Представяне на темата "История на създаването на математически анализ". Математически анализ Историята на развитието на математическия анализ накратко

Съдържанието на статията

История на математиката.Най-древния математическа активност Имаше фактура. Сметката е необходима, за да следва добитъка и търговията. Някои примитивни племена преброиха броя на елементите, които ги корелират с различни части на тялото, главно пръсти и крака. Скалния модел, запазен в нашето време от каменната ера, изобразява броя 35 под формата на серия от пръсти, подредени на 35. Първият значителен успех в аритметиката е концептуализацията на броя и изобретението на четири основни действия: добавяне, изваждане, умножение и разделение. Първите постижения на геометрията са свързани с такива прости концепции като пряк и кръг. По-нататъшното развитие на математиката започва приблизително 3000 г. пр. Хр. Благодарение на вавилонците и египтяните.

Вавилон и Египет

Вавилония.

Източникът на нашите познания за вавилонската цивилизация е добре запазени глинени плочи, обхванати от така наречените Klox текстовете, които са от 2000 г. пр. Хр. и до 300 реклама Математиката върху клинокс знаците е свързана главно с управлението на икономиката. Аритметични и не-твърди алгебра са използвани при обмен на пари и изчисления за стоки, изчисляване на прости и сложни лихви, данъци и реколта, предадени на държавата, храма или собственика на земята. Многобройни аритметични и геометрични задачи възникват във връзка с изграждането на канали, зърнохранилища и други обществени работи. Много важна задача на математиката е изчисляването на календара, тъй като календарът е бил използван за определяне на условията на селскостопанската работа и религиозните празници. Разделянето на обиколката е 360, а степените и моментите на 60-те части произхождат от вавилонската астрономия.

Вавилонците създадоха и цифрова система, използвана за номера от 1 до 59. Символът, обозначен с един, се повтаря желаният брой пъти за числа от 1 до 9. за обозначаване на числа от 11 до 59, вавилонците са използвали комбинация от броя на броя на 10 символа и един символ. За да определите номера от 60 и повече вавилонци въведоха система за позиционен номер с база 60. Позиционният принцип е значителна промоция, според която един и същ числен знак (символ) има различни значения в зависимост от мястото, където се намира. Пример за това е стойностите на шестте в записа (модерен) номер 606. Въпреки това, нула в системата на древните вавилонци отсъства, поради което един и същ набор от герои може да означава номер 65 (60 +) 5), и номер 3605 (60 2 + 0 + 5). При тълкуването на фракциите са възникнали неясноти. Например, същите символи могат да означават номер 21 и фракцията 21/60 и (20/60 + 1/60 2). Неяснотата беше разрешена в зависимост от конкретния контекст.

Вавилонците съставляват таблиците с обратни номера (които бяха използвани при изпълнението на разделение), маси от квадрати и квадратни корени, както и маси на кубчета и кубични корени. Те знаеха добро приближение на номера. Klox текстовете, посветени на решението на алгебрични и геометрични проблеми, показват, че използват квадратичната формула за решаване на квадратни уравнения и могат да разрешат някои специални видове задачи, които включват до десет уравнения с десет неизвестни, както и определени видове кубични уравнения и четвъртата степен на уравнения. На глинени знаци, само задачите и основните стъпки на процедурите за тяхното решение са заловени. Тъй като геометричната терминология е била използвана за обозначаване на неизвестни стойности, методите на решенията се извършват главно в геометрични действия с линии и зони. Що се отнася до алгебричните проблеми, те са формулирани и са решени в словесната нотация.

Около 700 г. пр. Хр Вавилонците започнаха да прилагат математиката, за да изучават движенията на Луната и планетите. Това им позволи да предскажат позициите на планетите, което беше важно както за астрологията, така и за астрономията.

В геометрията Вавилонците знаеха за такива отношения, например, като пропорционалността на съответните страни в подобни триъгълници. Те бяха известни на теоремата на Питагор и фактът, че ъгълът, вписан в полукръга, е прав. Те също така са правила за изчисляване на зони с прости плоски фигури, включително правилните полигони и обеми на прости тела. Номер пс. Вавилонците се считат за 3.

Египет.

Нашите познания за древната египетска математика се основават главно на два папирус от около 1700 г. пр. Хр. Според тези папирусна математическа информация се връщат към още по-ранен период - прибл. 3500 г. пр. Хр Египтяните използват математика за изчисляване на теглото на телата, площта на културите и обемите на зърнохранилищата, размера на филтрите и броя на камъните, необходими за изграждането на определени структури. В Папирус можете да намерите и проблеми, свързани с определянето на количеството зърно, необходимо за приготвянето на даден брой кръгове за бира, както и по-сложни задачи, свързани с разликата в сортовете зърно; За тези случаи бяха изчислени преведени коефициенти.

Но основната област на прилагане на математиката е астрономия, по-точно, изчисленията, свързани с календара. Календарът беше използван за определяне на датите на религиозните празници и прогнозите на годишните разливи на Нил. Нивото на развитие на астрономията в Древен Египет обаче беше много по-ниско от нивото на неговото развитие във Вавилон.

Древното египетско писане се основава на йероглифи. Системата за операция на този период също е по-ниска от вавилонския. Египтяните използват непаслата десетична система, в която числата от 1 до 9 са означени със съответния брой вертикални капки и са въведени индивидуални символи за последователни степени на числото 10. Постоянно комбиниране на тези знаци е възможно да се напише произволен номер. С появата на папируса, така наречената йератична буква, допринасяйки, от своя страна, появата на нова цифрова система. За всеки от числата от 1 до 9 и за всеки от първите девет множествени номера 10, 100 и др. Използван е специален идентификационен характер. Фракциите бяха записани под формата на фракции с числител, равен на един. При такива фракции египтяните произвеждат всичките четири аритметични операции, но процедурата за такива изчисления остава много тромава.

Геометрията в египтяните се свежда до изчисленията на областите на правоъгълници, триъгълници, трапецоиди, кръг, както и формули за изчисляване на някои тела. Трябва да се каже, че математикът, който египтяните, използвани в изграждането на пирамидите, е прост и примитивен.

Задачите и решенията, дадени в папирус, се формулират чисто рецепта, без никакво обяснение. Египтяните се разглеждат само с най-простите видове квадратни уравнения и аритметични и геометрични прогресии и следователно тези общи правила са били в състояние да изтеглят и най-простите видове. Нито вавилонски, нито египетски математици са имали общи методи; Целият набор от математическо знание е натрупването на емпирични формули и правила.

Въпреки че Мая, която е живяла в Централна Америка, не се отрази на развитието на математиката, техните постижения, свързани с около 4 ° С., заслужават внимание. Мая изглежда е първата, която използва специален символ, за да обозначи нула в своя двадесет и стара система. Те имаха две системи за номериране: йероглифите бяха използвани в едно, и в друго, по-често, точката показва единицата, хоризонталната линия - номер 5 и символът показва нула. Позиционната нотация започна с номер 20 и номерата бяха записани вертикално от горе до долу.

Гръцка математика

Класическа Гърция.

От гледна точка на 20-ти век. Двойните свещеници на математиката бяха гърците от класическия период (6-4 век. Пр. Хр.). Математиката, която съществува в по-ранен период, е набор от емпирични заключения. Напротив, при дедуктивни разсъждения, ново изявление произтича от получените парцели по начин, с изключение на възможността за нейното отхвърляне.

Откриването на гърците върху дедуктивното доказателство беше извънредна стъпка. Никоя друга цивилизация не достигна идеята за получаване на заключения единствено въз основа на дедуктивни аргументи, произхождащи от изрично формулирани от аксиоми. Едно от обясненията на гръцкия ангажимент към методите за приспадане, които откриваме в устройството на гръцкото общество на класическия период. Математиката и философите (често са имали същите лица) принадлежали на най-високите части на обществото, където всяка практическа дейност се счита за недостойна професия. Математиката предпочита абстрактно разсъждение за номерата и пространствените отношения за решаване на практически задачи. Математика, споделена на аритметика - теоретичен аспект и логистиката е изчислителен аспект. Логистиката е предоставена заобразни по-ниски класове и роби.

Дедуктивната природа на гръцката математика е напълно оформена по времето на Платон и Аристотел. Изобретяването на дедуктивната математика е обичайно за атрибут Fales Miletsky (около 640-546 г. пр. Хр.), Коя, както и много древна гръцка математика на класическия период, също е философ. Беше предложено, че FALES използва приспадане, за да докаже някои резултати в геометрията, въпреки че е съмнително.

Друг голям гръцки, чието име е свързано с развитието на математиката, е Pythagoras (около 585-500 г. пр. Хр.). Смята се, че той може да се запознае с вавилонската и египетската математика по време на дългите си скитания. Pythagoras основава движение, чието процъфтяване пада за периода прибл. 550-300 г. пр. Хр Питагорейците създадоха чиста математика под формата на теория на числата и геометрията. В цели числа, те представлявали под формата на конфигурации от точки или камъчета, класифицират тези номера в съответствие с формата на нововъзникващи фигури ("фигури"). Думата "изчисление" (изчисление, изчисление) произхожда от гръцката дума, която означава "камъчета". Числа 3, 6, 10 и др. Питагорейците се наричат \u200b\u200bтриъгълни, тъй като съответният брой камъчета може да бъде разположен като триъгълник, числа 4, 9, 16 и др. - квадрат, тъй като съответният брой камъчета може да бъде позициониран под формата на квадрат и т.н.

От простите геометрични конфигурации се наблюдават някои свойства на цели числа. Например, питагорейците установиха, че сумата от две последователни триъгълни числа винаги е равна на определен квадратен номер. Те открили, че ако (в съвременни символи) н. 2 - квадратен номер, тогава н. 2 + 2н. +1 = (н. + 1) 2. Броят, равен на сумата на всичките си собствени делители, с изключение на този номер, питагеровите се наричаха перфектно. Примери за перфектни номера могат да служат като цели числа като 6, 28 и 496. Два номера на питагорейците се наричат \u200b\u200bприятелски, ако всеки от числата е равен на количеството на други делители; Например, 220 и 284-приятелски числа (и тук самият номер е изключен от собствените си дивизори).

За питагорейците всеки номер е повече от количествена стойност. Например, числото 2 според външния им вид означава разликата и следователно идентифицирана със становището. Четири представиха справедливост, тъй като това е първото число, равно на работата на два идентични фактора.

Питагорейците също откриха, че сумата на някои двойки квадратни номера отново е квадратен номер. Например, сума 9 и 16 е 25, и количество 25 и 144 е 169. Такива три числа, като 3, 4 и 5, или 5, 12 и 13, се наричат \u200b\u200bпитагори. Те имат геометрична интерпретация, ако две числа от топ три приравняват дължините на катетите правоъгълен триъгълникТретото число ще бъде равно на дължината на хипотенузата си. Очевидно това тълкуване е довело на питагорейците за осъзнаването на по-общ факт, известен на теоремата на питагорите, според който във всеки правоъгълен триъгълник квадратът на хипотенузата дължина равен на сумата Квадрати от катерещи дължини.

Като се има предвид правоъгълен триъгълник с единични обичаи, питагорейците установиха, че дължината на хипотенузата му е равна и ги е показала в объркване, защото се опитват напразно да представят редица две цели числа, което е изключително важно за тяхната философия. Стойностите, недостъпни под формата на връзката на цели читагори, питагерейците се наричаха неопесъобразно; Съвременния термин - "ирационални номера". Около 300 г. пр. Хр Евклид доказа, че номерът е несъизмеримо. Питагорейците се занимават с ирационални номера, представляващи всички стойности на геометрични изображения. Ако 1 и помислете за дължините на някои сегменти, тогава разликата между рационални и ирационални числа е изгладена. Продуктът на числата и има правоъгълна област със страните на дължината и. Днес понякога говорим за номер 25 като квадрат 5, но за числото 27 - като Куба 3.

Древните гърци са разрешени уравнения с неизвестни от геометрични конструкции. Разработени са специални конструкции за извършване на добавяне, изваждане, умножаване и разделяне на сегменти, добив на квадратни корени от дължините на сегментите; Сега този метод се нарича геометрична алгебра.

Работещите задачи към геометричния вид са имали редица важни последствия. По-специално, номерата започнаха да се разглеждат отделно от геометрията, тъй като е възможно да се работи с несъизмерими отношения с помощта на геометрични методи. Геометрията се превърна в основата на почти всички строги математика най-малко до 1600. и дори на 18-ти век, алгебрата и математическият анализ вече са били достатъчно развити, строгите математики се тълкуват като геометрия, а думата "геометър" е еквивалентна на думата "математик".

Това са питагорейците, които до голяма степен са собственост на тази математика, която след това е систематизирана и доказана в Начало Euclidea. Има основание да се смята, че те са отворили, че сега известни като теореми на триъгълници, паралелни директни, полигони, кръгове, сфери и десния полихедра.

Един от най-забележителните питагорейци е Платон (около 427-347 г. пр. Хр.). Платон е убеден, че физическият свят ще бъде съставен само чрез математика. Смята се, че това е постигането на изобретението на аналитичен метод на доказване на изобретението. (Аналитичен метод започва с одобрението, което трябва да бъде доказано, и след това последствията се показват последователно от него, докато някой не бъде достигнат известен фактШпакловка Доказателство е доказателството.) Предполага се, че последователите на Платон са измислили доказателствения метод, наречен "доказателство за неприятни". Видно място в историята на математиката е заета от Аристотел, зеница Платон. Аристотел постави основите на науката за логиката и изрази редица идеи относно определенията, аксиомите, безкрайността и възможността за геометрични конструкции.

Най-великият от гръцките математици от класическия период, загубени от важността на резултатите, получени само от архимедизирана, е Evdox (около 408-355 г. пр. Хр.). Той е въвел концепцията за големи предмети като сегменти на прави и ъгли. Като концепцията за величина, EUDDOX логично строго обосновава питагорейския метод на циркулация на ирационални номера.

Работата на EUDDOXA беше разрешена да създаде дедуктивна структура на математиката въз основа на очевидно формулираните аксиоми. Той също така притежава първата стъпка в създаването на математически анализ, тъй като той е изобретил метода за изчисляване на областта и обемите, които наричат \u200b\u200b"метод за изтощение". Този метод се състои в изграждане на вписани и описани плоски фигури или пространствени тела, които са запълнени ("изпускателна") площ или обем на фигурата или това тяло, което е предмет на изследването. EUDDOX също така притежава първата астрономическа теория, обясняваща наблюдаваното движение на планетите. Теорията, предложена от EUDOKS, е чисто математика; Той показа как комбинацията от въртящи се сфери с различни радиуси и оси на въртене може да обясни привидно нередовните движения на слънцето, луната и планетите.

Около 300 г. пр. Хр Резултатите от много гръцки математици бяха сведени до един единствен еуклид, писане на математически шедьовър Start.. От малкото прозрените избрани аксиоми, евклият донесе около 500 теореми, които са погълнали най-важните резултати от класическия период. Евклид започва своето еуклид върху определението за такива термини като директен, ъгъл и кръг. Тогава той формулира десет очевидни истини, като "цяла част от всяка от частите". И от тези десет ос евклият успя да извлече всички теореми. За текста на математиците Започнах Евклида отдавна е служила като проба от строгост, докато в 19 V. Това не му намери, че съществуват сериозни недостатъци, като несъзнавано използване на неквалифицирани допускания.

Apollonium (около 262-200 г. пр. Хр.) Живее в Александрия, но основната му работа е заделена в духа на класическите традиции. Анализът на коничните раздели - кръгове, елипси, парабола и хиперболи бяха кулминацията на развитието на гръцката геометрия. Apollonium също стана основател на количествената математическа астрономия.

Александрия.

През този период около 300 г. пр. Хр., Характерът на гръцката математика се е променил. Александрия математиката възниква в резултат на сливането на класическата гръцка математика с математика на Вавилон и Египет. Като цяло математиката на периода на Александриа са по-склонни към решаване на чисто технически задачи, отколкото на философията. Великите александрийски математици - ератоспонност, архимеди, хипарх, Птолемей, диофан и Пап - демонстрираха силата на гръцкия гений в теоретична абстракция, но точно както доброволно прилагаха таланта си за решаване на практически проблеми и чисто количествени задачи.

Ератоспон (приблизително 275-194 г. пр. Хр.) Откриват прост метод за точно изчисляване на дължината на обиколката на земята, той принадлежи и към календара, в който всяка четвърта година има повече от един ден от други. Астроном Аристар (около 310-230 г. пр. Хр.) Написал есе На размера и разстоянията на слънцето и лунатасъдържащи един от първите опити за определяне на тези размери и разстояния; В естеството си работата на Аристарх е геометрична.

Най-големият математик на древността е архитект (около 287-212 г. пр. Хр.). Той принадлежи към формулировката на много теореми в областта и обемите на сложни форми и тела, доста строго доказани от метода на изтощение. Архимед винаги се опитва да получат точни решения и да намерят горните и долните оценки за ирационални номера. Например, работещ с десния 96-квадрат, той безупречно доказа, че точната стойност на броя пс. Разположен между 3 1/7 и 3 10/71. Архимед също се оказаха няколко теорема, съдържащи нови резултати от геометрична алгебра. Той притежава формулировката на задачата за разсаждане на топката със самолета, така че сегментите са помежду си в дадено отношение. Архимед решава тази задача, намирайки преминаването на парабола и равни hyperboles.

Архимед беше най-големият математически физик на древността. За да докаже теоремите на механиката, той използва геометрични съображения. Неговото есе На плаващи тела Основава основите на хидростатиката. Според легендата Архимеда отвори името си закона, според който бутащата сила върху тялото, равна на теглото на течността, попадала към тях, действа по време на плуване, докато в банята и не може да се справи с откриването с Неговата радост, гола на улицата с вик: "Еврика!" ("Отворени!")

По време на архимедите вече не е ограничено до геометрични конструкции, извършвани само с помощта на циркулация и владетел. Архимеда, използвана в конструкциите си спирала, и диокс (края 2 V. BC) решават проблема за удвояване на Куба, използвайки кривата, въведена от нея, наречена Cicsoid.

В периода на Александрия аритметиката и алгебрата бяха разгледани, независимо от геометрията. Гърците от класическия период имат логически разумна теория на цели числа, но Александрийските гърци, възприемат вавилонската и египетската аритметика и алгебра, по много начини са загубили вече натрупани идеи за математическата строгост. Живеещи между 100 г. пр. Хр. и 100 АД Герон Александриан трансформира значителна част от геометричната алгебра на гърците в откровено невероятни изчислителни процедури. Въпреки това, доказващи нови теореми на евклидовата геометрия, той все още се ръководи от стандартите за логическата тежест на класическия период.

Първата по големина книга, в която аритметиката е била, независимо от геометрията, беше Въведение в аритметика Никомач (около 100 реклама). В историята на аритметиката нейната роля е сравнима с ролята Започнах Евклида в историята на геометрията. За повече от 1000 години тя служи като стандартен учебник, тъй като е ясно, ясно и изчерпателно постановяване на цели числа (обикновени, композитни, взаимно прости, както и за пропорции). Повтаряне на много питагорейски изявления, Въведение Никомах, в същото време, продължи, както видяха всички по-общи отношения, въпреки че ги поведе без доказателства.

Значителен етап в алгебрата на александрийските гърци беше работата на Диофанта (около 250). Едно от основните му постижения е свързано с въвеждането на символика в алгебрата. В творбите си диофантът не предлага общи методи, той се занимава със специфични положителни рационални числа, а не с тяхната бележка. Той положи основите на така наречените. Диофантов анализ е изследването на несигурните уравнения.

Най-голямото постижение на Александрийските математици беше създаването на количествена астрономия. Hipprhu (около 161-126 г. пр. Хр.) Ние се изисква от изобретяването на тригонометрия. Неговият метод се основава на теоремата, която твърди, че в такива триъгълници съотношението на дължините на две страни на един от тях е равно на отношението на дължините на двете съответни страни на другия. По-специално, съотношението на дължината на категорията лежи срещу остър ъгъл НО В правоъгълния триъгълник, дължината на хипотенузата трябва да бъде еднакъв за всички правоъгълни триъгълници, имащи същия остър ъгъл НО. Тази връзка е известна като ъгъл на синуса НО. Отношенията на дължините на други страни на правоъгълния триъгълник се наричат \u200b\u200bкосинус и допиращ ъгъл НО. Хипарх изобретява метода за изчисляване на такива отношения и състави техните таблици. Да имаш тези таблици и лесно измервателни разстояния на повърхността на земята, тя е успяла да изчисли дължината на големия си кръг и разстоянието до Луната. Според изчисленията си радиусът на Луната е една трета от радиуса на Земята; Според съвременните данни съотношението на радиусите на Луната и Земята е 27/1000. Хипал определи продължителността на слънчевата година с грешка само 6 1/2 минути; Смята се, че той е въвел географска ширина и дължина.

Гръцката тригонометрия и нейните приложения в астрономията достигнаха върха на тяхното развитие Алмагеста Египетска Клавдия Птолемей (умира през 168 г.). В Алмагеста Представена беше теорията на движението небесния ТелКой е доминиран до 16 век, когато промени теорията на Коперник. Птолемей се опитваше да изгради най-прост математически моделСъзнател, че неговата теория е само удобно математическо описание на астрономическите явления, координирано с наблюдения. Теорията на Коперник спечели именно защото се оказа по-лесна.

Гърция спад.

След завладяването на Египет, Римляни в 31 г. пр. Хр Великата гръцка цивилизация на Александрия намалява. Цицерон гордо твърди, че за разлика от гърците, римляните не са мечтатели и следователно прилагат своите математически знания на практика, премахват реалните ползи от тях. Въпреки това, в развитието на самата математика, приносът на римляните е незначителен. Римската числена система се основава на обемиста нотация за числа. Основната му характеристика беше принцип на добавка. Дори принципът на изваждане, например, номер 9 запис във формата на IX, се използва широко само след изобретяването на литър на настройка при 15 V. Римските обозначения на номерата бяха използвани в някои европейски училища до около 1600 г. и в счетоводство и век по-късно.

Индия и араби

Наследниците на гърците в историята на математиката са индианците. Индийските математици не се занимават с доказателства, но въведоха оригинални концепции и номер ефективни методи. Това бяха, които за първи път въведоха нула и като кардинал и като символ на отсъствието на единици в съответния разряд. Mahavira (850 AD) определя правилата за работа с нула, като вярва, че разделението на номера на нула оставя номера непроменен. Правилният отговор на случая с разделянето на номера на нула е дадено от Бхаскара (R. 1114), той също принадлежи на правилата за действие по отношение на ирационалните номера. Индианците въведоха концепцията за отрицателни числа (за определяне на дългове). Най-ранната им употреба намираме Брахмагупта (около 630). Ariabhata (R. 476) отиде на дифанта да използва непрекъснати фракции при решаване на несигурни уравнения.

Нашия модерна система Никой не се основава на позиционния принцип за записване на номера и нула като кардинал и използването на наименованието на празен разтоварването се нарича индо арабски. На стената на храма, построена в Индия добре. 250 г. пр. Хр.

Около 800 индийски математика достигна Багдад. Терминът "алгебра" идва от началото на името на книгата Ал-Джабъл ВА Л-Мукабала (Попълване и контраст.) написан в 830 астроном и математик ал-кьорецми. В неговото есе той предостави на служенето на индийската математика. Алгебра ал-Хорезми е основана на писанията на Брахмагупта, но ясно разграничава вавилонските и гръцките влияния. Друг изключителен арабски математически IBN ал-Хайсам (около 965-1039) е разработил метод за производство на алгебрични решения на квадратни и кубични уравнения. Арабската математика, сред тях, и Омар Хаяма знаеше как да решават някои кубични уравнения, използвайки геометрични методи, използвайки конични раздели. Арабските астрономи въведоха концепцията за допирателна и котнец в тригонометрия. Nasiredin Tusi (1201-1274) в Лечение на пълен четириъгълник Систематично очертава плоска и сферична геометрия и първата разглеждана тригонометрия отделно от астрономията.

И все пак най-важният принос на арабите по математика беше техните преводи и коментари за великите творения на гърците. Европа се запознава с тези творби след завладяването на арабите на Северна Африка и Испания, а по-късно произведенията на гърците бяха преведени на латински.

Средновековие и съживяване

Средновековна Европа.

Римската цивилизация не остави забележим отпечатък в математиката, тъй като беше твърде загрижен за решаването на практическите проблеми. Цивилизацията, която е установена в Европа на ранните средновековие (около 400-1100), не е продуктивна за точно обратната причина: интелектуалният живот, фокусиран почти изключително върху теологията и задгробния живот. Нивото на математическо знание не се е повишило над аритметиката и простите секции от Започнах Euclidea. Астрологията се счита за най-важната част на математиката през средновековието; Астрологов нарече математици. И тъй като медицинската практика се основава предимно на астрологично свидетелство или противопоказания, не оставайте никой друг, като стават математици.

Около 1100 в западноевропейската математика започнаха почти трионния период на развитие на наследството, запазено от арабите и византийските гърци Древен Мира и на изток. Тъй като арабите притежават почти всички произведения на древните гърци, Европа получи обширна математическа литература. Преводът на тези произведения на латински допринесе за възхода на математическите изследвания. Всички велики учени от това време признаха, че те са вдъхновили вдъхновение в творбите на гърците.

Първата заслужава да се спомене европейският математик, беше Леонардо Пиза (Фибоначи). В есето му Книгата на Abaca. (1202) въведе европейци с индо арабски цифри и методи за изчисление, както и с арабската алгебра. През следващите няколко века математическата активност в Европа отслабва. Произволът на математическото познание за тази епоха, съставен от лук на Пача през 1494 г., не съдържа никакви алгебрични иновации, които Леонардо не е бил.

Възраждане.

Сред най-добрите геометри на Ренесанса, художници, които развиват идеята за перспектива, която изисква геометрия с конвергираща паралелна права. Художникът Leon Battista Alberti (1404-1472) въвежда концепциите за проекция и напречно сечение. Правилните лъчи на светлината от окото на наблюдателя към различни точки на изображението на сцената образуват проекция; Напречното сечение се получава чрез преминаване на равнината през проекцията. За да може живописната картина да изглежда реалистична, тя трябваше да бъде такова напречно сечение. Концепциите за проекция и секция, изразходвани чисто математически въпроси. Например, какви общи геометрични свойства имат участък и източник на сцена, какви са свойствата на две различни раздели от една и съща прожекция, образувана от две различни равнини, пресичащи проекцията в различни ъгли? От тези въпроси и възникна проектната геометрия. Неговият основател - J.Desarg (1593-1662) с помощта на доказателства, основани на проекция и секция, единна подход към различни видове конични раздели, които големият гръцкият гръцки аполониев геометър се счита за отделно.

Началото на съвременната математика

Офанзива 16 V. В Западна Европа тя бе белязана от важни постижения в алгебрата и аритметиката. Десетичните знаци и правилата за аритметични действия с тях бяха поставени неподвижни. Този триумф е изобретението в 1614 логаритми J.nerom. До края на 17-ти век. Разбрано разбирането на логаритмите като показатели за степента с някакво положително число, различно от звеното, като основа. От началото на 16 век. Ирационалните номера са по-широко използвани. Б. Паскал (1623-1662) и I. Barrow (1630-1677), учител I.Нутон в университета в Кеймбридж, твърди, че такава дата, както, може да се тълкува само като геометрична стойност. Въпреки това, през същите години, Р. Декарт (1596-1650) и Й. Уилис (1616-1703) вярваха, че ирационалните номера са допустими и сами по себе си, без препратки към геометрията. През 16 век Споровете продължават за законността на въвеждането на отрицателни числа. Още по-малко приемливи, се разглеждат сложни числа в решаването на квадратни уравнения, като "въображаеми" десетилетия. Тези цифри са подозрителни дори на 18-ти век, въпреки че L. Steeler (1707-1783) е бил успешно използван от тях. Комплексните номера най-накрая бяха признати само в началото на 19-ти век, когато математиката бяха овладяни с геометричното им представяне.

Постижения в алгебрата.

През 16 век Италиански математици N.TARTALLIA (1499-1577), S. DAL FERRO (1465-1526), \u200b\u200bL. Ferrari (1522-1565) и D. Cardano (1501-1576) са намерили общи решения на третата и четвъртата степен уравнения . За да направят алгебрични аргументи и техния рекорд по-точно, бяха въведени много знаци, включително +, -, ґ, \u003d,\u003e и<.>b 2 - 4 aC.] квадратно уравнение, а именно това уравнение брадва. 2 + bX. + ° С. \u003d 0 има еднакви валидни, различни валидни или изцяло конюгирани корени в зависимост, дали дискриминацията ще бъде б. 2 – 4aC. равен на нула, повече или по-малко нула. През 1799 г. K.Fridrich Gauss (1777-1855) се оказа т.нар. Основната теорема на алгебра: всеки полином н.степента е точно н. корени.

Основната задача на алгебрата е да търси общо решение на алгебрични уравнения - продължи да заема математици и в началото на 19-ти век. Когато говорят за цялостното решение на второто уравнение брадва. 2 + bX. + ° С. \u003d 0, означава, че всеки от двата му корена може да бъде изразен с помощта на краен брой операции на добавяне, изваждане, умножение, разделяне и извличане на корените, произведени над коефициентите а., б. и от. Младият норвежкият математик Н.Абел (1802-1829) се оказа, че е невъзможно да се получи общо решение на уравнението на степента над 4, като се използва крайнен брой алгебрични операции. Въпреки това, има много уравнения със специална степен по-висока от 4, позволяваща такова решение. В навечерието на смъртта си на дуел младият френски математик Е.Гауа (1811-1832) дава решаващ отговор на въпроса кой уравнения са разрешими в радикали, т.е. Корените, чиито уравнения могат да бъдат изразени чрез техните коефициенти, използвайки крайнен брой алгебрични операции. В теорията на галоза се използват замествания или се въведе пренареждане на корените и е въведена концепцията за група, която се използва широко в много области на математиката.

Аналитична геометрия.

Аналитични или координати, геометрията е създадена независимо от P.pherma (1601-1665) и Р. Декарт, за да разшири способностите на евклидовата геометрия в строителните задачи. Въпреки това, стопанството счита, че работата му е само като преформулиране на състава на Аполония. Истински открития - осведоменост за цялата сила на алгебричните методи - принадлежи на Карта. Евклидовата геометрична алгебра за всяко конструкции изисква изобретяването на първоначалния му метод и не може да предложи количествена информация, необходима за науката. Декарт реши този проблем: той формулира геометричните задачи на алгебричния, решават алгебричното уравнение и само след това изграждат желаното решение - сегмент, който има подходяща дължина. Всъщност аналитичната геометрия възникна, когато децетените започнаха да обмислят несигурни задачи за строителството, чиито решения не са сами, но много възможни дължини.

Аналитичната геометрия използва алгебрични уравнения за представяне и изучаване на криви и повърхности. Декарт се счита за приемлива крива, която може да бъде написана с едно алгебрично уравнение х. и w.. Такъв подход беше важна стъпка напред, защото тя не само включена в броя на тези криви като конноид и цисоид, но също така значително разширява обхвата на кривите. В резултат на това, през 17-18 век. Много нови важни криви, като циклоид и верига линия, влязоха в научния начин.

Очевидно първият математик, който се възползва от уравненията за доказателства за свойствата на коничните раздели, беше J. Wallis. До 1865 г. той Алгебрица получи всички резултати, представени в книгата V Започнах Euclidea.

Аналитичната геометрия напълно променя ролите на геометрията и алгебрата. Тъй като великият френски математик Лагран отбеляза: "Докато алгебрата и геометрията се движеха всеки по свой собствен начин, техният напредък беше бавен и приложенията са ограничени. Но когато тези науки обединиха усилията си, те взеха нова жизненост един от друг и оттогава бързите стъпки се насочиха към съвършенство. " Вижте също Алгебрична геометрия; Геометрия; Геометрия преглед.

Математически анализ.

Основателите на съвременната наука - Коперник, Кеплер, Галилея и Нютон - се приближиха до изучаването на природата като математика. Проучване на движението, математиката разработи такава фундаментална концепция като функция или връзка между променливите, например д. = кТ. 2, където д. - разстояние, изминато от свободно падащо тяло, и t. - броя на секундите, които тялото е в свободен спад. Концепцията за функция веднага стана централна при определяне на скоростта в момента на времето и ускоряване на движещото се тяло. Математическата трудност на този проблем беше, че по всяко време тялото преминава нулевото разстояние за нулевия период от време. Следователно, определяйки стойността на скоростта по време на разделянето на пътя по това време, ние ще стигнем до математически безсмислен израз на 0/0.

Задачата за определяне и изчисляване на мигновените нива на промените в различни величини привлече вниманието на почти всички математици от 17 век, включително бароу, ферма, Декарт и Уолис. Разпръснатите идеи и методи, предложени от тях, бяха комбинирани в систематичен, универсално приложим формален метод Нютон и Линица (1646-1716), създатели на диференциално изчисление. По въпроса за приоритет в развитието на това смятане между тях бяха проведени горещи спори, а Нютон обвини Ланицата в плагиатството. Въпреки това, както е проучено проучвания на историците на науката, Лабиц създаде математически анализ, независимо от Нютон. В резултат на конфликта обменът на идеи между математиците на Континентална Европа и Англия е прекъснат с увреждане на английската страна в продължение на много години. Британските математици продължават да разработват идеи за анализ в геометричната посока, докато математиците от континентална Европа, включително I. Bernoulli (1667-1748), EULER и LAGRANGE достигат несравнимо успех, след алгебрична или аналитичен подход.

Основата на целия математически анализ е понятието за лимит. Скоростта по време на времето се определя като граница, до която средната скорост д./t.Когато стойността t. Тя се приближава до нула. Диференциалният смятане дава удобен общ метод за промяна на скоростта на промяната в изчисленията. е. (х.) Ако има някакво значение х.. Тази скорост получи името на производното. От общото записване е. (х.) Може да се види, че понятието за дериват е приложимо не само в задачите, свързани с необходимостта от намиране на скорост или ускоряване, но и във връзка с всяка функционална зависимост, например, до някакво съотношение на икономическата теория. Едно от основните приложения към диференциалното смятане е т.нар. Максимални задачи и минимум; Друга важна гама от задачи е да се намери допирателната до тази крива.

Оказа се, че с помощта на деривати, специално измислено за работа със задачите на движение, също така е възможно да се намерят зони и обеми, ограничени от криви и повърхности. Методите на евклидовата геометрия не са имали надлежна общност и не позволяват да се получат необходимите количествени резултати. Усилията на математиците 17 в. Бяха създадени множество частни методи, които позволяват да се намери областта на цифрите, ограничени от кривите на даден вид, а в някои случаи бяха отбелязани връзката на тези задачи със задачите за намиране на скоростта на променящите се функции. Но, както в случая с диференциалното смятане, той е Нютон и Лайбниц, който реализира общата част от метода и по този начин поставя основите на интегралното мнение.

Модерна математика

Създаването на диференциално и интегрално смятане отбеляза началото на "най-високата математика". Методите за математически анализ, за \u200b\u200bразлика от концепцията за ограничаване на основата, изглеждаха ясни и разбираеми. В продължение на много години математика, включително Нютон и Лабица, се опитаха напразно да дадат точна определение за концепцията за лимита. И все пак, въпреки многобройните съмнения относно валидността на математическия анализ, той откри все повече и повече. Диференциалният и интегралното мнение е крайъгълен камък на математическия анализ, който във времето включва такива предмети като теория на диференциалните уравнения, обикновени и с частни деривати, безкрайни редове, вариаторски смятане, диференциална геометрия и много други. Строго определяне на лимита се получава само при 19 V.

Геометрия на Невклидова.

До 1800 математика почива на две "китове" - на числената система и евклидовата геометрия. Тъй като много свойства на цифровата система бяха доказани, геометрично, евклидовата геометрия беше най-надеждната част от сградата на математиката. Въпреки това, аксиомът на паралелно съдържа изявление за директно разширяване на безкрайността, което не може да бъде потвърдено от опита. Дори версията на тази аксиома, принадлежаща на евклид, изобщо не твърди, че някои прави линии няма да преминат. Най-вероятно е формулирано от състоянието, на което те се пресичат в определена крайна точка. Векът на математиката се опита да намери аксиома за успоредно на подходящата подходяща замяна. Но във всяка версия някои космически са със сигурност. Чест за създаването на геометрия, която не е детска, е спаднала N.I.LOBACHEVSKY (1792-1856) и i.Beai (1802-1860), всеки от които самостоятелно публикува своя оригинален израз на геометрията на нематените. В тяхната геометрия, по този въпрос, беше невъзможно да прекарат безкрайно много паралелни прави линии. В геометрията, B. Riman (1826-1866) през точката извън прав, не може да се извърши от всеки паралел.

Никой не мислеше сериозно за физическите приложения на не-дим геометрията. Създаването на А. Айнщайн (1879-1955) на общата теория на относителността през 1915 г. събужда научния свят за осъзнаването на реалността на геометрията на не-дете.

Математическа строгост.

Приблизително 1870 математика са в убеждението, които се отнасят до водещите на древните гърци, прилагайки дедуктивни аргументи на математически аксиоми, като по този начин предоставят заключенията си без по-малко надеждност от тези, чиито аксиоми притежават. Геометрията на Невклидова и кватерниони (алгебра, в която не се изпълнява комутативната собственост) принудителни математици да осъзнаят, че това, което са взели за абстрактни и логически последователни твърдения, всъщност се основават на емпирична и прагматична основа.

Създаването на геометрия, която не е дете, също е съпроводено от осъзнаване на съществуването в евклидовата геометрия на логическите пропуски. Един от недостатъците на евклидоан Започнах Това е използването на предположения, които не са изрично формулирани. Очевидно Евклид не поставя под въпрос имотите, които притежават геометричните му форми, но тези свойства не са включени в нейните аксиоми. Освен това, доказвайки сходството на два триъгълника, евклидея се възползва от налагането на един триъгълник на друг, имплицитно приема, че свойствата на цифрите не се променят. Но освен такива логически пропуски, в Начало Оказа се, че е няколко погрешни доказателства.

Създаване на нови алгебри, които започнаха в четвъртинки, генерираха подобни съмнения относно логическата валидност на аритметиката и алгебри на обичайната цифрова система. Всички известни по-рано математици имат комутативен имот, т.е. aB. = bA.. Кватерниони, които са извършили преврат в традиционни идеи за номерата, са отворени през 1843 U. Hamilton (1805-1865). Те бяха полезни за решаване на редица физически и геометрични проблеми, въпреки че кватернионът не изпълни комутативната собственост. Четвъртинки принуди математиците да осъзнаят, че ако не се считат за посветени на цели числа и далеч от съвършенството на евклидовата част Започнах, аритметиката и алгебрата нямат своя собствена аксиоматична база. Математиката се лекува свободно с отрицателни и сложни числа и произведени алгебрични операции, ръководени само от факта, че те успешно работят. Логическата тежест отстъпи на демонстрация на практически ползи за въвеждане на съмнителни концепции и процедури.

Почти от самото начало на математическия анализ, опитите бяха многократно взети под него строги основания. Математическият анализ въведе две нови сложни концепции - дериватив и определен интеграл. Нютон и Либантите бият тези понятия, както и математиката на следващите поколения, които са обърнали диференциално и интегрално смятане в математическия анализ. Въпреки това, въпреки всички усилия, в концепциите за лимит, приемственост и диференцизъм остават много неясни. Освен това се оказа, че свойствата на алгебричните функции не могат да бъдат прехвърляни на всички други функции. Почти всички математици са 18 V. и стартиране 19 V. Полагат се усилия за намиране на строга основа за математическия анализ и всички те не успяха. Накрая, през 1821 г., О. Коши (1789-1857), използвайки концепцията за число, води строга основа по целия математически анализ. Въпреки това, по-късната математика са открити в логическите пропуски в Cauchi. Желаната строгост най-накрая се постига през 1859 г. K.Vierstrass (1815-1897).

Weierstrass за първи път счита за свойствата на реалния и интегриран брой очевидни. По-късно той, като град Кантор (1845-1918) и R.dedekind (1831-1916), реализира необходимостта от изграждане на теорията за ирационалните номера. Те дадоха правилното определение на ирационалните номера и определят свойствата си, но свойствата на рационалните числа все още се считат за очевидни. И накрая, логическата структура на теорията на реалните и интегрираните номера е придобила нейния завършен изглед в произведенията на Дедекинд и Й. Пено (1858-1932). Създаването на основания за числената система също така направи възможно решаването на проблемите да оправдаят алгебрата.

Проблемът за укрепване на строгостта на формулирането на евклидовата геометрия е относително прост и намален до прехвърлянето на дефинирани термини, изясняване на дефинициите, въвеждането на липсващи аксиоми и попълване на пропуски в доказателствата. Тази задача е изпълнена през 1899 г. D.gilbert (1862-1943). Почти едновременно се полагат и основите на други геометрии. Хилберт формулира концепцията за формални аксиоматика. Една от характеристиките на предложената от него подхода е интерпретацията на неопределени термини: можете да означава всички обекти, които отговарят на аксиомите. Последствията от тази характеристика бяха нарастващата абстрактност на съвременната математика. Евклидската и Неевклидова геометрия описват физическото пространство. Но в топологията, която е обобщение на геометрията, неопределим термин "точка" може да бъде свободен от геометрични асоциации. За тополог, точка може да бъде функция или последователност от числа, както и нещо друго. Абстрактното пространство е набор от такива "точки" ( вижте също Топология).

Аксиоматичният метод на Хилберт е въвел почти всички раздели на математиката 20 V. Скоро обаче стана ясно, че някои ограничения са присъщи на този метод. През 80-те години на 1880-те години Kantor се опита да класифицира безкрайните комплекти (например набор от всички рационални числа, много валидни числа и т.н.) чрез тяхната сравнителна количествена оценка, като им приписва т.нар. Прехвърляне на номера. В същото време той открил в теорията на множествата на противоречие. Така, до началото на 20-ти век. Математиката трябваше да се справи с проблема за тяхното разрешение, както и с други проблеми на основите на тяхната наука, като имплицитно използване на така наречените. Аксиоми за избор. Въпреки това, нищо не може да се сравни с разрушителното въздействие на теоремата на непълнотата K. Gödel (1906-1978). Тази теорема твърди, че всяка последователна формална система е доста богата, за да се съдържа теорията на числата, задължително съдържа неразрешимо изречение, т.е. Изявление, което не може да се докаже, нито опровергава в рамките на неговата рамка. Сега тя обикновено се признава, че абсолютните доказателства в математиката не съществуват. Що се отнася до това, което е доказателство, мненията се отклоняват. Въпреки това повечето математици са склонни да вярват, че проблемите на основите на математиката са философски. И наистина, нито една теорема се е променила поради новостите логически строги структури; Това показва, че основата на математиката не е логика, а здравословна интуиция.

Ако математиката, известна на 1600 г., може да се характеризира като елементарна, след това в сравнение с това, което е създадено по-късно, тази елементарна математика е безкрайно малка. Старите зони са разширени и се появиха нови, чисти и приложени индустрии на математически знания. Излизат около 500 математически списания. Огромният брой публикувани резултати дори не позволяват на специалист да се запознае с всичко, което се случва в областта, в която работи, да не говорим за факта, че много резултати са достъпни за разбиране само на специалист по тесен профил. Никой математик не може да се надява да знае повече за това, което се случва в много малък ъгъл на науката. Вижте също статии за учените - математика.

Литература:

Van der varden b.l. Събуждане на науката. Математика на древен Египет, Вавилон и Гърция. М., 1959.
Юшкевич A.p. История на математиката през средновековието. М., 1961.
Дан-Делядикова А., Paiffer J. Начини и лабиринти. Есета за историята на математиката. М., 1986.
Klein F. Лекции за развитието на математиката през XIX век. М., 1989.



Основателите на съвременната наука - Коперник, Кеплер, Галилея и Нютон - се приближиха до изучаването на природата като математика. Проучване на движението, математиката разработи такава фундаментална концепция като функция или връзка между променливите, например д. = кТ. 2, където д. - разстояние, изминато от свободно падащо тяло, и t. - броя на секундите, които тялото е в свободен спад. Концепцията за функция веднага стана централна при определяне на скоростта в момента на времето и ускоряване на движещото се тяло. Математическата трудност на този проблем беше, че по всяко време тялото преминава нулевото разстояние за нулевия период от време. Следователно, определяйки стойността на скоростта по време на разделянето на пътя по това време, ние ще стигнем до математически безсмислен израз на 0/0.

Задачата за определяне и изчисляване на мигновените нива на промените в различни величини привлече вниманието на почти всички математици от 17 век, включително бароу, ферма, Декарт и Уолис. Разпръснатите идеи и методи, предложени от тях, бяха комбинирани в систематичен, универсално приложим формален метод Нютон и Линица (1646-1716), създатели на диференциално изчисление. По въпроса за приоритет в развитието на това смятане между тях бяха проведени горещи спори, а Нютон обвини Ланицата в плагиатството. Въпреки това, както е проучено проучвания на историците на науката, Лабиц създаде математически анализ, независимо от Нютон. В резултат на конфликта обменът на идеи между математиците на Континентална Европа и Англия е прекъснат с увреждане на английската страна в продължение на много години. Британските математици продължиха да разработват идеи за анализ на геометричната посока, докато математиците от континентална Европа, включително I. Bernoulli (1667-1748), EULER и LAGRANGE, са достигнали несравнимо успех, след алгебричен или аналитичен подход.

Основата на целия математически анализ е понятието за лимит. Скоростта по време на времето се определя като граница, за която средната скорост д./t.Когато стойността t. Тя се приближава до нула. Диференциалният смятане дава удобен общ метод за промяна на скоростта на промяната в изчисленията. е. (х.) Ако има някакво значение х.. Тази скорост получи името на производното. От общото записване е. (х.) Може да се види, че понятието за дериват е приложимо не само в задачите, свързани с необходимостта от намиране на скорост или ускоряване, но и във връзка с всяка функционална зависимост, например, до някакво съотношение на икономическата теория. Едно от основните приложения към диференциалното смятане е т.нар. Максимални задачи и минимум; Друга важна гама от задачи е да се намери допирателната до тази крива.

Оказа се, че с помощта на деривати, специално измислено за работа със задачите на движение, също така е възможно да се намерят зони и обеми, ограничени от криви и повърхности. Методите на евклидовата геометрия не са имали надлежна общност и не позволяват да се получат необходимите количествени резултати. Усилията на математиците 17 в. Бяха създадени множество частни методи, които позволяват да се намери областта на цифрите, ограничени от кривите на даден вид, а в някои случаи бяха отбелязани връзката на тези задачи със задачите за намиране на скоростта на променящите се функции. Но, както в случая с диференциалното смятане, той е Нютон и Лайбниц, който реализира общата част от метода и по този начин поставя основите на интегралното мнение.

Методът на Нютон - лабитус започва с подмяна на кривата, ограничаваща зоната, която е необходима, за да определи кои подходи това е поредица от счупени, подобни на това как е направено в метода на изтощение, изобретен от гърците. Точната област е равна на границата на размера на района н. Правоъгълници, кога н. Продължаване на безкрайността. Нютон показа, че този лимит може да бъде намерен чрез изграждане на процеса на намиране на скоростта на промяна на функцията. Операция, обратна диференциация, се нарича интеграция. Твърдението, че сумирането може да се извърши чрез прогресиране на диференциацията, се нарича основна теорема на математическия анализ. По същия начин, диференциацията се прилага за много по-широк клас задачи, отколкото да се търсят скорости и ускорения, като интегрират приложимата за всяка задача, свързана с сумирането, например, на физически задачи за добавяне на сили.

Общата цел на курса е да оповести студентите, които сключват общо математическо образование, някои от историческите аспекти на математиката, показват до известна степен естеството на математическото творчество. В компресирана форма се разглежда обща панорама за развитието на математически идеи и теории, започвайки от вавилонския и египетския период преди началото на 20-ти век. Курсът включва секцията "Математика и Компютърни науки", където преглежданията за изчисляване на историята на компютърното оборудване се преглеждат, фрагменти от историята на развитието на EUM в Русия, фрагменти от историята на компютърните науки. Като насоки се предлага доста голям списък от препратки и някои референтни материали за независима работа и за подготовка на резюмета.

• Периода на натрупване на математически знания.
  Образуването на първични концепции: номера и геометрични форми. Математика в страните от древни цивилизации - в древен Египет, Вавилон, Китай, Индия. Основните видове системи за брой. Първите постижения на аритметиката, геометрията, алгебрата.
• Математика на постоянни стойности.
  Формиране на математическа наука (VI в. Пр. Хр. - VI V.N.). Създаване на математика като абстрактна дедуктивна наука в древна Гърция. Условия за развитие на математиката в Древна Гърция. Училище Питагора. Откриване на несъизмеримост и създаване на геометрична алгебра. Известни задачи на древността. Метода на източника, безкрайцимерни методи на EVDOX и архиметите. Аксиоматично изграждане на математика в "началото на" евклидея. "Конични раздели" Аполония. Науката за първите века на нашата епоха: "Механика" на Герона, "Алмагест" Птолемей, неговата "география", появата на нова алгебра в писанията на Диофанта и началото на изследването на несигурните уравнения. Sunset Antique Science.
  Математика на народите на Централна Азия и арабския изток през VII-XVI век. Разпределение на алгебрата в независим регион на математиката. Формиране на тригонометрия по математически приложения към астрономия. Състоянието на математическите знания в страните от Западна Европа и в Русия през Средновековието. "Книга Абака" Леонардо Писански. Откриването на първите университети. Успехите на математиката на Възраждането.
• Панорама на развитието на математиката през XVII-XIX век.
  Научно революция XVII в. и създаването на математика на променливите. Първа академия на науките. Математически анализ и връзката му с механици в XVII-XVIII век. Работи, Лагран, Лаплас. Математиката процъфтява във Франция в ерата на революцията и откриването на политехническото училище.
• Алгебра XVI-XIX век.
  Успехи на алгебрата през XVI век: решението на алгебрични уравнения на третата и четвъртата степен и въвеждането на интегрирани числа. Създаване на азбучен калкул F. Viet и началото на общата теория на уравненията (Виетна, Декарт). Основната теорема на алгебра и нейните доказателства от Ойлер. Проблема с решенията на уравненията в радикали. Теорема ABEL относно неплатежоспособността на уравненията на степен N\u003e 4 в радикали. Резултати от Абел. Теорията на Галуа; Въвеждане на група и полета. Победоносно шествие на теорията на групите: ролята му в алгебрата, в геометрията, в анализа и математическата наука. Концепцията за n-размерено векторно пространство. Аксиоматичния подход на дезекинд и създаването на абстрактна алгебра.
• Разработване на математически анализ.
  Формирането на математика на променливите през XVII век, връзката с астрономията: законите на Кеплер и произведенията на Галилея, развиващите се идеи на Коперник. Изобретяването на логаритми. Диференциални форми и методи за интеграция в произведенията на Кеплер, Cavalieri, Farm, Descartes, Pascal, Valis, N.Morkator. Създаване на математически анализ от Нютон и лайбнин. Математически анализ през XVIII век. И връзката му с естествената наука. Креативността euler. Учението на функциите. Създаване и развитие на вариарно изчисление, теория на диференциалните уравнения и теорията на интегралните уравнения. Редове за захранване и тригонометрични редове. Обща теория на функциите на сложна променлива в Риман и Weierstrass. Формиране на функционален анализ. Проблеми на обосновката на математическия анализ. Изграждане на това въз основа на упражняването на границите. Cauchy, Болцано и Вайерсас. Теории на действителния номер (от EUDDOX до DEDEKINDA). Създаване на теорията на безкрайните комплекта от Канте и Дедекинд. Първите парадокси и проблеми на математическите причини.
• Математика в Русия (преглед).
  Математическо знание до XVII век. Петър I. Реформи. Фондацията на Санкт Петербургската академия на науките и Московския университет. Математическо училище "Петербург" (M.S. SOSTROGRADSKY, стр.Л. Хибишев, а.А. Марков, А.М.лък). Основните направления на творчеството Чебишев. Живот и творчество S.V. Kovalevskaya. Организиране на математическото общество. Математическа компилация. Първите научни училища в СССР. Московска теория на функционалността (Н.н. Люсин, гр.Г.Горов и техните ученици). Математика в Московския университет. Математика в Уралския университет, Урал математически училища (Стр. Kontorovich. G.I. Malkin, E.A. Barbashin, V.K.IVANOV, S. B.shechkin, A.F. Sidorov).
• Математика и компютърни науки (преглед)
  Моменти от компютърно оборудване от Squeeznoy Machine Leonardo Da Vinci на първия компютър.
  Фрагменти от историята на ЕС. Проблемът за автоматизацията на комплексното изчисление (дизайн на въздухоплавателни средства, атомна физика и т.н.). Свързване на електроника и логика: двоична система Лайбни, J. Bull Logic Algebra. "Компютърни науки" и "Информатика". Теоретична и приложна информатика. Нов информационни технологии: научна посока - изкуствен интелект и неговите приложения (използване на логически методи за доказателство за верността на програмите, предоставящи интерфейс за професионалисти естествен език с пакети от приложни програми и др.).
  Фрагменти История на развитието на EUM в Русия. Развитие на S.A. Lebedeva и неговите ученици, тяхното използване (изчислява орбитите на малки планети, изготвяне на карти за геодезични стрелба, създаване на речници и програми за превод и др.). Създаване на вътрешни машини (A.A.LAPUNOV, A.P. Roshov, B.I. RAMEEV, M.R. SHURA-BURA, G.LOPATO, M.A. CARTSEV и много други), появата на персонални компютри. Многократна употреба на машини: контрол на космическите полети, наблюдение на космическото пространство, в научни статии, за контрол на технологичните процеси, обработване на експериментални данни, електронни речници, икономически задачи, учители и студентски автомобили, домакински компютри и др.).

Теми на резюмета

1. Биографични серии.
2. Историята на формирането и развитието на конкретна част от математиката в определен период. Историята на формирането и развитието на математиката в определен исторически период в определена държава.
3. Историята на появата на научни центрове и тяхната роля в развитието на конкретни раздели на математиката.
4. Историята на формирането и развитието на компютърни науки в определени периоди от време.
5. Основателите на някои насоки на компютърни науки.
6. Специфични изключителни учени и световна култура в различни периоди.
7. От историята на руската математика (конкретна историческа ера и специфична личност).

1. Античен механик ("Борба с техниката на древността").
2. Математически часове на арабския халифат.
3. Въз основа на геометрията: от евклидея до Хилберт.
4. Прекрасна математика Niels Handric Abel.
5. Енциклопед 15-ти век Йероламо Кардано.
6. Голямо семейство Бернули.
7. Известни фигури за развитието на теория на вероятностите (от Лаплас до Колмогоров).
8. Периода на предсърдуване на създаването на диференциално и интегрално изчисление.
9. Newton и Leibniz - създатели на диференциално и интегрално смятане.
10. Алексей Андреевич Ляпунов - създателят на първата компютърна машина в Русия.
11. "Страст за науката" (S.V. Kovalevskaya).
12. Blaze Pascal.
13. От Abaka до компютър.
14. "За да можеш да дадеш посока - знак за гений." Сергей Алексеевич Лебедев. Разработчик и дизайнер на първия компютър в Съветския съюз.
15. Гордостта на Руската наука - Пафнути Лвович Чебишев.
16. Франсоа Вата е баща на съвременната алгебра и брилянтен епиптър.
17. Андрей Николаевич Колмогоров и Павел Сергеевич Александров е уникален феномен на руската култура, националното си наследство.
18. Кибернетика: неврони - машини - Персиспонзии.
19. Леонард Юулер и Русия.
20. Математика в Русия от Питър I до Лобахевски.
21. Pierre Farm и Rene descartes.
22. Как е измислен личният компютър.
23. От историята на криптографията.
24. Обобщение на концепцията за геометрично пространство. Историята на създаването и развитието на топологията.
25. Златна секция в музика, астрономия, комбинаторика и живопис.
26. Златна секция в слънчевата система.
27. Езици за програмиране, тяхната класификация и развитие.
28. Теория на вероятностите. Аспект на историята.
29. Историята на развитието на геометрията на не-дете (Лобачевски, Гаус, Бояй, Риман).
30. Кралят на теорията на числата е Карл Фридрих Гаус.
31. Трите известни задачи на древността като стимул за появата и развитието на различни раздели на математиката.
32. Ариаабхат, "Коперник на изток".
33. Дейвид Хилберт. 23 Хилберт Проблеми.
34. Разработване на концепцията за броя на EUDDOX към Дедекинд.
35. Интегрални методи в EVDOX и архиметите.
36. Въпроси по методология на математиката. Хипотези, закони и факти.
37. Въпроси по методология на математиката. Методи за математика.
38. Въпроси по методология на математиката. Структура, движещи сили, принципи и модели.
39. Питагор - философ и математик.
40. Галилео Галилеи. Формиране на класическа механика.
41. Животен път I. научна дейност M.v. sstrogradsky.
42. Принос на руските учени в теорията на вероятността.
43. Развитието на математиката в Русия през 18 и 19 век.
44. Историята на отварянето на логаритмите и тяхната връзка с квадратите.
45. От историята на разработването на компютърно оборудване.
46. Компютърни машини към електронната ера. Първи компютър.
47. Големи за историята на руското изчислително оборудване и компютърна математика.
48. Историята на развитието на операционните системи. Хронологията на външния вид на Windows 98.
49. Б. Pascal, Libnits, P. Techebyshev.
50. Норбърт Винер, Клод Шанън и теорията на компютърните науки.
51. От историята на математиката на Русия.
52. Живот и творчество Гаус.
53. Формирането и развитието на топологията.
54. Еваристът на Галуа - математика и революционер.
55. Златна секция от Леонардо Фибоначи и Леонардо да Винчи до XXI век.
56. Математика в Русия на XVIII-XIX век.
57. Компютърни науки, въпроси на историята.
58. От историята на руската математика: n.i.lobachevsky, m.v. ostregradsky, c.v. kovylevskaya.
59. Антична математика VI-IV век. Пр. Хр.
60. Програмиране на езици: Въпроси за историята.
61. Pierre Farm и Rene descartes.
62. Леонард Сулер.
63. Историята на създаването на интегрални и диференциални смятане в I.Neton и libnitsa.
64. Математика на XVII век като предшественик на създаването на математически анализ.
65. Математически анализ след Нютон и Лайбница: критика и оправдание.
66. Математика XVII, XVIII: формиране на аналитична, проекторна и диференциална геометрия.

В историята на математиката могат да бъдат разграничени два основни периода: елементарна и модерна математика. В началото на ерата на новия (понякога говорят - най-високият) математик, започна да провежда отброяване на ерата (понякога говорят - първият век на математическия анализ. До края на XVII век. I. Newton, G. Leibnitsa и техните предшественици, апаратът на ново диференциално изчисление и интегрално изчисление, което представлява основата на математическия анализ и дори, математическата основа на цялата съвременна природна наука.

Математическият анализ е екстензивен регион на математиката с характерен обект на изследване (променлива стойност), особен метод за изследване (анализ чрез безкрайно малък или чрез ограничаване на преходи), определена система от основни концепции (функция, лимит, дериват, диференциал, Интеграл, ред) и постоянно подобряване и разработване на апарати, основата на която е диференциал и интегрално смятане.

Нека се опитаме да дадем представа коя математическа революция се е случила през XVII век, преходът от начална математика, свързан с раждането на математическия анализ, се характеризира с темата за изследванията на математически анализ и основната роля е обяснена в цялата модерна система теоретични и приложни знания.,

Представете си, че пред вас перфектно извършил цветна снимка от брега на бурната океанска вълна: могъщ наклон, хладен, но леко страхотна гърда, вече наклонена напред и готова да падне главата с въртяща се сива косма. Спряхте миг, успяхте да хванете вълна и сега можете внимателно да го изучите без бързане във всички подробности. Вълната може да бъде измерена и използвайки средствата за елементарна математика, ще направите много важни изводи за тази вълна и затова всичките му сестри за океана. Но, спиране на вълната, сте лишили движенията и живота си. Неговият произход, развитие, бягане, силата, с която тя падна на брега, - всичко това се оказа, че е извън вашата област на гледна точка, защото нямате език, нито математически апарат, подходящ за описване и изучаване на статично, но Разработване на динамични процеси, променливи и техните връзки.

"Математическият анализ е не по-малко изчерпателен от самата природа: той определя всички осезаеми взаимоотношения, измерва времето, пространството, силата, температурата." Й. Фурие

Движението, променливите и връзката им ни заобикалят навсякъде. Различни видове движение и техните модели съставляват основната цел на изучаване на специфични науки: физика, геология, биология, социология и т.н. следователно, точния език и съответните математически методи на описанието и изследването на променливите са необходими във всички области на знанията до същата степен, в която са необходими номер и аритметиката, когато се описват количествени отношения. Така че, математически анализ и е в основата на езика и математическите методи за описване на променливи и техните връзки. Днес без математически анализ е невъзможно не само да се изчисли космическите траектории, работа ядрени реактори, Управляваща океанската вълна и моделите на развитие на циклона, но също така и за икономически контролирането на производството, разпределението на ресурсите, организацията на технологичните процеси, прогнозират хода на химическите реакции или промени в броя на различните видове животни и растителни видове, защото всички Това са динамични процеси.

Елементарната математика е главно математика на постоянни стойности, тя проучва основно взаимоотношения между елементите геометрични фигури, аритметични свойства на номерата и алгебричните уравнения. Нейното отношение към реалността до известна степен може да се сравни с вниманието, дори задълбочено и пълно проучване на всяка фиксирана рамка на филма, която завладяваше променлив, развиващ се жизнен свят в движението си, който обаче не се вижда на отделна рамка и които могат да бъдат наблюдавани, като цяло изглеждат панделка като цяло. Но тъй като киното е немислима без фотография, и съвременната математика е невъзможна без тази част от нея, която ние конвенционални и наричаме елементарни, без идеи и постижения на много изключителни учени, понякога разделени от десетки векове.

Математиката е една, а "най-високата" част е свързана с "елементарния" приблизително същите като следващия етаж на къщата в процес на изграждане е свързан с предходната, а ширината на хоризонтите, която математиката се отваря към нас в светътЗависи от това какъв етаж на тази сграда успяхме да се изкачим. Роден през XVII век Математическият анализ ни отвори възможности за научно описание, количествено и качествено проучване на променливите и движението в широкото чувство за думата.

Какви са предпоставките за появата на математически анализ?

До края на XVII век. Се развива следната ситуация. Първо, в рамките на самата математика, в продължение на много години, са натрупали някои важни класове сходни проблеми (например задачите за измерване на зоните и обемите на нестандартните цифри, задачите за провеждане на допирателните до кривите) и Методите за тяхното решаване на тях се появяват в различни специални случаи. Второ, се оказа, че тези задачи са тясно свързани със задачите на описанието на произволно (не непременно униформено) механично движение, и по-специално с изчисляването на неговите мигновени характеристики (скорости, ускоряване по всяко време), както и С намирането на магията на пътната пътека за движение, възникнало при дадена променлива скорост. Решението на тези проблеми беше необходимо за развитието на физиката, астрономията, техниците.

Накрая, трето, до средата на XVII век. Работи от R. Descarte и P. Farm постави основите на аналитичния метод на координати (така наречената аналитична геометрия), която позволява да се формулират хетерогенни геометрични и физически проблеми по произхода на техния произход, на общия (аналитичен) език на цифри и цифрови зависимости, или, както сега говорим цифрови функции.

Николай Николаевич Лузин (1883-1950) Н. Н. Лузин - съветски математик, основател на теорията на съветската функция, академик (1929). Лузин е роден в Томск, учи в Tomsk Gymnasium. Формализмът на гимназията на математиката избута талантлив млад мъж от себе си и само способният преподавател можеше да разкрие красотата и величието на математическата наука пред него. През 1901 г. Лузин влезе в математическия отдел на Физическия и математическия факултет на Московския университет. От първите години на обучение в кръга на интересите бяха включени въпроси, свързани с безкрайността. В края на XIX век. Немският учен Г. Кантор създаде общата теория на безкрайните комплекти, които са дали многобройни приложения в проучването на прекъснатите функции. Лузин започна да изучава тази теория, но часовете му бяха прекъснати през 1905 г. от студент, който участва в революционните дейности, трябваше да отиде във Франция. Там той слушаше лекции на най-известните френски математици от онова време. След завръщането си в Русия Лузин завършва университета и бе оставен да се подготви за професорството. Скоро той отново отиде в Париж, а след това в Гьотинген, където той стана близо до много учени и написа първата научна работа. Основният проблем на заинтересования учен е въпросът дали може да има множество, съдържащи повече елементи от набор естествени числаНо по-малко от набор от изрязани точки (континуум). За всеки безкраен комплект, който може да бъде получен от сегменти, използващи операции по сливане и пресичане на брояни набори от комплекти, тази хипотеза е извършена и за решаване на проблема е необходимо да се разберат какви други начини за проектиране на комплекти. В същото време Лузин изучава въпроса дали е възможно да се представи всяка периодична функция, дори и безкрайно много смущаващи точки, като сумата на тригонометричната серия, т.е. Сумите на безкрайния набор от хармонични трептения. По тези въпроси Лузин получи редица значими резултати и през 1915 г. защитава тезата "интегрална и тригонометрична серия", за която незабавно присъди научна степен на лекаря на чистата математика, заобикаляйки междинната степен на междинната степен на магистърска степен. През 1917 г. Лузин става професор в Московския университет. Талантлив учител, той привлече най-способните студенти и млади математици. Училището на Лузин достигна своя разцвет, в първите пост-революционни години. Учениците на Лузина формираха творчески екип, който се шегуваше "Луситания". Много от тях получиха първокласни научни резултати на студентска пейка. Например, P. S. Aleksandrov и M. Ya. Suslin (1894-1919) е отворен нов метод Изграждане на комплекти, които служат като началото на развитието на нова посока - описателната теория на комплектите. Проучванията в тази област, проведени от Лузин и неговите ученици, показаха, че обичайните методи на определената теория не са достатъчни за решаване на много проблеми, които са възникнали в нея. Научните прогнози на Лузин бяха напълно потвърдени през 60-те години. ХХ век Впоследствие много студенти Н. Н. Лузина впоследствие бяха академици и съответстващи членове на Академията на науките в СССР. Сред тях, П. С. Александров. А. Н. КОЛМОГОРОВ. Уа Лаврентие, Л. А. Литестър, Д. Е. Менсов, П. С. Новиков. Л. Г. Шнирелман и др. Съвременната съветска и външна математика в своите произведения развиват идеи N. N. Luzin.

Сливането на тези обстоятелства и доведе до факта, че в края на XVII век. Двама учени - I. Нютон и Лайбница - независимо един от друг успяха да създадат математически апарат за решаване на задачите, обобщаване и обобщени индивидуалните резултати от прекурсорите, сред които учен на античността архимедия и съвременниците Нютон и Лейбница - B. Kavalii , Б. Паскал, Д. Грегъри, I. Barrow. Този апарат е основата на математическия анализ - нова част от математиката, която изследва различни развиващи се процеси, т.е. Връзката между променливите, която по математика се нарича функционални зависимости или, иначе функции. Между другото, терминът "функция" се изискваше и естествено се появи през XVII век. И сега тя е придобила не само обща образ, но и от общо научно значение.

Първоначалната информация за основните понятия и математически апарати за анализ е дадена в статиите "диференциално изчисление" и "интегрално изчисление".

В заключение бих искал да спра само един генерал за цялата математика и характеристика на принципа на математическа абстракция и в тази връзка, в която математически анализи проучва променливи и в която тайната на тези универсалност на методите му да изучават всякакви видове специфични развиващи се процеси и техните взаимоотношения.

Разгледайте няколко обяснителни примера и аналогии.

Понякога не плащаме доклад във факта, че например математическо съотношение, написано не за ябълки, столове или слонове, но в абстрактна абстракция на обект, изключителен научен завоевател. Това е математически закон, който, както показва опитът, се прилага за различни специфични обекти. Това означава да се учи в математиката общите свойства на разсеяните, абстрактни номера, ние сме проучвани количествени отношения реал Мира.

Например, от училищния курс на математиката е известно, че следователно в конкретна ситуация може да се каже: "Ако има два шест тона сметища за транспортиране на 12 тона, тогава могат да бъдат поискани три количества, и Работата ще бъде завършена и ако ще бъде дадена само една четири години, тя ще трябва да направи три полета. " Така запознат сега за нас абстрактни номера и цифрови модели са свързани с техните специфични прояви и приложения.

Приблизително законите на промените в специфични променливи и разработване на природни процеси с абстрактна, разсеяна форма-функция, в която те се появяват и се изследват в математическия анализ.

Например, абстрактното съотношение може да бъде отражение на зависимостта на събирането на пари в киното от броя на продадените билети, ако 20 са 20 копейки - цената на един билет. Но ако вървим по магистралата на велосипед, управляваме 20 км на час, тогава същото съотношение може да се тълкува като връзка на времето (часове) на нашето колоездене и покрити през това време, което е разстояние (километри). твърдят, че например промяната в няколко пъти води до пропорционална (т.е. за същото време) промяна в стойността и ако това е вярно. Това означава, че по-специално да се увеличи паричното събиране на киното, ще трябва да удвоите зрителите два пъти повече, колкото е възможно повече, и за да се движите със същата скорост от два пъти разстоянието, ще трябва да отидете два пъти по-назад дълъг колкото.

Математически проучвания и най-простата зависимост и други, значително по-сложни зависимости в слабост от частното тълкуване, като цяло, резюме. Свойствата на функцията или методите за изучаване на тези свойства, идентифицирани в такова проучване, ще бъдат естеството на общите математически техники, заключения, закони и заключения, приложими за всеки конкретен феномен, в който функцията, изследвана в абстрактна форма, се намира, независимо от Коя област на знанието се прилага този феномен.

Така че, математическият анализ като част от математиката се оформя в края на XVII век. Предмет на изследване в математическия анализ (както изглежда от съвременните позиции), са функции или, в противен случай връзката между променливите.

Появата на математическия анализ на математиката е изследването и отражението на развиващите се процеси на реалния свят; Математиката въведе променливи и движение.

Слайд 2.

Математическият анализ е набор от участъци от математика за изследване на функциите и техните обобщения по методи за диференциално и интегрално смятане.

Слайд 3.

Метод на изтощение

Античен метод за изучаване на площта или обема на криволинейни фигури.

Слайд 4.

Методът е следният: за намиране на зона (или обем), в тази цифра прилепна монотонна последователност на други фигури и е доказано, че тяхната област (обема) е неограничен подход към областта на желаната фигура.

Слайд 5.

През 1696 г. лопаталът написа първия учебник, който определя нов метод, приложен към теорията на плоските криви. Той нарече анализа си безкрайно малък, като по този начин дава едно от имената на новата част на математиката. При въвеждането на лопика, поставя историята на появата на нов анализ, спиране на произведенията на Декарт, Гюгенс, Лайбница и също така изразява своята благодарност към последните и братя Бернули.

Слайд 6.

Терминът "функция" за първи път се появява само през 1692 г. в Лайбница, но EULER представи на първите роли. Първоначалното тълкуване на концепцията за функцията е, че функцията е израз за резултат или аналитичен израз.

Слайд 7.

"Теория на аналитичните функции" ("Th.orie des fonces аналитични", 1797). В "теорията на аналитичните функции" Lagrange определя известната си формула за интерполация, която вдъхнови Cauchi да развие строга обосновка за анализа.

Слайд 8.

В учебници по математически анализ можете да намерите важна лема ферма. Той също така формулира общия закон за диференциране на фракционните степени.

Pierre de Farm (17 август 1601 - 12 януари 1665 г.) - френски математик, един от създателите на аналитична геометрия, математически анализ, теория на вероятностите и теория на числата. Ферма на практика до съвременни правила Намерени допирателни към алгебрични криви.

Слайд 9.

René descartes (31 март 1596 - 11 февруари 1650 г.) - френски математик, философ, физик и физиолог, създател на аналитична геометрия и модерна алгебрична символика. През 1637 г. главната математическа работа на Декарт е публикувана, "разсъждение за метода" в тази книга е изложена аналитична геометрия, а в приложенията - многобройни резултати в алгебрата, геометрията, оптиката и много други. Трябва да се отбележи, че математическата символика на Vieta преработи от тях: въведе общоприетите знаци сега знаци за променливи и желаните стойности (x, y, z, ...) и за азбучен код. (A, B, C, ...)

Слайд 10.

Франсоа Вата (1540 -1603) - френски математик, основател на символичната алгебра. От образованието и основната професия - адвокат. През 1591 г. след известното писмо е въведено не само за неизвестни стойности, но и за коефициентите на уравненията принадлежат към създаването на еднакво получаване на решения на уравнения на 2-ри, 3-ти и 4-ти степени. Сред самата откритие тя особено високо оценява създаването на зависимостта между корените и коефициентите на уравненията.

Слайд 11.

Галилея Харърса (февруари 151564, Пиза - януари 81642) - италианска ежима, механик, астроном, философ и математик, който имаше значително въздействие върху науката за своето време, формулирано "Галилея парадокс": естествени числа толкова, колкото и техните квадрати, въпреки че техните квадрати, макар и Повечето от номерата не са квадрати. Това настояваше в изследването на естеството на безкрайните комплекти и тяхната класификация; Процесът на създаване на теорията на комплектите приключиха.

Слайд 12.

"Нова стереометрия на винените бъчви"

Когато Кеплер купи вино, беше изумен как търговецът определи капацитета на цевта. Продавачът взе подразделенията на Palk и с неговата помощ определя разстоянието от голямата дупка до много дългата точка на цевта. След като го направи, той веднага каза колко литра вино в тази барел. Така че ученият първо обърна внимание на класа на задачите, изучаването на което доведе до създаването на интегрални смятания.

Слайд 13.

Например, за да намерите формулата за обема на Тора, Кеплер го счупи с меридионални участъци до безкраен брой кръгове, чиято дебелина отвън е малко повече, отколкото с вътрешната. Обемът на такава чаша е равен на обема на цилиндъра с основата, равна на напречното сечение на тор, и височината, равна на дебелината на чашата в средната му част. Следователно той веднага е възможно обемът на тора да е равен на обема на цилиндъра, в който базовата зона е равна на площта на напречното сечение на торуса, и височината е равна на дължината на кръга , която точката F е центърът на напречното сечение на Torus.

Слайд 14.

Метод на неделима

Теоретичната обосновка на новия метод за намиране на площадите и обемите се предлага през 1635 kavalii. Той предложи следната теза: цифрите принадлежат един към друг, като всичките им линии, взети на всеки регулатор [паралелна база], и тела - като всичките им самолети, взети на всеки регулаторен.

Слайд 15.

Например, изчисляваме областта на кръга. Формула за дължината на кръга: считан за известен. Ние разбиваме кръга (отляво на фиг. 1) върху безкрайно малки пръстени. Помислете също и триъгълник (надясно на фиг. 1) с дължина на основата L и височина на R, която също е разделена с раздели, успоредни на основата. Всеки пръстен на радиус R и дължината може да бъде сравшен един от напречните сечения на триъгълника със същата дължина. След това, според принципа на Cavalieri, техният площад е равен. И площта на триъгълника е лесна за намиране :.

Слайд 16.

Над презентацията работи:

Жарков Александър Киселева Марина Рясов Михаил Чертаниченко Алина

Вижте всички слайдове