Sageli nõuab matemaatiliste väljenduste ümberkujundamine ja lihtsustamine üleminekut juurtest kraadi ja vastupidi. see artikkel See räägib sellest, kuidas juurt ja tagasi juurida. Teooria kaalutakse praktilised näited Ja kõige levinumad vead.

Üleminek kraadidest fraktsioneerivate hindadega

Oletame, et meil on numbri kujul kujul tavaline fraci - a m n. Kuidas salvestada sellise väljenduse kujul juure?

Vastus järgib kraadi astet!

Määratlus

Positiivne number a kraadi m n on kraadi juur N-i hulgast.

Samal ajal tuleb teha seisund:

a\u003e 0; m ∈ ℤ; N ∈ ℕ.

Nulli arvu fraktsioneerimisaste on määratletud samal viisil, kuid antud juhul võetakse number M terve ja loomulik, nii et see ei toimu 0:

0 m n \u003d 0 m n \u003d 0.

Vastavalt määratlusele saab M N-i astet esindada kui juure A m n.

Näiteks: 3 2 5 \u003d 3 2 5, 1 2 3 - 3 4 \u003d 1 2 3 - 3 4.

Siiski, nagu juba mainitud, ei tohiks me unustada tingimusi: a\u003e 0; m ∈ ℤ; N ∈ ℕ.

Niisiis, väljend - 8 1 3 ei saa esindada 8 1 3, kuna salvestamine - 8 1 3 lihtsalt ei tähenda - negatiivsete numbrite aste on määratletud. Selles on juur ise 8 1 3 .

Üleminek kraadidest, mille aluse ja fraktsioneerivate indikaatorite väljendused viiakse läbi kogu piirkonnas lubatud väärtused (Edaspidi edaspidi OTZ) esialgse väljenduse alusel aste baasil.

Näiteks ekspressiooni X2 + 2 x + 1-4 1 2 võib esindada kujul ruutjuure x 2 + 2 x + 1 - 4. kraadi kraadi x 2 + x · y · z - Z3 - 7 3 läheb väljendusele x 2 + x · y · z - z 3 - 7 3 kõigi x, y, z selle ekspressiooni OTZ-st.

Kraadi juurte tagurpidi asendamine, kui kraadi väljendeid registreeritakse, mitte väljenduse asemel. Lihtsalt lülitage eelmise elemendi võrdsus ja saada:

Jällegi on üleminek positiivsetele numbritele ilmne. Näiteks 7 6 4 \u003d 7 6 4 või 2 7-53 \u003d 2 7-53.

Negatiivseks on juured mõtet. Näiteks - 4 2 6, - 2 3. Kuid nende juurte esitamiseks kraadi kujul - 4 2 6 ja - 2 1 3 ei saa.

Kas ma saan üldiselt selliseid väljendeid kraadidega muuta? Jah, kui teete mõned esialgsed transformatsioonid. Mõtle, mida.

Kasutades kraadide omadusi, saate täita ekspressiooni konversiooni - 4 2 6.

4 2 6 \u003d - 1 2 · 4 2 6 \u003d 4 2 6.

Alates 4\u003e 0-st saate kirjutada:

Kummalise kraadi juurte puhul negatiivsest numbrist saate kirjutada:

A 2 M + 1 \u003d - 2 M + 1.

Seejärel võtab väljend - 2 3 kujul:

2 3 = - 2 3 = - 2 1 3 .

Nüüd mõistame juured, milliseid väljendeid sisalduvad, asendatakse aluse nende väljenduste sisaldava kraadidega.

Tähistage kirja mõnda väljendust. Kuid me ei kiirusta m n vaadet kui m n. Selgitagem siin mõeldakse. Näiteks väljend X - 3 2 3, mis põhineb võrdsuse esimene punkt, soovib olla esindatud X - 3 2 3. Selline asendamine on võimalik ainult x-3 ≥ 0 juures ja see ei sobi ülejäänud x OTZ-le, kuna negatiivse valemi puhul ei ole m n \u003d m n mõtet.

Seega on peetava näitena kujul A M N \u003d M N konversioon transformatsioon, mis peatab OTZ poolt, ja valemi mittetäieliku kasutamise tõttu esinevad vigu sageli esinevate vigade tõttu.

Et korralikult liikuda juurest M n kraadi A m n, peate järgima mitmeid objekte:

  • Kui number m on täisarv ja kummaline ja n on loomulik ja isegi, siis valem A M N \u003d M N kehtib kogu OTZ muutujate vältel.
  • Kui m on täisarv ja kummaline ja n on loomulik ja paaritu, siis võib asendada väljendit:
    - m n kõikide muutujate väärtuste puhul, mille juures ≥ 0;
    - On - - m n kõikide muutujate väärtuste puhul, kus a< 0 ;
  • Kui m on täisarv ja isegi ja n - mis tahes loomulik arv, M n saab asendada M n.

Me vähendame kõiki neid reegleid tabelis ja anname mõned näited nende kasutamisest.

Naaseme väljendamiseks x - 3 2 3. Siin m \u003d 2 - terviku ja paarisarvja n \u003d 3 - loomulik arv. Niisiis, väljend x - 3 2 3 õigesti salvestada järgmiselt:

x - 3 2 3 \u003d x - 3 23.

Anname teise näite juured ja kraadi.

Näide. Tõlke juur kraadi

x + 5 - 3 5 \u003d x + 5 - 3 5, x\u003e - 5 - - x - 5 - 3 5, x< - 5

Me õigustame tabelis esitatud tulemusi. Kui number m on täisarv ja kummaline ja n on loomulik ja isegi kõigi OTZ-i muutujate puhul, on väärtuse A positiivne või mittegatiivne (at m\u003e 0). See on põhjus, miks m n \u003d a m n.

Teises teostuses, kui m on täisarv, positiivne ja kummaline ja n on loomulik ja paaritu, eraldatakse M N väärtused. OTZ-i muutujate jaoks, kus A on mittegatiivne, m n \u003d a m n \u003d a m n. Muutujate jaoks, kus a on negatiivne, saame M n \u003d - a m n \u003d - 1 m · a m n \u003d - a m n \u003d a m n \u003d - a m n.

Samamoodi kaalume järgmist juhtumit, kui m on täisarv ja isegi ja n on mis tahes loomulik number. Kui väärtus A on positiivne või mittenegiivne, siis selliste muutujate väärtuste jaoks OTZ A M N \u003d A M N \u003d A M N. Negatiivse A puhul saadame M n \u003d - a m n \u003d - 1 m · a m n \u003d a m n \u003d a m n.

Seega kolmandal juhul kõikide muutujate OTZ, saab kirjutada m n \u003d a m n.

Kui märkate teksti viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter

EXPELi juurte väljavõtmiseks ja numbri ehitamisel kasutatakse sisseehitatud funktsioone ja matemaatilisi operaatoreid. Mõtle näidetes.

Näited juurefunktsiooni Excelis

Sisseehitatud juurefunktsioon tagastab ruutjuure positiivse väärtuse. Menüüs "Funktsioonid" on see "matemaatilises" kategoorias.

Funktsiooni süntaks: \u003d root (number).

Ainus ja kohustuslik argument on positiivne number, mille jaoks funktsioon arvutab ruutjuure. Kui argument on negatiivne tähendus, Excel tagastab vea # numbri!.

Argumendina saate määrata konkreetse väärtuse või lingi rakule, millel on numbriline väärtus.

Mõtle näiteid.

Funktsioon tagastas numbri ruutjuure 36. argument on kindel väärtus.

ABS-funktsioon tagastab numbri -36 absoluutväärtuse. Selle kasutamine võimaldas vältida vea ruutjuure eemaldamisel negatiivsest numbrist.

Funktsioon eemaldas ruutjuure kogusest 13 ja C1-rakkude väärtustest.



Täitmise funktsioon Excelis

Süntaksi funktsioon: \u003d kraadi (väärtus; number). Mõlemad argumendid on kohustuslikud.

Väärtus - reaalne numbriväärtus. Number on indikaator selle aste, mil määratud väärtus peab olema kõrgendatud.

Mõtle näiteid.

C2-rakulis - arvu 10 restitutsioonide tulemus ruutmeetri kohta.

Funktsioon tagastati numbri 100 püstitati ¾.

Erektsiooni kraadi käitaja abil

Eristamisüksuse arvu kustutamiseks Excelis saate kasutada matemaatilist operaatorit "^". Selle tutvustamiseks vajutage Shift + 6 (inglise klaviatuuri paigutusega).

Excel tajutava teabe sisestamise valem, esimene panna märk "\u003d". Siis on olemas number, mis tuleb arvesse võtta kraadi. Ja pärast ikooni "^" - määra väärtus.

Selle matemaatilise valemi väärtuse asemel saate kasutada linke numbritega rakkudele.

See on mugav, kui teil on vaja ehitada palju väärtusi.

Valemi kopeerimine kogu veerule, sai kiiresti saadud numbrite püstitamise tulemused kolmas veerus A-tasemele.

N-Ni kraadi juurte eemaldamine

Root on Excelis ruutjuurefunktsioon. Ja kuidas eraldada 3., 4. ja teiste kraadi juur?

Meenuta üks matemaatiliste seaduste: juur n-th aste, on vaja ehitada number 1 / n.

Näiteks kuupmeetri juure väljavõtmiseks ehitame numbri 1/3.

Me kasutame valemit erinevate kraadi juurte väljavõtmiseks Excelis.

Valem tagastas kuupmeetrijuure väärtuse 21-st murdosa kraadi ehitamiseks, kasutati operaatori "^".


Ruute ja kraadide väljendite ümberkujundamine nõuab sageli üleminekuid juurtest kraadi ja tagasi. Selles artiklis analüüsime, kuidas selliseid üleminekuid viiakse läbi, mis põhineb neil ja mida vähesed sageli ilmnevad vigu. Kõik see antakse iseloomulike näidetega lahenduste üksikasjaliku analüüsiga.

Navigeerimine leht.

Üleminek kraadidest fraktsioneerivate hindadega

Võimalus üleminekuni kraadi murdosa indikaatoriga juur on dikteerinud määramise kraadi. Meenuta, kuidas see on kindlaks määratud: positiivse numbri aste fraktsioonilise indikaator m / n, kus m on täisarv ja n on loomulik arv, mida nimetatakse N-Ni kraadi juurest, mis on \u003e 0, M∈Z, N∈ N. Samamoodi määratakse kindlaks nulli murdosa , ainus erinevus, et antud juhul m on juba kogu mitte kogu, kuid loomulik, et see ei tekiks nullini.

Seega võib kraadi alati asendada juurega. Näiteks võite minna ja kraadi saab asendada juur. Kuid seda ei tohiks liigutada väljendusest root, kuna aste esialgu ei ole mõtet (negatiivsete numbrite aste ei ole määratud), hoolimata asjaolust, et juur on mõistlik.

Nagu näete, siis üleminekul numbrite kraadidest juurtele on absoluutselt midagi tarkust. Samamoodi üleminek juurtele kraadiüksustest fraktsioneerivate indikaatoritega, mille aluseks on meelevaldseid väljendeid. Pange tähele, et määratud üleminek toimub esialgse väljenduse jaoks OTZ muutujatele. Näiteks väljend Kõigil ... Comp, X selle väljenduse saab asendada juur . Ja kraadist Mine Korni. Selline asendamine toimub mistahes muutuja X, Y ja Z komplekt OTZ-st algse ekspressiooni jaoks.

Asendades kraadi juured

Tagasipööramine on võimalik, see tähendab, et juurte asendamine kraadiga fraktsionaalsete näitajatega. See põhineb ka võrdsusel, mida käesoleval juhul kasutatakse paremale vasakule, mis on kujul.

Positiivse A puhul on määratud üleminek ilmne. Näiteks saate asendada kraadi ja juurest, et liikuda kraadiga liigi fraktsioonilise näitajaga.

Ja negatiivse A-ga ei ole võrdsus mõtet, kuid juur võib mõtet mõista. Näiteks juured ja mõtet, kuid need on võimatu asendada kraadi. Nii et kas on võimalik neid üldjuhul määrata kraadidega? See on võimalik, kui saate läbi viia esialgseid transformeerimist, mis koosnevad üleminekul juurtele mitte-negatiivsete numbritega, mis hiljem asendavad kraadi fraktsionaalsete indikaatoritega. Me näitame, mida need esialgsed transformatsioonid on ja kuidas neid kulutada.

Jutuse puhul võimaldab teil selliseid muutusi täita: . Ja kuna 4 on positiivne arv, saab viimast juurt asendada kraadi järgi. Ja teisel juhul kummalise kraadi juurte määramine negatiivsest numbrist -A (samal ajal A - positiivne), väljendatuna võrdsuse järgi , võimaldab root asendada väljend, milles kahe kuupmeetri juure on juba asendatud kraadiga ja see võtab vormi.

Jääb lahti, kuidas juured asendatakse, millistel väljendites aitavad need, mis sisaldavad neid väljendeid alusele. Siin te ei tohiks kiirustada asendamisega, kirja a me määrasime mõnda väljendust. Anda meile näide, mis selgitab, et see mõeldakse seda. Root nii ja soovite asendada kraadi põhineb võrdsuse. Kuid selline asendamine on sobiv ainult seisundi all X-3≥0 ja muutuja X järelejäänud väärtuste jaoks X-st ... Tingimuse rahuldamiseks X-3<0 ) она не подходит, так как формула не имеет смысла для отрицательных a . Если обратить внимание на ОДЗ, то несложно заметить ее сужение при переходе от выражения к выражению , а помните, что мы договорились не прибегать к преобразованиям, сужающим ОДЗ.

Sellise mitte-täpse taotluse tõttu ilmnevad valemid sageli juurtest vahetamise ajal kraadideks. Näiteks on õpikus esitatud ülesanne, et esitada väljend ratsionaalse indikaatoriga kraadi vormis ja sellele antakse vastus, mis küsib küsimusi, kuna tingimusel ei anta piiripunkti 0. Ja õpikus on üleminek väljendusest Tõenäoliselt läbi järgmiste irratsionaalse väljenduse muutuste kaudu

Väljendamiseks. Viimane üleminek tekitab ka küsimusi, kuna see on kummaline.

On loomulik küsimus: "Kuidas õigesti liikuda juurest kraadi kõikide väärtuste väärtused OTZ"? Selline asendamine toimub järgmiste väidete alusel:


Enne salvestatud tulemuste põhjendamist anname mitmeid näiteid nende kasutamise kohta, et liikuda juurtest kraadidest. Alustada väljendiga tagasi. See tuleb asendada mitte sisse, kuid (sel juhul M \u003d 2 on isegi üks, n \u003d 3 - loomulik). Veel üks näide: .

Nüüd on tulemuste lubanud põhjendusi.

Kui m on terve kummaline ja n on loomulik isegi siis, kui OTZ-i muutujate kogum on ekspressiooni väärtus positiivne (kui m<0 ) или неотрицательно (если m>0). Seetõttu.

Mine teise tulemuse juurde. Olgu m terve positiivne paaritu ja n on loomulik paaritu. OTZ-i muutujate kõigi väärtuste puhul, mille puhul ekspressiooni väärtus on mittegatiivne, ja mille jaoks nad on negatiivsed

Sarnaselt osutunud järgmine tulemus Terve negatiivse ja paaritu m ja loomulik paaritu n. OTZ-i kõigi väärtuste puhul, mille puhul ekspressiooni A väärtus on positiivne, ja mille jaoks nad on negatiivsed

Lõpuks viimane tulemus. Olgu m isegi üks, n on loomulik. OTZ-i muutujate kõigi väärtuste puhul, mille jaoks ekspressiooni A väärtus on positiivne (kui m<0 ) или неотрицательно (если m>0 ), . Ja mis on negatiivne. Seega, kui m on isegi üks, n on mis tahes loomulik, siis igasuguste varieeruvate väärtuste komplekt OTZ-st, et seda asendada võib asendada.

Bibliograafia.

  1. Algebra ja alustades analüüs: uuringud. 10-11 Cl. Üldharidus. Institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn jne; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th Ed. - M.: Valgustumine, 2004.- 384 c.: ISBN 5-09-013651-3.
  2. Algebra Ja algus matemaatiline analüüs. Hinne 11: Uuringud. Üldhariduse jaoks. Institutsioonid: põhi ja profiil. Tasemed / [Y. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; Ed. A. B. Zhizchenko. - m.: Valgustumine, 2009.- 336 c.: IL.- ISBN 979-5-09-016551-8.

On aeg lahti võtta meetodid juurte ekstraheerimiseks. Need põhinevad juurte omadustel, eelkõige võrdsuse kohta, mis kehtib mitte-negatiivse numbri B.

Allpool hakkame pöörduma pilk juurte väljavõtmiseks.

Alustame kõige lihtsama juhtumiga - juurte kaevandamisega looduslikest numbritest, kasutades ruutlaud, kuubikud tabelid jne.

Kui ruudu tabelid, kuubikud jne Ei ole kätt, on loogiline kasutada juurte ekstraheerimismeetodit, mis tähendab alakasuliku arvu lagunemist lihtsate teguritega.

Eraldi tasub peatuda, mida juured on paaritu näitajatega.

Lõpuks kaaluge meetodit, mis võimaldab teil järjestikku leida juurte tühjendusväärtusi.

Jätkame.

Square tabeli kasutamine kuubikute tabelid jne

Kõige lihtsamatel juhtudel võimaldavad juurte eemaldamine väljakud, kuubikud jne. Millised on need tabelid?

Teisarvute ruutude tabel 0 kuni 99 kaasava (allpool näidatud) koosneb kahest tsoonist. Esimene tsoon tabeli asub halli taustal, see kasutab teatud string ja konkreetne veerg võimaldab teil teha number 0-99. Näiteks valige string 8 kümne ja veerg 3 ühikut, me fikseerisime number 83. Teine tsoon asub tabeli ülejäänud osa. Iga rakk on teatud rea ja spetsiifilise veeru ristumiskohas ja sisaldab vastava arvu ruutt alates 0 kuni 99-ni. Valitud rea ristumiskohas 8 tosin ja veerg 3 ühikut on lahtrisse 6 889, mis on numbri 83 ruut.


Kuubikute tabelid, neljanda kraadi lauad 0 kuni 99-ni ja nii sarnased ruutude tabelis sisaldavad ainult teises tsoonis Kuuba, neljanda kraadi jne. Vastavad numbrid.

Square tabelid, kuubikud, neljas kraadi jne. Luba ruudukujulised juured, kuupmeetri juured, neljas kraadi juured jne. Seega numbritest nendes tabelites. Selgitage nende rakenduse põhimõtet juurte väljavõtmisel.

Oletame, et peame välja võtma N-kraadi juure numbri A hulgast ja number A sisaldub N-kolmekümne tabelis. Selles tabelis leiame numbri b nii, et a \u003d b n. Siis Seetõttu on number B N-kraadi soovitud juur.

Näiteks näitame, kuidas kuupmeetrijuur 19 683-st ekstraheeritakse kuupmeetri tabeli abil. Me leiame numbri 19 683 kuubikute tabelis, sellest leiame, et see number on numbrite kuubik 27, .


On selge, et N-niitide tabelid on juured eemaldamisel väga mugavad. Kuid nad ei ole sageli käepärast ja nende koostamine nõuab teatud aega. Veelgi enam, sageli on vaja juured välja tuua numbritest, mis ei ole vastavates tabelites sisalduvad. Sellistel juhtudel peate kasutama teisi juurte kaevandamise meetodeid.

Allavoolu numbri lagunemine lihtsate teguritega

Piisavalt mugav viis, mis võimaldab eemaldada juur loomulikust arvust (välja arvatud juhul, kui juur on kaevandatud), on underiseeritud numbri lagunemine lihtsateks teguriteks. Tema sisuliselt on järgmine: Pärast seda on piisavalt lihtne kujutada kujul kraadi kujul soovitud indikaator, mis võimaldab teil saada väärtus juure. Selgitagem seda hetke.

Laske N-kraadi juurest A-i looduslikust arvust A ja selle väärtus on võrdne b-ga. Sellisel juhul on võrdsus A \u003d B N. Number B, kui mis tahes loomulikku numbrit saab esindada kõigi selle lihtsate mitmekordistajatena P 1, P 2, ..., PM vormis P 1 · P 2 · ... · PM ja sööda number a See juhtum tundub olevat (P 1 · P 2 · pm) n. Kuna numbri lagunemine lihtsatele teguritele on ainus, siis sööda numbri a lagunemine on lihtsatel teguritel kujul (p 1 · p 2 · ... · p m) n, mis võimaldab seda võimalikuks Juureväärtuse arvutamiseks AS.

Pange tähele, et kui kommitava numbri a lagunemist ei saa vormis esindada (P 1 · P 2 · ... · p m) N, siis N-kraadi juur ei ekstraheerita sellisest a number.

Me tegeleme selle lahendamisel näidete lahendamisel.

Näide.

Eemaldage ruutjuur 144-st välja.

Otsus.

Kui te pöördute eelmises lõigus esitatud ruutude tabeliga, on selgelt näha, et 144 \u003d 12 2, millest on selge, et 144 ruutjuur on võrdne 12-ga.

Aga selle elemendi valguses oleme huvitatud sellest, kuidas juurt ekstraheeritakse juhitava numbri 144 lagunemise teel lihtsatele korritustele. Me analüüsime seda lahendusmeetodit.

Deklareerimine 144 lihtsaid mitmekordistati:

See tähendab, 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Saadud lagunemise põhjal võib neid transformatsioonide läbi viia: 144 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 \u003d (2,2) 2 · 3 2 \u003d (2 · 2,3) 2 \u003d 12 2. Seega, .

Kasutades juurte kraadi ja omadusi, võib lahendus korraldada ja veidi erinev :.

Vastus:

Materjali kinnitamiseks kaaluge lahendusi veel kaks näidet.

Näide.

Arvutage juure väärtus.

Otsus.

Söötmise lihtsate tehaste lagunemine 243-l on kujul 243 \u003d 3 5. Sellel viisil, .

Vastus:

Näide.

Kas juure väärtus täisarvu?

Otsus.

Sellele küsimusele vastamiseks me laguneme juhitud numbri lihtsatele mitmekordistades ja vaatame, kas see kujutab endast täisarvubi.

Meil on 285 768 \u003d 2 3 · 3 6 · 7 2. Saadud lagunemine ei tundu täisarvu kuubi kujul, kuna lihtsa mitmekordistaja 7 aste ei ole mitu. Järelikult ei eksisteeri 285 768 kuupmeetrijuuri suunatud.

Vastus:

Mitte.

Ruumiste eemaldamine murdosa numbritest

On aeg välja selgitada, kuidas osalise arvu juurt ekstraheeritakse. Laske fraktsioneeriva sööda numbriga salvestatud p / Q. Ruumi vara kohaselt on privaatselt järgmine võrdõiguslikkus õiglane. Sellest võrdsusest tuleneb reegel juurjuur puu: Fraktsiooni juur on võrdne privaatsusega numeraatori juurte lõhustumisest nimeraatorist nimetajast.

Me analüüsime näidet kaevandamisest murdosa.

Näide.

Mis on võrdne ruutjuure tavalise fraktsiooniga 25/169.

Otsus.

Tabelis ruutude leiame, et ruutjuurest arvuraator algse fraktsioon on 5 ja ruutjuur nimetaja on 13. Siis . Selle juure ekstraheerimisel tavalise fraktsiooniga 25/169 lõpetati.

Vastus:

Kümnendi fraktsiooni või segatud numbri juure ekstraheeritakse pärast tavaliste fraktsioonide vahetamist.

Näide.

Eemaldage kuupmeetri juure kümnendfraktsioonist 474552.

Otsus.

Kujutage ette allikat kümnendfraktsioon Tava fraktsiooni kujul: 474,552 \u003d 474552/1000. Siis . See jääb ekstraheerida kuupmeetri juured, mis asuvad saadud fraktsiooni loendaja ja nimetaja. Kui 474 552 \u003d 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 13 · 13 · 13 \u003d (2 · 3 · 13) 3 \u003d 78 3 ja 1 000 \u003d 10 3 ja . See jääb ainult arvutuste lõpuleviimiseks .

Vastus:

.

Negatiivse numbri juurte eemaldamine

Eraldi tasub peatada negatiivsete numbrite juurte ekstraheerimisel. Juurte uurimisel ütlesime, et kui juure määr on paaritu arv, võib negatiivne arv olla root-all. Sellised dokumendid andsime järgmise tähenduse: negatiivse arvu -A ja paaritu juure indikaator 2 · n-1 õiglaselt . See võrdsus annab reegel kummalise kraadi juurte väljavõtmiseks negatiivsetest numbritest: Negatiivse numbri juure väljavõtmiseks on vaja juure välja võtta vastupidise numbri vastupidise numbri ja enne tulemuse saavutamist miinusmärgi panna.

Mõtle näite lahendus.

Näide.

Leia juure väärtus.

Otsus.

Me muudame esialgse väljenduse nii, et juuremärgi all osutus positiivseks numbriks: . Nüüd asendatakse seganumber tavalise pildiga: . Rakenda reitingu reegel tavalisest fraci-st: . Jääb arvutada juured lugemas ja denoteri saadud Fraci: .

Andke meile lühikese lahenduse kohta: .

Vastus:

.

Katkestaja

Üldiselt on juure all olev arv, mis demonteeritavate meetodite abil ei ole võimalik esindada N-kraadi mis tahes numbrina. Kuid samal ajal on vaja teada selle juure väärtust, vähemalt mõne märgi täpsusega. Sellisel juhul saate juure väljavõtmiseks kasutada algoritmi, mis võimaldab teil järjestikku saada piisava arvu soovitud numbri heitmete väärtuste arvu.

Selle algoritmi esimeses etapis on vaja teada saada, mida juureväärtuse vanem number on. Selleks püstitatakse need järjekindlalt numbri 0, 10, 100, ... aste n-ni, kuni saadakse numbri numbrile, kui saadakse söödanumbri ületav number. Seejärel näitame numbri N eelmisel etapil konstrueeritava numbrile sobiva vanem heakskiidu.

Näiteks kaaluge algoritmi seda sammu viie ruutjuure eemaldamisel. Me võtame numbreid 0, 10, 100, ... ja püstitada need ruuduni, kuni saame numbri, mis ületab 5. Meil on 0 2 \u003d 0<5 , 10 2 =100>5, seetõttu on kõrge heakskiidu üksuste väljalaskmine. Selle heakskiidu ja rohkem noorem tähendus leidub järgmistest juurte ekstraktsioonialgoritmi järgmistest etappidest.

Kõik järgmised algoritmi samme on mõeldud juureväärtuse järjekindlalt täpsustamiseks, kuna soovitud algväärtuse järgmiste numbrite väärtused algavad vanemate ja noorema liikumisega. Näiteks saadakse esimese etapi juure väärtus 2 teisel tasemel - 2.2, kolmandas 2.23 ja nii 2,236067977 .... Kirjeldame, kuidas tühjendusväärtused on leitud.

Heitmete leidmine viiakse läbi nende võimalike väärtuste 0, 1, 2, ..., 9. Samal ajal arvutatakse vastavate numbrite NIC kraadi paralleelselt ja neid võrreldakse siseruumides. Kui mingil etapil on kraadi väärtus ületab numbrit, siis eelmisele väärtusele vastava heakskiidu väärtusele peetakse leitud ja üleminek tehakse juureväljavõtte algoritmi järgmisele sammule, kuid kui see Ei esine, selle heakskiidu väärtus on 9.

Selgitagem kõiki neid hetki samasuguse näitega viie ruutjuure ekstraheerimisest.

Kõigepealt leiame üksuste tühjendamise väärtuse. Me hindame välja 0, 1, 2, ..., 9 väärtused vastavalt 0 2, 1 2, vastavalt ..., 9 2 kuni hetkeni, kuni saame väärtuse, rohkem alakasuliku numbrid 5 . Kõik need arvutused on mugavad esindavad tabeli kujul:

Seega on üksuste tühjendusväärtus 2 (alates 2 2-st<5 , а 2 3 >Viis). Mine kümnendiku tühjendamise väärtuse leidmiseks. Samal ajal püstitatakse me numbri 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9 ruudu ruutu, võrdledes saadud väärtusi uurimisnumbriga 5:

2.2 2 2<5 , а 2,3 2 >5, kümnenda tühjendamise väärtus on 2. Teil on võimalik jätkata sajandiku väljalaskmise väärtuse leidmist:

See on viie juurte järgmine väärtus, see on võrdne 2.23-ga. Ja nii saate jätkata väärtuste leidmist: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Materjali kinnitamiseks analüüsime juure ekstraheerimist sajandiku täpsusega peetava algoritmi abil.

Kõigepealt määratleme vanim heakskiidu. Selleks püstitatakse me numbrite 0, 10, 100 jne nimekirja. Kuni saame numbri, mis on parem kui 2 151 186. Meil on 0 3 \u003d 0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151,186, seega on kõrgem heakskiidu kümnete heakskiidu.

Määrata selle väärtus.

Alates 10st<2 151,186 , а 20 3 >2 151,186, kümnete heakskiidu väärtus on võrdne 1-ga. Mine üksuste juurde.

Seega on üksuste tühjendamise väärtus 2. Mine kümnendiku juurde.

Kuna isegi 12,93 on väiksem kui prunted number 2 151,186, on kümnenda tühjendamise väärtus 9. Algoritmi viimaseks sammuks on endiselt täita, see annab meile vajaliku täpsusega juure väärtuse.

Selles etapis leitakse juure väärtus sajandiku täpsusega: .

Käesoleva artikli järelduse korral tahaksin öelda, et juurte väljavõtmiseks on palju muid viise. Kuid enamiku ülesannete puhul on piisavalt neid, keda me eespool uurisime.

Bibliograafia.

  • Makarychev Yu.n., Mindyuk N.g., Suvorova S.B. ALGEBRA: juhendaja 8 cl. üldharidusasutused.
  • Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.p. jt algebra ja alustanalüüs: õpik 10-11 klassi haridusasutustele.
  • GUSEV V.A., MORDKOVICH A.G. Matemaatika (toetus taotlejatele tehnilistele koolidele).

Volmula kraadi Kasutatakse lühend ja lihtsustada keerulisi väljendeid võrrandite lahendamise ja ebavõrdsuse lahendamisel.

Number c. on a n.Vähe aste a. millal:

Toimingud kraadidega.

1. korrutades kraadi sama alusega, nende indikaatorid:

oLEN.· N \u003d m + n.

2. Jaotudes kraadides samas põhjal, nende näitajad maha:

3. 2 või enama mitmekordistaja töö astme on võrdne nende tegurite tootega:

(Abc ...) n \u003d a n · b n · c n ...

4. Fraktsiooniaste on võrdne lõhe ja jagaja kraadi suhe:

(A / b) n \u003d n / b n.

5. Kraadi kraadi kõrvarõngas, kraadi näitajad pikenevad:

(A m) n \u003d a m n.

Iga ülaltoodud valem on tõsi juhistes vasakult paremale ja vastupidi.

näiteks. (2 · 3 · 5/15) ² \u003d 2² · 3² · 5² / 15 ² \u003d 900/225 \u003d 4.

Juuretoimingud.

1. Mitmete tegurite töö juur on võrdne nende tegurite juurte tootega:

2. Suhe juur on võrdne juurte lõhe ja jagaja suhtumisega:

3. Kui juure püstitatakse, ehitatakse see üsna sellesse aste.

4. Kui suurendate juure astet n. üks kord ja samal ajal ehitatakse n.Söötnumbri aste, juure väärtus ei muutu:

5. Kui vähendate juure kraadi n. Üks kord ja samal ajal ekstraheerige juur n.Kraadis alarõhutatud arvust ei muutu juure väärtus:

Kraadi negatiivse indikaatorina.Teatava numbri aste vaieldamatu (terviku) indikaatorina määratakse üksusena, mis on jagatud sama numbri astmega, mille näitaja on võrdne mitte-positiivse näitaja absoluutväärtusega:

Valem oLEN.: A n \u003d m - n saab kasutada mitte ainult m.> n. aga ka m.< n..

näiteks. a. 4: A 7 \u003d A 4 \u200b\u200b- 7 \u003d A -3.

Valemile oLEN.: A n \u003d m - n sai õiglane m \u003d N.Nullraadi olemasolu on vajalik.

Kraadi nullindikaatoriga.Nullindikaatoriga võrdub nulliga võrdne arv, mis ei ole võrdne nulliga.

näiteks. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Kraadi murdosa indikaator.Kehtiva numbri ehitamiseks aga kraadis m / N., on vaja juure välja võtta n.aste m.Selle numbri aste aga.