В даній статті розповідається, як привести дроби до спільного знаменника і як знайти найменший спільний знаменник. Наведено визначення, дане правило приведення дробів до спільного знаменника і розглянуті практичні приклади.

Що таке приведення дроби до спільного знаменника?

Звичайні дроби складаються з чисельника - верхньої частини, і знаменника - нижньої частини. Якщо дроби мають однаковий знаменник, кажуть, що вони приведені до спільного знаменника. Наприклад, дроби 11 14, 17 14, 9 14 мають однаковий знаменник 14. Іншими словами, вони приведені до спільного знаменника.

Якщо ж дробу мають різні знаменники, то їх завжди можна привести до спільного знаменника за допомогою нехитрих дій. Щоб зробити це, потрібно чисельник і знаменник помножити на певні додаткові множники.

Очевидно, що дроби 4 5 і 3 4 не наведено до спільного знаменника. Щоб це зробити, потрібно з використанням додаткових множників 5 і 4 привести їх до знаменника 20. Як саме це зробити? Помножимо чисельник і знаменник дробу 4 5 на 4, а чисельник і знаменник дробу 3 4 помножимо на 5. Замість дробів 4 5 і 3 4 отримаємо відповідно 16 20 і 15 20.

Зведення дробів до спільного знаменника

Зведення дробів до спільного знаменника - це множення числителей і знаменників дробів на такі множники, що в результаті виходять ідентичні дроби з однаковими знаменником.

Спільний знаменник: визначення, приклади

Що таке загальний знаменник?

Спільний знаменник

Спільний знаменник дробів - це будь-яке позитивне число, яке є загальним кратним всіх даних дробів.

Іншими словами, спільним знаменником якогось набору дробів буде таке натуральне число, Яке без залишку ділиться на всі знаменники цих дробів.

Ряд натуральних чисел нескінченний, і тому, згідно з визначенням, кожен набір звичайних дробів має безліч загальних знаменників. Інакше кажучи, існує нескінченно багато спільних кратних для всіх знаменників вихідного набору дробів.

Спільний знаменник для кількох дробів легко знайти, користуючись визначенням. Нехай є дроби 1 6 і 3 5. Спільним знаменником дробів буде будь-яке позитивне загальне кратне для чисел 6 і 5. Такими позитивними загальними кратними є числа 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 і так далі.

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Спільний знаменник

Можна ді дробу 1 3, 21 6, 5 12 привести до спільного знаменника, який дорівнює 150?

Щоб з'ясувати, чи так це, потрібно перевірити, чи є 150 загальним кратним для знаменників дробів, тобто для чисел 3, 6, 12. Іншими словами, число 150 має без залишку ділитися на 3, 6, 12. перевіримо:

150 ÷ \u200b\u200b3 \u003d 50, 150 ÷ \u200b\u200b6 \u003d 25, 150 ÷ \u200b\u200b12 \u003d 12, 5

Значить, 150 не є спільним знаменником зазначених дробів.

Найменший спільний знаменник

Найменше натуральне число з безлічі загальних знаменників якогось набору дробів називається найменшим спільним знаменником.

Найменший спільний знаменник

Найменший спільний знаменник дробів - це найменше число серед усіх загальних знаменників цих дробів.

Найменший спільний дільник даного набору чисел - це найменше спільне кратне (НОК). НОК всіх знаменників дробів є найменшим спільним знаменником цих дробів.

Як знайти найменший спільний знаменник? Його перебування зводиться до знаходження найменшого спільного кратного дробів. Звернемося до прикладу:

Приклад 2. Знайти найменший спільний знаменник

Потрібно знайти найменший спільний знаменник для дробів 1 10 і 127 28.

Шукаємо НОК чисел 10 і 28. Розкладемо їх на прості множники і отримаємо:

10 \u003d 2 · 5 28 \u003d 2 · 2 · 7 Н Про К (15, 28) \u003d 2 · 2 · 5 · 7 \u003d 140

Як привести дроби до найменшого спільного знаменника

Існує правило, яке пояснює, як привести дроби до спільного знаменника. Правило складається з трьох пунктів.

Правило приведення дробів до спільного знаменника

  1. Знайти найменший спільний знаменник дробів.
  2. Для кожного дробу знайти додатковий множник. Щоб знайти множник потрібно найменший спільний знаменник розділити на знаменник кожного дробу.
  3. Помножити чисельник і знаменник на знайдений додатковий множник.

Розглянемо застосування цього правила на конкретному прикладі.

Приклад 3. Зведення дробів до спільного знаменника

Є дробу 3 14 і 5 18. Наведемо їх до найменшого спільного знаменника.

За правилом, спочатку знайдемо НОК знаменників дробів.

14 \u003d 2 · 7 18 \u003d 2 · 3 · 3 Н Про К (14, 18) \u003d 2 · 3 · 3 · 7 \u003d 126

Обчислюємо додаткові множники для кожного дробу. Для 3 14 додатковий множник знаходиться як 126 ÷ 14 \u003d 9, а для дробу 5 18 додатковий множник дорівнюватиме 126 ÷ 18 \u003d 7.

Множимо чисельник і знаменник дробів на додаткові множники і отримуємо:

3 · 9 14 · 9 \u003d 27 126, 5 · 7 18 · 7 \u003d 35 126.

Приведення кількох дробів до найменшого спільного знаменника

За розглянутому правилом до спільного знаменника можна наводити не тільки пари дробів, а й більшу їх кількість.

Наведемо ще один приклад.

Приклад 4. Зведення дробів до спільного знаменника

Привести дробу 3 2, 5 6, 3 8 і 17 18 до найменшого спільного знаменника.

Обчислимо НОК знаменників. Знаходимо НОК трьох і більшої кількості чисел:

Н Про К (2, 6) \u003d 6 Н Про К (6, 8) \u003d 24 Н Про К (24, 18) \u003d 72 Н Про К (2, 6, 8, 18) \u003d 72

Для 3 2 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 2 \u003d 36, для 5 6 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 6 \u003d 12, для 3 8 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 8 \u003d 9, нарешті, для 17 18 додатковий множник дорівнює 72 ÷ 18 \u003d 4.

Множимо дроби на додаткові множники і переходимо до найменшого спільного знаменника:

3 2 × 36 \u003d 108 72 5 6 · 12 \u003d 60 72 3 8 · 9 \u003d 27 72 17 18 · 4 \u003d 68 72

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Найменшим спільним знаменником (НСЗ) даних нескоротних дробів є найменше спільне кратне (НОК) знаменників цих дробів. ( см. тему «Знаходження найменшого спільного кратного»:

Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба: 1) знайти найменше спільне кратне знаменників даних дробів, воно і буде найменшим спільним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, для чого ділити новий знаменник на знаменник кожного дробу. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на її додатковий множник.

Приклади. Навести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше спільне кратне знаменників: НОК (5; 4) \u003d 20, так як 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-й дробу додатковий множник 4 (20 : 5 \u003d 4). Для 2-й дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 \u003d 5). Множимо чисельник і знаменник 1-й дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-й дробу на 5. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший спільний знаменник цих дробів - число 8, так як 8 ділиться на 4 і на саме себе. Додаткового множника до 1-й дріб не може бути (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-ї дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 \u003d 2). Множимо чисельник і знаменник 2-й дробу на 2. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дробу не є нескоротних.

Скоротимо 1-ю дріб на 4, а 2-ю дріб скоротимо на 2. ( см. приклади на скорочення звичайних дробів: Карта сайта → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК (16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 \u003d 80. Додатковий множник для 1-й дробу дорівнює 5 (80 : 16 \u003d 5). Додатковий множник для 2-й дробу дорівнює 4 (80 : 20 \u003d 4). Множимо чисельник і знаменник 1-й дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-й дробу на 4. Ми навели дані дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

На цьому уроці ми розглянемо приведення дробів до спільного знаменника і вирішимо завдання по цій темі. Дамо визначення поняттю спільного знаменника і додаткового множника, згадаємо про взаємно простих числах. Дамо визначення поняттю найменший спільний знаменник (НСЗ) і вирішимо ряд завдань на її пошуки.

Тема: Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками

Урок: Зведення дробів до спільного знаменника

Повторення. Основна властивість дробу.

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або розділити на одне й те саме натуральне число, то вийде рівна їй дріб.

Наприклад, чисельник і знаменник дробу можна розділити на 2. Отримаємо дріб. Цю операцію називають скороченням дробу. Можна виконати і зворотне перетворення, помноживши чисельник і знаменник дробу на 2. У цьому випадку говорять, що ми привели дріб до нового знаменника. Число 2 називають додатковим множником.

Висновок.Дріб можна привести до будь-якого знаменника кратному знаменника даної дробу. Для того щоб привести дріб до нового знаменника, її чисельник і знаменник множать на додатковий множник.

1. Наведіть дріб до знаменника 35.

Число 35 кратно 7, тобто 35 ділиться на 7 без залишку. Значить, це перетворення можливо. Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо 35 на 7. Отримаємо 5. Помножимо на 5 чисельник і знаменник вихідної дробу.

2. Наведіть дріб до знаменника 18.

Знайдемо додатковий множник. Для цього розділимо новий знаменник на вихідний. Отримаємо 3. Помножимо на 3 чисельник і знаменник даної дробу.

3. Наведіть дріб до знаменника 60.

Розділивши 60 на 15, отримаємо додатковий множник. Він дорівнює 4. Помножимо чисельник і знаменник на 4.

4. Наведіть дріб до знаменника 24

У нескладних випадках приведення до нового знаменника виконують в розумі. Прийнято тільки вказувати додатковий множник за дужках трохи правіше і вище вихідної дробу.

Дріб можна привести до знаменника 15 і дріб можна привести до знаменника 15. У дробів і спільний знаменник 15.

Спільним знаменником дробів може бути будь-яке загальне кратне їх знаменників. Для простоти дроби приводять до найменшого спільного знаменника. Він дорівнює найменшого спільного кратного знаменників даних дробів.

Приклад. Привести до найменшого спільного знаменника дроби і.

Спочатку знайдемо найменше спільне кратне знаменників даних дробів. Це число 12. Знайдемо додатковий множник для першої і для другого дробу. Для цього 12 розділимо на 4 і на 6. Три - це додатковий множник для першого дробу, а два - для другої. Наведемо дроби до знаменника 12.

Ми привели дроби і до спільного знаменника, тобто ми знайшли рівні їм дроби, у яких один і той же знаменник.

Правило. Щоб привести дроби до найменшого спільного знаменника, треба

По-перше, знайти найменше спільне кратне знаменників цих дробів, воно і буде їх найменшим спільним знаменником;

По-друге, розділити найменший спільний знаменник на знаменники даних дробів, т. Е. Знайти для кожного дробу додатковий множник.

По-третє, помножити чисельник і знаменник кожного дробу на її додатковий множник.

а) Привести до спільного знаменника дроби і.

Найменший спільний знаменник дорівнює 12. Додатковий множник для першого дробу - 4, для другої - 3. Наводимо дроби до знаменника 24.

б) Привести до спільного знаменника дроби і.

Найменший спільний знаменник дорівнює 45. Розділивши 45 на 9 на 15, отримаємо, відповідно, 5 і 3. Наводимо дроби до знаменника 45.

в) Привести до спільного знаменника дроби і.

Спільний знаменник - 24. Додаткові множники, відповідно, - 2 і 3.

Іноді буває важко підібрати усно найменше спільне кратне для знаменників даних дробів. Тоді загальний знаменник і додаткові множники знаходять за допомогою розкладання на прості множники.

Привести до спільного знаменника дроби і.

Розкладемо числа 60 і 168 на прості множники. Випишемо розкладання числа 60 і додамо відсутні множники 2 і 7 з другого розкладання. Помножимо 60 на 14 і отримаємо спільний знаменник 840. Додатковий множник для першого дробу - це 14. Додатковий множник для другого дробу - 5. Наведемо дроби до спільного знаменника 840.

Список літератури

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. - Гімназія, 2006.

3. Депман І.Я., Виленкин Н.Я. За сторінками підручника математики. - Просвітництво, 1989.

4. Рурукін А.Н., Чайковський І.В. Завдання по курсу математика 5-6 клас. - ЗШ МІФІ, 2011 року.

5. Рурукін А.Н., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6-х класів заочної школи МІФІ. - ЗШ МІФІ, 2011 року.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков І.О. та ін. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. Бібліотека вчителя математики. - Просвітництво, 1989.

Можна завантажити книги, зазначені в п.1.2. даного уроку.

Домашнє завдання

Виленкин Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С. та ін. Математика 6. - М .: Мнемозина, 2012. (посилання див. 1.2)

Домашнє завдання: №297, №298, №300.

Інші завдання: №270, №290

Як привести алгебраїчні (раціональні) дроби до спільного знаменника?

1) Якщо в знаменниках дробів стоять многочлени, потрібно спробувати одним з відомих способів.

2) Найменший спільний знаменник (НСЗ) складається з всіх множників, взятих в найбільшою ступеня.

Найменший спільний знаменник для чисел усно шукаємо як найменше число, яке ділиться на інші числа.

3) Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, треба новий знаменник розділити на старий.

4) Чисельник і знаменник первісної дробу множимо на додатковий множник.

Розглянемо приклади приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника.

Щоб знайти спільний знаменник для чисел, вибираємо більше число і перевіряємо, чи ділиться воно на меншу. 15 на 9 не ділиться. Множимо 15 на 2 і перевіряємо, чи ділиться отримане число на 9. 30 на 9 не ділиться. Множимо 15 на 3 та перевіряємо, чи ділиться отримане число на 9. 45 на 9 ділиться, значить, спільний знаменник для чисел дорівнює 45.

Найменший спільний знаменник складається з усіх множників, взятих в найбільшою мірою. Таким чином, загальний знаменник даних дробів дорівнює 45 bc (букви прийнято записувати в алфавітному порядку).

Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, треба новий знаменник розділити на старий. 45bc: (15b) \u003d 3c, 45bc: (9c) \u003d 5b. Множимо чисельник і знаменник кожного дробу на додатковий множник:

Спочатку шукаємо спільний знаменник для чисел: 8 на 6 не ділиться, 8 ∙ 2 \u003d 16 на 6 не ділиться, 8 ∙ 3 \u003d 24 на 6 ділиться. Кожну з змінних потрібно включити в загальний знаменник один раз. З ступенів беремо ступінь з великим показником.

Таким чином, загальний знаменник даних дробів дорівнює 24a³bc.

Щоб знайти додатковий множник до кожного дробу, потрібно новий знаменник розділити на старий: 24a³bc: (6a³c) \u003d 4b, 24a³bc: (8a²bc) \u003d 3a.

Додатковий множник множимо на чисельник і знаменник:

Багаточлени, що стоять в знаменниках даних дробів, потрібно. У знаменнику першого дробу - повний квадрат різниці: x²-18x + 81 \u003d (x-9) ²; в знаменнику другий - різниця квадратів: x²-81 \u003d (x-9) (x + 9):

Спільний знаменник складається з усіх множників, взятих в найбільшою мірою, тобто дорівнює (x-9) ² (x + 9). Знаходимо додаткові множники і множимо їх на чисельник і знаменник кожного дробу:

У дробів бувають різні або однакові знаменники. Однаковий знаменник або по-іншому називають спільний знаменник у дробу. Приклад спільного знаменника:

\\ (\\ Frac (17) (5), \\ frac (1) (5) \\)

приклад різних знаменників у дробів:

\\ (\\ Frac (8) (3), \\ frac (2) (13) \\)

Як привести до спільного знаменника дроби?

У першій дробу знаменник дорівнює 3, у другій дорівнює 13. Потрібно знайти таке число, щоб ділилося і на 3 і на 13. Це число 39.

Першу дріб потрібно помножити на додатковий множник13. Щоб дріб не змінилася множимо обов'язково і чисельник на 13 і знаменник.

\\ (\\ Frac (8) (3) \u003d \\ frac (8 \\ times \\ color (red) (13)) (3 \\ times \\ color (red) (13)) \u003d \\ frac (104) (39) \\)

Другу дріб множимо на додатковий множник 3.

\\ (\\ Frac (2) (13) \u003d \\ frac (2 \\ times \\ color (red) (3)) (13 \\ times \\ color (red) (3)) \u003d \\ frac (6) (39) \\)

Ми привели до спільного знаменника дроби:

\\ (\\ Frac (8) (3) \u003d \\ frac (104) (39), \\ frac (2) (13) \u003d \\ frac (6) (39) \\)

Найменший спільний знаменник.

Розглянемо ще приклад:

Наведемо дроби \\ (\\ frac (5) (8) \\) і \\ (\\ frac (7) (12) \\) до спільного знаменника.

Спільний знаменник для чисел 8 і 12 можуть бути числа 24, 48, 96, 120, ..., прийнято вибирати найменший спільний знаменник в нашому випадку це число 24.

Найменший спільний знаменник - це найменше число, на яке ділитися знаменник першої і другої дробу.

Як знайти найменший спільний знаменник?
Методом перебору чисел, на яке ділитися знаменник першої і другої дроби і вибрати з них саме найменше.

Нам потрібно дріб зі знаменником 8 помножити на 3, а дріб зі знаменником 12 помножити на 2.

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (5) (8) \u003d \\ frac (5 \\ times \\ color (red) (3)) (8 \\ times \\ color (red) (3)) \u003d \\ frac (15 ) (24) \\\\\\\\ & \\ frac (7) (12) \u003d \\ frac (7 \\ times \\ color (red) (2)) (12 \\ times \\ color (red) (2)) \u003d \\ frac ( 14) (24) \\\\\\\\ \\ end (align) \\)

Якщо у вас відразу не вийти привести дроби до найменшого спільного знаменника в цьому нічого страшного немає, надалі вирішуючи приклад вам може бути доведеться отриману відповідь

Загальною знаменник можна знайти для будь-яких двох дробів це може бути твір знаменників цих дробів.

наприклад:
Наведіть дроби \\ (\\ frac (1) (4) \\) і \\ (\\ frac (9) (16) \\) до найменшого спільного знаменника.

Найпростіший спосіб знайти спільний знаменник - це твір знаменників 4⋅16 \u003d 64. Число 64 це не найменший спільний знаменник. За завданням потрібно знайти саме найменший спільний знаменник. Тому шукаємо далі. Нам потрібно число, яке ділитися і на 4, і на 16, це число 16. Наведемо до спільного знаменника дробу, помножимо дріб зі знаменником 4 на 4, а дріб зі знаменником 16 на одиницю. отримаємо:

\\ (\\ Begin (align) & \\ frac (1) (4) \u003d \\ frac (1 \\ times \\ color (red) (4)) (4 \\ times \\ color (red) (4)) \u003d \\ frac (4 ) (16) \\\\\\\\ & \\ frac (9) (16) \u003d \\ frac (9 \\ times \\ color (red) (1)) (16 \\ times \\ color (red) (1)) \u003d \\ frac ( 9) (16) \\\\\\\\ \\ end (align) \\)