Määratlus 2.

Polügon vastava määratluse tingimus 1 nimetatakse kirjeldatud ringi lähedal.

Joonis 1. Kirjastatud ring

Teoreem 1 (umbes triangle kirjutatud ringi kohta)

Teoreem 1.

Igal kolmnurga saab sisestada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me teostame bisectorit, mis lõikume $ o $ punkti ja viia risti kolmnurga poole (joonis 2)

Joonis 2. Teoreemi illustratsioon 1

Olemasolu: Me teeme ringi keskuse keskusega $ O $ Point ja $ OK raadiusega. \\ T $ OK $ Point asub kolmel Bissectrixil, see on võrdsetel $ ABC $ Triangle'i küljele. See tähendab $ om \u003d ok \u003d OL $. Järelikult edastab konstrueeritud ring läbi ka punkte $ m ja l $. Kuna $ OM, OK \\ ja OL $ - risti kolmnurga külgedega, siis teoreem umbes puutuja ringi, konstruktsioneeritud ringi puudutab kõiki kolm kolmnurga külge. Järelikult on suvalise kolmnurga tõttu ükskõik millises kolmnurgas ringi sisestama ringi.

Unikaalsus: Oletame, et $ ABC $ kolmnurk saab sisestada teise ümbermõõdu keskusega $ o "$. Selle keskus on kolmnurga külgedel võrdsed ja seetõttu langeb kokku $ o $ punktiga ja sellel on raadius võrdne $ OK $. Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Circle'i kolmnurgas olev keskus seisneb selle bisektori ristmikul.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud märkimisväärse ümbermõõduga:

    Mitte mingil nelinurkis ei saa ringi siseneda.

    Mis tahes nelinurga koguses vastaskülg võrdne.

    Kui kumer nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, siis saab selle sisestada.

Määratlus 3.

Kui kõik polügoni tipud asuvad ringis, nimetatakse ringi polügooni lähedal (joonis fig 3).

Määratlus 4.

Polügon, mis vastab määramise seisundile, kutsutakse ringis kirjutatud.

Joonis 3. Kirjeldatud ring

Theorem 2 (kolmnurga lähedal kirjeldatud ringi kohta)

Teoreem 2.

Lähedal tahes kolmnurga, saate kirjeldada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me läbime keskel risti selles lõikuvad $ o $ punktis ja ühendage see kolmnurga tippudega (joonis 4)

Joonis 4. Teoreemi 2 illustratsioon

Olemasolu: ehitage ring keskusega $ o $ Point ja $ OC $ raadiusega. $ O $ Point on võrdne kolmnurga tippudega, st $ OA \u003d OB \u003d OC $. Järelikult läheb konstrueeritud ring läbi kõik tipud see kolmnurkSee tähendab, et seda kirjeldatakse selle kolmnurga lähedal.

Unikaalsus: Oletame, et lähedal $ ABC $ kolmnurga saab kirjeldada teise ümbermõõdu kesklinnas $ o "$. Selle keskus on kolmnurga tippude võrdne ja seetõttu langeb kokku punkt $ o $ ja on raadius võrdne $ OC pikkusega. $ Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Kolmnurga läheduses kirjeldatud ümbermõõdu keskpunkt langeb kokku selle keskmise risti ristmikuga.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud mõiste ümbermõõduga:

    Nelgramb lähedal ei saa alati ringi kirjeldada.

    Igal kirjutatud nelinurktamisel on vastupidiste nurkade summa $ (180) ^ 0 $.

    Kui neljaraksama vastaskülgede summa on $ (180) ^ 0 $, siis saab ringi selle läheduses kirjeldada.

Näide ülesannete ja kirjeldatud ringide ülesandest

Näide 1.

Sisse võrdselt kaubeldav kolmnurk Alus on 8 cm, külgsuunaline külg on 5 cm. Leia kirjutatud ringi raadius.

Otsus.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Uurimise osas teame, et kirjutatud ringi keskpunkt asub bisektori ristumiskohas. Me teostame Bisector $ AK $ ja $ BM $, mis lõikuvad $ o $. Me teeme läbi perpendikulaarse $ Oh $ $ o $ Point $ BC $. Pildi joonistamine:

Joonis 5.

Kuna kolmnurk on eelnenud, siis $ BM $ ja mediaan ja kõrgus. Vastavalt Pythagora teoreem $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d SQRT ((BC) ^ 2- \\ Frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d SQRT (25-16) \u003d SQRT (9) \u003d $ 3. $ Om \u003d oh \u003d r $ on kirjutatud ringi soovitud raadius. Alates $ MC $ $ ja $ CH $ segmendid, kes lõikuvad puutujaid, siis teoreemi poolt ristuvates puutujatel on meil $ ch \u003d mc \u003d 4 cm $. Järelikult $ Bh \u003d 5-4 \u003d 1 cm $. $ Bo \u003d 3-R $. Kolmnurga $ OHB $ $, vastavalt Pythagora teoreemile, saame:

[((3-R)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\ t

Vastus: $ \\ Frac (4) (3) $.

Määratlus 2.

Polügon vastava määratluse tingimus 1 nimetatakse kirjeldatud ringi lähedal.

Joonis 1. Kirjastatud ring

Teoreem 1 (umbes triangle kirjutatud ringi kohta)

Teoreem 1.

Igal kolmnurga saab sisestada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me teostame bisectorit, mis lõikume $ o $ punkti ja viia risti kolmnurga poole (joonis 2)

Joonis 2. Teoreemi illustratsioon 1

Olemasolu: Me teeme ringi keskuse keskusega $ O $ Point ja $ OK raadiusega. \\ T $ OK $ Point asub kolmel Bissectrixil, see on võrdsetel $ ABC $ Triangle'i küljele. See tähendab $ om \u003d ok \u003d OL $. Järelikult edastab konstrueeritud ring läbi ka punkte $ m ja l $. Kuna $ OM, OK \\ ja OL $ - risti kolmnurga külgedega, siis teoreem umbes puutuja ringi, konstruktsioneeritud ringi puudutab kõiki kolm kolmnurga külge. Järelikult on suvalise kolmnurga tõttu ükskõik millises kolmnurgas ringi sisestama ringi.

Unikaalsus: Oletame, et $ ABC $ kolmnurk saab sisestada teise ümbermõõdu keskusega $ o "$. Selle keskus on kolmnurga külgedel võrdsed ja seetõttu langeb kokku $ o $ punktiga ja sellel on raadius võrdne $ OK $. Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Circle'i kolmnurgas olev keskus seisneb selle bisektori ristmikul.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud märkimisväärse ümbermõõduga:

    Mitte mingil nelinurkis ei saa ringi siseneda.

    Mis tahes kirjeldatud nelinurkli linnastamisel on vastaskülgede summa võrdne.

    Kui kumer nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, siis saab selle sisestada.

Määratlus 3.

Kui kõik polügoni tipud asuvad ringis, nimetatakse ringi polügooni lähedal (joonis fig 3).

Määratlus 4.

Polügon, mis vastab määramise seisundile, kutsutakse ringis kirjutatud.

Joonis 3. Kirjeldatud ring

Theorem 2 (kolmnurga lähedal kirjeldatud ringi kohta)

Teoreem 2.

Lähedal tahes kolmnurga, saate kirjeldada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me läbime keskel risti selles lõikuvad $ o $ punktis ja ühendage see kolmnurga tippudega (joonis 4)

Joonis 4. Teoreemi 2 illustratsioon

Olemasolu: ehitage ring keskusega $ o $ Point ja $ OC $ raadiusega. $ O $ Point on võrdne kolmnurga tippudega, st $ OA \u003d OB \u003d OC $. Sellest tulenevalt läheb konstrueeritud ring läbi kõik selle kolmnurga tipud, see tähendab, et seda kirjeldatakse selle kolmnurga lähedal.

Unikaalsus: Oletame, et lähedal $ ABC $ kolmnurga saab kirjeldada teise ümbermõõdu kesklinnas $ o "$. Selle keskus on kolmnurga tippude võrdne ja seetõttu langeb kokku punkt $ o $ ja on raadius võrdne $ OC pikkusega. $ Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Kolmnurga läheduses kirjeldatud ümbermõõdu keskpunkt langeb kokku selle keskmise risti ristmikuga.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud mõiste ümbermõõduga:

    Nelgramb lähedal ei saa alati ringi kirjeldada.

    Igal kirjutatud nelinurktamisel on vastupidiste nurkade summa $ (180) ^ 0 $.

    Kui neljaraksama vastaskülgede summa on $ (180) ^ 0 $, siis saab ringi selle läheduses kirjeldada.

Näide ülesannete ja kirjeldatud ringide ülesandest

Näide 1.

Tasakaalutatud kolmnurga all on alus 8 cm, külgkülg on 5 cm. Leia kirjutatud ringi raadius.

Otsus.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Uurimise osas teame, et kirjutatud ringi keskpunkt asub bisektori ristumiskohas. Me teostame Bisector $ AK $ ja $ BM $, mis lõikuvad $ o $. Me teeme läbi perpendikulaarse $ Oh $ $ o $ Point $ BC $. Pildi joonistamine:

Joonis 5.

Kuna kolmnurk on eelnenud, siis $ BM $ ja mediaan ja kõrgus. Vastavalt Pythagora teoreem $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d SQRT ((BC) ^ 2- \\ Frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d SQRT (25-16) \u003d SQRT (9) \u003d $ 3. $ Om \u003d oh \u003d r $ on kirjutatud ringi soovitud raadius. Alates $ MC $ $ ja $ CH $ segmendid, kes lõikuvad puutujaid, siis teoreemi poolt ristuvates puutujatel on meil $ ch \u003d mc \u003d 4 cm $. Järelikult $ Bh \u003d 5-4 \u003d 1 cm $. $ Bo \u003d 3-R $. Kolmnurga $ OHB $ $, vastavalt Pythagora teoreemile, saame:

[((3-R)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\ t

Vastus: $ \\ Frac (4) (3) $.

Mõtle kolmnurga kirjutatud ringi (joonis 302). Tuletame meelde, et tema keskus O paigutatakse kolmnurga sisemise nurga bisektori ristmikul. Segmendid OA, OS, OS-i ühendamine tippude kohta aBC kolmnurk, murda kolmnurk kolme kolmnurga jaoks:

AY, VOS, SOA. Kõrgus kõik need kolmnurgad on võrdne raadiusega ja seetõttu väljendatakse nende piirkonda

Kogu kolmnurga S pindala on võrdne nende kolme valdkonna summaga:

kus - kolmnurga poolversioon. Siit

Kirjastatud ringi raadius on võrdne kolmnurga ala suhtumisega poolversioonile.

Kirjeldatud kolmnurga ringi raadiuse valemi saamiseks tõestame järgmist lauset.

Teoreemid A: Igal kolmnurgas on külg võrdne kirjeldatud ringi läbimõõduga, mis on korrutatud vastandliku nurga siinidega.

Tõendid. Mõtle suvalise kolmnurga ABC ja selle ümber kirjeldatud ringi, mille raadius on tähistatud R-ga (joonis 303). Olgu kolmnurga terav nurk. Me juhime ringi, ringi OS-i ja jättame oma keskusest päikese kolmnurga küljel risti. Pange tähele, et kolmnurga nurk mõõdetakse poole päikese kaarest, mille jaoks BOS-i nurk on keskne nurk. Siit on näha seda. Seetõttu leiame ristkülikukujulisest kolmnurgast mahla või mida pidi tõendama.

Limited FIG. 303 ja põhjendused on seotud juhtumiga Äge nurk kolmnurk; See oleks kergesti tõend ja otsese ja loll nurga juhtumite puhul (lugeja teeb seda iseseisvalt), kuid saate kasutada sinuse teoreemi (218.3). Kuna see peaks olema sellest, kust

Sinus teoreemid salvestatakse ka sisse. videot

ja võrdlus salvestamise vormiga (218,3) annab ette

Kirjeldatud ringi raadius on võrdne kolmnurga kolme külge töö suhtega oma raamatupidamispiirkonda.

Ülesanne. Leidke tasakaalu kolmnurga külge, kui see on kirjutatud ja kirjeldatud ringid on vastavalt RADII

Otsus. Kirjutame valemid, mis väljendavad kirjutatud ja kirjeldatud kolmnurga ringid:

Sest tasakaalustatud kolmnurk külje ja alusega, piirkonda väljendatakse valemiga

või, olles näidanud murdosa erineva kordaja, meil on

mis toob kaasa ruutvõrrand umbes

Sellel on kaks lahendust:

Asendades selle väljenduse asemel mis tahes võrrandile või R-le, leiame lõpuks kaks vastust meie ülesandele:

Harjutused

1. Ristkülikukujulise kolmnurga kõrgus, mis viiakse läbi otsese nurga tipult, defact hüpotenusest, et leida iga katettide suhtumine hüpotenusesse.

2. Base võrdse trapetsiKirjeldatud ringi lähedale on võrdne a ja b. Leia ringi raadius.

3. Kaks ringid muret väliselt. Nende ühised puutujaid kallutatakse keskuste joonele 30 ° nurga all. Pidev pikkuse pikkus puutepunktide vahel on 108 cm. Ringide leidmine RADII.

4. Kustuta kolmnurk Karts on võrdne a ja b. Leia kolmnurga ala, mille osapooled on selle kolmnurga kõrgus ja keskmine kõrgus ja mediaan, mis viidi läbi otsese nurga tipult ja hüpotenuse segmendi segment nende ristsektsiooni punktide vahel hüpotenuus.

5. Kolmnurga küljed on võrdsed 13, 14, 15. Leia igaühe prognoos kaheks teiseks.

6. Kolmnurk teab poole ja kõrgust leida poolte B ja lk.

7. Triangle'i kaks külge ja mediaan Leia kolmandal pool kolmnurga on teada.

8. Kaks külge kolmnurga ja nurga ja nende vahel on antud: leidke Radiii kirjutatud ja kirjeldatud ringid.

9. Tunge kolmnurk A, B, lk. Millised on segmendid, millele need on katki kirjutatud ringi kontaktpunktidega kolmnurga külgedega?


Määratlus 2.

Polügon vastava määratluse tingimus 1 nimetatakse kirjeldatud ringi lähedal.

Joonis 1. Kirjastatud ring

Teoreem 1 (umbes triangle kirjutatud ringi kohta)

Teoreem 1.

Igal kolmnurga saab sisestada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me teostame bisectorit, mis lõikume $ o $ punkti ja viia risti kolmnurga poole (joonis 2)

Joonis 2. Teoreemi illustratsioon 1

Olemasolu: Me teeme ringi keskuse keskusega $ O $ Point ja $ OK raadiusega. \\ T $ OK $ Point asub kolmel Bissectrixil, see on võrdsetel $ ABC $ Triangle'i küljele. See tähendab $ om \u003d ok \u003d OL $. Järelikult edastab konstrueeritud ring läbi ka punkte $ m ja l $. Kuna $ OM, OK \\ ja OL $ - risti kolmnurga külgedega, siis teoreem umbes puutuja ringi, konstruktsioneeritud ringi puudutab kõiki kolm kolmnurga külge. Järelikult on suvalise kolmnurga tõttu ükskõik millises kolmnurgas ringi sisestama ringi.

Unikaalsus: Oletame, et $ ABC $ kolmnurk saab sisestada teise ümbermõõdu keskusega $ o "$. Selle keskus on kolmnurga külgedel võrdsed ja seetõttu langeb kokku $ o $ punktiga ja sellel on raadius võrdne $ OK $. Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Circle'i kolmnurgas olev keskus seisneb selle bisektori ristmikul.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud märkimisväärse ümbermõõduga:

    Mitte mingil nelinurkis ei saa ringi siseneda.

    Mis tahes kirjeldatud nelinurkli linnastamisel on vastaskülgede summa võrdne.

    Kui kumer nelinurga vastaskülgede summad on võrdsed, siis saab selle sisestada.

Määratlus 3.

Kui kõik polügoni tipud asuvad ringis, nimetatakse ringi polügooni lähedal (joonis fig 3).

Määratlus 4.

Polügon, mis vastab määramise seisundile, kutsutakse ringis kirjutatud.

Joonis 3. Kirjeldatud ring

Theorem 2 (kolmnurga lähedal kirjeldatud ringi kohta)

Teoreem 2.

Lähedal tahes kolmnurga, saate kirjeldada ringi ja lisaks ainult üks.

Tõendid.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Me läbime keskel risti selles lõikuvad $ o $ punktis ja ühendage see kolmnurga tippudega (joonis 4)

Joonis 4. Teoreemi 2 illustratsioon

Olemasolu: ehitage ring keskusega $ o $ Point ja $ OC $ raadiusega. $ O $ Point on võrdne kolmnurga tippudega, st $ OA \u003d OB \u003d OC $. Sellest tulenevalt läheb konstrueeritud ring läbi kõik selle kolmnurga tipud, see tähendab, et seda kirjeldatakse selle kolmnurga lähedal.

Unikaalsus: Oletame, et lähedal $ ABC $ kolmnurga saab kirjeldada teise ümbermõõdu kesklinnas $ o "$. Selle keskus on kolmnurga tippude võrdne ja seetõttu langeb kokku punkt $ o $ ja on raadius võrdne $ OC pikkusega. $ Aga siis see ring langeb kokku esimesena.

Teoreem on tõestatud.

Järeldus 1: Kolmnurga läheduses kirjeldatud ümbermõõdu keskpunkt langeb kokku selle keskmise risti ristmikuga.

Anname veel mõned faktid, mis on seotud mõiste ümbermõõduga:

    Nelgramb lähedal ei saa alati ringi kirjeldada.

    Igal kirjutatud nelinurktamisel on vastupidiste nurkade summa $ (180) ^ 0 $.

    Kui neljaraksama vastaskülgede summa on $ (180) ^ 0 $, siis saab ringi selle läheduses kirjeldada.

Näide ülesannete ja kirjeldatud ringide ülesandest

Näide 1.

Tasakaalutatud kolmnurga all on alus 8 cm, külgkülg on 5 cm. Leia kirjutatud ringi raadius.

Otsus.

Mõtle kolmnurga $ ABC $. Uurimise osas teame, et kirjutatud ringi keskpunkt asub bisektori ristumiskohas. Me teostame Bisector $ AK $ ja $ BM $, mis lõikuvad $ o $. Me teeme läbi perpendikulaarse $ Oh $ $ o $ Point $ BC $. Pildi joonistamine:

Joonis 5.

Kuna kolmnurk on eelnenud, siis $ BM $ ja mediaan ja kõrgus. Vastavalt Pythagora teoreem $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d SQRT ((BC) ^ 2- \\ Frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d SQRT (25-16) \u003d SQRT (9) \u003d $ 3. $ Om \u003d oh \u003d r $ on kirjutatud ringi soovitud raadius. Alates $ MC $ $ ja $ CH $ segmendid, kes lõikuvad puutujaid, siis teoreemi poolt ristuvates puutujatel on meil $ ch \u003d mc \u003d 4 cm $. Järelikult $ Bh \u003d 5-4 \u003d 1 cm $. $ Bo \u003d 3-R $. Kolmnurga $ OHB $ $, vastavalt Pythagora teoreemile, saame:

[((3-R)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\ t

Vastus: $ \\ Frac (4) (3) $.

Kirjastatud kolmnurk - Kolmnurk, kõik tipud, mis asuvad ringis. Siis ümbermõõt nimetatakse kolmnurga ümber kirjeldatud kolmnurk.
Ilmselgelt on kirjeldatud ringi keskelt iga kolmnurga tippude vahemaa võrdselt võrdselt võrdne selle ringi raadiusega.
Iga kolmnurga ümber saate ringi kirjeldada ja ainult üks.

Ring kirjutatud Kolmnurgas, kui see puudutab kõiki tema pooled. Siis on kolmnurk ise kirjeldatud Ringi ümber. Kaugus kesklinnast kirjutatud ringi mõlemale küljele kolmnurga on võrdne raadiusega selle ringi.
Igal kolmnurgas saate sisestada ringi ja ainult üks.

Proovige seda ise kirjeldada ringi ümber kolmnurga ja sisenema Ring kolmnurgas.
Mis sa arvad, et kesklinnas on kirjutatud ringi keskpunkt kolmnurga bisectris ja kirjeldatud ringi keskel on selle osapoolte keskmise ristmiku ristmiku punkt?

Sisse Ülesanded ege Kõige sagedamini leitud kirjutatud ja kirjeldatud õige kolmnurgad.

On ka teisi ülesandeid. Nende lahendamiseks vajate veel kaks kolmnurga valemitja sinusovi teoreem.

Ruut kolmnurk Võrdne poole töö oma perimeetri raadiuses kirjutatud ringi.

S \u003d p r,
kus p \u003d ( a + B + C) - poolmõõt,
R on kolmnurga kirjutatud ringi raadius.

On veel üks valem, mida kasutatakse peamiselt osa eesmärkides:

Kus a, b, c - kolmnurga küljed, R on kirjeldatud ringi raadius.

Iga kolmnurga jaoks on õige sinusovi teoreem:

1. Tasakaalustatud ringi raadius Õige kolmnurk, võrdne 2. Leia hüpoten selle kolmnurgaga. Vastuseks täpsustage.

Kolmnurk on ristkülikukujuline ja ansocated. Niisiis, tema kateetid on samad. Lase igal rullil võrdne ja. Siis on hüpotenuse võrdne ja .
Kirjutame ABC-kolmnurga ala kahel viisil:


Nende väljendite võrdsustamine, me seda saame. Kuna me seda saame. Siis.
Vastuseks kirjutage maha.

2. ABC loll kolmnurga AB pool on võrdne selle lähedal kirjeldatud ümbermõõdu raadiusega. Leia C. nurgas. Vastus kraadides.

Sinuse teoreemil

Me saame selle patud c \u003d. Corner C - loll. See tähendab, et see on võrdne 150 °.

Vastus: 150.

3. Lahuse kolmnurga külgmised küljed on võrdsed 40-ga, alus on 48. Leidke selle kolmnurga kirjeldatud ringi raadius.

Kolmnurga nurgad ei ole antud. Noh, me väljendame oma ala kahel erineval viisil.

S \u003d Ah, kus H on kolmnurga kõrgus. See on lihtne leida - Lõppude lõpuks on kõrgusel ka keskmine, see tähendab, jagab AB poole poole. Pythagore teoreemi poolt leiame H \u003d 32. Siis R \u003d 25.


EGE-õppe » Metoodilised materjalid »Geomeetria: nullist kuni C4-le» Kirjeldatud ja kirjeldatud nelinurkne