Aga sel ajal sõnastasime selle "lihtsustatud" vormis, mugavasse ja piisava tavapäraste fraktsioonidega töötamiseks. Käesolevas artiklis tutvume algebraliste fraktsioonide fraktsiooni peamist vara (st, mille fraktsioonid, loendaja ja nimetaja on polünoomid, mõnes õpikusse algebra selliseid fraktsioone nimetatakse algebraalseteks, vaid ratsionaalseteks fraktsiooniks). Esimene sõnastada algebralise fraktsiooni peamine vara, õigustada seda ja siis loetleme selle kasutamise peamised valdkonnad.

Navigeerimine leht.

Preparaat ja põhjendus

Alustame meenutame, kuidas põhivahendi põhivara tavaliste fraktsioonide formuleeriti: kui samaaegselt loendaja ja nimetaja tavalise fraktsiooni korrutatakse või jagatud mõneks loomulik arv, fraktsiooni väärtus ei muutu. Võrdõiguslikkus ja (mis on kehtivad ja koos vormi ja) ümberkorraldatud osadega, kus A, B ja M on seotud selle avaldusega.

Tegelikult ei saa lugeja ja nimetaja jagamine rääkida numbriga - see juhtum on kaetud liikide võrdsusega. Näiteks võrdõiguslikkust saab õigustada jagunemise kaudu võrdõiguslikkuse abil kuid see võib olla õigustatud võrdsuse alusel . Seetõttu seostame põhivara murdosa võrdõiguslikkuse (te) ja me ei peatu võrdsuse (s).

Nüüd näitame, et fraktsiooni peamine vara levib ka fraktsiooni, mille lugeja ja nimetaja on. Selleks tõestame, et registreeritud võrdõiguslikkus kehtib mitte ainult looduslikele numbritele, vaid ka reaalsetele numbritele. Teisisõnu, me tõestame, et võrdsus kehtib reaalsete numbrite jaoks, B ja M ja B ja m ja m on erinevad nullist (vastasel juhul tekib me nullijaotusega jagamisega).

Olgu fraktsioon A / B rekord number z, see on. Me tõestame, et fraktsioon vastab ka numbrile Z, st me tõestame seda. See tõendab võrdsust.

Väärib märkimist, et kui algebralise fraktsioonil on fraktsioonide koefitsiendid, ei ole selle lugeja ja nimetaja korrutamine ja nimetaja korrutamine teatud arvule, et minna tervete koefitsientide juurde ja lihtsustada selle välimust. Näiteks, . Ja lugeja ja nimetaja korrutamise kohta põhinevad algebralise fraktsiooni liikmetel olevate märkide muutmise eeskirjad miinusil.

Teine kõige olulisem osa fraktsiooni peamiste omaduste kohaldamisala on algebraliste fraktsioonide vähenemine. Üldise juhtumi vähendamine toimub kahes etapis: esimene lugeja ja nimetaja on sätestatud mitmekordistajatega, mis võimaldab teil leida üldise kordaja m ja seejärel võrdsuse alusel, üleminek selle osale Vorm A / B ilma käesoleva ühise teguriga. Näiteks algebraline fraktsioon pärast lugeja lagunemist ja nimetajate lagunemise teguritele vaadeldakse WWW.Site'i, sealhulgas sisemist materjale ja välist disaini, ei saa ühtegi vormis reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguse omaniku eelneva kirjaliku loata.

Selles õppetundis peetakse algebralise fraktsiooni mõistet. Fraktsioonidega leidub inimene kõige lihtsamate eluolukordades: kui on vaja jagada teatud objekti mitmeks osaks, lõigake kook võrdselt kümnele inimesele. Ilmselgelt saavad kõik paremaks kui kook. Sellisel juhul seisame silmitsi arvulise fraktsiooni kontseptsiooniga, kuid olukord on võimalik, kui objekt on jagatud tundmatuteks osadeks, näiteks X-l. Sel juhul tekib fraktsioonilise ekspressiooni mõiste. Üldiste väljenditega (mis ei sisalda muutujatega seotud väljendite jagamist) ja nende omadused on juba 7. klassi järgi kohtunud. Seejärel leiame ratsionaalse fraktsiooni mõiste ning muutujate lubatud väärtuste kontseptsioon.

Teema:Algebralised fraktsioonid. Aritmeetilised toimingud algebraliste fraktsioonide kohta

Õppetund:Põhikontseptsioonid

1. algebraliste fraktsioonide määratlemine ja näited

Ratsionaalsed väljendid on jagatud terved ja fraktsioneerivad väljendid.

Määratlus. Ratsionaalne fraktsioon - vaate fraktsionaalne ekspressioon, kus - polünoomid. - lugeja nimetaja.

Näited ratsionaalsed väljendid: - fraktsioneerivad väljendid; - Terve väljendid. Esimesel väljenduses, näiteks lugeja tegude roll ja nimetaja -.

Väärtus algebraline fracinagu igasugune algebraline ekspressioonSõltub selles sisalduvate muutujate arvust väärtusest. Eriti esimeses näites sõltub fraktsiooni väärtus muutujate väärtustest ja ja teisest ainult muutuja väärtusest.

2. algebralise fraktsiooni väärtuse arvutamine ja fraktsiooni kaks peamist ülesannet

Kaaluge esimest tüüpilist ülesannet: väärtuse arvutamine ratsionaalne fraci Erinevate väärtustega muutujate kaasatud.

Näide 1. Arvutage murdosa väärtus a), b), b)

Otsus. Me asendame muutujate väärtusi määratud fraktsioonile: a), b), c) - see ei ole olemas (kuna see on võimatu jagada).

Vastus: 3; üks; ei eksisteeri.

Nagu näete, on iga fraktsiooni jaoks kaks tüüpilist ülesannet: 1) puuviljade arvutamine, 2) lubatud ja vastuvõetamatud väärtused Tähestikuline muutujad.

Määratlus. Muutujate lubatud väärtused - muutujad, kus väljend on mõtet. Paljud kõigist muutujate väärtustest nimetatakse Kummaline või domeen.

3. Lubatud (OTZ) ja muutujate valede väärtused fraktsioonides ühe muutujaga

Tähtede muutujate väärtus võib olla vastuvõetamatu, kui fraktsiooni nimetaja null null nendel väärtustel. Kõigil muudel juhtudel on muutujate väärtus lubatud, kuna fraktsiooni saab arvutada.

Näide 2. Paigaldage, milliseid väärtusi muutuja ei ole mõtet Frainkile.

Otsus. Nii et see väljend on mõttekas, on vaja ja piisavalt, et fraktsiooni nimetaja ei ole nulliga võrdne. Seega ainult need väärtused muutuja on vastuvõetamatu, kus nimetaja on null. Fraktsiooni nimetaja, seega lase lineaarne võrrand:

Järelikult, kui muutuv väärtus, ei ole fraktsioon mõtet.

Näite lahendus järgib muutujate kehtetute väärtuste leidmise reeglit - fraktsiooni tähistaja on võrdne nulliga ja vastava võrrandi juured asuvad.

Mõtle sarnaseid näiteid.

Näide 3. Paigaldage selle muutuja väärtused ei ole mõtet Frainkile.

Otsus. .

Vastus. .

Näide 4. Paigaldage selle muutuja väärtused ei ole mõtet raidust.

Otsus ..

Selle ülesande on ka teisi koostisi - leida domeen või lubatud ekspressiooniväärtuste ala (OTZ). See tähendab - leida kõik muutujate lubatud väärtused. Meie näites on need kõik väärtused, välja arvatud. Mõiste ala on mugavalt kujutatud numbrilisel teljel.

Selleks viskame punkti, nagu näidatud pildil:

Sellel viisil, fraci määratluse ulatus Seal on kõik numbrid, välja arvatud 3.

Vastus ..

Näide 5. Paigaldage selle muutuja väärtused ei ole mõtet nõrkale.

Otsus ..

Numbrilise telje kohta saadud lahus:

Vastus ..

4. Vastuvõetavate (OTZ) ja muutujate kehtetute väärtuste graafiline esindatus fraktsioonides

Näide 6. Paigaldage see, millised muutujate väärtused ei ole mõistlikud.

Lahendus .. Me saime kahe muutuja võrdsuse, anname numbrilisi näiteid: või jne.

Näita seda otsust Cartesiuse koordinaatide süsteemi ajakava kohta:

Joonis fig. 3. Funktsiooni graafik.

Koordinaadid mis tahes punkti lamades selle diagrammi ei kuulu piirkonnas lubatud väärtused murdosa.

Vastus. .

5. Liik "Division nulli"

Vaademehhanismides silmitsi olukorraga, kui divisjoni tekkis null. Nüüd kaaluge juhtumit, kui tekib huvitavam olukord tüübiosakonnaga.

Näide 7. Paigaldage selle muutujate väärtused Fraiinile mõttekas.

Otsus ..

Tuleb välja, et fraktsioon ei ole mõtet. Aga see võib väita, et see nii ei ole, sest: .

Võib tunduda, et kui lõplik väljend on 8 at, siis on võimalik arvutada ka esialgne arvutada ja seetõttu on see mõtet. Siiski, kui me asendame esialgse väljenduse, ma saan selle - see ei ole mõtet.

Vastus ..

Selle näitega tegelemiseks üksikasjalikumalt selle näitega on järgmine ülesanne: millistel väärtustel on määratud fraktsioon null null?

(fraktsioon on , kui selle loendaja on null) . Kuid esialgse võrrandi lahendamiseks on vaja lahendada ja see ei ole mõtet, sest muutuja väärtus on null. Nii et see võrrand on ainult üks juur.

6. Leidude reegel ...

Seega saame sõnastada fraktsiooni lubatud väärtuste leidmise täpne reegel: leida Kummalinedrobi. See on vajalik ja piisavalt võrdsustatud oma nimetaja nulli ja leida juured saadud võrrandi.

Me vaatasime läbi kaks peamist ülesannet: fraktsioonilise väärtuse arvutamine muutujate määratud väärtustel ja lubatavate Traby väärtuste ala leidmine.

Mõtle nüüd veel mõned ülesanded, mis võivad esineda fraktsioonidega töötamisel.

7. Erinevad ülesanded ja järeldused

Näide 8. Tõesta, et muutuva fraktsiooni väärtustel.

Tõendid. Numeraator - number on positiivne. . Selle tulemusena loendaja ja nimetaja - positiivsed numbrid ja fraktsioon on positiivne number.

Tõestatud.

Näide 9. On teada, et leida.

Otsus. Me jagame mõõtmete murdosa. Meie jaoks on õigus vähendada, võttes arvesse selle fraktsiooni muutuja kehtetu väärtust.

Vastus ..

Selles õppetundis vaatasime läbi fraktsioonidega seotud põhikontseptsioonid. Järgmises õppetund näeme fraci peamine vara.

Bibliograafia

1. Bashmakov M. i. algebra klass 8. - m.: Valgustumine, 2004.

2. Dorofeyev G.v., Suvorova S. B., Baynovitš E. A. ja teised. ALGEBRA 8. - 5. ED. - m.: Valgustumine, 2010.

3. Nikolsky S. M., Potapov M. A., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. ALGEBRA klass 8. Üldharidusasutuste õpik. - m.: Haridus, 2006.

1. Pedagoogiliste ideede festival.

2. Vana kool.

3. Interneti-portaal Lib2.Podeliis. Ru.

Kodutöö

1. №4, 7, 9, 12, 13, 14. Dorofeyev G.v., Suvorov S. B., Baynovich E. A. ja teised. ALGEBRA 8. - 5. ED. - m.: Valgustumine, 2010.

2. Registreerige ratsionaalne fraktsioon, mille määratlus on: a) komplekt, b) seatud, c) kogu number telje.

3. Tõesta, et kõigi muutuja lubatud väärtustega on fraktsioon mittegatiivne.

4. Leia ekspressiooniala. Märkus: kaaluma eraldi kahte juhtumit: kui alumise fraktsiooni nimetaja on null ja kui algse fraktsiooni nimetaja on null.

Kui üliõpilane läheb vanekskooli, on matemaatika jagatud kaheks teemaks: algebra ja geomeetria. Mõisted muutuvad üha enam ülesandeid. Mõnes on raskusi fraktsioonide tajumisega. Nad vastasid selle teema esimese õppetunni ja voila. Puuviljad? Küsimus, mis piinab kogu kooli elu.

Algebralise Fraci mõiste

Alustame määratlusega. All algebraline fraktsioonseda mõistetakse kui väljend p / q, kus p on lugeja ja Q-nimetaja. Alphaboni kirje all võib olla number, arvuline ekspressioon, numbriline ekspressioon olla peidetud.

Enne seda, kuidas algebraliste fraktsioonide lahendamist, peate kõigepealt mõistma, et selline väljend on kogu osa.

Reeglina on kogu 1. Nundina number näitab, kui palju osi jagati seadmega. Lugeja on vajalik selleks, et teada saada, mitu elementi tehakse. Fraktsioonide funktsioon vastab jaotusmärgile. On lubatud salvestada fraktsioneerivat ekspressiooni matemaatilise töö "otsuse". Sel juhul on loendaja jagatav, nimetaja - jagaja.

Peamine tavaliste fraktsioonide reegel

Kui õpilased seda teemat koolis käivad, antakse neile näiteid konsolideerimiseks. Nende lahendamiseks õigesti lahendamiseks ja erinevate teede leidmiseks keerulistest olukordadest on vaja rakendada fraktsioonide põhisuure.

See kõlab sellisena: kui sa korrutad lugeja ja nimetaja sama numbri või väljendusega (erinev nullist), siis tavalise fraktsiooni väärtus ei muutu. Selle reegli eriline juhtum on väljenduse mõlema osa eraldamine samale numbrile või polünoomile. Selliseid transformatsioonide nimetatakse identsete võrdseteks.

Allpool loetakse algebraliste fraktsioonide lisamise ja lahutamise lahendamiseks, et tekitada fraktsioonide korrutamine, jagamine ja vähendamine.

Matemaatilised tehingud fraktsioonidega

Mõtle, kuidas lahendada algebralise fraktsiooni peamine vara, kuidas seda praktikas rakendada. Kui teil on vaja kahte fraktsiooni korrutada, klappige need, jagage üks teise või mahaarvama, peate alati reeglite juurde jääma.

Niisiis, lisamise operatsiooni ja lahutamise puhul tuleks leitakse täiendav tegur, mis toob esile üldnimetajale väljendused. Kui esialgu fraktsioonid antakse sama Q-väljendustega, peate selle elemendi alandama. Millal leiti ühise nimetaja algebraliste fraktsioonide lahendamiseks? Sa pead volitama või lahutama numbreid. Aga! Tuleb meeles pidada, et kui on olemas märk "-" enne murdosa, muutuvad kõik numbrilised numbrid vastupidi. Mõnikord ei tohiks te asetusi ja matemaatilisi toiminguid teha. Piisavalt, et muuta märk enne fraktsiooni.

Sageli kasutanud sellist asja nagu fraktsioonide vähendamine. See tähendab järgmist: kui lugeja ja nimetaja jagunevad muuks väljenduseks kui üksus (sama mõlema osa jaoks), seejärel saadakse uus fraktsioon. Jaopidaja ja jagaja on endisest väiksem, kuid fraktsioonide põhireeglite tõttu jäävad algse näites võrdseks.

Selle toimingu eesmärk on saada uus mitte-tõlgendatav väljendus. Selle ülesande saate lahendada, kui vähendate numeraatorit ja nimetaja suurimale levinumale jagajale. Operatsiooni algoritm koosneb kahest punktist:

  1. Leidke sõlme mõlema osa osale.
  2. Lugeja ja nimetaja jagamine leitud väljenduse jaoks ja ebastabiilse fraktsiooni vastuvõtmine võrdub eelmise.

Allpool on tabel, kus valemid on värvitud. Mugavuse huvides saab printida ja kanda teiega sülearvuti. Kuid selleks, et lahendada kontrolli või eksami tulevikus tulevikus, ei olnud raskusi algebraliste fraktsioonide lahendamise lahendamisel, neid valemeid tuleb südamest õppida.

Mõned näited lahendustega

Teoreetilisest seisukohast on algebraliste fraktsioonide lahendamise küsimus. Artiklis esitatud näited aitavad materjali paremini õppida.

1. Transform fraktsioonid ja viia need ühise nimetaja.

2. Teisenda fraktsioonid ja viia need ühise nimetaja.

Pärast teoreetilise osa uurimist ja praktiliste küsimuste otsimine ei tohiks olla rohkem.

§ 1 algebralise fraktsiooni mõiste

Algebraline fraktsioon kõne väljend

kus p ja q on istuma; P on algebralise fraktsiooni algebralise fraktsiooni lugeja, q - nimetaja algebralise fraktsiooni nimetaja.

Siin on näited algebraliste fraktsioonide kohta:

Iga polünoom on algebralise fraktsiooni eriline juhtum, sest iga polünoomi võib kirjutada nagu

Näiteks:

Algebralise fraktsiooni väärtus sõltub muutujate väärtusest.

Näiteks arvutame murdosa väärtuse

1)

2)

Esimesel juhul saame:

Märkus, seda fraktsiooni saab lõigata:

Seega lihtsustatakse algebralise fraktsiooni väärtuse arvutamist. Me kasutame seda.

Teisel juhul saame:

Nagu näha, on algebralise fraktsiooni väärtus muutunud muutumise muutumisega.

§ 2 algebraliste fraktsioonide kehtivad väärtused

Mõtle algebralise fraktsiooni

X \u003d -1 väärtus on selle fraktsiooni jaoks kehtetu, sest Sellise väärtusega fraktsiooni nimetaja kaebusi nullini. Sellisel juhul ei ole muutuja algebralise fraktsiooni väärtus mõtet.

Seega on algebraliste fraktsioonide muutujate väärtused väärtused muutujate väärtused, milles denometer ei kehti nulli suhtes.

Olgu mõned näited otsustada.

Mis muutuja väärtuste kohaselt ei tähenda algebralise fraktsiooni mõtet:

Muutujate vastuvõetamatute väärtuste leidmiseks on denomoteri võrdne nulliga ja vastava võrrandi juured on.

Muutuse väärtuste all on algebraline fraktsioon:

Fraktsioon on , kui loendaja on null. Me võrdsustame meie fraktsiooni nuduriga nulliga ja leidsime saadud võrrandi juured:

Seega, X \u003d 0 ja X \u003d 3 puhul ei ole see algebraline fraktsioon mõtet, mis tähendab, et peame kõrvaldama muutuja väärtused vastusest.

Niisiis, selles õppetundis õppisite algebraliste fraktsioonide põhikontseptsioone: fraktsiooni lugeja ja nimetaja, samuti algebraliste fraktsioonide muutujate lubatud väärtused.

Viitete loetelu:

  1. Mordkovich A.G. "Algebra" klass 8. 2 h. 1 õpetus üldharidusasutustele / A.G. Mordkovitš. - 9. ed., Pererab. - M.: MNEMOZINA, 2007. - 215 p.: IL.
  2. Mordkovich A.G. "Algebra" klass 8. 2 TSP-s. 2 Üldharidusasutuste ülesanded / A.G. Mordkovitš, nn. Mishoustina, e.e. Tulchinskaya. - 8. ed., - M.: MNEMOZINA, 2006 - 239C.
  3. Algebra. 8. klass. Haridusasutuste õpilaste uurimine L.A. Alexandrova Ed. A.G. Mordkovitš 2. ed., Ched. - m.: MNEMOZINA 2009. - 40C.
  4. Algebra. 8. klass. Sõltumatu töö haridusasutuste üliõpilastele: õpikule a.g. Mordkovitš, L.A. Alexandrova Ed. A.G. Mordkovitš. 9. ed., Ched. - M.: MNEMOZINA 2013. - 112C.