1. Методи застосування законів гідравліки

1. аналітичний.Мета застосування цього методу – встановлювати залежність між кінематичними та динамічними характеристиками рідини. З цією метою користуються рівняннями механіки; в результаті отримують рівняння руху та рівноваги рідини.

Для спрощеного застосування рівнянь механіки користуються модельними рідинами: наприклад, суцільна рідина.

За визначенням, жоден параметр цього континууму (суцільної рідини) може бути перервним, зокрема його похідне, причому у кожній точці, якщо немає особливих умов.

Така гіпотеза дозволяє встановити картину механічного руху та рівноваги рідини у кожній точці континууму простору. Ще одним прийомом, що застосовується для полегшення розв'язання теоретичних задач, є розв'язання задачі для одновимірного випадку з наступним узагальненням для тривимірного. Справа в тому, що для таких випадків не так важко встановити середнє значення параметра, що досліджується. Після цього можна отримати інші рівняння гідравліки, що найчастіше застосовуються.

Однак цей метод, як і теоретична гідромеханіка, суть якої складає математично підхід, не завжди призводить до необхідного теоретичного механізму вирішення проблеми, хоча і непогано розкриває її загальну природу проблеми.

2. Експериментальний.Основним прийомом, за цим методом, є використання моделей згідно з теорією подоб: при цьому отримані дані застосовуються в практичних умовах і стає можливим уточнення аналітичних результатів.

Найкращим варіантом є поєднання двох вищеназваних методів.

Сучасну гідравліку важко уявити без застосування сучасних засобів проектування: це високошвидкісні локальні мережі, автоматизоване робоче місце конструктора та інше.

Тому сучасну гідравліку часто називають обчислювальною гідравлікою.

Властивості рідини

Оскільки газ – наступне агрегатний станречовини, то ці форми речовини існує властивість, загальне обох агрегатних станів. Ця властивість плинності.

Виходячи з властивостей плинності, розглянувши рідкий і газоподібний агрегатний стан речовини, побачимо, що рідина - стан речовини, в якому його вже неможливо стискати (або можна стиснути нескінченно мало). Газ - такий стан тієї ж речовини, в якій його можна стиснути, тобто газ можна назвати рідиною, що стискається, точно так само, як і рідина - стисливим газом.

Інакше кажучи, особливих важливих відмінностей, крім стисливості, між газом і рідиною немає.

Нестисливу рідину, рівновагу і рух якої вивчає гідравліка, називають також крапельною рідиною.

2. Основні властивості рідини

Щільність рідини.

Якщо розглянути довільний об'єм рідини W, то він має масу M.

Якщо рідина однорідна, тобто якщо у всіх напрямках її властивості однакові, то густинабуде рівна

де M- Маса рідини.

Якщо потрібно дізнатися rу кожній точці Аобсягу W, то

де D- Елементарність аналізованих характеристик у точці А.

стисливість.

Характеризується коефіцієнтом об'ємного стискування.

З формули видно, що йдеться про здатність рідин зменшувати об'єм при одиничній зміні тиску: через зменшення є знак мінус.

Температурне розширення.

Суть явища в тому, що шар із меншою швидкістю «гальмує» сусідній. У результаті виникає особливий стан рідини, через міжмолекулярних зв'язків у сусідніх верств. Такий стан називають в'язкістю.

Відношення динамічної в'язкості до густини рідини називається кінематичною в'язкістю.

Поверхневий натяг:через цю властивість рідина прагне займати найменший обсяг, наприклад, краплі в кулястих формах.

Насамкінець наведемо короткий список властивостей рідин, які розглянуті вище.

1. Плинність.

2. Стиснення.

3. Щільність.

4. Об'ємний стиск.

5. В'язкість.

6. Температурне розширення.

7. Опір розтягуванню.

8. Властивість розчиняти гази.

9. Поверхневий натяг.

3. Сили, що діють у рідині

Рідини поділяються на покоятьсяі рухомі.

Тут же розглянемо сили, які діють на рідину та поза нею у загальному випадку.

Самі ці сили можна поділити на дві групи.

1. Сили масові.Інакше ці сили називають силами, розподіленими за масою: на кожну частку з масою? M= ?WЧи діє сила? F, Залежно від її маси.

Нехай обсяг? Wмістить у собі крапку А. Тоді в точці А:

де FА- Щільність сили в елементарному обсязі.

Щільність масової сили – векторна величина віднесена до одиничного обсягу? W; її можна проектувати по осях координат і отримати: Fx, Fy, Fz. Тобто густина масової сили поводиться, як масова сила.

Прикладами цих сил можна назвати сили тяжіння, інерції (коріолісова та переносна сили інерції), електромагнітні сили.

Однак у гідравліці, крім особливих випадків, Електромагнітні сили не розглядають.

2. Поверхневі сили.Такими називають сили, які діють елементарну поверхню? w, яка може бути як на поверхні, так і всередині рідини; на поверхні, що довільно проведена всередині рідини.

Такими вважають сили: сили тиску, які становлять нормаль до поверхні; сили тертя які стосуються поверхні.

Якщо за аналогією (1) визначити густину цих сил, то:

нормальна напруга в точці А:

дотична напруга в точці А:

І масові, і поверхневі сили можуть бути зовнішніми, які діють ззовні та прикладені до якоїсь частки або кожного елемента рідини; внутрішніми, які є парними та їх сума дорівнює нулю.

4. Гідростатичний тиск та його властивості

Загальні диференціальні рівняння рівноваги рідини – рівняння Л. Ейлера для гідростатики.

Якщо взяти циліндр з рідиною (що спочиває) і провести через нього лінію розділу, то отримаємо рідину в циліндрі з двох частин. Якщо тепер докласти деяке зусилля до однієї частини, то воно буде передаватися іншій через площину перерізу циліндра, що розділяє: позначимо цю площину S= w.

Якщо саму силу позначити як взаємодія, що передається від однієї частини до іншої через перетин? wі є гідростатичний тиск.

Якщо оцінити середнє значення цієї сили,

Розглянувши крапку Аяк граничний випадок w, визначаємо:

Якщо перейти до краю, то? wпереходить у крапку А.

Тому p x -> p n . Зрештою px= pn, так само можна отримати p y= p n , p z= p n.

Отже,

p y= p n , p z= p n.

Ми довели, що у всіх трьох напрямках (їх ми вибрали довільно) скалярне значення сил одне й те саме, тобто не залежить від орієнтації перетину? w.

Ось це скалярне значення прикладених сил і є гідростатичним тиском, про який говорили вище: саме це значення, сума всіх складових, передається через? w.

Інша справа, що в сумі ( p x+ p y+ p z) якась складова виявиться рівною нулю.

Як ми надалі переконаємося, в певних умовах гідростатичний тиск все ж таки може бути неоднаково в різних точках однієї і тієї ж рідини, що покоїться, тобто.

p= f(x, y, z).

Властивості гідростатичного тиску.

1. Гідростатичний тиск завжди спрямований нормалі до поверхні і його величина не залежить від орієнтації поверхні.

2. Всередині рідини, що покоїться, в будь-якій точці гідростатичний тиск спрямований по внутрішній нормалі до майданчика, що проходить через цю точку.

Причому p x= p y= p z= p n.

3. Для будь-яких двох точок одного і того ж об'єму однорідної стисливої ​​рідини (? = const)

1 + ?П 1 = ? 2 + ?П 1

де? - Щільність рідини;

П 1 , П 2 – значення полі масових сил у цих точках.

Поверхня, для будь-яких двох точок якої тиск один і той же, називається поверхнею рівного тиску.

5. Рівновість однорідної несжимаемой рідини під впливом сили тяжіння

Ця рівновага описується рівнянням, яке називається основним рівнянням гідростатики.

Для одиниці маси рідини, що спокою

Для будь-яких двох точок одного і того ж обсягу, то

Отримані рівняння описують розподіл тиску рідини, що у рівноважному стані. З них рівняння (2) є основним рівнянням гідростатики.

Для водойм великих обсягів або поверхні потрібно уточнення: чи спрямований радіусу Землі в даній точці; наскільки горизонтальна поверхня, що розглядається.

З (2) випливає

p= p 0 + ?g(z – z 0 ) , (4)

де z 1 = z; p 1 = p; z 2 = z 0 ; p 2 = p 0 .

p= p 0 + ?gh, (5)

де? gh– ваговий тиск, який відповідає одиничній висоті та одиничній площі.

Тиск рназивають абсолютним тискомpабс.

Якщо р> pабс, то p – p атм= p 0 + ?gh - p атм- його називають надлишковим тиском:

p ізч= p< p 0 , (6)

якщо p< p атм, то говорять про різницю в рідині

p вак= p атм - p, (7)

називають вакуумметричним тиском.

6. Закони Паскаля. Прилади вимірювання тиску

Що станеться в інших точках рідини, якщо докладемо певного зусилля? Якщо вибрати дві точки, і прикласти до однієї з них зусилля p1, то за основним рівнянням гідростатики, в другій точці тиск зміниться на p2.

звідки легко укласти, що з рівності інших доданків має бути

P 1 = p 2 . (2)

Ми отримали вираз закону Паскаля, який свідчить: зміна тиску у будь-якій точці рідини у рівноважному стані передається до всіх інших точок без змін.

Досі ми виходили із припущення, що? = Const. Якщо мати сполучну посудину, яка заповнена двома рідинами з? 1? ? 2 , причому зовнішній тиск p 0 = p 1 = p атм, то згідно з (1):

1 gh =? 2 gh, (3)

де h 1 , h 2 - Висота від розділу поверхні до відповідних вільних поверхонь.

Тиск – фізична величинащо характеризує сили, спрямовані за нормаллю до поверхні одного предмета з боку іншого.

Якщо сили розподілені нормально та рівномірно, то тиск

де - F сумарна прикладена сила;

S – поверхня, до якої прикладена сила.

Якщо сили розподілені нерівномірно, то говорять про середнє значення тиску або вважають його в окремо взятій точці: наприклад, у в'язкій рідині.

Прилади для вимірювання тиску

Одним із приладів, яким вимірюють тиск, є манометр.

Недоліком манометрів є те, що вони мають великий діапазон вимірювань: 1-10 кПа.

З цієї причини в трубах використовують рідини, які зменшують висоту, наприклад, ртуть.

Наступним приладом для вимірювання тиску є п'єзометр.

7. Аналіз основного рівняння гідростатики

Висоту напору прийнято називати п'єзометричною висотою, або натиском.

Відповідно до основного рівняння гідростатики,

p 1 + ?gh A = p 2 + ?gh H ,

де? - Щільність рідини;

g – прискорення вільного падіння.

p2, як правило, задається p 2 = p атм, тому, знаючи h А і h H , Неважко визначити потрібну величину.

2. p 1 = p 2 = p атм. Цілком очевидно, що з? = const, g = const слідує, що h А = h H . Цей факт називають також законом сполучених судин.

3. p 1< p 2 = p атм.

Між поверхнею рідини в трубі та її закритим кінцем утворюється вакуум. Такі прилади називають вакуумметри; їх використовують для вимірювання тисків, які менші за атмосферний.

Висота, яка є характеристикою зміни вакууму:

Вакуум вимірюється у тих самих одиницях, що й тиск.

П'єзометричний натиск

Повернемося до основного гідростатичного рівняння. Тут z - координата точки, що розглядається, яка відраховується від площини XOY. У гідравліці площина XOY називається площиною порівняння.

Відраховану від цієї площини координату z називають по-різному: геометричною висотою; висотою становища; геометричним натиском точки z.

У тому ж основному рівнянні гідростатики велич на p/?gh - також геометрична висота, на яку піднімається рідина внаслідок впливу тиску р. p/?gh так само, як і геометрична висота, вимірюється в метрах. Якщо через інший кінець труби на рідину діє атмосферний тискто рідина в трубі піднімається на висоту p хат /?gh, яку називають вакуумметричною висотою.

Висоту, що відповідає тиску pвак, називають вакуумметричною.

В основному рівнянні гідростатики сума z + p/?gh – гідростатичний напір Н, розрізняють також п'єзометричний напір H n , який відповідає атмосферному тиску p атм /?gh:

8. Гідравлічний прес

Гідравлічний прес служить для здійснення короткому шляху більшої роботи. Розглянемо роботу гідравлічного пресу.

Для цього, щоб відбувалася робота над тілом, треба впливати на поршень з деяким тиском Р. Цей тиск, як і Р 2 створюється наступним чином.

Коли піднімається поршень насоса з площею нижньої поверхні S 2 то він закриває перший клапан і відкриває другий. Після заповнення циліндра водою другий клапан закривається, відкривається перший.

В результаті вода через трубу заповнює циліндр і тисне на поршень за допомогою нижнього перерізу S1 з тиском Р2.

Цей тиск, як тиск Р 1 стискає тіло.

Цілком очевидно, що Р 1 – це той самий тиск, що і Р 2 різниця тільки в тому, що вони впливають на різні за величиною площі S 2 і S 1 .

Іншими словами, тиск:

P 1 = pS 1 та P 2 = pS 2 . (1)

Виразивши p = P 2 /S 2 і підставивши першу формулу, отримаємо:

З отриманої формули випливає важливий висновок: на поршень з більшою площею S 1 з боку поршня з меншою площею S 2 передається тиск у стільки разів більший, скільки разів S 1 > S 2 .

Однак на практиці через сили тертя до 15% цієї енергії, що передається, втрачається: витрачається на подолання опору сил тертя.

І все ж у гідравлічних пресів коефіцієнт корисної дії? = 85% - Досить високий показник.

У гідравліці формула (2) перепишеться у такому вигляді:

де P 1 позначено як R;

Гідравлічний акумулятор

Гідравлічний акумулятор служить для підтримки тиску в системі, що підключається до нього, постійним.

Досягнення сталості тиску відбувається так: зверху на поршень, з його площа?, діє вантаж Р.

Труба служить передачі цього тиску по всій системі.

Якщо в системі (механізмі, встановленні) рідини в надлишку, то надлишок по трубі надходить у циліндр, поршень піднімається.

При нестачі рідини поршень опускається, і тиск р, за законом Паскаля, передається на всі частини системи.

9. Визначення сили тиску рідини, що покоїться, на плоскі поверхні. Центр тиску

Для того, щоб визначити силу тиску, будемо розглядати рідину, яка перебуває у спокої щодо Землі. Якщо вибрати в рідині довільну горизонтальну площу?, то за умови, що на вільну поверхню діє р атм = р 0 на? виявляється надлишковий тиск:

Р хат = ?gh?. (1)

Оскільки в (1) ?gh? є не що інше, як mg, тому що h? і? V = m, надлишковий тиск дорівнює вазі рідини, укладеної в обсязі h? . Лінія дії цієї сили проходить центром площі? і направлена ​​нормалі до горизонтальної поверхні.

Формула (1) не містить жодної величини, яка б характеризувала форму судини. Отже, Р хат не залежить від форми судини. Тому з формули (1) випливає надзвичайно важливий висновок, так званий гідравлічний парадокс- При різних формах судин, якщо на вільну поверхню виявляється одне і теж р 0, то при рівності щільностей?, Площ? і висот h тиск, що чиниться на горизонтальне дно, те саме.

При схильності площини дна має місце змочування поверхні з площею? Тому, на відміну попереднього випадку, коли дно лежало в горизонтальній площині, не можна сказати, що тиск постійно.

Щоб визначити його, розіб'ємо площу? на елементарні площі d?, на кожну з яких діє тиск

За визначенням сили тиску,

причому dP направлено за нормаллю до майданчика?

Тепер, якщо визначити сумарну силу, яка впливає на площу?, то її величина:

Визначивши другий доданок в (3) знайдемо Р абс.

Pабс =? (p 0 + h ц. Е). (4)

Отримали вирази для визначення тисків, що діють на горизонтальну і похилу.

площині: Р хат і Р абс.

Розглянемо ще одну точку С, яка належить площі?, Точніше, точку центру тяжіння змоченої площі?. У цій точці діє сила P 0 =? 0?.

Сила діє у будь-якій іншій точці, яка не збігається з точкою С.

10. Визначення сили тиску у розрахунках гідротехнічних споруд

При розрахунках у гідротехніці інтерес представляє сила надлишкового тиску Р, при:

р 0 = р атм,

де р0 – тиск, прикладений до центру тяжкості.

Говорячи про силу, будемо мати на увазі силу, прикладену в центрі тиску, хоча матимемо на увазі, що це сила надлишкового тиску.

Для визначення Р абс скористаємося теорема моментів, з теоретичної механіки: момент рівнодіючої щодо довільної осі дорівнює сумімоментів складових сил щодо тієї ж осі.

Тепер, відповідно до цієї теореми про рівнодіючий момент:

Оскільки за р 0 = р атм, P = ?gh ц. е.?, тому dP = ?ghd? =? gsin?ld? , отже (тут і далі для зручності не будемо розрізняти р изб і р абс), з урахуванням P і dP з (2), а також після перетворень слід:

Якщо тепер перенесемо вісь моменту інерції, тобто лінію урізу рідини (вісь O Y) в центр тяжіння?, тобто в точку С, то щодо цієї осі момент інерції центру тиску точки D буде J 0 .

Тому вираз для центру тиску (точка D) без перенесення осі моменту інерції від тієї ж лінії урізу, що збігаються з віссю O Y буде мати вигляд:

I y = I 0 +? l 2 ц.т.

Остаточна формула для визначення розташування центру тиску від осі урізу рідини:

l ц. д. = l ц. р.+ I 0 /S.

де S = ?l ц.д. - Статистичний момент.

Остаточна формула для l ц.д. дозволяє визначити центр тиску при розрахунках гідротехнічних споруд: для цього розбивають ділянку на складові ділянки, знаходять для кожної ділянки ц.д. щодо лінії перетину цієї ділянки (можна користуватися продовженням цієї лінії) із вільною поверхнею.

Центри тиску кожної з ділянок знаходяться нижче центру ваги змоченої площі по похилій стінці, точніше осі симетрії, на відстані I 0 /? ц.u.

11. Загальна методика визначення сил на криволінійні поверхні

1. У загальному випадку, це тиск:

де Wg - обсяг розглядуваної призми.

В окремому випадку, напрямки ліній дії сили на криволінійну поверхню тіла, тиску залежать від напрямних косінусів наступного виду:

Сила тиску на циліндричну поверхню з горизонтальною твірною повністю визначена. У цьому випадку вісь O Y спрямована паралельно горизонтальній утворює.

2. Тепер розглянемо циліндричну поверхню з вертикальною твірною та направимо вісь O Z паралельно цій твірній, що означає? z = 0.

Тому за аналогією, як і в попередньому випадку,

де h" ц.т. - Глибина центру тяжкості проекції під п'єзометричну площину;

h" ц.т. - Те ж саме, тільки для? y .

Аналогічно, напрямок визначається напрямними косинусами

Якщо розглянути циліндричну поверхню, точніше об'ємний сектор, з радіусом? і висотою h, з вертикальною твірною, то

h" ц.т. = 0,5h.

3. Залишилося узагальнити отримані формули для прикладного застосування довільної криволінійної поверхні:

12. Закон Архімеда. Умови плавучості занурених тіл

Слід з'ясувати умови рівноваги зануреного в рідину тіла та наслідки, які з цих умов.

Сила, що діє на занурене тіло – рівнодіюча вертикальних складових P z1 , P z2 ,т. е.:

P z1 = P z1 - P z2 = ? gW Т. (1)

де P z1 , P z2 – сили спрямовані вниз та вгору.

Цей вираз характеризує силу, яку називають архимедовой силою.

Архімедовою силою є сила, що дорівнює вазі зануреного тіла (або його частини): ця сила прикладена в центр тяжіння, спрямована вгору і кількісно дорівнює вазі рідини, витісненої зануреним тілом або його частиною. Ми сформулювали закон Архімеда.

Тепер розберемося з основними умовами плавучості тіла.

1. Об'єм рідини, витісненої тілом, називається об'ємною водотоннажністю. Центр тяжкості об'ємної водотоннажності збігається з центром тиску: саме в центрі тиску прикладена рівнодіюча сил.

2. Якщо тіло занурене повністю, то об'єм тіла W збігається з W Т, якщо ні, то W< W Т, то есть P z = ?gW.

3. Тіло буде плавати тільки в тому випадку, якщо вага тіла

G Т = P z = gW, (2)

тобто дорівнює архімедовій силі.

4. Плавання:

1) підводне, тобто тіло занурене повністю, якщо P = G т, що означає (при однорідності тіла):

GW =? т gW Т, звідки

де?,? Т – щільність рідини та тіла відповідно;

W-об'ємна водотоннажність;

W Т – обсяг найзануренішого тіла;

2) надводне, коли тіло занурене частково; при цьому глибину занурення нижчої точки змоченої поверхні тіла називають осадом плаваючого тіла.

Ватерлінією називають лінію перетину зануреного тіла по периметру з вільною поверхнею рідини.

Площею ватерлінії називається площа зануреної частини тіла, обмеженою ватерлінією.

Лінію, яка проходить через центри ваги тіла та тиску, називають віссю плавання, яка при рівновазі тіла вертикальна.

13. Метацентр та метацентричний радіус

Здатність тіла відновлювати свій первісний рівноважний стан після припинення зовнішнього впливу називають стійкістю.

За характером дії розрізняють статистичну та динамічну стійкість.

Оскільки ми знаходимося в рамках гідростатики, то й розберемося зі статистичною стійкістю.

Якщо крен, що утворився після зовнішнього впливу, незворотний, то стійкість нестійка.

У разі збереження після припинення зовнішнього впливу, рівновага відновлюється, то стійкість стійка.

Умовою статистичної стійкості є плавання.

Якщо плавання підводне, то центр тяжіння має бути розташований нижче центру водотоннажності на осі плавання. Тоді тіло плаватиме. Якщо надводне, то стійкість залежить від того, на який кут? обернулося тіло навколо поздовжньої осі.

При?< 15 o , после прекращения внешнего воздействия равновесие тела восстанавливается; если? >= 15 o , то нахил незворотний.

Точку перетину архімедової силиз віссю плавання називають метацентр: при цьому проходить також через центр тиску.

Метацентричним радіусом називають радіус кола, частиною якого є дуга, через яку центр тиску переміщається в метацентр.

Прийнято позначення: метацентр – M, метацентричний радіус – ? м.

При?< 15 о

де I 0 - центральний момент площини щодо поздовжньої осі, укладеної у ватерлінії.

Після запровадження поняття «метацентр» умови стійкості дещо змінюються: вище говорили, що з стійкої стійкості центр тяжкості повинен бути вище центру тиску осі плавання. Тепер припустимо, що центр тяжіння не повинен перебувати вище за метацентр. В іншому випадку сили і збільшуватимуть крен.

Як очевидно, при крені відстань? між центром тяжкості та центром тиску змінюється в межах?< ? м.

При цьому відстань між центром тяжкості та метацентром називають метацентричною висотою, яка за умови (2) є позитивною. Чим більша метацентрична висота, тим менша ймовірність нахилу плаваючого тіла. Наявність стійкості щодо поздовжньої осі площини, що містить у собі ватерлінію, є необхідною і достатньою умовою стійкості щодо поперечної осі тієї ж площини.

14. Методи визначення руху рідини

Гідростатика вивчає рідину у її рівноважному стані.

Кінематика рідини вивчає рідину в русі, не розглядаючи сил, що породжували або супроводжували цей рух.

Гідродинаміка також вивчає рух рідини, але залежно від дії прикладених до рідини сил.

У кінематиці використовується суцільна модель рідини: її континуум. Згідно з гіпотезою суцільності, континуум – це рідка частка, в якій безперервно рухається величезна кількість молекул; в ній немає ні розривів, ні порожнеч.

Якщо у попередніх питаннях, вивчаючи гідростатику, за модель для вивчення рідини в рівновазі взяли суцільне середовище, то на прикладі тієї ж моделі вивчатимуть рідину в русі, вивчаючи рух її частинок.

Для опису руху частинки, а через неї та рідини, існують два способи.

1. Метод Лагранжа. Цей метод не використовується для опису хвильових функцій. Суть методу наступного: потрібно описати рух кожної частки.

Початковий момент часу t 0 відповідають початкові координати x 0 , y 0 , z 0 .

Однак на момент t вони вже інші. Як видно, йдеться про рух кожної частки. Цей рух можна вважати певним, якщо можливо вказати для кожної частки координати x, y, z у довільний момент часу t як безперервні функції від x0, y0, z0.

x = x(x 0 , y 0 , z 0 , t)

y = y (x 0 , y 0 , z 0 , t)

z = z(x 0 , y 0 , z 0 , t) (1)

Змінні x 0 , y 0 , z 0 , t називають змінними Лагранжа.

2. Метод визначення руху частинок Ейлером. Рух рідини в цьому випадку відбувається в деякій нерухомій ділянці потоку рідини, в якому знаходяться частинки. У частках довільно вибираються крапки. Момент часу t як параметр є заданим у кожному часі області, яка має координати x, y, z.

Розглянута область, як відомо, перебуває у межах потоку і нерухома. Швидкість частинки рідини u у цій галузі у кожний момент часу t називається миттєвою місцевою швидкістю.

Полем швидкості називається сукупність усіх миттєвих швидкостей. Зміна цього поля описується такою системою:

u x = u x (x, y, z, t)

u y = u y (x, y, z, t)

u z = u z (x, y, z, t)

Змінні (2) x, y, z, t називають змінними Ейлера.

15. Основні поняття, що використовуються у кінематиці рідини

Сутью вищезгаданого поля швидкостей є векторні лінії, які найчастіше називають лініями струму.

Лінія струму – така крива лінія, для будь-якої точки якої у вибраний момент часу вектор місцевої швидкості спрямований по дотичній (про нормальну складову швидкості не йдеться, оскільки вона дорівнює нулю).

Формула (1) є диференціальним рівнянням лінії струму на момент часу t. Отже, задавши різні ti за отриманими i, де i = 1,2, 3, ..., можна побудувати лінію струму: нею буде оминає ламаною лінії, що складається з i.

Лінії струму, як правило, не перетинаються через умови? 0 чи? ?. Але все ж таки, якщо ці умови порушуються, то лінії струму перетинаються: точку перетину називають особливою (або критичною).

1. Неустановившийся рух, що так називається через те, що місцеві швидкості в точках обраної області, що розглядаються, за часом змінюються. Таке рух повністю описується системою рівнянь.

2. Установлений рух: оскільки за такому русі місцеві швидкості залежать від часу і постійні:

u x = u x (x, y, z)

u y = u y (x, y, z)

u z = u z (x, y, z)

Лінії струму та траєкторії частинок збігаються, а диференціальне рівняння для лінії струму має вигляд:

Сукупність всіх ліній струму, які проходять через кожну точку контуру потоку, утворює поверхню, яку називають трубкою струму. Усередині цієї трубки рухається укладена в ній рідина, яку називають цівком.

Струйка вважається елементарною, якщо контур, що розглядається, нескінченно малий, і кінцевою, якщо контур має кінцевий майданчик.

Перетин струмка, який нормальний у кожній своїй точці до ліній струму, називається живим перерізом струмка. Залежно від кінцівки чи нескінченної малості, площу струмка прийнято позначати, відповідно, ? та d?.

Деякий обсяг рідини, що проходить через живий переріз в одиницю часу, називають витратою струменя Q.

16. Вихровий рух

Особливості видів руху, що розглядаються у гідродинаміці.

Можна виділити такі види руху.

Невстановлене, за поведінкою швидкості, тиску, температури тощо; що встановилося, за тими ж параметрами; нерівномірне, залежно від поведінки тих самих параметрів у живому перерізі з площею; рівномірне, за тими ж ознаками; напірне, коли рух відбувається під тиском p > p атм (наприклад, у трубопроводах); безнапірне, коли рух рідини відбувається лише під дією сили тяжіння.

Однак основними видами руху, незважаючи на велика кількістьїх різновидів, є вихровий та ламінарний рухи.

Рух, у якому частки рідини обертаються навколо миттєвих осей, які проходять їх полюси, називають вихровим рухом.

Цей рух рідкої частинки характеризується кутовою швидкістю, компонентами (складовими), якою є:

Вектор самої кутової швидкості завжди перпендикулярний до площини, в якій відбувається обертання.

Якщо визначити модуль кутової швидкості, то

Подвоївши проекції відповідні координати осі? x,? y,? z , отримаємо компоненти вектора вихору

Сукупність векторів вихору називається векторним полем.

За аналогією з полем швидкостей та лінією струму існує і вихрова лінія, яка характеризує векторне поле.

Це така лінія, у якої для кожної точки вектор кутової швидкості сонаправлен з дотичної до цієї лінії.

Лінія описується наступним диференціальним рівнянням:

у якому час t сприймається як параметр.

Вихрові лінії багато в чому поводяться так само, як і лінії струму.

Вихровий рух називають також турбулентним.

17. Ламінарний рух

Цей рух називають також потенційним (безвихровим) рухом.

При такому русі відсутнє обертання частинок довкола миттєвих осей, що проходять через полюси рідких частинок. З цієї причини:

X = 0; ? y = 0; ? z = 0. (1)

X =? y =? z = 0.

Вище зазначалося, що з русі рідини відбувається як зміна становища частинок у просторі, а й деформація за лінійними параметрами. Якщо розглянутий вище вихровий рух є наслідком зміни просторового положення рідкої частинки, то ламінарний (потенційний або безвихровий) рух є наслідком деформаційних явищ лінійних параметрів, наприклад, форми та обсягу.

Вихровий рух визначався напрямком вихрового вектора

де? - Кутова швидкість, яка є характеристикою кутових деформацій.

Деформацію цього руху характеризують деформацією цих компонентів

Але оскільки при ламінарному русі? x =? y =? z = 0, то:

З цієї формули видно: оскільки існують приватні похідні, пов'язані між собою у формулі (4), ці приватні похідні належать деякої функції.

18. Потенціал швидкості та прискорення при ламінарному русі

? =? (x, y, z) (1)

функція? називається потенціалом швидкості.

З огляду на це, компоненти? виглядають наступним чином:

Формулою (1) описується рух, що не встановився, оскільки вона містить параметр t.

Прискорення при ламінарному русі

Прискорення руху рідкої частинки має вигляд:

де du/dt – повні похідні за часом.

Прискорення можна уявити в такому вигляді, виходячи з

складові шуканого прискорення

Формула (4) містить у собі інформацію про повне прискорення.

Доданки ?u x /?t, ?u y /?t, ?u z /?t, називають місцевими прискорювачами в точці, якими характеризуються закони зміни поля швидкостей.

Якщо рух, що встановився, то

Саме поле швидкостей можна назвати конвекцією. Тому решту сум, що відповідають кожному рядку (4), називають конвективними прискореннями. Точніше, проекціями конвективного прискорення, що характеризує неоднорідність поля швидкостей (чи конвекцій) у момент часу t.

Саме повне прискорення можна назвати деякою субстанцією, яка є сумою проекцій

du x / dt, du y / dt, du z / dt,

19. Рівняння нерозривності рідини

Досить часто під час вирішення завдань доводиться визначати невідомі функції типу:

1) р = р (х, у, z, t) – тиск;

2) n x (x, y, z, t), ny (x, y, z, t), n z (x, y, z, t) – проекції швидкості на осі координат х, y, z;

3)? (х, у, z, t) – густина рідини.

Ці невідомі, всього п'ять, визначають за системою рівнянь Ейлера.

Кількість рівнянь Ейлера лише три, а невідомих, як бачимо, п'ять. Бракує ще двох рівнянь для того, щоб визначити ці невідомі. Рівняння нерозривності одна із двох рівнянь. Як п'яте рівняння використовують рівняння стану суцільного середовища.

Формула (1) є рівнянням нерозривності, тобто шукане рівняння загального випадку. У разі стискання рідини??/dt = 0, оскільки? = const, тому з (1) випливає:

оскільки ці доданки, як відомо з курсу вищої математики, є швидкістю зміни довжини одиничного векторапо одному з напрямків X, Y, Z.

Що стосується всієї суми (2), то вона виражає швидкість відносної зміни обсягу dV.

Цю об'ємну зміну називають по різному: об'ємним розширенням, дивергенцією, розбіжністю вектора швидкостей.

Для цівки рівняння матиме вигляд:

де Q – кількість рідини (витрата);

? - Кутова швидкість струмка;

L – довжина елементарної ділянки аналізованої цівки.

Якщо тиск встановлений або площа живого перерізу? = const, то? /?t = 0, тобто згідно (3),

Q/?l = 0, отже,

20. Характеристики потоку рідини

У гідравліці потоком вважають такий рух маси, коли ця маса обмежена:

1) твердими поверхнями;

2) поверхнями, які поділяють різні рідини;

3) вільними поверхнями.

Залежно від того, якого роду поверхнями або їх поєднаннями обмежена рідина, що рухається, розрізняють такі види потоків:

1) безнапірні, коли потік обмежений поєднанням твердої та вільної поверхонь, наприклад, річка, канал, труба з неповним перерізом;

2) напірні, наприклад, труба з повним перерізом;

3) гідравлічні струмені, які обмежені рідким (як ми побачимо пізніше, такі струмки називають затопленими) або газовим середовищем.

Живий переріз та гідравлічний радіус потоку. Рівняння нерозривності у гідравлічній формі

Перетин потоку, з якого всі лінії струму нормальні (тобто перпендикулярні), називається живим перетином.

Надзвичайно важливе значення має у гідравліці поняття про гідравлічний радіус

Для напірного потоку з круглим живим перетином, діаметром d і радіусом r 0 гідравлічний радіус виражається

При виведенні (2) врахували

Витрата потоку - це така кількість рідини, яка проходить через живий переріз за одиницю часу.

Для потоку, що складається з елементарних струмків, витрата:

де dQ = d? - Витрата елементарного потоку;

U-швидкість рідини в даному перерізі.

21. Різновид руху

Залежно від характеру зміни поля швидкостей розрізняють такі види руху:

1) рівномірне, коли основні характеристики потоку - форма і площа живого перерізу, середня швидкість потоку, у тому числі по довжині, глибині потоку (якщо рух безнапірний) - постійні, не змінюються; крім того, по всій довжині потоку вздовж лінії струму місцеві швидкості однакові, а прискорень зовсім немає;

2) нерівномірне, коли жоден із перерахованих для рівномірного руху факторів не виконується, у тому числі й умова паралельності ліній струмів.

Існує плавно змінюється рух, який все ж таки вважають нерівномірним рухом; за такого руху припускають, що лінії струму приблизно паралельні, й інші зміни відбуваються плавно. Тому, коли напрямок руху та вісь ОХ сонаправлены, то нехтують деякими величинами

Ux? U; Uy = Uz = 0. (1)

Рівняння нерозривності (1) для плавно змінного руху має вигляд:

аналогічно інших напрямів.

Тому такого роду рух називають рівномірним прямолінійним;

3) якщо рух нестаціонарний або невстановлений, коли місцеві швидкості з часом змінюються, то в такому русі розрізняють такі різновиди: рух, що швидко змінюється, рух, що повільно змінюється, або, як часто його називають, квазистаціонарний.

Тиск поділяють залежно від кількості координат в рівняннях, що його описують, на: просторовий, коли рух тривимірний; плоский, коли рух двовимірний, тобто Uх, Uy або Uz дорівнює нулю; одномірне, коли рух залежить лише від однієї з координат.

На закінчення відзначимо наступне рівняння нерозривності для цівки, за умови, що рідина несжимаемая, т. е. ?= const, для потоку це рівняння має вигляд:

Q =? 1? 1 =? 2? 2 = … =? i? i = idem, (3)

де? i? i – швидкість та площа одного й того ж перерізу з номером i.

Рівняння (3) називають рівнянням нерозривності у гідравлічній формі.

22. Диференціальні рівняння руху нев'язкої рідини

Рівняння Ейлера служить одним з фундаментальних у гідравліці, поряд із рівнянням Бернуллі та деякими іншими.

Вивчення гідравліки як такої практично починається з рівняння Ейлера, яке є вихідним пунктом для виходу інші висловлювання.

Спробуємо вивести це рівняння. Нехай маємо нескінченно малий паралелепіпед з гранями dxdydz у нев'язкій рідині із щільністю? Він заповнений рідиною і рухається як складова частинапотоку. Які сили діють виділений об'єкт? Це сили маси і сили поверхневих тисків, які діють на dV = dxdydz з боку рідини, в якій знаходиться виділений dV. Як сили маси пропорційні масі, і поверхневі сили пропорційні площам, куди чиниться тиск. Ці сили спрямовані до меж усередину за нормаллю. Визначимо математичний вираз цих сил.

Назвемо, як і при отриманні рівняння нерозривності, грані паралелепіпеда:

1, 2 - перпендикулярні до осі О Х і паралельні осі О Y;

3, 4 – перпендикулярні до осі O Y та паралельні осі О Х;

5, 6 – перпендикулярні до осі O Z та паралельні осі О Х.

Тепер потрібно визначити, яка сила прикладена до центру мас паралелепіпеда.

Сила, прикладена до центру маси паралелепіпеда, яка змушує цю рідину здійснювати рух, є сума знайдених сил, тобто

Ділимо (1) на масу?dxdydz:

Отримана система рівнянь (2) є рівняння руху нев'язкої рідини - рівняння Ейлера.

До трьох рівнянь (2) додаються ще два рівняння, оскільки невідомих п'ять і вирішується система з п'яти рівнянь з п'ятьма невідомими: одним із двох додаткових рівнянь є рівняння нерозривності. Ще одним рівнянням є рівняння стану. Наприклад, для стисканої рідини рівнянням стану може бути умова? = Const.

Рівняння стану має бути обране таким чином, щоб він містив хоча б одне з п'яти невідомих.

23. Рівняння Ейлера щодо різних станів

Рівняння Ейлера для різних станів має різні формизапис. Оскільки саме рівняння отримано загального випадку, то розглянемо кілька випадків:

1) рух не встановився.

2) рідина у спокої. Отже Ux = Uy = Uz = 0.

У такому разі рівняння Ейлера перетворюється на рівняння рівномірної рідини. Це рівняння також диференціальне і є системою із трьох рівнянь;

3) рідина нев'язка. Для такої рідини рівняння руху має вигляд

де Fl – проекція щільності розподілу сил маси на напрям, яким спрямована дотична до лінії струму;

dU/dt – прискорення частки

Підставивши U = dl/dt (2) і врахувавши, що (?U/?l)U = 1/2(?U 2 /?l), отримаємо рівняння.

Ми навели три форми рівняння Ейлера для трьох окремих випадків. Але це не межа. Головне – правильно визначити рівняння стану, який містив хоча б один невідомий параметр.

Рівняння Ейлера у поєднанні з рівнянням нерозривності може бути використане для будь-якого випадку.

Рівняння стану у загальному вигляді:

Таким чином, для вирішення багатьох гідродинамічних завдань виявляється достатньо рівняння Ейлера, рівняння нерозривності та рівняння стану.

За допомогою п'яти рівнянь легко перебувають п'ять невідомих: p, Ux, Uy, Uz, ?.

Нев'язку рідину можна описати і іншим рівнянням

24. Форма Громеки рівняння руху нев'язкої рідини

Рівняння Громеки - просто інша, дещо перетворена форма запису рівняння Ейлера.

Наприклад, для координати x

Щоб його перетворити використовують рівняння компонентів кутової швидкості для вихрового руху.

Перетворивши так само y-ву та z-ву компоненту, остаточно приходимо до форми Громеко рівняння Ейлера

Рівняння Ейлера було отримано російським ученим Л. Ейлером в 1755 р., і перетворено на вигляд (2) знову ж таки російським ученим І. С. Громекою в 1881 р.

Рівняння Громеко (під впливом масових сил на рідину):

Оскільки

- dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, (4)

то для компонентів Fy, Fz можна вивести ті ж вирази, що і для Fx, і, підставивши це (2), прийти до (3).

25. Рівняння Бернуллі

Рівняння Громеки підходить для опису руху рідини, якщо компоненти функції руху містять якусь вихрову величину. Наприклад, ця вихрова величина міститься в компонентах ?x, ?y,?z кутової швидкості w.

Умовою того, що рух є встановленим, є відсутність прискорення, тобто умова рівності нулю приватних похідних від усіх компонентів швидкості:

Якщо тепер скласти

то отримаємо

Якщо проектувати переміщення на дуже малу величину dl на координатні осі, то отримаємо:

dx = Uxdt; dy = Uy dt; dz = Uzdt. (3)

Тепер помножимо кожне рівняння (3) відповідно на dx, dy, dz і складемо їх:

Припустивши, що права частина дорівнює нулю, а це можливо, якщо другий або третій рядки дорівнюють нулю, отримаємо:

Нами отримано рівняння Бернуллі

26. Аналіз рівняння Бернуллі

це рівняння є не що інше, як рівняння лінії струму при русі, що встановився.

Звідси випливають висновки:

1) якщо рух, що встановився, то перший і третій рядки в рівнянні Бернуллі пропорційні.

2) пропорційні рядки 1 та 2, тобто.

Рівняння (2) є рівнянням вихрової лінії. Висновки з (2) аналогічні висновкам (1), тільки лінії струму замінюють вихрові лінії. Одним словом, у цьому випадку умова (2) виконується для вихрових ліній;

3) пропорційні відповідні члени рядків 2 та 3, тобто.

де а – деяка постійна величина; якщо підставити (3) (2), то отримаємо рівняння ліній струму (1), оскільки з (3) випливає:

X = aUx; ? y = aUy; ? z = aUz. (4)

Тут слід цікавий висновок у тому, що вектори лінійної швидкості і кутової швидкості сонаправлены, тобто паралельні.

У ширшому розумінні треба уявити таке: оскільки аналізований рух, що встановилося, то виходить, що частинки рідини рухаються по спіралі та їх траєкторії по спіралі утворюють лінії струму. Отже, лінії струму та траєкторії частинок – те саме. Рух такого роду називають гвинтовим.

4) другий рядок визначника (точніше, члени другого рядка) дорівнює нулю, тобто.

X =? y =? z = 0. (5)

Але відсутність кутової швидкості рівносильна відсутності вихровості руху.

5) нехай рядок 3 дорівнює нулю, тобто.

Ux = Uy = Uz = 0.

Але це, як нам відомо, умова рівноваги рідини.

Аналіз рівняння Бернуллі завершено.

27. Приклади прикладного застосування рівняння Бернуллі

У всіх випадках потрібно визначити математичну формулу потенційної функції, яка входить до рівняння Бернуллі: але ця функція має різні формули різних ситуаціях. Її вигляд залежить від того, які масові сили діють на рідину, що розглядається. Тож розглянемо дві ситуації.

Одна масова сила

У цьому випадку мається на увазі сила тяжіння, яка виступає як єдина масова сила. Очевидно, що в цьому випадку вісь Z та щільність розподілу Fz сили Ппротиспрямовані, отже,

Fx = Fy = 0; Fz = -g.

Оскільки - dП = Fxdx + Fydy + Fzdz, то - dП = Fzdz, остаточно dП = -gdz.

Інтегруємо отриманий вираз:

П = -gz + C, (1)

де С – деяка стала.

Підставивши (1) в рівняння Бернуллі, маємо вираз для випадку на рідину тільки однієї масової сили:

Якщо розділити рівняння (2) на g (оскільки воно є постійним), то

Ми отримали одну з найчастіше застосовуваних у вирішенні гідравлічних завдань формул, тому слід її запам'ятати особливо добре.

Якщо потрібно визначити розташування частинки у двох різних положеннях, то виконується співвідношення координат Z 1 і Z 2 , що характеризують ці положення

Можна переписати (4) в іншій формі

28. Випадки, коли масових сил кілька

І тут ускладнимо завдання. Нехай на частинки рідини діють такі сили: - сила тяжіння; відцентрова сила інерції (переносить рух від центру); коріолісова сила інерції, яка змушує частки обертатися навколо осі Z з одночасним поступальним рухом.

У цьому випадку ми отримали можливість уявити гвинтовий рух. Обертання відбувається з кутовою швидкістю w. Потрібно уявити собі криволінійну ділянку деякого потоку рідини, на цій ділянці потік обертається навколо деякої осі з кутовою швидкістю.

Приватним випадком такого потоку можна вважати гідравлічний струмінь. Ось і розглянемо елементарну цівку рідини і застосуємо щодо неї рівняння Бернуллі. Для цього помістимо елементарний гідравлічний струмінь у координатну систему XYZ таким чином, щоб площина YOX оберталася навколо осі O Z .

Fx1 = Fy1 = 0; Fz 1 =-g -

складові сили тяжкості (тобто її проекції на осі координат), що віднесені до одиничної маси рідини. До цієї ж маси додана друга сила – сила інерції? 2 r де r – відстань від частинки до осі обертання її компоненти.

Fx 2 =? 2 x; Fy 2 =? 2 y; Fz 2 = 0

через те, що вісь OZ «не обертається».

Остаточно рівняння Бернуллі. Для даного випадку:

Або, що те саме, після поділу на g

Якщо розглянути два перерізи елементарного струменя, то, застосувавши вищезгаданий механізм, легко переконатися, що

де z 1 , h 1 , U 1 , V 1 , z 2 , h 2 , U 2 , V 2 – параметри відповідних перерізів

29. Енергетичний сенс рівняння Бернуллі

Нехай тепер маємо рух рідини, що встановився, яка нев'язка, несжимаемая.

І нехай вона перебуває під впливом сил тяжкості та тиску, тоді рівняння Бернуллі має вигляд:

Тепер потрібно ідентифікувати кожну із доданків. Потенційна енергія положення Z – це висота елементарного струменя над горизонтальною площиною порівняння. Рідина масою М на висоті Z від площини порівняння має деяку потенційну енергію MgZ. Тоді

Це та сама потенціальна енергія, віднесена до одиничної маси Тому Z називають питомою потенційною енергією становища.

Частка, що рухається, з масою Мі швидкістю u має вагу MG і кінематичну енергію U2/2g. Якщо співвіднести кінематичну енергію з одиничною масою, то

Отримане вираз є нічим іншим, як останній, третій доданок у рівнянні Бернуллі. Отже, U2/2 – це питома кінетична енергія струмка. Таким чином, загальний енергетичний сенс рівняння Бернуллі такий: рівняння Бернуллі є сумою, що містить у собі повну питому енергію перерізу рідини в потоці:

1) якщо повна енергія співвіднесена з одиничною масою, то вона є сумою gz + p/? + U 2/2;

2) якщо повна енергія співвіднесена з одиничним обсягом, то gz + p + pU 2/2;

3) якщо повна енергія співвіднесена поодинокій вазі, то повна енергія є сумою z + p/?g + U 2 / 2g. Не слід забувати, що питома енергія визначається щодо площини порівняння: ця площина вибирається довільно та горизонтально. Для будь-якої пари точок, довільно вибраної з потоку, в якому встановився рух і який рухається потенційно-ихрево, а рідина нев'язко-несжимаемая, сумарна і питома енергія однакові, тобто розподілені по потоку рівномірно.

30. Геометричний зміст рівняння Бернуллі

Основу теоретичної частини такої інтерпретації становить гідравлічне поняття натиск, яке прийнято позначати буквою Н, де

Гідродинамічний напір Н складається з наступних різновидів напорів, які входять до формули (198) як доданки:

1) п'єзометричний натиск, якщо в (198) p = p изг, або гідростатичний, якщо p? p ізг;

2) U 2 /2g – швидкісний тиск.

Усі складові мають лінійну розмірність, їх вважатимуться висотами. Назвемо ці висоти:

1) z - геометрична висота, або висота за положенням;

2) p/?g - Висота, що відповідає тиску p;

3) U 2 /2g - швидкісна висота, що відповідає швидкості.

Геометричне місце кінців висоти Н відповідає деякій горизонтальній лінії, яку прийнято називати напірною лінією або питомою лінією.

Так само (за аналогією) геометричні місця кінців п'єзометричного напору прийнято називати п'єзометричною лінією. Напірна та п'єзометрична лінії розташовані одна від одної на відстані (висоті) p атм /?g, оскільки p = p изг + pат, тобто.

Зазначимо, що горизонтальна площина, що містить напірну лінію і знаходиться над площиною порівняння, називається напірною площиною. Характеристику площини при різних рухах називають п'єзометричним ухилом J п, який показує, як змінюється на одиниці довжини п'єзометричний напір (або п'єзометрична лінія):

П'єзометричний ухил вважається позитивним, якщо він за течією струмка (або потоку) зменшується, звідси і знак мінус у формулі (3) перед диференціалом. Щоб J п залишився позитивним, має виконуватися умова

31. Рівняння руху в'язкої рідини

Для отримання рівняння руху в'язкої рідини розглянемо такий самий об'єм рідини dV = dxdydz, який належить в'язкій рідині (рис. 1).

Грані цього обсягу позначимо як 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Мал. 1. Сили, що діють елементарний обсяг в'язкої рідини в потоці

Xy =? yx; ? xz =? zx; ? yz =? zy. (1)

Тоді із шести дотичних напруг залишається лише три, оскільки попарно вони рівні. Тому для опису руху в'язкої рідини виявляються достатніми лише шість незалежних компонентів:

p xx , p yy , p zz , ? xy (або? yx), ? xz (? zx), ? yz(?zy).

Аналогічне рівняння легко можна отримати для осей O Y і O Z; об'єднавши всі три рівняння в систему, отримаємо (попередньо розділивши?)

Отриману систему називають рівнянням руху в'язкої рідини у напругах.

32. Деформація в в'язкій рідині, що рухається

У в'язкій рідині є сили тертя, тому при русі один шар гальмує інший. У результаті з'являється стиск, деформація рідини. Через цю властивість рідину і називають в'язкою.

Якщо згадати з механіки закон Гука, то щодо нього напруга, що виникає у твердому тілі, пропорційно відповідній відносній деформації. Для в'язкої рідини відносну деформацію замінює швидкість деформації. Йдеться про кутову швидкість деформації частинки рідини d?/dt, яку по іншому називають швидкістю деформації зсуву. Ще Ісаком Ньютоном встановлено закономірність про пропорційність сили внутрішнього тертя, площу зіткнення шарів та відносної швидкості шарів. Також ним було встановлено

коефіцієнт пропорційності динамічної в'язкості рідини

Якщо висловити дотичну напругу через її компоненти, то

А щодо нормальних напруг (? -це дотична складова деформації), які залежні від напряму дії, то вони залежать також від того, до якої площі вони прикладені. Це їхня властивість називають інваріантністю.

Сума значень нормальних напруг

Щоб остаточно встановити залежність між pud?/dt через залежність між нормальними

(p xx ,p yy , p zz) і дотичними (? xy = ? yx ; ? yx = ? xy ; ? zx = ? xz), представивши з (3)

p xx = -p + p? xx , (4)

де p? xx - додаткові нормальні напруги, які і залежать від напряму впливу,

аналогії з формулою (4) отримаємо:

Зробивши те саме для компонентів p yy , p zz , отримали систему.

33. Рівняння Бернуллі для руху в'язкої рідини

Елементарний струмінь при русі в'язкої рідини, що встановився.

Рівняння при цьому випадку має вигляд (наводимо його без висновку, оскільки його висновок пов'язаний із застосуванням деяких операцій, приведення яких ускладнило б текст)

Втрата напору (або питомої енергії) h Пp – результат того, що частина енергії перетворюється з механічної на теплову. Оскільки процес незворотний, має місце втрата напору.

Цей процес називається дисипацією енергії.

Іншими словами, h Пp можна розглядати як різницю між питомою енергією двох перерізів, при русі рідини від одного до іншого відбувається втрата напору. Питома енергія – це енергія, що містить одинична маса.

Потік з рухом, що плавно змінюється. Коефіцієнт питомої кінематичної енергії Х

Для того, щоб отримати рівняння Бернуллі в цьому випадку, доводиться виходити з рівняння (1), тобто з струмка треба переходити в потік. Але для цього потрібно визначитися, що являє собою енергія потоку (яка складається з суми потенційної та кінематичної енергій) при плавно змінюваному потоці

Розберемося з потенційною енергією: при плавній зміні руху, якщо потік, що встановився

Остаточно при аналізованому русі тиск по живому перерізу розподілено відповідно до гідростатичного закону, тобто.

де величину Х називають коефіцієнтом кінетичної енергії, чи коефіцієнтом Коріоліса.

Коефіцієнт Х завжди більше 1. З (4) випливає:

34. Гідродинамічний удар. Гідро- та п'єзо-ухили

Через плавність руху рідини для будь-якої точки живого перерізу потенційна енергія Еп = Z + p/?g. Питома кінетична Еk = X? 2/2g. Тому для перерізу 1–1 повна питома енергія

Суму правої частини (1) також називають гідродинамічним натиском Н. У разі нев'язкої рідини U 2 = x? 2 . Тепер залишається врахувати втрати напору h пр рідини під час її руху до перерізу 2–2 (або 3–3).

Наприклад, для перерізу 2–2:

Слід зазначити, що умова плавної змінності повинна бути виконана тільки в перерізах 1-1 і 2-2 (тільки в аналізованих): між цими перерізами умова плавної змінності необов'язкова.

У формулі (2) фізичне значення всіх величин наведено раніше.

В основному так само, як і у випадку з нев'язкою рідиною, основна різниця в тому, що тепер напірна лінія Е = Н = Z + p/? g + X? 2 /2g не паралельна горизонтальній площині порівняння, оскільки має місця втрати напору

Ступінь втрати напору hпр по довжині називають гідравлічним ухилом J. Якщо втрата напору h пр відбувається рівномірно, то

Чисельник у формулі (3) можна розглядати як збільшення напору dH на довжині dl.

Тому в загальному випадку

Знак мінус перед dH/dl – тому, що зміна напору на його течії негативно.

Якщо розглянути зміну п'єзометричного напору Z + p/?g, то величину (4) називають п'єзометричним ухилом.

Напірна лінія, вона ж лінія питомої енергії, знаходиться вище за п'єзометричну лінію на висоту u 2 /2g: тут те ж саме, але тільки різниця між цими лініями тепер дорівнює x? 2/2g. Ця різниця зберігається також за безнапірного руху. Тільки в цьому випадку п'єзометрична лінія збігається із вільною поверхнею потоку.

35. Рівняння Бернуллі для руху в'язкої рідини, що не встановився.

Для того, щоб отримати рівняння Бернуллі, доведеться визначити його для елементарного струмка при неусталеному русі в'язкої рідини, а потім поширювати його на весь потік

Насамперед, згадаємо основну відмінність неусталеного руху від того, що встановилося. Якщо у першому випадку у будь-якій точці потоку місцеві швидкості змінюються за часом, то у другому випадку таких змін немає.

Наводимо рівняння Бернуллі для елементарного струменя без виведення:

тут враховано, що? = Q; ? Q = m; m? = (КД)? .

Так само, як і у випадку з питомою кінетичною енергією, вважати (КД)? не так просто. Щоб рахувати, потрібно пов'язати його з (КД)? . Для цього є коефіцієнт кількості руху

Коефіцієнт a? прийнято називати ще й коефіцієнтом Бусінеску. З урахуванням a?, середній інерційний напір живого перерізу

Остаточно рівняння Бернуллі для потоку, отримання якого було завданням аналізованого питання має такий вид:

Що стосується (5), воно отримано з (4) з урахуванням того, що dQ = wdu; підставивши dQ (4) і скоротивши?, приходимо до (6).

Відмінність hин від hпр насамперед у цьому, що його є необоротним. Якщо рух рідини з прискоренням, що означає d?/t > 0, h ін > 0. Якщо рух уповільнений, тобто du/t< 0, то h ин < 0.

Рівняння (5) пов'язує параметри потоку лише у час. Для іншого моменту воно може виявитися не достовірним.

36. Ламінарний та турбулентний режими руху рідини. Число Рейнольдса

Як неважко було переконатися у наведеному вище досвіді, якщо фіксувати дві швидкості в прямому і зворотному переходах руху в режими ламінарне -> турбулентне, то

де? 1 – швидкість, коли він починається перехід з ламінарного в турбулентний режим;

2 – те саме при зворотному переході.

Як правило, ? 2< ? 1 . Это можно понять из определения основных видов движения.

Ламінарним (від лат. lamina - шар) вважається такий рух, коли в рідині немає перемішування частинок рідини; такі зміни надалі називатимемо пульсаціями.

Рух рідини турбулентний (від лат. Turbulentus - безладний), якщо пульсація місцевих швидкостей призводить до перемішування рідини.

Швидкість переходу? 1, ? 2 називають:

1 – верхньої критичної швидкістю та позначають як? в. кр, це швидкість, коли він ламінарний рух перетворюється на турбулентное;

2 – нижньою критичною швидкістю та позначають як? н. кр, за цієї швидкості відбувається зворотний перехід від турбулентного до ламінарного.

Значення? в. кр залежить від зовнішніх умов (термодинамічні параметри, механічні умови), а значення? кр не залежить від зовнішніх умов і постійні.

Емпіричним шляхом встановлено, що:

де V - кінематична в'язкістьрідини;

d – діаметр труби;

R-коефіцієнт пропорційності.

На честь дослідника питань гідродинаміки взагалі і даного питання, зокрема, коефіцієнт, відповідний uн. кр називається критичним числом Рейнольдса Re кр.

Якщо змінити V і d, то Re кр не змінюється і залишається незмінним.

Якщо Re< Re кр, то режим движения жидкости ламинарный, поскольку? < ? кр; если Re >Re кр, то режим руху турбулентний через те, що? кр.

37. Середні швидкості. Пульсаційні складові

Теоретично турбулентного руху дуже багато що з ім'ям дослідника цього руху Рейнольдса. Розглядаючи хаотичний турбулентний рух, він представив миттєві швидкості, як деякі суми. Ці суми мають вигляд:

де u x , u y , u z - миттєві значення проекцій швидкості;

p,? - те саме, але для напружень тиску і тертя;

характеристика величин нагорі означає, що параметр усереднений за часом; у величин u? x, u? y, u? z, p?, ?? Характеристика зверху означає, що мають на увазі пульсаційна складова відповідного параметра («добавка»).

Посередність параметрів за часом здійснюється за такими формулами:

- Інтервал часу, протягом якого проводиться опосередкування.

З формул (1) випливає, що пульсують не тільки проекції швидкості, а й нормальні ризикові? напруги. Значення усереднених у часі «добавок» повинні дорівнювати нулю: наприклад для х-ой компоненти:

Інтервал часу Т визначають достатнім, щоб при повторному середовищі значення "добавки" (пульсуючої складової) не змінилося.

Турбулентний рух вважається рухом, що не встановився. Незважаючи на можливу сталість опосередкованих параметрів, миттєві параметри все ж таки пульсують. Слід запам'ятати: середня (у часі і в конкретній точці) і середня (у конкретному живому перерізі) швидкості – не те саме:

Q - Витрата рідини, яка тече зі швидкістю? через w.

38. Середнє квадратичне відхилення

Прийнятий стандарт, який називається середньоквадратичним відхиленням. Для х

Щоб отримати формулу для будь-якого параметра «добавки» з формули (1), достатньо замінити u x в (1) на параметр, що шукається.

Середньоквадратичне відхилення можна відносити до таких швидкостей: усереднена місцева швидкість цієї точки; середня по вертикалі; середня поживому перерізу; максимальна швидкість.

Зазвичай максимальна та середня по вертикалі швидкості не використовуються; використовуються дві з перерахованих вище характерних швидкості. Крім них, використовують також динамічну швидкість

де R-гідравлічний радіус;

J – гідравлічний ухил.

Середньоквадратичне відхилення, віднесене до середньої швидкості, є, наприклад, для х-ої компоненти:

Але найкращі результативиходять, якщо середньоквадратичне відхилення відносити до u x , тобто динамічної швидкості, наприклад

Визначимо ступінь (інтенсивність) турбулентності, як називають величину e

Однак кращі результати виходять, якщо за масштаб швидкості (тобто характерну швидкість) взяти динамічну швидкість u x .

Ще однією властивістю турбулентності є частота пульсацій швидкості. Середня частота пульсації у точці з радіусом r від осі потоку:

де N - половина екстремуму поза кривою миттєвих швидкостей;

Т – період опосередкування;

T/N = 1/w - період пульсації.

39. Розподіл швидкостей при рівномірному встановленому русі. Ламінарна плівка

Все ж, незважаючи на перелічені вище та інші особливості, про які не сказано через їх незатребуваність, основною ознакою турбулентного руху є перемішування частинок рідини.

Прийнято про це перемішуванні з точки зору кількості говорити як про перемішування рідини молей.

Як ми переконалися вище, зі зростанням числа Re інтенсивність турбулентності не зростає. Незважаючи на це, все ж таки, наприклад, біля внутрішньої поверхні труби (або у будь-якої іншої твердої стінки) існує деякий шар, в межах якого всі швидкості, в тому числі пульсаційні «добавки», рівні нулю: це дуже цікаве явище.

Цей шар прийнято називати в'язким підшаром потоку.

Само собою на межі зіткнення з основною масою потоку цей в'язкий підшар все ж таки має деяку швидкість. Отже, всі зміни в основному потоці передаються і підв'язкий шар, але їх значення дуже мало. Це дозволяє вважати рух шару ламінарним.

Раніше, вважаючи, що ці передачі підв'язкий шар відсутні, шар назвали ламінарною плівкою. Тепер неважко переконатися, що з погляду сучасної гідравліки ламінарність руху в цьому шарі відносна (інтенсивність? в підв'язкому шарі (ламінарній плівці) може досягати значення 0,3. Для ламінарного руху це досить велика величина)

Підв'язкий шар? дуже тонкий в порівнянні з основним потоком. Саме наявність цього шару породжує втрати напору (питомої енергії).

Щодо товщини ламінарної плівки? в, то вона обернено пропорційна числу Re. Це наочно видно з наступного порівняння товщини в зонах потоку при турбулентному русі.

В'язкий (ламінарний) шар – 0< ua / V < 7.

Перехідна зона – 7< ua/V < 70.

Турбулентне ядро ​​– ua/V< 70.

У цих співвідношеннях u – динамічна швидкість потоку, а – відстань від твердої стінки, V – кінематична в'язкість.

Заглибимося трохи в історію теорії турбулентності: ця теорія включає сукупність гіпотез, на підставі яких були отримані залежності між основними параметрами u i ,? турбулентного руху потоку

У різних дослідників до цього питання були різні підходи. Серед них німецький вчений Л. Прандтль, радянський вчений Л. Ландау та багато інших.

Якщо початку XX в. ламінарний шар, на думку вчених, був деяким мертвим шаром, у переході до якого (або від якого) відбувається як би розрив швидкостей, тобто швидкість змінюється стрибкоподібно, то в сучасній гідравліці зовсім інша точка зору.

Потік – це живе явище: все перехідні процесиу ньому носять безперервний характер.

40. Розподіл швидкостей у «живому» перерізі потоку

Сучасній гідродинаміці вдалося вирішити ці проблеми, застосувавши метод статистичного аналізу. Основним знаряддям цього є те, що дослідник виходить поза рамки традиційних підходів і застосовує для аналізу деякі середні за часом показники потоку.

Усереднена швидкість

Зрозуміло, що в будь-якій точці живого перерізу будь-яку миттєву швидкість можна розкласти на u x , u y , u z компоненти.

Миттєва швидкість визначається за формулою:

Отриману швидкість можна назвати швидкістю, усередненою за часом, або середньою місцевою ця швидкість u x - фіктивно стала і дозволяє судити про характеристику потоку.

Обчисливши u y ,u x можна отримати вектор усередненої швидкості

Щодо напруги? =? +? ,

визначимо і сумарне значення дотичної напруги? Оскільки ця напруга виникає через наявність сил внутрішнього тертя, рідину вважають ньютоновой.

Якщо припустити, що площа дотику – одинична, то сила опору

де? - Динамічна в'язкість рідини;

d?/dy - Зміна швидкості. Цю величину часто називають градієнтом швидкості або швидкістю зсуву.

В даний час керуються виразом, отриманим у вищезгаданому рівнянні Прандтля:

де? - Щільність рідини;

l-довжина шляху, на якому розглядається рух.

Без висновку наводимо остаточну формулу для пульсаційної «добавки» дотичної напруги:

42. Параметри потоку, від яких залежить втрата тиску. Метод розмірності

Невідомий вид залежності визначається методом розмірностей. Для цього існує теорема: якщо деяка фізична закономірність виражена рівнянням, що містить до розмірних величин, причому воно містить п величин з незалежною розмірністю, то це рівняння може бути перетворено на рівняння, що містить (к-п) незалежних, але вже безрозмірних комплексів.

Для чого визначимося: від чого залежать втрати напору при русі, що встановився в полі сил тяжіння.

Ці параметри.

1. Геометричні розміри потоку:

1) характерні розміри живого перерізу l 1 l 2;

2) довжина ділянки l, що розглядається;

3) кути, якими завершується живий переріз;

4) властивості шорсткості: ? - Висота виступу і l? - Характер поздовжнього розміру виступу шорсткості.

2. Фізичні властивості:

1)? - густина;

2)? - Динамічна в'язкість рідини;

3)? - Сила поверхневого натягу;

4) Е ж - модуль пружності.

3. Ступінь інтенсивності турбулентності, характеристикою якої є середньоквадратичне значення пульсаційних складових?

Тепер застосуємо теорему.

Виходячи з наведених вище параметрів, у нас набирається 10 різних величин:

l, l 2 , ?, l ? , ?p, ?, ?, E ж,? u, t.

Крім цих, маємо ще три незалежні параметри: l 1,?,?. Додамо ще прискорення падіння g.

Усього маємо до = 14 розмірних величин, три з яких незалежні.

Потрібно отримати (ккп) безрозмірних комплексів, або, як їх називають?-членів.

Для цього будь-який параметр з 11, який не входив би до складу незалежних параметрів (в даному випадку l 1 , ?, ?), позначимо як N i тепер можна визначити безрозмірний комплекс, який є характеристикою цього параметра N i , тобто i- той-член:

Тут кути розмірності базових величин:

загальний виглядзалежності для всіх 14 параметрів має вигляд:

43. Рівномірний рух та коефіцієнт опору за довжиною. Формула Шезі. Середня швидкість та витрата потоку

При ламінарному русі (якщо він рівномірний) ні живий переріз, ні середня швидкість, ні епюра швидкостей по довжині не змінюються з часом.

При рівномірному русі п'єзометричний ухил

де l 1 - Довжина потоку;

h l - Втрати напору на довжині L;

r 0 d – відповідно радіус та діаметр труби.

У формулі (2) безрозмірний коефіцієнт? називають коефіцієнтом гідравлічного тертя чи коефіцієнтом Дарсі.

Якщо (2) d замінити на гідравлічний радіус, то слід

Введемо позначення

тоді з урахуванням того, що

гідравлічний ухил

Цю формулу називають формулою Шезі.

називається коефіцієнтом Шезі.

Якщо коефіцієнт Дарсі? - Величина безрозміру

ная, то коефіцієнт Шези має розмірність

Визначимося з витратою потоку за участю коеф

фіцієнта Шезі:

Перетворимо формулу Шезі на такий вигляд:

Величину

називають динамічною швидкістю

44. Гідравлічна подоба

Поняття про подобу. Гідродинамічний моделювання

Для дослідження питань спорудження гідроелектростанцій застосовують метод гідравлічних подоб, суть якого полягає в тому, що в лабораторних умовах моделюються такі самі умови, що і в натурі. Це називають фізичним моделюванням.

Наприклад, щоб два потоки були подібними, потрібно їх:

1) геометрична подоба, коли

де індекси н, м відповідно означають "натура" та "модель".

Однак, ставлення

що означає, відносна шорсткість у моделі така сама, як і в натурі;

2) кінематична подоба, коли траєкторії відповідних частинок, відповідні лінії струму подібні. Крім того, якщо відповідні частини пройшли подібні відстані l н, l м, то відношення відповідних часів руху виглядає так

де Mi – масштаб часу

Така ж схожість є для швидкості (масштаб швидкості)

та прискорення (масштаб прискорення)

3) динамічна подоба, коли потрібно, щоб відповідні сили були подібними, наприклад, масштаб сил

Таким чином, якщо потоки рідини механічно подібні, то вони подібні до гідравлічно; коефіцієнти Ml, Mt, M? , M p та інші називаються масштабними множниками.

45. Критерії гідродинамічної подоби

Умови гідродинамічної подоби вимагають рівності всіх сил, але це практично не вдається.

З цієї причини подобу встановлюють за якоюсь із цих сил, яка в даному випадку переважає. Крім того, потрібно виконання умов однозначності, які включають прикордонні умови потоку, основні фізичні характеристики та початкові умови.

Розглянемо окремий випадок.

Переважає вплив сил тяжіння, наприклад, при перебігу через отвори або водозливи

Якщо перейти до взаємовідносин P і P м і висловити його в масштабних множниках, то

Після необхідного перетворення, слід

Якщо тепер здійснити перехід від масштабних множників до самих відносин, то з огляду на те, що l – характерний розмір живого перерізу, то

У (4) комплекс? 2 /gl називається критерієм Фруді, який формулюється так: потоки, в яких переважають сили тяжіння, геометрично подібні, якщо

Це друга умова гідродинамічної подоби.

Нами отримано три критерії гідродинамічної подоби

1. Критерій Ньютона (загальні критерії).

2. Критерій Фруда.

3. Критерій Дарсі.

Зазначимо тільки: в окремих випадках гідродинамічна подоба може бути встановлена ​​також за

де? - Абсолютна шорсткість;

R-гідравлічний радіус;

J-гідравлічний ухил

46. ​​Розподіл дотичних напружень при рівномірному русі

При рівномірному русі втрата напору на довжині l he визначається:

де? - Змочений периметр,

w – площа живого перерізу,

l he – довжина шляху потоку,

G – щільність рідини та прискорення сили тяжіння,

0 – дотичне напруження поблизу внутрішніх стін труби.

Звідки з урахуванням

Виходячи з отриманих результатів для? 0, розподілу дотичної напруги? у довільно обраній точці виділеного обсягу, наприклад, у точці r 0 – r = t ця відстань дорівнює:

цим вводимо дотичне напруга t лежить на поверхні циліндра, що діє точку в r 0 – r= t.

З порівнянь (4) та (3) випливає:

Підставивши r= r 0 – t (5), отримаємо

1) при рівномірному русі розподіл дотичної напруги по радіусу труби підпорядковується лінійному закону;

2) на стінці труби дотична напруга максимально (коли r 0 = r, тобто t = 0), на осі труби вона дорівнює нулю (коли r 0 = t).

R-гідравлічний радіус труби, отримаємо, що

47. Турбулентний рівномірний режим руху потоку

Якщо розглянути плоский рух (т. е. потенційний рух, коли траєкторії всіх частинок паралельні одній і тій же площині і є функції їй двох координат і якщо рух неустановився), що одночасно є рівномірним турбулентним в системі координат XYZ, коли лінії струму паралельні осі OX, то

Середня швидкість при сильно турбулентному русі.

Це вираз: логарифмічний закон розподілу швидкостей для турбулентного руху.

При напірному русі потік складається переважно з п'яти областей:

1) ламінарна: приосева область, де місцева швидкість максимальна, у цій галузі? лам = f(Re), де число Рейнольдса Re< 2300;

2) у другій області потік починає переходити з ламінарного в турбулентний, отже, збільшується число Re;

3) тут потік повністю турбулентний; в цій області труби називаються гідравлічними гладкими (шорсткість? менше, ніж товщина в'язкого шару? в, тобто?< ? в).

У випадку, коли? в, труба вважається «гідравлічно шорсткою».

Характерно, що якщо для? лам = f(Re -1), то в цьому випадку? гд = f (Re - 0,25);

4) ця область знаходиться на шляху переходу потоку до підв'язкого шару: у цій галузі? лам = (Re,? / R0). Як видно, коефіцієнт Дарсі вже починає залежати від абсолютної шорсткості?;

5) ця область називається квадратичною областю (коефіцієнт Дарсі не залежить від числа Рейнольдса, але визначається майже повністю дотичною напругою) і є пристінною.

Цю область називають автомодельною, тобто незалежно від Re.

У загальному випадку, як відомо, коефіцієнт Шезі

Формула Павловського:

де п – коефіцієнт шорсткості;

R-гідравлічний радіус.

При 0,1

причому при R< 1 м

48. Нерівномірний рух: формула Вейсбаха та її застосування

При рівномірному русі втрати напору, як правило, виражаються формулою

де втрати напору h пр залежать від швидкості потоку; вона постійна, оскільки рух рівномірний.

Отже, формула (1) має відповідні форми.

Справді, якщо у першому випадку

то у другому випадку

Як видно, формули (2) та (3) розрізняються лише коефіцієнтом опору x.

Формула (3) називається формулою Вейсбаха. У обох формулах, як й у (1), коефіцієнт опору – величина безрозмірна, й у практичних цілях визначається, зазвичай, по таблицям.

Для проведення досвіду визначення xм послідовність дій наступна:

1) має бути забезпечений хід рівномірності потоку в досліджуваному конструктивному елементі. Необхідно забезпечити достатню відстань від входу п'єзометрів.

2) для руху в'язкої несжимаемой рідини між двома перерізами (у нашому випадку, це вхід з x 1 ? 1 і вихід з x 2 ? 2), застосовуємо рівняння Бернуллі:

У перерізах, що розглядаються, потік повинен бути плавно змінним. Між перерізами могло б статися будь-що.

Оскільки сумарні втрати напору

то знаходимо втрати натиску на цій же ділянці;

3) за формулою (5) знаходимо, що h м = h пр – h l , після цього за формулою (2) знаходимо шуканий коефіцієнт

опору

49. Місцеві опори

Що відбувається після того, як потік увійшов з деяким натиском і швидкістю в трубопровід.

Це залежить від виду руху: якщо ламінарний потік, тобто його рух описується лінійним законом, тоді його крива - парабола. Втрати напору за такого руху досягають (0,2 x 0,4) x (? 2 / 2g).

При турбулентному русі, коли він описується логарифмічною функцією, втрати напору - (0,1 x 1,5) x (? 2 / 2g).

Після таких втрат напору рух потоку стабілізується, тобто відновлюється ламінарний або турбулентний потік, яким був вхідний.

Ділянка, де відбуваються вищевказані втрати напору, відновлюється за характером, колишній рух називається початковою ділянкою.

А чому дорівнює довжина початкової ділянки l поч.

Турбулентний потік відновлюється в 5 разів швидше, ніж ламінарний, при тих самих гідравлічних супутніх даних.

Розглянемо окремий випадок, коли потік не звужується, як розглянули вище, але раптово розширюється. Чому відбуваються втрати напору за такої геометрії потоку?

Для загального випадку:

Щоб визначити коефіцієнти місцевого опору, перетворимо (1) у такий вигляд: розділивши та помноживши на? 1 2

Визначимо? 2/? 1 із рівняння нерозривності

1 w 1 =? 2w2 як? 2/? 1 = w 1 /w 2 і підставимо (2):

Залишається зробити висновок, що

50. Розрахунок трубопроводів

Завдання розрахунку трубопроводів.

Потрібні вирішувати такі завдання:

1) потрібно визначити витрати потоку Q, при цьому задані напір Н; довжина труби l; шорсткість труби?; густина рідини r; в'язкість рідини V (кінематична);

2) потрібно визначити напір Н. Задано витрату потоку Q; параметри трубопроводу: довжина l; діаметр d; шорсткість?; Параметри рідини: ? густина; в'язкість V;

3) потрібно визначити необхідний діаметр трубопроводу d. Задано витрати потоку Q; натиск Н; довжина труби l; її шорсткість?; щільність рідини?; її в'язкість V.

Методика розв'язання завдань та сама: спільне застосування рівнянь Бернуллі і нерозривності.

Натиск визначається виразом:

Витрата рідини,

оскільки J = H/l

Важливою характеристикою трубопроводу є величина, яка поєднує деякі параметри трубопроводу, виходячи з діаметра труби (розглядаємо прості труби, де діаметр по всій довжині постійний l). Цей параметр k називають витратною характеристикою:

Якщо починати спостереження від початку трубопроводу, то побачимо: деяка частина рідини, не змінюючись, доходить до кінця трубопроводу транзитом.

Нехай це буде Q т (транзитний витрата).

Рідина шляхом частково лунає споживачам: позначимо цю частину як Q p (шляховий витрата).

З урахуванням цих позначень, на початку трубопроводу

Q = Q т + Q p ,

відповідно, наприкінці витрата потоку

Q - Q p = Q т.

Що стосується натиску в трубопроводі, то:

51. Гідравлічний удар

Найбільш поширеним, тобто часто зустрічається видом руху, що не встановився, є гідравлічний удар. Це типове явище при швидкому або поступовому закритті затворів (різка зміна швидкостей у певному перерізі потоку призводить до гідравлічного удару). Як наслідок, виникають тиски, які поширюються по всьому трубопроводу хвилею.

Ця хвиля може бути руйнівною, якщо не вжити спеціальних заходів: можуть розірватися труби, вийти з ладу насосні станції, виникнути насичені пари з усіма руйнівними наслідками тощо.

Гідравлічний удар може породжувати розриви рідини у трубопроводі – це не менш серйозна аварія, ніж розрив труби.

Найчастіші причини гідравлічного удару такі: раптове закриття (відкриття) затворів, раптова зупинка насосів при заповненні трубопроводів водою, випуск повітря через гідранти в зрошувальній мережі, пуск насоса при відкритому затворі.

Якщо це вже сталося, як протікає гідравлічний удар, які наслідки викликає?

Все це залежить від того, чому виник гідравлічний удар. Розглянемо основну з цих причин. Механізми виникнення та перебігу з інших причин подібні.

Миттєве закриття затвора

Гідравлічний удар, який відбувається у цьому випадку – надзвичайно цікаве явище

Нехай маємо відкритий резервуар, від якого відводиться гідравлічна прямолінійна труба; на деякій відстані від резервуара труба має затвор. Що станеться за його миттєвого закриття?

По-перше, нехай:

1) резервуар настільки великий, що процеси, що відбуваються в трубопроводі, рідини (в резервуарі) не відображаються;

2) втрати натиску до закриття затвора нікчемні, отже, п'єзометрична та горизонтальна лінії збігаються

3) тиск рідини у трубопроводі відбувається тільки з однією координатою, дві інші проекції місцевих швидкостей дорівнюють нулю; рух визначається лише поздовжньою координатою.

По-друге, тепер раптово закриємо затвор - у момент часу t 0; можуть статися два випадки:

1) якщо стінки трубопроводу абсолютно непружні, т. Е. Е = ?, І рідина несжимаемая (Е ж = ?), то рух рідини також раптово зупиняється, що призводить до різкого зростання тиску у затвора, наслідки можуть бути руйнівні.

Збільшення тиску при гідравлічному ударі за формулою Жуковського:

P =? 0 + ?? 0 2 .

52. Швидкість поширення хвилі гідравлічного удару

У гідравлічних розрахунках чималий інтерес становить швидкість поширення ударної хвилі гідравлічного удару, як і сам гідравлічний удар. Як її визначити? Для цього розглянемо круглий поперечний переріз у пружному трубопроводі. Якщо розглянути ділянку довжиною?l, то вище цієї ділянки за час?t рідина ще рухається зі швидкістю? 0, до речі, як і до закриття затвора.

Тому у відповідній довжині l об'єм? V? увійде рідина Q =? 0? 0, тобто.

V? = Q?t =? 0? 0?t, (1)

де площа круглого поперечного перерізу – об'єм, що утворився внаслідок підвищення тиску і, як наслідок цього, через розтяжки стіни трубопроводу?V 1 . Обсяг, який виник через зростання тиску на ?p позначимо як? V 2 . Отже, той обсяг, який виник після гідравлічного удару, є

V = ?V 1 + ?V 2 , (2)

V? входить до?V.

Визначимося тепер: чому дорівнюють? V 1 і? V 2 .

В результаті розтяжки труби відбудеться збільшення радіусу труби на ?r, тобто радіус стане рівним r = r 0 + ?r. Через це збільшиться круглий переріз поперечного перерізу на ?? =? -? 0 . Все це призведе до збільшення обсягу на

V 1 = (? - ? 0)? (3)

Слід пам'ятати, що індекс нуль означає належність параметра до початкового стану.

Що стосується рідини, то її обсяг зменшиться на ?V 2 через збільшення тиску на?p.

Шукана формула швидкості поширення хвилі гідравлічного удару

де? - Щільність рідини;

D/l – параметр, що характеризує товщину стінки труби.

Очевидно, що чим більше D/l, тим менша швидкість поширення хвилі С. Якщо труба жорстка абсолютно, тобто Е = ?, то, як випливає з (4)

53. Диференціальні рівняння неусталеного руху

Для того, щоб скласти рівняння будь-якого виду руху, потрібно проектувати всі сили, що діють, на систему і прирівнювати їх суму до нуля. Так і вчинимо.

Нехай маємо напірний трубопровід круглого перерізу, в якому є рух рідини, що не встановився.

Вісь потоку збігається з віссю l. Якщо виділити на цій осі елемент dl, то, згідно з вищезгаданим правилом, можна скласти рівняння руху

У наведеному рівнянні проекції чотирьох сил, які діють потік, точніше, на?l, дорівнюють нулю:

1) ?M - сили інерції, що діють на елемент dl;

2) ?p - сили гідродинамічного тиску;

3) ΔT – дотичні сили;

4) ?G - сили тяжіння: тут ми, говорячи про сили, мали на увазі проекції сил, що діють на елемент?l.

Перейдемо до формули (1), безпосередньо до проекцій сил на елемент?t, на вісь руху.

1. Проекції поверхневих сил:

1) для гідродинамічних сил? p проекцією буде

2) для дотичних сил?

Проекція дотичних сил має вигляд:

2. Проекція сил тяжіння? ? G на елемент? ?

3. Проекція сил інерції? ?M дорівнює

54. Закінчення рідини при постійному натиску через малий отвір

Розглядатимемо закінчення, яке відбувається через мале незатоплене отвір. Для того щоб отвір вважати малим, повинні виконуватися умови:

1) натиск у центрі тяжкості Н >> d, де d – висота отвору;

2) натиск у будь-якій точці отвору практично дорівнює натиску в центрі тяжкості Н.

Що стосується затопленості, то такою вважають закінчення під рівень рідини за умови, якщо не змінюються з часом: положення вільних поверхонь до і після отворів, тиск на вільні поверхні до і після отворів, атмосферний тиск по обидва боки від отворів.

Таким чином, маємо резервуар з рідиною, яка має щільність?, з якого через малий отвір відбувається закінчення під рівень. Напір Н у центрі тяжкості отвору постійний, що означає, швидкості закінчення постійні. Отже, рух, що встановився. Умовою рівності швидкостей на протилежних вертикальних межах отворів є умова d

Зрозуміло, що завданням є визначення швидкості закінчення і витрати рідини у ньому.

Перетин струменя, що віддаляється від внутрішньої стінки резервуара на відстань 0,5d, називають стисненим перетином струменя, що характеризується коефіцієнтом стиснення

Формули визначення швидкості та витрати потоку:

де? 0 називається коефіцієнтом швидкості.

Тепер виконаємо друге завдання, визначимо витрату Q. За визначенням

Позначимо Е? 0 =? 0, де? 0 – коефіцієнт витрати, тоді

Розрізняють такі різновиди стиснення:

1. Повний стиск – це такий стиск, який відбувається по всьому периметру отвору, інакше стиск вважається неповним стиском.

2. Досконале стиск є одним із двох різновидів повного стиснення. Це такий стиск, коли кривизни траєкторії, отже, і ступінь стиснення струменя найбільші.

Підсумовуючи, зауважимо, що неповна та недосконала форми стисків призводять до зростання коефіцієнта стиснення. Характерною особливістюдосконалого стиску є те, що залежно від того, під впливом яких сил відбувається закінчення.

55. Закінчення через великий отвір

Отвір вважають малим, коли його вертикальні розміри d< 0,1Н. Большим отверстием будем считать такое отверстие, для которого тот же d>0,1Н.

Розглядаючи закінчення через мале отвір, практично знехтували різницею швидкостей у різних точках перерізу струменя. В цьому випадку вчинити так само ми не зможемо.

Завдання те саме: визначити витрату та швидкості в стислому перерізі.

Тому витрати визначають наступним способом: виділяють нескінченно малу горизонтальну висоту dz Таким чином, виходить горизонтальна смуга зі змінною довжиною bz. Тоді, інтегрувавши по довжині, можна знайти елементарну витрату

де Z - Змінний напір по висоті отвору, на таку глибину занурений верх обраної смуги;

? - Коефіцієнт витрати через отвір;

b z - Змінна довжина (або ширина) смуги.

Витрата Q(1) можемо визначити, якщо? = const та відома формула b z = f(z). Загалом, витрата визначають за формулою

Якщо форма отвору прямокутна, то bz = b = const, інтегрувавши (2), отримуємо:

де Н 1 , Н 2 – напори на рівнях відповідно у верхній та нижній крайок отвору;

Нц - натиск над центром отвору;

d – висота прямокутника.

Формула (3) має більш спрощений вигляд:

У разі закінчення через круглий отвір межами інтегрування (2) служать Н 1 = Н ц - r; Н 2 = Н ц + r; Z = Н ц - rcos?; d z = ?sin?d?; b z = 2r?sin?.

Уникаючи математичної надмірності, наведемо кінцеву формулу:

Як видно з порівнянь формул, особливої ​​різниці у формулах для витрати немає, тільки при великих та малих отворах коефіцієнти витрати різні

56. Коефіцієнт витрати системи

Потрібно з'ясувати питання про витраті, якщо витікання відбувається по трубах, з'єднаних в одну систему, але мають різні геометричні дані. Тут слід розглянути кожен випадок окремо. Наведемо деякі з них.

1. Закінчення відбувається між двома резервуарами при постійному натиску через систему труб, у яких різні діаметри та довжина. І тут на виході системи Е= 1, отже, чисельно?= ?, де Е, ?, ? - Коефіцієнти відповідно стиснення, витрати і швидкості.

2. Закінчення відбувається через систему труб з різними? (Площа поперечного перерізу): при цьому визначають сумарний коефіцієнт опору системи, який складається з таких же коефіцієнтів, але для кожної ділянки окремо.

Закінчення відбувається в атмосферу через незатоплене отвір. В цьому випадку

де Н = z = const - натиск; ?,? - Коефіцієнт витрати і площа перерізу.

оскільки у (2) коефіцієнт Коріолісу (або кінетичної енергії) х віднесено до вихідного перерізу, де, як правило, х? 1.

Таке ж закінчення відбувається через затоплений отвір

у цьому випадку витрата визначається за формулою (3), де? =? сист, ? - площа вихідного перерізу. За відсутності або незначності швидкості в приймачі чи трубі коефіцієнт витрати замінюється на

Потрібно лише мати на увазі, що при затопленому отворі? вих = 1, і цей вих входить вист.

Квантова оптика (Документ)

Хвильова оптика (Документ)

Молекулярна фізика (Документ)

Шпори до іспиту з девіантології (Шпаргалка)

Шпори - По оптиці та атомній фізиці (Документ)

Контрольна робота - Гідравліка та гідравлічні машини. Розділ 2. Гідродинаміка (Лабораторна робота)

Гідравліка. Методичні вказівки та завдання до курсової роботи (Документ)

n1.doc

Центр тиску

Т.К.р 0 передається всім точкам площі А однаково, його рівнодіюча F 0 буде прикладена в центрі мас площі А. Для знаходження точки докладання сили тиску F ж від ваги рідини (т.д) застосуємо теорему механіки згідно з якою: момент рівнодіючої сили щодо осі дорівнює сумі моментів складових сил.

Yд - координата точки докладання сили F ж.

Виразимо сили F через координати y c і y і тоді отримаємо

- момент інерції площі А щодо осі ох.

тоді
(1)

J х0 - момент сили площі відносно центральної осі паралельної х 0 . таким чином точка докладання сили F ж розташованої нижче центру мас стінки, відстань між ними визначається за виразом

(2)

Якщо тиск р 0 дорівнює атмосферному, то центр тиску.

При р 0 > р атм центр тиску перебуває як точка застосування рівнодіючих 2х сил F 0 і F ж. Чим більше F 0 порівняно з F ж тим центр тиску ближче до центру мас площі А.

У рідині можливі лише розподіл сили, тому центри тиску приймаються умовно.

з мули тиску на криволінійні стінки

Розглянемо циліндричну поверхню АВ з твірною перпендикулярною пл-ти креслення і визначимо силу тиску на цю поверхню АВ. Виділимо обсяг рідини обмеженою поверхнею АВ. Вертикальними площинами проведеними через межі цієї ділянки та вільною поверхнею рідини, тобто. обсяг АВСД та розглянемо умови його рівноваги у вертик.і горизонт. напрямках.

Якщо рідина діє стінку з силою F, то стінки АВ діють із силою F спрямованої у зворотний бік (сила реакції). Розкладемо силу реакції на 2 складові горизонт та вертик. Умова рівноваги у вертикальному напрямку:

(1)

G- вага виділеного об'єму рідини

А г – площа горизонтальної проекції пов-ти АВ.

Умова рівноваги в гориз напрямку записується з урахуванням того, що сили тиску рідини на поверхнях ЄС та АТ взаємно врівноважуються. Залишається лише сила тиску на ВЕ, тоді

h c - Глибина розташування центру мас площі ВЕ.

Сила тиску

9. Модель ідеальної рідини. Рівняння Бернуллі

Під ідеальною розуміють рідину, абсолютно нестисливу і нерозширювану, не здатну чинити опір розтягуванню і зсуву, а також позбавлену властивості випаровуваності. =0).

Отже, в ідеальній рідині, що рухається, можливий лише один вид напруг - напруга стиснення (p ).

Основними рівняннями, що дозволяють вирішувати найпростіші завдання щодо руху ідеальної рідини, є рівняння витрати та рівняння Бернуллі.

Рівняння Бернуллі для потоку ідеальної рідини виражає закон збереження питомої енергії рідини вздовж потоку. Під питомою розуміють енергію, віднесену до одиниці ваги, об'єму чи маси рідини. Якщо відносити енергію до одиниці ваги, то в цьому випадку рівняння Бернуллі, записане для потоку ідеальної рідини, має вигляд

де z – вертикальні координати центрів тяжкості перерізів;

- п'єзометрична висота, або питома енергія тиску; - Натиск, або питома кінетична енергія; Н- Повний натиск, або повна питома енергія рідини.

Якщо енергію рідини віднести до одиниці її об'єму, рівняння набуде вигляду:

Е
якщо енергію рідини віднести до одиниці маси, можна отримати 3-ю формулу:
10.Рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини.

При русі реальної (в'язкої) рідини в трубці відбувається гальмування потоку внаслідок впливу в'язкості, а також через дію сил молекулярного зчеплення між рідиною та стінками, тому найбільше значенняшвидкості досягає в центральній частині потоку, а при наближенні до стінки вони зменшуються практично до нуля. В результаті виходить розподіл швидкості:

Крім того, рух в'язкої рідини супроводжується обертанням частинок, вихреобразованием і перемішуванням. Все це вимагає витрати енергії і з цього питома енергія в'язкої рідини, що рухається, не залишається постійною, як у випадку ідеальної рідини, а поступово витрачається на подолання опорів і отже зменшується вздовж потоку. Т. образом при переході від елементарного струменя ідеальної рідини до потоку реальної (в'язкої) рідини необхідно врахувати: 1) нерівномірність швидкостей перерізу потоку; 2) втрати енергії (напору). З урахуванням цих особливостей, рух в'язкої рідини рівняння Бернуллі має вигляд:

(1) .

- сумарні втрати повного напору між перерізами 1-1 і 2-2, що розглядаються, обумовлене в'язкістю рідини; - коефіцієнт Коріоліса, враховує нерівномірність розподілу V за перерізами і дорівнює відношенню дійсної кінетичної енергії потоку кінетичної енергії того ж потоку при рівномірному

11 Рівняння Бернуллі для відносного руху

Рівняння Бернуллі у формулах і справедливо в тих випадках течії рідини, коли з масових сил на рідину діє лише сила тяжкості. Однак іноді доводиться розглядати такі течії, при розрахунку яких, крім сили тяжіння, слід враховувати сили інерції переносного руху. Якщо інерційна сила постійна за часом, то перебіг рідини щодо стінок русла може бути встановленим, і для нього можна вивести рівняння Бернуллі

Робили в. У ліву частину рівняння до роботи сил тиску та тяжкості слід додати роботу сили інерції, що діє на елемент струменя вагою dG при його переміщенні з перерізу 1 -1 у переріз 2 -2 . Потім цю роботу, як і інші члени рівняння, ділимо на dG, тобто відносимо до одиниці ваги, і, отримавши деякий натиск, переносимо їх у праву частину рівняння. Отримаємо рівняння Бернуллі для відносного руху, який у разі реального потоку набуває вигляду

Де? Нін - так званий інерційний натиск,який є роботу сили інерції, віднесену до одиниці ваги і взяту зі зворотним знаком (зворотний знак обумовлений тим, що ця робота перенесена з лівої частини рівняння в праву).

Прямолінійне рівноприскорений рухрусла. Якщо русло, яким тече рідина, рухається прямолінійно з постійним прискоренням? (рис. 1.30 а), то на всі частинки рідини діє однакова і постійна за часом сила інерції переносного руху, яка може сприяти або перешкоджати течії. Якщо цю силу віднести до одиниці маси, то вона дорівнюватиме відповідному прискоренню? і направлена ​​у бік, зворотний йому, а на кожну одиницю ваги рідини діятиме сила інерції alg.Робота цієї сили при переміщенні рідини з перерізу 1- 1 у переріз 2-2 (так само, як і робота сили тяжіння) не залежить від форми шляху, а визначається лише різницею координат, що відраховуються у напрямку прискорення а, отже,

Де 1 а - проекція ділянки русла, що розглядається, на напрям прискорення а.

Якщо прискорення? спрямовано від перерізу 1-1 до перерізу 2-2, а сила інерції - навпаки, то ця сила перешкоджає течії рідини, і інерційний тиск повинен мати знак плюс. В цьому випадку інерційний напір зменшує напір у перерізі

2-2 в порівнянні з напором у перерізі 1-1 і, отже, аналогічний до гідравлічних втрат? h a , які завжди входять до правої частини рівняння Бернуллі зі знаком плюс. Якщо ж прискорення? спрямовано від перерізу 2- 2 до перерізу 1 -1, то сила інерції сприяє течії та інерційний натиск повинен мати знак мінус. В цьому випадку інерційний натиск буде збільшувати напір у перерізі 2-2, тобто буде зменшувати гідравлічні втрати.

2. Обертання русла навколо вертикальної осі. Нехай русло, яким рухається рідина, обертається навколо вертикальної осі з постійної кутової швидкістю? (Рис. 1.30, б). Тоді на рідину діє сила інерції обертального руху, що є функцією радіусу. Тому для підрахунку роботи цієї сили чи зміни потенційної анергії, обумовленої її дією, необхідно застосувати інтегрування.

12. Подібність гідромеханічних процесів
Розрізняють 2 етапи вивчення реальних рідин.

1 етап - відбір тих чинників, які є визначальними для досліджуваного процесу.

2 етап вивчення - це встановлення залежності значення, що цікавить, від системи обраних визначальних факторів. Цей етап може виконуватися двома шляхами: аналітичним, заснованим на законах механіки та фізики, та експериментальним.

Завдання дозволяє вирішувати теорія гідродина мічної подоби (Подібності потоків несжимаемой рідини). Гідродинамічна подобаскладається із трьох складових; геометричної подоби, кінематичної та динамічної.

Геометричне подоба - розуміють подобу тих поверхонь, які обмежують потоки, тобто ділянки русел, а також ділянки, які розташовані безпосередньо перед ними і за ними і які впливають на характер течії в ділянках, що розглядаються.

Відношення двох подібних розмірів подібних русел назвемо лінійним масштабом і позначимо через .Ця величина однакова для подібних русел a і b:

Кінематичнодо ця подоба– означає пропорційність місцевих швидкостей у подібних точках та рівність кутів, що характеризують напрямок цих швидкостей:

Де k - масштаб швидкостей, однаковий за кінематичного вигляду.

Так як

(де Т- Час,
- масштаб часу).

Динамічна подоба - це пропорційність сил, що діють на подібні обсяги в кінематично подібних потоках і рівність кутів, що характеризують напрям цих сил.

У потоках рідин зазвичай діють різні сили: сили тиску, в'язкості (тертя), тяжкості та ін Дотримання їх пропорційності означає повне гідродинамічна подоба.Приймемо сили інерції за основу і інші сили, що діють на рідину, порівнюватимемо з інерційними загальний вигляд закону гідродинамічної подоби, число Ньютона (Ne):

Тут під Рмається на увазі основна сила: сила тиску, в'язкості, тяжкості чи ін.

Критерій 1.Число Ейлера. На рідину діють лише сили тиску та інерції. Тоді
і загальний закон має вигляд:

Отже, умовою гідродинамічної подоби геометрично подібних потоків у разі є рівність їм чисел Ейлера.

Критерій 2.число Рейнольдс. На рідину діють сили в'язкості, тиску та інерції. Тоді

І умова після поділу останнього виразу на рv 2 L 2 набуде вигляду

Отже, умовою гідродинамічної подоби геометрично подібних потоків у цьому випадку є рівність чисел Рейнольдса, підрахованих для подібних перерізів потоків.

Критерій 3.число Фруда На рідину діють сили тяжкості, тиску та інерції. Тоді

І загальний закон ДП має вигляд:
чи

Отже, умовою гідродинамічної подоби геометрично подібних потоків у цьому випадку є рівність чисел Фруда, підрахованих для подібних перерізів потоків.

Критерій 4:Число Вебера. При розгляді течій, пов'язаних з поверхневим натягом (розпорошення палива в двигунах) рівний відношенню сил поверхневого натягу до сил інерції. Для цього випадку загальний закон ДП набуває вигляду:

Критерій 5.Число Струхаля. При розгляді невстановлених (нестаціонарних) періодичних течій з періодом Т(наприклад, течій у трубопроводі, приєднаному до поршневого насоса), враховує сили інерції від нестаціонарності, які називаються локальними. Останні пропорційні масі (рL 3 ) та прискорення яке, у свою чергу, пропорційне .Отже, загальний закон ДП набуває вигляду

Критерій 6.Число Маха. Під час розгляду рухів рідини з урахуванням її стисливості (наприклад, рухів емульсій). Враховує сили пружності. Останні пропорційні площі (L 2 ) та об'ємному модулю пружності К =
. Тому сили пружності пропорційні

13. Гідравлічні опори
Розрізняють два види гідравлічних втрат напору: місцеві втрати та втрати на тертя за довжиною. Місцеві втрати напору відбуваються у так званих місцевих гідравлічних опорах, тобто в місцях зміни форми та розмірів русла, де потік так чи інакше деформується – розширюється, звужується, викривляється – чи має місце більш складна деформація. Місцеві втрати виражають формулою Вейсбаха

(1)

Де ? - середня швидкість потоку в перерізі перед місцевим опором (при розширенні) або за ним (при звуженні) та в тих випадках, коли розглядають втрати напору в гідроарматурі різного призначення; ? м- Безрозмірний коефіцієнт місцевого опору. Числове значеннякоефіцієнта ? переважно визначається формою місцевого опору, його геометричними параметрами, але іноді впливає також число Рейнольдса. Можна вважати, що за турбулентного режиму коефіцієнти місцевих опорів ? від числа Рейнольдса не залежить і, отже, як видно з формули (1), втрата напору пропорційна квадрату швидкості (квадратичний режим опору). При ламінарному режимі вважають, що

(2)

Де А- Число, що визначається формою місцевого опору; ? кв - коефіцієнт місцевого опору як квадратичного опору, тобто. при Re??.

Втрати напору на тертя за довжиною lвизначаються загальною формулою Дарсі

(3)

Де безрозмірний коефіцієнт опору тертя ? визначається залежно від режиму течії:

При ламінарному режимі ? лоднозначно визначається число Рейнольдса, тобто.

При турбулентному режимі ? т крім числа Рейнольдса залежить від відносної шорсткості?/d, тобто.

14 Опір за довжиною.
Втрати на тертяпо довжині, - це втрати енергії, які у чистому вигляді виникають у прямих трубах постійного перерізу, тобто. при рівномірному перебігу, і зростають пропорційно до довжини труби. внутрішнім тертямв рідині, а тому мають місце не тільки в шорстких, а й у гладких трубах. Втрату напору на тертя можна висловити за загальною формулоюдля гідравлічних втрат, тобто.

h Tp = Ј Tp 2 /(2g), або в одиницях тиску

Безрозмірний коефіцієнт наминають коефіцієнтом втратна тертя за довжиною, або коефіцієнтом Дарен.Його можна розглядати як коефіцієнт пропорційності між втратою натиску на тертя, та добутком відносної довжини труби на швидкісний натиск.

П ри турбулентному перебігу місцеві втрати напору можна вважати пропорційними швидкості (витрати) у другому ступені, а коефіцієнти втрат Ј визначаються в основному формою місцевого опору і практично не залежать від Re, то при ламінарному перебігу втрату напору слід розглядати як суму
,

Де
- втрата напору, обумовлена ​​безпосереднім дією сил тертя (в'язкості) у цьому місцевому опорі та пропорційна в'язкості рідини та швидкості в першому ступені
- втрата, пов'язана з відривом потоку і вихреобразованием у місцевому опорі чи його пропорційна швидкості по-друге.

Поступово труба, що розширюється, називається дифузором. Перебіг рідини в дифузорі супроводжується зменшенням швидкості та збільшенням тиску, а отже, перетворенням кінетичної енергії, рідини в енергію тиску. Частинки рідини, що рухається долають наростаючий тиск за рахунок своєї кінетичної енергії, яка зменшується вздовж дифузора і, що особливо важливо, в напрямку від осі до стінки. Шари рідини, що прилягають до стоїків, мають настільки малу кінетичну енергію, що іноді виявляються не в змозі долати підвищений тиск, вони зупиняються або навіть починають рухатися назад. збільшенням кута розширення дифузора а разом з цим зростають і втрати на вихреобразование.Повну втрату напору в дифузорі умовно розглядаємо як суму двох доданків

Раптове звуження русла (труби) завжди викликає меншу втрату енергії, ніж раптове розширення з таким самим співвідношенням площ. В цьому випадку втрата обумовлена, по-перше, тертям потоку при вході у вузьку трубу і, по-друге, втратами на виховання. Останні викликаються тим, що потік не обтікає вхідний кут, а зривається з нього і звужується; кільцеве простір навколо звуженої частини потоку заповнюється завихреною рідиною.

15. Ламінарний режим руху рідини

Цей режим х-ся паралельно струминним зосередженим рухом частинок. Усі основні закономірності цієї течії виводяться аналітично.

Р
визначення швидкостей і дотичних напруг по перерізу.Розглянемо ламінарний перебіг Ж, що встановилися, в трубі круглого перерізу радіуса r. Нехай тиск у перерізі 1-1 Р 1 , а в перерізі 2-2 Р 2 , враховуючи, що Z 1 = Z 2 запишемо у.-ня Бернуллі:

Р 1 /? Чg = Р 2 /? Чg + hтр. (hтр - втрати напору по довжині)

Hтр = (Р 1 - Р 2) /? Чg = Р ТР /? Чg.

У потоці виділимо циліндр. Об'єм Ж, радіусом yта довжиною ℓ. І тому обсягу запишемо у.-ние рівномірного руху, тобто. рівність 0 суми сил тиску та сил опору:

РтрЧ?Чу 2 - 2Ч?ЧуЧℓЧ?=0 (1)

?- Дотичні напруги на бічні поверхні циліндра.

Витрата та середня швидкість потоку

У поперечному перерізі потоку виділимо елементарну ділянку кільцевого перерізу радіусом у та шириною dу. Елементарні витрати через майданчик dA: dQ=VЧdA (1)

Знаючи: dA=2Ч?ЧyЧdy і Vтр=Pтр/4Ч?Чℓ виражаємо:

DQ=(Pтр/4Ч?Чℓ)Ч(r 2 -y 2)Ч2Ч?ЧyЧdy= =(?ЧPтр/2Ч?Чℓ)Ч(r 2 -y 2) ЧyЧdy (2)

Проінтегруємо (2) площею перерізу труби (від у=0 до у=r):

Q=(?ЧPтр/2Ч?Чℓ) (r 2 -y 2)Чydy=(?Pтр/8?ℓ)Чr 4 (3)

Підставимо в (3) r=d/2: Q=(?d 4 /128?ℓ)ЧPтр (4)

Середня швидкістьза перерізом: Vср = Q/?r 2 (5). Підставимо (3) (5) тоді середня швидкість ламінарного перерізу в трубі: Vср=(r 2 /8?ℓ)ЧРтр. Середня швидкість ламінарного течії в круглій трубі вдвічі менше max, тобто. Vср = 0,5 Vmax.

Втрати напору при ламінарному русі рідини

Втрати напору на тертя Ртр перебувають з формули витрати:

Q=(?ЧPтр/8?ℓ) Ч r 4 , Ртр=(8Q?ℓ/?Чr 4) (1) Розділимо на?g і замінимо?=?Ч?, перепад тиску виразимо через натиск на тертя:

Ртр=?ghтр, замінимо r=d/2, тоді hтр=Ртр/?g=(128?ℓ/?gd 4)ЧQ (2)

З.-н опору (2) показує, що втрати напору на тертя в круглій трубі пропорційні витраті і в'язкості в 1 ступеня пропорційні назад діаметру в 4 ступеня.

З.-н Пуазеля ісп.-тся для розрахунків при ламінарному русі. Замінимо витрату Q=(?d 2 /4)ЧVср і отриманий вираз потім розділимо на Vcр і помножимо на Vcр:

Hтр=(128?ℓ/?gd 4)Ч(?d 2 /4)ЧVcр=

=(64?/Vcрd)Ч(ℓ/d)Ч(V 2 cр/2g)=

=(64/Re)Ч(ℓ/d)Ч (V 2 cр/2g)=?Ч(V 2 cрЧℓ/2gЧd). ?

Ф.-ла Вейсбона-Дарсі.

Коеф.-т Вейсбона-Дарсі - коеф.-т втрат на тертя для ламінарного течії: ? = 64 / Re.
16.Турбулентний (ТРБ) режим руху рідини

Для ТРБ потоку х. але тиск, явище пульсації, швидкості, тобто. різні зміни тиску та швидкості в даній точці у часі за величиною та напрямком. Якщо при ламінарному режимі енергія витрачається тільки на подолання сил внутрішнього тертя між шарами Ж, то при режимі ТРБ крім цього енергія витрачається на процес хаотичного перемішування Ж, що викликає додаткові втрати.

При ТРБ біля стін труби утворюється ламінарний підшар дуже тонкий, кіт. істотно впливає на розподіл швидкості перетину потоку. Чим інтенсивніше перемішування потоку і чим більше вирівнювання швидкості перерізу, тим менше ламінарний підшар. Розподіл швидкостей при режимі ТРБ більш рівномірно. Епюра швидкості:

Про
ставлення порівн. швидкості до max для ТРБ потоку: Vср/Vmax = 0,75 ... 0,90? прагне до 1 при великих числах.

Основною розрахунковою формулою для втрат напору при турбулентному перебігу в круглих трубах є формула, яка називається формулою Вейсбаха - Дарсі:

Де - Коефіцієнт втрат на тертя при турбулентному перебігу, або коефіцієнт Дарсі.
17. Зведення найбільш уживаних формул для гідравлічного коефіцієнта тертя.
Втрати на тертя по довжині, - це втрати енергії, які у чистому вигляді виникають у прямих трубах постійного перерізу, тобто. при рівномірному перебігу і зростають пропорційно довжині труби. Втрати, що розглядаються, обумовлені внутрішнім тертям в рідині, а тому мають місце не тільки в шорстких, але і в гладких трубах.

Втрату напору на тертя можна виразити за загальною формулою для гідравлічних втрат

.

Однак зручніший коефіцієнт зв'язати із відносною довжиною труби l/d.

;

Або в одиницях тиску

Нехай є фігура довільної форми площею з площиною Оl , нахиленою до горизонту під кутом α (рис. 3.17)

Для зручності виведення формули для сили тиску рідини на фігуру повернемо площину стінки на 90° навколо осі 01 і сумісний її з площиною креслення. Виділимо на аналізованій плоскій фігурі на глибині h від вільної поверхні рідини елементарний майданчик d ω . Тоді елементарна сила, що діє на майданчик d ω , буде

Мал. 3.17.

Інтегруючи останнє співвідношення, отримуємо сумарну силу тиску рідини на плоску фігуру

Враховуючи, що , отримуємо

Останній інтеграл дорівнює статичному моменту майданчика з відносно осі Оу, тобто.

де l З – відстань від осі Оу до центру тяжкості фігури. Тоді

Оскільки , то

тобто. сумарна сила тиску на плоску фігуру дорівнює добутку площі фігури на гідростатичний тиск у її центрі тяжкості.

Точка застосування сумарної сили тиску (точка d див. рис. 3.17) називається центром тиску. Центр тиску знаходиться нижче центру тяжіння плоскої фігури на величину е. Послідовність визначення координат центру тиску та величини ексцентриситету викладена у параграфі 3.13.

В окремому випадку вертикальної прямокутної стінки отримаємо (рис. 3.18)

Мал. 3.18.

У разі горизонтальної прямокутної стінки будемо мати

Гідростатичний парадокс

Формула для сили тиску на горизонтальну стінку (3.31) показує, що сумарний тиск на плоску фігуру визначається лише глибиною занурення центру тяжіння і площею самої фігури, але не залежить від форми судини, в якій знаходиться рідина. Тому, якщо взяти ряд судин, різних за формою, але мають однакову площу дна ω г та рівні рівні рідини H , то у всіх цих судинах сумарний тиск на дно буде однаковим (рис. 3.19). Гідростатичний тиск обумовлено в даному випадку силою тяжкості, але вага рідини в судинах різна.

Мал. 3.19.

Виникає питання: як різна вага може створити однаковий тиск на дно? У цьому здається протиріччі і полягає так званий гідростатичний феномен. Розкриття феномена полягає в тому, що сила ваги рідини діє насправді не тільки лише на дно, та до того ж на інші стінки судини.

У випадку судини, що розширюється догори, очевидно, що вага рідини більше сили, що діє на дно. Однак у цьому випадку частина сили ваги діє на похилі стіни. Ця частина має вагу тіла тиску.

У випадку судини, що звужується до верху, достатньо згадати, що вага тіла тиску G у цьому випадку негативний і діє на посудину вгору.

Центр тиску та визначення його координат

Точку застосування сумарної сили тиску називають центром тиску. Визначимо координати центру тиску l d і y d (рис. 3.20). Як відомо з теоретичної механіки, при рівновазі момент рівнодіючої сили F щодо деякої осі дорівнює сумі моментів складових сил dF щодо тієї ж осі.

Мал. 3.20.

Складемо рівняння моментів сил F та dF щодо осі Оу:

Сили F і dF визначимо за формулами

Великий практичний інтерес представляє місце розташування точки докладання сили сумарного гідростатичного тиску. Ця точка називається центром тиску.

Відповідно до основного рівняння гідростатики сила тиску F 0 =p 0 · ω що діє на поверхню рідини, рівномірно розподіляється по всьому майданчику, внаслідок чого точка застосування сумарної сили поверхневого тиску збігається з центром тяжкості майданчика. Місце застосування сумарної сили надлишкового гідростатичного тиску, що нерівномірно розподіляється по площі, не співпадатиме з центром тяжкості майданчика.

При р 0 =атмположення центру тиску залежить тільки від величини сили надлишкового тиску, тому положення (ординату) центру тиску будемо визначати з урахуванням цієї сили. Для цього скористаємося теоремою моментів: момент рівнодіючої сили щодо довільної осі дорівнює сумі моментів складових її сил щодо тієї ж осі. За вісь моментів приймемо лінію урізу рідини ОХ'(Малюнок 1.14).

Складемо рівняння рівноваги моменту рівнодіючої сили Fта моментів складових сил dF, тобто. М р = М сс:

М р = F · y цд; dM cc=dF·y. (1.45)

У формулах (1.45)

де – момент інерції майданчика щодо осі Х.

Тоді момент складових сил

М сс =? sin α·I x.

Прирівнюючи значення моментів сил М рі М сс, отримаємо

,

Момент інерції I xможе бути визначений за формулою

I x =I 0 +ω· , (1.49)

де I 0 – момент інерції змоченої фігури, обчислений щодо осі, що проходить через центр її тяжкості.

Підставляючи значення I ху формулу (1.48) отримаємо

. (1.50)

Отже, центр надлишкового гідростатичного тиску розташований нижче центру тяжкості майданчика, що розглядається, на величину .

Пояснимо використання отриманих вище залежностей на прикладі. Нехай на плоску прямокутну вертикальну стінку заввишки hта шириною bдіє рідина, глибина якої перед стінкою дорівнює h.

Завдання визначення результуючої сили гідростатичного тиску на плоску фігуру зводиться до знаходження величини цієї сили та точки її застосування або центру тиску. Представимо резервуар, наповнений рідиною і має плоску похилу стінку (рис. 1.12).

На стінці резервуара намітимо деяку плоску фігуру будь-якого контуру площею w . Координатні осі виберемо так, як зазначено на кресленні. Ось zперпендикулярна до площини креслення. У площині уzрозташована розглянута фігура, яка проектується у вигляді прямої, позначеної жирною лінією, справа показана ця фігура в поєднанні з площиною уz.

Відповідно до 1-ї властивості гідростатичного тиску можна стверджувати, що у всіх точках площі w тиск рідини спрямовано нормально до стінки. Звідси укладаємо, що сила гідростатичного тиску, що діє на довільну плоску фігуру, також спрямована нормально до її поверхні.

Мал. 1.12. Тиск рідини на плоску стінку

Для визначення сили тиску виділимо елементарний (нескінченно малий) майданчик d w. Силу тиску dPна елементарний майданчик визначимо так:

dP = pd w = (p 0 + r gh)d w,

де h- глибина занурення майданчика d w .

Так як h = y sina , то dP = pd w = (p 0 + r gy sina) d w .

Сила тиску на весь майданчик w:

Перший інтеграл є площа фігури w :

Другий інтеграл є статичний момент майданчика w щодо осі х. Як відомо, статичний момент фігури щодо осі хдорівнює добутку площі фігури w на відстань від осі хдо центру тяжкості постаті, тобто.

.

Підставляючи рівняння (1.44) значення інтегралів, отримуємо

P = p o w + r g sina yц. т w.

Але так як yц.т sina = hц.т - глибина занурення центру тяжкості фігури, то:

P =(p 0 + r ghц.т) w. (1.45)

Вираз, укладений у дужки, є тиск у центрі тяжкості фігури:

p 0 + r ghц.т = pц.т.

Отже, рівняння (1.45) можна записати як

P = pц.т w . (1.46)

Таким чином, сила гідростатичного тиску на плоску фігуру дорівнює гідростатичному тиску в центрі її тяжкості, помноженому на величину площі цієї фігури. Визначимо центр тиску, тобто. точку застосування сили тиску Р. Так як поверхневий тиск , передаючись через рідину, рівномірно розподіляється по площі, то точка докладання сили w буде збігатися з центром тяжкості фігури. Якщо над вільною поверхнею рідини тиск атмосферний ( p 0 = pатм), його враховувати не треба.

Тиск, зумовлений вагою рідини, нерівномірно розподіляється за площею фігури: чим глибше розташована точка фігури, тим більший тиск вона відчуває. Тому точка застосування сили
P = r ghц.т w лежатиме нижче центру тяжкості фігури. Координату цієї точки позначимо yц.д. Для її знаходження скористаємося відомим положенням теоретичної механіки: сума моментів складових елементарних сил щодо осі хдорівнює моменту рівнодіючої сили Рщодо тієї ж осі х, Тобто.

,

так як dP = r ghd w = r gy sina d w , то

. (1.47)

Тут значення інтеграла є моментом інерції фігури щодо осі х:

а сила .

Підставляючи ці співвідношення у рівняння (1.47), отримуємо

yц.д = J x / yц.т w . (1.48)

Формулу (1.48) можна перетворити, скориставшись тим, що момент інерції J xщодо довільної осі хдорівнює

J x = J 0 + y 2ц.т w, (1.49)

де J 0 - момент інерції площі фігури щодо осі, що проходить через її центр тяжкості та паралельної осі х; yц.т - координата центру тяжкості фігури (тобто відстань між осями).

З урахуванням формули (1.49) отримаємо: . (1.50)

Рівняння (1.50) показує, що центр тиску, обумовлений ваговим тиском рідини, завжди розташований нижче центру тяжкості фігури, що розглядається, на величину і занурений на глибину

, (1.51)

де hц.д = yц.д sina – глибина занурення центру тиску.

Ми обмежилися визначенням лише однієї координати центру тиску. Цього достатньо, якщо фігура має симетрію щодо осі у, що проходить через центр тяжіння. У випадку треба визначати і другу координату. Методика її визначення така сама, як і в розглянутому вище випадку.