- Це всеосяжний прояв структурної гармонії. Воно зустрічається у всіх сферах всесвіту в природі, науці, мистецтві у всьому, з чим може зіткнутися людина. Якось познайомившись із золотим правилом, людство більше йому не змінювало.

Напевно, вам не раз доводилося замислюватися, чому Природа здатна створювати такі дивовижні гармонійні структури, які захоплюють і радують око. Чому художники, поети, композитори, архітектори створюють чудові витвори мистецтва із століття у століття. У чому секрет і які закони лежать в основі цих гармонійних створінь? Ніхто не зможе однозначно відповісти на це запитання, але в нашій книзі ми постараємося відкрити завісу і розповісти вам про одну з таємниць світобудови – Золоте Перетину або, як його ще називають, Золоту або Божественну Пропорцію. Золоте Перетин називається числом PHI (Фі) на честь великого давньогрецького скульптора Фідія (Phidius), який використав це число у своїх скульптурах.

Не одне століття вчені застосовують унікальні математичні властивостічисла PHI та ці дослідження продовжуються і в наші дні. Це число знайшло широке застосування у всіх галузях сучасної науки, про що ми також спробуємо популярно розповісти на сторінках. Також існує ряд і послідовність фібоначчі що цеВи дізнаєтесь далі…

Визначення золотого перерізу

Найбільш просте і ємне визначення золотого перерізу - мала частина відноситься до більшої, як більша - до всього цілого. Приблизна його величина 1,6180339887. У заокругленому відсотковому значенні пропорції частин цілого співвідноситимуться як 62% на 38%. Це співвідношення діє у формах простору та часу.

Давні бачили в золотому перерізі відбиток космічного порядку, а Йоган Кеплер називав його одним із скарбів геометрії. Сучасна наука розглядає золотий перетин як асиметричну симетрію, називаючи його у широкому значенні універсальним правилом, що відображає структуру та порядок нашого світоустрою.

Числа фібоначчі в історії

Уявлення про золоті пропорції мали стародавні єгиптяни, знали про них і на Русі, але вперше науково золотий перетин пояснив чернець Лука Пачолі у книзі Божественна пропорція, ілюстрації до якої, ймовірно, зробив Леонардо да Вінчі. Пачолі вбачав у золотому перерізі божественне триєдність: малий відрізок уособлював Сина, великий Отця, а ціле Святий дух.

Безпосереднім чином із правилом золотого перерізу пов'язане ім'я італійського математика Леонардо Фібоначчі. В результаті вирішення одного із завдань вчений вийшов на послідовність чисел, відому зараз як ряд Фібоначчі: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 і т.д. Відношення сусідніх чисел ряду Фібоначчі межі прагне Золотого перерізу. На відношення цієї послідовності до золотої пропорції звернув увагу Кеплер: Влаштована вона так, що два молодші члени цієї нескінченної пропорції в сумі дають третій член, а будь-які два останні члени, якщо їх скласти, дають наступний член. Нині ряд Фібоначчі – це арифметична основа для розрахунків пропорцій золотого перерізу у всіх його проявах.

Також багато часу присвятив вивченню особливостей золотого перетину, швидше за все, саме йому належить і термін. Його малюнки стереометричного тіла, утвореного правильними п'ятикутниками, доводять, що кожен із отриманих при перерізі прямокутників дає співвідношення сторін у золотому розподілі.

З часом правило правило залежно від наголосу і контексту може означати таке: Правило - вимога до виконання певних умов (на поведінку) всіма учасниками будь-якої дії (ігри,золотого перетину перетворилося на академічну рутину, і лише філософ Адольф Цейзінг у 1855 році повернув йому друге життя. Він довів до абсолюту пропорції золотого перерізу, зробивши їх універсальними всім явищ навколишнього світу. Втім, його математичне естетство викликало багато критики.

Універсальний код природи

Навіть не вдаючись у розрахунки, золотий переріз і Числа фібоначчі можна легко виявити в природі. Так, під нього потрапляють співвідношення хвоста і тіла ящірки, відстані між листям на гілці, є золотий переріз і у формі яйця, якщо умовну лінію провести через його ширшу частину.

Білоруський вчений Едуард Сороко, який вивчав форми золотих поділів у природі, зазначав, що все зростаюче і прагне зайняти своє місце у просторі, наділене пропорціями золотого перетину. На його думку, одна з найцікавіших форм – це закручування по спіралі.
Ще Архімед, приділяючи увагу спіралі, вивів на основі її форми рівняння, яке і зараз застосовується у техніці. Пізніше Гете відзначав тяжіння природи матеріальний світВсесвіту, по суті – основний об'єкт вивчення природничих наукдо спіральних форм, називаючи спіраль кривого життя. Сучасними вченими було встановлено, що такі прояви спіральних форм у природі як раковина равлика, розташування насіння соняшника, візерунки павутиння, рух урагану, будова ДНК і навіть структура галактик містять у собі ряд Фібоначчі.

Формула золотого перерізу

Модельєри та дизайнери одягу всі розрахунки роблять, виходячи із пропорцій золотого перетину. Людина це універсальна форма може означати: Форма предмета - взаємне розташуваннямеж (контурів) предмета, об'єкта, а також взаємне розташування точок лініїдля перевірки законів золотого перетину Звичайно, від природи далеко не у всіх людей пропорції ідеальні, що створює певні складнощі з підбором одягу.

У щоденнику Леонардо да Вінчі є малюнок вписаної в коло оголеної людини, яка перебуває у двох накладених одна на одну позиціях. Спираючись на дослідження римського архітектора Вітрувія, Леонардо так само намагався встановити пропорції людського тіла. Пізніше французький архітектор Ле Корбюзьє, використовуючи Вітрувіанську людину Леонардо, створив власну шкалу гармонійних пропорцій, що вплинула на естетику архітектури XX століття.

Адольф Цейзинг, досліджуючи пропорційність людини, зробив колосальну роботу. Він виміряв близько двох тисяч людських тіл, а також безліч античних статуй і вивів, що золотий перетин виражає середньостатистичний закон. У людині живе розумне соціальне, суб'єкт суспільно-історичної діяльності та культурийому підпорядковані майже всі частини тіла, але головний показник золотого щось, виготовлене із золотаперерізу цей поділ тіла В математиці: Тіло (алгебра) - безліч з двома операціями (складання та множення), що має певні властивостіточкою пупу.
В результаті вимірів дослідник встановив, що пропорції чоловічого тіла 13:8 ближчі до золотого перерізу багатозначний термін, що означає: Перетин у кресленні - на відміну від розрізу, зображення лише фігури, утвореної розтином тіла площиною (площинами) без зображення частин за цієюніж пропорції жіночого тіла 8:5.

Мистецтво просторових форм

Художник Василь Суріков говорив, що в композиції є незаперечний закон, коли в картині не можна нічого прибрати, ні додати, навіть зайву точку поставити не можна, це справжня математика. Довгий час митці дотримувалися цього закону інтуїтивно, але після Леонардо ді сір П'єро да Вінчі (італтак Вінчі процес створення мальовничого полотна не обходиться без вирішення геометричних завдань. Наприклад, Альбрехт Дюрер для визначення точок може означати: Точка - абстрактний об'єкт у просторі, що не має жодних вимірюваних характеристик, крім координатзолотого перерізу використовував винайдений ним пропорційний циркуль.

Мистецтвознавець Ф. В. Ковальов, докладно дослідивши картину Миколи Ге Олександра Сергійовича Пушкін у селі Михайлівському, зазначає, що кожна деталь полотна, чи то камін, етажерка, крісло чи сам поет, суворо вписані в золоті пропорції.

Дослідники золотого перерізу невтомно вивчають і заміряють шедеври архітектури, стверджуючи, що вони стали такими, тому що створені за золотими канонами: у їхньому списку Великі піраміди Гізи, Собор Паризької Богоматері, Храм Василя Блаженного, Парфенон.
І сьогодні у будь-якому мистецтві просторових форм намагаються дотримуватися пропорцій золотого перерізу, оскільки вони, на думку мистецтвознавців, полегшують сприйняття твору та формують у глядача естетичне відчуття.

Слово, звук та кінострічка

Форми тимчасового мистецтва по-своєму демонструють нам принцип золотого поділу. Літературознавці, наприклад, звернули увагу, що найпопулярніша кількість рядків у віршах пізнього періодутворчості Пушкіна відповідає ряду Фібоначчі 5, 8, 13, 21, 34

Діє правило золотого перерізу й у окремо взятих творах російського класика. Так кульмінаційним моментом Пікової дамиє драматична сценаГермана та графині, що закінчується смертю останньої. У повісті 853 рядки, а кульмінація припадає на 535 рядку (853:535=1,6) і є точка золотого перерізу.

Радянський музикознавець Еге. К. Розенов зазначає разючу точність співвідношень золотого перетину у суворих і вільних формах творів Йоганна Себастьяна Баха, що відповідає вдумливому, зосередженому, технічно вивіреному стилю майстра. Це справедливо і щодо видатних творів інших композиторів, де на точку золотого перерізу зазвичай припадає найяскравіший чи несподіване музичне рішення.
Кінорежисер Сергій Ейзенштейн сценарій свого фільму Броненосець Потьомкін свідомо узгоджував із правилом золотого перетину, розділивши стрічку на п'ять частин. У перших трьох розділах дія розгортається кораблем, а останніх двох в Одесі. Перехід на сцени у місті і є золота середина фільму.

Гармонія Золотого перерізу

Науково-технічний прогрес має тривалу історію та пройшов у своєму історичному розвиткукілька етапів (вавилонська та давньоєгипетська культура, культура Стародавнього Китаюта Стародавньої Індії, давньогрецька культура, епоха Середньовіччя, епоха Відродження, промислова революція 18 ст. наукові відкриття 19 ст., науково-технічна революція (20 ст.) і увійшов у 21-е століття, яке відкриває нову епохуісторія людства – епоху Гармонії. Саме в античний періодбуло зроблено ряд видатних математичних відкриттів, що вплинули на розвиток матеріальної та духовної культури, серед яких Вавилонська 60-річна система числення і позиційний принцип представлення чисел, тригонометрія та геометрія Евкліда, незрівнянні відрізки, Золоте Перетин і Платонові тіла, початки теорії чисел та теорії вимірювання. І хоча кожен з цих етапів має свою специфіку, водночас він обов'язково включає зміст попередніх етапів. У цьому полягає наступність у розвитку науки. Наступність може здійснюватися в різних формах. Однією із сутнісних форм її вираження є фундаментальні наукові ідеї, які пронизують усі етапи науково-технічного прогресу та впливають на різні галузі науки, мистецтва, філософії та техніки.

До таких фундаментальних ідей належить ідея Гармонії, пов'язана із Золотим Перетином. За словами Б.Г. Кузнєцова, дослідника творчості Альберта Ейнштейна, великий фізиксвято вірив у те, що наука, фізика зокрема, завжди мала своєю одвічною фундаментальною метою "Знайти в лабіринті фактів, що спостерігаються, об'єктивну гармонію".Про глибоку віру видатного фізика в існування універсальних законів гармонії світобудови свідчить ще одне широко відомий вислівЕйнштейна: «Релігійність вченого полягає у захопленому поклонінні законам гармонії».

У давньогрецькій філософії Гармонія протистояла Хаосу і означала організованість Всесвіту, Космосу. Геніальний російський філософ Олексій Лосєв так оцінює основні досягнення давніх греків у цій галузі:

“З погляду Платона, та й взагалі з погляду всієї античної космології світ є деяке пропорційне ціле, що підкоряється закону гармонійного поділу – Золотого Перетину… Їх (давніх греків) систему космічних пропорцій нерідко у літературі зображують як курйозний результат нестримної і дикої фантазії. У таких поясненнях прозирає антинаукова безпорадність тих, хто це заявляє. Однак зрозуміти цей історико-естетичний феномен можна лише у зв'язку з цілісним розумінням історії, тобто, використовуючи діалектико-матеріалістичне уявлення про культуру та шукаючи відповіді в особливостях античного суспільного буття».

«Закон золотого поділу має бути діалектичною необхідністю. Це та думка, яку, наскільки мені відомо, я проводжу вперше», – переконано висловлювався Лосєв понад півстоліття тому у зв'язку з аналізом культурної спадщинистародавніх греків.

А ось ще один вислів щодо Золотого Перетину. Воно було зроблено у 17 столітті і належить геніальному астроному Йоганну Кеплеру, автору трьох знаменитих «Законів Кеплера». Своє замилування Золотим Перетином Кеплер висловив у таких словах:

«У геометрії існує два скарби – і розподіл відрізка у крайньому та середньому відношенні. Перше можна порівняти з цінністю золота, друге можна назвати дорогоцінним каменем».

Нагадаємо, що старовинне завдання про поділ відрізка в крайньому та середньому відношенні, яке згадується у цьому висловлюванні, – це і є Золоте Перетин!

Числа Фібоначчі у науці

У сучасній науцііснує багато наукових груп, що професійно вивчають Золоте Перетин, числа Фібоначчі та їх численні додатки в математиці, фізиці, філософії, ботаніці, біології, медицині, комп'ютерній науці. Багато художників, поетів, музикантів використовують у своїй творчості «Принцип Золотого Перетину». У сучасній науці зроблено низку видатних відкриттів, заснованих на числах Фібоначчі та Золотому Перетині. Відкриття "квазі-кристалів", зроблене в 1982 р. ізраїльським ученим Даном Шехтманом, засноване на Золотому перетині та "пентагональної" симетрії, має революційне значення для сучасної фізики. Прорив у сучасних уявленняхпро природу формоутворення біологічних об'єктів на початку 90-х років зроблено українським ученим Олегом Боднаром, який створив нову геометричну теорію філлотаксису. Білоруський філософ Едуард Сороко сформулював «Закон структурної гармонії систем», заснований на Золотому перетині і важливу роль у процесах самоорганізації. Завдяки дослідженням американських учених Елліотта, Пректера та Фішера числа Фібоначчі активно увійшли до сфери бізнесу та стали основою з оптимальних стратегій у сфері бізнесу та торгівлі. Ці відкриття підтверджують гіпотезу американського вченого Д. Вінтера, керівника групи "Планетарні серцебиття", згідно з якою не тільки енергетичний каркас Землі, але й будова всього живого засновані на властивостях додекаедра та ікосаедра - двох "Платонових тіл", пов'язаних із Золотим Перетином. І нарешті, найголовніше – структура ДНК генетичного кодужиття, являє собою чотиривимірну розгортку (по осі часу) додекаедра, що обертається! Таким чином, виявляється, що весь Всесвіт - від Метагалактики і до живої клітини - побудований за одним принципом - додекаедра і ікосаедра, що нескінченно вписуються один в одного, що знаходяться між собою в пропорції Золотого Перетину!

Український професор та доктор наук Стахов А.П. зміг створити якусь. Суть цього узагальнення дуже проста. Якщо задатися невід'ємним цілим числом р = 0, 1, 2, 3, … і розділити відрізок “AB” точкою З такої пропорції, щоб було:

То універсальною формулою золотого перерізу є вираз:

x p + 1 = x p + 1

Числа Фібоначчі... у природі та житті

Леонардо Фібоначчі – один із найбільших математиків Середньовіччя. В одному і своїх праць "Книга обчислень" Фібоначчі описав індо-арабську систему обчислення та переваги її використання перед римською.

Визначення
Числа Фібоначчі або Послідовність Фібоначчі – числова послідовність, що має низку властивостей. Наприклад, сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного їх (наприклад, 1+1=2; 2+3=5 тощо.), що підтверджує існування про коефіцієнтів Фібоначчі, тобто. постійних співвідношень.

Послідовність Фібоначчі починається так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

2.

Повне визначення чисел Фібоначчі

3.


Властивості послідовності Фібоначчі

4.

1. Ставлення кожного числа до наступного більш і більше прагне 0.618 зі збільшенням порядкового номера. Ставлення кожного числа до попереднього прагне до 1.618 (зворотному до 0.618). Число 0.618 називають (ФІ).

2. При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне виходить число 0.382; навпаки – відповідно 2.618.

3. Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір фібоначчієвських коефіцієнтів: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.


Зв'язок послідовності Фібоначчі та «золотого перерізу»

6.

Послідовність Фібоначч асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякому постійному співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто являє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дрібній частині. Його неможливо висловити точно.

Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його. Але навіть витративши на це Вічність, неможливо дізнатися сотні точно, до останньої десяткової цифри. Короткості ради, ми будемо наводити його у вигляді 1.618. Особливі назви цьому співвідношенню почали давати ще до того, як Лука Пачіолі (середньовічний математик) назвав його Божественною пропорцією. Серед його сучасних назв є такі, як Золотий перетин, Золоте середнє і ставлення квадратів, що обертаються. Кеплер назвав це співвідношення одним із «скарбів геометрії». У алгебрі загальноприйнято його позначення грецькою буквою фі

Подаємо золотий переріз на прикладі відрізка.

Розглянемо відрізок з кінцями A і B. Нехай точка С поділяє відрізок AB так що,

AC/CB = CB/AB або

AB/CB = CB/AC.

Уявити це можна приблизно так: A-C-B

7.

Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.

8.

Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618…, якщо AB прийняти за одиницю, AC = 0,382.. Як ми знаємо числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі.

9.

Пропорції Фібоначчі та золотого перерізу в природі та історії

10.


Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще давнім грекам та єгиптянам. З тих пір в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математики, фізики, астрономії, біології та багатьох інших областях були знайдені закономірності, що описуються коефіцієнтами Фібоначчі. Просто дивно, скільки постійних можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі, і як її члени виявляються у величезній кількості поєднань. Однак не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіше математичне вираження природних явищ із усіх коли-небудь відкритих.

11.

Нижче наведені приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності.

12.

1. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Річ у тім, що відношення вимірів завитків раковини постійно 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.

2. Рослини та тварини. Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці насіння соняшника, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".

Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.

Ящірка живородна. У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.

І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напрямку зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання. Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.

П'єр Kюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію довкілля. Закономірності золотої симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.

3. Космос. З історії астрономії відомо, що І. Тиціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду (Фібоначчі) знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи

Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тіціуса в початку XIXв.

Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти – свідчення незалежності числового ряду умов його прояви, що одна із ознак його універсальності.

4. Піраміди. Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамідце не гробниця, а скоріше нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові винахідливість, майстерність, час і працю архітекторів піраміди, використані ними при зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Їхня епоха була дописьменною, доієрогліфічною і символи були єдиним засобомзаписи відкриттів. Ключ до геометро-математичного секрету піраміди в Гізі, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, які повідомили йому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.

Площа трикутника

356 x 440/2 = 78320

Площа квадрата

280 x 280 = 78400

Довжина ребра основи піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фути (238.7 м), висота піраміди -484.4 фути (147.6 м). Довжина ребра основи, поділена на висоту, призводить до співвідношення Ф=1.618. Висота 484.4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) – це числа із послідовності Фібоначчі. Ці цікаві спостереження підказують, що конструкція піраміди ґрунтується на пропорції Ф=1,618. Деякі сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що стародавні єгиптяни збудували її з єдиною метою – передати знання, які вони хотіли зберегти для майбутніх поколінь. Інтенсивні дослідження піраміди в Гізі показали, наскільки широкими були в ті часи пізнання в математиці та астрології. У всіх внутрішніх та зовнішніх пропорціях піраміди число 1.618 відіграє центральну роль.

Піраміди у Мексиці. Hе тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу, те ж саме явище виявлено і у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один час людьми загального походження.

Ця гармонія вражає своїми масштабами.

Привіт, друзі!

Ви щось чули про Божественну гармонію чи Золотий перетин? Чи замислювалися про те, чому нам щось здається ідеальним та красивим, а щось відштовхує?

Якщо ні, то ви вдало потрапили на цю статтю, тому що в ній ми обговоримо золотий перетин, дізнаємося, що це таке, як воно виглядає в природі та людині. Поговоримо про його принципи, дізнаємося що таке ряд Фібоначчі та багато іншого, включаючи поняття золотий прямокутник і золота спіраль.

Так, у статті багато зображень, формул, як-не-як, золотий перетин - це ще й математика. Але все описано достатньо простою мовою, наочно. А ще, наприкінці статті, ви дізнаєтесь, чому всі так люблять котиків.

Що таке золотий перетин?

Якщо по-простому, то золотий перетин – це певне правило пропорції, яке створює гармонію? Тобто якщо ми не порушуємо правила цих пропорцій, то у нас виходить дуже гармонійна композиція.

Найбільш ємне визначення золотого перерізу говорить, що менша частина відноситься до більшої, як більша до всього цілого.

Але, крім цього, золотий перетин - це математика: він має конкретну формулу і конкретне число. Багато математиків взагалі вважають його формулою божественної гармонії і називають «асиметричною симетрією».

До наших сучасників золотий перетин дійшов із часів Стародавню ГреціюОднак, існує думка, що самі греки вже підгледіли золотий перетин у єгиптян. Тому що багато витворів мистецтва Стародавнього Єгипту чітко побудовані за канонами цієї пропорції.

Вважається, що першим запровадив поняття золотого перерізу Піфагор. До наших днів дійшли праці Евкліда (він за допомогою золотого перетину будував правильні п'ятикутники, саме тому такий п'ятикутник названий «золотим»), а число золотого перетину названо на честь давньогрецького архітектора Фідія. Тобто, це у нас число «фі» (позначається грецькою буквою φ), і воно дорівнює 1.6180339887498948482… Природно, це значення округляють: φ = 1,618 або φ = 1,62, а в процентному співвідношеннізолотий переріз виглядає як 62% і 38%.

У чому ж унікальність цієї пропорції (а вона, повірте, є)? Давайте спочатку спробуємо розібратися на прикладі відрізка. Отже, беремо відрізок і ділимо його на нерівні частини таким чином, щоб його менша частина відносилася до більшої, як більша до всього. Розумію, не дуже поки ясно, що до чого, спробую проілюструвати наочніше на прикладі відрізків:


Отже, беремо відрізок і ділимо його на два інші, таким чином, щоб менший відрізок а, ставився до більшого відрізка b, так само, як і відрізок b відноситься до цілого, тобто до всієї лінії (a + b). Математично це виглядає так:


Це правило працює нескінченно, ви можете ділити відрізки скільки завгодно довго. І бачите, як це просто. Головне один раз зрозуміти і все.

Але тепер розглянемо більше складний приклад, Що трапляється дуже часто, так як золотий переріз ще представляють у вигляді золотого прямокутника (співвідношення сторін якого дорівнює φ = 1,62). Це дуже цікавий прямокутник: якщо від нього «відрізати» квадрат, ми знову отримаємо золотий прямокутник. І так багато разів. Дивіться:


Але математика була б математикою, якби у ній був формул. Тож, друзі, зараз буде трішки «боляче». Вирішення золотої пропорції сховала під спойлер, дуже багато формул, але без них не хочу залишати статтю.

Ряд Фібоначчі та золотий перетин

Продовжуємо творити та спостерігати за магією математики та золотого перетину. У середні віки був такий товариш – Фібоначчі (або Фібоначі, скрізь по-різному пишуть). Любив математику і завдання, була в нього і цікаве завдання з розмноженням кроликів =) Але не в цьому суть. Він відкрив числову послідовність, Числа в ній так і звуться «числа Фібоначчі».

Сама послідовність виглядає так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... і далі до нескінченності.

Якщо словами, то послідовність Фібоначчі - це така послідовність чисел, де кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх.

До чого тут золотий перетин? Зараз побачите.

Спіраль Фібоначчі

Щоб побачити та відчути весь зв'язок числового ряду Фібоначчі та золотого перерізу, потрібно знову поглянути на формули.

Іншими словами, з 9-го члена Фібоначчі послідовності ми починаємо отримувати значення золотого перерізу. І якщо візуалізувати всю цю картину, ми побачимо, як послідовність Фібоначчі створює прямокутники все ближче і ближче до золотого прямокутника. Ось такий зв'язок.

Тепер поговоримо про спіраль Фібоначчі, її ще називають «золотою спіраллю».

Золота спіраль - логарифмічна спіраль, коефіцієнт зростання якої дорівнює φ4 де φ - золотий перетин.

Загалом і загалом, з погляду математики, золотий перетин - ідеальна пропорція. Але на цьому її чудеса лише починаються. Принципам золотого перерізу майже весь світ, цю пропорцію створила сама природа. Навіть езотерики, і ті, бачать у ній числову міць. Але про це точно не в цій статті говоритимемо, тому щоб нічого не пропустити, можете підписатися на оновлення сайту.

Золотий перетин у природі, людині, мистецтві

Перш ніж ми почнемо, хотілося б уточнити низку неточностей. По-перше, саме визначення золотого перерізу в даному контексті не зовсім правильне. Справа в тому, що саме поняття «перетин» - це термін геометричний, що завжди означає площину, але ніяк не послідовність чисел Фібоначчі.

І, по-друге, числовий ряд і співвідношення одного до іншого, звичайно, перетворили на трафарет, який можна накладати на все, що здається підозрілим, і дуже радіти, коли є збіги, але все ж таки, здоровий глузд втрачати не варто.

Однак «все змішалося в нашому королівстві» і одне стало синонімом іншого. Тож загалом і в цілому сенс від цього не загубився. А тепер до діла.

Ви здивуєтеся, але золотий перетин, точніше пропорції максимально наближені до нього, можна побачити практично скрізь, навіть у дзеркалі. Не вірите? Давайте з цього й почнемо.

Знаєте, коли я вчилася малювати, то нам пояснювали, як простіше будувати обличчя людини, її тіло та інше. Все треба розраховувати щодо чогось іншого.

Все, абсолютно все пропорційно: кістки, наші пальці, долоні, відстані на обличчі, відстань витягнутих рук до тіла і так далі. Але навіть це не все, внутрішня будованашого організму, навіть воно, дорівнює або майже дорівнює золотій формулі перерізу. Ось які відстані та пропорції:

    від плечей до верхівки до розміру голови = 1:1.618

    від пупка до верхівки до відрізка від плечей до верхівки = 1:1.618

    від пупка до колін і від колін до ступнів = 1:1.618

    від підборіддя до крайньої точки верхньої губи та від неї до носа = 1:1.618


Хіба це не дивно! Гармонія у чистому вигляді, як усередині, так і зовні. І саме тому, на якомусь підсвідомому рівні, деякі люди не здаються нам красивими, навіть якщо у них міцне підтягнуте тіло, оксамитова шкіра, красиве волосся, очі та інше і все інше. Але, все одно, найменше порушень пропорцій тіла, і зовнішність вже трохи «ріже очі».

Коротше кажучи, чим красивіша здається нам людина, тим ближче її пропорції до ідеальних. І це, до речі, не лише до людського тіла можна зарахувати.

Золотий переріз у природі та її явищах

Класичним прикладом золотого перерізу в природі є раковина молюска Nautilus pompilius та амоніту. Але це далеко не все, є ще багато прикладів:

    у завитках людського вуха ми можемо побачити золоту спіраль;

    її ж (або наближену до неї) у спіралях, якими закручуються галактики;

    та в молекулі ДНК;

    по ряду Фібоначчі влаштований центр соняшника, ростуть шишки, середина квітів, ананас та багато інших плодів.

Друзі, прикладів настільки багато, що я просто залишу відеоролик (він трохи нижче), щоб не перевантажувати текстом статтю. Тому що, якщо цю тему копати, то можна заглибитися в такі нетрі: ще давні греки доводили, що Всесвіт і взагалі весь простір - сплановано за принципом золотого перетину.

Ви здивуєтеся, але ці правила можна знайти навіть у звуці. Дивіться:

    Найвища точка звуку, що викликає біль та дискомфорт у наших вухах, дорівнює 130 децибелам.

    Ділимо пропорцією 130 на число золотого перерізу = 1,62 і отримуємо 80 децибел - звук людського крику.

    Продовжуємо пропорційно ділити і отримуємо, скажімо так, нормальну гучність людської мови: 80/φ = 50 децибелів.

    Ну а останній звук, який отримаємо завдяки формулі – приємний звук шепоту = 2,618.

За цим принципом можна визначити оптимально-комфортне, мінімальне та максимальне число температури, тиску, вологості. Я не перевіряла і не знаю, наскільки ця теорія вірна, але, погодьтеся, звучить вражаюче.

Абсолютно у всьому живому та не живому можна прочитати найвищу красу та гармонію.

Головне, тільки не захоплюватися цим, адже якщо ми хочемо щось побачити, то побачимо, навіть якщо цього там немає. Ось я, наприклад, звернула увагу на дизайн PS4 і побачила там золотий перетин =) Втім, ця консоль настільки класна, що не здивуюся, якщо дизайнер і справді щось там мудрував.

Золотий перетин у мистецтві

Також дуже велика і велика тема, яку варто розглянути окремо. Тут лише відзначу кілька базових моментів. Найпримітніше, що багато витворів мистецтва та архітектурні шедеври давнини (і не тільки) зроблені за принципами золотого перетину.

    Єгипетські та піраміди Майя, Нотр-Дам де Парі, грецький Парфенон і так далі.

    У музичних творахМоцарта, Шопена, Шуберта, Баха та інших.

    У живопису (там це видно): всі найвідоміші картини відомих художників зроблені з урахуванням правил золотого перетину.

    Ці принципи можна зустріти й у віршах Пушкіна, й у бюсті красуні Нефертіті.

    Навіть зараз правила золотої пропорції використовуються, наприклад, у фотографії. Ну, і звичайно, у всьому іншому мистецтві, включаючи кінематограф та дизайн.

Золоті котики Фібоначчі

Ну і, нарешті, про котиків! Ви замислювалися над тим, чому всі так люблять котейок? Адже вони заполонили Інтернет! Котики скрізь і це чудово =)

А вся річ у тому, що кішки – ідеальні! Не вірите? Зараз доведу вам це математично!

Бачите? Таємниця розкрита! Котейки ідеальні з точки зору математики, природи та Всесвіту =)

* Я жартую звичайно. Ні, кішки дійсно ідеальні) Але математично їх ніхто не вимірював, напевно.

На цьому, загалом, усі, друзі! Ми побачимось у наступних статтях. Удачі вам!

PS.Зображення взято із сайту medium.com.

Фібоначчі прожив довге, особливо свого часу, життя, яку присвятив вирішенню низки математичних завдань, сформулювавши в об'ємній праці «Книжка про рахунки» (початок 13 століття). Його завжди цікавила містика чисел — мабуть, він був не менш геніальним, ніж Архімед чи Евклід. Завдання, пов'язані з квадратними рівняннями, ставилися і частково вирішувалися і раніше, наприклад, відомим Омаром Хайямом - вченим і поетом; однак Фібоначчі сформулював завдання про розмноження кроликів, висновки з якого і не дозволили його імені загубитися у віках.

Коротко завдання полягає в наступному. У місце, обгороджене з усіх боків стіною, помістили пару кроликів, причому будь-яка пара робить на світ іншу щомісяця, починаючи з другого місяця свого існування. Розмноження кроликів у часі при цьому описуватиметься наступним рядом: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 і т.д. Цей ряд отримав назву послідовність Фібоначчі, також звана як формула чи числа Фібоначчі. З математичної точки зору послідовність виявилася просто унікальною, оскільки мала цілу низку видатних властивостей:

  • сума двох будь-яких послідовних чисел є такою кількістю послідовності

  • відношення кожного числа послідовності, починаючи з п'ятого, до попереднього, дорівнює 1.618

  • різниця між квадратом будь-якого числа і квадратом числа на дві позиції ліворуч, буде числом Фібоначчі

  • сума квадратів, що стоять поряд чисел буде числом Фібоначчі, яке стоїть через дві позиції після більшого зі зведених у квадрат чисел

Золотий перетин Фібоначчі

З цих висновків найбільш цікавий другий, оскільки в ньому використовується число 1618, відоме як «золотий перетин». Це число було відомо ще давнім грекам, які використовували його при будівництві Парфенона (до речі, за деякими даними Центробанком, що служив). Не менш цікаво й те, що число 1.618 можна виявити в природі як у мікро-, так і в макромасштабі — від витків на панцирі равлика до великих спіралей космічних галактик.

Піраміди в Гізі, створені стародавніми єгиптянами, при конструюванні також містили відразу кілька параметрів Фібоначчі. Прямокутник, одна сторона якого більша за іншу в 1.618 рази, виглядає найбільш приємно для ока — це співвідношення використовував Леонардо да Вінчі для своїх картин, а в більш життєвому плані ним інтуїтивно користувалися при створенні вікон або дверей. Навіть хвилю можна уявити у вигляді спіралі Фібоначчі.


У живій природі послідовність Фібоначчі проявляється не менш часто - її можна знайти в пазурах, зубах, соняшнику, павутинні і навіть розмноженні бактерій. За бажання послідовність виявляється практично у всьому, включаючи людське обличчя та тіло. І тим не менш багато тверджень, які знаходять золотий переріз Фібоначчі в природних та історичних явищах, явно невірні - це поширений міф, який виявляється неточним підганянням під бажаний результат. Є жартівливі малюнки, що вписують спіраль Фібоначчі у сколіоз чи зачіски відомих людей.

Числа Фібоначчі на фінансових ринках

Одним з перших, хто найбільш щільно займався додатком чисел Фібоначчі до фінансовому ринку, був Р. Елліот. Його праці не зникли даремно тому, що ринкові описи із застосуванням низки Фібоначчі часто називаються «хвилями Елліота». В основу пошуку закономірностей ринку їм було покладено модель розвитку людства із суперциклів із трьома кроками вперед та двома назад. Нижче приклад того, як можна намагатися використовувати рівні Фібоначчі:


Те, що людство розвивається нелінійно, очевидно кожному — наприклад, атомістичне вчення Демокріта було повністю втрачено остаточно Середньовіччя, тобто. забуто на 2000 років. Однак навіть якщо прийняти теорію кроків та їх кількість за істину, залишається незрозумілим розмір кожного кроку, що робить хвилі Елліота порівнянними з передбачуваною силою орла та решки. Відправна точка та правильний розрахунок числа хвиль були і мабуть будуть головною слабкістю теорії.

Проте локальні успіхи в теорії були. Боб Претчер, якого можна вважати учнем Елліота, правильно передбачив бичачий ринок початку 80-х, а 1987 - як поворотний. Це справді сталося, після чого Боб очевидно почував себе генієм — принаймні в очах інших він став інвестиційним гуру. Світовий інтерес до рівня Фібоначчі зріс.

Підписка на Elliott Wave Theorist Пречтера того року зросла до 20 000, проте зменшилася на початку 1990-х років, оскільки передбачувані далі «загибель і морок» американського ринку вирішили трохи почекати. Однак для японського ринку це спрацювало, і низка прихильників теорії, які «спізнилися» там на одну хвилю, втратили свої капітали або капітали клієнтів своїх компаній.


Хвилі Елліота охоплюють різні періоди торгівлі — від тижневої, що ріднить її зі стандартними стратегіями теханалізу, до десятиліття, тобто. влазить на територію фундаментальних пророцтв. Це можливо завдяки варіюванню числа хвиль. Слабкості теорії, про які сказано вище, дозволяють її адептам говорити не про неспроможність хвиль, а про власні прорахунки серед них і неправильне визначення вихідного положення.

Це схоже на лабіринт - навіть якщо у вас є вірна карта, то вийти по ній можна лише за умови, що розумієш, де саме перебуваєш. Інакше користі від картки немає. У випадку ж з хвилями Елліота є всі ознаки сумніватися не тільки у правильності свого розташування, а й у вірності карти як такої.

Висновки

Хвильовий розвиток людства має реальну основу — у середні віки хвилі інфляції та дефляції чергувалися між собою, коли війни змінювали відносно спокійне мирне життя. Спостереження послідовності Фібоначчі у природі принаймні окремих випадках сумніви теж викликає. Тому кожен на запитання, хто є Бог: математик чи генератор випадкових чисел – має право давати власну відповідь. Особисто моя думка: хоча всю людську історіюі ринки можна у хвильової концепції, висоту і тривалість кожної хвилі не дано передбачити нікому.

Числа Фібоначчі – елементи числової послідовності.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Назва на ім'я середньовічного математика Леонардо Пізанського (або Фібоначчі), який жив і працював торговцем та математиком в італійському місті Пізі. Він один із найславетніших європейських вчених свого часу. Серед його найбільших досягнень - запровадження арабських цифр, які замінили римські. Fn = Fn-1 + Fn-2

Математичний ряд асимптотично (тобто наближаючись все повільніше і повільніше) прагне постійного відношенню. Однак це ставлення ірраціональне; воно має нескінченну, непередбачувану послідовність десяткових значень, що вишиковуються після нього. Воно ніколи не може бути точно виражене. Якщо кожне число, що є частиною ряду, поділити на попереднє значення (наприклад, 13-^8 або 21 -ІЗ), результат дії висловиться відносно коливається навколо ірраціонального числа 1,61803398875, трохи більше або трохи менше сусідніх відносин ряду. Ставлення ніколи, до нескінченності, не буде точним до останньої цифри (навіть за використання найпотужніших комп'ютерів, створених у наш час). Заради стислості, будемо використовувати як відношення Фібоначчі число 1,618 і просимо читачів не забувати про цю похибку.

Числа Фібоначчі мають важливе значеннята під час виконання аналізу Алгоритм Евкліда для визначення найбільшого спільного дільника двох чисел. Числа Фібоначчі відбуваються у формулі про діагоналі трикутником Паскаля (біноміальних коефіцієнтів).

Числа Фібоначчі виявилися пов'язаними із «золотим перетином».

Про золотий перетин знали ще в стародавньому Єгиптіта Вавилоні, в Індії та Китаї. Що ж таке «золотий перетин»? Відповідь невідома досі. Числа Фібоначчі дійсно є актуальними для теорії практики в наш час. Підйом значущості стався у 20 столітті і продовжується досі. Використання чисел Фібоначчі економіки та інформатики і залучило маси людей до вивчення.

Методика мого дослідження полягала у вивченні спеціалізованої літератури та узагальненні отриманої інформації, а також проведенні власних досліджень та виявлення властивостей чисел та сфери їх використання.

В ході наукових дослідженьвизначила саме поняття чисел Фібоначчі, їхні властивості. Також я з'ясувала цікаві закономірності у живій природі, безпосередньо у будові насіння соняшника.

На соняшнику насіння вибудовується в спіралі, причому кількості спіралей, що йдуть в інший бік, різні - вони є послідовними числами Фібоначчі.

На цьому соняшнику 34 та 55.

Те саме спостерігається і на плодах ананаса, де спіралей буває 8 та 14. З унікальною властивістючисел Фібоначчі пов'язані листя кукурудзи.

Дроби виду a/b, що відповідають гвинтоподібному розташуванню листя ніг стеблинки рослини, часто є відносинами послідовних чисел Фібоначчі. Для ліщини це відношення дорівнює 2/3, для дуба-3/5, для тополі 5/8, для верби 8/13 і т.д.

Розглядаючи розташування листя на стеблі рослин можна помітити, що між кожною парою листя (А і С) третя розташована в місці золотого перерізу(В)

Ще цікавою властивістю числа Фібоначчі є, що твір і приватне двох будь-яких різних чисел Фібоначчі, відмінних від одиниці, ніколи не є числом Фібоначчі.

В результаті дослідження я дійшла таких висновків: числа Фібоначчі - унікальна арифметична прогресія, що з'явилася в 13 столітті нашої ери. Це прогресія не втрачає своєї актуальності, що й підтвердилося під час моїх досліджень. Число Фібоначчі зустрічаються не те й у програмуванні та економічних прогнозах, у живописі, архітектурі та музиці. Картини таких відомих художників, як Леонардо да Вінчі, Мікеланджело, Рафаеля та Боттічеллі приховують у собі магію золотого перетину. Навіть І. І. Шишкін використовував золотий перетин у своїй картині «Сосновий гай».

У це складно повірити, але золотий перетин зустрічається й у музичних творах таких великих композиторів, як Моцарт, Бетховен, Шопен тощо.

Числа Фібоначчі зустрічається і в архітектурі. Наприклад, золотий перетин використовувався при будівництві Парфенону та собору Паризької Богоматері.

Я виявила, що числа Фібоначчі використовуються і в наших краях. Наприклад, наличники будинків, фронтони.