система лінійних рівнянь - це об'єднання з n лінійних рівнянь, кожне з яких містить k змінних. Записується це так:

Багато, вперше стикаючись з вищої алгеброю, помилково вважають, що число рівнянь обов'язково має збігатися з числом змінних. У шкільній алгебрі так зазвичай і буває, однак для вищої алгебри це, взагалі кажучи, невірно.

Рішення системи рівнянь - це послідовність чисел (k 1, k 2, ..., k n), яка є рішенням кожного рівняння системи, тобто при підстановці в це рівняння замість змінних x 1, x 2, ..., x n дає вірну числову рівність.

Відповідно, вирішити систему рівнянь - означає знайти безліч всіх її рішень або довести, що це безліч порожньо. Оскільки число рівнянь і число невідомих може не збігатися, можливі три випадки:

  1. Система несовместна, тобто безліч всіх рішень порожньо. Досить рідкісний випадок, який легко виявляється незалежно від того, яким методом вирішувати систему.
  2. Система сумісна і визначена, тобто має рівно одне рішення. Класичний варіант, добре відомий ще зі шкільної лави.
  3. Система сумісна і не визначена, тобто має нескінченно багато рішень. Це найжорсткіший варіант. Недостатньо вказати, що «система має безліч рішень» - треба описати, як влаштовано це безліч.

Мінлива x i називається дозволеної, якщо вона входить тільки в одне рівняння системи, причому з коефіцієнтом 1. Іншими словами, в інших рівняннях коефіцієнт при змінної x i має дорівнювати нулю.

Якщо в кожному рівнянні вибрати по одній дозволеної змінної, отримаємо набір дозволених змінних для всієї системи рівнянь. Сама система, записана в такому вигляді, теж буде називатися дозволеної. Взагалі кажучи, одну і ту ж вихідну систему можна звести до різних дозволеним, однак зараз нас це не хвилює. Ось приклади дозволених систем:

Обидві системи є дозволеними щодо змінних x 1, x 3 і x 4. Втім, з тим же успіхом можна стверджувати, що друга система - дозволена щодо x 1, x 3 і x 5. Досить переписати найостанніше рівняння у вигляді x 5 \u003d x 4.

Тепер розглянемо більш загальний випадок. Нехай все у нас k змінних, з яких r є дозволеними. Тоді можливі два випадки:

  1. Число дозволених змінних r дорівнює загальній кількості змінних k: r \u003d k. Отримуємо систему з k рівнянь, в яких r \u003d k дозволених змінних. Така система є спільною і певної, тому що x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
  2. Число дозволених змінних r менше загального числа змінних k: r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Так, в наведених вище системах змінні x 2, x 5, x 6 (для першої системи) і x 2, x 5 (для другої) є вільними. Випадок, коли є вільні змінні, краще сформулювати у вигляді теореми:

Зверніть увагу: це дуже важливий момент! Залежно від того, як ви запишете підсумкову систему, одна і та ж змінна може бути як дозволеної, так і вільною. Більшість репетиторів з вищої математики рекомендують виписувати змінні в лексикографічному порядку, тобто по зростанню індексу. Однак ви зовсім не зобов'язані дотримуватися цієї поради.

Теорема. Якщо в системі з n рівнянь змінні x 1, x 2, ..., x r - дозволені, а x r + 1, x r + 2, ..., x k - вільні, то:

  1. Якщо задати значення вільним змінним (xr + 1 \u003d tr + 1, xr + 2 \u003d tr + 2, ..., xk \u003d tk), а потім знайти значення x 1, x 2, ..., xr, отримаємо одне з рішень.
  2. Якщо в двох рішеннях значення вільних змінних збігаються, то значення дозволених змінних теж збігаються, тобто рішення рівні.

У чому сенс цієї теореми? Щоб отримати всі рішення дозволеної системи рівнянь, досить виділити вільні змінні. Потім, привласнюючи вільним змінним різні значення, Будемо отримувати готові рішення. Ось і все - таким чином можна отримати всі рішення системи. Інших рішень не існує.

Висновок: дозволена система рівнянь завжди сумісна. Якщо число рівнянь в дозволеної системі дорівнює числу змінних, система буде визначеною, якщо менше - невизначеною.

І все б добре, але виникає питання: як з вихідної системи рівнянь отримати дозволену? Для цього існує

Визначення. система m рівнянь з n невідомими в загалом вигляді записується в такий спосіб:

де a ij - коефіцієнти, а b i - постійні.

Рішеннями системи є n чисел, які при підстановці в систему перетворюють кожне її рівняння в тотожність.

Визначення. Якщо система має хоча б одне рішення, то вона називається спільної. Якщо система не має жодного рішення, то вона називається несумісною.

Визначення.Система називається визначеною, якщо вона має тільки одне рішення і невизначеною, якщо більше одного.

Визначення. Для системи лінійних рівнянь матриця

А \u003d називається матрицею системи, а матриця

А * \u003d називається розширеною матрицею системи

Визначення. якщо b 1, b 2, ..., b m \u003d 0, То система називається однорідною. Зауваження. Однорідна система завжди сумісна, тому що завжди має нульове рішення.

Елементарні перетворення систем.

1. Додаток до обох частин одного рівняння відповідних частин іншого, помножених на одне і те ж число, не рівне нулю.

2. Перестановка рівнянь місцями.

3. Видалення з системи рівнянь, які є тотожністю для всіх х.

Формули Крамера.

Даний метод також застосуємо тільки в разі систем лінійних рівнянь, де число змінних збігається з числом рівнянь.

Теорема. Система з n рівнянь з n невідомими

в разі, якщо визначник матриці системи не дорівнює нулю, то система має єдине рішення і це рішення знаходиться за формулами: x i \u003dде D \u003d det A, а D i - визначник матриці, одержуваної з матриці системи заміною стовпця i стовпцем вільних членів b i.

D i \u003d

Приклад. Знайти рішення системи рівнянь:

D \u003d \u003d 5 (4 - 9) + (2 - 12) - (3 - 8) \u003d -25 - 10 + 5 \u003d -30;

D 1 \u003d \u003d (28 - 48) - (42 - 32) \u003d -20 - 10 \u003d -30.

D 2 \u003d \u003d 5 (28 - 48) - (16 - 56) \u003d -100 + 40 \u003d -60.

D 3 \u003d \u003d 5 (32 - 42) + (16 - 56) \u003d -50 - 40 \u003d -90.

Зауваження 1. Якщо система однорідна, тобто b i \u003d 0, То при D¹0 система має єдине нульове рішення x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0.

Зауваження 2. при D \u003d 0 система має безліч рішень.

Метод оберненої матриці.

Матричний метод можна застосовувати до вирішення систем рівнянь, де число рівнянь дорівнює числу невідомих.

Нехай дана система рівнянь: Складемо матриці:

A \u003d - матриця коефіцієнтів при змінних або матриця системи;

B \u003d - матриця -столбец вільних членів;

X \u003d - матриця - стовпець невідомих.

Тоді систему рівнянь можна записати: A × X \u003d B. Домножим зліва обидві частини рівності на A -1: A -1 × A × X \u003d A -1 × B, тому що А -1 × А \u003d Е,то Е × Х \u003d А -1 × В, То справедлива наступна формула:

Х \u003d А -1 × В

Таким чином, для застосування даного методу необхідно знаходити зворотний матрицю.

Приклад. Вирішити систему рівнянь:

Х \u003d, B \u003d, A \u003d

Знайдемо обернену матрицю А -1.

D \u003d det A \u003d 5 (4-9) + 1 (2 - 12) - 1 (3 - 8) \u003d -25 - 10 +5 \u003d -30 ≠ 0 ⇒ зворотна матриця існує.

M 11 \u003d; M 21 \u003d; M 31 \u003d;

M 12 \u003d M 22 \u003d M 32 \u003d

M 13 \u003d M 23 \u003d M 33 \u003d

A -1 \u003d ;

Зробити перевірку:

A × A -1 \u003d
\u003d E.

Знаходимо матрицю Х.

Х \u003d \u003d А -1 В \u003d × = .

Отримали рішення системи: x \u003d 1; y \u003d 2; z \u003d 3.

4.Метод Гаусса.

Нехай дана система mлінійних рівнянь з n невідомими:

Вважаючи, що в системі коефіцієнт a 11 відмінний від нуля (якщо це не так, то слід на перше місце поставити рівняння з відмінним від нуля коефіцієнтом при x 1). Перетворимо систему таким чином: перше рівняння залишаємо без зміни, а з усіх інших рівнянь виключаємо невідому x 1 за допомогою еквівалентних перетворень описаним вище способом.

В отриманій системі

,

вважаючи, що (що завжди можна отримати, переставивши рівняння або складові всередині рівнянь), залишаємо без змін перші два рівняння системи, а з інших рівнянь, використовуючи друге рівняння, за допомогою елементарних перетворень виключаємо невідому x 2. У новоствореному отриманої системі

за умови залишаємо без змін перші три рівняння, а з усіх інших за допомогою третього рівняння елементарними перетвореннями виключаємо невідому x 3 .

Цей процес триває до тих пір, поки не реалізується один з трьох можливих випадків:

1) якщо в результаті приходимо до системи, одне з рівнянь якої має нульові коефіцієнти при всіх невідомих і відмінний від нуля вільний член, то вихідна система несумісна;

2) якщо в результаті перетворень отримуємо систему з матрицею коефіцієнтів трикутного виду, то система сумісна і є певною;

3) якщо виходить ступінчаста система коефіцієнтів (і при цьому не виконується умова пункту 1), то система сумісна і невизначена.

Розглянемо квадратну систему : (1)

У цієї системи коефіцієнт a 11 відмінний від нуля. Якби ця умова не виконувалася, то щоб його отримати, потрібно було б переставити місцями рівняння, поставивши першим то рівняння, у якого коефіцієнт при x 1 не дорівнює нулю.

Проведемо такі перетворення системи:

1) оскільки a 11 ¹0, перше рівняння залишимо без змін;

2) замість другого рівняння запишемо рівняння, що виходить, якщо з другого рівняння відняти найперше, помножене на 4;

3) замість третього рівняння запишемо різницю третього і першого, помноженого на 3;

4) замість четвертого рівняння запишемо різницю четвертого і першого, помноженого на 5.

Отримана нова система еквівалентна вихідної і має в усіх рівняннях, крім першого, нульові коефіцієнти при x 1 (це і було метою перетворень 1 - 4): (2)

Для наведеного перетворення і для всіх подальших перетворень не слід цілком переписувати всю систему, як це тільки що зроблено. Вихідну систему можна представити у вигляді матриці

. (3)

Матриця (3) називається розширеної матрицею для вихідної системи рівнянь. Якщо з розширеної матриці видалити стовпець вільних членів, то вийде матриця коефіцієнтів системи, Яку іноді називають просто матрицею системи.

Системі (2) відповідає розширена матриця

.

Перетворимо цю матрицю наступним чином:

1) перші два рядки залишимо без зміни, оскільки елемент a 22 не дорівнює нулю;

2) замість третього рядка запишемо різницю між другим рядком і подвоєною третьої;

3) четвертий рядок замінимо різницею між подвоєною другим рядком і помноженої на 5 четвертої.

В результаті вийде матриця, відповідна системі, у якій невідома x 1 виключена з усіх рівнянь, крім першого, а невідома x 2 - з усіх рівнянь крім першого і другого:

.

Тепер виключимо невідому x 3 з четвертого рівняння. Для цього останню матрицю перетворимо так:

1) перші три рядки залишимо без зміни, так як a 33 ¹ 0;

2) четвертий рядок замінимо різницею між третьою, помноженої на 39, і четвертої: .

Отримана матриця відповідає системі

. (4)

З останнього рівняння цієї системи отримуємо x 4 \u003d 2. Підставивши це значення в третє рівняння, отримаємо x 3 \u003d 3. Тепер з другого рівняння випливає, що x 2 \u003d 1, а з першого - x 1 \u003d -1. Очевидно, що отримане рішення єдино (так як єдиним чином визначається значення x 4, потім x 3 і т. Д.).

визначення: Назвемо квадратну матрицю, у якій на головній діагоналі стоять числа, відмінні від нуля, а під головною діагоналлю - нулі, трикутною матрицею.

Матриця коефіцієнтів системи (4) - трикутна матриця.

зауваження: Якщо за допомогою елементарних перетворень матрицю коефіцієнтів квадратної системи можна привести до трикутної матриці, то система сумісна і визначена.

Розглянемо ще один приклад: . (5)

Проведемо такі перетворення розширеної матриці системи:

1) перший рядок залишимо без зміни;

2) замість другого рядка запишемо різницю між другим рядком і подвоєною першої;

3) замість третього рядка запишемо різницю між третім рядком і потрійною першої;

4) четвертий рядок замінимо різницею між четвертою та першої;

5) п'ятий рядок замінимо різницею п'ятого рядка і подвоєною першої.

В результаті перетворень отримаємо матрицю

.

Залишивши без зміни перші два рядки цієї матриці, наведемо її елементарними перетвореннями до наступного вигляду:

.

Якщо тепер, дотримуючись методу Гаусса, який також називають і методом послідовного виключення невідомих, за допомогою третього рядка привести до нуля коефіцієнти при x 3 в четвертій і п'ятій рядках, то після ділення всіх елементів другого рядка на 5 і ділення всіх елементів третього рядка на 2 отримаємо матрицю

.

Кожна з двох останніх рядків цієї матриці відповідає рівняння 0 x 1 +0x 2 +0x 3 +0x 4 +0x 5 \u003d 0. Це рівняння задовольняється будь-яким набором чисел x 1 , x 2, ¼, x 5, і його слід видалити з системи. Таким чином, система з щойно отриманої розширеної матрицею еквівалентна системі з розширеною матрицею виду

. (6)

Останній рядок цієї матриці відповідає рівнянню
x 3 – 2x 4 + 3x 5 \u003d -4. якщо невідомим x 4 і x 5 надати довільні значення: x 4 = З 1; x 5 = З 2, То з останнього рівняння системи, відповідної матриці (6), отримаємо x 3 = –4 + 2З 1 – 3З 2. Підставивши вирази x 3 , x 4, і x 5 в друге рівняння тієї ж системи, отримаємо x 2 = –3 + 2З 1 – 2З 2. Тепер з першого рівняння можна отримати x 1 = 4 – З 1+ З 2. Остаточно рішення системи представляється у вигляді .

Розглянемо прямокутну матрицю A, У якій число стовпців m більше, ніж число рядків n. таку матрицю A назвемо ступінчастою.

Очевидно, що матриця (6) - ступінчаста матриця.

Якщо при застосуванні еквівалентних перетворень до системи рівнянь хоча б одне рівняння приводиться до вигляду

0x 1 + 0x 2 + ¼0 x n = b j (b j ¹ 0),

то система несумісна або суперечлива, так як жоден набір чисел x 1 , x 2, ¼, x n не задовольняє цьому рівнянню.

Якщо при перетворенні розширеної матриці системи матриця коефіцієнтів наводиться до ступінчастому увазі і при цьому система не виходить суперечливою, то система сумісна і є невизначеною, тобто має нескінченно багато рішень.

В останній системі можна отримати всі рішення, надаючи конкретні числові значення параметрів З 1 і З 2.

визначення: Ті змінні, коефіцієнти при яких стоять на головній діагоналі ступінчастою матриці (це означає, що ці коефіцієнти відмінні від нуля), називаються про сновном. У розглянутому вище прикладі це невідомі x 1 , x 2 , x 3. Решта змінні називаються неосновними.У розглянутому вище прикладі це змінні x 4, і x 5. Неосновним змінним можна надавати будь-які значення або висловлювати їх через параметри, як це зроблено в останньому прикладі.

Основні змінні єдиним чином виражаються через неосновні змінні.

визначення: Якщо неосновним змінним додані конкретні числові значення і через них виражені основні змінні, то отримане рішення називається приватним рішенням.

визначення: Якщо неосновні змінні виражені через параметри, то виходить рішення, яке називається спільним рішенням.

визначення: Якщо всім неосновним змінним додані нульові значення, то отримане рішення називається базисним.

зауваження: Одну і ту ж систему іноді можна привести до різних наборів основних змінних. Так, наприклад, можна поміняти місцями 3-й і 4-й стовпці в матриці (6). Тоді основними будуть змінні x 1 , x 2 , x 4, а неосновними - x 3 і x 5 .

визначення: Якщо отримані два різних набору основних змінних при різних способах знаходження вирішення однієї і тієї ж системи, то ці набори обов'язково містять одне і те ж число змінних, зване рангом системи.

Розглянемо ще одну систему, що має нескінченно багато рішень: .

Проведемо перетворення розширеної матриці системи за методом Гаусса:

.

Як видно, ми не отримали ступінчастою матриці, проте останню матрицю можна перетворити, помінявши місцями третій і четвертий стовпчики: .

Ця матриця вже є ступінчастою. У відповідній їй системи дві неосновні змінні - x 3 , x 5 і три основні - x 1 , x 2 , x 4. Рішення вихідної системи представляється в наступному вигляді:

Наведемо приклад системи, яка не має рішення:

.

Перетворимо матрицю системи за методом Гаусса:

.

Останній рядок останньої матриці відповідає не має рішення рівняння 0x 1 + 0x 2 + 0x 3 \u003d 1. Отже, вихідна система несумісна.

Лекція № 3.

Тема: Вектори. Скалярний, векторний та мішаний добуток векторів

1. Поняття вектора. Коллінарность, ортогональность і компланарність векторів.

2. Лінійна операція над векторами.

3. Скалярний добуток векторів та його застосування

4. Векторний добуток векторів та його застосування

5. змішане твір векторів і його застосування

1. Поняття вектора.Коллінарность, ортогональность і компланарність векторів.
визначення: Вектором називається спрямований відрізок з початковою точкою А і кінцевою точкою В.

позначення: , ,

визначення: Довжиною або модулем вектора вектора називається число, яке дорівнює довжині відрізка АВ, який зображує вектор.

визначення: Вектор називається нульовим, якщо початок і кінець вектора збігаються.

визначення: Вектор одиничної довжини називається одиничним. визначення: Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих ( || ).

зауваження:

1.Коллінеарние вектори можуть бути спрямовані однаково або протилежно.

2. Нульовий вектор вважається колінеарну будь-якому вектору.

визначення: Два вектора називаються рівними, якщо вони колінеарні,

однаково спрямовані і мають однакові довжини ( = )

система називається спільної, або можливо розв'язати,якщо вона має принаймні одне рішення. система називається несумісною, або нерозв'язною, Якщо вона не має рішень.

Певна, невизначена СЛАР.

Якщо СЛАР має рішення і при тому єдине, то її називають певної а якщо рішення неєдиний - то невизначеною.

МАТРИЧНІ Рівняння

Матриці дають можливість коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь з трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи і матриці стовпці невідомих і вільних членів

знайдемо твір

тобто в результаті твори ми отримуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць дану систему можна записати у вигляді

або коротше A∙X \u003d B.

тут матриці A і B відомі, а матриця X невідома. Її і потрібно знайти, тому що її елементи є вирішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля | A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується таким чином. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, Зворотний матриці A:. оскільки A -1 A \u003d E і E∙X \u003d X, То отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X \u003d A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотний матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричних методом можна вирішувати тільки ті системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих.

формули Крамера

Метод Крамера полягає в тому, що ми послідовно знаходимо головний визначник системи, Тобто визначник матриці А: D \u003d det (a i j) і n допоміжних визначників D i (i \u003d), які виходять з визначника D заміною i-го стовпця стовпцем вільних членів.

Формули Крамера мають вигляд: D × x i \u003d D i (i \u003d).

З цього випливає правило Крамера, яке дає вичерпну відповідь на питання про спільності системи: якщо головний визначник системи відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке визначається за формулами: x i \u003d D i / D.

Якщо головний визначник системи D і всі допоміжні визначники D i \u003d 0 (i \u003d), то система має безліч рішень. Якщо головний визначник системи D \u003d 0, а хоча б один допоміжний визначник відмінний від нуля, то система несумісна.

Теорема (правило Крамера): Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то розглянута система має одне і тільки одне рішення, причому

Доказ: Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь з трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11 елемента a 11, 2-е рівняння - на A 21 і 3-е - на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну з дужок і праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладанні визначника за елементами 1-го стовпця.

Аналогічно можна показати, що і.

Нарешті нескладно помітити, що

Таким чином, отримуємо рівність:. Отже,.

Аналогічно виводяться рівності і, звідки і випливає твердження теореми.

Теорема Кронекера - Капеллі.

Система лінійних рівнянь є спільною тоді і тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення: Воно розпадається на два етапи.

1. Нехай система має рішення. Покажемо, що.

Нехай набір чисел є рішенням системи. Позначимо через -ий стовпець матриці, . Тоді, тобто стовпець вільних членів є лінійною комбінацією стовпців матриці. Нехай. Припустимо, що . тоді по . Виберемо в базисний мінор. Він має порядок. Стовпець вільних членів зобов'язаний проходити через цей мінор, інакше він буде базисним мінор матриці. Стовпець вільних членів в мінорі є лінійною комбінацією стовпців матриці. В силу властивостей визначника, де - визначник, який виходить з мінору заміною стовпця вільних членів на стовпець. Якщо стовпець проходив через мінор M, то в, буде два однакових шпальти і, отже,. Якщо стовпець не проходив через мінор, то буде відрізнятися від мінору порядку r + 1 матриці тільки порядком стовпців. Так як, то. Таким чином,, що суперечить визначенню базисного мінору. Значить, припущення, що, невірно.

2. Нехай. Покажемо, що система має рішення. Так як, то базисний мінор матриці є базисним мінор матриці. Нехай через мінор проходять стовпці . Тоді по теоремі про базисному мінорі в матриці стовпець вільних членів є лінійною комбінацією зазначених стовпців:

(1)

Покладемо,,,, інші невідомі візьмемо рівними нулю. Тоді при цих значеннях отримаємо

В силу рівності (1). Остання рівність означає, що набір чисел є рішенням системи. Існування рішення доведено.

У розглянутій вище системі , І система є спільною. В системі, і система є несумісною.

Зауваження: Хоча теорема Кронекера-Капеллі дає можливість визначити, чи є система спільної, застосовується вона досить рідко, в основному в теоретичних дослідженнях. Причина полягає в тому, що обчислення, які виконуються при знаходженні рангу матриці, в основному збігаються з обчисленнями при знаходженні рішення системи. Тому, зазвичай замість того, щоб знаходити і, шукають рішення системи. Якщо його вдається знайти, то дізнаємося, що система сумісна і одночасно отримуємо її рішення. Якщо рішення не вдається знайти, то робимо висновок, що система несумісна.

Алгоритм знаходження рішень довільної системи лінійних рівнянь (метод Гаусса)

Нехай дана система лінійних рівнянь з невідомими. Потрібно знайти її спільне рішення, якщо вона сумісна, або встановити її несумісні. Метод, який буде викладено в цьому розділі, близький до методу обчислення визначника і до методу знаходження рангу матриці. Пропонований алгоритм називається методом Гаусса або методом послідовного виключення невідомих.

Випишемо розширену матрицю системи

Назвемо елементарними операціями такі дії з матрицями:

1. перестановка рядків;

2. множення рядка на число, відмінне від нуля;

3. складання рядки з іншого рядком, помноженої на число.

Відзначимо, що при вирішенні системи рівнянь, на відміну від обчислення визначника і знаходження рангу, не можна оперувати за допомогою стовпців. Якщо по матриці, отриманої з виконанням елементарної операції, відновити систему рівнянь, то нова система буде рівносильна вихідної.

Мета алгоритму - за допомогою застосування послідовності елементарних операцій до матриці домогтися, щоб кожен рядок, крім, можливо, першою, починалася з нулів, і число нулів до першого ненульового елемента в кожній наступній рядку було більше, ніж у попередній.

Крок алгоритму полягає в наступному. Знаходимо перший ненульовий стовпець у матриці. Нехай це буде стовпець з номером. Знаходимо в ньому ненульовий елемент і рядок з цим елементом міняємо місцями з першим рядком. Щоб не нагромаджувати додаткових позначень, будемо вважати, що така зміна рядків в матриці вже проведена, тобто. Тоді до другої рядку додамо першу, помножену на число, до третьому рядку додамо першу, помножену на число, і т.д. В результаті отримаємо матрицю

(Перші нульові стовпці, як правило, відсутні.)

Якщо в матриці зустрілася рядок з номером k, в якій всі елементи дорівнюють нулю, а, то виконання алгоритму зупиняємо і робимо висновок, що система несумісна. Дійсно, відновлюючи систему рівнянь за розширеною матриці, отримаємо, що -е рівняння матиме вигляд

Цьому рівнянню не задовольняє жоден набір чисел .

Матрицю можна записати у вигляді

По відношенню до матриці виконуємо описаний крок алгоритму. отримуємо матрицю

де,. Цю матрицю знову можна записати у вигляді

і до матриці знову застосуємо описаний вище крок алгоритму.

Процес зупиняється, якщо після виконання чергового кроку нова зменшена матриця складається з одних нулів або якщо вичерпані всі рядки. Зауважимо, що висновок про несумісності системи могло зупинити процес і раніше.

Якби ми не зменшували матрицю, то в підсумку прийшли б до матриці виду

Далі виконується так званий зворотний хід методу Гаусса. По матриці складаємо систему рівнянь. У лівій частині залишаємо невідомі з номерами, що відповідають першим ненульовим елементам в кожному рядку, тобто. Зауважимо, що. Решта невідомі переносимо в праву частину. Вважаючи невідомі в правій частині деякими фіксованими величинами, нескладно висловити через них невідомі лівій частині.

Тепер, надаючи невідомим в правій частині довільні значення і обчислюючи значення змінних лівій частині, ми будемо знаходити різні рішення вихідної системи Ax \u003d b. Щоб записати загальне рішення, потрібно невідомі в правій частині позначити в будь-якому порядку буквами , Включаючи і ті невідомі, які явно не виписані в правій частині через нульові коефіцієнтів, і тоді стовпчик невідомих можна записати у вигляді стовпчика, де кожен елемент буде лінійною комбінацією довільних величин (Зокрема, просто довільною величиною). Ця запис і буде спільним рішенням системи.

Якщо система була однорідною, то отримаємо загальне рішення однорідної системи. Коефіцієнти при, взяті в кожному елементі стовпчика спільного рішення, складуть перше рішення з фундаментальної системи рішень, коефіцієнти при - друге рішення і т.д.

Спосіб 2: Фундаментальну систему рішень однорідної системи можна отримати і іншим способом. Для цього однієї змінної, перенесеної в праву частину, потрібно привласнити значення 1, а іншим - нулі. Зрозумівши значення змінних в лівій частині, отримаємо одне рішення з фундаментальної системи. Присвоївши іншої змінної в правій частині значення 1, а іншим - нулі, отримаємо друге рішення з фундаментальної системи і т.д.

визначення: система називається спільной, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною - в іншому випадку, тобто у разі, коли рішень у системи немає. Питання про те, чи має система рішення чи ні, пов'язаний не тільки з співвідношенням числа рівнянь і числа невідомих. Наприклад, система з трьох рівнянь з двома невідомими

має рішення, і навіть має нескінченно багато рішень, а система з двох рівнянь з трьома невідомими.

……. … ……

A m 1 x 1 + ... + a mn x n \u003d 0

Дана система завжди сумісна так як має тривіальне рішення х 1 \u003d ... \u003d х n \u003d 0

Для існування нетривіальних рішень необхідно і достатньо виконання

словия r \u003d r (A)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

ThСукупність рішень СЛАР утворює лінійний простір розмірності (n-r). Це означає, що твір її рішення на число, а також сума і лінійна комбінація кінцевого числа її рішень є рішеннями цієї системи. Лінійне простір рішень будь-СЛАР є подпространством простору R n.

Будь-яка сукупність (n-r) лінійно незалежних рішень СЛАР (що є базисом в просторі рішень) називається фундаментальної сукупністю рішень (ФСР).

Нехай х 1, ..., х r - базисні невідомі, х r +1, ..., х n - вільні невідомі. Вільним змінним дамо по черзі наступні значення:

……. … ……

A m 1 x 1 + ... + a mn x n \u003d 0

Утворює лінійне простір S (простір рішень), яке є подпространством в R n (n - число невідомих), причому dims \u003d k \u003d n-r, де r- ранг системи. Базис в просторі рішень (x (1), ..., x (k)) називається фундаментальною системою рішень, і спільне рішення має вигляд:

X \u003d c 1 x (1) + ... + c k x (k), c (1), ..., c (k)? R

Системою m лінійних рівнянь з n невідомими називається система виду

де a ij і b i (i=1,…,m; b=1,…,n) - деякі відомі числа, а x 1, ..., x n - невідомі. В позначенні коефіцієнтів a ij перший індекс iпозначає номер рівняння, а другий j - номер невідомого, при якому варто цей коефіцієнт.

Коефіцієнти при невідомих будемо записувати у вигляді матриці , Яку назвемо матрицею системи.

Числа, які стоять в правих частинах рівнянь, b 1, ..., b m називаються вільними членами.

сукупність n чисел c 1, ..., c n називається рішенням даної системи, якщо кожне рівняння системи звертається в рівність після підстановки в нього чисел c 1, ..., c n замість відповідних невідомих x 1, ..., x n.

Наше завдання полягатиме в знаходженні рішень системи. При цьому можуть виникнути три ситуації:

Система лінійних рівнянь, що має хоча б одне рішення, називається спільної. В іншому випадку, тобто якщо система не має рішень, то вона називається несумісною.

Розглянемо способи знаходження рішень системи.


МАТРИЧНИЙ МЕТОД ВИРІШЕННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Матриці дають можливість коротко записати систему лінійних рівнянь. Нехай дана система з 3-х рівнянь з трьома невідомими:

Розглянемо матрицю системи і матриці стовпці невідомих і вільних членів

знайдемо твір

тобто в результаті твори ми отримуємо ліві частини рівнянь даної системи. Тоді користуючись визначенням рівності матриць дану систему можна записати у вигляді

або коротше A∙X \u003d B.

тут матриці A і B відомі, а матриця X невідома. Її і потрібно знайти, тому що її елементи є вирішенням даної системи. Це рівняння називають матричним рівнянням.

Нехай визначник матриці відмінний від нуля | A| ≠ 0. Тоді матричне рівняння вирішується таким чином. Помножимо обидві частини рівняння зліва на матрицю A -1, Зворотний матриці A:. оскільки A -1 A \u003d E і E∙X \u003d X, То отримуємо рішення матричного рівняння у вигляді X \u003d A -1 B .

Зауважимо, що оскільки зворотний матрицю можна знайти тільки для квадратних матриць, то матричних методом можна вирішувати тільки ті системи, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих. Однак, матричний запис системи можлива і в разі, коли число рівнянь не дорівнює числу невідомих, тоді матриця A НЕ буде квадратної і тому не можна знайти рішення системи у вигляді X \u003d A -1 B.

Приклади.Вирішити системи рівнянь.

ПРАВИЛО Крамера

Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Визначник третього порядку, відповідний матриці системи, тобто складений з коефіцієнтів при невідомих,

називається визначником системи.

Складемо ще три визначника наступним чином: замінимо в визначнику D послідовно 1, 2 і 3 стовпці стовпцем вільних членів

Тоді можна довести наступний результат.

Теорема (правило Крамера). Якщо визначник системи Δ ≠ 0, то розглянута система має одне і тільки одне рішення, причому

Доведення. Отже, розглянемо систему 3-х рівнянь з трьома невідомими. Помножимо 1-е рівняння системи на алгебраїчне доповнення A 11 елемента a 11, 2-е рівняння - на A 21 і 3-е - на A 31:

Складемо ці рівняння:

Розглянемо кожну з дужок і праву частину цього рівняння. По теоремі про розкладанні визначника за елементами 1-го стовпця

Аналогічно можна показати, що і.

Нарешті нескладно помітити, що

Таким чином, отримуємо рівність:.

Отже,.

Аналогічно виводяться рівності і, звідки і випливає твердження теореми.

Таким чином, зауважимо, що якщо визначник системи Δ ≠ 0, то система має єдине рішення і назад. Якщо ж визначник системи дорівнює нулю, то система або має безліч рішень, або не має рішень, тобто несовместна.

Приклади.Вирішити систему рівнянь


Метод Гаусса

Раніше розглянуті методи можна застосовувати при вирішенні лише тих систем, в яких число рівнянь збігається з числом невідомих, причому визначник системи повинен бути відмінний від нуля. Метод Гаусса є більш універсальним і придатний для систем з будь-яким числом рівнянь. Він полягає в послідовному виключенні невідомих з рівнянь системи.

Знову розглянемо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими:

.

Перше рівняння залишимо без зміни, а з 2-го і 3-го виключимо складові, які містять x 1. Для цього друге рівняння розділимо на а 21 і помножимо на - а 11, а потім складемо з 1-им рівнянням. Аналогічно третє рівняння розділимо на а 31 і помножимо на - а 11, а потім складемо з першим. В результаті вихідна система набуде вигляду:

Тепер з останнього рівняння виключимо доданок, що містить x 2. Для цього третє рівняння розділимо на, помножимо на і складемо з другим. Тоді матимемо систему рівнянь:

Звідси з останнього рівняння легко знайти x 3, Потім з 2-го рівняння x 2 і, нарешті, з 1-го - x 1.

При використанні методу Гаусса рівняння при необхідності можна міняти місцями.

Часто замість того, щоб писати нову систему рівнянь, обмежуються тим, що виписують розширену матрицю системи:

і потім приводять її до трикутного або діагонального вигляду за допомогою елементарних перетворень.

До елементарним перетворенням матриці відносяться такі перетворення:

  1. перестановка рядків або стовпців;
  2. множення рядка на число, відмінне від нуля;
  3. поповнення лише до рядку інші рядки.

приклади: Вирішити системи рівнянь методом Гаусса.


Таким чином, система має безліч рішень.

  • системи m лінійних рівнянь з n невідомими.
    Рішення системи лінійних рівнянь - це така безліч чисел ( x 1, x 2, ..., x n), При підстановці яких в кожне з рівнянь системи виходить правильне рівність.
    де a ij, i \u003d 1, ..., m; j \u003d 1, ..., n - коефіцієнти системи;
    b i, i \u003d 1, ..., m - вільні члени;
    x j, j \u003d 1, ..., n - невідомі.
    Вищенаведена система може бути записана в матричному вигляді: A · X \u003d B,




    де ( A|B) - основна матриця системи;
    A - розширена матриця системи;
    X - стовпець невідомих;
    B - стовпець вільних членів.
    якщо матриця B не є нуль-матрицею ∅, то дана система лінійних рівнянь називається неоднорідною.
    якщо матриця B \u003d ∅, то дана система лінійних рівнянь називається однорідною. Однорідна система завжди має нульове (тривіальне) рішення: x 1 \u003d x 2 \u003d ..., x n \u003d 0.
    Спільна система лінійних рівнянь - це має рішення система лінійних рівнянь.
    Несумісної системи лінійних рівнянь - це не має рішення система лінійних рівнянь.
    Певна система лінійних рівнянь - це має єдине рішення система лінійних рівнянь.
    Невизначена система лінійних рівнянь - це має безліч рішень система лінійних рівнянь.
  • Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
    Якщо число невідомих дорівнює числу рівнянь, то матриця - квадратна. Визначник матриці називається головним визначником системи лінійних рівнянь і позначається символом Δ.
    метод Крамера для вирішення систем n лінійних рівнянь з n невідомими.
    Правило Крамера.
    Якщо головний визначник системи лінійних рівнянь не дорівнює нулю, то система сумісна і визначена, причому єдине рішення обчислюється за формулами Крамера:
    де Δ i - визначники, одержувані з головного визначника системи Δ заміною i-го стовпця на стовпець вільних членів. .
  • Системи m лінійних рівнянь з n невідомими
    Теорема Кронекера-Капеллі.


    Для того щоб дана система лінійних рівнянь була спільної, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці системи, rang (Α) \u003d rang (Α | B).
    якщо rang (Α) ≠ rang (Α | B), То система свідомо не має рішень.
    Eсли rang (Α) \u003d rang (Α | B), То можливі два випадки:
    1) rang (Α) \u003d n (Числу невідомих) - рішення єдино і може бути отримано за формулами Крамера;
    2) rang (Α)< n - рішень нескінченно багато.
  • метод Гаусса для вирішення систем лінійних рівнянь


    Складемо розширену матрицю ( A|B) Даної системи з коефіцієнтів при невідомих і правих частин.
    Метод Гаусса або метод виключення невідомих полягає у приведенні розширеної матриці ( A|B) За допомогою елементарних перетворень над її рядками до діагонального вигляду (до верхнього трикутного вигляду). Повертаючись до системи рівнянь, визначають всі невідомі.
    До елементарним перетворенням над рядками відносяться наступні:
    1) зміна місцями двох рядків;
    2) множення рядка на число, відмінне від 0;
    3) додаток до рядка іншого рядка, помноженої на довільне число;
    4) викидання нульовий рядки.
    Розширеної матриці, наведеної до діагонального вигляду, відповідає лінійна система, еквівалентна даній, рішення якої не викликає ускладнень. .
  • Система однорідних лінійних рівнянь.
    Однорідна система має вигляд:

    їй відповідає матричне рівняння A · X \u003d 0.
    1) Однорідна система завжди сумісна, так як r (A) \u003d r (A | B), Завжди існує нульовий розв'язок (0, 0, ..., 0).
    2) Для того щоб однорідна система мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб r \u003d r (A)< n , Що рівносильно Δ \u003d 0.
    3) Якщо r< n , То свідомо Δ \u003d 0, тоді виникають вільні невідомі c 1, c 2, ..., c n-r, Система має нетривіальні рішення, причому їх нескінченно багато.
    4) Загальне рішення X при r< n може бути записано в матричному вигляді наступним чином:
    X \u003d c 1 · X 1 + c 2 · X 2 + ... + c n-r · X n-r,
    де рішення X 1, X 2, ..., X n-r утворюють фундаментальну систему рішень.
    5) Фундаментальна система рішень може бути отримана із загального рішення однорідної системи:

    ,
    якщо послідовно вважати значення параметрів рівними (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1).
    Розкладання загального рішення з фундаментальної системі рішень - це запис спільного рішення в вигляді лінійної комбінації рішень, що належать до фундаментальної системі.
    теорема. Для того, щоб система лінійних однорідних рівнянь мала нульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ ≠ 0.
    Отже, якщо визначник Δ ≠ 0, то система має єдине рішення.
    Якщо ж Δ ≠ 0, то система лінійних однорідних рівнянь має безліч рішень.
    теорема. Для того щоб однорідна система мала ненульовий розв'язок, необхідно і достатньо, щоб r (A)< n .
    Доведення:
    1) r не може бути більше n (Ранг матриці не перевищує числа стовпців або рядків);
    2) r< n , Тому що якщо r \u003d n, То головний визначник системи Δ ≠ 0, і, за формулами Крамера, існує єдине тривіальне рішення x 1 \u003d x 2 \u003d ... \u003d x n \u003d 0, Що суперечить умові. значить, r (A)< n .
    слідство. Для того щоб однорідна система n лінійних рівнянь з n невідомими мала нульове рішення, необхідно і достатньо, щоб Δ \u003d 0.