ХІІІ науково-практична конференція школярів

"Магічні квадрати"

Учениці 8 «А» класу

ПТП ліцею

Шолохової Анни

Керівник Анохіна М.М.


Історія створення моєї роботи………………………………………………2

Магічний квадрат................................................ .......................3

Історично значущі магічні квадрати 4-5

КВАДРАТ, ЗНАЙДЕНИЙ У КХАДЖУРАХО(ІНДІЯ).........6

Магічний квадрат Ян Хуея (Китай).........................................7

Квадрат Альбрехта Дюрера............................................... ............8

Квадрати Генрі Е. Дьюдені та Аллана У. Джонсона-мол.....9

Диявольський магічний квадрат.........................................10-11

ПРАВИЛА ПОБУДУВАННЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ.....12

СКЛАДАННЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ......................13-15

Створення магічного квадрата Альбрехта Дюрера. .....17-18

Судоку................................................. ...........................................19-21 Какуро................................................. ...........................................22-23

БАНК ЗАДАЧ................................................ ..................24-25

Висновки................................................. ...............................26 Література................. .................................................. ........27

Історія створення моєї роботи .

Раніше я навіть не думала, що таке можна придумати. Вперше магічні квадрати зустрілися мені у першому класі у підручнику, вони були найпростіші.

Через кілька років з батьками я поїхала на море, познайомилася з дівчинкою, яка захоплювалася судоку. Мені також захотілося навчитися, і вона пояснила, як це робити. Це заняття мені дуже сподобалося, і воно стало моїм так званим хобі.

Після того, як мені запропонували брати участь у науково-практичній конференції, я одразу обрала тему «Магічні квадрати». До цієї роботи я включила історичний матеріал, різновиди, правила створення гру-загадку.
Магічний квадрат.

Магічний, або чарівний квадрат-це квадратна таблиця, заповнена n числами, таким чином, що сума чисел у кожному рядку, у кожному стовпці та обох діагоналях виявляється однаковою. Нормальним називається магічний квадрат, заповнений цілимичислами від 1 до n.

Магічні квадрати існують всім порядків, крім n=2, хоча випадок n=1 тривіальний - квадрат складається з однієї числа.

Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на діагоналях. Називається магічною константоюМагічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою.

Порядок n

Перші значення магічних констант наведені у таблиці.

Історично значимі магічні квадрати.

У китайській стародавній книзіЖе-ким (Книга перестановок) наводиться легенда про те, що імператор Ню, який жив 4 тисячі років тому, побачив на березі річки священну черепаху. На її панцирі було зображено малюнок з білих і чорних гуртків (рис.1). Якщо замінити кожну фігуру числом, що показує скільки у ній гуртків, вийде таблиця.

Ця таблиця має чудову властивість. Складемо числа першого стовпця: 4+3+8=15. той самий результат вийде при додаванні чисел другого, а так само третього стовпців. Він же виходить при додаванні чисел будь-якого з трьох рядків. Мало цього, та сама відповідь 15 виходить, якщо скласти числа кожної з двох діагоналей: 4+5+6=8+5+2=15.

Напевно, цю легенду китайці вигадали, коли знайшли розташування чисел від 1 до 9 з такою чудовою властивістю. Малюнок вони назвали "ло-шу" і стали вважати його магічним символом і вживати при заклинаннях. Тому зараз будь-яку квадратну таблицю, складену з чисел і що має таку властивість, називають магічний квадрат.

Рис.1


КВАДРАТ, ЗНАЙДЕНИЙ У КХАДЖУРАХО(ІНДІЯ).

Найраніший унікальний магічний квадрат виявлено у написі ХI століття в індійському місті Кхаджурахо.

Це перший магічний квадрат, що відноситься до різновиду про «диявольських» квадратів.

Магічний квадрат Ян Хуея (Китай)

У XIII столітті математик Ян Хуей зайнявся проблемою методів побудови магічних квадратів. Його дослідження були потім продовжені іншими китайськими математиками. Ян Хуей розглядав магічні квадрати як третього, а й великих порядків.

Деякі з його квадратів були досить складними, проте він завжди давав правила для їх побудови. Він зумів збудувати магічний квадрат шостого порядку.

Сума чисел на будь-якій горизонталі, вертикалі та діагоналі дорівнює 34 . Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2х2, у центральному квадраті (10+11+6+7), у квадраті з кутових клітин (16+13+4+1), у квадратах, побудованих «ходом коня» (2+8) +9+15 та 3+5+12+14), прямокутниках, утворених парами середніх клітин на протилежних сторонах (3+2+15+14 та 5+8+9+12).Більшість додаткових симетрій пов'язана з тим, що сума будь-яких двох центрально симетрично розташованих чисел дорівнює 17.
Квадрати Генрі Е. Дьюдені та Аллана У. Джонсона-мол.

Якщо квадратну матрицю n х n заноситься нестрого натуральний ряд чисел, то цей магічний квадрат - нетрадиційний. Нижче представлені два таких магічні квадрати, заповнені в основному простими числами. Перший (рис.3) має порядок n = 3 (квадрат Дьюдені); другий (рис.4) (розміром 4х4) – квадрат Джонсона. Обидва вони були розроблені на початку ХХ століття.

Рис.3 рис.4

Диявольський магічний квадрат- магічний квадрат, в якій також з магічною константою збігається сума чисел за ламаними діагоналями (діагоналі, які утворюються при згортанні квадрата в тор)в обох напрямках.

Такі квадрати називають ще пандіагональними .

Існує 48 диявольських магічних квадратів 4х4 з точністю до поворотів та відбитків. Якщо взяти до уваги ще й їхню додаткову симетрію – торичні паралельні переноси, то залишиться лише 3 істотно різних квадрати:

Мал. 5 рис. 6


Однак було доведено, що (рис.7) найпростішими перестановками чисел виходять перші два квадрати (рис.5; 6). Тобто третій варіант-це базовий диявольський квадрат, з якого різними перетвореннями можна побудувати всі інші.

Пандіагональні квадрати існують для непарного порядку n>3, для будь-якого порядку подвійної парності n=4k (k=1,2,3…) і немає для порядку одинарної парності n=4k+2 (k=1,2,3…) .

Пандіагональні квадрати четвертого порядку мають низку додаткових властивостей, за які їх називають досконалими.Досконалих пандіагональних квадратів непарного порядку немає. Серед пандіагональних квадратів парності вище 4 є досконалі.

Пандіагональних квадратів п'ятого порядку 3600. З урахуванням торичних паралельних переносів є 144 різних пандіагональних квадратів. Один із них показаний нижче.

ПРАВИЛА ПОБУДУВАННЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ

Правила побудови магічних квадратів діляться на три категорії залежно від того, який порядок квадрата: непарний, дорівнює подвоєному непарному числу або дорівнює вчетверному непарному числу. Загальний спосіб побудови всіх квадратів невідомий, хоча широко застосовуються різні схеми.

Знайти всі магічні квадрати порядку n вдається тільки для, n = 3,4 тому представляють великий інтерес приватні процедури побудови магічних квадратів при n> 4. Найпростіше конструкція для магічного квадрата непарного порядку. Потрібно до клітини з координатами (х, y) поставити число.

Ще простіше побудову виконати так, береться матриця n x n.Всередині її будується ступінчастий ромб. У ньому осередки зліва нагору по діагоналях заповнюються послідовним рядом чисел. Визначається значення центрального осередку З.

Тоді в кутах магічного квадрата значення будуть такими: верхній правий осередок С-1; нижній лівий осередок С+1; нижня права осередок С-n; верхній лівий осередок С+n.

СКЛАДАННЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ.

Яким чином складають магічні квадрати?

Створення магічного квадрата "Ло-Шу".

Завдання: Квадрат 3х3, скласти з цифр від 1 до 9, так, щоб суми чисел у кожних рядках, стовпцях і по діагоналях були рівні.

Рішення:Розв'яжемо завдання, не вдаючись до перебору однієї за одною всіх перестановок 9 цифр у 9 клітинах (число таких розстановок дорівнює 362880). Будемо міркувати так. Сума всіх чисел від 1 до 9: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45. Отже, у кожному рядку і кожному стовпці сума чисел повинна дорівнювати: 45:3=15. Але якщо підсумувати усі числа по-друге стовпці та рядку та в обох діагоналях, то кожне число увійде один раз, за ​​винятком центрального, що увійде чотири рази. Отже, якщо позначити центральне число через х, має виконуватися рівність 4*15=3х+3*15. Звідси х=5, тобто у центрі таблиці має стояти число 5.

Тепер зауважимо, що число 9 не може стояти в кутку таблиці, скажімо у верхньому лівому кутку. Адже тоді в протилежному кутку стояло б число 1, а на перші рядок і стовпець залишалася б одна комбінація - числа 4 і 2. Отже, 9 стоїть у середині якихось крайніх рядків чи стовпців (у нас у середині першого рядка). Двома іншими числами цього рядка є 4-2, а третім числом середнього стовпця має бути 15-9-5=1. В одному рядку з 1 повинні стояти числа 8 і 6. Тим самим, магічний квадрат майже заповнений і легко знайти місце для чисел, що залишилися. В результаті виходить квадрат "Ло-Шу".

Звичайно, для 9 можна вибрати інші три місця, а після вибору місця для цього числа залишаються дві можливості для розташування чисел 4 і 2. Усього виходить 4 * 2 = 8 різних магічних квадратів з трьох рядків і трьох стовпців (або, як кажуть математики, квадратів третього порядка). Всі ці квадрати можна отримати на Ло-Шу або повертаючи квадрат на 180,90 або 270. Ще можливий варіант дзеркального відображення.


Квадрат

«Ло-Шу»

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Створення магічного квадрата

Альбрехта Дюрера.

Завдання : Створити магічний квадрат 4х4, з цифр від 1 до 16, так, щоб суми чисел у кожних рядках, стовпцях і по діагоналях були рівні.

Рішення: Сума всіх чисел від 1 до16: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16=136 Отже, у кожному рядку і кожному стовпці сума чисел повинна дорівнювати:136:4=34. Але якщо підсумувати всі числа, по-друге, у стовпці та рядку та обох діагоналях, то кожне число увійде один раз, за ​​винятком центральних, які увійдуть двічі. Цими числами буде 10,11,6,7. Після цього доставимо інші числа 1,2,3,4,5,8,9,12,13,14,15,16 до інших осередків

Квадрат Альбрехта Дюрера
Судоку.

У перекладі з Японського «су» означає «цифра», а «доку» - «яка стоїть окремо».

Не треба гадати чи капатися у книгах – лише логіка та уважність!

Завдання: заповніть порожні клітини цифрами від 1 до 9 так, щоб у будь-якому рядку, будь-якому стовпці та в кожному з 9 блоків 3х3 цифра не повторювалася.

Рішення: крок 1

Подивимося на виділений ряд. У ньому не вистачає лише двох цифр: 1 і 2. Подивимося на першу порожню клітку праворуч. Чи можемо ми вписати туди 1? Ні. Тому що в цій колонці 1 вже є, а ці цифри повторюватися в колонці не можуть. Значить, у цю клітинку ми можемо вписати лише 2. Так і зробимо. Тепер нам залишилося тільки вписати цифру 1 у порожню, останню клітинку у цьому ряду, і ряд заповнений.

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

8

7

6

5

1

8

4

4

8

3

1

3

7

4

5

2

Давайте подивимося на виділену колонку: в ній також не вистачає всього двох цифр - 2 і 7. Цифру 7 ми не можемо вписати в першу зверху порожню клітину цієї колонки, тому що в рядку, що перетинає колонку, вже є цифра 7. Зате ми можемо вписати в неї цифру 2, що й робимо! А для цифри 7 залишається лише одна порожня

клітина у цій колонці – друга клітина знизу. Сміливо в ній пишемо цифру 7- колонка заповнена!

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

Ну а тепер давайте поглянемо на центральний блок клітин: у ньому залишилася лише одна порожня клітина, тобто бракує лише однієї цифри. Подивимося уважно-це цифра 9, оскільки всі інші цифри вже стоять на своїх місцях. Пишемо знову в клітку цифру 9... і знову «озираємось» - і в нас знову є один ряд і одна колонка. У яких не вистачає дві цифри. Що далі? Відповідь ми знайдемо самі- крок 1, крок 2...

9

2

3

7

4

5

8

3

1

4

6

7

6

8

5

3

7

8

3

6

5

1

4

2

9

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

7

6

5

1

8

4

4

8

7

3

1

3

7

9

4

5

2

Дані числа.

1

9

2

3

6

7

8

4

5

8

3

5

1

2

4

6

9

7

6

4

7

8

9

5

2

3

1

7

8

3

6

5

1

4

2

9

9

2

6

4

7

3

1

5

8

5

1

4

2

8

9

7

6

3

2

6

9

5

1

8

3

7

4

4

5

8

7

3

2

9

1

6

3

Мені здається, нам не піти далеко,
Мені здається, ми під замком.
У кожного є своє місто та будинок,
І ми впіймані в цій мережі.

БГ, «Гість»

У той момент, коли ти увійшов
У цей світ форм,
Перед тобою поставили
Сходи для втечі.

Ти дивуєш мене - ти, що турбуєшся про те, що я обтяжую тебе вивченням непрактичних предметів. Цей сумнів властивий не тільки посереднім розумам - всі люди відчувають труднощі в розумінні того, що шляхом вивчення цих предметів, як за допомогою інструментів, ми очищаємо око душі, ми запалюємо новий вогоньв органі, який був прихований і ніби приглушений тінями інших наук. Це око, збереження якого важливіше за десять тисяч інших очей, тому що їм, і тільки їм, ми сприймаємо істину.

Платон, «Республіка»

Викладене у цій третій Частині – данина моєму багаторічному захопленню стародавніми об'єктами Знання, які називають магічними квадратами.

Почну, як заведено, з історії питання.

Магічний квадрат 3 х 3 клітини використав у своїй роботі великий суфійський вчений та алхімік Джабір Ібн Хайян. Зокрема, він використовував квадрат як схему, що приводить до балансу різні елементи і хімічні речовини. У квадраті Джабіра, щоправда, відповідно до арабської системи абджад замість чисел були букви.


Магічний квадрат Джабіра

(Дервіші талісмани, які нерідко можна зустріти в Азії, також є магічними квадратами різного типу, в яких замість цифр використовуються арабські літери. Якщо вони вам трапляться десь на східних розвалах – згадайте Джабіра:).

Ібн Хайян, однак, був далеко не першим, хто використав магічний квадрат - як відомо, знання про нього існувало за кілька тисяч років до нашої ери. Стародавньому Китаї. Китайці називали магічний квадрат Ло-Шу, оскільки, згідно з легендою, цей патерн першопредок Фу-Сі побачив на панцирі містичної черепахи, що виникла з річки Ло.


Ло-Шу

Магічний квадрат включив у свою знамениту гравюру єзуїт і знавець Сходу Атанасіус Кірхер, про який я писала. На гравюрі, що стала обкладинкою книги Кірхера «Арифмологія» («Наука про Числа та Пропорції»), ангел високо в небесах тримає магічний квадрат 3 х 3 з написом Numero, Що латиною означає «число» або «рахувати».

У своїй книзі «Суфії» Ідріс Шах наводить магічний квадрат у такому вигляді:

Там же міститься опис математичних властивостейцієї універсальної діаграми. Вони всім відомі - сума цифр квадрата за всіма діагоналями, і навіть горизонтальним і вертикальним рядам дорівнює 15.

Містична сутність магічного квадрата легше засвоюється, якщо записати його в наступному вигляді, прийнявши центральну цифру п'ять за нуль, точку відліку:

-1 +4 -3

+3 -4 +1

Подібне уявлення передає ідею системи, всі елементи якої, відрізняючись один від одного властивостями, проте загалом перебувають у стані динамічного рівноваги(гомеостазу). Що ще важливіше, цей символ передає ідею Єдності -або як сказав би суфій Джабір , таухід- тому що у нього є єдиний центр - точка 0. (Тільки нижче ми переконаємося, що це може бути зовсім по-іншому).

Магічний квадрат 3 х 3, яким користувалися стародавні, є лише початок, насіння величезного сімейства магічних квадратів. Складніші магічні квадрати можна отримати з первісного насіння, нарощуючи зовнішні ряди - ось таким чином:

Магічний квадрат близько 5 х 5

-7 +12 -8 -6 +9

-5 -1 +4 -3 +5

+10 -2 0 +2 -10

+11 +3 -4 +1 -11

-9 -12 +8 +6 +7

Магічний квадрат порядку 7 х 7

+17 +14 +16 +18 -22 -24 -19

-23 -7 +12 -8 -6 +9 +23

-21 -5 -1 +4 -3 +5 +21

-20 +10 -2 0 +2 -10 +20

+15 +11 +3 -4 +1 -11 -15

+13 -9 -12 +8 +6 +7 -13

+19 -14 -16 -18 +22 +24 -17

І так далі – порядок квадрата можна збільшувати до нескінченності. (Якщо комусь захочеться продовжити побудову магічних квадратів, можна використовувати цю просту програму - йдіть до кінця сторінки в розділ MakeSquaresі дотримуйтесь інструкцій).

Але повернемося до основного питання теми: чому люди Знання вважали за магічний квадрат таким важливим символом? Можливо, у ньому вони бачили принцип світоустрою, і навіть принцип устрою будь-якої стійкої системи (включаючи людини), виражений через числові відносини.

Числа в магічному квадраті представляють різні частини Всесвіту. Кожен об'єкт у космосі має своє, властиве лише йому, число. Можна сприйняти Галактичний Центр за нульову точку, початок координат. Всі інші частини, виражені числами, будуть математично пов'язані з єдиним центром - точкою 0, від якої йде відлік, і збалансовані щодо цього центру. Інакше кажучи, якщо десь у Всесвіті є об'єкт, властивості якого можна описати числом плюс 888888, то неодмінно – для балансу – десь має існувати і об'єкт числом мінус 888888. Якщо існують зірки, які активно випромінюють енергію, то повинні існувати й чорні дірки, що так само активно її вбирають.

Або, як сказано у герметичній книзі Кібаліон:

«Все є частиною дуальності, і все має полярність. Кожна річ має протилежну їй пару. Протилежності є рівними за природою, але мають різні знаки. Крайності притягують один одного, тому всяка істина є лише однією стороною істини, і всі парадокси мають рішення, що примирює їх».

Примирююче рішення для всіхпротилежних чисел магічного квадрата – точка нуль. Вона і є таємничою серединою парадоксу - ніколи не видимою, завжди присутньою.

Чудовою рисою всіх квадратів непарних порядків буде і властивість подібності (фрактальності): менші можуть вкладатися у великі, як матрьошки, при цьому не змінюючи своїх властивостей - що ми бачимо у наведених вище прикладах.

Сума цифр у кожному з вкладених один в одного, як матрьошки, квадратів дорівнюватиме нулю. Це означає (мовою чисел) наступне: кожен із квадратів перебуває у динамічному рівновазі і є самодостатню цілісність, що заважає йому у своїй бути гармонійної частиною чогось Великого й у точності схожим цього Велике. Сума чисел по діагоналі, вертикалі та горизонталі будь-якого квадрата також завжди дорівнюватиме нулю, що дозволяє дотримуватися принципу Єдності та принципу динамічної рівноваги.

Отже, головна рисавищенаведених квадратів, важливість якої важко перебільшити - властивість єдності.

Існує, однак, інше сімейство магічних квадратів, у яких властивість єдності відсутня.

За пару століть до Атанасіуса Кірхера в Європі магічними квадратами займалися щонайменше двоє посвячених - Корнеліус Агріппа та Альбрехт Дюрер. Загадкова гравюра Дюрера "Меланхолія I" була залишена ним як ключ до деяких. Божественним заходамта ваги. Дюрер був одним з перших у середньовічної Європи, хто вивчав пропорцію золотого перетину, він також володів знаннями інших священних заходів, про що свідчить дивний неправильної формибагатогранник, зображений у «Меланхолії». Серед інших предметів там їм зображено і магічний квадрат. Він був складений таким чином, що в його нижньому рядку навіть було відображено рік створення гравюри - 1514 року.

«Меланхолія» дуже зацікавила і спантеличила мене під час відвідування будинку-музею Дюрера в Нюрнберзі. Магічний квадрат – центральний об'єкт «Мелахолії» і, можливо, головний плід досліджень художника, принципово відрізнявся від квадрата Джабіра Ібн Хайяна та Корнеліуса Агріппи (і Ло-Шу). Далі ми побачимо чому.

Магічний квадрат Дюрера, зображений на Меланхолії, мав порядок 4 х 4, і виглядав ось таким чином:

Сума чисел квадрата на будь-якій горизонталі, вертикалі та діагоналі дорівнює 34. Ця сума також зустрічається у всіх кутових квадратах 2×2, у центральному квадраті, у квадраті з кутових клітин, у квадратах, побудованих «ходом коня» і т.д. У сенсі передачі ідеї динамічної рівноваги та балансу цей квадрат не тільки не поступається, але навіть перевершує квадрат Ло-Шу. То в чому ж різниця?

Різниця в тому, що цей квадрат немає єдиного центру. Такий тип квадрата називається парним: він не має цифри, яку можна було б прийняти за початок координат і щодо якої можна було б врівноважити решту квадрата! Він мовою чисел ілюструє ідею відсутностіЄдності, ідею відокремленості, множинності. Всі чотири частини квадрата Дюрера є збалансованими в собі і замкнутими в собі, вони як би «не потребують» єдиного центру. Якщо ми з'єднаємо два квадрати між собою, то отримаємо схему, що за принципом дуже нагадує функціонування людського мозку, де дві півкулі - по суті справи, що представляють собою два самостійні мозку - з'єднуються один з одним за допомогою посередника - мозолистого тіла.

16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1

Дивлячись на світ, істота з такою структурою свідомості сприйматиме її як що складається з окремих, не пов'язаних між собою об'єктів. Воно неспроможна сприймати Єдність, оскільки його свідомість немає зв'язку з центром, нульовою точкою. Слово майя, Що означає "ілюзорний світ", спочатку на санскриті означало "сила поділу", "розділений розум".

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13

5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8

9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12

4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1

В який би бік по цій сітці ми не рухалися, ми знайшли б ті ж відокремлені частини із сумою цифр 34. Відокремлені квадрати тим не менш можуть розуміти один одного, «повідомляючись» загальною мовою Мережі, «мовою 34», через «посередників» » - такі ж квадрати із сумою цифр 34, що утворюються на стику двох сусідніх (вони виділені підкресленням). Однак посередники не те саме, що врівноважуюча сила (примирююче рішення для парадоксу)яка є нульу середині магічних квадратів непарних порядків.

Таку мережу розділених і відокремлених свідомостей неможливо створити, використовуючи як основу магічні квадрати, які мають єдиний центр.

Якби якийсь злий чарівник захотів придумати мережу свідомості, яка б створювала ілюзію справжнього світу - ілюзію настільки правдоподібну, що її важко було б відрізнити від реальності, але яка все ж таки залишалася б нереальною, - він цілком міг би використати подібну ідею. Звичайно, коди його мережі - Матриці - були б на порядок складніші, але базовий принцип залишався б схожим: можливість комунікації між частинами Матриці, але відсутність Єдиного центру.

Чи може бути, що, поміщаючи пісочний годинник поряд зі своїм магічним квадратом, Дюрер залишив натяк на його зв'язок з минущим та ілюзорним світом, в якому ми опинилися? Пісочний годинникчасто зустрічалися в гравюрах Дюрера як символ тлінності життя. Можливо, він думав про всіх нас, які потрапили в тенета нереального світу, про людей, «по кому дзвонить» над квадратом?

На відміну від Дюрера, що помістив квадрат Матриці під дзвоном і поруч із пісочним годинником, Атанасіус Кірхер віддав свій магічний квадрат 3 х 3 в руки ангела в небесній височінь, цілком ясно даючи зрозуміти, на яких числових співвідношеннях заснований світ іншої, справжньої Реальності... .

Роботи Дюрера відбивають його причастя до сакрального Знання. На кількох гравюрах, у досить несподіваних місцях, художник помістив зображення будяка, яке мистецтвознавці пояснюють найбезглуздішими причинами, тоді як справжньою причиною може бути вказівка ​​на приналежність автора до одного з братств Традиції. Братство Чортополоха було одним із середньовічних таємних товариств, коріння якого йде від шотландських тамплієрів. Пізніше члени ордену носили плащі зеленого кольору та знак у вигляді восьмикутної зірки.

...Я стою на порозі колишнього будинку Альбрехта Дюрера і дивлюся на кут будівлі навскіс, де скульптурний Архангел Михайло зневажає ногами і вражає списом крилатого Змія. Вже збираючись йти, я кидаю погляд на збільшену копію знаменитого автопортрета господаря будинку, що висить на вході, і застигаю. Хто ж ти, Пане Меланхолік? Уважний, серйозний погляд, обличчя, на якому чомусь важко уявити посмішку. "Меланхолія" - теж автопортрет, квінтесенція Знання художника. Ключ до якоїсь таємниці ти хотів передати нам, нащадкам, залишивши свій магічний символ?

«Ти дізнаєшся пізніше. Але важливо не це».

«Що важливо?»

«Сходи з сімома сходами. Вона веде за межі зачарованої мережі квадрата, до свободи від світу меланхолії » .

«Як знайти ці сходи, Пане Меланхолік? »

«Ти не намацаєш сходів, живучи розумом, бо він створений двоїстим. Перший ступінь сходів починається в серці. Корисно розмірковувати над тим, чому людина має два мозку, але одне серце».

Хоча наша звичайна свідомість спіймана в полон Мережею світу ілюзій, де царює ворожість, тому що все здається розділеним, ізольованим одне від одного, у нас, згідно з Вчителями Традиції, все ж таки є щось - орган, названий Платоном «оком», очищуючи яке вогнем Знання , ми прозріваємо у світ Реальності. Можливо, Платон мав на увазі те саме око, про яке йдеться в Євангелії від Матвія (6:22): « Світильник для тіла є око. Якщо око твоє буде чисте, то все тіло твоє буде світло»?

Кожен з нас нерозривно пов'язаний зі світом Реальності через орган, який Традиція називає серцем (маючи на увазі не фізичне серце, але осередок Єдності у нас - серцевинаживої істоти). Наше серце – частина неосяжної мережі Творіння, в якому все – від піщинки до галактик – пов'язане з усім через Єдиний центр, нульову точку.

Продовження у і

1. Неоднозначність прочитання старих дат. "Магічний квадрат" Альбрехта Дюрера

Найважливішим формальним результатом НХ, отриманим шляхом застосування до матеріалу скалігерівської версії історії давнини та середньовіччя незалежних математико-статистичних методів датування, є виявлення системи хронологічних зрушень, що лежить в її фундаменті. Внаслідок одного з таких зрушень, яскраво вираженого в європейській та російській середньовічної історіїБагато подій, документів і творів мистецтва епохи XII-XVII століть були штучно відкинуті приблизно на сторіччя в минуле. На додаток до цього, показано, що зручна (і звична сучасній людині) позиційна десяткова система запису чисел була винайдена вперше аж ніяк не в глибокій (чи не в III тисячолітті до н.е.) давнини, як це стверджує скалігерівська хронологія, а лише десь у середині XVI століття. І практично відразу ж, - на основі російського скоропису, що використовувався в тодішній примітивнішій напівпозиційній (що не мала нуля) слов'яно-грецькій системі числення, - виникли знайомі всім цифри від 0 до 9, звані сьогодні «арабськими» або «індійськими». До того ж, і зараз для нас це найважливіший момент, - Спочатку символи, якими пізніше стали записуватися цифри 5 і 6, мали інше значення: цифра 5 спочатку позначала шістку, а цифра 6 - навпаки, п'ятірку.

У сукупності з цього випливає таке: «записи, використовують " індо-арабські " цифри у тому сучасному вигляді, не можна датувати епохою раніше кінця XVI століття. Якщо нам сьогодні кажуть, що на якомусь документі сучасником поставлена ​​дата у прийнятій сьогодні формі: 1250, або 1460, або навіть 1520, то це підробка. Або підроблено документ, або підроблено дату, тобто проставлено заднім числом. А у разі дат нібито шістнадцятого століття... ймовірно, деякі з них належать насправді до сімнадцятого століття.

Яскраве свідчення останнього, яке щасливо збереглося на знаменитій гравюрі Альбрехта Дюрера «Меланхолія», рис. 1.

Мал. 1. Гравюра Альбрехта Дюрера "Меланхолія I"

На цій гравюрі зображений так званий «магічний квадрат», тобто квадратна таблиця, заповнена різними числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова (і, в даному випадку, дорівнює тридцяти чотирьох). Але, придивившись до цих чисел, легко побачити, що цифра п'ять (яка і повинна тут стояти, щоб квадрат вийшов «магічним»), що стоїть у першому стовпці другого ряду, була намальована (точніше, вирізана на гравюрній дошці) поверх шістки, що спочатку знаходилася тут, рис . 2.

Мал. 2. «Магічний квадрат» на гравюрі Дюрера (ліворуч) та п'ятірка, перероблена з шістки (праворуч). Збільшені фрагменти рис. 1

2. Написаний Дюрером портрет Йоганна Клебергера та зображений на ньому зодіак

Однак, «магічний квадрат» Дюрера, як з'ясовується, зовсім не єдиний у своєму роді відлуння, що доносить до нас справжнє первинне значення цифр 5 і 6. Такий самий ефект їх неправильного прочитання, - причому, цього разу, що відноситься до запису саме дати ! - Виявляється, при уважному розгляді, ще на одній роботі цього ж художника. Йдеться про порівняно невеликий (37 на 37 см) портрет нюрнберзького купця і банкіра Йоганна Клебергера, який нібито жив у 1485/86-1546 роках, рис. 3.

Мал. 3. Портрет Йоганна Клебергера. Картина Альбрехта Дюрера, яка датується 1526 роком. Музей історії мистецтв, Відень

Вважається, що цей портрет був написаний на замовлення останнього Альбрехтом Дюрером в 1526, про що начебто прямим текстом свідчить відповідний напис: «1526» і під нею монограма Дюрера. Однак, як випливає зі сказаного вище, напис цей, насправді, може вказувати не на 1526, а на 1625 н.е. Але чи можна перевірити це? Відповідь: так, в даному випадку це виявляється можливим, оскільки, крім помітної кожному цифровому, на цьому ж портреті присутня і, принаймні, ще одна - прихована від погляду - дата, записана астрономічно і поміщена в його лівому верхньому кутку, рис . 4.

Мал. 4. «Астрономічна» (ліворуч) та «цифрова» (праворуч) дати на портреті Йоганна Клебергера. Збільшені фрагменти рис. 3

Достатньо одного погляду на лівий фрагмент рис. 4 щоб зрозуміти, що перед нами - абсолютно відвертий гороскоп. Насправді ми бачимо тут шість зірок, що позначають шість планет, а також Сонце, представлене у вигляді яскравого жовтого сяйва, рис. 5-12.

Мал. 5. Календар із птолемеївською системою світу. Цікава особливістьцієї схеми, що відрізняється від інших подібних зображень, у тому, що вона має виразно виражений «магічний» характер: кожен із символів Зодіаку супроводжується якимось символом, які мали, на думку укладача,
магічну природу (про те, що це за символи, буде сказано далі). Ілюстрація із середньовічного астрологічного манускрипту (Баварська. державна бібліотека, кодекс BSB Clm 826)

Мал. 6. Сонце, Місяць та п'ять зірок-планет. У центрі зображена комета, що прямує до Сонця. Збільшений фрагмент рис. 5

Мал. 7. Сім вільних мистецтв і покровительствуючі їм планети. Зліва зображені: Сатурн (геометрія) та Юпітер (логіка). У центрі (і на збільшеному фрагменті праворуч) представлені: Марс (арифметика), Сонце (граматика) та Венера (музика). Праворуч показано: Меркурій (фізика) та Місяць (риторика).
У нижній частині розміщені зображення планет і днів тижня, умовно позначених сімома світильниками. Ілюстрація з Тюбінгенської домашньої книги - медико-астрологічного манускрипту нібито XV століття
(Бібліотека Тюбінгенського університету, кодекс Md 2)
Мал. 8. Зодіакальна людина. Схема, що ілюструє середньовічні уявлення про вплив, що надається на органи людини знаками Зодіаку (ліворуч, вгорі та внизу) та планетами (праворуч). Ілюстрація з годинника середини XVI століття

Мал. 9. Сонце та шість зірок-планет на титульному листі алхімічного трактату: Johann Mylius, Anatomia Auri, sive Tyrocinium medico-chymicum, Frankfurt, 1628
Мал. 10. Жан Жерсон (богослов і канцлер Паризького університету, який нібито жив у 1363-1429 роках) в образі пілігриму. Праворуч показано збільшений фрагмент зі щитом, на якому зображено Сонце, Місяць та п'ять зірок-планет. Гравюра нібито кінця XV століття, що приписується Альбрехту Дюреру

Мал. 11. Вершник-Сонце. Ілюстрація із фестивальної книги кінця XVI століття (кодекс BSB Cod. icon. 340)
Мал. 12. Сонце на гравюрі Ганса Вайдітца. Нібито середина XVI ст.

Єдина неоднозначність виникає у зв'язку з визначенням значення зображеного у центрі всієї композиції символу. На перший погляд, це загальноприйнятий астрономічний знак сузір'я Лева, присутній у такій якості на безлічі зображень, рис. 13-14, у тому числі і на відомій зоряній карті того ж таки Дюрера, рис. 15.

Мал. 13. Сонце та Лев. Над спиною лева зображено його умовний символ. Гравюра Віргіліуса Соліса. Нібито середина XVI ст.
Мал. 14. Сонце з Левом (ліворуч) та збільшений фрагмент із символом останнього (праворуч). Малюнок Ерхарда Шона. Нібито 1536 рік

Мал. 15. Зображення Лева на зірковій карті Дюрера (ліворуч) та його фрагменти із символом даного сузір'я(праворуч). Нібито 1515 рік

Як символ Лева він інтерпретується і практично у всіх описах аналізованої картини. Тим не менш, як стверджується в , - і, як стане зрозуміло далі, практично напевно так воно і є, - в даному окремому випадку цей символ має більш вузьке значення і вказує не на сузір'я Лева цілком, а лише на його головну зірку - Регул .

3. Перший вид гороскопу - «з Левом». Коли насправді був написаний портрет Клебергера?

Розглянемо спочатку першу – стандартну – можливість.

І тут ми отримуємо, що у рис. 4 представлений гранично короткий гороскоп - всі планети у Львові. Постає питання, в які роки всі сім відомих у середньовічній астрономії планет збиралися на зоряному небі в сузір'ї Лева? Програма HOROS дає на нього наступну вичерпну відповідь: за останню тисячу років це відбувалося лише двічі – 14-16 серпня 1007 н.е. і 30 серпня – 1 вересня старого стилю 1624 року н.е. Перше рішення з очевидних причин свідомо відпадає, натомість друге виявляється віддаленим буквально на один рік від дати, записаної художником на картині, рис. 4, за умови того, що цифри 5 та 6 мали для нього не сьогоднішнє, а первісне значення.

В наявності чудова відповідність. Виходить, що в кінці серпня - початку вересня 1624 відбувається якась важлива для Йоганна Клебергера подія, в пам'ять про який він замовляє Дюреру (можливо відразу ж, можливо трохи згодом) аналізований портрет, а останній незабаром виконує це замовлення.

Однак, це лише попередній висновок, що випливає з чисто формального результату, що відноситься зазначену вище дату саме до 1624 року і ніяк не враховує того, що за старих часів початок року не завжди і не скрізь відраховувався, як це звично нам сьогодні, з першого січня. Зокрема, на Русі в епоху XVI-XVII століть, що цікавить нас. новий рікпочинався у вересні. І якщо, беручи до уваги цю обставину, припустити, що замовник портрета слідував, - принаймні, в даному конкретному випадку, - цій старій (що бере початок ще в «Давньому» Єгипті) традиції відліку нового року з вересня, то картина стає набагато цікавішою.

А саме, виникають два можливі варіанти, залежно від того, чи приймав він (знову ж таки, принаймні, у розглянутому випадку) проведену порівняно недавно - сорока роками раніше - григоріанську реформу календаря та запровадження «нового стилю». Якщо так, то до зазначеної вище дати слід додати десять днів, і вийде, що в зображеному на портреті гороскоп записана дата 9-11 вересня (нового стилю), що потрапляє на перший місяць 1625 вересневого року. Тобто, астрономічний та цифровий записи, рис. 4, виявляться (частково, оскільки перша точніша) дублюючими один одного і вказують на один і той же 1625.

Якщо ж це було не так, і замовник картини дотримувався старого юліанського рахунку днів, то результат стає зовсім разючим, оскільки в цьому випадку 31 серпня і 1 вересня випадають точно на останній день 1624 і перший день 1625 вересневого року. І тоді виходить, що зодіак на рис. 3 – новорічний, а сам портрет був написаний з нагоди наступу нового 1625 року, з початком цього року у вересні.

На рис. 16 показано «знімок» зоряного неба на новорічний ранок 1625 вересневого року, отриманий за допомогою програми-планетарію StarCalc.

Мал. 16. Положення планет вранці (через дві години після сходу Сонця) 1 вересня ст. ст. (11 вересня н. ст.) 1624 н.е. Місце спостереження – Нюрнберг.

Таким чином, ми маємо три варіанти, що відносять записану на картині «зодіакальну» дату, в залежності від можливих календарних уявлень її замовника, в кінець восьмого місяця 1624 січневого, кінець першої декади першого місяця або точно на початок 1625 вересневого року.

Виникає природне питання: який із цих варіантів найкраще відповідає зображенню на рис. 3? Як ми зараз переконаємося, останній, оскільки саме з ним ідеально узгоджується низка інших деталей картини, що розглядається.

4. «Рік Сатурну» та символічне значення «левового» гороскопу

Насамперед, поглянемо на дві фігури, зображені в нижньому лівому та правому кутах портрета, рис. 17 і спробуємо зрозуміти, що вони означають.

Мал. 17. Фігури у нижній частині портрета Йоганна Клебергера. Збільшені фрагменти рис. 3

З лівої з них - трилисником конюшини, що росте на вершині гори, - питань не виникає. Це звичайний гербовий щит із символікою власника. Точно такий же символ можна побачити на ще одному зображенні Йоганна Клебергера (від конюшини, до речі, походить і саме його прізвище), рис. 18.

Мал. 18. Йоганн Клебергер на медалі невідомого нюрнберзького майстра, так само як і портрет Дюрера, до 1526 року. На зворотному боці видно шолом, над яким зображена гора з трилистником, що росте на її вершині.

Але що саме означає права? Звичайно, цілком можна сказати, що це просто красива картинка, парна до щита», і тим самим задовольнитись. Однак, враховуючи викладене вище, у цій картинці нескладно розпізнати злегка завуальований астрономічний сюжет під геральдичну стилістику. Справді, ми бачимо тут довгобородого старця, що тримає в руках два трилисники. Підоплювання цієї композиції напрошується сама собою: шість однакових листочків (так само як шість однакових зірок у протилежному кутку того ж портрета, рис. 4), швидше за все, позначають шість планет, рис. 19-21, а старець – якусь сьому планету.

Мал. 19. Планетне дерево. Титульний лист алхімічного трактату: Basilius Valentinus, Occulta Philosophia, Frankfurt am Mayn, 1613

Мал. 20. Планети (вони ж алхімічні елементи), зображені як листочків на гілках дерева.
Збільшений фрагмент рис. 19
Мал. 21. Сонце, Місяць та планети на гілках алхімічного дерева. Ілюстрація з трактату: Johann Mylius, Philosophia Reformata, Frankfurt, 1622

Постає питання, яку конкретно? Очевидно, це або Юпітер, або Сатурн, оскільки саме ці дві планети найчастіше (а останній – практично завжди) зображувалися в такому вигляді, рис. 22.

Мал. 22. Юпітер (ліворуч) та Сатурн (праворуч) на гравюрах Ханса Бургкмайра. Нібито кінець XV - початок XVI ст.

Строго кажучи, більш менш схожі зображення зустрічаються іноді і для Марса, Меркурія і Сонця, проте на них завжди є підписи або характерні атрибути (меч Марса, крилатий жезл Меркурія і т.п.), що дозволяють зрозуміти, яка саме планета мається на увазі , Мал. 13. За відсутності таких атрибутів залишаються саме Юпітер з Сатурном, оскільки єдиною ознакою для ідентифікації, в такому разі, виявляється власне вік, а останні - старші серед «планетних» богів.

Отже, розглянемо перший варіант. У цьому випадку виходить, що шість планет поділені на дві трійки, зображені у вигляді трилисників у руках старця-Юпітера. З астрономічної точки зору це означає, що три планети повинні знаходитися по один бік від Юпітера, а три - по інший бік. Але саме так і була справа в отриманому вище «новорічному» рішенні 1624/25 року: зліва від Юпітера, з боку Діви, знаходилися Меркурій, Сонце і Венера, праворуч - Марс, Місяць і Сатурн, рис. 16. Тобто при ототожненні старця на рис. 17 з Юпітером вся композиція набуває значення додаткової астрономічної вказівки до основного гороскопу.

У другому випадку такої прозорої відповідності, зрозуміло, вже не спостерігається, однак і він, як виявляється, анітрохи не суперечить «новорічному» варіанту отриманої датування. І навіть більше, як додатково підтверджує її, а й дозволяє глибше зрозуміти логіку і спосіб думки, якими керувалися автор і/або замовник аналізованого портрета.

А саме, поставимо питання: що ще, крім поділу планет на дві групи, може означати ту обставину, що всі вони зображені однаковими, маленькими і притому знаходяться в руках старця, що уособлює (цього разу) Сатурн? Вочевидь, те, що останній тримає їх у якомусь підпорядкуванні (буквально, «у руках»). Постає питання, про яке «підпорядкування» може йтися? Відповідь знову дає рис. 16. Справа в тому, що спостерігач, який дивився на зоряне небов новорічну ніч 1625 вересневого року, бачив, як приблизно за дві години перед світанком сходив Сатурн, півгодини пізніше Місяць (у вигляді ледь помітного або навіть зовсім нерозрізненого серпика), а ще через годину - всі інші планети. Тобто, кажучи образно, в ці передсвітні години на небі безроздільно «панував» Сатурн, сповіщаючи тим самим, що наступні місяці пройдуть під його «управлінням» (як усіма іншими, так само як «підлеглими» йому, планетами, доля яких, найближчим часом , виявилася «в його руках», так і, звичайно ж, земними справами).

І, як добре відомо, такого роду співвідношення року з «керуючою» ним планетою справді було в епоху Клебергера-Дюрера поширеною практикою, рис. 23-24.

Мал. 23. Сатурн – владика річного кола. Ілюстрація із середньовічного астрологічного альманаху. Нібито 1491 рік

Медаль, випущена в Нюрнберзі приблизно в 1810 Збереглася ця традиція і до цього дня, рис. 25-29.

Мал. 24. Сатурн. На зворотному боці – весталка біля вівтаря та напис «Удачі в новому році» (SPENDE NEUES GLUCK IM WECHSEL DES JAHRES).
Мал. 25. "Сатурн - правитель року" (JAHRES REGENT SATURN). Медаль із «календарної» серії, що випускається в Австрії з 1933 року до теперішнього часу

Мал. 26. Лицьові сторони ще двох австрійських календарних медалей (за 1937 та 1972 роки), присвячених Сатурну
Мал. 27. Юпітер та Марс на австрійських календарних медалях

Мал. 28. Венера та Меркурій на австрійських календарних медалях
Мал. 29. Сонце та Місяць на австрійських календарних медалях

Отже, ототожнення старця на рис. 17 із Сатурном також чудово відповідає знайденому вище рішенню. Хіба що прочитання композиції виявляється трохи більш хитромудрим, а сенс, що виходить, зміщується з суто астрономічної в алегоричну площину.

На останнє, щоправда, можна заперечити тим, що Сатурн, за середньовічними уявленнями, вважався зловісною, вкрай несприятливою планетою, пов'язаною зі смертю і поганими впливами. Видання [Саплін] підсумовує ці погляди наступним чином: «Сатурн - п'ята за астрономічним рахунком планета … В індивідуальній астрології Сатурну підпорядковані такі поняття: розставання, перешкоди, труднощі, втрати, протистояння, витримка, терпіння, наполегливість, ґрунтовність, відчуження, , Вік, труднощі, жорстокість, непохитність, сталість, заздрість і жадібність. У світовій астрології… Сатурн відповідає за національні лиха, епідемії, голод тощо. …». А також: «Велике нещастя (лат. Infortuna major) - епітет планети Сатурн, що часто вживався в середньовічній астрології, вважається найбільш несприятливою планетою».

Загалом, на перший погляд, складно уявити причину, яка б спонукала когось замовити свій портрет на подібному тлі. І в більшості випадків цього було б цілком достатньо, щоб відкинути варіант ототожнення старця на рис. 17 саме з Сатурном (залишивши для нього, тим самим, Юпітера як єдину кандидатуру). Однак у даному конкретному випадку таке сусідство може бути дуже легко пояснене. Справа в тому, що описана вище картина того, як у новорічну ніч 1625 року вересневого року першим сходив «зловісний» Сатурн, була не зовсім повною. Якщо ж бути до кінця точним, то, як знову добре видно на рис. 16, «найпершим» - згідно з розрахунковими даними, трьома хвилинами раніше Сатурна - на горизонті з'являлася одна з найяскравіших зірокнеба – Регул. А вже слідом за Регулом наступала черга «царюючого» Сатурна (до речі, назва вказаної зірки також пов'язана з царською владою і означає, у перекладі з латині, «маленький цар»).

Щодо Регулу у виданні [Саплін] говориться так: «Регул (Regulus), Серце Лева … – зірка α Лева, … вказує на щастя». Тобто, з погляду тих самих середньовічних уявлень, на момент сходу «Великого нещастя» = Сатурна його злодійна іпостась була нейтралізована «щасливим» Регулом, і, отже, першому плані вийшли позитивні риси - «витримка, терпіння, наполегливість, ґрунтовність, … непохитність, сталість». Посилені також «царської» сутністю Регула. Хто відмовився б від такого набору?

Між іншим, відразу стає зрозумілим і те, чому Сатурн міг бути зображений на рис. 17 у вигляді добродушного дідуся, без своїх звичних атрибутів у вигляді коси і немовля, що пожирається, рис. 22. У цьому випадку вони, очевидно, вже не були потрібні. З іншого боку, хід думки автора міг бути й більш витонченим і полягати в тому, що, зобразивши названого старця без будь-яких характерних атрибутів, які б однозначно вказали на Сатурна чи Юпітера, він надав тим досить досвідченому в такого роду тонкощах глядачеві можливість співвіднести його з кожним із них, і в тому і в іншому випадку відкриваючи важливу частину загального закладеного в картину сенсу.

До речі, Сатурн має ще один аспект, який теж міг розглядатися як один із фрагментів багатопланової символіки картини. А саме Сатурн-Кронос асоціювався також і з нестаріючим Хроносом, тобто Часом. І, отже, приміщення його постаті на портреті, при погляді неї під таким кутом, могло обіцяти зображеному довге життя, Мал. 30-31.

Мал. 30. Сатурн-Хронос, який бажає успіху в новому році (VERTENTE ANNO - буквально: «протягом усього року»). Медаль, випущена в Аугсбурзі і датована 1635 роком
Мал. 31. Леопольд Габсбург із сином Йосипом біля вівтаря Вічності, навпроти них - Хронос-Сатурн зі зламаною косою і кинутими на землю пісочним годинником і Фортуна з рогом достатку. На зворотному боці зображений Хронос, що сидить у хмарах, тримає в руці змія, що обвив навколо числа XVII, кусає себе
за хвіст (символ циклічності, переродження тощо). Аугсбурзька медаль, випущена в 1700 році, в ознаменування майбутнього наступу нового століття

Отже, бачимо, що навіть стандартна інтерпретація символу на рис. 4 як Льва, що позначає сузір'я, приводить нас до дуже цікавого і символічно насиченого результату. Однак, як було сказано вище, є й інший варіант прочитання, згідно з яким цей символ вказує на конкретну зірку неба – Регул. Розглянемо тепер і цю нагоду.

Далі буде...


МАГІЧНІ КВАДРАТИ

Батьківщиною магічних квадратів вважають Китай. У Китаї існує вчення Фен-шуй, згідно з яким колір, форма та фізичне розташування кожного елемента у просторі впливає на потік Ці, сповільнюючи його, перенаправляючи його або прискорюючи його, що безпосередньо впливає на рівень енергії мешканців. Для пізнання таємниць світу боги надіслали імператору Ю (Yu) найдавніший символ, Квадрат Ло Шу (Ло – річка).

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ЛО ШУ

Легенда свідчить, що близько чотирьох тисяч років тому з бурхливих вод річки Ло вийшла велика черепаха Шу. Люди, які приносять жертви річці, побачили черепаху і одразу визнали її божеством. Міркування древніх мудреців здалося імператору Ю настільки резонними, що він наказав увічнити зображення черепахи на папері і скріпив його своєю імператорською печаткою. А інакше як би ми про цю подію довідалися?

Ця черепаха насправді була особливою, тому що на її панцирі було завдано дивного візерунка з крапок. Крапки були нанесені впорядковано, це призвело давніх філософів до думки, що квадрат з числами на панцирі черепахи служить моделлю простору – картою світу, складеною міфічним засновником китайської цивілізації Хуан-ді. Справді, сума чисел по стовпцям, рядкам, обом діагоналям квадрата дорівнює M=15 і дорівнює числу днів у кожному з 24-х циклів китайського сонячного року.

Парні та непарні номери чергуються: причому 4 парні числа (пишуться знизу вгору за спаданням) знаходяться у чотирьох кутах, а 5 непарних чисел (пишуться знизу вгору за зростанням) утворюють хрест у центрі площі. П'ять елементів хреста відображають землю, вогонь, метал, воду та ліс. Сума будь-яких розділених центром двох чисел дорівнює числу Хо Ті, тобто. десяти.

Чітні числа (символи Землі) Ло Шу були нанесені на тілі черепахи у вигляді чорних крапок, або Інь символів, а непарні числа (символи Неба) – у вигляді білих крапок, або Ян символів. Земля 1 (або вода) знаходиться знизу, вогонь 9 (або небо) зверху. Ймовірно, що сучасне зображення цифри 5, що у центрі композиції, зобов'язане китайському символу двоєдиності Ян і Інь.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ З КХАДЖУРАХО


Східна кімната

Магія Джозефа Редьярда Кіплінга, який створив образи Мауглі, Багіри, Балу, Шер-Хана і, звичайно, Табаки, почалася напередодні ХХ століття. За півстоліття до цього, у лютому 1838 року молодий британський офіцер бенгальських інженерних військ Т.С. Берт, зацікавлений розмовою слуг, які несли його паланкін, відхилився від маршруту і натрапив на стародавні храми в джунглях Індії.

На сходах храму Вішванатха офіцер знайшов напис, що свідчить про старовину споруд. Через короткий час енергійний генерал-майор А. Каннінгем накреслив докладні плани Кхаджурахо. Було розпочато розкопки, що увінчалися сенсаційним відкриттям 22 храмів. Звели храми махараджі їхньої династії Чанделів. Після розпаду їхнього царства джунглі поглинули будівлі на тисячу років. Знайдений серед зображень оголених богів і богинь квадрат четвертого порядку вражав уяву.

Мало того, що у цього квадрата суми за рядками, стовпцями та діагоналями збігалися і дорівнювали 34. Вони збігалися також за ламаними діагоналями, що утворюються при згортанні квадрата в тор, причому в обох напрямках. За подібне чаклунство цифр такі квадрати називають "диявольськими" (або "пандіагональними", або "насик").

Безумовно, це свідчило про незвичайні математичних здібностяхїх творців, що перевершують колонізаторів. Що неминуче відчули люди в білих коркових шоломах.

МАГІЧНИЙ КВАДРАТ ДЮРЕРА

Знаменитий німецький художник початку XVI століття Альбрехт Дюрер становив перший у європейському мистецтві магічний квадрат 4х4. Сума чисел у будь-якому рядку, стовпці, діагоналі, а також, що дивно, у кожній чверті (навіть у центральному квадраті) і навіть сума кутових чисел дорівнює 34. Два середні числа в нижньому ряду вказують дату створення картини (1514). У середніх квадратах першого стовпчика внесено виправлення – цифри деформовані.

У картині з окультною крилатою мишею Сатурном магічний квадрат складений крилатим розумом Юпітером, які протистоять один одному. Квадрат симетричний, тому що сума будь-яких двох чисел, що входять до нього, розташованих симетрично щодо його центру, дорівнює 17. Якщо скласти чотири числа, отримані ходом шахового коня - буде 34. Воістину цей квадрат своєю бездоганною впорядкованістю відображає меланхолію, що охопила художника.

Ранковий сон.

Європейців із дивовижними числовими квадратами познайомив візантійський письменник та мовознавець Мосхопулос. Його робота була спеціальним твором на цю тему та містила приклади магічних квадратів автора.

СИСТЕМАТИЗАЦІЯ МАГІЧНИХ КВАДРАТІВ

У XVI в. в Європі з'явилися твори, в яких як об'єкти математичного дослідження постали магічні квадрати. Потім було безліч інших робіт, зокрема таких відомих математиків, основоположників сучасної науки, як Штіфель, Баше, Паскаль, Ферма, Бессі, Ейлер, Гаус.

Магічний, або чарівний квадрат – це квадратна таблиця, заповнена n 2 числами таким чином, що сума чисел у кожному рядку, кожному стовпці та обох діагоналях однакова. Визначення умовне, оскільки древні надавали значення, наприклад, кольору.

Нормальнимназивається магічний квадрат, заповнений цілими числами від 1 до n2. Нормальні магічні квадрати існують всім порядків, крім n = 2 , хоча випадок n = 1 тривіальний – квадрат складається з однієї числа.

Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на діагоналях називається магічною константоюМагічна константа нормального чарівного квадрата залежить тільки від n і визначається формулою

M = n (n 2 + 1) / 2

Перші значення магічних констант наведено у таблиці

Якщо у квадраті рівні суми чисел лише у рядках і стовпцях, він називається напівмагічним. Магічний квадрат називається асоціативнимабо симетричнимякщо сума будь-яких двох чисел, розташованих симетрично щодо центру квадрата, дорівнює n 2 + 1 .

Існує лише один нормальний квадрат третього порядку. Його знали багато народів. Розташування чисел у квадраті Ло Шу схоже із символічними позначеннями духів у кабалі та знаками індіанської астрології.

Відомий також як квадрат Сатурна. Деякі таємні товариства в Середньовіччі бачили в ньому "каббалу дев'яти палат". Безсумнівно, відтінок забороненого чаклунства багато означав для збереження його зображень.

Він був важливим у середньовічній нумерології, часто використовувався як амулет або засіб для ворожіння. Кожен осередок його відповідає містичній літері чи іншому символу. Прочитані разом уздовж певної лінії ці знаки передавали окультні повідомлення. Цифри, що становлять дату народження, розставлялися в осередках квадрата і потім розшифровувалися в залежності від значення та розташування цифр.

Серед пандіагональних, як їх називають ще, диявольських магічних квадратів виділяють симетричні - ідеальні. Диявольський квадрат залишається диявольським, якщо робити його поворот, відображення, перестановку рядка зверху вниз і навпаки, закреслення стовпця праворуч або ліворуч з приписуванням його з протилежного боку. Усього виділяють п'ять перетворень, схема останнього наведена на малюнку

Існує 48 диявольських квадратів 4×4 з точністю до поворотів та відбитків. Якщо взяти до уваги ще й симетрію щодо торичних паралельних переносів, то залишається лише три істотно різних диявольських квадрата 4×4:

Клод Ф. Брегдон, відомий американський архітектор, виявив, що, поєднавши одну за одною клітини тільки з парними чи лише з непарними числами магічних квадратів ламаної, ми здебільшого отримаємо витончений візерунок. Придуманий ним візерунок для вентиляційних грат у стелі Торгової палати в Рочестері (штат Нью-Йорк), де він жив, побудований з магічної ламаної талісмана Ло-Шу. Брегдон використовував «магічні лінії» як зразки малюнків для тканин, книжкових обкладинок, архітектурних прикрас та декоративних заставок.

Якщо з однакових диявольських квадратів викласти мозаїку (кожен квадрат повинен впритул до своїх сусідів), то вийде щось на зразок паркету, в якому числа, що стоять у будь-якій групі клітин 4х4, утворюватимуть диявольський квадрат. Числа в чотирьох клітинах, що йдуть послідовно одна за одною, як би вони не були розташовані - по вертикалі, по горизонталі або по діагоналі, - у сумі завжди дають постійну квадрата. Сучасні математики називають подібні квадрати «досконалими».

ЛАТИНСЬКИЙ КВАДРАТ

Латинський квадрат – різновид неправильних математичних квадратів, заповнений n різними символами таким чином, щоб у кожному рядку і кожному стовпці зустрічалися всі n символів (кожен по одному разу).

Латинські квадрати є для будь-якого n. Будь-який латинський квадрат є таблицею множення (таблицею Келі) квазігрупи. Назва «латинський квадрат» бере початок від Леонарда Ейлера, який використовував латинські літери замість цифр у таблиці.

Два латинські квадрати називаються ортогональними, якщо різні упорядковані пари символів (a,b), де a – символ у певній клітці першого латинського квадрата, а b – символ у тому клітині другого латинського квадрата.

Ортогональні латинські квадрати існують для будь-якого порядку, крім 2 і 6. Для n є ступенем простого числа є набір n-1 ортогональних попарно латинських квадратів. Якщо у кожній діагоналі латинського квадрата всі елементи різні, такий латинський квадрат називається діагональним. Пари ортогональних діагональних латинських квадратів існують всім порядків, крім 2, 3 і 6. Латинський квадрат часто зустрічається у завданнях складання розкладу, оскільки у рядках і стовпцях числа не повторюються.

Квадрат з пар елементів двох ортогональних латинських квадратів називається греко-латинський квадрат. Подібні квадрати часто використовуються для побудови магічних квадратів та у ускладнених завданнях про складання розкладу.

Займаючись греко-латинськими квадратами Ейлер довів, що квадратів другого порядку немає, зате знайшли квадрати 3, 4, і 5 порядків. Жодного квадрата 6 порядку він не знайшов. Їм була висловлена ​​гіпотеза, що немає квадратів парних порядків, не поділяється на 4 (тобто 6, 10, 14 тощо. буд.). У 1901 році Гастон Террі перебором підтвердив гіпотезу для 6 порядку. Але в 1959 гіпотеза була спростована Е. Т. Паркером, Р. К. Боусом і С. С. Шрікхердом, які виявили греко-латинський квадрат порядку 10.

ПОЛІМІНО АРТУРА КЛАРКУ


Поліміно - за складністю його, безумовно, відноситься до категорії найважчих математичних квадратів. Ось як про нього пише письменник-фантаст А. Кларк – нижче розміщено уривок із книги "Земна Імперія". Очевидно, що Кларк, проживаючи на своєму острові, він жив на Цейлоні – і його філософія відриву від соціуму цікава сама по собі, захопившись розвагою, яку вчить бабуся хлопчика, і передав нам. Вважаємо за краще це живе опис наявним систематизаціям, які передають, можливо, суть, але не дух гри.

- Ти вже досить великий хлопчик, Дункан, і зумієш зрозуміти цю гру... втім, вона набагато більша, ніж гра. Попри слова бабусі, гра не вразила Дункана. Ну що можна зробити із п'яти білих пластмасових квадратиків?

- Перш за все, - продовжувала бабуся, - тобі треба перевірити, скільки різних візерунків ти зумієш скласти з квадратиків.

– А вони при цьому мають лежати на столі? – спитав Дункан.

- Так, вони повинні лежати, стикаючись. Перекривати один квадратик іншим не можна.

Дункан почав розкладати квадратики.

- Ну, я можу викласти їх у пряму лінію, - почав він.

Хлопчик швидко склав півдюжини поєднань, потім ще й раптом виявив, що вони повторюють вже існуючі.

- Може, я тупий, але це все.

Дункан упустив найпростішу з фігур – хрест, для створення якої достатньо було викласти чотири квадратики на п'ятий, центральний.

— Більшість людей починають саме з хреста,— усміхнулася бабуся.— На мою думку, ти поспішив оголосити себе тупим. Краще подумай: чи можуть бути ще якісь постаті?

Зосереджено рухаючи квадратики, Дункан знайшов ще три постаті, після чого припинив пошуки.

- Тепер уже точно все, - впевнено заявив він.

- А що ти скажеш про таку постать?

Злегка пересунувши квадратики, бабуся склала їх подібність горбатої літери F.

– І ось ще одна.

Дункан відчував себе останнім ідіотом, і слова бабуси лягли бальзамом на його збентежену душу:

- Ти просто молодець. Подумаєш, упустив лише дві постаті. А загальна кількість фігур дорівнює дванадцяти. Не більше та не менше. Тепер ти знаєш їх усі. Шукай хоч цілу вічність – більше не знайдеш жодної.

Бабуся сміла в кут п'ять білих квадратиків і виклала на стіл дюжину яскравих кольорових пластикових шматочків. Це були ті дванадцять фігур, але вже в готовому вигляді, і кожна складалася з п'яти квадратиків. Дункан вже був готовий погодитися, що жодних інших фігур справді не існує.

Але коли бабуся виклала ці різнокольорові смужки, значить гра триває, і Дункана чекав ще один сюрприз.

— А тепер, Дункане, слухай уважно. Ці постаті називаються «пентаміно». Назва походить від грецького слова «Пента», що означає «п'ять». Усі фігури рівні площі, оскільки кожна складається з п'яти однакових квадратиків. Фігур дванадцять, квадратиків – п'ять, отже, Загальна площадорівнюватиме шістдесяти квадратикам. Правильно?

- Мм ... так.

– Слухай далі. Шістдесят - чудове кругле число, яке можна скласти кількома способами. Найлегший – помножити десять на шість. Таку площу має ця коробочка: по горизонталі в ній міститься десять квадратиків, а по вертикалі – шість. Отже, в ній мають уміститися всі дванадцять фігур. Просто, як складова картинка-загадка.

Дункан чекав каверзи. Бабуся обожнювала словесні та математичні парадокси, і далеко не всі вони були поняття її десятирічної жертви. Але цього разу обійшлося без парадоксів. Дно коробки було розкреслено на шістдесят квадратиків, отже… Стоп! Площа площею, але фігури мають різні обриси. Спробуй зажени їх у коробку!

– Залишаю тобі це завдання для самостійного вирішення, – оголосила бабуся, бачачи, як він сумно рухає пентаміно дном коробки. – Повір мені, їх можна зібрати.

Незабаром Дункан почав міцно сумніватися в словах бабуси. Йому з легкістю вдавалося вкласти в коробку десять фігур, а одного разу він примудрився втиснути й одинадцяту. Але обриси незаповненого простору не збігалися з контурами дванадцятої фігури, яку хлопчик крутив у руках. Там був хрест, а фігура, що залишилася, нагадувала букву Z…

Ще через півгодини Дункан уже перебував на межі розпачу. Бабуся поринула в діалог зі своїм комп'ютером, але час від часу зацікавлено поглядала на нього, ніби говорячи: «Це не так легко, як ти думав».

У свої десять років Дункан вирізнявся помітною впертістю. Більшість його однолітків давним-давно залишили всякі спроби. (Тільки за кілька років він зрозумів, що бабуся витончено проводила з ним психологічний тест.) Дункан протримався без сторонньої допомоги майже сорок хвилин.

Тоді бабуся встала від комп'ютера та схилилася над головоломкою. Її пальці пересунули фігури U, X та L…

Дно коробки виявилося цілком заповненим! Усі шматки головоломки зайняли потрібні місця.

- Звичайно, ти знала відповідь! – скривджено простяг Дункан.

– Відповідь? – перепитала бабуся. – А як ти думаєш, скільки можна вкласти пентаміно в цю коробку?

Ось вона, пастка. Дункан провозився майже годину, так і не знайшовши рішення, хоча за цей час він перепробував щонайменше сотню варіантів. Він думав, що існує лише один спосіб. А їх може бути... дванадцять? Або більше?

- То скільки, на твою думку, може бути способів? – знову спитала бабуся.

— Двадцять, — випалив Дункан, думаючи, що тепер бабуся не заперечуватиме.

- Спробуй знову.

Дункан відчув небезпеку. Забава виявилася набагато хитрішою, ніж він думав, і хлопчик розсудливо вирішив не ризикувати.

— Я взагалі не знаю,— сказав він, мотаючи головою.

– А ти сприйнятливий хлопчик, – знову посміхнулася бабуся. – Інтуїція – небезпечний провідник, але часом іншого в нас немає. Можу тебе порадувати: вгадати правильну відповідь тут неможливо. Існує понад дві тисячі різних способів укладання пентаміно в цю коробку. Точніше, дві тисячі триста тридцять дев'ять. І що ти скажеш?

Навряд чи бабуся його дурила. Але Дункан був настільки розчавлений своєю нездатністю знайти рішення, що не втримався і випалив:

- Не вірю!

Елен рідко виявляла роздратування. Коли Дункан чимось ображав її, вона просто ставала холодною та відчуженою. Однак зараз бабуся лише посміхнулась і щось стукала на клавіатурі комп'ютера.

- Поглянь сюди, - запропонувала вона.

На екрані з'явився набір із дванадцяти різнокольорових пентаміно, що заповнюють прямокутник розміром десять на шість. Через кілька секунд його змінило інше зображення, де фігури, швидше за все, розташовувалися вже по-іншому (напевно, Дункан не міг, оскільки не запам'ятав першу комбінацію). Незабаром зображення знову змінилося, потім ще й ще… Так тривало, доки бабуся не зупинила програму.

- Навіть за великої швидкості комп'ютеру знадобиться п'ять годин, щоб перебрати всі способи, - пояснила бабуся. - Можеш повірити мені на слово: всі вони різні. Якби не комп'ютери, маю сумніви, що люди знайшли б усі способи звичайним перебором варіантів.

Дункан довго дивився на дванадцять оманливих постатей. Він повільно переварював бабусині слова. Це було перше у житті математичне одкровення. Те, що він так необачно вважав за звичайну дитячу гру, раптом почало розгортати перед ним нескінченні стежки і горизонти, хоча навіть найобдарованіша десятирічна дитина навряд чи зуміла б відчути безмежність цього всесвіту.

Але тоді захоплення та благоговіння Дункана були пасивними. Реальний вибух інтелектуального задоволення стався пізніше, що він самостійно знайшов свій перший метод укладання пентаміно. Декілька тижнів Дункан скрізь тягав із собою пластмасову коробочку. Усе вільний часвін витрачав лише на пентаміно. Фігури перетвориться на особистих друзів Дункана. Він називав їх за буквами, які ті нагадували, хоча в ряді випадків подібність була більш ніж віддалена. П'ять фігур – F, I, L, Р, N йшли врозбій, зате інші сім повторювали послідовність латинського алфавіту: Т, U, V, W, X, Y, Z.

Одного разу, в стані чи то геометричного трансу, чи то геометричного екстазу, який більше не повторювався, Дункан менш ніж за годину знайшов п'ять варіантів укладання. Можливо, навіть Ньютон, Ейнштейн або Чень-цзи у свої моменти істини не відчували більшої спорідненості з богами математики, ніж Дункан Макензі.

Незабаром він зрозумів, причому сам, без підказок бабуси, що пентаміно можна вкласти в прямокутник з іншими розмірами сторін. Досить легко Дункан знайшов кілька варіантів для прямокутників 5 на 12 і 4 на 15. Потім він цілий тиждень мучився, намагаючись загнати дванадцять фігур у довший і вузький прямокутник 3 на 20. Знову і знову він починав заповнювати підступний простір і отримають дірки в прямокутнику та «зайві» фігури.

Скрушений, Дункан навідався до бабусі, де на нього чекав новий сюрприз.

- Я рада твоїм дослідам, - сказала Елен. - Ти досліджував усі можливості, намагаючись вивести загальну закономірність. Так завжди роблять математики. Але ти помиляєшся: рішення для прямокутника три на двадцять таки існують. Їх лише два, і якщо ти знайдеш одне, то зумієш відшукати й друге.

Окрилений похвалою бабуси, Дункан з новими силами продовжив «полювання на пентаміно». Ще через тиждень він почав розуміти, який непосильний тягар звалив на свої плечі. Кількість способів, яким можна розташувати дванадцять постатей, просто приголомшувала Дункана. Більше того, кожна фігура мала чотири положення!

І знову він з'явився до бабусі, виклавши їй усі свої труднощі. Якщо для прямокутника 3 на 20 існувало лише два варіанти, скільки часу знадобиться, щоб їх знайти?

- Будь ласка, я тобі відповім, - сказала бабуся. - Якби ти діяв як безмозкий комп'ютер, займаючись простим перебором комбінацій і витрачаючи на кожну по одній секунді, тобі знадобилося б ... - Тут вона навмисно зробила паузу. - Тобі знадобилося б більше шести мільйонів. … так, понад шість мільйонів років.

Земних чи титанських? Це питання миттєво виникло у мозку Дункана. Втім, яка різниця?

- Але ти відрізняєшся від безмозглого комп'ютера, - продовжувала бабуся. Спробуй ще раз.

Дункан слухався, вже без ентузіазму та віри в успіх. А потім йому на думку спала блискуча ідея.

Карл відразу ж зацікавився пентаміно та прийняв виклик. Він узяв у Дункана коробочку з фігурами і зник на кілька годин.

Коли Карл подзвонив йому, вигляд у друга був трохи засмучений.

– А ти впевнений, що це завдання справді має рішення? - Запитав він.

- Абсолютно впевнений. Їх цілих два. Невже ти так і не знайшов бодай одне? Я думав, ти здорово розумієш у математиці.

- Уяви собі, розумію, тому і знаю, яких праць стоїть твоє завдання. Потрібно перевірити… мільйон мільярдів можливих комбінацій.

- А де ти дізнався, що їх стільки? - спитав Дункан, задоволений тим, що хоч чимось зумів змусити друга розгублено чухати потилицю.

Карл скосив очі на аркуш паперу, заповнений якимись схемами та цифрами.

– Якщо виключити неприпустимі комбінації та врахувати симетрію та можливість повороту… виходить факторіал… сумарна кількість перестановок… ти все одно не зрозумієш. Я тобі краще покажу саме число.

Він підніс до камери інший аркуш, на якому була зображена велика низка цифр:

1 004 539 160 000 000.

Дункан нічого не тямив у факторіалах, проте точно підрахунків Карла не сумнівався. Довготривале число йому дуже сподобалося.

- То ти зібрався кинути це завдання? – обережно спитав Дункан.

- Ще чого! Я просто хотів тобі показати, наскільки вона важка.

Обличчя Карла виражало похмуру рішучість. Промовивши ці слова, він відключився.

Наступного дня Дункана чекало одне з найбільших потрясінь у його хлоп'ячому житті. З екрану на нього дивилося змарніле, з запаленими очима, обличчя Карла. Відчувалося, що він провів безсонну ніч.

- Ну ось і все, - стомленим, але тріумфуючим голосом сказав він.

Дункан ледве вірив своїм очам. Йому здавалося, що шанси на успіх дуже малі. Він навіть переконав себе у цьому. І раптом... Перед ним лежав прямокутник три на двадцять, заповнений усіма дванадцятьма фігурами пентаміно.

Потім Карл поміняв місцями і перевернув фігури на кінцях, залишивши центральну частинунедоторканою. Від утоми в нього трохи тремтіли пальці.

— Це друге рішення,— пояснив він.— А тепер я вирушаю спати. Так що добраніч або доброго ранку - це вже як тобі завгодно.

Посоромлений Дункан ще довго дивився в погаслий екран. Він не знав, якими шляхами рухався Карл, намацуючи рішення головоломки. Але він знав, що його друг вийшов переможцем. Всупереч усьому.

Він не заздрив перемозі друга. Дункан дуже любив Карла і завжди радів його успіхам, хоча нерідко сам виявлявся переможеною стороною. Але у сьогоднішньому тріумфі друга було щось інше, щось майже магічне.

Дункан вперше побачив, яку силу має інтуїція. Він зіткнувся із загадковою здатністю розуму вириватися за межі фактів і відкидати убік логіку, що заважає. За лічені години Карл виконав колосальну роботу, перевершивши найшвидший комп'ютер.

Згодом Дункан дізнався, що подібні здібності мають усі люди, але використовують вони їх вкрай рідко – можливо, один раз у житті. У Карла цей дар отримав винятковий розвиток ... З того моменту Дункан став серйозно ставитися до міркувань друга, навіть безглуздим і обурливим з точки зору здорового глузду.

Це було двадцять років тому. Дункан не пам'ятав, куди поділися пластмасові фігури пентаміно. Можливо, так і залишились у Карла.

Бабусин подарунок став їх новим втіленням, тепер уже у вигляді шматочків різнокольорового каменю. Дивовижний, ніжно-рожевого відтінку граніт був із пагорбів Галілея, обсидіан – з плато Гюйгенса, а псевдом-марор – з гряди Гершеля. І серед них спочатку Дункан подумав, що помилився. Ні, так воно і є: то був рідкісний і загадковий мінерал Титану. Хрест кам'яного пентаміно бабуся зробила з титаніту. Цей синяво-чорний, із золотистими вкрапленнями мінерал не сплутаєш ні з чим. Таких великих шматків Дункан ще не бачив і міг тільки здогадуватись, яка його вартість.

— Не знаю, що й сказати, — промимрив він. — Яка краса. Таке я бачу вперше.

Він обійняв худенькі бабусині плечі і раптом відчув, що вони тремтять і їй ніяк не вгамувати це тремтіння. Дункан дбайливо тримав її у своїх обіймах, поки плечі не перестали тремтіти. У такі миті слова не потрібні. Виразніше, ніж раніше, Дункан розумів: він останнє коханняу спустошеному житті Елен Макензі. І тепер він відлітає, залишаючи її наодинці зі спогадами.

ВЕЛИКІ МАГІЧНІ КВАДРАТИ

Китайський математик XIII століття Ян Хуей був знайомий із трикутником Паскаля (арифметичним трикутником). Він залишив виклад методів вирішення рівнянь 4-го та вищих ступенів, зустрічаються правила розв'язання повного квадратного рівняння, підсумовування прогресій, прийоми побудови магічних квадратів Він зумів побудувати магічний квадрат шостого порядку, причому останній виявився майже асоціативним (у ньому тільки дві пари чисел, що центрально протилежать, не дають суму 37).

Бенджамін Франклін склав квадрат 16×16, який, крім наявності постійної суми 2056, у всіх рядках, стовпцях і діагоналях мав ще одну додаткову властивість. Якщо вирізати з аркуша паперу квадрат 4×4 і укласти цей лист на великий квадрат так, щоб 16 клітин більшого квадрата потрапили в цей проріз, то сума чисел, що з'явилися в цій прорізі, куди б ми її не поклали, буде одна і та ж 2056.

Найціннішим у цьому квадраті є те, що його досить просто перетворити на ідеальний магічний квадрат, тоді як побудова ідеальних магічних квадратів – нелегке завдання. Франклін називав цей квадрат "найчарівнішим чарами з усіх магічних квадратів, коли-небудь створених чарівниками".

Глава №5

Магічні квадрати

Ми називаємо їх магічними квадратами чи планетарними квадратами. Або печатками, камеями, таблицями. Як і багато інших магічних інструментів, вони під різними іменамивідомі в різних системах, але як би їх не називали, вони датуються сотнями чи навіть тисячами років. Найбільш раннім із записаних є квадрат 3 на 3, 3-го порядку, який відомий зараз як квадрат Сатурна, а в Китаї звався Ло Шу.

Черепаха та квадрат Сатурна

Його відкриття приписується великому імператору Ю, «Мудрому Королю», і належить приблизно 3000 року до зв. е. . Одного разу, прогулюючись уздовж річки Ло, приплив Жовтої річки, імператор знайшов черепаху. За таємничими числовими візерунками на її спині імператор Ю зрозумів, що це магічне створення і взяв її з собою до палацу. Черепаха стала об'єктом шанування, а священні візерунки на панцирі викликали захоплення у придворних учених.

Мал. 17. Візерунок та панцирі черепахи

Як розповідається в цій історії, китайський двір захоплювали незвичайні скупчення цяток на черепашому панцирі: у чорних групах число цих цяток було непарним, а в білих - парним (рис. 17). Сама числова послідовністьотримала назву Ло Шу- Письмена Річки Ло. Вона виявляється в китайських математичних текстах, починаючи приблизно з 2200 до н. е. Набагато пізніше, в 1275 н. е., математик Ян Хуей докладно описав магічні квадрати у праці, під назвою: «Відновлення древніх математичних методів для пояснення дивних якостей чисел». Ян Хуей випередив свою книгу висловлюванням про те, що він спирався на роботи ранніх математиків. Він не пояснив, як отримав більшість квадратів 3, 4 та 5-го порядку, але навів просту формулу для побудови квадрата Ло Шу"З нуля" (рис. 18).

Мал. 18. Побудова Ло Шу

Напишіть числа від 1 до 9 в три ряди і поверніть написане праворуч таким чином, щоб 1 виявилася зверху, а 9 - знизу (А). Поміняйте місцями 1 і 9 (В) і 3 і 7 (С). Потім опустіть 9 так, щоб вона виявилася між 4 і 2 у верхньому ряду (D); посуньте один до одного 3, 5 і 7 у другому ряду і помістіть 1 між 8 і 6 у нижньому ряду (Е). Вуаль!

Для того щоб використовувати отриману конфігурацію як магічний квадрат, до неї слід додати лінії координатної сітки, за допомогою яких можна створювати комірки для цифр. І тоді нам постане той самий Ло Шу.Вісім зовнішніх груп цяток на панцирі черепахи стали вісьмома триграмами «І-Цзін» (рис. 19). Ло Шутакож близький до практики фен Шуй,дев'ять позицій якого відомі як «Дев'ять Блукаючих Зірок», триграмі Богуо,схемою 3 на 3, що визначає атрибути та «зцілення» простору фен Шуй. Я знайшла трохи з того, що могло б прояснити всі деталі згаданої історії зі священною черепахою, але, без сумніву, - І-Цзін, Квадрат Сатурна, По Шуі фен Шуй- є прямими нащадками цієї стародавньої тварини.

Мал. 19. І-Цзін/Ло Шу

Ігри з математикою квадрата Сатурна

Це самий маленький квадратта гарний об'єкт для демонстрації базової інформації, що відноситься до функцій та термінології. Даний квадрат є джерелом математичних трюків, тим більше кумедних, що вам відомо, наскільки легко його створити.

Мал. 20. Квадрат Сатурна

По-перше, будучи квадратом 3-го порядку, він має три клітини у довжину, три клітини у висоту і містить у собі числа від 1 до 9. Найбільше число у квадраті відповідає кількості наявних у ньому клітин (рис. 20, 21) .

Сума чисел у кожному рядку (А) дорівнює 15, як і у кожній колонці (В).

Сума чисел по діагоналі як від верхнього лівого до нижнього правого кута, так і від верхнього правого до нижнього лівого (С), також дорівнює 15.

Мал. 27.Математика квадрата Сатурна

Якщо ви складете разом усі числа у квадраті – 1+2+3+4+5+6+7+8+9 – сума складе 45.

Розділіть 45 на порядок квадрата - 3 - і ви отримаєте 15, результат, рівний сумібудь-якого рядка, стовпця та діагоналі.

Але це ще не все.

Складіть пару чисел, що розташовані навпроти один одного. У середньому ряду це 3+7. У середній колонці це 9+1. Кутові діагональні пари - 4+6 та 2+8. Кожна пара в сумі дає 10.

Тепер, зверніть увагу на число 5 у центрі квадрата, однина, що залишилося без пари. Подвайте його, склавши саме з собою: 5 + 5. Сума дорівнює 10, що відповідає розташованим навпроти один одного парам. Це також буде вірно і для більшого квадрата непарного порядку: знайдіть клітину в нульовій точці, подвійте число, що знаходиться в ній, а потім визначте пари, які дають таку суму.

Повернемося до історії. Ло Шумігрували з Китаю чи щось подібне виникло десь в інших місцях незалежно?

Мал. 22. Розетка Сатурна

Мал. 23. Ворожіння по Ло Шу

І те і інше. Майя був відомий цей квадрат, як і північним африканцям та доісторичним французам. Стародавні вавилоняни вписували до цього квадрата восьмикінцеву зірку Іштар, щоб використовувати його для визначення напрямків (рис. 22). Одне сучасне джерело пропонує варіант використання квадрата віщунами: намалюйте сітку та числа в ній білою крейдою на чорному папері. Потім помістіть кришталеву кулю у центр, де зазвичай знаходиться число 5 (рис. 23). Цей варіант квадрата відомий як «Єгипетська фігура», так що, можливо, китайська черепаха мала пращурів, що жили за часів фараонів. Тим часом квадрати 4-го порядку були відомі в Індії приблизно з 550 року н. е., коли Варахаміхіра написав текст про передбачення під назвою «Бріхатсамхіту». Деякі із запропонованих Варахаміхірою квадратів 4-го порядку містили в собі зашифровані рецепти пахощів, тоді як інші називалися качапутами, дослівно «панцирами черепахи», що знову вказує на зв'язок з черепахою Ло Шу.

Квадрати 5-го та 6-го порядків були відомі в ісламських країнах до 983 року н. е. У тексті «Кабс аль-Анвар», написаному Надруні, приблизно 1384 року зв. е., перераховані пари семи планет і квадратів, як показано на малюнку 24, в порядку, повтореному в 1498 Пачолі в De Viribus і Корнеліусом Агриппо в De Occulta Philosophia (Окультної філософії) в 1531 році. Ця послідовність відома як халдейський порядок, і в ній зіставляється розмір кожного квадрата з відповідною відстанню від кожної планети до Землі: чим далі, тим менше клітин, чим ближче, тим більше клітин.

Мал. 24. Халдейський порядок

З давніх-давен люди знали, що Сонце знаходиться ближче до Землі, ніж Марс (крім Великих Протистоянь), Юпітер і Сатурн. Спостерігаючи за рухом Місяця, Меркурія та Венери стародавні астрономи встановили, що іноді кожна з цих планет проходила між Землею та Сонцем, а Меркурій та Венера періодично обгинали його. З Місяцем такого ніколи не траплялося, що спонукало наших предків дійти логічного висновку, що він є найближчою сусідкою Землі. І навпаки, Марс, Юпітер і Сатурн ніколи не опинялися між нами і нашою зіркою, навпаки, описуючи коло, вони періодично проходили за Сонцем, що й призвело до переконання, що ці планети віддалені від Землі на далеку відстань, ніж Сонце. Помилково? Так, але навряд чи шалено. Звідси – «халдейський порядок», який досі має сильний вплив на використання магічних чиселна заході. Традиція довга, логіки в ній небагато, тому робіть власні висновки про те, чи варто використовувати халдейський порядок і яким чином.

Не існує квадратів 2-го порядку: чотириклітинний квадрат не демонструє нічого дивного при додаванні чисел 1, 2, 3 і 4. Агріппа дав цій обставині оригінальне пояснення: число 2 було прокляте через дії перших двох людей, Адама та Єви, що зробило квадрат 2-го порядку неможливим. Інший його «доказ» не поступався першому: він вважав, що чотири елементи – Земля, Повітря, Вогонь та Вода, що відповідають тут числам від 1 до 4 – неадекватні. Агріппа описаві квадрат 1-го порядку – єдину клітинку, що містить число 1, яке він ототожнював з Богом. Можливо, це дивне обґрунтування і спричинило бездіяльність інквізиції стосовно самого автора?

Чарівні та магічні квадрати

Тепер саме час провести відмінність: є два види квадратів, які можна умовно назвати «чарівними» та «магічними».

Чарівніквадрати - це вид «розважальної математики», щось на кшталт кросвордів для шанувальників цієї науки. Вони називаються «чарівними», оскільки дозволяють жонглювати числами шляхом найнеймовірніших комбінацій. Хоча їх ранні версії мали метафізичне підґрунтя, для більшої частини історичних чи сучасних чарівних квадратів немає містичних асоціацій. Вони просто не призначені для цих цілей, так само як і кросворди не можуть бути дороговказом для Хронік Акаші.

Квадрати другого типу, справжні магічніквадрати, схожі з рервими своєї математичної складової, але, крім того, вони мають дуже давнє коріння та довгу історію магічного та окультного використання. Ось про магічні квадрати і поговоримо далі.

Квадрат Дюрера (майже квадрат Юпітера)

Серед багатьох людей, зачарованих чарівними/магічними квадратами, були художник Альбрехт Дюрер (1471–1528) та американський політик Бенджамін Франклін (1706–1790). Франклін, який служив наприкінці 1730-х, задовго до свого політичного зльоту, секретарем у Пенсільванській асамблеї, заради нудьги займався складанням квадратів. Хоча обидва, мабуть, насолоджувалися цими головоломками, Франклін (який був масоном) та Дюрер, звичайно ж, цікавилися й метафізичними аспектами.

Квадрат Юпітера з'являється на гравюрі Дюрера "Меланхолія" - або майже з'являється, оскільки Дюрер дозволив собі тут деякі вільності (мал. 25, 26, 27). Навіщо використати квадрат Юпітера, якщо меланхолія метафізично відповідає планеті Сатурн? Можливо, зцілення заради, Юпітер (він же Іов, як у слові «веселий») мав протидіяти «сатурнальній» похмурості?

Картина «Меланхолія» наповнена окультними асоціаціями, над якими досі б'ються історики мистецтв: складне геометричне тіло, сходи в сім щаблів, компас (що показує 51°25? - значення, що використовується для створення семикінцевої зірки або поділу кола на 7) та інші реквізити (Рис. 25). Відомо, що Дюреру подобалося створювати візуальні головоломки, щоб з їхньою допомогою випробовувати та бавити своїх друзів. Ймовірно, і «Меланхолія» стоїть у тому ряду.

Його рішення розгорнути квадрат Юпітера на 180 ° (рис. 26, 27), можливо, було обумовлено специфікою процесу друку. Гравюри, які працювали в техніці, для отримання нормального відбитка з витраченого на пластині зображення, повинні були створювати свої композиції в дзеркальному вигляді. Це означає, що будь-який текст і числа мали бути спочатку написані навпаки. Можливо, працюючи над розміщенням чисел на гравірувальній дошці, Дюрер захотів увічнити дату створення картини? Таким чином, повернувши традиційний квадрат, він отримав шуканий 1514, що прописався в нижньому ряду. Є ще одна числова комбінація, про яку Дюрер, безумовно, знав: кожен рядок квадрата Юпітера при складанні дає 34, а в 1514 Альбрехту Дюреру виповнилося тридцять чотири роки.

Мал. 25. "Меланхолія" Дюрера

Мал. 26. Квадрат Дюрера

Мал. 27. Квадрат Юпітера

Ми використовуємо квадрат Дюрера для дослідження можливостей деяких квадратів – чарівних чи магічних. У квадраті 4-го порядку є шістнадцять осередків, що містять числа від 1 до 16. Принциповим моментом тут є місце кожного числа.

Ігри з математикою квадрата Юпітера

Малюнок 28 демонструє математику квадрата Юпітера.

А, В і С. Рядки, стовпці та діагоналі, як у квадраті Сатурна. Кожне із цих поєднань у сумі дає 34.

D. Те саме відбувається і з чотирма кутами: 16+13 + 4+1 =34, і

Е. З чотирма центральними осередками: 10+11+6+7=34.

F. І навіть із парами внутрішніх чисел, розташованих уздовж зовнішніх країв:

3 + 2 + 15 + 14 (вздовж верхнього та нижнього краю) = 34 5 + 9 + 8 + 12 (вздовж лівого та правого краю) = 34

Мал. 28. Математика квадрата Юпітера

Отже, ось уже чотирнадцять різних способів до 34, можливих у цьому квадраті, але є й інші.

G, Н, I, J, До і L показують ще чотирнадцять способів досягнення 34 шляхом складання конкретних клітин у квадраті Юпітера , і цих способів може бути ще більше. Якщо А, В і С працюють у всіх планетарних квадратах, то багато з цих варіантів притаманні саме цьому квадрату. Є свої хитрощі й інші квадрати. Я залишаю за вами право їх виявлення, якщо, звичайно, ця логічна гра захоплює вашу уяву.

Якщо ж ви прагнете більш детального та поглибленого математичного аналізу, зверніться до відповідної літератури, представленої в кінці книги в бібліографії.

Тепер повернімося до містики.

Планетарні квадрати

Тут вони показані в порядку зростання, від меншого до більшого. Важливо розуміти, що сила впливу від використання цих квадратів залежить не від бездумного копіювання їхнього зовнішнього вигляду; вона укладена в самому акті їх творення з нуля, у послідовному записі одного числа за іншим. Коли ви малюєте власний квадрат, використовуйте послідовність нумерації для медитації. Вписуйте кожне число в квадрат по черзі - 1, 2, 3 і т. д. - а не просто строчіть їх ряд за рядом. Порада: спочатку пишіть цифри олівцем, а потім, обводячи їх ручкою у відповідному порядку, – від 1 і далі – фокусуйте на них усю свою увагу.

Декілька загальних зауважень:

Перше:якщо ви помножите число в центральному осередку будь-якого квадрата непарного порядку на число самого порядку, то ви отримаєте загальну суму чисел у будь-якому рядку/стовпці квадрата. Наприклад, Марс має квадрат 5-го порядку, а центральне число - 13, звідси 5 х 13 = 65 .

Друге:якщо порядок квадрата ділиться на 3, то загальна сума квадрата спрощується до числа 9. У всіх інших випадках – до числа 10 (до 1).

Третє:всім квадратів непарного порядку - Сатурна, Марса, Венери і Місяця - спочатку слід визначити центр. Число 1 знаходиться безпосередньо під центром квадрата, а його найбільше - безпосередньо над центром. Сам центральний квадрат буде містити число центру: 1-2-3-4-5-6-7-8-9. Якщо ви визначите початкову, центральну та кінцеву точки, то схема цих квадратів непарного порядку виявиться сама собою.

Квадрати парного порядку - Юпітера, Сонця та Меркурія - починаються з числа 1 у верхньому правому кутку і закінчуються найбільшим числому лівому нижньому кутку. Крім цього, їх послідовності хитріші, принаймні, на мій погляд. Успіхів у виявленні їх схем!

Квадрат Сатурна

Мал. 29. Квадрат Сатурна

розуміння минулого досвіду;

розвитку особистої дисципліни;

Правильного використання кордонів та обмежень;

Осмислення карми.

Для додаткової інформаціїзверніться до матеріалів розділу «Субота» у розділі № 4 .

Розкладка квадрата: сітка 3 на 3, квадрат 3 порядку. Число, що міститься: від 1 до 9.

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 15. Загальна сума всього квадрата: 45.

Розподіл загальної суми число порядку: 45; 3 = 15.

Квадрат Юпітера

Використовується для посилення/покращення:

Успіху у судових справах;

Розширення справи;

Удачі, успіху (і власного відчуття радості?);

встановлення партнерства, спілок;

Духовного зростання.

Для отримання додаткової інформації зверніться до розділу «Четвер» у розділі № 4.

Мал. 30. Квадрат Розкладка квадрата: сітка 4 на 4, квадрат 4-го порядку.

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 34. Загальна сума всього квадрата: 136.

Розподіл загальної суми число порядку: 136: 4 = 34.

Квадрат Марса

Мал. 37. Квадрат Марса

Використовується для посилення/покращення:

ухвалених рішень;

фізичної сили, енергії;

Особистої хоробрості та сили волі;

контролю темпераменту, пристрастей;

Благословення транспортних засобів та механізмів;

Технічні здібності;

Комерційні кулінарії.

Для отримання додаткових відомостей зверніться до розділу «Вівторок» у розділі № 4.

Розкладка квадрата: сітка 5 на 5, квадрат 5 порядку. Число, що міститься: від 1 до 25.

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 65. Загальна сума всього квадрата: 325.

Розподіл загальної суми число порядку: 325: 5 = 65.

Квадрат Сонця

Мал. 32. Квадрат Сонця

Впевненості у собі;

здоров'я, життєвих сил;

Лідерські здібності;

розуміння мети;

самореалізації;

Успіху у нових проектах.

Для додаткової інформації зверніться до матеріалів розділу «Неділя» у розділі №4.

Розкладка квадрата:сітка 6 б, квадрат 6-го порядку. Число, що міститься:від 1 до 36

111 Загальна сума всього квадрата: 666.

666: 6 = 111.

Квадрат Венери

Використовується для посилення/покращення:

Розуміння гармонії та краси;

Здібності до дружби та любові;

Відкритості для радості, грайливості та романтики;

Кохання та взаємовідносин;

Чуттєвість;

Домашній кулінарії.

Для додаткової інформації зверніться до матеріалів розділу «П'ятниця» у розділі №4.

Розкладка квадрата:сітка 7 на 7, квадрат 7-го порядку. Число, що міститься:від 1 до 49

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 175. Мал. 33. Квадрат Венери Загальна сума всього квадрата: 1225.

Розподіл загальної суми на число порядку: 1225: 7 = 175.

Квадрат Меркурія

Мал. 34. Квадрат Меркурія

Використовується для посилення/покращення:

Ясності мислення та сприйняття;

Чіткості та ефективності спілкування;

Концентрації, особливо під час навчання;

Інтелектуальних прагнень, здібностей до набуття знань;

Контакти на духовному плані;

Безпеки та своєчасності подорожей.

Для додаткової інформації зверніться до матеріалів розділу «Середовище» у розділі № 4.

Розкладка квадрата:сітка 8 на 8, квадрат 8 порядку. Число, що міститься:від 1 до 64

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 260. Загальна сума всього квадрата: 2080.

Розподіл загальної суми на число порядку: 2080: 8 = 260.

Квадрат Місяця

Мал. 35. Квадрат Місяця

Використовується для посилення/покращення:

Інтуїції та інстинкту;

Фертильності (визначеної) та творчих здібностей;

Емоційної налаштованості;

Пізнань у галузі психіки;

Усіх садових та фермерських починань;

Безпека подорожі по воді.

Для отримання додаткових відомостей зверніться до розділу «Понеділок» у розділі № 4.

Розкладка квадрата:сітка 9 на 9, квадрат 9-го порядку.

Загальна сума кожного рядка, стовпця та діагоналі: 369.

Загальна сума всього квадрата: 3321.

Розподіл загальної суми на число порядку: 3321: 9 = 369.

Використання планетарних квадратів

Виберіть планету, традиційна тематика якої відповідає вашим запитам. Наприклад, для покращення концентрації при підготовці до іспиту логічно зупинити свій вибір на Меркурії. Відкриття нової справи зазвичай у компетенції Сонця, тоді як посилення товарообігу в існуючому бізнесі найкраще звернутися до Юпітера. Все, що стосується обмежень, має бути адресовано до Сатурна. Якщо ж ви бажаєте благословити та захистити свій новий транспортний засіб, то тут найкращий вибір – Марс.

Одна моя подруга нещодавно купила дизельну машину, яку вона переробила так, що тепер її можна заправляти використаною олією. Браво! Як звернення про дарування безпеки машині та її пасажирам, можна вибрати ключове словоабо коротеньку фразу: «Благослови Мерседес» або «Захисти мою машину» або, можливо, «АВС-987», (вигаданий) реєстраційний номер. В даному випадку підійде наступне: «Їдь добре, залишся неушкодженою».

Потім ми шукаємо числа, які відповідають буквам у вибраній фразі. Наше перше завдання полягає в тому, щоб використовувати числа від 1 до 9 як ключ для алфавіту (рис. 36). Багато хто з нас, ймовірно, вже знайомий з цим ключем, оскільки він використовується в нумерології і в простому шифруванні.

Мал. 36. Алфавітний ключ 1-9

Під час роботи зі схемою 1–9 наша фраза буде виглядати як на малюнку 37.

Мал. 37. «Їдь добре, залишся неушкодженою», 1–9

Якщо ви використовуєте квадрат Сатурна або вам потрібні літери від Q до Z у квадраті Юпітера, вам слід застосовувати шифрування 1–9, показане на малюнку 36.

Однак ми також користуємося квадратом Марса, квадратом 5-го порядку, з двадцятьма п'ятьма окремими клітинами. Оскільки наша фраза не включає Z, двадцять шосту літеру, ми можемо замість того, щоб задіяти одне число з коду 1–9 для трьох різних літер, призначити окреме число для кожної літери. Щоб скористатися унікальними числами, вдайтеся до ключа 1-26, показаного на малюнку 38.

Мал. 38. Алфавітний ключ 1-26

Примітка: якщо ви спростите кожне двозначне число, цей шифр відповідатиме шифру 1–9 на малюнку 36.

Тепер фраза виглядатиме як на малюнку 39.

Мал. 39. «Їдь добре, будь у безпеці», 1-26

Гематрія

Розбираючи буквально різні слова, Ми іноді зустрічаємо дивовижні числові паралелі. Наприклад, Піп(лев) виражається у числах як 3-9-6-5; cheetah(гепард) як 3-8-5-5-2-1-8; a tiger(Тигр) як 2-9-7_5-9, якщо працювати з набором простих чисел (див. рис. 36). Даючи суми 23, 32 та 32, всі вони спрощуються до 5.

Якщо ви знаходите такі збіги, що інтригують, гематрія може стати вашим улюбленим заняттям. Схожа з наведеним прикладом, але куди складніша гематрія ґрунтується на двадцяти двох літерах давньоєврейського алфавіту та ще п'яти літерах того ж алфавіту, що повторюються у кілька відмінних формах, коли вони виконують роль закінчень. Разом двадцять сім. Кожній букві надається числове значення, але на відміну від уже бачених нами алфавітів типу A-Z, ці значення найчастіше досягають куди значніших величин - до тризначних - отже коли слово записується подібним чином, сума може бути значною. Інші відмінності: у гематрії суми не спрощуються до однозначних чисел; кожна літера має також глибокий езотеричний зміст; крім того, гематрія ґрунтується на івриті, а багато хто з нас працює на рідною мовоюоскільки заклинання має бути фонетичним.

«Каббала називає давньоєврейський алфавіт „літерами ангелів*1». Так написала мадам Блаватська у своїй книзі «Таємна доктрина», тому використання івритських літер у гематрії є одним із способів дослідження їхніх божественних асоціацій. Гематрія глибоке, давнє, складне та тонке вчення – це саме загальне визначеннятого, чим займається.

Відповідно до гематрії, лев, якого ми згадували раніше, має таке чисельне значення: 30 + 10 + 70 + 50 = 160. Тоді як гепард ( cheetah) виглядає набагато солідніше: 60 ( ch) + 8(довге е) + 300 (t) + 1 (а) = 369.

Для більш глибокої інтерпретації звернемося до символіки гематрії (рис. 40). На її думку, ім'я нашого старого знайомця лева (Поп)складається з літер, що мають такі метафоричні значення: "стимул вола", тобто "прут", "рука", "око" і "риба". Назва літери ламед,часто перекладається як «стимул вола», ширшому сенсі може означати щось на кшталт «мотиватора». Йодабо «рука», можливо, уособлює прагнення до втілення своїх ідей у ​​фізичну реальність, тобто, буквально, боротьбу з долею. Айнабо «око» має на увазі бачення та Неприйняття, погляд та розуміння. Зрештою, Нунабо «риба», мабуть, говорить про негостинну для людей навколишньому середовищіта необхідності адаптації для виживання у ворожому світі. Як бачимо, за допомогою цього глибокого тлумачення поняття «лев» набуває значно складнішого символічного значення.

Мал. 40. Давньоєврейський гематричний код

Жорстокий "король джунглів"? Безумовно, але розглянуті вище характеристики дають багато їжі для роздумів і можуть бути керівництвом для людськихвчинків за умов «джунглів» сучасного життя.

Справжні практики від гематрії використовуватимуть як комплекс метафоричних значень літер, складових ім'я об'єкта дослідження, але й вивчати і числову складову, у разі слова «лев». Які ще слова дають суму 160? Чи можна з допомогою розширити наше розуміння досліджуваного слова?

Вавилонці також використовували гематричну систему. У царя Саргона II (бл. 722–705 до н. е.) була стіна довжиною 16 283 кубіти (1 кубит = 0,48 м), побудована на основі числового значення його імені. Цей грандіозний приклад може надихнути нас на самостійне використання гематрії, можливо, не для будівництва масивних стін, але для значно скромніших вимірювань і підрахунків, заснованих на гематричному значенні власного іменіабо якостей, які ми хотіли б отримати.

Мал. 41. Грецький гематричний код

Так, якби я робила талісман, що сприяє прояву раніше згаданих левових якостей, я прикрасила б його числом 160.

Грецькі літери також мають числові значення, і є власна традиція вивчення (рис. 41). Наприклад, гностичне божество Абраксас має числове значення 365 (1+2+100+1+60+1+200), рівну числуднів на рік.

У традиційній практиці вчені застосовують гематрію до священних текстів, шукаючи слова з рівними числовими значеннями.

Перед першовідкривачем, який виявив якось цей числовий резонанс, може відкритися безліч напрямів на дослідження. Результат? Таємна гармонія, прихована в павутині взаємозв'язків смислів і невидима для випадкового читача тієї самої тексту.

Запасіться терпінням: це може виявитися роботою на десятиліття.

Неважливо, використовуєте код з малюнка 36 або з малюнка 38, у будь-якому випадку, давайте починати. Ми збираємося «вписати» фразу «Їдь добре, залишся неушкодженою» у квадрат Марса (рис. 31), використовуючи числа, які ми щойно підібрали. З цього моменту у вас під рукою мають бути калька, лінійка та гумка. Для початку проведіть тест-драйв своєї Фрази на кальці, накладеній поверх магічного квадрата. Таким чином ви зможете визначити, де розташовані ваші числа, та уникнути помилок у намальованому від руки квадраті, над створенням якого ви довго працювали. Для початку зверніться до малюнку 42. Як можете переконатися, ваша фраза графічно має, швидше, приємний дизайн, а не виглядає хаотичним клубком. Редагуйте і знову відтворюйте своє креслення - ось для чого вам потрібні калька і гумка. Малюйте лінії від руки або за допомогою лінійки, якщо хочете, щоб вони були прямими. Коли потренуєтесь на чернетці, приберіть кальку і, сфокусувавшись на своїх прагненнях, проведіть лінії на квадраті.

Мал. 42. Початок фрази по Марсу

Мал. 43. Кінець фрази по Марсу

Малюнок 42.Початок фрази по Марсу: це перші чотири «літери» (R-u-n w), що позначаються числами 18 (із зірочкою), 21, 14 і 23. Нічого обов'язкового, але запам'ятайте, короткі фрази працюють краще, ніж словесні нагромадження. На малюнку 43 показується, як має виглядати результат.

Малюнок 43.Кінець фрази по Марсу: графічна форма шуканої фрази, початок і закінчення якої позначені зірочками.

Як правило, створюються і використовуються квадрати, що відповідають планеті, яка знаходиться на той момент в астрологічно сприятливому становищі щодо інших небесних тіл. Можна просто працювати в день, пов'язаний із конкретною планетою. Якщо хочете, окресліть коло та визначте сторони світла перед початком роботи.

Експериментуйте з різними кольорами та типами фломастерів, кольорових олівців, екзотичного паперу або будь-чим, що може підштовхнути вашу фантазію. Коли ваш візерунок буде готовий, його можна вирізати або вишити, накреслити на водяній поверхні або над церемоніальним виливом. Можливості безмежні. Фіксуйте випадки використання квадратів. Ці записи стануть вашим довідником чи книгою рецептів для майбутнього застосування. Якщо щось працює особливо добре, є сенс знову і знову відтворювати цю процедуру, а у разі неефективності чогось ви можете внести необхідні корективи.

Що ще можна робити з магічними квадратами

Визначте у кожному квадраті його магічну лінію. Робиться це так: знайшовши число 1, проведіть від нього лінію до 2, потім до 3 і так далі, по зростаючій, до кінцевого числа. В результаті, перед вашими очима з'являться чудові геометричні візерунки, які можуть послужити і цілком практичним цілям. Планування саду? Діловий логотип? Татуювання? Накладений на вибрану карту маршрут для відпустки?

Позначте лінію, що з'єднує дату та час вашого народження. Ця дія повинна сприяти активізації позитивних талантів і потенціалу, які є у вас. Використовуйте квадрат планети, яка керує вашим знаком, або планети, становище якої ви вважаєте найбільш сприятливим для вашого чаклунства, або робіть це з кожним квадратом, а потім порівнюйте результати. Таким чином можна виявити порядок ліній, який надалі стане основою особистого магічного символу.

Місячний лабіринт

У пошуках якихось магічних чудес квадратів я звернулася до чудової книги Кліффорда А. Піковера «Дзен магічних квадратів, кіл і зірок». Використовуючи магічний квадрат 9-го порядку (не квадрат Місяця), Піковер виявив цікавий геометричний малюнок, що при вимарюванні всіх непарних чисел . Я скопіювала цю ідею, наклавши кальку поверх іншого квадрата 9-го порядку, справжнього квадрата Місяця (рис. 35). Оскільки я використала інший квадрат, то й отримала зовсім інший візерунок. Вражена несподіваним впізнаванням, я зрозуміла, що бачу собі «насіннєву діаграму» - основу для семиоборотного лабіринту (див. рис. 44, 45).

Варіанти цього лабіринту виявлено у всьому світі, на просторі від Криту до південного заходу Америки. Я вперше дізналася про «насіннєву діаграму» на семінарі з лабіринтів, де ми створювали великий лабіринт на піщаному березі гірського озера. Вона складається з вертикального + (знак плюсу) у центрі, чотирьох кутових L-подібних форм та чотирьох кутових точок. Ці компоненти потай присутні в звичайному квадраті Місяця і стають видимими тільки при вимарюванні всіх непарних чисел.

Залишивши достатньо місця на всі боки, викресліть велику насіннєву діаграму на піщаному пляжі або намалюйте маленьку на аркуші паперу, а потім приступайте до створення лабіринту. З'єднавши верхівку головної вертикальної лінії з вершиною правого верхнього L (як показано на рис. 45), продовжуйте створювати арки, прокреслюючи лінії зліва направо, як показано на малюнку 46 і 47. Загалом, якщо ви почали з лінії, то закінчіть крапкою і навпаки . Зверніть увагу, що U-подібні «кути» розвороту, що утворюють петлі лабіринту, є також зовнішніми кутами квадрата Місяця.

Мал. 44. Квадрат Місяця, що показує візерунок «насіннєвого» лабіринту у вигляді ліній непарних чисел

Мал. 45. Лабіринт із намальованою першою аркою

Мал. 46. Лабіринт з другою та третьою арками

Мал. 47. Лабіринт, до якого додано четверту та п'яту арки.

Мал. 48. Лабіринт, до якого додано арки 6, 7 та 8. Тепер у нас є повний 7-круговий лабіринт

Як і сам Місяць, що росте і спадає праворуч наліво, рухається по небосхилу зліва направо, так і ви, будучи в лабіринті, повинні переміщатися як посолонь, так і протисолонь. Спробуйте розфарбувати створений на папері лабіринт олівцями всіх кольорів веселки, змінюючи один колір на інший у місці заокруглення кутів.

Декілька незвичайних додаткових зауважень:

Перше:у квадраті Місяця 81 осередок і, відповідно, 81 число, а маса самого Місяця становить 1/81 від маси Землі.

Наступне:Земля рухається у просторі зі швидкістю 28 миль на годину; Місяць - зі швидкістю 2268 миль на годину. Це означає, що Місяць рухається у 81 раз швидше за Землю.

Останнє:як вирізано на статуях майя в Паленці «81 місяць складає 2392 дні». Розділіть 2392 на 81 і ви отримаєте 29,53 - число, що дорівнює кількості днів у місячному циклі, за підрахунками сучасних вчених.