Quadraatiline võrrand - Lihtsalt lahendamine! * Järgmine tekstis "KU".Sõbrad näiliselt, võib matemaatikas olla lihtsam kui sellise võrrandi lahendus. Aga midagi soovitas mulle, et paljud on temaga probleeme. Ma otsustasin näha, kui palju muljeid taotluse kuus annab Yandexile. See juhtus, vaata:

Mida see tähendab? See tähendab, et umbes 70 000 inimest kuus otsivad seda teavet, mis on sel suvel ja mis on seas õppeaastal - Taotlused on kaks korda rohkem. See ei ole üllatav, sest need poisid ja tüdrukud, kes on pikka aega lõpetanud ja valmistuvad eksami ettevalmistamiseks, otsime seda teavet ja koolilapsed püüavad seda mällu värskendada.

Hoolimata asjaolust, et on palju saite, kus kirjeldatakse, kuidas selle võrrandi lahendada, otsustasin ma oma panuse teha ja materjali avaldada. Esiteks tahan tulla minu saidile selle taotluse ja külastajad tulid minu saidile; Teiseks, teistes artiklites, kui "KU" kõne viidab käesolevale artiklile; Kolmandaks ma ütlen teile oma otsusest veidi rohkem kui tavaliselt välja teiste saitide. Braister!Artikli sisu:

Ruudu võrrand on vormi võrrand:

kus koefitsiendid ab. Ja suvalise numbritega, millegi ≠ 0.

Sisse kooli kursus Materjal on toodud järgmises vormis - võrrandite eraldamine kolme klassi kohta on tingitud:

1. Kas kaks juured.

2. * On ainult üks juur.

3. Ei ole juured. Siin tasub märkida, et neil ei ole kehtivaid juure

Kuidas arvutatakse juured? Lihtsalt!

Arvutada diskrimineeriv. Selle "kohutava" sõna all seisneb üsna lihtne valem:

Rootvalemitel on järgmine vorm:

* Need valemid peavad teadma südamest.

Saate kohe kirjutada ja otsustada:

Näide:

1. Kui d\u003e 0, on võrrand kaks juured.

2. Kui d \u003d 0, võrrand on üks juur.

3. Kui D.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Vaatame võrrandit:

Sel juhul, kui diskrimineeriv on , on koolis muidugi öeldud, et üks juur selgub, siin on see võrdne üheksaga. See on õige ja seal on, aga ...

See vaade on mõnevõrra vale. Tegelikult saadakse kaks juurust. Jah, ärge üllatunud, kaks võrdset juurust saadakse ja kui teil on matemaatiliselt täpne, tuleks vastuses registreerida kaks juurust:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Aga see on nii kerge taganemise. Koolis saab kirjutada ja öelda, et juur on üks.

Nüüd on järgmine näide:

Nagu me teame - negatiivse numbri juur ei eemaldata, mistõttu ei ole sel juhul lahendusi.

See on kogu lahenduse protsess.

Quadratic funktsioon.

Siin on näidatud, kuidas lahendus geomeetriliselt tundub. On äärmiselt oluline mõista (tulevikus, ühes artiklis, eemaldame üksikasjalikult ruudukujulise ebavõrdsuse lahendus).

See on vormi funktsioon:

kus x ja y on muutujad

a, B, C - Set Numbers, mida a ≠ 0

Ajakava on parabool:

See tähendab, et selgub, et ruudu võrrandi otsustamine "Y" on nulliga võrdne, leiame parabooli ristumiskoht telje OH-ga. Need punktid võivad olla kaks (diskrimineeriv positiivne positiivne), üks (diskrimineeriv on null), mitte üks (negatiivne diskrimineeriv). Üksikasjalikult ruutfunktsiooni kohta saate vaadata Inna Feldman artikkel.

Mõtle näiteid:

Näide 1: lahendada 2x. 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 B \u003d 8 C \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Vastus: x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Võrrandi vasak ja paremal oli võimalik kohe jagada 2, st selle lihtsustamiseks. Arvutused on lihtsamad.

Näide 2: Otsustama x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 B \u003d -22 C \u003d 121

D \u003d b2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Saadud, et x 1 \u003d 11 ja x 2 \u003d 11

Vastuseks on lubatud kirjutada X \u003d 11.

Vastus: X \u003d 11

Näide 3: Otsustama x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 b \u003d -8 c \u003d 72

D \u003d B2 -4AC \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Diskrimantskrimineeriv on negatiivne, ei ole lahendusi kehtivate numbritega.

Vastus: lahendused puuduvad

Diskrimineeriv on negatiivne. Lahendus on!

Siin arutatakse võrrandi lahendamise kohta juhul, kui saadakse negatiivne diskrimineeriv. Kas sa tead midagi integreeritud numbritest? Ma ei räägi üksikasjalikult selle kohta, miks ja kus nad tekkisid ja millised on nende konkreetne roll ja vajadus matemaatika vajadus on suurte eraldi artikli teema.

Keerulise arvu mõiste.

Natuke teooriat.

Keeruline number z nimetas liikide arvu

z \u003d A + BI

kus A ja B on kehtivad numbrid, I - nn kujuteldava üksuse.

a + BI - See on üks number, mitte lisaks.

Kujutletav üksus on võrdne miinusüksuste juurega:

Nüüd kaaluge võrrandit:

Sai kaks konjugaadi juured.

Mittetäieliku ruudu võrrandi.

Kaaluge erasektori juhtumeid, see on siis, kui koefitsient "B" või "C" on null (või mõlemad null). Nad lahendatakse kergesti ilma diskrimineerivate isikuteta.

Juhtum 1. Koefitsient b \u003d 0.

Võrrand omandab vormi:

Me muudame:

Näide:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Juhtum 2. c \u003d 0 koefitsient.

Võrrand omandab vormi:

Me muudame, näeme mitmekordistati:

* Töö on , kui vähemalt üks mitmekordistaja on null.

Näide:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 või x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Juhtum 3. Koefitsiendid B \u003d 0 ja C \u003d 0.

Siin on selge, et võrrandi lahendus on alati x \u003d 0.

Koefitsientide kasulikud omadused ja mustrid.

On omadusi, mis võimaldavad lahendada võrrandeid suurte koefitsientidega.

agax. 2 + bx.+ c.=0 Võrdsus toimub

a. + b. + C \u003d 0,et

- kui võrrandi koefitsientide jaoks agax. 2 + bx.+ c.=0 Võrdsus toimub

a. + C \u003d.b., et

Need omadused aitavad lahendada teatud tüüpi võrrandit.

Näide 1: 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Koefitsientide summa on 5001+ ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, see tähendab

Näide 2: 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Võrdsus toimub a. + C \u003d.b., Nii

Koefitsientide seadused.

1. Kui AX 2 + BX + C \u003d 0 võrrand, koefitsient "B" on võrdne (A 2 +1) ja koefitsient "C" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "A", selle juured on võrdsed

aX 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -A x 2 \u003d -1 / a.

Näide. Kaaluge võrrandit 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Kui AX-2-BX + C \u003d 0 võrrandis on koefitsient "B" võrdub (ja 2 +1-ga) ja koefitsient "C" on arvuliselt võrdne koefitsiendiga "A", on selle juured võrdsed

aX 2 - (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Kaaluge võrrandit 15x 2 -226x +15 \u003d 0.

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15.

3. Kui võrrandisaX 2 + BX - C \u003d 0 Koefitsient "B" võrdne (A 2 - 1) ja koefitsient "c" arvuliselt võrdne koefitsiendiga "A", siis on tema juured võrdsed

aX 2 + (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Näide. Kaaluge võrrandit 17x 2 + 288x - 17 \u003d 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Kui AX-2-BX-C \u003d 0 võrrandis on võrrand, on koefitsient "B" võrdne (A 2 - 1) ja koefitsient on arvuliselt võrdne "A" koefitsiendiga, selle juured on võrdsed

aX 2 - (A 2 -1) ∙ X - A \u003d 0 \u003d\u003e X 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Näide. Kaaluge võrrandit 10x 2 - 99x -10 \u003d 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vieta teoreem.

Viteta teoreemi kutsutakse kuulsa prantsuse matemaatika Francois Vieta nime järgi. Viteta teoreemi kasutamine saate oma koefitsientide kaudu väljendada summat ja tootejuudusi.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Kokkuvõttes on number 14 ainult 5 ja 9. Need on juured. Teatud oskusega, kasutades teoreemi, mida esindavad paljud ruutvõrrandid, saate otsustada, kas suuliselt tulla.

Vieta teoreem, lisaks. See on mugav, sest pärast ruudukujulise võrrandi lahendamist tavalisel viisil (diskrimineerimise kaudu) saab kontrollida saadud juured. Ma soovitan seda alati teha.

Läbimise meetod

Selle meetodi puhul korrutatakse koefitsient "a" vabaliikmega, nagu oleks "käigud", nii et seda kutsutakse "Transiidi" meetod.Seda meetodit kasutatakse siis, kui saate hõlpsasti leida võrrandi juured viteta teoreemi abil ja mis kõige tähtsam, kui diskrimineeriv on täpne väljak.

Kui a aga± b + C.≠ 0, seejärel kasutatakse vastuvõttu: näiteks:

2h. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => h. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Vieta teoreem võrrandis (2) on lihtne kindlaks teha, et x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Saadud juured võrrandi tuleb jagada 2 (kui kaks korda x 2 "viidi), me saame

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Mis on põhjendus? Vaata, mis juhtub.

Diskrimineerivad võrrandid (1) ja (2) on võrdsed: \\ t

Kui vaatate võrrandite juure, saadakse ainult erinevad nimetajad ja tulemus sõltub koefitsientist x 2:

Teine (modifitseeritud) juured saadakse 2 korda rohkem.

Seetõttu tulemus ja jagada 2.

* Kui me viskame reisi, siis tulemus eraldatakse 3 jne.

Vastus: x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5

SQ. UR-YE ja EGE.

Ma ütlen lühidalt oma tähtsuse kohta - sa peaksid suutma kiiresti ja mõtlemata lahendada, juurte ja diskrimineerivate valemite valemitegureid. Väga palju kasutusülesannetes sisalduvaid ülesandeid vähendatakse ruudu võrrandi lahendamiseks (geomeetriline kaasa arvatud).

Mida tähistada!

1. Salvestamise vorm võib olla "kaudne". Näiteks see kirje on võimalik:

15+ 9x 2 - 45X \u003d 0 või 15x + 42 + 9x2-45x \u003d 0 või 15 -5x + 10x 2 \u003d 0.

Te peate selle standardvormile tooma (nii, et mitte segi ajada lahendamisel).

2. Pea meeles, et x on tundmatu väärtus ja seda võib tähistada mis tahes muu täht - t, q, p, h ja muu.

Esimene tase

Ruvadratatsioonilised võrrandid. Ammendav juhend (2019)

"Square võrrandi" osas on võti sõna "ruut". See tähendab, et muutuja peab olema ruudu võrrandis (sama IX) võrrandis (sama IX) ja kolmanda (ja suurema) kraadi puhul ei tohiks olla ICS-i.

Paljude võrrandite lahendus vähendatakse täpselt ruudukujuliste võrrandite lahendamisel.

Õpime, kuidas otsustada, et meil on ruutvõrrand ja mitte ükski teine.

Näide 1.

Iga denomineerija iga liige ja domineerimisliik vabaneb nimetajast

Me edastame kõik vasakule ja kohale liikmetele ICA kraadi järjestuses

Nüüd võite öelda kindlalt, et see võrrand on ruut!

Näide 2.

Kodumajapidamises vasakul ja paremal pool:

See võrrand, kuigi see oli algselt selles, ei ole ruut!

Näide 3.

Kokkuvõte kõik:

Hirmutav? Neljas ja teine \u200b\u200bkraad ... Kuid kui me asendame, siis näeme, et meil on lihtne ruutvõrrand:

Näide 4.

Tundub olevat, kuid vaatame tähelepanelikult. Me edastame kõik vasakule:

Vaata, vähenenud - ja nüüd on see lihtne lineaarne võrrand!

Nüüd proovige kindlaks teha, millised järgmistest võrranditest on ruudukujulised ja mis ei ole:

Näited:

Vastused:

ruut;
ruut;
mitte ruudukujuline;
mitte ruudukujuline;
mitte ruudukujuline;
ruut;
mitte ruudukujuline;
ruut.

Matemaatika tavapäraselt jagada kõik ruudu võrrandid tüübile:

Täisväldud võrrandid - võrrandid, kus koefitsiendid ja samuti vaba liikmed ei ole nulliga võrdsed (nagu näiteks). Lisaks eraldatakse täielikult ruudukujulised võrrandid esitatud - Need on võrrandid, milles koefitsient (võrrand näite ühest ei ole mitte ainult täielik, vaid ka antud!)

Mittetäielikud ruudu võrrandid - võrrandid, milles koefitsient ja vaba liikme on null:
Mittetäielikult, sest neil puudub mingi elemendi. Kuid võrrand peaks alati olema ruudud !!! Vastasel juhul ei ole see ruut, vaid mõni muu võrrand.

Miks sa sellise divisjoni tulid? Tundub, et ruudul on x ja okei. Selline osakond on tingitud lahenduste meetoditest. Mõtle igale neist üksikasjalikumalt.

Mittetäieliku ruudu võrrandite otsus

Kõigepealt peatume puudulike ruudu võrrandite lahendamisel - nad on palju lihtsamad!

Mittetäielikud ruudu võrrandid on tüübid:

Selles võrrandis on koefitsient võrdne.
Selles võrrandis on vaba liikme võrdne.
Selles võrrandis on koefitsient ja vaba liikme võrdsed.

1. ja. Nagu me teame, kuidas ruutjuure välja võtta, väljendame selle võrrandi

Väljend võib olla nii negatiivne kui ka positiivne. Number püstitatud ruudu ei saa olla negatiivne, sest korrutades kahe negatiivse või kahe positiivse numbrid - tulemus on alati positiivne number, nii et kui võrrandil ei ole lahendusi.

Ja kui sa saad kaks juured. Need valemid ei pea mäletama. Peamine asi, mida peaksite teadma ja meeles pidama alati, et see ei pruugi olla väiksem.

Proovime lahendada mõned näited.

Näide 5:

Võrrandit otsustama

Nüüd jääb jäänud vasakult ja paremale. Lõppude lõpuks, kas sa mäletad, kuidas juured välja tuua?

Vastus:

Ärge kunagi unustage juured negatiivse märk !!!

Näide 6:

Võrrandit otsustama

Vastus:

Näide 7:

Võrrandit otsustama

Oh! Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab võrrandit

no juured!

Selliste võrrandite puhul, kus juured ei ole, tuli matemaatika spetsiaalse ikooniga - (tühi komplekt). Ja vastus saab kirjutada järgmiselt:

Vastus:

Seega on sellel ruudu võrrandil kaks juured. Siin ei ole piiranguid, sest me ei eemaldanud juuret.
Näide 8:

Võrrandit otsustama

Ma kokku sulgudes:

Sellel viisil,

Sellel võrrandil on kaks juured.

Vastus:

Lihtsaim mittetäielike ruudu võrrandite tüüp (kuigi need on kõik lihtsad, eks?). Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Siin me teeme ilma näideteta.

Full Square'i võrrandite lahendus

Me tuletame teile meelde, et täielik ruutvõrrand on võrrandi võrrand, kus

Täieliku ruudu võrrandite lahendus on natuke keerulisem (väga kergelt) kui eespool.

Pea meeles, et iga ruudu võrrandi saab lahendada diskrimineeriva abiga! Isegi mittetäielik.

Ülejäänud viisid aitavad seda kiiremini teha, kuid kui teil on probleeme ruudukujuliste võrranditega, kutsutakse lahendust diskrimineeriva abiga.

1. Square võrrandite lahendus diskrimineeriva abiga.

Ruutivõrrandite lahendus Sel viisil on väga lihtne, peamine asi on meeles pidada tegevuste järjestust ja paari valemite järjestust.

Kui võrrand on eriti tähelepanu pöörata. Diskrimineeriv () näitab meile võrrandi juurte arvu.

Kui, siis valem vähendatakse. Seega on võrrandil kogu juur.
Kui me ei saa mehe diskrimineerivast juurt välja võtta. See näitab, et võrrandil ei ole juured.

Naaseme oma võrrandite juurde ja kaaluma mitmeid näiteid.

Näide 9:

Võrrandit otsustama

Samm 1 Me vaheleme.

2. samm.

Me leiame diskrimineerivat:

Nii et võrrand on kaks juured.

3. samm.

Vastus:

Näide 10:

Võrrandit otsustama

Võrrand on esitatud standardvormis, nii et Samm 1 Me vaheleme.

2. samm.

Me leiame diskrimineerivat:

Nii et võrrand on üks juur.

Vastus:

Näide 11:

Võrrandit otsustama

Võrrand on esitatud standardvormis, nii et Samm 1 Me vaheleme.

2. samm.

Me leiame diskrimineerivat:

See ei saa välja tuua root diskrimineerivalt. Võrrandi juured ei eksisteeri.

Nüüd me teame, kuidas selliseid vastuseid õigesti kirjutada.

Vastus:No juured

2. Ruuduvõrrandite lahendamine vieta teoreemi abil.

Kui mäletate, see tähendab, et sellist tüüpi võrrandeid, mida nimetatakse esitatud (kui koefitsient A on võrdne):

Sellised võrrandid on väga lihtne lahendada vieta teoreemi kasutamist:

Juurte summa kindlaksmääratud Ruudu võrrand on võrdne ja juurte toode on võrdne.

Näide 12:

Võrrandit otsustama

See võrrand sobib lahendamiseks viteta teoreemi, sest .

Võrrandi juurte kogus on võrdne, s.o. Me saame esimese võrrandi:

Ja töö on:

Me otsustame ka süsteemi:

ja. Summa on võrdne;
ja. Summa on võrdne;
ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Vastus: ; .

Näide 13:

Võrrandit otsustama

Vastus:

Näide 14:

Võrrandit otsustama

Võrrandit antakse ja seetõttu:

Vastus:

Ruvadratatsioonilised võrrandid. Keskmine tase

Mis on ruutvõrrand?

Teisisõnu, ruudu võrrand on liikide võrrand, kus tundmatu on mõned numbrid ja.

Numbrit nimetatakse vanemaks või esimene koefitsient ruutvõrrand - teine koefitsient, aga - vaba liikme.

Miks? Sest kui võrrand muutub kohe lineaarseks, sest kaovad.

Samal ajal ja võib olla null. Selles väljaheites nimetatakse võrrandit mittetäielikuks. Kui kõik komponendid on paigas, on see võrrand lõpule viidud.

Lahendused eri tüüpi ruutvõrrandid

Mittetäielike ruudu võrrandite lahendamise meetodid:

Kõigepealt analüüsime mittetäielike ruudu võrrandite lahenduste meetodeid - need on lihtsamad.

Saate valida selliste võrrandite tüüp:

I. Selles võrrandis on koefitsient ja vaba liikme võrdsed.

II. Selles võrrandis on koefitsient võrdne.

III. Selles võrrandis on vaba liikme võrdne.

Nüüd kaaluge iga nende alatüüpide lahendust.

Ilmselgelt on sellel võrrandil alati ainult üks juur:

Number püstitatud ruudu ei saa olla negatiivne, sest korrutades kahe negatiivse või kahe positiivse arvu, tulemus on alati positiivne number. Seetõttu:

kui võrrand ei ole lahendusi;

kui oleme õppinud kaks juured

Need valemid ei pea mäletama. Peaasi meeles pidada, et see ei pruugi olla väiksem.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Ära kunagi unusta juured negatiivse märkiga!

Arvu ruut ei saa olla negatiivne, mis tähendab võrrandit

no juured.

Et lühidalt salvestada, et ülesanne ei ole lahendusi, kasutage tühja komplekti ikooni.

Vastus:

Niisiis, see võrrand on kaks juured: ja.

Vastus:

Ma kokkuvõtte tehase sulgudes:

Toode on , kui vähemalt üks mitmekordistaja on null. See tähendab, et võrrandil on lahendus, kui:

Seega on selle ruudu võrrandi kaks juured: ja.

Näide:

Otsustage võrrand.

Otsus:

Levitage tehase võrrandi vasakut osa ja leidke juured:

Vastus:

Full ruudu võrrandite lahendamise meetodid:

1. Diskrimineeriv

Square võrrandite lahendamine Sel moel on peamine asi meeles pidada tegevuste järjestust ja paari valemite järjestust. Pidage meeles, et iga ruudu võrrandi saab lahendada diskrimineeriva abiga! Isegi mittetäielik.

Kas märkasite juuret diskrimineerivast juurvalemi? Kuid diskrimineeriv võib olla negatiivne. Mida teha? Peame pöörama erilist tähelepanu sammule 2. Diskrimantseerija näitab meile võrrandi juurte arvu.

Kui võrrand on juur:
Kui võrrandil on sama juur ja tegelikult üks juur:
Selliseid juure nimetatakse kahekordseks.
Kui diskrimineerija juur ei eemaldata. See näitab, et võrrandil ei ole juured.

Miks on võimalik erinevate juurte arvu? Palume pöörduda ruudu võrrandi geomeetrilise tähenduse poole. Funktsioonide graafik on parabool:

Konkreetsel juhul, mis on ruutvõrrand. Ja see tähendab, et ruudu võrrandi juured on AbSSSA telje ristmäär (telg). Parabola ei tohi ületada telje üldse või ületada seda ühes (kui parabooli ülemine osa asub teljel) või kaks punkti.

Lisaks vastutab koefitsient parabooli filiaalide suuna eest. Kui paraboola oksad on suunatud ülespoole ja kui see on alla.

Näited:

Lahendused:

Vastus:

Vastus :.

Vastus:

Niisiis ei ole lahendusi.

Vastus :.

2. Vieta teoreem

Vieta teoreemi on väga lihtne kasutada: Te peate lihtsalt sellist paari numbrit üles võtma, mille toode on võrdne võrrandi vaba liikmega ja summa on teine \u200b\u200bkoefitsient vastupidise märgiga.

Oluline on meeles pidada, et Vibeta teoreemi saab kasutada ainult vähendatud ruudu võrrandid ().

Mõtle mõned näited:

Näide nr 1:

Otsustage võrrand.

Otsus:

See võrrand sobib lahendamiseks viteta teoreemi, sest . Ülejäänud koefitsiendid :; .

Võrrandi juurte kogus on:

Ja töö on:

Me valime selliseid numbreid, mille toode on võrdne ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja. Summa on võrdne;
ja. Summa on võrdne;
ja. Summa on võrdne.

ja on süsteemi lahendus:

Seega, meie võrrandi juured.

Vastus:; .

Näide nr 2:

Otsus:

Me valime sellise tööpaaride paari, mis on töös esitatud ja kontrollime, kas nende summa on võrdne:

ja: summa, mida nad annavad.

ja: summa, mida nad annavad. Et saada piisavalt lihtsalt selleks, et muuta väidetavate juurte märke: ja, sest töö.

Vastus:

Näide nr 3:

Otsus:

Võrrandi vaba liige on negatiivne, mis tähendab juurte toodet - negatiivne number. See on võimalik ainult siis, kui üks juurtest on negatiivne ja teine \u200b\u200bon positiivne. Seetõttu on juurte hulk võrdne nende moodulite erinevused.

Me valime selliste numbrite paari, mis on töös esitatud ja selle erinevus on võrdne:

ja: nende erinevus on võrdne - ei sobi;

ja: - ei sobi;

ja: - Sobib. See jääb ainult meeles pidada, et üks juured on negatiivne. Kuna nende summa peaks olema võrdne, peaks negatiivne olema väiksem juuremoodul :. \\ T Kontrollima:

Vastus:

Näide nr 4:

Otsustage võrrand.

Otsus:

Võrrandit antakse ja seetõttu:

Vaba liige on negatiivne ja seetõttu on juurte toode negatiivne. Ja see on võimalik ainult siis, kui üks võrrandi juur on negatiivne ja teine \u200b\u200bon positiivne.

Me valime selliseid paari numbrid, mille toode on võrdne ja siis me määratleme, millised juured peaksid olema negatiivsed märk:

Ilmselgelt sobivad esimeseks seisundiks ainult juured ja:

Vastus:

Näide nr 5:

Otsustage võrrand.

Otsus:

Võrrandit antakse ja seetõttu:

Rootsite hulk on negatiivne, mis tähendab, et vähemalt üks juurtest on negatiivne. Aga kuna nende töö on positiivne, tähendab see nii miinusmärgiga juured.

Me valime selliseid paari numbrid, mille toode on:

Ilmselt juured on numbrid ja.

Vastus:

Nõustu, see on väga mugav - avastada juured suukaudselt selle asemel, et kaaluda seda vastik diskrimineerivat. Püüdke kasutada vieta teoreemi võimalikult palju.

Kuid Vieta teoreemi on vaja, et hõlbustada ja kiirendada juurte leidmist. Et aidata teil seda kasutada, peate looma automatismile. Ja selleks laimude rohkem näiteid. Aga mitte skaleerimine: diskrimineerivat ei saa kasutada! Ainult Vieta teoreem:

Sõltumatu töö ülesande lahendused:

Ülesanne 1. (x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Vietta teoreemi kohta:

Nagu tavaliselt, alustame tööd töö valiku:

Ei sobi, sest summa;

: Summa - mida vajate.

Vastus:; .

Ülesanne 2.

Ja jällegi, meie lemmik vieta teoreem: summa peaks osutuma ja töö on võrdne.

Aga kuna see ei tohiks olla, vaid muuta juure märke: ja (summa).

Vastus:; .

Ülesanne 3.

Hmm ... ja kus see on?

On vaja kanda kõik terminid ühes osas:

Rootide hulk on võrdne, töö.

Niisiis, peatage! Võrrandit ei anta. Kuid Viteta teoreemi kohaldatakse ainult ülaltoodud võrrandites. Nii et kõigepealt peate võrrandi tuua. Kui te ei tööta, viska see idee ja otsustada teistmoodi (näiteks diskrimineerimise kaudu). Lubage mul teile meelde tuletada, et tuua ruudu võrrandi - see tähendab kõrgemat koefitsienti:

Suurepärane. Siis on juurte kogus võrdne ja töö.

Siin on lihtsam kiirendada lihtsat: Lõppude lõpuks, lihtne number (kahju tautoloogia eest).

Vastus:; .

Ülesanne 4.

Vaba liige on negatiivne. Mis selles on eriline? Ja asjaolu, et juured on erinevad märgid. Ja nüüd valiku ajal ei kontrolli me juurte kogust, vaid nende moodulite vahe: see erinevus on võrdne ja töö.

Niisiis, juured on võrdsed ja kuid üks neist miinus. Viteta Teoreem ütleb meile, et juurte summa on võrdne teise koefitsiendiga vastupidise märgiga, mis on. Nii et miinus on väiksemas root: ja sellest ajast alates.

Vastus:; .

Ülesanne 5.

Mida tuleb kõigepealt teha? Õigus, tuua võrrand:

Jällegi: valime arvu mitmekordistajate ja nende erinevus peaks olema võrdne:

Juured on võrdsed ja kuid üks neist miinus. Mida? Nende summa peaks olema võrdne, see tähendab, et miinus on suurem juur.

Vastus:; .

Ma kokku:

Vieta teoreemi kasutatakse ainult antud ruudu võrrandites.
Viteta teoreemi kasutamine leiate juured valiku kaudu, suukaudselt.
Kui võrrandit ei ole antud või puudub sobiv paari vaba liikme kordajaid, mis tähendab, et puuduvad terved juured ja on vaja lahendada teine \u200b\u200bmeetod (näiteks diskrimineerimise kaudu).

3. täieliku ruudu jaotamise meetod

Kui kõik ei ole teada, mis koosnevad tundmatut, esitada selle summa või erinevuse summa lühendatud korrutamise komponentide kujul, seejärel pärast muutujate vahetamist, võib esindada võrrandit mittetäieliku ruudu võrrandi kujul. .

Näiteks:

Näide 1:

Otsustage võrrand :.

Otsus:

Vastus:

Näide 2:

Otsustage võrrand :.

Otsus:

Vastus:

Sisse Üldine Transformatsioon näeb välja selline:

See tähendab :.

Midagi meenutab? See on diskrimineeriv! See ongi diskrimineerimise valem ja sai.

Ruvadratatsioonilised võrrandid. Lühidalt peamise asja kohta

Quadraatiline võrrand- See on liikide võrrand, kus - tundmatu, - ruudu võrrandi koefitsiendid, on vaba liige.

Täielik ruutvõrrand - Võrrand, milles koefitsiendid ei ole võrdsed nulliga.

Vähendatud ruudu võrrand - Võrrand, milles koefitsient, st :.

Mittetäieliku ruudu võrrandi - Võrrand, milles koefitsient ja vaba liikme on null:

kui koefitsient on võrrand:,
kui vaba liige on võrrand vorm:
kui võrrand on vorm :.

1. Algoritmi lahendamine puudulikud ruudu võrrandid

1.1. Mittetäieliku ruudu võrrandi liikide kus:

1) väljendada tundmatut:

2) Väljendi märkide kontrollimine:

kui võrrand ei ole lahendusi,
kui võrrandil on kaks juurust.

1.2. Mittetäieliku ruudu võrrandi liikide kus:

1) Ma kokkuvõtte tehase sulgudes:

2) Toode on , kui vähemalt üks mitmekordistaja on null. Seetõttu on võrrand kaks juured:

1.3. Liigi puuduliku ruudu võrrandi, kus:

Sellel võrrandil on alati ainult üks juur :.

2. Algoritm liigi täieliku ruutvõrrandite lahendamiseks, kus

2.1. Lahendus diskrimineeriva abi abil

1) anname võrrandi standardvormile :,

2) Arvutage diskrimineeriv diskrimineeriv vastavalt valemile: mis näitab võrrandi juurte arvu:

3) Leia võrrandi juured:

kui võrrand on juur, mis on valemis:
kui võrrand on juur, mis on valemiga:
kui võrrandil ei ole juured.

2.2. Lahendus kasutades viteta teoreemi

Vähendatud ruudu võrrandi juurte summa (vormi võrrand, kus) on võrdne ja juurte saadus on võrdne, s.t. , aga.

2.3. Täieliku ruudu jaotamise meetodi lahendamine

Square'i võrrandeid uuritakse 8. klassi, nii et siin pole midagi raske. Võime lahendada neid on absoluutselt vajalik.

Ruudu võrrand on vormi AX 2 + BX + C \u003d 0 võrrandi, kus koefitsiendid a, b ja c on meelevaldsed numbrid ja a ≠ 0.

Enne konkreetsete otsuste meetodite uurimist märgime, et kõik ruutvõrrandid saab jagada kolme klassi:

Ei ole juured;
On täpselt üks juur;
Neil on kaks erinevat juured.

See on oluline erinevus lineaarse ruudu võrrandite vahel, kus juur on alati olemas ja on ainulaadne. Kuidas teha kindlaks, kui palju juured on võrrandi? Selleks on suurepärane asi - diskrimineeriv.

Diskrimineeriv

Laske ruudu võrrandi ax 2 + bx + c \u003d 0. Seejärel on diskrimineeriv diskrimineeriv arv d \u003d B2-4ac.

See valem peab olema tuntud südamega. Kus ta võtab - nüüd ei ole see oluline. Muu see on oluline: diskrimineerivat märki saab kindlaks määrata, kui palju juured on ruudu võrrandiga. Nimelt:

Kui D< 0, корней нет;
Kui d \u003d 0, on täpselt üks juur;
Kui d\u003e 0, siis on kaks juured.

Pange tähele: diskrimineeriv näitab juurte arvu, mitte üldse oma märke, nagu mingil põhjusel palju kaaluda. Vaadake näiteid - ja sa mõistad kõike:

Ülesanne. Mitu juured on ruudukujulised võrrandid:

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0.

Me tõrjume koefitsiendid esimese võrrandi ja leida diskrimineeriv:
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 · 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Niisiis, diskrimineeriv on positiivne, nii et võrrandil on kaks erinevat juured. Sarnaselt demonteerimine teise võrrandi:
a \u003d 5; B \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 · 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskrimantskrimineeriv on negatiivne, juurteta. Viimane võrrand jääb:
a \u003d 1; B \u003d -6; c \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0.

Diskrimaineeriv on null - juur on üks.

Pange tähele, et iga võrrandi puhul tühjendati koefitsiendid. Jah, see on pikka aega, jah, see on tüütu - aga te ei sega koefitsientide ja ei luba loll vigu. Vali endale: kiirus või kvaliteet.

Muide, kui sa "täita käsi", mõne aja pärast ei pea enam kirjutama kõiki koefitsiente. Sellised toimingud, mida te oma peaga tehakse. Enamik inimesi hakkab tegema kusagil pärast 50-70 lahendatud võrrandit - üldiselt mitte nii palju.

Rootsi ruudu võrrand

Nüüd pöördume tegelikult otsusele. Kui diskrimineeriv d\u003e\u003e 0, juured võivad leida valemid:

Põhivalemi juured ruudu võrrandi

Kui d \u003d 0, saate kasutada mõnda neist valemitest - see on sama number, mis on vastus. Lõpuks, kui d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0.

Esimene võrrand:
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 (-3) \u003d 16.

D\u003e 0 ⇒ Võrrandil on kaks juured. Nende leidmine:

Teine võrrand:
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ a \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64.

D\u003e 0 ⇒ Võrrandil on taas kaks juured. Me leiame neid

[Alustage (Align) & ((x) _ (1)) \u003d frac (2+ SQRT (64)) (2 CDOT-i vasakule (-1 paremale)) \u003d - 5; & ((x) _ (2)) \u003d frac (2- sqrt (64)) (2 CDot vasakule (-1 paremale)) \u003d 3. Lõpuks (Align) \\ t

Lõpuks kolmas võrrand:
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ a \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 · 36 \u003d 0.

D \u003d 0 ⇒ Võrrandil on üks juur. Võite kasutada mis tahes valemit. Näiteks esimene:

Nagu näidetest näha, on kõik väga lihtne. Kui te teate valemit ja suutma kaaluda, ei ole probleeme. Kõige sagedamini esinevad vead negatiivsete koefitsientide valemiga asendamisel. Jällegi aitab ülalkirjeldatud vastuvõtt: vaata: vaadake valemit sõna otseses mõttes, värvige iga samm - ja väga kiiresti vabaneda vigadest.

Mittetäielikud ruudu võrrandid

See juhtub, et ruutvõrrand on mõnevõrra erinev sellest, mis on määratud määratluses esitatud. Näiteks:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0.

Seda on lihtne näha, et nendes võrranditel ei ole ühtegi mõistet. Sellised ruudukujulised võrrandid on isegi lihtsamad kui standardsed: nad ei pea isegi diskrimineerijat kaaluma. Niisiis tutvustame uue kontseptsiooni:

AX 2 + BX + C \u003d 0 võrrandit nimetatakse mittetäieliku ruudu võrrandile, kui B \u003d 0 või C \u003d 0, s.t. Muutuja X või vaba elemendi koefitsient on null.

Muidugi on täiesti keeruline juhtum võimalik, kui mõlemad koefitsiendid on null: b \u003d c \u003d 0. Sellisel juhul võtab võrrand vormi AX 2 \u003d 0. Ilmselgelt on selline võrrand üks juur: x \u003d 0 .

Kaaluma ülejäänud juhtumeid. Olgu B \u003d 0 0, siis saame vormi AX 2 + C \u003d 0-tollise ruudu võrrandi

Kuna aritmeetiline ruutjuur on olemas ainult mitte-negatiivsest numbrist, on viimane võrdõiguslikkus üksnes üksnes (-C / a) ≥ 0. Kokkuvõte:

Kui vormi ax 2 + c \u003d 0-ga mittetäielikus ruudu võrrandis viiakse läbi ebavõrdsus (-C / a) ≥ 0, seal on kaks juurust. Valem on esitatud eespool;
Kui (-C / A)< 0, корней нет.

Nagu näete, ei vaja diskrimineerivat diskrimineerivaid ruudukujulisi võrrandeid keerulist arvutamist. Tegelikult isegi ei ole vaja meeles pidada ebavõrdsust (-C / a) ≥ 0. See on piisav, et väljendada x 2 väärtust ja näha, mis seisab võrdsuse märk teisel poolel. Kui on positiivne number - juured on kaks. Kui negatiivne - juured ei ole üldse.

Nüüd me mõistame vormi AX 2 + BX \u003d 0 võrranditega, milles vaba element on null. Kõik on siin lihtne: juured on alati kaks. See on piisav, et laguneda polünoomi mitmekordistada:

Korrakende kordaja

Töö on , kui vähemalt üks mitmekordistaja on null. Siit on juured. Kokkuvõttes analüüsime mitmeid selliseid võrrandeid:

Ülesanne. Ruudukujulised võrrandid:

x 2 - 7x \u003d 0;

5x 2 + 30 \u003d 0;

4x 2 - 9 \u003d 0.

x 2 - 7x \u003d 0 ⇒ X · (x - 7) \u003d 0 ⇒ x 1 \u003d 0; x 2 \u003d - (- 7) / 1 \u003d 7.

5x 2 + 30 \u003d 0 ⇒ 5x 2 \u003d -30 ⇒ x 2 \u003d -6. No juured, sest Square ei saa olla võrdne negatiivse numbriga.

4x 2 - 9 \u003d 0 ⇒ 4x 2 \u003d 9 ⇒ x 2 \u003d 9/4 ⇒ x 1 \u003d 3/2 \u003d 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Lahendus võrrandite matemaatika hõivab eriline koht. Sellel protsessis eelneb teooria uurimise mitu tundi, mille jooksul õpib üliõpilane, kuidas võrrandeid lahendada, nende liikide määramiseks ja oskuste täieliku automatiseerimisele tuua. Kuid mitte alati juurte otsimine on mõttekas, sest nad ei saa lihtsalt olla. Juurte asukoha jaoks on erilisi tehnikaid. Käesolevas artiklis analüüsime peamisi funktsioone, nende määratluse valdkondi ning juhtumeid, kus nende juured puuduvad.

Mis võrrandil ei ole juured?

Võrrandil ei ole juured juhul, kui ei ole selliseid kehtivaid argumente X, kus võrrand on õigesti identne. Mitte-spetsialisti jaoks näeb see sõnastus, nagu enamik matemaatilisi teoreemid ja valemid, tundub väga hägune ja abstraktne, kuid see on teoreetiliselt. Praktikas muutub kõik äärmiselt lihtsad. Näiteks: võrrandi 0 * x \u003d -53 ei ole lahendust, kuna sellist numbrit ei ole, kelle toode nulliga annaks midagi välja arvatud null.

Nüüd vaatame kõige elementaarseid võrrandeid.

1. Lineaarne võrrand

Võrrandit nimetatakse lineaarseks, kui selle parempoolne ja vasakpoolne osa esitatakse lineaarsete funktsioonide kujul: AX + B \u003d CX + D või üldistatud kujul KX + B \u003d 0. Kui A, B, S, D-tuntud numbrid, ja x - tundmatu väärtus. Mis võrrandil ei ole juured? Lineaarsete võrrandite näited on esitatud allpool toodud joonises.

Põhimõtteliselt on lineaarsed võrrandid lahendatud numbrilise osa lihtsa ülekandega üheks osaks ja sisu x-ga teise. Tuleb välja vormi MX \u003d N võrrandi, kus m ja n on numbrid ja x - teadmata. X leidmiseks piisab mõlema osa jagamiseks m. Siis x \u003d n / m. Põhimõtteliselt lineaarsed võrrandid on ainult üks juur, kuid seal on juhtumeid, kui juured on kas lõputult palju või üldse mitte. Kui M \u003d 0 ja n \u003d 0 on võrrand 0 * x \u003d 0. Sellise võrrandi lahus on absoluutselt mis tahes number.

Kuid milline võrrand ei ole juured?

M \u003d 0 ja n \u003d 0, võrrand ei ole juurte erinevaid kehtivaid numbreid. 0 * x \u003d -1; 0 * X \u003d 200 - Neil võrranditel ei ole juured.

2. Square võrrand

Ruudu võrrandit nimetatakse vormi AX 2 + BX + C \u003d 0 võrrandiks a \u003d 0. Kõige tavalisem on lahus läbi diskrimineeriva. VÄLJALÜLITAMISE VÄLJASTAMISE OSUTAMISE VÄLJASTAMINE: D \u003d B2-4 * A * c. Seejärel on kaks juured x 1.2 \u003d (-B ± √d) / 2 * a.

D\u003e 0 puhul on võrrand kaks juured, d \u003d 0 - üks juur. Aga millises ruudu võrrandil ei ole juured? Ostke ruudukujulise võrrandi juurte arv on kõige lihtsam viis pararola esindava funktsiooni ajastamiseks. Kui a\u003e 0 filiaali suunatakse ülespoole< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Samuti saate määratleda visuaalse arvu juured arvutamata diskrimineerija. Selleks leidke parabooli ülemine osa ja määrake, milline suund oksad on suunatud. Vertexi koordinaatide X-i on võimalik kindlaks määrata järgmise valemiga: X0 \u003d -B / 2a. Sellisel juhul asub tippude koordinaat Y-i väärtuse X0 lihtsa asendamise esialgse võrrandile.

Ruudu võrrandi x 2 - 8x + 72 \u003d 0 ei ole juured, kuna sellel on negatiivne diskrimineeriv D \u003d (-8) 2 - 4 * 1 * 72 \u003d -224. See tähendab, et parabool ei puuduta abscissa telje ja funktsioon ei võta kunagi väärtust 0, seetõttu ei ole võrrandil kehtiv juured.

3. Trigonomeetrilised võrrandid

Trigonomeetrilisi funktsioone arutatakse trigonomeetrilisel ringil, kuid võib esitada ka Cartesiuse koordinaatsüsteemis. Käesolevas artiklis kaalume kahte peamist trigonomeetrilised funktsioonid Ja nende võrrandid: Sinx ja COSX. Kuna need funktsioonid moodustavad trigonomeetrilise ringi raadiusega 1, | SINX | ja | COSX | Võib olla enam 1. Niisiis, millist sinx võrrandit ei ole juured? Kaaluge allpool toodud pildil esitatud SINX-funktsiooni graafikut.

Me näeme, et funktsioon on sümmeetriline ja on kordumisaeg 2PI. Selle põhjal võib öelda, et selle funktsiooni maksimaalne väärtus võib olla 1 ja minimaalne -1. Näiteks väljend COSX \u003d 5 ei ole juured, kuna see on mooduli see on rohkem kui üks.

See on lihtsaim näide trigonomeetriliste võrranditega. Tegelikult võib nende lahendus paljude lehekülgede hõivata, mille lõpus sa mõistad, et me kasutasime valemit ja kõik tuleb kõigepealt alustada. Mõnikord isegi õige leidmise juured, võite unustada võtta arvesse piiranguid OTZ, mille tõttu ekstra juur või intervall ilmub vastus ja kogu vastus on ekslik. Seetõttu jälgida rangelt kõiki piiranguid, sest mitte kõik juured sobivad ülesande raami.

4. Võrrandite süsteemid

Võrrandite süsteem on võrrandite kombinatsioon koos joonise või ruuduklambritega. Joonis traksid näitavad kõigi võrrandite ühist täitmist. See tähendab, et kui vähemalt ühes võrranditel ei ole juured ega vastuolus teise vastu, ei ole kogu süsteem lahendust. Square Brackets tähistavad sõna "või". See tähendab, et kui vähemalt ühe süsteemi võrranditel on lahendus, siis kogu süsteem on lahendus.

Süsteemi vastus C on kombinatsioon kõigi üksikute võrrandite juurte kombinatsioon. Ja ainult tavalistel juurtel on lokkis sulgudesüsteemid. Võrrandite süsteemid võivad hõlmata absoluutselt erinevaid funktsioone, nii et selline keerukus ei võimalda teil korraga öelda, millisel võrrandil ei ole juured.

Ülesannetes ja õpikus on erinevad võrrandid: need, kellel on juured ja mitte neid. Esiteks, kui te ei leia juured, ärge arvake, et nad ei ole üldse. Võib-olla tegite kusagil vea, siis lihtsalt topeltige oma otsust hoolikalt.

Me vaatasime läbi kõige põhilisemad võrrandid ja nende liigid. Nüüd võite öelda, millist võrrandil ei ole juured. Enamikul juhtudel ei ole seda raske seda teha. Edu saavutamiseks võrrandite lahendamisel on vaja ainult tähelepanu ja keskenduda. Praktika rohkem, see aitab teil navigeerida materjali palju parem ja kiiremini.

Niisiis, võrrand ei ole juured, kui:

sisse lineaarne võrrand Mx \u003d n väärtus m \u003d 0 ja n \u003d 0;
ruudu võrrandis, kui diskrimineeriv on väiksem kui null;
trigonomeetrilise võrrandi vormi COSX \u003d M / SINX \u003d N, kui | m | \u003e 0, | n | \u003e 0;
süsteemi võrrandites lokkis sulgudes, kui vähemalt ühe võrrandi ei ole juured ja ruudu sulgudes, kui kõik võrrandid ei ole juured.

Ruvadratatsioonilised võrrandid. Diskrimineeriv. Lahendus, näited.

Tähelepanu!
Sellel teemal on täiendav
Materjalid erilises osas 555.
Neile, kes on tugevalt "mitte väga ..."
Ja neile, kes on "väga ...")

Ruudukujuliste võrrandite tüübid

Mis on ruutvõrrand? Kuidas see välja näeb? Kokkuleppeliselt quadraatiline võrrand Märksõna on "Square". See tähendab, et võrrandis enne Peab olema ruudu ruudul. Lisaks temale võib võrrandis olla (ja ei pruugi olla!) Lihtsalt x (esimesel astmel) ja lihtsalt number (tasuta liige). Ja seal ei tohiks olla ics kraadi, rohkem kaks.

Matemaatilise keele järgi rääkimine on ruudu võrrand vormi võrrand:

Siin a, b ja koos - mõned numbrid. b ja C. - kõik kõik ja aga- Igaüks, kuid null. Näiteks:

Siin aga =1; b. = 3; c. = -4

Siin aga =2; b. = -0,5; c. = 2,2

Siin aga =-3; b. = 6; c. = -18

Noh, sa mõistsid ...

Nendes ruudukujuliste võrrandite puhul on vasakpoolne vasak täielik komplekt Liikmed. X ruudu koefitsiendiga aga,x esimese astme koefitsiendiga b. ja tasuta munn koos.

Sellised ruutvõrrandid nimetatakse täis.

Mis siis kui b. \u003d 0, mida me teeme? Meil on x on esimene aste kaob. Alates korrutamise null see juhtub.) Selgub, näiteks:

5x 2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

- 2 + 4x \u003d 0

Jne. Ja kui mõlemad koefitsiendid, b. ja c. võrdne nulliga, see on ikka veel lihtsam:

2x 2 \u003d 0,

-0.3x 2 \u003d 0

Sellised võrrandid, kus midagi puudub mittetäielikud ruudu võrrandid. Mis on üsna loogiline.) Ma palun teil märgata, et X on igas võrrandite ruudus.

Muide, miks aga Ei saa olla null? Ja te asendate selle asemel aga Nolik.) Me kaotame ruudu! Võrrand muutub lineaarseks. Ja see on juba lahendatud üsna erinevalt ...

See on kõik peamised ruudukujulised võrrandid. Täis ja mittetäielik.

Ruutivõrrandite lahendus.

Full Square'i võrrandite lahendamine.

Ruutivõrrad on lihtsalt lahendatud. Vastavalt valemitele ja selgelt lihtsate eeskirjade kohaselt. Esimeses etapis on vaja määratud võrrand põhjustada standardvormi, st Meelde:

Kui võrrand on antud teile juba selles vormis - esimene etapp ei ole vaja.) Peaasi on õigesti määratleda kõik koefitsiendid, aga, b. ja c..

Ruuduvõrrandi juurte leidmise valem näeb välja selline:

Ruumi all olevat väljendit nimetatakse diskrimineeriv. Aga selle kohta - allpool. Nagu näete, et leida ICA, me kasutame ainult a, b ja koos. Need. Ruudu võrrandi koefitsiendid. Lihtsalt korduvalt asenda väärtused a, b ja koos Selles valemis ja me kaalume. Asendama teie märke! Näiteks võrrandis:

aga =1; b. = 3; c. \u003d -4. Siin ja kirjuta:

Näide on praktiliselt lahendatud:

See on vastus.

Kõik on väga lihtne. Ja mida sa arvad, et on võimatu teha viga? Noh, jah, kuidas ...

Kõige tavalisemad vead - segadus väärtuste märkidega a, b ja koos. Pigem mitte nende märkidega (kus on segi ajada?) Ja asendus negatiivsed väärtused Juured arvutamisel. Siin on konkreetsete numbritega valemi üksikasjalik kirje. Kui arvutus on probleeme, seda tegema!

Oletame, et peate selle lahendama:

Siin a. = -6; b. = -5; c. = -1

Oletame, et te teate, et teil on esmakordselt harva vastused.

Noh, ärge ole laisk. Kirjutage liigne liin võtab sekundeid 30. ja vigade arv järsult lõigatud. Siin me kirjutame üksikasjalikult, kõik sulgud ja märgid:

Tundub uskumatult raske, nii hoolikalt maalida. Aga see tundub ainult. Proovige. Noh või vali. Mis on parem, kiire või õigus? Samuti ma kiidan sind. Mõne aja pärast kaob nii hoolikalt, et kõike värvida. Ise on õige. Eriti kui te rakendate praktilisi tehnikaid, mida kirjeldatakse allpool. See kurja näide hunnik miinuselt lahendatakse kergesti ja vigadeta!

Kuid tihti tunduvad ruudu võrrandid veidi erinevad. Näiteks niimoodi:

Uuri välja?) Jah! see mittetäielikud ruudu võrrandid.

Mittetäielike ruudu võrrandite otsus.

Neid saab lahendada ka üldvalemiga. On vaja õigesti ette kujutada, mis on võrdne a, b ja koos.

Parandatud? Esimeses näites a \u003d 1; B \u003d 4; aga c.? Ei ole kedagi üldse! Noh, jah, õigus. Matemaatikas tähendab see seda c \u003d 0. ! See on kõik. Me asendame selle asemel nullvalemiga c, Ja kõik osutub välja. Sarnaselt teise näitega. Ainult null siin ei tee alates, aga b. !

Kuid mittetäielikud ruudu võrrandid saab lahendada palju lihtsamaks. Ilma valemiteta. Kaaluge esimest mittetäielikku võrrandit. Mida saab seal vasakul küljel teha? Te saate teha sulgude jaoks! Toogem välja.

Ja mis sellest? Ja asjaolu, et töö on null null ja ainult siis, kui mõned mitmekordistajad võrdub null! Ei usu? Noh, tule üles kaks mitte-null numbrit, mis annavad null koos korrutada!
Ei tööta? See on midagi ...
Järelikult saate kindlalt kirjutada: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

Kõik. See on meie võrrandi juured. Mõlemad sobivad. Kui nad asendasid ühtegi algse võrrandi, saame ustava identiteedi 0 \u003d 0. Nagu näete, on lahendus palju lihtsam kui üldvalemiga. Märgin, muide, mis X on esimene ja mis teine \u200b\u200bon täiesti ükskõiksus. Mugav salvestada mõne, x 1 - Mis on väiksem ja x 2 - Mis on rohkem.

Teine võrrand saab lahendada ka lihtsalt. Me jätkame 9 paremale küljele. Saame:

See jääb juurest väljavõtmiseks 9-st ja see ongi see. Selgub:

Ka kaks juured . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Nii lahendatakse kõik puudulikud ruudu võrrandid. Kas klambri valmistamise abil või numbri lihtsalt üleandmisega paremale, millele järgneb juure ekstraheerimine.
Nende meetodite segadust tekitab äärmiselt raske. Lihtsalt sellepärast, et esimesel juhul peate XCA-st juure välja võtma, mis on kuidagi selge, ja teisel juhul ei ole see sulgudes midagi ...

Diskrimineeriv. Diskrimineeriv valem.

Maagiline sõna diskrimineeriv ! Haruldane keskkooli õpilane ei kuulnud sõna! Väljend "otsustavad diskrimineeriva" otsustada usaldust ja julgustab. Sest see ei ole vaja oodata diskrimineerivate trikke! See on lihtne ja probleemivaba ringluses.) Ma tulen kõige rohkem meelde üldvalem lahenduste jaoks igasugune Ruutivõrrandid:

Ruumi märgi all nimetatakse diskrimineerivaks väljendit. Tavaliselt on kirjalikult tähistatud diskrimineerija D.. Diskrimineeriv valem:

D \u003d b2 - 4ac

Ja milline on tähelepanuväärne väljendus? Miks see vääris erilist nime? Milles diskrimineerimise tähendus? Pealegi -B, või 2a. Selles valemis ei helista need tähed ja tähed.

Asi on see, mida. Selle valemi ruutvõrrandi lahendamisel on see võimalik kokku kolm juhtumit.

1. Diskrimineeriv positiivne. See tähendab, et juurt on võimalik eraldada. Hea juur on ekstraheeritud või halb - küsimus on erinev. On oluline, et see oleks põhimõtteliselt ekstraheeritud. Siis on teie ruutvõrrandil kaks juured. Kaks erinevat lahendust.

2. Diskrimineeriv on null. Siis saad ühe lahenduse. Kuna null lahutamine loendaja ei muuda midagi. Rangelt öeldes ei ole see üks juur, vaid kaks identset. Kuid lihtsustatud versioonis on tavaline rääkida Üks lahendus.

3. Diskrimantskrimineeriv on negatiivne. Negatiivse numbri, ruutjuure ei eemaldata. Noh, okei. See tähendab, et lahendusi ei ole.

Ausalt, kui lihtne otsus Ruutivõrrandid, diskrimineerija mõiste ei ole eriti vajalik. Me asendame koefitsientide väärtusi valemis, jah, me usume. See kõik juhtub kõik nii kaks juured ja üks, mitte üks. Keerukamate ülesannete lahendamisel ilma teadmata tähendus ja valemiga diskrimineeriv mitte piisavalt. Eriti - parameetritega võrrandites. Sellised võrrandid on GIA ja EGE kõrgeim piloot!)

Niisiis, kuidas lahendada ruutvõrrandid Diskrimineerija kaudu meenutas. Või õppinud, et see ei ole ka halb.) Ma tean, kuidas õigesti kindlaks määrata a, b ja koos. Teadmised hoolikalt asendada neid juurevalemi ja hoolikalt loendage tulemus. Sa mõistsid, et võtmesõna on siin - hoolikalt?

Ja nüüd võtke teadmiseks praktilisi tehnikaid, mis oluliselt vähendavad vigade arvu. Kõige enam, et tähelepanematuse tõttu. ... milleks siis juhtub haiget ja haiget ...

Kõigepealt vastuvõtt . Ärge ole laisk enne ruutvõrrandi lahendamist standardvormile toomiseks. Mida see tähendab?
Oletame, et pärast kõiki muudatusi saite sellise võrrandi:

Ärge kiirustage root valemi kirjutamist! Peaaegu ilmselt segadusse koefitsiente a, b ja s. Ehita näide õigesti. Esiteks, X on ruutu, siis ilma ruuduta, siis tasuta munn. Nagu nii:

Ja ärge kiirustage uuesti! Miinus IX ees ruudu ees võib olla tervislik, et sind häirida. Unusta see lihtne ... vabaneda miinus. Kuidas? Jah, nagu õpetas eelmises teemas! Kogu võrrand on vaja korrutada -1. Saame:

Kuid nüüd saate juurte valemi turvaliselt salvestada, kaaluda diskrimineerivat ja näidet. Dore ennast. Teil peab olema juured 2 ja -1.

Vastuvõtt kaks. Kontrollige juure! Vietta teoreemil. Ärge hirmutage, ma selgitan kõike! Kontrollima viimane asi võrrand. Need. Et me registreerisime juurte valemi. Kui (nagu selles näites) koefitsient a \u003d 1.Kontrollige juured lihtsalt. Piisavalt nende korrutamiseks. Seal peaks olema tasuta liige, st Meie puhul -2. Märkus, mitte 2 ja -2! Tasuta munn oma märgiga . Kui ta ei tööta, tähendab see kusagil nende kogumist. Otsige viga.

Kui see juhtus - on vaja juured kokku panna. Viimane ja lõplik kontroll. Peab toimuma koefitsient b. alates vastupidine märk. Meie puhul -1 + 2 \u003d +1. Ja koefitsient b.mis on IX ees, mis on võrdne -1-ga. Niisiis, kõik on õige!
See on kahju, et näidete jaoks on nii lihtne, kus X on puhas, koefitsiendiga a \u003d 1. Aga vähemalt kontrollige selliseid võrrandeid! Seal on vähem vigu.

Kolmas . Kui teie võrrandis on fraktsioneerivad koefitsiendid, vabanege fraktsioonidest! Mitme võrrandi põhjal ühine nimetajaNagu on kirjeldatud õppetund "Kuidas lahendada võrrandeid? Identsed muutused". Kui töötate vigade fraktsioonidega mingil põhjusel ja ronida ...

Muide, ma lubasin kurja näide koos hunnikuga, et lihtsustada. Palun! Siin see on.

Selleks et mitte segi ajada miinimumdes, on võrrand -1 domineeriv. Saame:

See on kõik! Otsustage - üks rõõm!

Niisiis, kokku teema.

Praktilised näpunäited:

1. Enne lahendamist anname standardvormile ruudu võrrandi, ehitame selle õigus.

2. Kui negatiivne koefitsient on negatiivne koefitsient enne x, kõrvaldage kogu võrrandi korrutamine -1.

3. Kui fraktsioonide koefitsiendid kõrvaldavad fraktsiooni, korrutades kogu võrrandi vastava kordajaga.

4. Kui x on ruudukujul - puhas, koefitsient on võrdne ühega, lahendus saab Vieta teoreemi kergesti kontrollida. Tee seda!

Nüüd on võimalik arvutada.)

Lahenda võrrandid:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Vastused (häire):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1.2 \u003d.2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x - mis tahes number

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

lahendused puuduvad

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Kõik läheneb? Suurepärane! Square võrrandid ei ole teie peavalu. Esimesed kolm osutus ja ülejäänud - ei? Siis probleem ei ole ruudu võrrandites. Probleem on võrrandite identsed transformatsioonid. Jalutage viide abil, see on kasulik.

Mitte tegelikult ei saa? Või ei tööta üldse? Siis sa pead aitama partitsiooni 555. Seal kõik need näited lahti luud. Näitamine peamine Lahendamisel. Seda kirjeldatakse muidugi identsete muutuste kasutamist erinevate võrrandite lahendamisel. Aitab palju!

Kui sulle meeldib see sait ...

Muide, mul on teile veel üks paar huvitavat saiti.)

Seda saab kasutada näidete lahendamisel ja teie taseme teada saada. Testimine kiirgage. Õpi - huviga!)

Te saate tutvuda funktsioone ja derivaatidega.