Нехай дві прямі l і m на площині в декартовій системі координат задані загальними рівняннями: l: A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, m: A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0

Вектори нормалей до даних прямим: \u003d (A 1, B 1) - до прямої l,

\u003d (A 2, B 2) - до прямої m.

Нехай j - кут між прямими l і m.

Так як кути із взаємно перпендикулярними сторонами або рівні, або в сумі складають p, то , Тобто cos j \u003d.

Отже, ми довели наступну теорему.

Теорема. Нехай j - кут між двома прямими на площині, і нехай ці прямі задані в декартовій системі координат загальними рівняннями A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0. Тоді cos j \u003d .

Вправи.

1) Виведіть формулу для обчислення кута між прямими, якщо:

(1) обидві прямі задані параметрично; (2) обидві прямі задані канонічними рівняннями; (3) одна пряма задана параметрично, інша пряма - загальним рівнянням; (4) обидві прямі задані рівнянням з кутовим коефіцієнтом.

2) Нехай j - кут між двома прямими на площині, і нехай ці прямі задані декартовій системі координат рівняннями y \u003d k 1 x + b 1 і y \u003d k 2 x + b 2.

Тоді tg j \u003d.

3) Досліджуйте взаємне розташування двох прямих, заданих загальними рівняннями в декартовій системі координат, і заповніть таблицю:

Відстань від точки до прямої на площині.

Нехай на площині в декартовій системі координат пряма l задана загальним рівнянням Ax + By + C \u003d 0. Знайдемо відстань від точки M (x 0, y 0) до прямої l.

Відстань від точки M до прямої l - це довжина перпендикуляра HM (H Î l, HM ^ l).

Вектор і вектор нормалі до прямої l колінеарні, так що | | \u003d | | | | і | | \u003d.

Нехай координати точки H (x, y).

Так як точка H належить прямій l, то Ax + By + C \u003d 0 (*).

Координати векторів і: \u003d (x 0 - x, y 0 - y), \u003d (A, B).

| | = = =

(C \u003d -Ax - By, см. (*))

Теорема. Нехай пряма l задана в декартовій системі координат загальним рівнянням Ax + By + C \u003d 0. Тоді відстань від точки M (x 0, y 0) до даної прямої обчислюється за формулою: r (M; l) \u003d .

Вправи.

1) Виведіть формулу для обчислення відстані від точки до прямої, якщо: (1) пряма задана параметрично; (2) пряма задана канонічним рівнянням; (3) пряма задана рівнянням з кутовим коефіцієнтом.

2) Напишіть рівняння кола, що стосується прямої 3x - y \u003d 0, з центром в точці Q (-2,4).

3) Напишіть рівняння прямих, що поділяють кути, утворені перетином прямих 2x + y - 1 \u003d 0 і x + y + 1 \u003d 0, навпіл.

§ 27. Аналітичне завдання площині в просторі

визначення. Вектором нормалі до площини будемо називати ненульовий вектор, будь-який представник якого перпендикулярний цій площині.

Зауваження. Ясно, що якщо хоча б один представник вектора перпендикулярний площині, то і всі інші представники вектора перпендикулярні цій площині.

Нехай в просторі задана декартова система координат.

Нехай дана площину a, \u003d (A, B, C) - вектор нормалі до цієї площини, точка M (x 0, y 0, z 0) належить площині a.

Для будь-якої точки N (x, y, z) площині a вектори і ортогональні, тобто їх скалярний добуток дорівнює нулю: \u003d 0. Запишемо останню рівність в координатах: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0.

Нехай -Ax 0 - By 0 - Cz 0 \u003d D, тоді Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Візьмемо точку К (x, y) таку, що Ax + By + Cz + D \u003d 0. Так як D \u003d -Ax 0 - By 0 - Cz 0, то A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0. Так як координати спрямованого відрізка \u003d (x - x 0, y - y 0, z - z 0), то остання рівність означає, що ^, і, отже, K Î a.

Отже, ми довели наступну теорему:

Теорема. Будь-яку площину в просторі в декартовій системі координат можна задати рівнянням виду Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0), де (A, B, C) - координати вектора нормалі до цієї площини.

Вірно і зворотне.

Теорема. Будь-яке рівняння виду Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в декартовій системі координат задає деяку площину, при цьому (A, B, C) - координати вектора нормалі до цієї площини.

Доведення.

Візьмемо точку M (x 0, y 0, z 0) таку, що Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D \u003d 0 і вектор \u003d (A, B, C) (≠ q).

Через точку M перпендикулярно вектору проходить площину (і при тому тільки одна). За попередньою теоремою ця площину задається рівнянням Ax + By + Cz + D \u003d 0.

Визначення. Рівняння виду Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) називається загальним рівнянням площини.

Приклад.

Напишемо рівняння площини, що проходить через точки M (0,2,4), N (1, -1,0) і K (-1,0,5).

1. Знайдемо координати вектора нормалі до площини (MNK). Так як векторний добуток 'ортогонально НЕ колінеарні векторах і, то вектор коллінеарен'.

= (1, -3, -4), = (-1, -2, 1);

´ = ,

'\u003d (-11, 3, -5).

Отже, в якості вектора нормалі візьмемо вектор \u003d (-11, 3, -5).

2. Скористаємося тепер результатами першої теореми:

рівняння даної площини A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003d 0, де (A, B, C) - координати вектора нормалі, (x 0, y 0, z 0) - координати точки лежить в площині (наприклад, точки M).

11 (x - 0) + 3 (y - 2) - 5 (z - 4) \u003d 0

11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0

Відповідь: -11x + 3y - 5z + 14 \u003d 0.

Вправи.

1) Напишіть рівняння площині, якщо

(1) площина проходить через точку M (-2,3,0) паралельно площині 3x + y + z \u003d 0;

(2) площину містить вісь (Ox) та перпендикулярна площині x + 2y - 5z + 7 \u003d 0.

2) Напишіть рівняння площини, що проходить через три дані точки.

§ 28. Аналітичне завдання полупространства *

зауваження *. Нехай фіксована деяка площину. під півпросторомми будемо розуміти безліч точок, що лежать по одну сторону від даної площини, тобто дві точки лежать в одному півпросторі, якщо відрізок, їх з'єднує, не перетинає дану площину. Дана площину називається кордоном цього півпростору. Об'єднання цій площині і півпростору будемо називати замкнутим півпростором.

Нехай в просторі фіксована декартова система координат.

Теорема. Нехай площину a задана загальним рівнянням Ax + By + Cz + D \u003d 0. Тоді одне з двох напівпросторів, на які площина a ділить простір, задається нерівністю Ax + By + Cz + D\u003e 0, а друге полупространство задається нерівністю Ax + By + Cz + D< 0.

Доведення.

Відкладемо вектор нормалі \u003d (A, B, С) до площини a від точки M (x 0, y 0, z 0), що лежить на даній площині: \u003d, M Î a, MN ^ a. Площина ділити простір на два півпростору: b 1 і b 2. Ясно, що точка N належить одному з цих напівпросторів. Без обмеження спільності будемо вважати, що N Î b 1.

Доведемо, що полупространство b 1 задається нерівністю Ax + By + Cz + D\u003e 0.

1) Візьмемо точку K (x, y, z) в півпросторі b 1. Кут Ð NMK - кут між векторами і - гострий, тому скалярний добуток цих векторів позитивно:\u003e 0. Запишемо це нерівність в координатах: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) \u003e 0, тобто Ax + By + Cy - Ax 0 - By 0 - C z 0\u003e 0.

Так як M Î b 1, то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0, тому -Ax 0 - By 0 - C z 0 \u003d D. Отже, остання нерівність можна записати так: Ax + By + Cz + D\u003e 0.

2) Візьмемо точку L (x, y) таку, що Ax + By + Cz + D\u003e 0.

Перепишемо нерівність, замінивши D на (-Ax 0 - By 0 - C z 0) (так як M Î b 1, то Ax 0 + By 0 + C z 0 + D \u003d 0): A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0)\u003e 0.

Вектор з координатами (x - x 0, y - y 0, z - z 0) - це вектор, тому вираз A (x - x 0) + B (y - y 0) + C (z - z 0) можна розуміти , як скалярний добуток векторів і. Так як скалярний добуток векторів і позитивно, то кут між ними гострий і точка L Î b 1.

Аналогічно можна довести, що полупространство b 2 задається нерівністю Ax + By + Cz + D< 0.

Зауваження.

1) Ясно, що доказ, наведене вище, не залежить від вибору точки M в площині a.

2) Ясно, що один і той же полупространство можна задати різними нерівностями.

Вірно і зворотне.

Теорема. Будь-яке лінійне нерівність виду Ax + By + Cz + D\u003e 0 (або Ax + By + Cz + D< 0) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) задает в пространстве в декартовой системе координат полупространство с границей Ax + By + Cz + D = 0.

Доведення.

Рівняння Ax + By + Cz + D \u003d 0 (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) в просторі задає деяку площину a (див. § ...). Як було доведено в попередній теоремі одне з двох напівпросторів, на які площина ділить простір задається нерівністю Ax Ax + By + Cz + D\u003e 0.

Зауваження.

1) Ясно, що замкнутий півпростір можна задати нестрогим лінійним нерівністю, і будь-який Нечитка лінійне нерівність в декартовій системі координат задає замкнутий півпростір.

2) Будь-опуклий багатогранник можна задати як перетин замкнутих напівпросторів (межі яких - це площини, що містять межі багатогранника), тобто аналітично - системою лінійних нестрогих нерівностей.

Вправи.

1) Доведіть дві представлені теореми для довільної афінної системи координат.

2) Чи вірно зворотне, що будь-яка система нестрогих лінійних нерівностей задає кутника можна?

Вправа.

1) Досліджуйте взаємне розташування двох площин, заданих загальними рівняннями в декартовій системі координат, і заповніть таблицю.

визначення

Геометрична фігура, що складається з усіх точок площини, ув'язненими між двома променями, що виходять з однієї точки, називається плоским кутом.

визначення

Кутом між двомапересічними прямими називається величина найменшого плоского кута при перетині даних прямих. Якщо дві прямі паралельні, то кут між ними приймається рівним нулю.

Величина кута між двома пересічними прямими (якщо вимірювати плоскі кути в радіанах) може приймати значення від нуля до $ \\ dfrac (\\ pi) (2) $.

визначення

Кутом між двома перехресними прямими називається величина, що дорівнює куту між двома пересічними прямими, паралельними схрещуються. Кут між прямими $ a $ і $ b $ позначається $ \\ angle (a, b) $.

Коректність введеного визначення випливає з наступної теореми.

Теорема про плоских кутах з паралельними сторонами

Величини двох опуклих плоских кутів з відповідно паралельними і однаково спрямованими сторонами рівні.

Доведення

Якщо кути розгорнуті, то вони обидва рівні $ \\ pi $. Якщо вони не розгорнуті, то відкладемо на відповідних сторонах кутів $ \\ angle AOB $ і $ \\ angle A_1O_1B_1 $ рівні відрізки $ ON \u003d O_1ON_1 $ і $ OM \u003d O_1M_1 $.

Чотирикутник $ O_1N_1NO $ є паралелограма, так як його протилежні сторони $ ON $ і $ O_1N_1 $ рівні і паралельні. Аналогічно, чотирикутник $ O_1M_1MO $ є паралелограма. Звідси $ NN_1 \u003d OO_1 \u003d MM_1 $ і $ NN_1 \\ parallel OO_1 \\ parallel MM_1 $, отже, $ NN_1 \u003d MM_1 $ і $ NN_1 \\ parallel MM_1 $ по транзитивності. Чотирикутник $ N_1M_1MN $ - паралелограм, так як його протилежні сторони рівні і паралельні. Значить, і відрізки $ NM $ і $ N_1M_1 $ рівні. Трикутники $ ONM $ і $ O_1N_1M_1 $ рівні за третьою ознакою рівності трикутників, значить, і відповідні кути $ \\ angle NOM $ і $ \\ angle N_1O_1M_1 $ рівні.

а. Нехай дано дві прямі Ці прямі як було зазначено в розділі 1, утворюють різні позитивні і негативні кути, які при цьому можуть бути як гострими, так і тупими. Знаючи один з цих кутів ми легко знайдемо будь-якої іншої.

Між іншим, у всіх цих кутів чисельна величина тангенса одна і та ж, різниця може бути тільки в знаку

Рівняння прямих. Числа суть проекції напрямних векторів першої та другої прямої Кут між цими векторами дорівнює одному з кутів, утворених прямими лініями. Тому завдання зводиться до визначення кута між векторами, Ми отримаємо

Для простоти можна домовитися під кутом між двома прямими розуміти гострий позитивний кут (як, наприклад, на рис. 53).

Тоді тангенс цього кута буде завжди позитивним. Таким чином, якщо в правій частині формули (1) вийде знак мінус, то ми його повинні відкинути, т. Е. Зберегти тільки абсолютну величину.

Приклад. Визначити кут між прямими

За формулою (1) маємо

с. Якщо буде вказано, яка зі сторін кута є його початком і яка кінцем, то, відраховуючи завжди напрямок кута проти годинникової стрілки, ми можемо формули (1) витягти щось більше. Як неважко переконатися з рис. 53 знак виходить в правій частині формули (1), буде вказувати, який саме - гострий або тупий - кут утворює друга пряма з першої.

(Дійсно, з рис, 53 ми вбачаємо, що кут між першим і другим напрямними векторами або дорівнює шуканого кутку між прямими, або відрізняється від нього на ± 180 °.)

d. Якщо прямі паралельні, то паралельні і їх направляючі вектори, Застосовуючи умова паралельності двох векторів отримаємо!

Це є умовою необхідна і достатня для паралельності двох прямих.

Приклад. прямі

паралельні, так як

e. Якщо прямі перпендикулярні то їх направляють вектори теж перпендикулярні. Застосовуючи умова перпендикулярності двох векторів ми отримаємо умову перпендикулярності двох прямих а саме

Приклад. прямі

перпендикулярні з огляду на те, що

У зв'язку з умовами паралельності і перпендикулярності вирішимо наступні два завдання.

f. Через точку провести пряму паралельно даній прямій

Рішення проводиться так. Так як шукана пряма паралельна даної, то за її направляючий вектор можна взяти той же самий, що і у даній прямій, т. Е. Вектор з проекціями А і В. А тоді рівняння шуканої прямий напишется в формі (§ 1)

Приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (1; 3) паралельно прямій

буде наступне!

g. Через точку провести пряму перпендикулярно даної прямий

Тут за спрямовує вектор вже не годиться брати вектор з проекціями А і, а треба віяти вектор, йому перпендикулярний. Проекції цього вектора повинні бути обрані отже, згідно з умовою перпендикулярності обох векторів, т. Е. Відповідно до умови

Виконати ж ця умова можна безліччю способів, так як тут одне рівняння з двома невідомими Але найпростіше взяти йди ж Тоді рівняння шуканої прямий напишется в формі

Приклад. Рівняння прямої, що проходить через точку (-7; 2) в перпендикулярній прямій

буде наступне (по другій формулі)!

h. У тому випадком коли прямі задані рівняннями виду

переписуючи ці рівняння інакше, маємо

завдання 1

Знайти косинус кута між прямими $ \\ frac (x + 3) (5) \u003d \\ frac (y-2) (- 3) \u003d \\ frac (z-1) (4) $ і $ \\ left \\ (\\ begin (array ) (c) (x \u003d 2 \\ cdot t-3) \\\\ (y \u003d -t + 1) \\\\ (z \u003d 3 \\ cdot t + 5) \\ end (array) \\ right. $.

Нехай в просторі задані дві прямі: $ \\ frac (x-x_ (1)) (m_ (1)) \u003d \\ frac (y-y_ (1)) (n_ (1)) \u003d \\ frac (z-z_ (1 )) (p_ (1)) $ і $ \\ frac (x-x_ (2)) (m_ (2)) \u003d \\ frac (y-y_ (2)) (n_ (2)) \u003d \\ frac (z- z_ (2)) (p_ (2)) $. Виберемо в просторі довільну точку і проведемо через неї дві допоміжні прямі, паралельні даними. Кутом між даними прямими є будь-який з двох суміжних кутів, утворених допоміжними прямими. Косинус одного з кутів між прямими можна знайти за відомою формулою $ \\ cos \\ phi \u003d \\ frac (m_ (1) \\ cdot m_ (2) + n_ (1) \\ cdot n_ (2) + p_ (1) \\ cdot p_ ( 2)) (\\ sqrt (m_ (1) ^ (2) + n_ (1) ^ (2) + p_ (1) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (m_ (2) ^ (2) + n_ ( 2) ^ (2) + p_ (2) ^ (2))) $. Якщо значення $ \\ cos \\ phi\u003e 0 $, то отриманий гострий кут між прямими, якщо $ \\ cos \\ phi

Канонічні рівняння першої прямої: $ \\ frac (x + 3) (5) \u003d \\ frac (y-2) (- 3) \u003d \\ frac (z-1) (4) $.

Канонічні рівняння другий прямий можна отримати з параметричних:

\ \ \

Таким чином, канонічні рівняння даної прямої: $ \\ frac (x + 3) (2) \u003d \\ frac (y-1) (- 1) \u003d \\ frac (z-5) (3) $.

Рахуємо:

\\ [\\ Cos \\ phi \u003d \\ frac (5 \\ cdot 2 + \\ left (-3 \\ right) \\ cdot \\ left (-1 \\ right) +4 \\ cdot 3) (\\ sqrt (5 ^ (2) + \\ \\ frac (25) (\\ sqrt (50) \\ cdot \\ sqrt (14)) \\ approx 0,9449. \\]

завдання 2

Перша пряма проходить через задані точки $ A \\ left (2, -4, -1 \\ right) $ і $ B \\ left (-3,5,6 \\ right) $, друга пряма - через задані точки $ C \\ left (1, -2,8 \\ right) $ і $ D \\ left (6,7, -2 \\ right) $. Знайти відстань між цими прямими.

Нехай деяка пряма перпендикулярна до прямих $ AB $ і $ CD $ і перетинає їх в точках $ M $ і $ N $ відповідно. При таких умовах довжина відрізка $ MN $ дорівнює відстані між прямими $ AB $ і $ CD $.

Будуємо вектор $ \\ overline (AB) $:

\\ [\\ Overline (AB) \u003d \\ left (-3-2 \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (5 \\ left (-4 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (6 \\ left (-1 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (k) \u003d - 5 \\ cdot \\ bar (i) +9 \\ cdot \\ bar (j) +7 \\ cdot \\ bar (k ). \\]

Нехай відрізок, що зображає відстань між прямими, проходить через точку $ M \\ left (x_ (M), y_ (M), z_ (M) \\ right) $ на прямий $ AB $.

Будуємо вектор $ \\ overline (AM) $:

\\ [\\ Overline (AM) \u003d \\ left (x_ (M) -2 \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (y_ (M) - \\ left (-4 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (y_ (M) +4 \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (z_ (M) +1 \\ right) \\ cdot \\ bar (k). \\]

Вектори $ \\ overline (AB) $ і $ \\ overline (AM) $ збігаються, отже, вони колінеарні.

Відомо, що якщо вектори $ \\ overline (a) \u003d x_ (1) \\ cdot \\ overline (i) + y_ (1) \\ cdot \\ overline (j) + z_ (1) \\ cdot \\ overline (k) $ і $ \\ overline (b) \u003d x_ (2) \\ cdot \\ overline (i) + y_ (2) \\ cdot \\ overline (j) + z_ (2) \\ cdot \\ overline (k) $ колінеарні, то їх координати пропорційні, то є $ \\ frac (x _ ((\\ it 2))) ((\\ it x) _ ((\\ it 1))) \u003d \\ frac (y _ ((\\ it 2))) ((\\ it y) _ ( (\\ it 1))) \u003d \\ frac (z _ ((\\ it 2))) ((\\ it z) _ ((\\ it 1))) $.

$ \\ Frac (x_ (M) -2) (- 5) \u003d \\ frac (y_ (M) +4) (9) \u003d \\ frac (z_ (M) +1) (7) \u003d m $, де $ m $ - результат ділення.

Звідси отримуємо: $ x_ (M) -2 \u003d -5 \\ cdot m $; $ Y_ (M) + 4 \u003d 9 \\ cdot m $; $ Z_ (M) + 1 \u003d 7 \\ cdot m $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $ M $:

Будуємо вектор $ \\ overline (CD) $:

\\ [\\ Overline (CD) \u003d \\ left (6-1 \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (7- \\ left (-2 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ Нехай відрізок, що зображає відстань між прямими, проходить через точку $ N \\ left (x_ (N), y_ (N), z_ (N) \\ right) $ на прямий $ CD $.

Будуємо вектор $ \\ overline (CN) $:

\\ [\\ Overline (CN) \u003d \\ left (x_ (N) -1 \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (y_ (N) - \\ left (-2 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ \\ left (y_ (N) +2 \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (z_ (N) -8 \\ right) \\ cdot \\ bar (k). \\]

Вектори $ \\ overline (CD) $ і $ \\ overline (CN) $ совпадають, отже, вони колінеарні. Застосовуємо умова коллинеарности векторів:

$ \\ Frac (x_ (N) -1) (5) \u003d \\ frac (y_ (N) +2) (9) \u003d \\ frac (z_ (N) -8) (- 10) \u003d n $, де $ n $ - результат ділення.

Звідси отримуємо: $ x_ (N) -1 \u003d 5 \\ cdot n $; $ Y_ (N) + 2 \u003d 9 \\ cdot n $; $ Z_ (N) -8 \u003d -10 \\ cdot n $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $ N $:

Будуємо вектор $ \\ overline (MN) $:

\\ [\\ Overline (MN) \u003d \\ left (x_ (N) -x_ (M) \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (y_ (N) -y_ (M) \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (z_ (N) -z_ (M) \\ right) \\ cdot \\ bar (k). \\]

Підставляємо вирази для координат точок $ M $ і $ N $:

\\ [\\ Overline (MN) \u003d \\ left (1 + 5 \\ cdot n- \\ left (2-5 \\ cdot m \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\] \\ [+ \\ left (- 2 + 9 \\ cdot n- \\ left (-4 + 9 \\ cdot m \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (8-10 \\ cdot n- \\ left (-1 + 7 \\ cdot m \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (k). \\]

Виконавши дії, отримуємо:

\\ [\\ Overline (MN) \u003d \\ left (-1 + 5 \\ cdot n + 5 \\ cdot m \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (2 + 9 \\ cdot n-9 \\ cdot m \\ right ) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (9-10 \\ cdot n-7 \\ cdot m \\ right) \\ cdot \\ bar (k). \\]

Оскільки прямі $ AB $ і $ MN $ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $ \\ overline (AB) \\ cdot \\ overline (MN) \u003d 0 $:

{!LANG-02c65940f35042fa44bf5c1ab35cdfed!}

\\ [- 5 \\ cdot \\ left (-1 + 5 \\ cdot n + 5 \\ cdot m \\ right) +9 \\ cdot \\ left (2 + 9 \\ cdot n-9 \\ cdot m \\ right) +7 \\ cdot \\ Виконавши дії, отримуємо перше рівняння для визначення $ m $ і $ n $: $ 155 \\ cdot m + 14 \\ cdot n \u003d 86 $.

Оскільки прямі $ CD $ і $ MN $ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $ \\ overline (CD) \\ cdot \\ overline (MN) \u003d 0 $:

\\ \\ [- 5 + 25 \\ cdot n + 25 \\ cdot m + 18 + 81 \\ cdot n-81 \\ cdot m-90 + 100 \\ cdot n + 70 \\ cdot m \u003d 0. \\]

Виконавши дії, отримуємо друге рівняння для визначення $ m $ і $ n $: $ 14 \\ cdot m + 206 \\ cdot n \u003d 77 $.

Знаходимо $ m $ і $ n $, вирішивши систему рівнянь $ \\ left \\ (\\ begin (array) (c) (155 \\ cdot m + 14 \\ cdot n \u003d 86) \\\\ (14 \\ cdot m + 206 \\ cdot n \u003d 77) \\ end (array) \\ right. $.

Застосовуємо метод Крамера:

\\ [\\ Delta \u003d \\ left | \\ begin (array) (cc) (155) & (14) \\\\ (14) & (206) \\ end (array) \\ right | \u003d 31734; \\] \\ [\\ Delta _ (m) \u003d \\ left | \\ begin (array) (cc) (86) & (14) \\\\ (77) & (206) \\ end (array) \\ right | \u003d 16638; \\] \\ [\\ Delta _ (n) \u003d \\ left | \\ begin (array) (cc) (155) & (86) \\\\ (14) & (77) \\ end (array) \\ right | \u003d 10731; \\ Знаходимо координати точок $ M $ і $ N $:

остаточно:

Остаточно записуємо вектор $ \\ overline (MN) $:

\ \

$ \\ Overline (MN) \u003d \\ left (2,691- \\ left (-0,6215 \\ right) \\ right) \\ cdot \\ bar (i) + \\ left (1,0438-0,7187 \\ right) \\ cdot \\ bar (j) + \\ left (4,618-2,6701 \\ right) \\ cdot \\ bar (k) $ або $ \\ overline (MN) \u003d 3,3125 \\ cdot \\ bar (i) +0,3251 \\ cdot \\ bar ( j) +1,9479 \\ cdot \\ bar (k) $.

Відстань між прямими $ AB $ і $ CD $ - це довжина вектора $ \\ overline (MN) $: $ d \u003d \\ sqrt (3,3125 ^ (2) + 0,3251 ^ (2) + 1,9479 ^ ( 2)) \\ approx 3,8565 $ лин. од.

Кожному школяреві, який готується до ЄДІ з математики, буде корисно повторити тему «Знаходження кута між прямими». Як показує статистика, при здачі атестаційного випробування завдання з даного розділу стереометрії викликають труднощі у великої кількості учнів. При цьому завдання, що вимагають знайти кут між прямими, зустрічаються в ЄДІ як базового, так і профільного рівня. Це означає, що вміти їх вирішувати повинні все.

Основні моменти

У просторі існує 4 типи взаємного розташування прямих. Вони можуть збігатися, перетинатися, бути паралельними або перехресними. Кут між ними може бути гострим або прямим.

{!LANG-1b636bde35f5c62dc3cafbe820484fe1!}

{!LANG-2e1e082764ead41f36cdf938e6b835ff!}

Для знаходження кута між прямими у ЄДІ або, наприклад, в рішенні, школярі Москви та інших міст можуть використовувати кілька способів вирішення завдань з даного розділу стереометрії. Виконати завдання можна шляхом класичних побудов. Для цього варто вивчити основні аксіоми і теореми стереометрії. Школяру потрібно вміти логічно вибудовувати міркування і створювати креслення, для того щоб привести завдання до планіметричний задачі.

Також можна використовувати векторно-координатний метод, застосовуючи прості формули, правила і алгоритми. Головне в цьому випадку - правильно виконати всі обчислення. Відточити свої навички вирішення завдань на стереометрії та інших розділів шкільного курсу вам допоможе освітній проект «Школково».