даний матеріал присвячений такого поняття, як кут між двома пересічними прямими. У першому пункті ми пояснимо, що він із себе представляє, і покажемо його на ілюстраціях. Потім розберемо, якими способами можна знайти синус, косинус цього кута і сам кут (окремо розглянемо випадки з площиною і тривимірним простором), наведемо потрібні формули і покажемо на прикладах, як саме вони застосовуються на практиці.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для того щоб зрозуміти, що таке кут, що утворюється при перетині двох прямих, нам буде потрібно згадати саме визначення кута, перпендикулярності і точки перетину.

визначення 1

Ми називаємо дві прямі перетинаються, якщо у них є одна загальна точка. Ця точка називається точкою перетину двох прямих.

Кожна пряма розділяється точкою перетину на промені. Обидві прямі при цьому утворюють 4 кута, з яких два - вертикальні, а два - суміжні. Якщо ми знаємо міру одного з них, то можемо визначити і інші залишилися.

Припустимо, нам відомо, що один з кутів дорівнює α. В такому випадку кут, який є вертикальним по відношенню до нього, теж буде дорівнює α. Щоб знайти залишилися кути, нам треба обчислити різницю 180 ° - α. Якщо α дорівнюватиме 90 градусам, то всі кути будуть прямими. Пересічні під прямим кутом лінії називаються перпендикулярними (поняттю перпендикулярності присвячена окрема стаття).

Погляньте на малюнок:

Перейдемо до формулювання основного визначення.

визначення 2

Кут, утворений двома пересічними прямими - це міра меншого з 4-х кутів, які утворюють дві ці прямі.

З визначення потрібно зробити важливий висновок: розмір кута в цьому випадку буде виражений будь-яким дійсним числом в інтервалі (0, 90]. Якщо прямі є перпендикулярними, то кут між ними в будь-якому випадку буде дорівнює 90 градусам.

Уміння знаходити міру кута між двома пересічними прямими корисно для вирішення багатьох практичних завдань. Метод рішення можна вибрати з декількох варіантів.

Для початку ми можемо взяти геометричні методи. Якщо нам відомо щось про додаткові кутах, то можна пов'язати їх з потрібним нам кутом, використовуючи властивості рівних або подібних фігур. Наприклад, якщо ми знаємо боку трикутника і потрібно обчислити кут між прямими, на яких ці сторони розташовані, то для вирішення нам підійде теорема косинусів. Якщо у нас в умови є прямокутний трикутник, То для підрахунків нам також стане в нагоді знання синуса, косинуса і тангенса кута.

Координатний метод теж вельми зручний для вирішення завдань такого типу. Пояснимо, як правильно його використовувати.

У нас є прямокутна (декартова) система координат O x y, в якій задані дві прямі. Позначимо їх буквами a і b. Прямі при цьому можна описати за допомогою будь-яких рівнянь. Вихідні прямі мають точку перетину M. Як визначити шуканий кут (позначимо його α) між цими прямими?

Почнемо з формулювання основного принципу знаходження кута в заданих умовах.

Нам відомо, що з поняттям прямої лінії тісно пов'язані такі поняття, як спрямовує і нормальний вектор. Якщо у нас є рівняння деякої прямої, з нього можна взяти координати цих векторів. Ми можемо зробити це відразу для двох пересічних прямих.

Кут, утворений двома пересічними прямими, можна знайти за допомогою:

  • кута між напрямними векторами;
  • кута між нормальними векторами;
  • кута між нормальним вектором одній прямій і спрямовуючим вектором інший.

Тепер розглянемо кожен спосіб окремо.

1. Припустимо, що у нас є пряма a з напрямних вектором a → \u003d (a x, a y) і пряма b з напрямних вектором b → (b x, b y). Тепер відкладемо два вектора a → і b → від точки перетину. Після цього ми побачимо, що вони будуть розташовуватися кожен на своїй прямій. Тоді у нас є чотири варіанти їх взаємного розташування. Див. Ілюстрацію:

Якщо кут між двома векторами не є тупим, то він і буде потрібним нам кутом між пересічними прямими a і b. Якщо ж він тупий, то шуканий кут буде рівний куту, суміжному з кутом a →, b → ^. Таким чином, α \u003d a →, b → ^ в тому випадку, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °, і α \u003d 180 ° - a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.

Виходячи з того, що косинуси рівних кутів рівні, ми можемо переписати отримані рівності так: cos α \u003d cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, якщо a →, b → ^\u003e 90 °.

У другому випадку були використані формули приведення. Таким чином,

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Запишемо останню формулу словами:

визначення 3

Косинус кута, утвореного двома пересічними прямими, буде дорівнює модулю косинуса кута між його направляючими векторами.

Загальний вигляд формули косинуса кута між двома векторами a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) виглядає так:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → · b → \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

З неї ми можемо вивести формулу косинуса кута між двома заданими прямими:

cos α \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 \u003d a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тоді сам кут можна знайти за такою формулою:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

Тут a → \u003d (a x, a y) і b → \u003d (b x, b y) - це напрямні вектори заданих прямих.

Наведемо приклад рішення задачі.

приклад 1

У прямокутній системі координат на площині задані дві пересічні прямі a і b. Їх можна описати параметричними рівняннями x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R і x 5 \u003d y - 6 - 3. Обчисліть кут між цими прямими.

Рішення

У нас в умови є параметричне рівняння, значить, для цієї прямої ми відразу можемо записати координати її направляючого вектора. Для цього нам потрібно взяти значення коефіцієнтів при параметрі, тобто пряма x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R буде мати направляючий вектор a → \u003d (4, 1).

Друга пряма описана за допомогою канонічного рівняння x 5 \u003d y - 6 - 3. Тут координати ми можемо взяти з знаменників. Таким чином, у цій прямій є спрямовує вектор b → \u003d (5, - 3).

Далі переходимо безпосередньо до знаходження кута. Для цього просто підставляємо наявні координати двох векторів в наведену вище формулу α \u003d a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2. Отримуємо наступне:

α \u003d a r c cos 4 · 5 + 1 · (- 3) 4 2 + 1 2 · 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 · 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

відповідь: Дані прямі утворюють кут в 45 градусів.

Ми можемо вирішити це завдання за допомогою знаходження кута між нормальними векторами. Якщо у нас є пряма a з нормальним вектором na → \u003d (nax, nay) і пряма b з нормальним вектором nb → \u003d (nbx, nby), то кут між ними буде дорівнює куту між na → і nb → або кутку, який буде суміжних з na →, nb → ^. Цей спосіб показаний на зображенні:

Формули для обчислення косинуса кута між пересічними прямими і самого цього кута за допомогою координат нормальних векторів виглядають так:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2 α \u003d a r c cos n a x · n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут n a → і n b → позначають нормальні вектори двох заданих прямих.

приклад 2

У прямокутній системі координат задані дві прямі за допомогою рівнянь 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 і x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть синус, косинус кута між ними і величину самого цього кута.

Рішення

Вихідні прямі задані за допомогою нормальних рівнянь прямої виду A x + B y + C \u003d 0. Нормальний вектор позначимо n → \u003d (A, B). Знайдемо координати першого нормального вектора для однієї прямої і запишемо їх: n a → \u003d (3, 5). Для другої прямої x + 4 y - 17 \u003d 0 нормальний вектор матиме координати n b → \u003d (1, 4). Тепер додамо отримані значення в формулу і підрахуємо підсумок:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 · 1 + 5 · 4 3 2 + 5 2 × 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 · 17 \u003d 23 2 34

Якщо нам відомий косинус кута, то ми можемо обчислити його синус, використовуючи основне тригонометричну тотожність. Оскільки кут α, утворений прямими, не є тупим, то sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

В такому випадку α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Відповідь: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34

Розберемо останній випадок - знаходження кута між прямими, якщо нам відомі координати направляючого вектора одній прямій і нормального вектора інший.

Припустимо, що пряма a має направляючий вектор a → \u003d (a x, a y), а пряма b - нормальний вектор n b → \u003d (n b x, n b y). Нам треба відкласти ці вектори від точки перетину і розглянути всі варіанти їх взаємного розташування. Див. На зображенні:

Якщо величина кута між заданими векторами не більше 90 градусів, виходить, що він буде доповнювати кут між a і b до прямого кута.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α в тому випадку, якщо a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Якщо він менше 90 градусів, то ми отримаємо наступне:

a →, n b → ^\u003e 90 °, тоді a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Використовуючи правило рівності косинусів рівних кутів, запишемо:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α при a →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α при a →, n b → ^\u003e 90 °.

Таким чином,

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Сформулюємо висновок.

визначення 4

Щоб знайти синус кута між двома прямими, що перетинаються на площині, потрібно обчислити модуль косинуса кута між напрямних вектором першої прямої і нормальним вектором другий.

Запишемо необхідні формули. Знаходження синуса кута:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Знаходження самого кута:

α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2

Тут a → є напрямних вектором першої прямої, а n b → - нормальним вектором другий.

приклад 3

Дві пересічні прямі задані рівняннями x - 5 \u003d y - 6 3 та x + 4 y - 17 \u003d 0. Знайдіть кут перетину.

Рішення

Беремо координати направляючого і нормального вектора із заданих рівнянь. Виходить a → \u003d (- 5, 3) і n → b \u003d (1, 4). Беремо формулу α \u003d a r c sin \u003d a x · n b x + a y · n b y a x 2 + a y 2 · n b x 2 + n b y 2 і вважаємо:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 · 1 + 3 · 4 (- 5) 2 + 3 2 · 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Зверніть увагу, що ми взяли рівняння з попередньої задачі і отримали такий самий результат, але іншим способом.

відповідь: α \u003d a r c sin 7 2 34

Наведемо ще один спосіб знаходження потрібного кута за допомогою кутових коефіцієнтів заданих прямих.

У нас є пряма a, яка задана в прямокутній системі координат за допомогою рівняння y \u003d k 1 · x + b 1, і пряма b, задана як y \u003d k 2 · x + b 2. Це рівняння прямих з кутовим коефіцієнтом. Щоб знайти кут перетину, використовуємо формулу:

α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, де k 1 і k 2 є кутовими коефіцієнтами заданих прямих. Для отримання цього запису були використані формули визначення кута через координати нормальних векторів.

приклад 4

Є дві пересічні на площині прямі, задані рівняннями y \u003d - 3 5 x + 6 і y \u003d посилання - 1 4 x + 17 4. Обчисліть величину кута перетину.

Рішення

Кутові коефіцієнти наших прямих рівні k 1 \u003d - 3 5 і k 2 \u003d - 1 4. Додамо їх в формулу α \u003d a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 і підрахуємо:

α \u003d a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

відповідь: α \u003d a r c cos 23 2 34

У висновках цього пункту слід зазначити, що наведені тут формули знаходження кута не обов'язково вчити напам'ять. Для цього достатньо знати координати напрямних і / або нормальних векторів заданих прямих і вміти визначати їх по різних типах рівнянь. А ось формули для обчислення косинуса кута краще запам'ятати або записати.

Як обчислити кут між пересічними прямими в просторі

Обчислення такого кута можна звести до обчислення координат напрямних векторів і визначення величини кута, утвореного цими векторами. Для таких прикладів використовуються такі ж міркування, які ми приводили до цього.

Припустимо, що у нас є прямокутна система координат, розташована в тривимірному просторі. У ній задані дві прямі a і b з точкою перетину M. Для визначення координат направляючих векторів, нам потрібно знати рівняння цих прямих. Позначимо напрямні вектори a → \u003d (a x, a y, a z) і b → \u003d (b x, b y, b z). Для обчислення косинуса кута між ними скористаємося формулою:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → · b → \u003d a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Для знаходження самого кута нам знадобиться ця формула:

α \u003d a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

приклад 5

У нас є пряма, задана в тривимірному просторі за допомогою рівняння x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2. Відомо, що вона перетинається з віссю O z. Обчисліть кут перетину і косинус цього кута.

Рішення

Позначимо кут, який треба обчислити, буквою α. Запишемо координати направляючого вектора для першої прямої - a → \u003d (1, - 3, - 2). Для осі аплікат ми можемо взяти координатний вектор k → \u003d (0, 0, 1) в якості направляючого. Ми отримали необхідні дані і можемо додати їх в потрібну формулу:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → · k → \u003d 1 · 0 - 3 · 0 - 2 · 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 · 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

У підсумку ми отримали, що потрібний нам кут дорівнюватиме a r c cos 1 2 \u003d 45 °.

відповідь: cos α \u003d 1, 2, α \u003d 45 °.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Кожному школяреві, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування завдання з даного розділу стереометрії викликають труднощі у великої кількості учнів. При цьому завдання, що вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати повинні все.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або перехресними. Кут між ними може бути гострим або прямим.

Для знаходження кута між прямими у ЄДІ або, наприклад, в рішенні, школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів вирішення завдань з даного розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми і теореми стереометрії. Школяру потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, для того щоб привести завдання до планіметричний задачі.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила і алгоритми. Головне в цьому випадку - правильно виконати всі обчислення. Відточити свої навички вирішення завдань на стереометрії та інших розділів шкільного курсу вам допоможе освітній проект «Школково».

Кут між площиною

Розглянемо дві площини α 1 і α 2, задані відповідно рівняннями:

під кутом між двома площинами будемо розуміти один з двогранні кутів, Утворених цими площинами. Очевидно, що кут між нормальними векторами і площин α 1 і α 2 дорівнює одному із зазначених суміжних двогранних кутів або . Тому . Оскільки і , то

.

Приклад. Визначити кут між площинами x+2y-3z+ 4 \u003d 0 і 2 x+3y+z+8=0.

Умова паралельності двох площин.

Дві площини α 1 і α 2 паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори і паралельні, а значить .

Отже, дві площини паралельні один одному тоді і тільки тоді, коли коефіцієнти при відповідних координатах пропорційні:

або

Умова перпендикулярності площин.

Ясно, що дві площини перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, а отже, чи.

Таким чином, .

Приклади.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ.

Векторне рівняння ПРЯМИЙ.

ПАРАМЕТРИЧНІ Рівняння ПРЯМИЙ

Положення прямої в просторі цілком визначається завданням будь-якої її фіксованою точки М 1 і вектора, паралельного цієї прямої.

Вектор, паралельний прямій, називається напрямних вектором цієї прямої.

Отже, нехай пряма l проходить через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), що лежить на прямій паралельно вектору.

Розглянемо довільну точку М (x, y, z) на прямій. З малюнка видно, що .

Вектори і колінеарні, тому знайдеться таке число t, Що, де множник t може приймати будь-яке числове значення в залежності від положення точки M на прямій. множник t називається параметром. Позначивши радіус-вектори точок М 1 і М відповідно через і, отримуємо. Це рівняння називається векторних рівнянням прямої. Воно показує, що кожному значенню параметра t відповідає радіус-вектор деякої точки М, Що лежить на прямій.

Запишемо це рівняння в координатної формі. Зауважимо, що, і звідси

Отримані рівняння називаються параметрическими рівняннями прямої.

При зміні параметра t змінюються координати x, y і z і крапка М переміщається по прямій.


Канонічне рівняння ПРЯМИЙ

нехай М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - точка, що лежить на прямій l, і - її направляючий вектор. Знову візьмемо на прямий довільну точку М (x, y, z) і розглянемо вектор.

Ясно, що вектори і колінеарні, тому їх відповідні координати повинні бути пропорційні, отже,

– канонічні рівняння прямої.

Зауваження 1. Зауважимо, що канонічні рівняння прямої можна було отримати з параметричних, виключивши параметр t. Дійсно, з параметричних рівнянь отримуємо або .

Приклад. Записати рівняння прямої в параметричному вигляді.

позначимо , звідси x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Зауваження 2. Нехай пряма перпендикулярна одній з координатних осей, наприклад осі Ox. Тоді спрямовує вектор прямої перпендикулярний Ox, Отже, m\u003d 0. Отже, параметричні рівняння прямої візьмуть вид

Виключаючи з рівнянь параметр t, Отримаємо рівняння прямої у вигляді

Однак і в цьому випадку домовимося формально записувати канонічні рівняння прямої у вигляді . Таким чином, якщов знаменнику однією з дробів варто нуль, то це означає, що пряма перпендикулярна відповідної координатної осі.

Аналогічно, канонічним рівнянням відповідає пряма перпендикулярна осям Ox і Oy або паралельна осі Oz.

Приклади.

ЗАГАЛЬНІ Рівняння ПРЯМИЙ, ЯК ЛІНІЇ ПЕРЕТИНУ ДВОХ ПЛОЩИН

Через кожну пряму в просторі проходить безліч площин. Будь-які дві з них, перетинаючись, визначають її в просторі. Отже, рівняння будь-яких двох таких площин, що розглядаються спільно представляють собою рівняння цієї прямої.

Взагалі будь-які дві які паралельні площині, задані загальними рівняннями

визначають пряму їх перетину. Ці рівняння називаються загальними рівняннями прямий.

Приклади.

Побудувати пряму, задану рівняннями

Для побудови прямої досить знайти будь-які дві її точки. Найпростіше вибрати точки перетину прямої з координатними площинами. Наприклад, точку перетину з площиною xOy отримаємо з рівнянь прямої, вважаючи z= 0:

Вирішивши цю систему, знайдемо точку M 1 (1;2;0).

Аналогічно, вважаючи y\u003d 0, отримаємо точку перетину прямої з площиною xOz:

Від загальних рівнянь прямої можна перейтік її канонічним або параметричних рівнянь. Для цього потрібно знайти якусь точку М 1 на прямий і спрямовує вектор прямої.

координати точки М 1 отримаємо з даної системи рівнянь, надавши одній з координат довільне значення. Для відшукання направляючого вектора, зауважимо, що цей вектор повинен бути перпендикулярний до обох нормальним векторам і . Тому за направляючий вектор прямої l можна взяти векторний добуток нормальних векторів:

.

Приклад. привести загальні рівняння прямий до канонічного вигляду.

Знайдемо точку, що лежить на прямій. Для цього виберемо довільно одну з координат, наприклад, y\u003d 0 і вирішимо систему рівнянь:

Нормальні вектори площин, що визначають пряму мають координати Тому спрямовує вектор прямої буде

. отже, l: .


КУТ МІЖ ПРЯМИМИ

кутом між прямими в просторі будемо називати будь-який з суміжних кутів, утворених двома прямими, проведеними через довільну точку паралельно даними.

Нехай в просторі задані дві прямі:

Очевидно, що за кут φ між прямими можна прийняти кут між їх напрямними векторами і. Так як, то за формулою для косинуса кута між векторами отримаємо

а. Нехай дано дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні і негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один з цих кутів ми легко знайдемо будь-якої іншої.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенса одна і та ж, різниця може бути тільки в знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, утворених прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами, Ми отримаємо

Для простоти можна домовитися під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, на рис. 53).

Тоді тангенс цього кута буде завжди позитивним. Таким чином, якщо в правій частині формули (1) вийде знак мінус, то ми його повинні відкинути, т. Е. Зберегти тільки абсолютну величину.

Приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде вказано, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрямок кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися з рис. 53 знак виходить в правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першої.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканого кутку між прямими, або відрізняється від нього на ± 180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні і їх направляючі вектори, Застосовуючи умова паралельності двох векторів отримаємо!

Це є умовою необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

Приклад. прямі

паралельні, так як

e. Якщо прямі перпендикулярні то їх направляють вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умова перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих а саме

Приклад. прямі

перпендикулярні з огляду на те, що

У зв'язку з умовами паралельності і перпендикулярності вирішимо наступні два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Так як шукана пряма паралельна даної, то за її направляючий вектор можна взяти той же самий, що і у даній прямій, т. Е. Вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння шуканої прямий напишется в формі (§ 1)

Приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямій

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даної прямий

Тут за спрямовує вектор вже не годиться брати вектор з проекціями А і, а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора повинні бути обрані отже, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, т. Е. Відповідно до умови

Виконати ж ця умова можна безліччю способів, так як тут одне рівняння з двома невідомими Але найпростіше взяти йди ж Тоді рівняння шуканої прямий напишется в формі

Приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) в перпендикулярній прямій

буде наступне (по другій формулі)!

h. У тому випадком коли прямі задані рівняннями виду

Нехай в просторі задані прямі lі m. Через деяку точку А простору проведемо прямі l 1 || lі m 1 || m (Рис. 138).

Зауважимо, що точка А може бути обрана довільно, зокрема вона може лежати на одній з даних прямих. якщо прямі lі m перетинаються, то за А можна взяти точку перетину цих прямих ( l 1 \u003d lі m 1 \u003d m).

Кутом між непаралельними прямими lі m називається величина найменшого з суміжних кутів, утворених пересічними прямими l 1 і m 1 (l 1 || l, m 1 || m). Кут між паралельними прямими вважається рівним нулю.

Кут між прямими lі m позначається \\ (\\ widehat ((l; m)) \\). З визначення випливає, що якщо він вимірюється в градусах, то 0 ° < \\ (\\ Widehat ((l; m)) \\) < 90 °, а якщо в радіанах, то 0 < \\ (\\ Widehat ((l; m)) \\) < π / 2 .

Завдання. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (рис. 139).

Знайти кут між прямими АВ і DС 1.

Прямі АВ і DС 1 перехресні. Так як пряма DC паралельна прямий АВ, то кут між прямими АВ і DС 1, згідно з визначенням, дорівнює \\ (\\ widehat (C_ (1) DC) \\).

Отже, \\ (\\ widehat ((AB; DC_1)) \\) \u003d 45 °.

прямі lі m називаються перпендикулярними, Якщо \\ (\\ widehat ((l; m)) \\) \u003d π / 2. Наприклад, в кубі

Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими в просторі вирішується так само, як і на площині. Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2, а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ > 90 ° (рис. 206,6), то φ \u003d 180 ° - ψ. Очевидно, що в обох випадках вірно рівність cos φ \u003d | cos ψ |. За формулою (косинус кута між ненульовими векторами а і b дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеній на добуток їхніх довжин) маємо

$$ cos \\ psi \u003d cos \\ widehat ((a; b)) \u003d \\ frac (a \\ cdot b) (| a | \\ cdot | b |) $$

отже,

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| a \\ cdot b |) (| a | \\ cdot | b |) $$

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

$$ \\ frac (x-x_1) (a_1) \u003d \\ frac (y-y_1) (a_2) \u003d \\ frac (z-z_1) (a_3) \\; \\; і \\; \\; \\ Frac (x-x_2) (b_1) \u003d \\ frac (y-y_2) (b_2) \u003d \\ frac (z-z_2) (b_3) $$

Тоді кут φ між прямими визначається за допомогою формули

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| a_ (1) b_1 + a_ (2) b_2 + a_ (3) b_3 |) (\\ sqrt ((a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 + (a_3) ^ 2 ) \\ sqrt ((b_1) ^ 2 + (b_2) ^ 2 + (b_3) ^ 2)) (1) $$

Якщо одна з прямих (або обидві) задається не канонічecкімі рівняннями, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

Завдання 1. Обчислити кут між прямими

$$ \\ frac (x + 3) (- \\ sqrt2) \u003d \\ frac (y) (\\ sqrt2) \u003d \\ frac (z-7) (- 2) \\; \\; і \\; \\; \\ Frac (x) (\\ sqrt3) \u003d \\ frac (y + 1) (\\ sqrt3) \u003d \\ frac (z-1) (\\ sqrt6) $$

Направляючі вектори прямих мають координати:

а \u003d (-√2; √2; -2), b = (√3 ; √3 ; √6 ).

За формулою (1) знаходимо

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| - \\ sqrt6 + \\ sqrt6-2 \\ sqrt6 |) (\\ sqrt (2 + 2 + 4) \\ sqrt (3 + 3 + 6)) \u003d \\ frac (2 \\ sqrt6) ( 2 \\ sqrt2 \\ cdot 2 \\ sqrt3) \u003d \\ frac (1) (2) $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 60 °.

Завдання 2. Обчислити кут між прямими

$$ \\ begin (cases) 3x-12z + 7 \u003d 0 \\\\ x + y-3z-1 \u003d 0 \\ end (cases) і \\ begin (cases) 4x-y + z \u003d 0 \\\\ y + z + 1 \u003d 0 \\ end (cases) $$

За спрямовує вектор а першої прямої візьмемо векторний добуток нормальних векторів n 1 \u003d (3; 0; -12) і n 2 \u003d (1; 1; -3) площин, які задають цю пряму. За формулою \\ (\u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ x_1 & y_1 & z_1 \\\\ x_2 & y_2 & z_2 \\ end (vmatrix) \\) отримуємо

$$ a \u003d\u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ 3 & 0 & -12 \\\\ 1 & 1 & -3 \\ end (vmatrix) \u003d 12i-3i + 3k $$

Аналогічно знаходимо спрямовує вектор другий прямий:

$$ b \u003d \\ begin (vmatrix) i & j & k \\\\ 4 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\ end (vmatrix) \u003d - 2i-4i + 4k $$

Але формулою (1) обчислюємо косинус шуканого кута:

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| 12 \\ cdot (-2) -3 (-4) +3 \\ cdot 4 |) (\\ sqrt (12 ^ 2 + 3 ^ 2 + 3 ^ 2) \\ sqrt (2 ^ 2 + 4 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d 0 $$

Отже, кут між даними прямими дорівнює 90 °.

Завдання 3. У трикутній піраміді МАВС ребра MA, MB і МС взаємно перпендикулярні, (рис. 207);

їх довжини відповідно рівні 4, 3, 6. Точка D - середина [МА]. Знайти кут φ між прямими СА і DB.

Нехай СА і DB - напрямні вектори прямих СА і DB.

Приймемо точку М за початок координат. За умовою зядачі маємо А (4; 0; 0), В (0; 0; 3), С (0; 6; 0), D (2; 0; 0). Тому \\ (\\ overrightarrow (CA) \\) \u003d (4; - 6; 0), \\ (\\ overrightarrow (DB) \\) \u003d (-2; 0; 3). Скористаємося формулою (1):

$$ cos \\ phi \u003d \\ frac (| 4 \\ cdot (-2) + (- 6) \\ cdot 0 + 0 \\ cdot 3 |) (\\ sqrt (16 + 36 + 0) \\ sqrt (4 + 0 + 9 )) $$

По таблиці косинусів знаходимо, що кут між прямими СА і DB дорівнює приблизно 72 °.