Надявам се, че след изучаването на тази статия ще научите как да намирате корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения; за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията „Решаване на непълни квадратни уравнения“.

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? Това уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решим пълно квадратно уравнение, трябва да изчислим дискриминанта D.

D = b 2 – 4ac.

В зависимост от стойността на дискриминанта ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x = (-b)/2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. Решете уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Отговор: – 3,5; 1.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения, използвайки диаграмата на Фигура 1.

С помощта на тези формули можете да решите всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате да уравнението беше написано като полином стандартен изглед

А х 2 + bx + c,в противен случай може да направите грешка. Например, като пишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение на пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е написано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде написано като полином от стандартната форма (мономът с най-голям показател трябва да е първи, т.е. А х 2 , след това с по-малко – bxи след това безплатен член с.

Когато решавате редуцирано квадратно уравнение и квадратно уравнение с четен коефициент във втория член, можете да използвате други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълно квадратно уравнение вторият член има четен коефициент (b = 2k), тогава можете да решите уравнението, като използвате формулите, показани на диаграмата на Фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича намалено, ако коефициентът при х 2 е равно на едно и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да бъде дадено за решение или може да се получи чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента А, застанал на х 2 .

Фигура 3 показва диаграма за решаване на редуцирания квадрат
уравнения. Нека да разгледаме пример за приложението на формулите, обсъдени в тази статия.

Пример. Решете уравнението

3х 2 + 6x – 6 = 0.

Нека решим това уравнение, като използваме формулите, показани на диаграмата на фигура 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3

Можете да забележите, че коефициентът на х в това уравнение четен брой, т.е. b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. Тогава нека се опитаме да решим уравнението, като използваме формулите, дадени в диаграмата на фигурата D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и извършвайки делението, получаваме намаленото квадратно уравнение x 2 + 2x – 2 = 0. Решете това уравнение, като използвате формулите за намаленото квадратно уравнение
уравнения фигура 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Отговор: –1 – √3; –1 + √3.

Както можете да видите, при решаването на това уравнение с помощта на различни формули получихме един и същ отговор. Следователно, след като сте усвоили напълно формулите, показани на диаграмата на фигура 1, вие винаги ще можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Използването на уравнения е широко разпространено в живота ни. Те се използват в много изчисления, изграждане на конструкции и дори спорт. Човекът е използвал уравнения в древни времена и оттогава употребата им само се е увеличила. Дискриминантът ви позволява да решите всяко квадратно уравнение с помощта на обща формула, което изглежда така:

Дискриминантната формула зависи от степента на полинома. Горната формула е подходяща за решаване на квадратни уравнения от следната форма:

Дискриминантът има следните свойства, които трябва да знаете:

* "D" е 0, когато полиномът има множество корени (равни корени);

* "D" е симетричен полином по отношение на корените на полинома и следователно е полином в своите коефициенти; освен това коефициентите на този полином са цели числа, независимо от разширението, в което са взети корените.

Да кажем, че ни е дадено квадратно уравнение със следната форма:

1 уравнение

Според формулата имаме:

Тъй като \, уравнението има 2 корена. Нека ги дефинираме:

Къде мога да реша уравнение с помощта на дискриминантен онлайн решаващ инструмент?

Можете да решите уравнението на нашия уебсайт https://site. Безплатният онлайн решаващ инструмент ще ви позволи да решавате онлайн уравнения с всякаква сложност за няколко секунди. Всичко, което трябва да направите, е просто да въведете данните си в решаващия инструмент. Можете също така да гледате видео инструкциите и да разберете как да решите уравнението на нашия уебсайт.А ако имате въпроси, можете да ги зададете в нашата група VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Присъединете се към нашата група, винаги се радваме да ви помогнем.

Непълното квадратно уравнение се различава от класическите (пълни) уравнения по това, че неговите фактори или свободен член са равни на нула. Графиките на такива функции са параболи. В зависимост от общия им вид се делят на 3 групи. Принципите на решаване на всички видове уравнения са еднакви.

Няма нищо сложно в определянето на вида на непълен полином. Най-добре е да разгледате основните разлики, като използвате визуални примери:

  1. Ако b = 0, тогава уравнението е ax 2 + c = 0.
  2. Ако c = 0, тогава трябва да се реши изразът ax 2 + bx = 0.
  3. Ако b = 0 и c = 0, тогава полиномът се превръща в равенство като ax 2 = 0.

Последният случай е по-скоро теоретична възможност и никога не се среща в задачите за проверка на знанията, тъй като единствената правилна стойност на променливата x в израза е нула. В бъдеще ще бъдат разгледани методи и примери за решаване на непълни квадратни уравнения от тип 1) и 2).

Общ алгоритъм за търсене на променливи и примери с решения

Независимо от вида на уравнението, алгоритъмът за решение се свежда до следните стъпки:

  1. Намалете израза до форма, удобна за намиране на корени.
  2. Извършете изчисления.
  3. Запишете отговора.

Най-лесният начин за решаване на непълни уравнения е да разложите лявата страна и да оставите нула отдясно. Така формулата за непълно квадратно уравнение за намиране на корени се свежда до изчисляване на стойността на x за всеки от факторите.

Можете само да научите как да го решите на практика, така че нека помислим конкретен примернамиране на корените на непълно уравнение:

Както можете да видите, в този случай b = 0. Нека факторизираме лявата страна и да получим израза:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. Стойностите на променливата x1 = 0,5 и (или) x2 = -0,5 отговарят на подобни изисквания.

За да се справите лесно и бързо със задачата за разлагане квадратен тричленна фактори, запомнете следната формула:

Ако в израза няма свободен член, проблемът е значително опростен. Ще бъде достатъчно само да намерите и скобите общ знаменател. За по-голяма яснота разгледайте пример за това как се решават непълни квадратни уравнения от формата ax2 + bx = 0.

Нека извадим променливата x извън скобите и ще получим следния израз:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Водени от логиката стигаме до извода, че x1 = 0, а x2 = -3.

Традиционен метод на решение и непълни квадратни уравнения

Какво се случва, ако приложите дискриминантната формула и се опитате да намерите корените на полином с коефициенти, равни на нула? Да вземем пример от колекцията типични задачиза Единния държавен изпит по математика 2017 г. ще го решим по стандартни формули и метода на факторизиране.

7x 2 – 3x = 0.

Нека изчислим дискриминантната стойност: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Оказва се, че полиномът има два корена:

Сега нека решим уравнението чрез разлагане на множители и сравним резултатите.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
х = -.

Както можете да видите, и двата метода дават един и същ резултат, но решаването на уравнението чрез втория метод беше много по-лесно и по-бързо.

Теорема на Виета

Но какво да правим с любимата теорема на Виета? Възможно ли е да се използва този методс непълен тричлен? Нека се опитаме да разберем аспектите на кастинга непълни уравнениякъм класическата форма ax2 + bx + c = 0.

Всъщност в този случай е възможно да се приложи теоремата на Виета. Необходимо е само да се доведе изразът до общ вид, замествайки липсващите членове с нула.

Например при b = 0 и a = 1, за да се елиминира възможността от объркване, задачата трябва да се напише във вида: ax2 + 0 + c = 0. Тогава отношението на сбора и произведението на корените и факторите на полинома могат да бъдат изразени по следния начин:

Теоретичните изчисления помагат да се запознаете със същността на проблема и винаги изискват развитие на умения при решаване на конкретни проблеми. Нека се обърнем отново към справочника със стандартни задачи за Единния държавен изпит и да намерим подходящ пример:

Нека запишем израза във вид, удобен за прилагане на теоремата на Виета:

x 2 + 0 – 16 = 0.

Следващата стъпка е да създадете система от условия:

Очевидно корените на квадратния полином ще бъдат x 1 = 4 и x 2 = -4.

Сега нека се упражним да приведем уравнението в общия му вид. Да вземем следния пример: 1/4× x 2 – 1 = 0

За да се приложи теоремата на Виета към израз, е необходимо да се отървем от дробта. Нека умножим лявата и дясната страна по 4 и погледнем резултата: x2– 4 = 0. Полученото равенство е готово за решаване чрез теоремата на Виета, но е много по-лесно и по-бързо да получите отговора, като просто преместите c = 4 в дясната страна на уравнението: x2 = 4.

За да обобщим, трябва да се каже, че по най-добрия начинРешаването на непълни уравнения чрез факторизиране е най-простият и бърз метод. Ако възникнат трудности в процеса на търсене на корени, можете да се свържете традиционен методнамиране на корени чрез дискриминант.

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторизиране.

Съдържание

Вижте също: Решаване на квадратни уравнения онлайн

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

Освен това приемаме, че - реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако изградите графика на функция
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича оста x (ос) в две точки ().
Когато , графиката докосва оста x в една точка ().
Когато , графиката не пресича оста x ().

Полезни формули, свързани с квадратно уравнение

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
Където
; .

И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението

извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1


(1.1) .


.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От тук получаваме факторизацията на квадратния трином:

.

Графика на функцията y = 2 х 2 + 7 х + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма реални корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма реални корени.

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Вижте също:

Графиката на квадратична функция е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с оста x. Ако описаната парабола квадратична функция, не се пресича с оста x, уравнението няма реални корени. Ако парабола пресича оста x в една точка (върха на параболата), уравнението има един реален корен (също се казва, че уравнението има два съвпадащи корена). Ако парабола пресича оста x в две точки, уравнението има два реални корена.

Ако коефициентът Аположителен, клоновете на параболата са насочени нагоре; ако е отрицателен, клоновете на параболата са насочени надолу. Ако коефициентът b е положителен, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако е отрицателен - в дясната полуравнина.

Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение

Формулата за решаване на квадратно уравнение може да се получи, както следва:

ах 2 + b x+ ° С = 0
ах 2 + bх = - ° С

Умножете уравнението по 4 а

4а 2 х 2 + 4 абх = -4 ак
4а 2 х 2 + 4 аб x+ b 2 = -4ак + b 2
(2а x+ b) 2 = b 2 -4ак
2а x+ b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Намиране на корените на квадратно уравнение

Квадратно уравнение с реални коефициенти може да има от 0 до 2 реални корена в зависимост от стойността на дискриминанта D = b 2 − 4ак:

  • за D > 0 има два корена и те се изчисляват по формулата
  • за D = 0 има един корен (два равни или съвпадащи корена), кратност 2: