Прямокутним називається трикутник, один із кутів якого дорівнює 90º. Сторона, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою, а дві інші – катетами.

Щоб знайти кут у прямокутному трикутнику, використовуються деякі властивості прямокутних трикутників, а саме: те, що сума гострих кутів дорівнює 90º, а також те, що навпроти катета, довжина якого вдвічі менша за гіпотенузу, лежить кут, що дорівнює 30º.

Швидка навігація за статтею

Рівнобедрений трикутник

Одна з властивостей рівнобедреного трикутника – два його кути рівні. Для обчислення значень кутів прямокутного рівнобедреного трикутника потрібно знати, що:

  • Прямий кут дорівнює 90 º.
  • Значення гострих кутів визначаються за такою формулою: (180º-90º)/2=45º, тобто. кути α і β дорівнюють 45º.

Якщо відома величина одного з гострих кутів, другий можна знайти за формулою: β=180º-90º-α, або α=180º-90º-β. Найчастіше це співвідношення використовується, якщо один із кутів дорівнює 60º або 30º.

Ключові поняття

Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180 º. Так як один кут прямий, двоє, що залишилися, будуть гострими. Для їх знаходження необхідно знати, що:

Інші способи

Величини гострих кутів прямокутного трикутника можна обчислити, знаючи значення медіани – лінії, проведеної з вершини до протилежному боцітрикутника, і висоти – прямий, що є перпендикуляром, опущеним з прямого кутана гіпотенузу. Нехай s – медіана, проведена із прямого кута до середини гіпотенузи, h – висота. У такому разі виходить, що:

  • sin = b/(2*s); sin β =a/(2*s).
  • cos α=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
  • sin = h/b; sin β = h/a.

Дві сторони

Якщо у прямокутному трикутнику відомі довжини гіпотенузи та одного з катетів, або дві сторони, для знаходження значень гострих кутів використовуються тригонометричні тотожності:

  • α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
  • α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
  • α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Є три варіанти вирішення цього завдання. Перший - якщо в умовах завдання дано, що катети рівні (по суті ми маємо прямокутний рівнобедрений трикутник). Другий - якщо ще дано якийсь кут (крім кута в 45%, тоді ми маємо той самий рівнобедрений трикутник і повертаємось до першого варіанту). І третій – коли відомий один із катетів. Розглянемо ці варіанти докладніше.

Як знайти рівні катети, при відомій гіпотенузі

  • перший катет (позначимо його літерою "a") дорівнює другому катету ((позначимо його літерою "b"): a = b;
  • розмір катетів;

У цьому варіанті рішення задачі ґрунтується на використанні теореми Піфагора. Її застосовують до прямокутних трикутників і основний її варіант звучить як: "Квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів". Так, як катети у нас рівні, ми можемо позначати обидва катета одним і тим же сиволом: a = b, значить - a = a.

  1. Підставляємо наші умовні позначенняу теорему (з урахуванням вищевикладеного):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Далі максимально спрощуємо формулу:
    с^2=2*(a^2) - групуємо,
    с=√2*а - підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня,
    a=c/√2 - виносимо шукане.
  3. Підставимо дане значеннягіпотенузи та отримуємо рішення:
    a=x/√2

Як знайти катети, при відомій гіпотенузі та вугіллі

  • гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
  • кут β дорівнює q: β=q;
  • розмір катетів;

Для вирішення цього завдання необхідно використовувати тригонометричні функції. Найбільш популярні дві з них:

  • функція синуса - синус шуканого кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи;
  • функція косинуса - косинус шуканого кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи;

Ви можете використати будь-яку. Я наведу приклад із використанням першої. Нехай катети у нас позначаються символами "a" (прилеглий до кута) та "b" (протилежний до кута). Відповідно наш кут лежить між катетом "a" та гіпотенузою.

  1. Підставляємо вибрані умовні позначення у формулу:
    sinβ = b/c
  2. Виводимо катет:
    b=c*sinβ
  3. Підставляємо наш даний і маємо один катет.
    b=c*sinq

Другий катет можна знайти скориставшись другою тригонометричною функцією, або ж перейти до третього варіанту.

Як знайти один катет, якщо відома гіпотенуза та інший катет

  • гіпотенуза (позначимо її літерою "c") дорівнює x см: c = x;
  • катет (позначимо його літерою "b") дорівнює y см: b = y;
  • розмір іншого катета (позначимо його літерою "a");

У цьому варіанті розв'язанням задачі, як і в першому є використання теореми Піфагора.

  1. Підставляємо наші умовні позначення в теорему:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Виносимо необхідний катет:
    a^2=c^2-b^2
  3. Підносимо обидві частини рівняння до квадратного кореня:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Підставляємо дані значення та маємо рішення:
    a=√(x^2-y^2)

Прямокутний трикутник зустрічається насправді на кожному кутку. Знання про властивості даної фігури, а також вміння обчислювати її площу, безперечно, стане вам у нагоді не тільки для вирішення задач з геометрії, але і в життєвих ситуаціях.

Геометрія трикутника

В елементарній геометрії прямокутний трикутник- це фігура, яка складається з трьох з'єднаних відрізків, що формують три кути (два гострі та один прямий). Прямокутний трикутник - оригінальна фігура, що характеризується рядом важливих властивостей, що становлять фундамент тригонометрії. На відміну від звичайного трикутника, сторони прямокутної фігури мають власні назви:

  • Гіпотенуза - найдовша сторона трикутника, що лежить навпроти прямого кута.
  • Катети - відрізки, що утворюють прямий кут. Залежно від кута, що розглядається, катет може бути прилеглим до нього (утворює цей кут з гіпотенузою) або протилежним (що лежить навпроти кута). Для непрямокутних трикутників катетів немає.

Саме співвідношення катетів та гіпотенузи становить основу тригонометрії: синуси, тангенси та секанси визначаються як відношення сторін прямокутного трикутника.

Прямокутний трикутник насправді

Ця фігура набула широкого поширення насправді. Трикутники знаходять застосування у проектуванні та техніці, тому розрахунок площі фігури доводиться виконувати інженерам, архітекторам та проектувальникам. Форму трикутника мають підстави тетраедрів або призм – тривимірних фігур, які легко зустріти у повсякденності. Крім того, косинець – найпростіше уявлення «плоського» прямокутного трикутника в реальності. Кутник - це слюсарний, креслярський, будівельний та столярний інструмент, який використовується для побудови кутів як школярами, так і інженерами.

Площа трикутника

Площа геометричної фігури – це кількісна оцінкатого, яка частина поверхні обмежена сторонами трикутника. Площа звичайного трикутника можна знайти п'ятьма способами, використовуючи формулу Герона або оперуючи при розрахунках такими змінними, як основа, сторона, кут і радіус вписаного або описаного кола. Найпростіша формула площі виражається як:

де a – сторона трикутника, h – його висота.

Формула для обчислення площі прямокутного трикутника ще простіше:

де a та b – катети.

Працюючи з нашим онлайн-калькулятор, ви можете обчислити площу трикутника, використовуючи три пари параметрів:

  • два катети;
  • катет та прилеглий кут;
  • катет та протилежний кут.

У завданнях чи побутових ситуаціях вам будуть дані різні комбінації змінних, тому така форма калькулятора дозволяє обчислити площу трикутника кількома способами. Розглянемо кілька прикладів.

Приклади із реального життя

Керамічна плитка

Допустимо, ви хочете виконати облицювання стін кухні керамічною плиткою, яка має форму прямокутного трикутника. Для того щоб визначити витрату плитки ви повинні дізнатися площу одного елемента облицювання та загальну площуоброблюваної поверхні. Нехай вам необхідно обробити 7 квадратних метрів. Довжина катетів одного елемента становить по 19 см, тоді площа плитки дорівнюватиме:

Це означає, що площа одного елемента становить 24,5 квадратних сантиметрів або 0,01805 квадратних метрів. Знаючи ці параметри, можна підрахувати, що для обробки 7 квадратних метрів стіни вам знадобиться 7/0,01805 = 387 елементів облицювальної плитки.

Шкільне завдання

Нехай у шкільній задачі з геометрії потрібно знайти площу прямокутного трикутника, знаючи тільки те, що сторона одного катета дорівнює 5 см, а величина протилежного кута становить 30 градусів. Наш онлайн-калькулятор супроводжується ілюстрацією, на якій вказані сторони та кути прямокутного трикутника. Якщо сторона a = 5 см, її протилежний кут - це кут альфа, рівний 30 градусів. Введіть ці дані у форму калькулятора та отримайте результат:

Отже, калькулятор як обчислює площу заданого трикутника, а й визначає довжину прилеглого катета і гіпотенузи, і навіть величину другого кута.

Висновок

Прямокутні трикутники зустрічаються у нашому житті буквально на кожному розі. Визначення площі таких фігур стане вам у нагоді не тільки при вирішенні шкільних завданьз геометрії, а й повсякденної та професійної діяльності.

У житті нам часто доведеться стикатися з математичними завданнями: у школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій стикатимуться з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати чи згадувати математичні правила. У статті ми розберемо одне з них: знаходження катета прямокутного трикутника.

Що таке прямокутний трикутник

Спочатку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник – це геометрична фігураіз трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один із кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою.

Знаходимо катет прямокутного трикутника

Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися про довжину катета. Хотілося б розглянути їх детальніше.

Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Якщо нам відомі гіпотенуза та катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета за теоремою Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c²=a²+b², де c – гіпотенуза, a та b – катети. Перетворюємо формулу та отримуємо: a²=c²-b².

приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет – 3 см. Перетворюємо формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далі вирішуємо: a? = 5? -3?; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (см).


Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника

Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона та будь-яка гострий кутпрямокутний трикутник. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косінусу, тангенсу, котангенсу. Для розв'язання задач нам допоможе таблиця, що знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.


Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синусу

Синус кута (sin) - це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin = a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу та отримуємо: a = sin * c.

приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою розв'язуємо: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).


Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса

Косинус кута (cos) – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos=b/c, де b – катет, що належить до даному куту, а з – гіпотенуза. Перетворимо формулу та отримаємо: b=cos*c.

приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (см).


Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенсу

Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg=a/b, де а – катет, що протилежить до кута, а b – прилеглий. Перетворимо формулу та отримуємо: a=tg*b.

приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. За таблицею обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a = tg∠A * b; a=1*10; a = 10 (см).


Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенсу

Котангенс кута (ctg) – це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg=b/a, де b – катет, що прилягає до кута, а – протилежний. Інакше висловлюючись, котангенс – це “перевернутий тангенс”. Отримуємо: b=ctg*a.

приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. За таблицею тангенс кута А дорівнює √3. Обчислюємо: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).


Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет у прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так уже й складно, головне – запам'ятати формули.

Знаючи один із катетів у прямокутному трикутнику, можна знайти другий катет та гіпотенузу використовуючи тригонометричні відносини – синус та тангенс відомого кута. Оскільки ставлення протилежного куту катета до гіпотенузи дорівнює синусу цього кута, отже, щоб знайти гіпотенузу потрібно катет розділити на синус кута. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Другий катет можна знайти з тангенсу відомого кута як відношення відомого катета до тангенсу. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Щоб обчислити невідомий кут прямокутному трикутнику потрібно з 90 градусів відняти величину кута α. β=90°-α

Периметр і площа прямокутного трикутника через катет і протилежний йому кут можна виразити, підставивши отримані раніше вирази для другого катета і гіпотенузи формули. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Обчислити висоту можна також через тригонометричні відносини, але вже у внутрішньому прямокутному трикутнику зі стороною a, який вона утворює. Для цього потрібно бік a, як гіпотенузу такого трикутника помножити на синус кута β або косинус α, оскільки згідно тригонометричним тотожностямвони рівнозначні. (рис. 79.2) h=a cos⁡α

Медіана гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи або відомому катету a, поділеному на два синуси α. Щоб знайти медіани катетів, наведемо формули до відповідного виду для відомої сторони та кути. (рис.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡) α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Так як бісектриса прямого кута в трикутнику є добуток двох сторін і кореня з двох, поділений на суму цих сторін, замінивши один з катетів на відношення відомого катета до тангенсу, отримуємо наступне вираз. Аналогічно, підставивши ставлення до другої та третьої формули, можна обчислити бісектриси кутів α і β. (рис.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α))))/(a sin⁡α+a)

Середня лінія проходить паралельно одній із сторін трикутника, при цьому утворюючи ще один подібний прямокутний трикутник з такими ж за величиною кутами, в якому всі сторони вдвічі менші, ніж у початкового. Виходячи з цього, середні лінії можна знайти за такими формулами, знаючи тільки катет і протилежний йому кут. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Радіус вписаного кола дорівнює різниці катетів і гіпотенузи, поділеної на два, а щоб знайти радіус описаного кола, потрібно розділити на два гіпотенузи. Замінюємо другий катет та гіпотенузу на відношення катета a до синуса та тангенсу відповідно. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α-a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α