Є середні величини, неправильне визначення яких увійшло в анекдот або в притчу. Будь-які невірно зроблені розрахунки коментуються розхожою загальнозрозумілій посиланням на такий явно абсурдний результат. У кожного, наприклад, викличе посмішку саркастичного розуміння фраза "середня температура по лікарні". Однак ті ж знавці нерідко, не замислюючись, складають швидкості на окремих відрізках шляху і ділять нараховану суму на число цих ділянок, щоб отримати настільки ж безглуздий відповідь. Нагадаємо з курсу механіки середньої школи, Як знайти середню швидкість правильним, а не абсурдним способом.

Аналог "середньої температури" в механіці

В яких випадках каверзно сформульовані умови задачі підштовхують нас до поспішного необдуманого відповіді? Якщо йдеться про "частинах" шляху, але не вказується їх довжина, це насторожує навіть мало досвідченого в рішенні подібних прикладів людини. А ось якщо в завданні прямо вказується на рівні проміжки, наприклад, "першу половину шляху поїзд слідував зі швидкістю ...", або "першу третину шляху пішохід прокрокував зі швидкістю ...", і далі докладно розписується, як об'ёкт пересувався на що залишилися рівних ділянках, тобто відомо співвідношення S 1 \u003d S 2 \u003d ... \u003d S n і точні значення швидкостей v 1, v 2, ... v n, Наше мислення нерідко дає непрощенну осічку. Вважається середнє арифметичне швидкостей, тобто всі відомі значення v складаються і діляться на n. В результаті відповідь виходить невірний.

Прості "формули" розрахунку величин при рівномірному русі

І для всього пройденого шляху, і для окремих його ділянок у разі усереднення швидкості справедливі співвідношення, написані для рівномірного руху:

  • S \u003d vt(1), "формула" шляху;
  • t \u003d S / v(2), "Формула" розрахунку часу руху ;
  • v \u003d S / t(3), "формула" визначення середньої швидкості на ділянці шляху S, Пройдений за час t.

Тобто для знаходження шуканої величини v з використанням співвідношення (3) нам потрібно точно знати дві інші. Саме вирішуючи питання, як знайти середню швидкість руху, ми перш за все повинні визначити, який весь пройдений шлях S і яке весь час руху t.

Математичне виявлення прихованої помилки

У вирішуваному нами прикладі пройдений тілом (поїздом або пішоходом) шлях буде дорівнює добутку nS n(так як ми n раз складаємо рівні ділянки шляху, в наведених прикладах - половинки, n \u003d 2, Або третини, n \u003d 3). Про повне ж часу руху нам нічого не відомо. Як визначити середню швидкість, якщо знаменник дробу (3) явно не заданий? Скористаємося співвідношенням (2), для кожної ділянки шляху визначимо t n \u003d S n: v n. суму розрахованих таким чином проміжків часу запишемо під рискою дробу (3). Ясно, що, для того щоб позбутися від знаків "+", потрібно приводити все S n: v nдо спільного знаменника. В результаті виходить "двоповерхова дріб". Далі користуємося правилом: знаменник знаменника йде в чисельник. У підсумку, для завдання з поїздом після скорочення на S n маємо v ср \u003d nv 1 v 2: v 1 + v 2, n \u003d 2 (4) . Для випадку з пішоходом питання - як знайти середню швидкість, вирішується ще складніше: v ср \u003d nv 1 v 2 v 3: v 1v2 + v 2 v 3 + v 3 v 1, n \u003d 3(5).

Явне підтвердження помилки "в числах"

Для того щоб "на пальцях" підтвердити, що визначення середнього арифметичного - хибний шлях при розрахунку v ср, Конкретизуємо приклад, замінивши абстрактні букви числами. Для поїзда візьмемо швидкості 40 км / год і 60 км / год (Помилковий відповідь - 50 км / год). Для пішохода - 5 , 6 і 4 км / год (середнє арифметичне - 5 км / год). Неважко переконатися, підставивши значення в співвідношення (4) і (5), що вірними відповідями будуть для локомотива 48 км / год і для людини - 4, (864) км / год (періодична десятковий дріб, Результат математично не дуже гарний).

Коли середнє арифметичне "не підводить"

Якщо завдання формулюється так: "За рівні проміжки часу тіло рухалося спочатку зі швидкістю v 1, потім v 2, v 3і так далі ", швидку відповідь на питання, як знайти середню швидкість, може бути знайдений неправильним способом. Надамо читачеві самостійно в цьому переконатися, підсумувавши в знаменнику рівні проміжки часу і скориставшись в чисельнику v срспіввідношенням (1). Це, мабуть, єдиний випадок, коли помилковий метод призводить до отримання коректного результату. Але для гарантовано точних розрахунків потрібно користуватися єдино правильним алгоритмом, незмінно звертаючись до дробу v ср \u003d S: t.

Алгоритм на всі випадки життя

Для того щоб напевно уникнути помилки, при вирішенні питання, як знайти середню швидкість, досить запам'ятати і виконати просту послідовність дій:

  • визначити весь шлях, підсумувавши довжини окремих його ділянок;
  • встановити весь час шляху;
  • поділити перший результат на другий, невідомі, що не задані в завданні величини при цьому (за умови коректного формулювання умов) скорочуються.

У статті розглянуті найпростіші випадки, коли вихідні дані наводяться для рівних часток часу або рівних ділянок шляху. У загальному випадку співвідношення хронологічних проміжків або пройдених тілом відстаней може бути самим довільним (але при цьому математично певним, вираженим конкретним цілим числом або дробом). Правило звернення до співвідношення v ср \u003d S: tабсолютно універсально і ніколи не підводить, хоч би складні на перший погляд алгебраїчні перетворення ні доводилося виконувати.

Наостанок зазначимо: для спостережних читачів не залишилася непоміченою практична значущість використання вірного алгоритму. Правильно розрахована середня швидкість в наведених прикладах виявилася трохи нижче "середньої температури" на трасі. Тому помилковий алгоритм для систем, що фіксують перевищення швидкості, означав би більше число помилкових постанов ДАІ, які висилаються в "листах щастя" водіям.

Середньою швидкістю називається швидкість, яка виходить, якщо весь шлях поділити на час, протягом якого об'єкт подолав цей шлях. Формула середньої швидкості:

  • V ср \u003d S / t.
  • S \u003d S1 + S2 + S3 \u003d v1 * t1 + v2 * t2 + v3 * t3
  • V ср \u003d S / t \u003d (v1 * t1 + v2 * t2 + v3 * t3) / (t1 + t2 + t3)

Щоб не плутатися з годинником і хвилинами, переводимо все хвилини в години: 15 хв. \u003d 0,4 год, 36 хв. \u003d 0,6 год. Підставляємо числові значення в останню формулу:

  • V ср \u003d (20 * 0,4 + 0,5 * 6 + 0,6 * 15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) \u003d (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) \u003d 20 / 1,5 \u003d 13,3 км / год

Відповідь: середня швидкість V ср \u003d 13,3 км / год.

Як знайти середню швидкість руху з прискоренням

Якщо швидкість на початку руху відрізняється від швидкості в його кінці, такий рух називають прискореним. Причому далеко не завжди тіло дійсно рухається все швидше і швидше. Якщо рух сповільнюється, все одно кажуть, що воно рухається з прискоренням, тільки прискорення буде вже негативним.

Іншими словами, якщо автомобіль, рушаючи з місця, через секунду розігнався до швидкості 10 м / сек, то його прискорення а так само 10 м в секунду за секунду а \u003d 10 м / сек². Якщо в наступну секунду автомобіль зупинився, то його прискорення теж дорівнює 10 м / сек², тільки вже зі знаком мінус: а \u003d -10 м / сек².

Швидкість руху з прискоренням в кінці часового відрізку обчислюється за формулою:

  • V \u003d V0 ± at,

де V0 - початкова швидкість руху, a - прискорення, t - час, за яке спостерігалося дане прискорення. Плюс чи мінус у формулі ставиться в залежності від того, збільшувалася швидкість або зменшувалася.

Середня швидкість за відрізок часу t обчислюється як середнє арифметичне початкової і кінцевої швидкості:

  • V ср \u003d (V0 + V) / 2.

Знаходимо середню швидкість: завдання

Шарик штовхнули по рівній площині з початковою швидкістю V0 \u003d 5 м / сек. Через 5 сек. кулька зупинився. Чому рівні прискорення і середня швидкість?

Кінцева швидкість кульки V \u003d 0 м / сек. Прискорення з першої формули одно

  • а \u003d (V - V0) / t \u003d (0 - 5) / 5 \u003d - 1 м / сек².

Середня швидкість V ср \u003d (V0 + V) / 2 \u003d 5/2 \u003d 2,5 м / сек.

1. Матеріальна точка пройшла половину окружності. Знайти відношення середньої шляхової швидкості до модуля середньої векторної швидкості.

Рішення . З визначення середніх значень шляховий і векторної швидкостей з урахуванням того, що шлях, пройдений матеріальною точкою за час руху t, равен R, А величина переміщення 2 R, де R- радіус кола, отримаємо:

2. Автомобіль проїхав першу третину шляху зі швидкістю v 1 \u003d 30 км / год, а решту шляху - зі швидкістю v 2 \u003d 40 км / год. Знайти середню швидкість на всьому пройденому шляху.

Рішення . За визначенням =де S- шлях, пройдений за час t. Очевидно, що
Тому шукана середня швидкість дорівнює

3. Студент проїхав половину шляху на велосипеді зі скоростьюv 1 \u003d 12 км / год. Далі половину часу, що залишився він їхав зі скоростьюv 2 \u003d 10 км / год, а решту шляху йшов пішки з скоростьюv 3 \u003d 6 км / год. Визначити середню швидкість руху студента на всьому шляху.

Рішення . За визначенням
де S -шлях, а t- час руху. Ясно що t=t 1 +t 2 +t 3. тут
- час руху на першій половині шляху, t 2 - час руху на другій ділянці шляху і t 3 - на третьому. За умовою завдання t 2 =t 3. Крім того, S/ 2 \u003d v 2 t 2 + v 3 t 3 \u003d (v 2 + v 3) t 2. Звідси випливає:

Підставивши t 1 і t 2 +t 3 = 2t 2 в вираз для середньої швидкості, отримаємо:

4. Відстань між двома станціями потяг пройшов за час t 1 \u003d 30 хв. Розгін і гальмування тривали t 2 \u003d 8 хв, а решту часу поїзд рухався рівномірно зі швидкістю v \u003d 90 км / год. Визначити середню швидкість поїзда , Вважаючи, що при розгоні швидкість збільшувалася з часом за лінійним законом, а при гальмуванні зменшувалася теж за лінійним законом.

Р

ешеніем . Побудуємо графік залежності швидкості поїзда від часу (див. Рис.). Цей графік описує трапецію з довжинами підстав, рівними t 1 і t 1 –t 2 і висотою, рівній v. Площа цієї трапеції чисельно дорівнює шляху, пройденого поїздом від початку руху до зупинки. Тому середня швидкість дорівнює:

Завдання і вправи

1.1. М'яч впав з висоти h 1 \u003d 4 м, відскочив від підлоги і був спійманий на висоті h 2 \u003d 1 м. Чому дорівнює шлях Sі величина переміщення
?

1.2. Матеріальна точка перемістилася на площині з точки з координатами x 1 \u003d 1 см і y 1 \u003d 4cм в точку з координатами x 2 \u003d 5 см і y 2 \u003d 1 см. Побудувати вектор переміщення і за допомогою лінійки визначити модуль вектора переміщення та проекції вектора переміщення на осі xі y. Знайти ці ж величини аналітично і порівняти результати.

1.3. Першу половину шляху поїзд йшов зі швидкістю в n\u003d 1,5 рази більшою, ніж другу половину шляху. Середня швидкість поїзда на всьому шляху \u003d 43,2 км / год. Які швидкості поїзда на першій і другій половинах шляху?

1.4. Першу половину часу свого руху велосипедист проїхав зі швидкістю v 1 \u003d 18 км / год, а другу половину часу - зі швидкістю v 2 \u003d 12 км / год. Визначити середню швидкість руху велосипедиста.

1.5. Рух двох автомобілів описується рівняннями
і
, Де всі величини вимірюються в системі СІ. Запишіть закон зміни відстані
між автомобілями від часу і знайдіть
через час
с. після початку руху.

Інструкція

Розглянемо функцію f (x) \u003d | x |. Для початку цієї без знака модуля, тобто графік функції g (x) \u003d x. Цей графік є прямою, що проходить через початок координат і кут між цією прямою і позитивним напрямом осі абсцис складає 45 градусів.

Так як модуль величина неотрицательная, то ту частину, яка знаходиться нижче осі абсцис необхідно дзеркально відобразити щодо неї. Для функції g (x) \u003d x отримаємо, що графік після такого відображення стане схожий на V. Цей новий графік і буде графічною інтерпретацією функції f (x) \u003d | x |.

Відео по темі

Зверніть увагу

Графік модуля функції ніколи не буде знаходиться в 3 і 4 чверті, так як модуль не може приймати негативних значень.

Корисна порада

Якщо у функції присутні кілька модулів, то їх потрібно розкривати послідовно, а потім накладати один на одного. Результат і буде шуканим графіком.

джерела:

  • як побудувати графік функції з модулями

Завдання на кінематику, в яких необхідно обчислити швидкість, час або шлях рівномірно і прямолінійно рухомих тіл, зустрічаються в шкільному курсі алгебри і фізики. Для їх вирішення знайдіть в умови величини, які можна між собою зрівняти. Якщо в умові потрібно визначити час при відомій швидкості, скористайтеся наступною інструкцією.

Вам знадобиться

  • - ручка;
  • - папір для записів.

Інструкція

Найпростіший випадок - рух одного тіла із заданою рівномірного швидкістью. Відомо відстань, яке тіло пройшло. Знайдіть в дорозі: t \u003d S / v, годину, де S - відстань, v - середня швидкість тіла.

Другий - на зустрічний рух тел. З пункту А в пункт В рухається автомобіль зі швидкістью 50 км / год. Назустріч йому з пункту B одночасно виїхав мопед зі швидкістью 30 км / год. Відстань між пунктами А і В 100 км. потрібно знайти час, Через яке вони зустрінуться.

Позначте точку зустрічі К. Нехай відстань АК, яке автомобіль, буде х км. Тоді шлях мотоцикліста складе 100-х км. З умови задачі випливає, що час в дорозі у автомобіля і мопеда однаково. Складіть рівняння: х / v \u003d (S-x) / v ', де v, v' - і мопеда. Підставивши дані, вирішите рівняння: x \u003d 62,5 км. тепер час: T \u003d 62,5 / 50 \u003d 1,25 години або 1 годину 15 хвилин.

Третій приклад - дані ті ж умови, але автомобіль виїхав на 20 хвилин пізніше мопеда. Визначити, часу в дорозі буде автомобіль до зустрічі з мопедом.

Складіть рівняння, аналогічно попередньому. Але в цьому випадку час мопеда в дорозі буде на 20 хвилин, ніж у автомобіля. Для зрівнювання частин, відніміть одну третину години з правої частини виразу: х / v \u003d (S-x) / v'-1/3. Знайдіть х - 56,25. Обчисліть час: T \u003d 56,25 / 50 \u003d 1,125 години або 1 годину 7 хвилин 30секунд.

Четвертий приклад - завдання на рух тіл в одному напрямку. Автомобіль і мопед з тими ж швидкостями рухаються з точки А. Відомо, що автомобіль виїхав на півгодини пізніше. через якийсь час він наздожене мопед?

В цьому випадку однаковим буде відстань, яке проїхали транспортні засоби. нехай час в дорозі автомобіля буде x годин, тоді час в дорозі мопеда буде x + 0,5 годин. У вас вийшло рівняння: vx \u003d v '(x + 0,5). Розв'яжіть рівняння, підставивши значення, і знайдіть x - 0,75 години або 45 хвилин.

П'ятий приклад - автомобіль та мопед з тими ж швидкостями рухаються в одному напрямку, але мопед виїхав з точки В, що знаходиться на відстані 10 км від точки А, на півгодини раніше. Обчислити, через яке час після старту автомобіль наздожене мопед.

Відстань, яку проїхав автомобіль, на 10 км більше. Додайте цю різницю до шляху мотоцикліста й зрівняйте частини виразу: vx \u003d v '(x + 0,5) -10. Підставивши значення швидкості і вирішивши його, ви отримаєте: t \u003d 1,25 години або 1 годину 15 хвилин.

джерела:

  • яка швидкість машини часу

Інструкція

Розрахуйте середню тіла, що рухається рівномірно на протязі ділянки шляху. така швидкість обчислюється найпростіше, оскільки вона не змінюється на всьому відрізку руху і дорівнює середній. Можна це у вигляді: Vрд \u003d Vср, де Vрд - швидкість рівномірного руху, А Vср - середня швидкість.

Обчисліть середню швидкість равнозамедленно (равноускоренного) руху на даній ділянці, для чого необхідно скласти початкову і кінцеву швидкість. Розділіть на два отриманий результат, який і

У школі кожному з нас траплялася завдання, схожа на наступну. Якщо автомобіль частина шляху рухався з однією швидкістю, а наступний відрізок дороги з іншого, як знайти середню швидкість?

Що це за величина і навіщо вона потрібна? Давайте спробуємо в цьому розібратися.

Швидкість у фізиці - це величина, що описує кількість шляху, пройденого за одиницю часу. Тобто коли говорять, що швидкість пішохода становить 5 км / год, це означає, що він проходить відстань в 5 км за 1 годину.

Формула для знаходження швидкості виглядає так:
V \u003d S / t, де S - пройдений шлях, t - час.

Єдиної розмірності в цій формулі немає, оскільки з її допомогою описуються і вкрай повільні, і дуже швидкі процеси.

наприклад, штучний супутник Землі долає близько 8 км за 1 секунду, а тектонічні плити, на яких розташовані материки, за вимірюваннями вчених, розходяться лише на кілька міліметрів за рік. Тому і розмірності у швидкості можуть бути різними - км / год, м / с, мм / с і т.д.

Принцип полягає в тому, що відстань ділиться на час, необхідний для подолання шляху. Не варто забувати про розмірності, якщо проводяться складні розрахунки.

Щоб не заплутатися і не помилитися у відповіді, все величини наводяться в одні і ті ж одиниці вимірювання. Якщо довжина шляху вказана в кілометрах, а якась його частина в сантиметрах, то, поки ми не отримаємо єдності в розмірності, правильної відповіді нам не впізнати.

Постійна швидкість

Опис формули.

Найпростіший випадок у фізиці - рівномірний рух. Швидкість постійна, не змінюється протягом усього шляху. Є навіть швидкісні константи, зведені в таблиці, - незмінні величини. Наприклад, звук поширюється в повітрі зі швидкістю 340,3 м / с.

А світло - абсолютний чемпіон в цьому плані, він володіє найбільшою в нашому Всесвіті швидкістю - 300 000 км / с. Ці величини не змінюються від початкової точки руху до кінцевої. Вони залежать тільки від середовища, в якій рухаються (повітря, вакуум, вода та ін.).

Рівномірний рух часто зустрічається нам і в повсякденному житті. Так працює конвеєр на заводі або фабриці, фунікулер на гірських трасах, ліфт (за винятком дуже коротких періодів пуску і зупинки).

Графік такого руху дуже простий і являє собою пряму лінію. 1 секунда - 1 м, 2 секунди - 2 м, 100 секунд - 100 м. Всі точки знаходяться на одній прямій.

нерівномірне швидкість

На жаль, так ідеально і в житті, і в фізиці буває вкрай рідко. Безліч процесів проходять з нерівномірною швидкістю, то прискорюючись, то сповільняться.

Давайте уявимо рух звичайного міжміського автобуса. На початку шляху він розганяється, у світлофорів гальмує, а то і зовсім зупиняється. Потім вже за містом їде швидше, але на підйомах повільніше, а на спусках знову прискорюється.

Якщо зобразити цей процес у вигляді графіка, то вийде досить хитромудра лінія. Визначити швидкість за графіком можна тільки для якоїсь конкретної точки, а загального принципу немає.

Буде потрібно цілий набір формул, кожна з яких підійде тільки для своєї ділянки креслення. Але страшного нічого немає. Для опису переміщення автобуса користуються середнім значенням.

Знайти середню швидкість руху можна все за тією ж формулою. Дійсно, нам відомо відстань між автовокзалами, виміряна час у дорозі. Поділивши одне на інше, знайдіть шукану величину.

Для чого це потрібно?

Такі розрахунки корисні всім. Ми весь час плануємо свій день і переміщення. Маючи дачу за містом, є сенс дізнатися середню шляхову швидкість при поїздках туди.

Це спростить планування проведення вихідних. Навчившись знаходити цю величину, ми зможемо бути більш пунктуальними, перестанемо спізнюватися.

Повернемося до прикладу, запропонованим на самому початку, коли частина шляху автомобіль проїхав з однією швидкістю, а іншу - з іншої. Такий вид завдань дуже часто використовується в шкільній програмі. Тому, коли ваша дитина попросить вас допомогти йому з рішенням подібного питання, вам буде просто це зробити.

Склавши довжини ділянок шляху, ви отримаєте загальну відстань. Поділивши ж їх значення на зазначені у вихідних даних швидкості, можна визначити час, витрачений на кожну з ділянок. Склавши їх, отримаємо час, витрачений на весь шлях.