Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com


Підписи до слайдів:

Тотожності. Тотожні перетворення виразів. 7 клас.

Знайдемо значення виразів при х=5 і у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Знайдемо значення виразів при х=6 і у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33

ВИСНОВОК: Ми отримали один і той же результат. З розподільчого властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні. 3(х+у) = 3х+3у

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. при х = 1 і у = 2 вони приймають рівні значення: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значення виразів різні 2х+у=2*3+4=10 2ху=2*3*4 =24

ВИСНОВОК: Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними. Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

ТОЖНІСТЬ Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями. Визначення: Рівність, вірна за будь-яких змінних змін, називається тотожністю. Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися.

Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами. a + b = b + ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab) c = a (bc) a (b + c) = ab + ac

Можна навести й інші приклади тотожностей: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * ( -b) = ab Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і помножити результат на загальну буквену частину. Приклад 1. Наведемо такі складові 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х

Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки. Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c

Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки. Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4 b – с) = a – 4 b + c

Домашнє завдання: п. 5, №91, 97, 99 Дякуємо за урок!


За темою: методичні розробки, презентації та конспекти

Методика підготовки учнів до ЄДІ у розділі "Вирази та перетворення виразів"

Даний проект розроблено з метою підготовки учнів до державних іспитів у 9 класі та надалі до єдиного державному екзаменуУ 11 класі....

У ході вивчення алгебри ми стикалися з поняттями багаточленів (наприклад ($y-x$ ,$\ 2x^2-2x$ і тд) і алгебраїчний дріб (наприклад $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$ і тд). дії: додавання, віднімання, множення, зведення на ступінь.

І багаточлени, і алгебраїчні дроби в математиці називаються раціональними виразами алгебри. Але багаточлени є цілими раціональними виразами, а алгебраїчні дроби- дробно-раціональнимивиразами.

Можна отримати з дробово-раціонального виразу ціле вираз алгебри використовуючи тотожне перетворення, яке в даному випадку буде основною властивістю дробу - скороченням дробів. Перевіримо це практично:

Приклад 1

Виконати перетворення:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$

Рішення:Перетворити це дробно-раціональне рівняння можна шляхом використання основної властивості дроби-скорочення, тобто. поділу чисельника і знаменника на те саме число чи вираз, відмінне від $0$.

Відразу цей дріб скоротити не можна, необхідно перетворити чисельник.

Перетворимо виразні дроби, що стоїть в чисельнику, для цього скористаємося формулою квадрата різниці :$a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$

Дроб має вигляд

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)\]

Тепер бачимо, що у чисельнику і знаменнику є загальний множник --це вираз $x-2$, яку зробимо скорочення дробу

\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\left(x-2\right)(x-2))(x-2)=x-2\]

Після скорочення ми отримали, що вихідне дробово-раціональне вираз $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ стало многочленом $x-2$, тобто. цілим раціональним.

Тепер звернемо увагу, що тотожними вважатимуться висловлювання $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2\ $ не за всіх значеннях змінної, т.к. для того, щоб дробово-раціональне вираження існувало і було можливе скорочення на многочлен $x-2$ знаменник дробу не повинен дорівнювати $0$ (так само як і множник, на який ми виробляємо скорочення. даному прикладізнаменник та множник збігаються, але так буває не завжди).

Значення змінної, у яких алгебраїчна дріб буде існувати називаються допустимими значеннями змінної.

Поставимо умову на знаменник дробу: $x-2≠0$, тоді $x≠2$.

Значить вирази $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ і $x-2$ тотожні при всіх значеннях змінної, крім $2$.

Визначення 1

Тотожно рівнимивиразами називаються ті, які рівні при всіх допустимих значенняхзмінної.

Тотожнім перетворенням є будь-яка заміна вихідного виразу на тотожно рівне йому. спільному знаменнику, скорочення алгебраїчних дробів, приведення подібних доданків і т.д. Необхідно враховувати, що ряд перетворень, такі як скорочення, приведення подібних доданків можуть змінити допустимі значення змінної.

Прийоми, що використовуються для доказів тотожностей

    Привести ліву частину тотожності до правої чи навпаки з використанням тотожних перетворень

    Привести обидві частини до одного і того ж виразу за допомогою тотожних перетворень

    Перенести вирази, що стоять в одній частині виразу в іншу і довести, що отримана різниця дорівнює $0$

Який із наведених прийомів використовуватиме докази даного тотожності залежить від вихідного тотожності.

Приклад 2

Довести тотожність $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$

Рішення:Для доказу даного тотожності ми використовуємо перший із наведених вище прийомів, а саме перетворюватимемо ліву частину тотожності до її рівності з правою.

Розглянемо ліву частину тотожності:$\((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$- вона є різницею двох многочленів. При цьому перший многочлен є квадратом суми трьох доданків. Для зведення у квадрат суми кількох доданків використовуємо формулу:

\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]

Для цього нам необхідно виконати множення числа на багаточлен.

$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$

Тепер повернемося до вихідного багаточлена, він набуде вигляду:

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$

Звернемо увагу, що перед дужкою стоїть знак «-» означає при розкритті дужок усі знаки, які були у дужках, змінюються на протилежні.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$

Наведемо подібні доданки, тоді отримаємо, що одночлени $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ і $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ взаємно знищаться, тобто. їхня сума дорівнює $0$.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$

Отже, шляхом тотожних перетворень ми отримали тотожний вираз у лівій частині вихідної тотожності.

$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$

Зауважимо, що отриманий вираз показує, що вихідне тотожність - вірно.

Звернімо увагу, що у вихідному тотожності допустимі всі значення змінної, отже ми довели тотожність використовуючи тотожні перетворення, і це вірно за всіх допустимих значеннях змінної.

Отже, друзі, у минулому уроці ми познайомилися з Зрозуміли, що означають слова "вираз не має сенсу". А тепер настав час розібратися, що ж таке перетворення виразів.І найголовніше - навіщо воно потрібне.

Що таке перетворення виразу?

Відповідь проста, до непристойності.) Це будь-яку дію з виразом.І все. Усі ці перетворення ви робили з першого класу. Будь-яке не буквально, звичайно… Про це трохи нижче буде.

Наприклад, візьмемо якесь суперкруте числове вираз Скажемо, 3+2. Як його можна перетворити? Так, дуже просто! Хоч би взяти та порахувати:

3+2 = 5

Ось цей розрахунок дитячого садкаі буде перетворенням виразу.Можна записати те саме вираз по-іншому:

3+2 = 2+3

А тут ми взагалі нічого не рахували. Просто взяли та переписали наш вираз у іншому вигляді.Це також буде перетворенням висловлювання.Можна записати і по-іншому. Наприклад, ось так:

3+2 = 10-5

І цей запис – теж перетворення висловлювання.

Або так:

3+2 = 10:2

Теж перетворення висловлювання!

Якщо ми з вами старші, з алгеброю дружимо, то напишемо:

Хто на "ти" з алгеброю, той, навіть особливо не напружуючись і нічого не рахуючи, в умі зрозуміє, що ліворуч і праворуч стоїть звичайна п'ятірка. Напружтеся і спробуйте.)

А якщо ми зовсім уже старшенькі, то можемо записати й такі ужастики:

log 2 8+ log 2 4 = log 2 32

Або навіть такі:

5 sin 2 x+5 cos 2 x=5 tgx·ctgx

Вселяє? І таких перетворень, очевидно, можна наробити, скільки хочеш! Наскільки дозволяє фантазія? І набір знань математики.

Вловили сенс?

Будь-якедія над виразом, будь-яказапис його в іншому вигляді називається перетворенням виразу.І всі справи. Все дуже просто.

Простота, звичайно, справа завжди хороша та приємна, але за будь-яку простоту десь треба платити, так…. Є тут одне суттєве "але". Всі ці загадкові перетворення завжди підкоряються одному дуже важливому правилу. Правило це настільки важливе, що його можна назвати сміливо головним правиломвсієї математики. І порушення цього простого правила неминучепризводитиме до помилок. Вникаємо?)

Припустимо, ми перетворили наш вираз абияк, від балди, якось ось так:

3+2 = 6+1

Перетворення? Звичайно. Ми ж записали вираз у іншому вигляді! Але що тут не так?

Відповідь: все не так.) Справа все в тому, що перетворення "як потрапило івід балди"математику не цікавлять взагалі.) Чому? Тому що вся математика побудована на перетвореннях, у яких змінюється зовнішній вигляд, але суть висловлювання не змінюється.Такою є її жорстка вимога. І порушення цієї вимоги призводитиме до помилок. Три плюс два можна записати в будь-якому вигляді. У якому прикладі вимагає, в тому вигляді і запишемо. Але за своєю суттюце завжди має бути п'ять.В якому б вигляді ми ці 3+2 не записали. А от якщо, раптом, після запису виразу 3+2 в іншому вигляді, у вас замість п'яти виявиться двадцять п'ять,десь ви помилилися дорогою. Поверніться та ляп-то і усуньте.)

А тепер настав час мудрих зелених думок.)

Запам'ятовуємо:

1. Будь-яка дія над виразом, запис його в іншому вигляді, називається перетворенням виразу.

2. Перетворення,не мінливі суті вираження, називаються тотожними.

3. Вся математика побудована на тотожних перетвореннях виразів.

Саме тотожні перетворенняі дозволяють нам, крок за кроком, потихеньку-помаленьку, перетворювати складний прикладу простий, білий і пухнастий вираз, зберігаючи суть прикладу.Якщо, раптом, у ланцюжку наших перетворень ми десь помилимося, і на якомусь кроці зробимо НЕ ТОЖНЕ перетворення, то далі ми вирішуватимемо вже зовсім іншийприклад. З іншими відповідями, так… Які вже не матимуть жодного відношення до правильних.) Порушимо тотожність і накосячим ще десь - приступимо до вирішення вже третьогоприклад. І так далі, в залежності від кількості косяків, від завдання про поїзд і автомобіль можна прийти до завдання про півтора землекопа.)

Ще приклад. Для школярів, які вже щосили вивчають алгебру. Допустимо, нам треба знайти значення виразу (40+7) 2 . Як можна викрутитись, тобто. перетворити наш злий вираз? Можна просто порахувати вираз у дужках (отримаємо 47), перемножити стовпчиком саме на себе і отримати (якщо порахувати) 2209. А можна скористатися формулою

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Отримаємо: (40+7) 2 = 40 2 +2 ∙ 40 ∙ 7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Але! Є спокуса (скажімо, через незнання формули) при зведенні в квадрат записати просто:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

На жаль, на цьому простому і, здавалося б, очевидному переході, тотожність наших перетворень порушується. Зліва все як треба, 2209, а ось справа – вже інше число. 1649. Порахуйте і все стане зрозуміло. Ось вам типовий прикладНЕ тотожного перетворення. І відповідно вилізла помилки.)

Ось воно і головне правило вирішення будь-яких завдань: дотримання тотожності перетворень.

Приклад із числовими виразами 3+2 та (40+7) 2 я навів чисто для наочності.

А що ж із алгебраїчними виразами?Все теж саме! Тільки в алгебраїчних виразах тотожні перетворення задаються формулами та правилами.Скажімо, в алгебрі є формула:

a(b-c) = ab - ac

Отже, у будь-якому прикладі ми маємо повне право замість виразу a(b-c)сміливо написати альтернативний вираз ab - ac. І навпаки. Це Математика надає нам на вибір ці два вирази. А вже яке з них писати - від конкретного прикладузалежить.

Або популярне:

a 2 - b 2 = (a- b)(a+ b)

Знову ж таки, два можливі варіанти. Обидва правильні.) Це теж тотожне перетворення.Що вигідніше писати - різницю квадратів або твір дужок - приклад сам підкаже.)

Ще приклад. Одне з найголовніших і необхідних перетворень у математиці – це основна властивість дробу. Детальніше можна (буде) по посиланню почитати і подивитися (коли урок зроблю), а тут я просто нагадаю правило:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити (розділити) на одне і тежчисло, або нерівний нуль вираз, дріб не зміниться.

Ось вам приклад тотожних перетворень за цією властивістю:

Як ви, напевно, здогадалися, цей славний ланцюжок можна продовжувати нескінченно...) Наскільки вистачить творчого пориву. Будь-які там мінуси, коріння, нехай вас не бентежить. Це все одна й та самадріб. за своєї суті.Дві третини. 2/3. Просто записана у різному вигляді.:) Дуже важлива властивість. Саме воно дуже часто дозволяє перетворювати всякі монстри-приклади на білі та пухнасті.)

Звичайно ж, формул і правил, що задають тотожні перетворення, багато. Я навіть сказав би, дуже багато. Але найголовніших, без яких у математиці хоча б трійкового рівня обійтися не можна, - Цілком розумна кількість.

Ось одні з базових перетворень:

1. Робота з одночленами та багаточленами. Приведення подібних доданків (або коротко – подібних);

2. Розкриття дужок та укладання у дужки ;

3. Розкладання на множники ;

4. та розкладання квадратного тричлена.

5. Робота з дробами та дробовими виразами.

Ці п'ять базових перетворень широко використовуються у всій математиці. Від елементарної до найвищої. І, якщо ви не володієте хоча б однією з цих п'яти простих речей, то на вас неминуче чекають великі проблеми як у всій математиці середньої школи, і у старших класах, а вже у ВНЗ – тим паче. Тому саме з них і почнемо. Наступні уроки цього розділу.)

Є й крутіші перетворення. Для просунутих школярів та студентів.) Будь то:

6. , і що з ними пов'язано;

7. Виділення повного квадрата із квадратного тричлена;

8. Розподіл багаточленів куточкомабо за схемою Горнера ;

9. Розкладання раціонального дробу на суму елементарних (найпростіших) дробів. Найкорисніша фішка для студентів під час роботи

Отже, все ясно щодо тотожності перетворень та важливості її дотримання? Чудово! Тоді настав час рухатися на наступний рівень і крокувати з примітивної арифметики в більш серйозну алгебру остаточно. І з блиском в очах.)

7 клас

«Тотожності. Тотожне перетворення виразів».

Абдулкерімова Хадіжат Махмудівна,

вчитель математики

Цілі уроку

    ознайомити та первинно закріпити поняття «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожні перетворення»;

    розглянути способи доказу тотожностей, сприяти виробленню навичок доказу тотожностей;

    перевірити засвоєння учнями пройденого матеріалу, формувати вміння застосування вивченого сприйняття нового.

Тип уроку: вивчення нового матеріалу

Устаткування : дошка, підручник, робочий зошит.

П лан уроку

    Організаційний момент

    Перевірка домашнього завдання

    Актуалізація знань

    Вивчення нового матеріалу (Ознайомлення та первинне закріплення понять «тотожність», «тотожні перетворення»).

    Тренувальні вправи (Формування понять «тотожність», «тотожні перетворення»).

    Рефлексія уроку (Узагальнити теоретичні відомості, одержані на уроці).

    Повідомлення домашнього завдання (Пояснити зміст домашнього завдання)

Хід уроку

I. Організаційний момент.

II . Перевірка домашнього завдання.

III . Актуалізація знань.

    Наведіть приклад числового виразута вирази зі змінними

    Порівняйте значення виразів х+3 та 3х при х=-4; 1,5; 5

    На яку кількість не можна ділити? (0)

    Результат множення? (Твір)

    Найбільше двоцифрове число? (99)

    Чому дорівнює твір від -200 до 200? (0)

    Результат віднімання. (Різниця)

    Скільки грамів у кілограмі? (1000)

    Переміщувальна властивість додавання. (Від перестановки місць доданків сума не змінюється)

    Переміщувальна властивість множення. (Від перестановки місць множників твір не змінюється)

    Сполучна властивість додавання. (Щоб до суми двох чисел додати якесь число, можна до першого числа додати суму другого і третього)

    Сполучна властивість множення. (щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на твір другого та третього)

    Розподільча властивість. (Щоб число помножити на суму двох чисел, можна помножити це число на кожне доданок та скласти отримані результати)

IV. Пояснення нової теми:

Знайдемо значення виразів при х=5 та у=4

3(х+у)=3(5+4)=3*9=27

3х+3у=3*5+3*4=27

Ми отримали той самий результат. З розподільчої властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні.

Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. При х=1 і у=2 вони набувають рівні значення:

2х+у=2*1+2=4

2ху = 2 * 1 * 2 = 4

Однак можна вказати такі значення х і у, за яких значення цих виразів не рівні. Наприклад, якщо х = 3, у = 4, то

2х+у=2*3+4=10

2ху = 2 * 3 * 4 = 24

Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.

Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними.

Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями.

Визначення: Рівність, вірна за будь-яких змінних змін, називається тотожністю.

Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися. Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можна навести й інші приклади тотожності (Учні коментують кожну властивість, промовляючи її).

а + 0 = а

а * 1 = а

а + (-а) = 0

а * (- b ) = - ab

a - b = a + (- b )

(- a ) * (- b ) = ab

Визначення: Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.

Вчитель:

Тотожні перетворення виразів зі змінними виконуються з урахуванням властивостей дій над числами.

Тотожні перетворення виразів широко застосовуються при обчисленні значень виразів та вирішенні інших завдань. Деякі тотожні перетворення вам доводилося виконувати, наприклад приведення подібних доданків, розкриття дужок. Нагадаємо правила цих перетворень:

Учні:

    Щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і помножити результат на загальну буквену частину;

    Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки;

    Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки.

Вчитель:

Приклад 1. Наведемо такі доданки

5х +2х-3х = х (5 +2-3) = 4х

Яким правилом ми користувалися?

Учень:

Ми скористалися правилом приведення подібних доданків. Це перетворення ґрунтується на розподільчій властивості множення.

Вчитель:

Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b-3 c) = 2 a + b – 3 c

Застосували правило розкриття дужок, перед якими стоїть знак плюс.

Учень:

Проведене перетворення ґрунтується на комбінаційній властивості додавання.

Вчитель:

Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4b- с) =a – 4 b + c

Скористалися правилом розкриття дужок, перед якими стоїть знак мінус.

На якій властивості засноване це перетворення?

Учень:

Виконане перетворення засноване на розподільчій властивості множення та сполучній властивості додавання.

V . Виконання вправ.

№85 Усно

№86 Усно

№88 Усно

№93

№94

№90ав

№96

№97

VI . Рефліксія уроку .

Вчитель ставить запитання, а учні відповідають ними за бажанням.

    Які два вирази називаються тотожно рівними? Наведіть приклади.

    Яка рівність називається тотожністю? Навести приклад.

    Які тотожні перетворення вам відомі?

VII . Домашнє завдання . п.5, № 95, 98,100 (а, в)

Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».

Тобто, якщо ти підставиш замість літер якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дієюбуде множення - отже, у нас твір (вираз розкладено на множники).

Якщо останньою дією буде додавання або віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (а отже, скорочувати не можна).

Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:

Приклади:

Рішення:

1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «зменшити» одиниці типу такого:

Першим дією має бути розкладання на множники:

4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.

Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.

Давай згадаємо:

Відповіді:

1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:

2. Тут загальний знаменник дорівнює:

3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:

Зовсім інша річ, якщо дроби містять літери, наприклад:

Почнемо з простого:

a) Знаменники не містять літер

Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:

тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:

Спробуй сам:

Відповіді:

b) Знаменники містять літери

Давай згадаємо принцип знаходження спільного знаменника без літер:

· Насамперед ми визначаємо загальні множники;

· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· І домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Щоб визначити спільні множники знаменників, спершу розкладемо їх на прості множники:

Підкреслимо спільні множники:

Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:

Це і є спільний знаменник.

Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:

· Розкладаємо знаменники на множники;

· Визначаємо загальні (однакові) множники;

· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;

· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.

Отже, по порядку:

1) розкладаємо знаменники на множники:

2) визначаємо загальні (однакові) множники:

3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і домножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:

Отже, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:

До речі, є одна хитрість:

Наприклад: .

Бачимо в знаменниках одні й самі множники, лише з різними показниками. До спільного знаменника підуть:

у ступені

у ступені

у ступені

у ступені.

Ускладнимо завдання:

Як зробити у дробів однаковий знаменник?

Давай пригадаємо основну властивість дробу:

Ніде не сказано, що з чисельника і знаменника дробу можна віднімати (або додавати) те саме число. Тому що це не так!

Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?

Отже, чергове непорушне правило:

Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся лише операцією множення!

Але на що ж треба примножити, щоб одержати?

Ось на і домнож. А примножуй на:

Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».

Наприклад, це елементарний множник. - Теж. А ось – ні: він розкладається на множники.

Що скажеш щодо висловлювання? Воно елементарне?

Ні, оскільки його можна розкласти на множники:

(Про розкладання на множники ти вже читав у темі «Реферат»).

Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними так само.

Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у міру (пам'ятаєш, чому?).

Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто домножити:

Ще приклад:

Рішення:

Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:

Чудово! Тоді:

Ще приклад:

Рішення:

Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:

Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі.

Так і напишемо:

Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.

Тепер наводимо до спільного знаменника:

Засвоїв? Зараз перевіримо.

Завдання для самостійного вирішення:

Відповіді:

Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:

Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .

А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:

Що робити, якщо дробів три штуки?

Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількістьмножників у знаменниках було однаковим:

Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється протилежним. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.

У загальний знаменник виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить ось так:

Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?

Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:

Те що потрібно!

5. Множення та розподіл дробів.

Ну що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:

Порядок дій

Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:

Порахував?

Повинно вийти.

Отже, нагадую.

Насамперед обчислюється ступінь.

Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.

І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.

Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!

Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.

А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну, давай подумаємо: усередині дужок написано якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужкипотім все інше.

Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):

Добре, це просто.

Але ж це не те саме, що вираз з літерами?

Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо при роботі з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.

Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору або приватного.

Наприклад:

Спростимо вираз.

1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – представити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:

Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).

2) Отримуємо:

Розмноження дробів: що може бути простіше.

3) Тепер можна і скоротити:

Ну от і все. Нічого складного, правда?

Ще приклад:

Спрости вираз.

Спочатку спробуй вирішити сам, і тільки потім подивися рішення.

Рішення:

Насамперед визначимо порядок дій.

Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.

Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.

Схематично пронумерую дії:

Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:

1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.

2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш чи віднімаєш: якщо в них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.

Ось тобі завдання для самостійного вирішення:

І обіцяна на самому початку:

Відповіді:

Рішення (короткі):

Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, освоїв.

Тепер уперед до навчання!

ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Базові операції спрощення:

  • Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
  • Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
  • Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
    1) чисельник та знаменник розкласти на множники
    2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.

    ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!

  • Додавання та віднімання дробів:
    ;
  • Множення та поділ дробів:
    ;