Линейна функция наречен вид тип y \u003d kx + bдефинирани на набора от всички валидни номера. Тук к. - ъглов коефициент (валиден), б. – свободен член (валиден), х. - Независима променлива.

В конкретен случай, ако k \u003d 0., получаваме постоянна функция y \u003d B.чиято графика е пряка, успоредна ос оста, преминаваща през точка с координати (0; б).

Ако b \u003d 0.Тогава получаваме функция y \u003d kx., кое е пряка пропорционалност.

б. – дължина нарязанакоето се отрязва на осите oy, считано от началото на координатите.

Геометричен смисъл на коефициента к. – ъгъл на наклона Директен до положителната посока на осната ос се отчита обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейната функция:

1) Областта на дефиницията на линейната функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0.Регионът на стойностите на линейната функция е цялата реална ос. Ако k \u003d 0.Регионът на стойностите на линейната функция се състои от б.;

3) Паритетът и странността на линейната функция зависят от стойностите на коефициентите к. и б..

а) b ≠ 0, k \u003d 0, следователно, y \u003d b - дори;

б) b \u003d 0, k ≠ 0, следователно y \u003d kx е странно;

° С) b ≠ 0, k ≠ 0, следователно y \u003d kx + b - често функция;

д) b \u003d 0, k \u003d 0, следователно y \u003d 0 - и дори и нечетна функция.

4) Имотът на честотата е линейната функция, която не притежава;

5) Точка на пресичане с оси на координати:

Вол: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, следователно (-b / k; 0) - точка на пресичане с оста на абсцисата.

Oy: y \u003d 0k + b \u003d b, следователно (0; б) - Точка на пресичане с ордена ос.

Бележка. Ако е b \u003d 0. и k \u003d 0., след това функция y \u003d 0. Начертан до нула с всяка стойност на променливата х.. Ако b ≠ 0. и k \u003d 0., след това функция y \u003d B. не се обръща към нула при никакви стойности на променливата х..

6) Интервалите на привеждането в съответствие зависят от коефициента K.

а) k\u003e 0; KX + B\u003e 0, KX\u003e -B, X\u003e -B / K.

y \u003d kx + b - положителен като х. на (-b / k; + ∞),

y \u003d kx + b - отрицателен за х. на (-∞; -b / k).

б) к.< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y \u003d kx + b - положителен като х. на (-∞; -b / k),

y \u003d kx + b - отрицателен за х. на (-b / k; + ∞).

° С) k \u003d 0, b\u003e 0; y \u003d kx + b положителен по време на дефиницията

k \u003d 0, b< 0; y = kx + b Отрицателен върху цялата област на дефиниране.

7) линейни функционални монотонни интервали зависят от коефициента к..

k\u003e 0., следователно y \u003d kx + b се увеличава по време на дефиницията,

к.< 0 , следователно y \u003d kx + b намалява по време на дефиницията.

8) Линейната функционална графика е права. Да се \u200b\u200bизгради достатъчно директно, за да знае две точки. Правилната позиция на координатната равнина зависи от стойностите на коефициентите к. и б.. По-долу е таблица, която я илюстрира ясно.

"Снимки за слайдове" - незадължителен курс "свят на мултимедийни технологии". Снимки на слайдове. В) Можете да прехвърлите чертежа за улавяне на мишката в средата. Поставяне на чертежи на слайда. Общинска обща образователна институция Средно училище № 5. 95% от информацията се възприема от човек с помощта на органите на визията ...

"Функции и техните графики" - 3. функция на допирателната. Тригонометрични. Функцията се определя и непрекъснато на целия набор от валидни числа. Определение: цифровата функция, посочена по формулата y \u003d cos x се нарича косинус. 4. Катяна инспекция. В самото място X \u003d A, функцията може да съществува и може да не съществува. Дефиниция 1. Нека функцията Y \u003d F (X) е дефинирана на сегмента.

"Функции на няколко променливи" - най-големите и най-малки стойности на функцията. Теорема на Weierstrass. Вътрешни и гранични точки. Границата на функцията от 2 променливи. Функционална графика. Теорема. Приемственост. Ограничена площ. Отворени и затворени зони. Производни на по-високи поръчки. Частни деривати. Частни увеличения на функцията от 2 променливи.

"3D рисунки на асфалт" - техните първи творби Кърт започна да създава на 16 в Санта Барбара, където е пристрастен към уличното изкуство. 3D чертежи на асфалт. Курт Верннер е един от най-известните улични художници, които привличат 3D рисунки на асфалт с обикновена тебешир. САЩ. В младостта си Курт Виннер работи като художник-илюстратор в НАСА, където създава първоначалните изображения на бъдещия космически кораб.

"Тематична функция" - ако учениците работят по различни начини, учителят трябва да работи с тях по различен начин. Необходимо е да се разбере фактът, че ученикът не знае, но това, което знае. Обобщение. Синтез. Резултатите от изпита по математика. Програма на незадължителния курс. Асоциация. Образователен и тематичен план (24 часа). Аналогия. Ако ученикът надмина учителя - това е щастието на учителя.

Линейната функция се нарича функция на формата y \u003d KX + B, където X-независимата променлива, k и b-всякакви числа.
Графиката на линейната функция е права.

1. За да добавите функционален график, Нуждаем се от координатите на две точки, принадлежащи към графиката на функцията. За да ги намерите, трябва да вземете две стойности X, да ги замените с уравнението на функцията и да изчислите съответните стойности на Y.

Например, за да конструирате графика на функцията y \u003d x + 2, е удобно да се вземе x \u003d 0 и x \u003d 3, след това поредиците на тези точки ще бъдат равни на y \u003d 2 и y \u003d 3. Получаваме точки а (0; 2) и в (3; 3). Свържете ги и получете графиката на функцията y \u003d x + 2:

2. Във формула Y \u003d KX + B, броят K се нарича коефициент на пропорционалност:
Ако k\u003e 0, тогава функцията y \u003d kx + b се увеличава
Ако К.
Коефициентът Б показва изместването на функционалния график по ос OY:
Ако b\u003e 0, тогава функцията на функцията y \u003d KX + B се получава от графиката на функцията \u003d KX Shift към B единици нагоре по ос Oy
Ако Б.
Фигура по-долу показва графиките на функциите y \u003d 2x + 3; y \u003d ½ x + 3; y \u003d x + 3

Обърнете внимание, че във всички тези функции коефициентът k над нулата, и функции повишаване на. Освен това, колкото по-голяма е стойността К, толкова по-голям е ъгълът на наклона, директно до положителната посока на осите на OX.

Във всички функции b \u003d 3 - и виждаме, че всички графики пресичат овата Oy в точката (0; 3)

Сега разгледайте графиките на функциите y \u003d -2x + 3; y \u003d - ½ x + 3; y \u003d -X + 3

Този път във всички функции на K коефициента по-малко от нула и функции намаление. Коефициентът b \u003d 3 и графики, както и в предишния случай, пресичат овата oy в точката (0; 3)

Помислете за графики на функции y \u003d 2x + 3; y \u003d 2x; Y \u003d 2x-3

Сега във всички уравнения на функциите коефициентите k са равни на 2. и имаме три успоредни права.

Но B коефициентите са различни и тези графики пресичат осите Oy в различни точки:
Графиката на функцията y \u003d 2x + 3 (b \u003d 3) пресича овата ос в точката (0; 3)
Графиката на функцията y \u003d 2x (b \u003d 0) пресича овата ос в точката (0; 0) - началото на координатите.
Графиката на функцията y \u003d 2x-3 (b \u003d -3) пресича овата ос в точката (0; -3)

Така че, ако знаем признаците на коефициентите на K и B, можем веднага да си представим как изглежда графиката на функцията Y \u003d KX + B.
Ако k 0.

Ако k\u003e 0 и b\u003e 0 , след това графиката на функцията Y \u003d KX + B е:

Ако k\u003e 0 и b , след това графиката на функцията Y \u003d KX + B е:

Ако k, след това функцията на функцията Y \u003d KX + B има формата:

Ако k \u003d 0. Функцията Y \u003d KX + B се превръща в функцията Y \u003d B и нейната графика е:

Коригията на всички точки на функцията на графиката Y \u003d B са равни на b ако b \u003d 0. , след това графиката на функцията Y \u003d KX (пряка пропорционалност) преминава през произхода на координатата:

3. Отделно, ние отбелязваме графиката на уравнението x \u003d a. Графиката на това уравнение е права линия, паралелна ос oy всички точки на които имат абсциса х \u003d а.

Например, графиката на уравнението x \u003d 3 изглежда така:
Внимание! Уравнението x \u003d a не е функция, такава стойност на аргумента съответства на различни стойности на функцията, която не съответства на дефиницията на функцията.


4. Състоянието на паралелизма на две прави линии:

График на функцията y \u003d k 1 x + b 1 паралелна графика на функцията y \u003d k 2 x + b 2, ако k1 \u003d k2

5. Състоянието на възстановяване на двете прави линии:

Графиката на функцията y \u003d k 1 x + b 1 е възстановен графиката на функцията y \u003d k 2 x + b2, ако k 1 * k2 \u003d -1 или k 1 \u003d -1 / k2

6. Точки на пресичане на графичната функция Y \u003d KX + B с оси на координати.

С оси oy. Абсцисата на всяка точка, принадлежаща към овата oy, е нула. Следователно, за да се намери точка на пресичане с осите oy, е необходимо да се замени нула в уравнението. Получаваме y \u003d b. Точката на пресичане с осите OY има координати (0; б).

С оста о: ордината на всяка точка, принадлежаща към оста, е равна на нула. Следователно, за да намерите точката на пресичане с оста, е необходимо да замените нула в уравнението на функцията вместо y. Получаваме 0 \u003d KX + b. Следователно x \u003d -b / k. Точката на пресичане с ос OX има координати (-b / k; 0):

Линейната функция се нарича функция на формата y \u003d kx + b, дадена на множество всички валидни номера. Тук К е ъглов коефициент (реален номер), b е свободен елемент (реален номер), X е независима променлива.

В конкретен случай, ако k \u003d 0, получаваме постоянна функция y \u003d b, чиято графика е директна, успоредна ос, преминаване през точката с координати (0; б).

Ако b \u003d 0, тогава получаваме функцията Y \u003d KX, която е пряка пропорционалност.

Геометричният смисъл на В - дължината на сегмента, който намалява правата линия по осите OY, считана от произхода.

Геометричното значение на коефициента k е ъгълът на наклона, директно към положителната посока на овката на OX, се счита за обратно на часовниковата стрелка.

Свойства на линейната функция:

1) обхватът на дефиницията на линейна функция е цялата реална ос;

2) Ако k ≠ 0, тогава площта на стойностите на линейната функция е цялата реална ос. Ако K \u003d 0, регионът на стойностите на линейната функция се състои между Б;

3) Паритетът и страненността на линейната функция зависи от стойностите на коефициентите K и B.

а) b ≠ 0, k \u003d 0, следователно y \u003d b - дори;

b) b \u003d 0, k ≠ 0, затова y \u003d kx е странно;

в) b ≠ 0, k ≠ 0, затова y \u003d kx + b - функцията на общата форма;

d) b \u003d 0, k \u003d 0, затова y \u003d 0 - и дори и нечетна функция.

4) собствеността на честотата, линейната функция не притежава;

OX: Y \u003d KX + B \u003d 0, X \u003d -B / K, следователно (-b / k; 0) - точка на пресичане с абсцеса ос.

Oy: y \u003d 0k + b \u003d b, следователно (0; б) - точка на пресичане с оста на ординатата.

Забележка. Ако b \u003d 0 и k \u003d 0, функцията y \u003d 0 се обръща към нула с всяка стойност на променливата x. Ако b ≠ 0 и k \u003d 0, тогава функцията y \u003d b не се отнася до нула при всякакви стойности на променливата x.

6) Пропуските на подравняването зависят от коефициента k.

а) k\u003e 0; KX + B\u003e 0, KX\u003e -B, X\u003e -B / K.

y \u003d kx + b - положителен с x от (-b / k; + ∞),

y \u003d kx + b - отрицателен с x от (-∞; -b / k).

б) К.< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y \u003d kx + b - положителен с x от (-∞; -b / k),

y \u003d KX + B - отрицателен с x от (-b / k; + ∞).

c) k \u003d 0, b\u003e 0; y \u003d kx + b положителен върху цялата дефиниционна област

k \u003d 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Интервалите на монотонността на линейната функция зависят от коефициента k.

k\u003e 0, затова y \u003d kx + b се увеличава в зоната на определение,

к.< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Линейната функционална графика е права. Да се \u200b\u200bизгради достатъчно директно, за да знае две точки. Позицията на директното на координатната равнина зависи от стойностите на коефициентите K и B. По-долу е таблица, която илюстрира, илюстрира фигура 1. (фиг.1)

Пример. Ние изследваме следната линейна функция: y \u003d 5x - 3.

3) общата функция;

4) непериодични;

5) точка на пресичане с оси на координатите:

OX: 5x - 3 \u003d 0, X \u003d 3/5, следователно (3/5; 0) - точка на пресичане с оста на абсцисата.

Oy: y \u003d -3, следователно (0; -3) - точка на пресичане с ордена ос;

6) Y \u003d 5x - 3 - положителен с X от (3/5; + ∞),

y \u003d 5x - 3 - отрицателен с x от (-∞; 3/5);

7) y \u003d 5x - 3 се увеличава по време на дефиницията;

сайтът, с пълно или частично копиране на позоваването на материала към оригиналния източник.

5. Синголен Продуктът на числени и букви-азбучни мултипликатори се нарича. Коефициентнаречен цифров множител.

6. За да запишете в стандартен формуляр, е необходимо: 1) Умножете цифровите фактори и тяхната работа, за да бъдат поставени на първо място; 2) Умножаване на градуса със същите основи и полученият продукт се поставя след цифров фактор.

7. Полиномът се нарича Алгебрична сума от няколко хомо реклама.

8. да се умножи от полином,необходимо е да се размножават всеки член на полином и получените работи са сгънати.

9. За умножаване на полином към полином, Необходимо е всеки член на един полином да се умножи от всеки член на другия полином и получените работи са сгънати.

10. Чрез всякакви две точки можете да прекарате директни и само един.

11. Две прави линии или имат само една обща точка, или нямат общи точки.

12. Две геометрични форми се наричат \u200b\u200bравни, ако могат да бъдат комбинирани с налагане.

13. Точката на сегмента, разделяща го наполовина, това е на два равни сегмента, наречена средата на сегмента.

14. Една греда идва от върха на ъгъла и се разделя на два равни ъгли се нарича ъгъл на бисектор.

15. Подробният ъгъл е 180 °.

16. Ъгълът се нарича директен, ако е 90 °.

17. Ъгълът се нарича остър, ако е по-малък от 90 °, т.е. по-малък директен ъгъл.

18. Ъгълът се нарича глупав, ако е по-голям от 90 °, но по-малко от 180 °, т.е., по-пряко, но по-малко от разширения ъгъл.

19. Два ъгъл, в която едната страна е често срещана, а другите две продължават един друг, се наричат \u200b\u200bсъседство.

20. Сумата от съседните ъгли е 180 °.

21. Два ъгъла се наричат \u200b\u200bвертикални, ако страните на същия ъгъл са продължаването на страните на другия.

22. Вертикалните ъгли са равни.


23. Две пресичащи се директни се наричат \u200b\u200bперпендикулярни (или взаимно

перпендикулярно), ако образуват четири прави ъгли.

24. Две права, перпендикулярна на третата, не се пресичат.

25. комби полином до множителите- Това означава да го представим под формата на продукт от няколко хомо реклама и полиноми.

26. Допълнително разлагане на полиноми към множителите: \\ t

а) подаване на скобите на общия фактор, \\ t

б) използването на формули на съкратено умножение,

в) Групиране на метода.

27. Да се \u200b\u200bразложи полиномът върху факторите по метода за правене на общ фактор за скоби, е необходимо:

а) Намерете този общ множител

б) извадете го за скоби,

в) Всеки компонент на полиномния е разделен на този мултипликатор и сгъва резултатите.

Признаци на равенство на триъгълниците

1) Ако двете страни и ъгълът между тях са един триъгълник, съответно, са равни на две страни и ъгъла между тях на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

2) Ако страната и два съседни ъгъл на един триъгълник са съответно равни настрани и ъглите на другия триъгълник в непосредствена близост до него, тогава такива триъгълници са равни.

3) Ако трите страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, тогава такива триъгълници са равни.

Образователен минимум

1. Разлагане за умножени формули за умножение:

а2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)

а 3 - B 3 \u003d (A - B) (и 2 + AB + B 2)

3 + B 3 \u003d (A + B) (и 2 - AB + B 2)

2. Формули на съкратено умножение:

(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2

(A - B) 2 \u003d А2 - 2АБ + В2

(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3

(А - В) 3 \u003d А 3 - 3А2 B + 3AB 2 - B 3

3. Сегментът, свързващ върха на триъгълника от средата на противоположната страна, се нарича медианатриъгълник.

4. Перпендикулярно, проведено от върха на триъгълника до директен, съдържащ противоположната страна, се нарича височинатриъгълник.

5. В равновесен триъгълник ъглите в основата са равни.

6. В равновесен триъгълник на бисектор, проведен в основата, е медиана и височина.

7. Кръггеометричната форма се състои от всички точки на равнината, разположени на дадено разстояние от тази точка.

8. Нарежете свързването на центъра с всяка точка на кръга, наречен радиускръг .

9. Сегмент, свързващ две точки на обиколката, наречена акорд.

Акорд, минавайки през центъра на кръга, се нарича диаметър

10.Marly пропорционалност y \u003d kh. където х. - независима променлива, да се - не е равно на нулевия номер ( да се - коефициент на пропорционалност).

11. График пряко пропорционалност- Това е права линия, преминаваща през произхода на координатите.

12. Линейна функциянаречена функция, която можете да зададете формулата y \u003d kx + b където х. - независима променлива, да се и б. - Някои номера.

13. Графична линейна функция- Това е права.

14 х. - Функция на аргумента (независима променлива)

w. - функция стойност (зависима променлива)

15. За b \u003d 0. Функцията отнема гледката y \u003d kx.Графикът й преминава през произхода на координатите.

За k \u003d 0. Функцията отнема гледката y \u003d B., нейният график е хоризонтален прав, минаващ през точката ( 0; Б.).

Съответствие между линейни функционални графики и K и B коефициенти

1.dve направо на самолета се наричат паралеленако не се пресичат.