale). Kui otsite hüpotenuse, klappige kahe külje ruudud ja eemaldage saadud summast ruutjuur. Kui otsite Catat, maha ruudu kuulus kategooria Alates ruudu hüpotenuuse ja saadud privaatse eemaldamise ruutjuur.
    • Esimeses näites: 3 2 + 4 2 \u003d C2; 9 + 16 \u003d C2; 25 \u003d C2; √25 \u003d s. Seega, c \u003d 25.
    • Teises näites: 6 2 + B2 \u003d 10 2; 36 + B 2 \u003d 100. Ülekanne 36 võrrandi paremal küljel ja saada: B 2 \u003d 64; B \u003d √64. Seega b \u003d 8.
  5. 5
    • Meie esimeses näites: p \u003d 3 + 4 + 5 \u003d 12.
    • Meie teises näites: p \u003d 6 + 8 + 10 \u003d 24.

3 vastavalt kahele andmele ja nende vahelisele nurgale

  1. 1 Kolmenurga mistahes küljest võib leida kosiini teoreemil, kui teile antakse kaks külge ja nende vahelist nurka. Seda teoreemi rakendatakse mis tahes kolmnurkadele ja on väga kasulik valem. Kosiini teoreem: C2 \u003d 2 + B2 - 2abcoscos (C), kus a, b, c - kolmnurga külgedel, a, b, c - nurgad, vastased kolmnurga vastava külje vastased.
  2. 2 Joonista kolmnurk ja määrata pooled A, B, C; Märkige vastaste külgedele vastas nurgad a, b, c (st nurk, vastupidine külg "a", märkige "a" ja nii edasi).
    • Näiteks kolmnurga külge 10 ja 12 ja nende vaheline nurk 97 °, st, a \u003d 10, b \u003d 12, c \u003d 97 °.
  3. 3 Supply andmed teile valemis ja leida tundmatu pool "c". Kõigepealt astuge kuulsate külgede pikkuse väljakule ja klappige saadud väärtused. Seejärel leidke nurga C (kasutades kalkulaatorit või online kalkulaatorit). Korruta kuulsate külgede pikkus kosiini see nurk ja 2 (2BCOS (c)). Saadud väärtus arvatakse välja mõlema poole ruutude summast (A 2 + B 2) ja te saate C2. Selle suurusest eemaldage ruutjuur, et leida tundmatu poole "C" pikkus. Meie näites:
    • c2 \u003d 10 2 + 12 2 - 2 × 10 × 12 × cos (97)
    • c2 \u003d 100 + 144 - (240 × -0,12187)
    • c2 \u003d 244 - (-29,25)
    • c2 \u003d 244 + 29,25
    • c2 \u003d 273,25
    • c \u003d 16,53.
  4. 4 Keerake perimeetri leidmiseks kolme poole pikkus. Tuletame meelde, et perimeetri arvutatakse valemiga: P \u003d A + B + C.
    • Meie näites: p \u003d 10 + 12 + 16,53 \u003d 38,53.

Kolmnurk on üks põhilist geomeetrilised arvudesindab kolme otsese segmenti otseselt. See arv oli tuntud ka teadlastele. Iidne Egiptus, Vana-Kreeka ja Vana-Hiinamis tõi enamikku teadlaste, inseneride ja disainerite kasutatavate valemite ja mustritest.

Kolmnurga peamised komponendid on järgmised:

Salmid - segmentide ristumiskohad.

Pooled - otsese segmendid.

Nende põhjal komponentide osadPreseerib selliseid kontseptsioone kolmnurga perimeetrit, selle piirkonda, kirjutatud ja kirjeldatud ringi. Koolist on teada, et kolmnurga perimeeter on kõigi kolme külje summa arvuline väljendus. Samal ajal on selle väärtuse leidmise valemid tuntud suurepärase komplekti, sõltuvalt lähteandmetest, mida uurija on ühel või teisel viisil.

1. Lihtsaim viis kolmnurga perimeetrit kasutatakse, kui kõigi kolme külge numbrilised väärtused on teada (x, y, z), selle tulemusena:

2. perimeeter võrdkülgse kolmnurga võib leida, kui me mäletame, et see arv on kõik osapooled aga nagu kõik nurgad on võrdsed. Teades selle poole pikkust, saab võrdse kolmnurga perimeetrit määrata valemiga:

3. Võrdselt aheldatud kolmnurga korral erinevalt võrdkülgsest ainult kahest küljest on sama numbriline väärtus, nii et sel juhul Üldine Perimeeter on järgmine:

4. Järgmised meetodid Meil on vaja juhtudel, kus numbrilised väärtused ei ole teadaolevad mitte kõik pooled. Näiteks, kui uuringul on andmed kahe külje kohta, samuti nende vahelist nurka, võib kolmnurga perimeetrit leida kolmanda osapoole ja kuulsa nurga all. Sel juhul leitakse see kolmas isik valemiga:

z \u003d 2x + 2Y-2xycosp

Selle põhjal on kolmnurga perimeeter võrdne:

P \u003d x + y + 2x + (2Y-2xycos β)

5. Juhul kui pikkus manustatakse esialgu mitte rohkem kui ühele küljele kolmnurga külge ja kahe nurga all, mis on tuntud, võib kolmnurga perimeetrit arvutada, tuginedes sinuse teoreemile:

P \u003d X + Sinβ x / (sin (180 ° -β)) + Siny X / (sin (180 °-olla))

6. On juhtumeid, mil triangleri perimeetrit kasutatakse selle ümbermõõduga kaasatud tuntud parameetrite poolt. See valem on tuntud ka enamusele alates kooli pingist:

P \u003d 2S / R (S on ümbermõõdu ala, samas kui R on selle raadius).

Eespool öeldut võib näha, et kolmnurga perimeetri suurust võib leida mitmel viisil, tuginedes nendele andmetele, mida uurija omab. Lisaks on selle väärtuse mõned erilised juhtumid. Niisiis, perimeeter on ristkülikukujulise kolmnurga üks tähtsamaid väärtusi ja omadusi.

Nagu on teada, nimetatakse sellist kolmnurga jooniseks, milleks on kaks külge, mis moodustavad sirge nurga all. Ristkülikukujulise kolmnurga ümbermõõt asub mõlema kateetide ja hüpotenuuste summa numbliku väljenduse kaudu. Juhul kui teadlane teab andmeid ainult umbes kahest küljest, võib järelejäänud arvutada kuulsa pythagora teoreemi abil: Z \u003d (x2 + y2), kui mõlemad kategooriad on teadaolevad või x \u003d (Z2 - Y2), kui hüpotenuse on tuntud ja kataat.

Juhul kui hüpotenuse pikkus on tuntud ja üks külgnevate nurkade pikkus, siis teine \u200b\u200bpool asuvad valemite järgi: x \u003d z pattu, y \u003d z cosp. Sellisel juhul on perimeetri võrdne:

P \u003d Z (COSβ + SINP +1)

Samuti on erijuhtum õige (või võrdkülgse) kolmnurga perimeetri arvutamine, mis on selline joonis, kus kõik osapooled ja kõik nurgad on võrdsed. Sellise kolmnurga perimeetri arvutamine tuntud kõrvalküljel ei kujuta endast probleemi, aga mõned teised andmed on teadlane teada. Niisiis, kui on teada kirjutatud ringi raadius, on õige kolmnurga ümbermõõt valemis:

Ja kui kirjeldatud ringi raadiuse suurus on antud, leitakse õige kolmnurga ümbermõõt järgmiselt:

Valemid tuleb meeles pidada edukalt rakendada praktikas.