Матрична форма

Система лінійних рівняньможе бути представлена ​​в матричній формі як:

або, згідно з правилом перемноження матриць,

AX = B.

Якщо до матриці додати стовпець вільних членів, то А називається розширеною матрицею.

Методи вирішення

Прямі (або точні) методи дозволяють знайти рішення за певну кількість кроків. Ітераційні методи, засновані на використанні процесу, що повторюється і дозволяють отримати рішення в результаті послідовних наближень

Прямі методи

  • Метод прогонки (для трьохдіагональних матриць)
  • Розкладання Холецького чи метод квадратного коріння(Для позитивно-визначених симетричних та ермітових матриць)

Ітераційні методи

Вирішення системи лінійних рівнянь алгебри на VBA

Option Explicit Sub rewenie() Dim i As Integer Dim j As Integer Dim r() As Double Dim p As Double Dim x() As Double Dim k As Integer Dim n As Integer Dim b() As Double Dim file As Integer Dim y () As Double file = FreeFile Open "C:\data.txt" For Input As file r(0 To n - 1 ) As Double For i = 0 To n - 1 For j = 0 To n - 1 Input #file, x(i * n + j) Next j Input #file, y(i) Next i Close #file For i = 0 To n - 1 p = x (i * n + i) For j = 1 To n - 1 x (i * n + j) = x (i * n + j) / p Next j y (i) = y(i) / p For j = i + 1 To n - 1 p = x (j * n + i) For k = i To n - 1 x (j * n + k) = x (j * n + k) - x (i * n + k) * p Next k y (j) = y (j) - y (i) * p Next j Next i Верхньотрикутна матриця For i = n - 1 To 0 Step -1 p = y(i) For j = i + 1 To n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Next j r(i) = p / x (i * n + i) Next i " Зворотний хід For i = 0 To n - 1 MsgBox r (i) Next i "End Sub

Див. також

Посилання

Примітки


Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитись що таке "СЛАУ" в інших словниках:

    СЛАУ- Система лінійних рівнянь алгебри … Словник скорочень та абревіатур

    Цей термін має й інші значення, див. Слау (значення). Місто та унітарна одиниця Слау англ. Slough Країна … Вікіпедія

    - (Slough) місто у Великій Британії, у складі промислового поясу, що оточує Великий Лондон, на залізниціЛондон Брістоль. 101,8 тис. мешканців (1974). Машинобудування, електротехнічна, електронна, автомобільна та хімічна. Велика Радянська Енциклопедія

    Слау- (Slough)Slough, промислове та торгове місто в графстві Беркшир, юж. Англія, на З. від Лондона; 97400 мешканців (1981); легка промисловість стала розвиватися у період між світовими війнами. Країни світу. Словник

    Слау: Слау (англ. Slough) місто в Англії, у графстві Беркшир СЛАУ Система лінійних рівнянь алгебри … Вікіпедія

    Комуна Реслау Röslau Герб … Вікіпедія

    Місто Бад Феслау Bad Vöslau Герб … Вікіпедія

    Проекційні методи розв'язання СЛАУ клас ітераційних методів, в яких вирішується завдання проектування невідомого вектора на деякий простір, оптимально щодо іншого деякого простору. 1 Постановка задачі … Вікіпедія

    Місто Бад Фёслау Bad Vöslau Країна АвстріяАвстрія … Вікіпедія

    Фундаментальна система рішень (ФСР) є набір лінійно незалежних рішень однорідної системи рівнянь. Зміст 1 Однорідні системи 1.1 Приклад 2 Неоднорідні системи … Вікіпедія

Книги

  • Прямі та зворотні завдання відновлення зображень, спектроскопії та томографії з MatLab (+CD) , Сізиков Валерій Сергійович. У книзі викладено застосування апарату інтегральних рівнянь (ІУ), систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) і систем лінійно-нелінійних рівнянь (СЛНУ), а також програмних засобів.

Ще у школі кожен із нас вивчав рівняння і, напевно, системи рівнянь. Але не багато хто знає, що існує кілька способів їх вирішення. Сьогодні ми докладно розберемо всі методи розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри, які складаються більш ніж з двох рівностей.

Історія

На сьогоднішній день відомо, що мистецтво вирішувати рівняння та їх системи зародилося ще у Стародавньому Вавилоні та Єгипті. Однак рівності в їхньому звичному для нас вигляді з'явилися після виникнення знака рівності "=", який був введений у 1556 англійським математиком Рекордом. До речі, цей знак був обраний не просто так: він означає два паралельні рівні відрізки. І правда, кращого прикладурівності не вигадати.

Засновником сучасних літерних позначеньНевідомі і знаки ступенів є французький математик Однак його позначення значно відрізнялися від сьогоднішніх. Наприклад, квадрат невідомого числа він позначав буквою Q (лат. Quadratus), а куб - буквою C (лат Cubus). Ці позначення зараз здаються незручними, але це був найбільш зрозумілий спосіб записати системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Проте недоліком у тодішніх методах рішення було те, що математики розглядали лише позитивне коріння. Можливо, це пов'язано з тим, що від'ємні значенняне мали жодного практичного застосування. Так чи інакше, але першими вважати негативні корені почали саме італійські математики Нікколо Тарталья, Джероламо Кардано та Рафаель Бомбеллі у 16 ​​столітті. А сучасний вигляд, основний метод рішення (через дискримінант) було створено лише у 17 столітті завдяки роботам Декарта та Ньютона.

У 18 століття швейцарський математик Габріель Крамер знайшов новий спосібдля того, щоб зробити розв'язання систем лінійних рівнянь простіше. Цей спосіб був згодом названий його ім'ям і досі ми користуємося ним. Але про метод Крамера поговоримо трохи пізніше, а поки що обговоримо лінійні рівняння та методи їх вирішення окремо від системи.

Лінійні рівняння

Лінійні рівняння - найпростіші рівності зі змінною (змінною). Їх відносять до алгебраїчних. записують у загальному виглядітак: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b. Подання їх у цьому вигляді нам знадобиться при складанні систем та матриць далі.

Системи лінійних рівнянь алгебри

Визначення цього терміна таке: це сукупність рівнянь, які мають загальні невідомі величини та загальне рішення. Як правило, у школі все вирішували системи з двома чи навіть трьома рівняннями. Але бувають системи з чотирма і складовими. Давайте розберемося спочатку, як слід записати їх так, щоб надалі було зручно вирішувати. По-перше, системи лінійних рівнянь алгебри будуть виглядати краще, якщо всі змінні будуть записані як x з відповідним індексом: 1,2,3 і так далі. По-друге, слід привести всі рівняння до канонічному вигляду: а 1 * x 1 + а 2 * x 2 + ... а n * x n = b.

Після всіх цих дій ми можемо почати розповідати, як шукати рішення систем лінійних рівнянь. Дуже сильно для цього нам знадобляться матриці.

Матриці

Матриця - це таблиця, що складається з рядків і стовпців, але в їх перетині перебувають її елементи. Це можуть бути або конкретні значення, або змінні. Найчастіше, щоб позначити елементи, під ними розставляють нижні індекси (наприклад, 11 або 23). Перший індекс означає номер рядка, а другий – стовпця. Над матрицями, як і будь-яким іншим математичним елементом можна здійснювати різні операції. Таким чином, можна:

2) Помножувати матрицю на якесь число або вектор.

3) Транспонувати: перетворювати рядки матриці на стовпці, а стовпці - на рядки.

4) Помножувати матриці, якщо число рядків одного з них дорівнює кількості стовпців іншого.

Докладніше обговоримо всі ці прийоми, оскільки вони стануть у нагоді нам надалі. Віднімання та складання матриць відбувається дуже просто. Оскільки ми беремо матриці однакового розміру, кожен елемент однієї таблиці співвідноситься з кожним елементом інший. Таким чином складаємо (віднімаємо) два ці елементи (важливо, щоб вони стояли на однакових місцях у своїх матрицях). При множенні матриці число чи вектор необхідно просто помножити кожен елемент матриці цього числа (чи вектор). Транспонування – дуже цікавий процес. Дуже цікаво іноді бачити його в реального життянаприклад, при зміні орієнтації планшета або телефону. Значки на робочому столі є матрицею, а при зміні положення вона транспонується і стає ширшою, але зменшується у висоті.

Розберемо ще такий процес, як Хоч він нам і не стане в нагоді, але знати його буде все одно корисно. Помножити дві матриці можна лише за умови, що число стовпців однієї таблиці дорівнює числу рядків іншого. Тепер візьмемо елементи рядки однієї матриці та елементи відповідного стовпця інший. Перемножимо їх один на одного і потім складемо (тобто, наприклад, добуток елементів a 11 і а 12 на b 12 і b 22 дорівнюватиме: а 11 * b 12 + а 12 * b 22). Таким чином, виходить один елемент таблиці і аналогічним методом вона заповнюється далі.

Тепер можемо розпочати розгляд того, як вирішується система лінійних рівнянь.

Метод Гауса

Цю тему починають проходити ще у школі. Ми добре знаємо поняття "система двох лінійних рівнянь" та вміємо їх вирішувати. Але що робити, якщо число рівнянь більше двох? У цьому нам допоможе

Звичайно, цим методом зручно користуватися, якщо зробити із системи матрицю. Але можна і не перетворювати її і вирішувати у чистому вигляді.

Отже, як вирішується цим способом система лінійних рівнянь Гаусса? До речі, хоч цей спосіб і названо його ім'ям, але відкрили його ще в давнину. Гаус пропонує наступне: проводити операції з рівняннями, щоб зрештою привести всю сукупність до ступінчастого вигляду. Тобто потрібно, щоб зверху вниз (якщо правильно розставити) від першого рівняння до останнього убувало по одному невідомому. Іншими словами, потрібно зробити так, щоб у нас вийшло, скажімо, три рівняння: у першому – три невідомі, у другому – два, у третьому – одне. Тоді з останнього рівняння ми знаходимо перше невідоме, підставляємо його значення у друге або перше рівняння, і далі знаходимо дві змінні, що залишилися.

Метод Крамера

Для освоєння цього життєво необхідно володіти навичками складання, віднімання матриць, і навіть треба вміти знаходити визначники. Тому якщо ви погано все це робите або зовсім не вмієте, доведеться повчитися і потренуватися.

У чому суть цього методу і як зробити так, щоб вийшла система лінійних рівнянь Крамера? Все дуже просто. Ми повинні побудувати матрицю з чисельних (майже завжди) коефіцієнтів системи лінійних рівнянь алгебри. Для цього просто беремо числа перед невідомими і розставляємо таблицю в тому порядку, як вони записані в системі. Якщо перед числом стоїть знак "-", записуємо негативний коефіцієнт. Отже, ми склали першу матрицю з коефіцієнтів при невідомих, не включаючи числа після знаків рівності (звісно, ​​що рівняння має бути приведене до канонічного вигляду, коли справа знаходиться лише число, а ліворуч – усі невідомі з коефіцієнтами). Потім потрібно скласти ще кілька матриць – по одній для кожної змінної. Для цього замінюємо в першій матриці по черзі кожен стовпець із коефіцієнтами стовпцем чисел після знаку рівності. Таким чином отримуємо кілька матриць і далі знаходимо їх визначники.

Після того, як ми знайшли визначники, справа за малим. У нас є початкова матриця, і є кілька отриманих матриць, які відповідають різним змінним. Щоб отримати рішення системи, ми ділимо визначник таблиці на визначник початкової таблиці. Отримане число і є значенням однієї зі змінних. Аналогічно знаходимо усі невідомі.

Інші методи

Існує ще кілька методів для того, щоб отримати розв'язання систем лінійних рівнянь. Наприклад, так званий метод Гаусса-Жордана, який застосовується для знаходження рішень системи квадратних рівняньі також пов'язаний із застосуванням матриць. Існує також метод Якобі для вирішення системи лінійних рівнянь алгебри. Він найлегше адаптується для комп'ютера і застосовується в обчислювальній техніці.

Складні випадки

Складність зазвичай виникає, якщо число рівнянь менше від числа змінних. Тоді можна напевно сказати, що або система несумісна (тобто не має коріння), або кількість її рішень прагне нескінченності. Якщо в нас другий випадок, то потрібно записати загальне рішення системи лінійних рівнянь. Воно міститиме як мінімум одну змінну.

Висновок

Ось ми й добігли кінця. Підіб'ємо підсумки: ми розібрали, що таке система та матриця, навчилися знаходити загальне рішення системи лінійних рівнянь. Крім цього, розглянули інші варіанти. З'ясували, як вирішується система лінійних рівнянь: метод Гаусса та Поговорили про складні випадки та інші способи знаходження рішень.

Насправді ця тема набагато більша, і якщо ви хочете краще в ній розібратися, то радимо почитати більше спеціалізованої літератури.

Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсіматематики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення даного прикладуне викликає труднощів і дозволяє набути значення Y. Останній крок це перевірка отриманих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем шляхом додавання роблять почленное складання і множення рівнянь різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методунеобхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

  1. Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
  2. Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
  3. Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що запровадивши нову змінну t вдалося звести 1-е рівняння системи до стандартного квадратному тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - дискримінант, що шукається, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані методи застосовують при знаходженні змінних систем з великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гаусса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але одна із найцікавіших способів у розвиток кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення математичних і фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

Приклад 1. Знайти загальне рішення і якесь приватне рішення системи

Рішеннявиконуємо за допомогою калькулятора. Випишемо розширену та основну матриці:

Пунктиром відокремлена основна матриця A. Згори пишемо невідомі системи, маючи на увазі можливу перестановку доданків в рівняннях системи. Визначаючи ранг розширеної матриці, одночасно знайдемо ранг та основний. У матриці B перший та другий стовпці пропорційні. З двох пропорційних стовпців у базисний мінор може потрапити лише один, тому перенесемо, наприклад, перший стовпець за пунктирну межу зі зворотним знаком. Для системи це означає перенесення членів з х 1 у праву частину рівнянь.

Наведемо матрицю до трикутного вигляду. Будемо працювати тільки з рядками, тому що множення рядка матриці на число, відмінне від нуля, і додаток до іншого рядка для системи означає множення рівняння на це число і додавання з іншим рівнянням, що не змінює рішення системи. Працюємо з першим рядком: помножимо перший рядок матриці на (-3) і додамо до другого та третього рядків по черзі. Потім перший рядок помножимо на (-2) і додамо до четвертого.

Другий і третій рядки пропорційні, отже, один з них, наприклад другий, можна викреслити. Це рівносильно викресленню другого рівняння системи, оскільки є наслідком третього.

Тепер працюємо з другим рядком: помножимо її на (-1) і додамо до третього.

Мінор, обведений пунктиром, має найвищий порядок(з можливих мінорів) і відмінний від нуля (він дорівнює добутку елементів, що стоять на головній діагоналі), причому цей мінор належить як основний матриці, так і розширеною, отже rangA = rangB = 3 .
Мінор є базисним. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 2 x 3 x 4 значить невідомі x 2 x 3 x 4 - залежні, а x 1 x 5 - вільні.
Перетворимо матрицю, залишаючи зліва лише базисний мінор (що відповідає пункту 4 наведеного вище алгоритму рішення).

Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі та має вигляд

Методом виключення невідомих знаходимо:
x 4 =3-4x 5 , x 3 =3-4x 5 -2x 4 =3-4x 5 -6+8x 5 =-3+4x 5
x 2 =x 3 +2x 4 -2+2x 1 +3x 5 = -3+4x 5 +6-8x 5 -2+2x 1 +3x 5 = 1+2x 1 -x 5
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 2 x 3 x 4 через вільні x 1 і x 5 тобто знайшли загальне рішення:

Надаючи вільним невідомим будь-які значення, отримаємо скільки завгодно приватних рішень. Знайдемо два окремі рішення:
1) хай x 1 = x 5 = 0, тоді x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) покладемо х 1 = 1, х 5 = -1, тоді х 2 = 4, х 3 = -7, х 4 = 7.
Таким чином знайшли два рішення: (0,1,-3,3,0) – одне рішення, (1,4,-7,7,-1) – інше рішення.

Приклад 2. Дослідити спільність, знайти спільне та одне приватне рішення системи

Рішення. Переставимо перше та друге рівняння, щоб мати одиницю в першому рівнянні та запишемо матрицю B.

Отримаємо нулі у четвертому стовпці, оперуючи першим рядком:

Тепер отримаємо нулі у третьому стовпці за допомогою другого рядка:

Третій і четвертий рядки пропорційні, тому одну з них можна викреслити, не змінюючи рангу:
Третій рядок помножимо на (–2) і додамо до четвертого:

Бачимо, що ранги основної та розширеної матриць дорівнюють 4, причому ранг збігається з числом невідомих, отже, система має єдине рішення:
-x 1 = -3 → x 1 = 3; x 2 = 3-x 1 → x 2 = 0; x 3 = 1-2x 1 → x 3 = 5.
x 4 = 10-3x 1 - 3x 2 - 2x 3 = 11.

Приклад 3. Дослідити систему на спільність та знайти рішення, якщо воно існує.

Рішення. Складаємо розширену матрицю системи.

Переставляємо перші два рівняння, щоб у лівому верхньому кутку була 1:
Помножуючи перший рядок на (-1), складаємо його з третього:

Помножимо другий рядок на (-2) і додамо до третього:

Система несумісна, так як в основній матриці отримали рядок, що складається з нулів, яка викреслюється при знаходженні рангу, а розширеній матриці останній рядок залишиться, тобто r B > r A .

Завдання. Дослідити цю систему рівнянь на спільність та вирішити її засобами матричного обчислення.
Рішення

приклад. Довести сумісність системи лінійних рівнянь та розв'язати її двома способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (відповідь ввести у вигляді: x1, x2, x3)
Рішення :doc :doc :xls
Відповідь: 2,-1,3.

приклад. Дано систему лінійних рівнянь. Довести її сумісність. Знайти загальне рішення системи та одне приватне рішення.
Рішення
Відповідь: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Завдання. Знайти загальне та приватне рішення кожної системи.
Рішення.Досліджуємо цю систему з теореми Кронекера-Капеллі.
Випишемо розширену та основну матриці:

1 1 14 0 2 0
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1
x 1x 2x 3x 4x 5

Тут матриця виділена жирним шрифтом.
Наведемо матрицю до трикутного вигляду. Будемо працювати тільки з рядками, тому що множення рядка матриці на число, відмінне від нуля, і додаток до іншого рядка для системи означає множення рівняння на це число і додавання з іншим рівнянням, що не змінює рішення системи.
Помножимо 1-ий рядок на (3). Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го:
0 -1 40 -3 6 -1
3 4 2 3 0 1
2 3 -3 3 -2 1

Помножимо 2-й рядок на (2). Помножимо 3-й рядок на (-3). Додамо 3-й рядок до 2-го:
0 -1 40 -3 6 -1
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-й рядок до 1-го:
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -3 6 -1
2 3 -3 3 -2 1

Виділений мінор має найвищий порядок (з можливих мінорів) і відмінний від нуля (він дорівнює добутку елементів, що стоять на зворотній діагоналі), причому цей мінор належить як основний матриці, так і розширеною, отже rang(A) = rang(B) = 3 Оскільки ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної, то система є спільною.
Цей мінор є базовим. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 1, x 2, x 3, значить, невідомі x 1, x 2, x 3 - залежні (базисні), а x 4, x 5 - вільні.
Перетворимо матрицю, залишаючи зліва тільки базовий мінор.
0 0 27 0 0 0
0 -1 13 -1 3 -6
2 3 -3 1 -3 2
x 1x 2x 3 x 4x 5
Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
27x 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
Методом виключення невідомих знаходимо:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 x 3 через вільні x 4 x 5 тобто знайшли загальне рішення:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
невизначеною, т.к. має більше одного рішення.

Завдання. Розв'язати систему рівнянь.
Відповідь: x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x3 + 0.67x4
Надаючи вільним невідомим будь-які значення, отримаємо скільки завгодно приватних рішень. Система є невизначеною