Як запам'ятати формули приведення тригонометричних функцій? Це легко, якщо використовувати ассоціацію.Данная асоціація придумана не мною. Як вже говорилося, хороша асоціація повинна «чіпляти», тобто викликати яскраві емоції. Не можу назвати емоції, викликані цією асоціацією, позитивними. Але вона дає результат - дозволяє запам'ятовувати формули приведення, а значить, має право на існування. Зрештою, якщо вона вам не сподобається, ви ж її можете не використовувати, правильно?

Формули приведення мають вигляд: sin (πn / 2 ± α), cos (πn / 2 ± α), tg (πn / 2 ± α), ctg (πn / 2 ± α). Запам'ятовуємо, що + α дає рух проти годинникової стрілки, - α - рух за годинниковою стрілкою.

Для роботи з формулами приведення потрібні два пункти:

1) ставимо знак, який має початкова функція (у підручниках пишуть: що приводиться. Але, щоб не заплутатися, краще назвати її початкової), якщо вважати α кутом I чверті, тобто маленьким.

2) Горизонтальний діаметр - π ± α, 2π ± α, 3π ± α ... - загалом, коли немає дроби - назва функції не змінює. Вертикальний π / 2 ± α, 3π / 2 ± α, 5π / 2 ± α ... - коли дріб є - назва функції змінює: синус - на косинус, косинус - на синус, тангенс - на котангенс і котангенс - на тангенс.

Тепер, власне, асоціація:

вертикальний діаметр (є дріб) -

п'яний варто. Що з ним трапиться рано

чи пізно? Правильно, впаде.

Назва функції зміниться.

Якщо ж діаметр горизонтальний - п'яний вже лежить. Спить, напевно. З ним вже нічого не трапиться, він уже прийняв горизонтальне положення. Відповідно, назва функції не змінюється.

Тобто sin (π / 2 ± α), sin (3π / 2 ± α), sin (5π / 2 ± α) і т.д. дають ± cosα,

а sin (π ± α), sin (2π ± α), sin (3π ± α), ... - ± sinα.

Як, вже знаємо.

Як це працює? Дивимося на прикладах.

1) cos (π / 2 + α) \u003d?

Стаємо на π / 2. Оскільки + α - значить, йдемо вперед, проти годинникової стрілки. Потрапляємо в II чверть, де косинус має знак «-«. Назва функції змінюється ( «п'яний варто», значить - впаде). Отже,

cos (π / 2 + α) \u003d - sin α.

Стаємо на 2π. Так як -α - йдемо назад, тобто за годинниковою стрілкою. Потрапляємо в IV чверть, де тангенс має знак «-«. Назва функції не змінюється (діаметр горизонтальний, «п'яний вже лежить»). Таким чином, tg (2π-α) \u003d - tgα.

3) ctg² (3π / 2-α) \u003d?

Приклади, в яких функція зводиться в парну ступінь, вирішуються ще простіше. Парна ступінь «-» прибирає, тобто треба тільки з'ясувати, змінюється назва функції або залишається. Діаметр вертикальний (є дріб, «п'яний варто», впаде), назва функції змінюється. Отримуємо: ctg² (3π / 2-α) \u003d tg²α.

Як не заучувати формули приведення.

при вирішенні тригонометричних рівнянь або вчиненні тригонометричних перетворень насамперед потрібно мінімізувати кількість різних аргументів тригонометричних функцій. Для цього потрібно все кути привести до кутів першої чверті, скориставшись формулами приведення. Я хочу познайомити вас з мнемонічним правилом, Яке дозволяє не заучувати. Це правило в жарт називається "Кінське правило".

У цьому відеоуроки я розповім, як користуватися цим правилом: приводити тригонометричну функцію довільного кута до кута першої чверті, звільнивши себе від необхідності запам'ятовувати формули приведення:

Отже, " кінське правило "Звучить так:

Якщо ми відкладаємо кут від вертикальної осі, Кінь каже "так" (киваємо головою уздовж осі OY) і приводиться функція змінює свою назву: Синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

Якщо ми відкладаємо кут від горизонтальній осі, Кінь каже "ні" (киваємо головою уздовж осі OХ) і приводиться функція не змінює свою назву.

Знак правій частині рівності збігається зі знаком приводиться функції, що стоїть в лівій частині рівності.

Наведу кілька прикладів використання формул приведення:

1 . Знайти значення виразу:

1. Виділимо цілу частину в дробу:

2. Так як період функції дорівнює, виділимо "холості оберти":

Тепер наш аргумент знаходиться в межах від нуля до, і саме час застосувати "кінське правило":

Щоб потрапити в точку, відповідну куту повороту на, ми спочатку робимо поворот на радіан, а потім з цієї точки відкладає кут радіан:

Ми відклали кут від горизонтальної осі (кінь каже "ні") - не змінює свою назву, кут розташований в третій чверті, в якій косинус негативний, отже приводиться функція негативна. отримуємо:

2 . Знайти значення виразу:

Розберемося окремо з кожною функцією:

Ми спочатку робимо поворот на радіан, а потім відкладаємо кут 1 радіан від вертикальної осі в негативному напрямку і потрапляємо в третю чверть:

Отже, що приводиться функція змінює свою назву, що приводиться функція більше нуля (тангенс кута третьої чверті більше нуля): .

Спочатку робимо поворот на радіан, а потім з цієї точки рухаємося на 1 радіан в негативному напрямку. Відкладаємо кут 1 радіан від горизонтальної осі (синус не змінює свою назву) і потрапляємо в другу чверть, в якій синус більше нуля:

Для використання формул приведення існує два правила.

1. Якщо кут можна представити у вигляді (π / 2 ± a) або (3 * π / 2 ± a), то назва функції змінюється sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Якщо ж кут можна представити у вигляді (π ± a) або (2 * π ± a), то назва функції залишається без змін.

Подивіться на малюнок нижче, там схематично зображено, коли слід міняти знак, а коли ні.

2. Правило «яким ти був, таким ти і залишився».

Знак наведеної функції залишається колишнім. Якщо початкова функція мала знак «плюс», то і наведена функція має знак «плюс». Якщо початкова функція мала знак «мінус», то і наведена функція має знак «мінус».

На малюнку нижче представлені знаки основних тригонометричних функцій в залежності від чверті.

Обчислити Sin (150˚)

Скористаємося формулами приведення:

Sin (150˚) знаходиться в другій чверті, по малюнку бачимо що знак sin в цій чверті дорівнює +. Значить у наведеній функції теж буде знак «плюс». Це ми застосували друге правило.

Тепер 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ це π / 2. Тобто маємо справу з випадком π / 2 + 60, отже за першим правилом міняємо функцію з sin на cos. У підсумку отримуємо Sin (150˚) \u003d cos (60˚) \u003d ½.

При бажанні все формули приведення можна звести в одну таблицю. Але все ж легше запам'ятати ці два правила і користуватися ними.

Потрібна допомога в навчанні?



Попередня тема:

Дана стаття присвячена детальному вивченню тригонометричних формул приведення. Дан повний список формул приведення, показані приклади їх використання, наведено доказ вірності формул. Також в статті дано мнемонічне правило, яке дозволяє виводити формули приведення, що не запам'ятовуючи кожну формулу.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Формули приведення. перелік

Фомули приведення дозволяють приводити основні тригонометричні функції кутів довільної величини до функцій кутів, що лежать в інтервалі від 0 до 90 градусів (від 0 до π 2 радіан). Оперувати кутами від 0 до 90 градусів набагато зручніше, ніж працювати з як завгодно великими значеннями, тому формули приведення широко застосовуються при вирішенні завдань тригонометрії.

Перш, ніж ми запишемо самі формули, уточнимо кілька важливих для розуміння моментів.

  • Аргументами тригонометричних функцій у формулах приведення є угди виду ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Тут z - будь-яке ціле число, а α - довільний кут повороту.
  • Не обов'язково вчити всі формули приведення, кількість яких досить переконливо. Існує мнемонічне правило, которо дозволяє легко вивести потрібну формулу. Мова про мнемонічному правилі піде пізніше.

Тепер перейдемо безпосередньо до формул приведення.

Формули приведення дозволяють переходити від роботи з довільними і як завгодно великими кутами до роботи з кутами в межах від 0 до 90 градусів. запишемо все формули у вигляді таблиці.

формули приведення

sin α + 2 π z \u003d sin α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, ctg α + 2 π z \u003d ctg α sin - α + 2 π z \u003d - sin α, cos - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α sin π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - sin α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d sin α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg π 2 - α + 2 π z \u003d tg α sin π + α + 2 π z \u003d - sin α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + α + 2 π z \u003d tg α, ctg π + α + 2 π z \u003d ctg α sin π - α + 2 π z \u003d sin α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + α + 2 π z \u003d sin α tg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - ctg α, ctg 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α sin 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - sin α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

В даному випадку формули записані з радіанами. Однак можна записати їх і з використанням градусів. Досить тільки перевести радіани в градуси, замінивши π на 180 градусів.

Приклади використання формул приведення

Покажемо, як користуватися формулами приведення і як зазначені формули застосовуються при вирішенні практичних прикладів.

Кут під знаком тригонометричної функції можна уявити не одним, а безліччю способів. Наприклад, аргумент тригонометричної функції може бути представлений в видах ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Продемонструємо це.

Візьмемо кут α \u003d 16 π 3. Це кут можна записати так:

α \u003d 16 π 3 \u003d π + π 3 + 2 π · 2 α \u003d 16 π 3 \u003d - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200bα \u003d 16 π 3 \u003d 3 π 2 - π 6 + 2 π

Залежно від уявлення кута використовується відповідна формула приведення.

Візьмемо той же кут α \u003d 16 π 3 і обчислимо його тангенс

Приклад 1. Використання формул приведення

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d?

Уявімо кут α \u003d 16 π 3 у вигляді α \u003d π + π 3 + 2 π · 2

Цьому поданням кута буде відповідати формула приведення

t g (π + α + 2 π z) \u003d t g α

t g 16 π 3 \u003d t g π + π 3 + 2 π · 2 \u003d t g π 3

Скориставшись таблицею, вкажемо значення тангенса

Тепер використовуємо інше уявлення кута α \u003d 16 π 3.

Приклад 2. Використання формул приведення

α \u003d 16 π 3, t g α \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200bt g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200b\u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Нарешті, для третього подання кута запишемо

Приклад 3. Використання формул приведення

α \u003d 16 π 3 \u003d 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z \u003d c t g α t g α \u003d t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) \u003d c t g π 6 \u003d 3

Тепер наведемо приклад на використання формул приведення складніше

Приклад 4. Використання формул приведення

Уявімо sin 197 ° через синус і косинус гострого кута.

Для того, щоб можна було застосовувати формули приведення, потрібно уявити кут α \u003d 197 ° в одному з видів

± α + 360 ° · z, 90 ° ± α + 360 ° · z, 180 ° ± α + 360 ° · z, 270 ° ± α + 360 ° · z. Згідно з умовою задачі, кут повинен бути гострим. Відповідно, у нас є два способи для його уявлення:

197 ° \u003d 180 ° + 17 ° 197 ° \u003d 270 ° - 73 °

отримуємо

sin 197 ° \u003d sin (180 ° + 17 °) sin 197 ° \u003d sin (270 ° - 73 °)

Тепер подивимося на формули приведення для синусів і виберемо відповідні

sin (π + α + 2 πz) \u003d - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) \u003d - cosα sin 197 ° \u003d sin (180 ° + 17 ° + 360 ° · z) \u003d - sin 17 ° sin 197 ° \u003d sin (270 ° - 73 ° +360 ° · z) \u003d - cos 73 °

мнемонічне правило

Формул приведення багато, і, на щастя, немає необхідності заучувати їх напам'ять. Існують закономірності, за якими можна виводити формули приведення для різних кутів і тригонометричних функцій. Ці закономірності називаються мнемонічним правилом. Мнемоніка - мистецтво запам'ятовування. Мнемонічне правило складається з трьох частин, або містить три етапи.

мнемонічне правило

1. Аргумент вихідної функції представляється в одному з видів

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Кут α повинен лежати в межах від 0 до 90 градусів.

2. Визначається знак вихідної тригонометричної функції. Такий же знак матиме функція, що записується в правій частині формули.

3. Для кутів ± α + 2 πz і π ± α + 2 πz назву вихідної функції залишається незмінним, а для кутів π 2 ± α + 2 πz і 3 π 2 ± α + 2 πz відповідно змінюється на "кофункцію". Синус - на косинус. Тангенс - на котангенс.

Щоб користуватися мнемонічним праілом для формул приведення потрібно вміти визначати знаки тригонометричних функцій по чвертях одиничному колі. Розберемо приклади застосування мнемонічного правила.

Приклад 1. Використання мнемонічного правила

Запишемо формули приведення для cos π 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. α - улог першої чверті.

1. Так як за умовою α - улог першої чверті, ми пропускаємо перший пункт правила.

2. Визначимо знаки функцій cos π 2 - α + 2 πz і t g π - α + 2 πz. Кут π 2 - α + 2 πz також є кутом першої чверті, а кут π - α + 2 πz знаходиться в другій чверті. У першій чверті функція косинуса позитивна, а тангенс у другій чверті має знак мінус. Запишемо, як будуть виглядати шукані формули на цьому етапі.

cos π 2 - α + 2 πz \u003d + t g π - α + 2 πz \u003d -

3. Згідно з третім пункту для кута π 2 - α + 2 π назва функції змінюється на Конфуція, а для кута π - α + 2 πz залишається колишнім. запишемо:

cos π 2 - α + 2 πz \u003d + sin α t g π - α + 2 πz \u003d - t g α

А тепер зазирнемо в формули, наведені вище, і переконаємося в тому, що мнемонічне правило працює.

Розглянемо приклад з конкретним кутом α \u003d 777 °. Наведемо синус альфа до тригонометричної функції гострого кута.

Приклад 2. Використання мнемонічного правила

1. Уявімо углол α \u003d 777 ° в необхідному вигляді

777 ° \u003d 57 ° + 360 ° · 2 777 ° \u003d 90 ° - 33 ° +360 ° · 2

2. Вихідний кут - кут першої чверті. Значить, синус кута має позитивний знак. У підсумку маємо:

3. sin 777 ° \u003d sin (57 ° + 360 ° · 2) \u003d sin 57 ° sin 777 ° \u003d sin (90 ° - 33 ° +360 ° · 2) \u003d cos 33 °

Тепер розглянемо приклад, який показує, як важливо правильно визначити знак тригонометричної функції і правильно представити кут при використанні мнемонічного правила. Повторимо ще раз.

Важливо!

Кут α повинен бути гострим!

Обчислимо тангенс кута 5 π 3. З таблиці значень основних тригонометричних функцій можна відразу взяти значення t g 5 π 3 \u003d - 3, але ми застосуємо мнемонічне правило.

Приклад 3. Використання мнемонічного правила

Уявімо кут α \u003d 5 π 3 в необхідному вигляді і скористаємося правилом

t g 5 π 3 \u003d t g 3 π 2 + π 6 \u003d - c t g π 6 \u003d - 3 t g 5 π 3 \u003d t g 2 π - π 3 \u003d - t g π 3 \u003d - 3

Якщо ж уявити кут альфа у вигляді 5 π 3 \u003d π + 2 π 3, то результат прімененіея мнемонічного правила буде невірним.

t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Невірний результат обумовлений тим, що кут 2 π 3 НЕ явдяєтся гострим.

Доказ формул приведення грунтується на властивостях періодичності і симетричності тригонометричних функцій, а також на властивості зсуву на кути π 2 і 3 π 2. Доказ справедливості всіх формул приведення иожно проводити без урахування доданка 2 πz, так як воно позначає зміна кута на ціле число повних обертів і якраз відображає властивість періодичності.

Перші 16 формул слідують безпосередньо з властивостей основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса і котанганса.

Наведемо доказ формул приведення для синусів і косинусів

sin π 2 + α \u003d cos α і cos π 2 + α \u003d - sin α

Подивимося на одиничну окружність, початкова точка якої після повоторота на кут α перейшла в точку A 1 x, y, а після повороту на кут π 2 + α - в точку A 2. З обох точок проведемо перпендикуляри до осі абсцис.

Два прямокутних трикутника O A 1 H 1 і O A 2 H 2 рівні по гіпотенузі і прилеглим до неї кутам. З розташування точок на колі і рівності трикутників можна зробити висновок про те, що точка A 2 має координати A 2 - y, x. Використовуючи визначення синуса і косинуса, запишемо:

sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + α \u003d x, cos π 2 + α \u003d y

sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + α \u003d - sin α

З урахуванням основних тотожностей тригонометрії і тільки що доведеного, можна записати

tg π 2 + α \u003d sin π 2 + α cos π 2 + α \u003d cos α - sin α \u003d - ctg α ctg π 2 + α \u003d cos π 2 + α sin π 2 + α \u003d - sin α cos α \u003d - tg α

Для доказу формул приведення з аргументом π 2 - α його необхідно представити у вигляді π 2 + (- α). наприклад:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - sin (- α) \u003d sin α

У доказі використовуються властивості тригонометричних функцій з аргументами, протилежними за знаком.

Всі інші формули приведення можна довести на базі записаних вище.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl + Enter

Визначення. Формулами приведення називають формули, які дозволяють перейти від тригонометричних функцій виду до функцій аргументу. З їх допомогою синус, косинус, тангенс і котангенс довільного кута можна привести до синусу, косинусу, тангенсу і котангенс кута з інтервалу від 0 до 90 градусів (від 0 до радіан). Таким чином, формули приведення дозволяють нам переходити до роботи з кутами в межах 90 градусів, що, безсумнівно, дуже зручно.

Формули приведення:


Для використання формул приведення існує два правила.

1. Якщо кут можна представити у вигляді (π / 2 ± a) або (3 * π / 2 ± a), то назва функції змінюєтьсяsin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg. Якщо ж кут можна представити у вигляді (π ± a) або (2 * π ± a), то назва функції залишається без змін.

Подивіться на малюнок нижче, там схематично зображено, коли слід міняти знак, а коли немає

2. Знак наведеної функції залишається колишнім. Якщо початкова функція мала знак «плюс», то і наведена функція має знак «плюс». Якщо початкова функція мала знак «мінус», то і наведена функція має знак «мінус».

На малюнку нижче представлені знаки основних тригонометричних функцій в залежності від чверті.

приклад:

обчислити

Скористаємося формулами приведення:

Sin (150˚) знаходиться в другій чверті, по малюнку бачимо що знак sin в цій чверті дорівнює "+". Значить у наведеній функції теж буде знак «+». Це ми застосували друге правило.

Тепер 150˚ \u003d 90˚ + 60˚. 90˚ це π / 2. Тобто маємо справу з випадком π / 2 + 60, отже за першим правилом міняємо функцію з sin на cos. У підсумку отримуємо Sin (150˚) \u003d cos (60˚) \u003d ½.