Рівняння виду

Вираз D= b 2 - 4 acназивають дискримінантомквадратного рівняння. ЯкщоD = 0, то рівняння має один дійсний корінь; якщо D> 0, то рівняння має два дійсних кореня.
У випадку, коли D = 0 Іноді кажуть, що квадратне рівняння має два однакові корені.
Використовуючи позначення D= b 2 - 4 ac, можна переписати формулу (2) у вигляді

Якщо b= 2 k, то формула (2) набуває вигляду:

де k= b / 2 .
Остання формула особливо зручна у випадках, коли b / 2 - ціле число, тобто. коефіцієнт b - парне число.
Приклад 1:Вирішити рівняння 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . Тут a = 2, b = -5, c = 2. Маємо D= b 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Так як D > 0 , то рівняння має два корені. Знайдемо їх за формулою (2)

Отже x 1 = (5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
тобто x 1 = 2 і x 2 = 1 / 2 - Коріння заданого рівняння.
Приклад 2:Вирішити рівняння 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . Тут a = 2, b = -3, c = 5. Знаходимо дискримінант D= b 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Так як D 0 , то рівняння не має дійсних коренів.

Неповні квадратні рівняння. Якщо у квадратному рівнянні ax 2 + bx+ c =0 другий коефіцієнт bабо вільний член cдорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні рівняння виділяють тому, що для відшукання їх коріння можна не користуватися формулою коренів квадратного рівняння - простіше вирішити рівняння методом розкладання його лівої частини на множники.
Приклад 1:вирішити рівняння 2 x 2 - 5 x = 0 .
Маємо x(2 x - 5) = 0 . Значить або x = 0 , або 2 x - 5 = 0 , тобто x = 2.5 . Отже, рівняння має два корені: 0 і 2.5
Приклад 2:вирішити рівняння 3 x 2 - 27 = 0 .
Маємо 3 x 2 = 27 . Отже коріння даного рівняння - 3 і -3 .

Теорема Вієта. Якщо наведене квадратне рівняння x 2 + px+ q =0 має дійсне коріння, то їх сума дорівнює - p, а твір одно q, тобто

x 1 + x 2 = -p,
x 1 x 2 = q

(Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену).

», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.

Що називають квадратним рівнянням

Важливо!

Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.

Якщо максимальний ступінь, в якій стоїть невідоме - «2», отже, перед вами квадратне рівняння.

Приклади квадратних рівнянь

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Важливо!

Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - перший або старший коефіцієнт;
• "b" - другий коефіцієнт;
• "c" - вільний член.

Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».

Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Рівняння	Коефіцієнти
a = 5 b = −14 з = 17
a = −7 b = −13 з = 8

1

3

= 0

• a = −1
• b = 1
• з =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• з = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• з = −8

Як вирішувати квадратні рівняння

На відміну від лінійних рівнянь для розв'язання квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коріння.

Запам'ятайте!

Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:

• привести квадратне рівняння до загального вигляду"ax 2 + bx + c = 0".
• Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;

використовувати формулу для коріння:

Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.

X 2 − 3x − 4 = 0 Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже приведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати.

формулу знаходження коріння квадратного рівняння

Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.
Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.
Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.
Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.

x 1; 2 =

З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.
У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз

"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».

Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.

x 2 + 9 + x = 7x

У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0

x 2 − 6x + 9 = 0

Тепер можна використати формулу для коріння.
X 1; 2 =
X 1; 2 =
X 1; 2 =
x 1; 2 =

6

2

x =
x = 3

Відповідь: x = 3

Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.Квадратне рівняння – вирішується просто! *Далі у тексті «КУ».

Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів на запит на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться: Що це означає? Це означає те, що близько 70000 чоловік на місяць шукають цю інформацію, причому це літо, а що буде серед— запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.

Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив також зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться, щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:

Квадратне рівняння – це рівняння виду:

де коефіцієнти a,bі з довільними числами, причому a≠0.

У шкільному курсіматеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:

1. Мають два корені.

2. *Мають лише один корінь.

3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів

Як обчислюється коріння? Просто!

Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:

Формули коренів мають такий вигляд:

*Ці формули треба знати напам'ять.

Можна відразу записувати та вирішувати:

Приклад:

1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.

2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.

3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте розглянемо рівняння:

З цього приводу, коли дискримінант дорівнює нулю, у шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…

Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівні корені, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:

х 1 = 3 х 2 = 3

Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.

Тепер такий приклад:

Як відомо – корінь з негативного числа не витягується, тому рішення у разі немає.

Ось і весь процес розв'язання.

Квадратична функція.

Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).

Це функція виду:

де х і у - змінні

a, b, с – задані числа, причому a ≠ 0

Графіком є ​​парабола:

Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Детально про квадратичні функції можете подивитисьстаттю в Інни Фельдман.

Розглянемо приклади:

Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0

а = 2 b = 8 c = -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12

*Можна було відразу ж ліву та праву частину рівняння розділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.

Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11

У відповіді можна записати х = 11.

Відповідь: х = 11

Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0

а = 1 b = -8 c = 72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.

Відповідь: рішення немає

Дискримінант негативний. Рішення є!

Тут мова піде про рішення рівняння у разі, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексних числах? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль та необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.

Концепція комплексного числа.

Трохи теорії.

Комплексним числом z називається число виду

z = a + bi

де a та b – дійсні числа, i - так звана уявна одиниця.

a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.

Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:

Тепер розглянемо рівняння:

Отримали два сполучені корені.

Неповне квадратне рівняння.

Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони легко вирішуються без будь-яких дискримінантів.

Випадок 1. Коефіцієнт b=0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо:

Приклад:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Випадок 2. Коефіцієнт = 0.

Рівняння набуває вигляду:

Перетворюємо, розкладаємо на множники:

*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.

Приклад:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.

Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.

Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.

Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.

аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a + b+ с = 0,то

- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність

a+ с =b, то

Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.

Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сума коефіцієнтів дорівнює 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, отже

Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Виконується рівність a+ с =b, значить

Закономірність коефіцієнтів.

1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.

х 1 = -6 х 2 = -1/6.

2. Якщо в рівнянні ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює

аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.

приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.

х 1 = - 17 х 2 = 1/17.

4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює

аx 2 – (а 2 –1) х – а = 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

приклад. Розглянемо рівняння 10х2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = - 1/10

Теорема Вієта.

Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви зможете вирішувати відразу усно.

Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую робити це завжди.

СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ

При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1

Отримані коріння рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.

Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:

Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:

У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.

Тому результат і ділимо на 2.

*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.

Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие та ЄДІ.

Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).

Що варто зазначити!

1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:

15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).

2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою - t, q, p, h та іншими.

Квадратні рівняння. Дискримінант. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Види квадратних рівнянь

Що таке квадратне рівняння? Як воно виглядає? У терміні квадратне рівнянняключовим словом є "квадратне".Воно означає, що у рівнянні обов'язковоповинен бути присутнім ікс у квадраті. Крім нього, у рівнянні можуть бути (а можуть і не бути!) просто ікс (у першому ступені) і просто число (Вільний член).І не повинно бути іксів у мірі, більше двійки.

Говорячи математичною мовою, квадратне рівняння – це рівняння виду:

Тут a, b і с- Якісь числа. b та c- Зовсім будь-які, а а- Будь-яке, крім нуля. Наприклад:

Тут а =1; b = 3; c = -4

Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2

Тут а =-3; b = 6; c = -18

Ну ви зрозуміли…

У цих квадратних рівняннях зліва присутній повний набірчленів. Ікс у квадраті з коефіцієнтом а,ікс у першому ступені з коефіцієнтом bі вільний член с.

Такі квадратні рівняння називаються повними.

А якщо b= 0, що в нас вийде? У нас пропаде ікс у першому ступені.Від множення на нуль таке трапляється.) Виходить, наприклад:

5х 2 -25 = 0,

2х 2 -6х = 0,

-х 2+4х=0

І т.п. А якщо вже обидва коефіцієнти, bі cрівні нулю, то все ще простіше:

2х 2 = 0,

-0,3 х 2 = 0

Такі рівняння, де чогось не вистачає, називаються неповними квадратними рівняннями.Що цілком логічно.) Прошу помітити, що ікс у квадраті є у всіх рівняннях.

До речі, чому ане може дорівнювати нулю? А ви підставте замість анолик.) У нас зникне ікс у квадраті! Рівняння стане лінійним. І вирішується вже зовсім інакше.

Ось і всі основні види квадратних рівнянь. Повні та неповні.

Розв'язання квадратних рівнянь.

Розв'язання повних квадратних рівнянь.

Квадратні рівняння вирішуються просто. За формулами та точними нескладними правилами. На першому етапі треба задане рівнянняпривести до стандартного вигляду, тобто. до вигляду:

Якщо рівняння вам дано вже в такому вигляді - перший етап робити не потрібно. Головне - правильно визначити всі коефіцієнти, а, bі c.

Формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:

Вираз під знаком кореня називається дискримінант. Але про нього – нижче. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су цю формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, у рівнянні:

а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:

Приклад практично вирішено:

Це відповідь.

Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…

Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значеньу формулу для обчислення коренів. Тут рятує докладний запис формули із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!

Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:

Тут a = -6; b = -5; c = -1

Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.

Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:

Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно?

Крім того, я вас порадую. Через деякий час зникне потреба так ретельно все розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо застосовуватимете практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!

Але, часто, квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так: Дізналися?) Так! Це.

неповні квадратні рівняння

Розв'язання неповних квадратних рівнянь. a, b і с.

Їх також можна вирішувати за загальною формулою. Треба тільки правильно збагнути, чого тут дорівнюють Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4; cа ? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! От і все. Підставляємо у формулу нуль замість c, і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут нез b !

, а Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без жодних формул. Розглянемо перше. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.

І що з цього? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні нуль дадуть!
Не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х 1 = 0, х 2 = 4.

Всі. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж за загальною формулою. Зауважу, до речі, який ікс буде першим, а яким другим абсолютно байдуже. Зручно записувати по порядку, х 1- те, що менше, а х 2- Те, що більше.

Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:

Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:

Теж два корені . х 1 = -3, х 2 = 3.

Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або з допомогою винесення икса за дужки, чи простим перенесенням числа вправо з наступним вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь із іксу витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нічого.

Дискримінант. Формула дискримінанту.

Чарівне слово дискримінант ! Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий і безвідмовний у зверненні.) Нагадую найзагальнішу формулу для вирішення будь-якихквадратних рівнянь:

Вираз під знаком кореня називається дискримінантом. Зазвичай дискримінант позначається буквою D. Формула дискримінанта:

D = b 2 - 4ac

І чим же примітний цей вислів? Чому воно заслужило спеціальну назву? У чому сенс дискримінанта?Адже -b,або 2aу цій формулі спеціально ніяк не називають... Літери та літери.

Справа ось у чому. При розв'язанні квадратного рівняння за цією формулою, можливі лише три випадки.

1. Дискримінант позитивний.Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різні рішення.

2. Дискримінант дорівнює нулю.Тоді у вас буде одне рішення. Так як від додавання-віднімання нуля в чисельнику нічого не змінюється. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але, у спрощеному варіанті, прийнято говорити про одному рішенні.

3. Дискримінант негативний.З негативного числа квадратний корінь не витягується. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.

Чесно кажучи, при простому рішенніквадратних рівнянь, поняття дискримінанта не особливо й потрібне. Підставляємо на формулу значення коефіцієнтів, і вважаємо. Там все само собою виходить, і два корені, і одне, і жодне. Однак, при вирішенні складніших завдань, без знання змісту та формули дискримінантане обійтись. Особливо – в рівняннях із параметрами. Такі рівняння - вищий пілотаж на ДІА та ЄДІ!)

Отже, як вирішувати квадратні рівняннячерез дискримінант ви згадали. Або навчилися, що теж непогано.) Умієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове слово тут – уважно?

А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.

Прийом перший . Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:

Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:

І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбавтеся мінуса. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:

А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно.

У вас має вийти коріння 2 і -1. Прийом другий. Перевіряйте коріння! За теоремою Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємоостаннє рівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнта = 1 , перевірити коріння легко. Достатньо їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком

. Якщо не вийшло – значить уже десь накосячили. Шукайте помилку. bЯкщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт з протилежним bзнаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт
, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно! Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтомАле хоч у таких рівняннях перевіряйте! Дедалі менше помилок буде.

Прийом третій . Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Домножте рівняння на спільний знаменникЯк описано в уроці "Як вирішувати рівняння? Тотожні перетворення". При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.

До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.

Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:

От і все! Вирішувати – одне задоволення!

Отже, підсумуємо тему.

Практичні поради:

1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.

2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.

3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.

4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!

Тепер можна і вирішити.)

Розв'язати рівняння:

8х 2 - 6x + 1 = 0

х 2 + 3x + 8 = 0

х 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Відповіді (безладно):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

х - будь-яке число

х 1 = -3
х 2 = 3

рішень немає

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Все сходиться? Чудово! Квадратні рівняння – не ваш головний біль. Перші три вийшли, а решта – ні? Тоді проблема не у квадратних рівняннях. Проблема у тотожних перетвореннях рівнянь. Прогуляйтеся посиланням, це корисно.

Чи не зовсім виходить? Чи зовсім не виходить? Тоді вам допоможе Розділ 555. Там усі ці приклади розібрані по кісточках. Показано головніпомилки у вирішенні. Розповідається, зрозуміло, і про застосування тотожних перетвореньу розв'язанні різних рівнянь. Дуже допомагає!

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули згадуватимуться самі собою.

Загальний вигляд квадратного рівняння

Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.

Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.

Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.

Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.

Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:

• у рішенні буде два корені;
• відповіддю буде одне число;
• коріння рівняння не буде зовсім.

І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.

Види записів квадратних рівнянь

У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формулаквадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.

Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:

Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.

Дискримінант і залежність числа коренів від його значення

Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.

Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числі коріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.

Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?

По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.

Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.

Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.

Якщо розв'язання квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта та змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.

Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?

Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.

Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.

Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.

Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.

• Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.

• Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.

• Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.

Приклади

Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:

х 2 − 7х = 0;

15 − 2х − х 2 = 0;

х 2 + 8 + 3х = 0;

12х + х 2 + 36 = 0;

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).

Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.

Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.

Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.

Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.

Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.

Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.

Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».

П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.

Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.