Ми вже знаємо, що безліч дійсних чисел $R$ утворюють раціональні та ірраціональні числа.

Раціональні числа завжди можна подати у вигляді десяткових дробів (кінцевих або нескінченних періодичних).

Ірраціональні числа записуються у вигляді нескінченних, але неперіодичних десяткових дробів.

До множини дійсних чисел $R$ належать також елементи $-\infty $ і $+\infty $, для яких виконуються нерівності $-\infty

Розглянемо методи уявлення дійсних чисел.

Звичайні дроби

Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чиселі горизонтальної дробової межі. Дробова характеристика практично замінює символ поділу. Число під межею - це знаменник дробу (дільник), число над межею - чисельник (ділене).

Визначення

Дроб називається правильним, якщо його чисельник менше знаменника. І навпаки, дріб називається неправильним, якщо його чисельник більший за знаменник або дорівнює йому.

Для звичайних дробів існують прості, практично очевидні правила порівняння ($m$,$n$,$p$ - натуральні числа):

  1. з двох дробів з однаковими знаменниками більше та, у якої чисельник більший, тобто $ frac(m) (p) > frac (n) (p) $ при $ m> n $;
  2. з двох дробів з однаковими чисельниками більша та, у якої знаменник менший, тобто $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ при $ m
  3. правильний дріб завжди менше одиниці; неправильний дріб завжди більше одиниці; дріб, у якого чисельник дорівнює знаменнику, дорівнює одиниці;
  4. будь-який неправильний дріб більше будь-якої правильної.

Десяткові числа

Запис десяткового числа (десяткового дробу) має вигляд: ціла частина, десяткова кома, дробова частина. Десятковий запис звичайного дробу можна отримати, виконавши поділ "кутом" чисельника на знаменник. При цьому може вийти або кінцевий десятковий дріб, або нескінченний періодичний десятковий дріб.

Визначення

Цифри дробової частини називають десятковими знаками. У цьому перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий - розрядом сотих, третій - розрядом тисячних тощо.

Приклад 1

Визначаємо значення десяткового числа 3,74. Отримуємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Десяткова кількістьможна округлити. У цьому слід зазначити розряд, до якого виконується округлення.

Правило округлення ось у чому:

  1. усі цифри правіше за цей розряд замінюють нулями (якщо ці цифри знаходяться до коми) або відкидають (якщо ці цифри знаходяться після коми);
  2. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, менше 5, то цифру даного розряду не змінюють;
  3. якщо перша цифра, яка йде за даним розрядом, 5 і більше, то цифру даного розряду збільшують на одиницю.

Приклад 2

  1. Округлимо число 17302 до тисяч: 17000.
  2. Округлимо число 17378 до сотень: 17400.
  3. Округлимо число 17378,45 до десятків: 17380.
  4. Округлимо число 378,91434 до сотих: 378,91.
  5. Округлимо число 378,91534 до сотих: 378,92.

Перетворення десяткового числа на звичайний дріб.

Випадок 1

Десятичне число являє собою кінцевий десятковий дріб.

Спосіб перетворення демонструє такий приклад.

Приклад 2

Маємо: $ 3,74 = 3 + frac (7) (10) + frac (4) (100) $.

Наводимо до спільному знаменникуі отримуємо:

Дроб можна скоротити: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Випадок 2

Десятичне число являє собою нескінченний періодичний десятковий дріб.

Спосіб перетворення заснований на тому, що періодичну частину періодичного десяткового дробу можна розглядати як суму членів нескінченної спадної геометричної прогресії.

Приклад 4

$ 0, \ left (74 \ right) = \ frac (74) (100) + frac (74) (10000) + frac (74) (1000000) + \ ldots $. Перший член прогресії $ a = 0,74 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $.

Приклад 5

$0,5\left(8\right)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . Перший член прогресії $ a = 0,08 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $.

Сума членів нескінченної спадної геометричної прогресії обчислюється за формулою $s=\frac(a)(1-q) $, де $a$ - перший член, а $q$ - знаменник прогресії $ \left (0

Приклад 6

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,\left(72\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,72 $, знаменник прогресії $ Q = 0,01 $. Отримуємо: $s = frac (a) (1-q) = frac (0,72) (1-0,01) = frac (0,72) (0,99) = frac (72) ( 99) = frac (8) (11) $. Таким чином, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Приклад 7

Перекладемо нескінченний періодичний десятковий дріб $0,5\left(3\right)$ у звичайний.

Перший член прогресії $ a = 0,03 $, знаменник прогресії $ Q = 0,1 $. Отримуємо: $ s = frac (a) (1-q) = frac (0,03) (1-0,1) = frac (0,03) (0,9) = frac (3) ( 90) = frac (1) (30) $.

Таким чином, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1) (30) = frac (15) (30) + frac (1) (30) = frac (16) (30) = frac (8) (15) $.

Справжні числаможна зображати точками числової осі.

У цьому числовій віссю ми називаємо нескінченну пряму, де обрано початок відліку (точка $O$), позитивний напрямок (вказується стрілкою) і масштаб (для відображення значень).

Між усіма дійсними числами та всіма точками числової осі існує взаємно однозначна відповідність: кожній точці відповідає однина і, навпаки, кожному числу відповідає єдина точка. Отже, безліч дійсних чисел є безперервним і нескінченним так само, як безперервна та нескінченна числова вісь.

Деякі підмножини множини дійсних чисел називають числовими проміжками. Елементами числового проміжку є числа $x\in R$, що задовольняють певну нерівність. Нехай $a\in R$, $b\in R$ і $a\le b$. У цьому випадку різновиди проміжків можуть бути такими:

  1. Інтервал $ \ left (a, \; b \ right) $. При цьому $a
  2. Відрізок $ \ left $. У цьому $a\le x\le b$.
  3. Напіввідрізки або напівінтервали $\left$. При цьому $ a \le x
  4. Нескінченні проміжки, наприклад, $a

Важливе значення має також різновид проміжку, що називається околицею точки. Околиця даної точки $x_(0) \in R$ -- це довільний інтервал $\left(a,\; b\right)$, що містить цю точку в собі, тобто $a 0$ - його радіусом.

Абсолютна величина числа

Абсолютною величиною (або модулем) дійсного числа $x$називається невід'ємне дійсне число $\left|x\right|$, що визначається за формулою: $\left|x\right|=\left\(\begin(array)(c) (\; \; x\; \; (\rm при)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm при)\; \; x;

Геометрично $\left|x\right|$ означає відстань між точками $x$ і 0 на числовій осі.

Властивості абсолютних величин:

  1. з визначення слідує, що $ \ left | x \ right | \ ge 0 $, $ \ left | x \ right | = \ left | -x \ right | $;
  2. для модуля суми і для модуля різниці двох чисел справедливі нерівності $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, а також $\left|x+y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$,$\ left|x-y\right|\ge \left|x\right|-\left|y\right|$;
  3. для модуля твору і модуля приватного двох чисел справедливі рівності $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right|$ і $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

На підставі визначення абсолютної величини для довільного числа $a>0$ можна встановити рівносильність наступних пар нерівностей:

  1. якщо $ \ left | x \ right |
  2. якщо $\left|x\right|\le a$, то $-a\le x\le a$;
  3. якщо $\left|x\right|>a$, або $xa$;
  4. якщо $\left|x\right|\ge a$, або $x\le -a$, або $x\ge a$.

Приклад 8

Розв'язати нерівність $\left|2\cdot x+1\right|

Ця нерівність дорівнює нерівностям $-7

Звідси отримуємо: $-8

Числова пряма, числова вісь, - це пряма де зображуються дійсні числа. На прямій вибирають початок відліку – точку О (точка Зображує 0) і точку L, що зображає одиницю. Точка L зазвичай стоїть праворуч від точки О. Відрізок ОL називають одиничним відрізком.

Точки, що стоять праворуч від точки Зображають позитивні числа. Крапки, що стоять ліворуч від точки. Про зображують негативні числа. Якщо точка Х зображує позитивне число х то відстань ОХ = х. Якщо точка Х зображує негативне число х то відстань ОХ = - х.

Число, що показує положення точки прямої, називається координатою цієї точки.

Точка V зображена малюнку має координату 2, а точка H має координату -2,6.

Модулем дійсного числа називається відстань від початку відліку до точки, що відповідає цьому числу. Позначають модуль числа x, так: | х |. Очевидно, що | 0 | = 0.

Якщо число x більше 0, то | х | = х, і якщо х менше 0, то | х | = - х. На цих властивостях модуля, засноване розв'язання багатьох рівнянь та нерівностей із модулем.

Приклад: Розв'язати рівняння | х – 3 | = 1.

Рішення: Розглянемо два випадки - перший випадок, коли х -3> 0, і другий випадок, коли х - 30.

1. х – 3 > 0, х > 3.

І тут | х – 3 | = х – 3.

Рівняння набуває вигляду х – 3 = 1, х = 4. 4 > 3 – задовольнять першій умові.

2. х -3 0, х 3.

І тут | х – 3 | = - х + 3

Рівняння набуває вигляду х + 3 = 1, х = - 2. -2 3 – задовольнять другу умову.

Відповідь: х = 4, х = -2.

Числові вирази.

Числове вираз – це сукупність одного чи кількох чисел і функцій, з'єднаних знаками арифметичних операцій та дужками.
Приклади числових виразів:

Значенням числового виразу є число.
Операції у числовому виразі виконуються в наступній послідовності:

1. Дії у дужках.

2. Обчислення функций.

3. Зведення у ступінь

4. Множення та розподіл.

5. Додавання та віднімання.

6. Однотипні операції виконуються зліва направо.

Так значенням першого виразу буде саме число 12,3
Для того щоб обчислити значення другого виразу, дії виконуватимемо в наступній послідовності:



1. Виконаємо дії в дужках у наступній послідовності - спочатку 2 зведемо в третій ступінь, потім від отриманого числа заберемо 11:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Помножимо 3 на 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Виконаємо послідовно операції зліва направо:

12 + (-3) = 9.
Вираз зі змінними – це сукупність одного чи кількох чисел, змінних та функцій, з'єднаних знаками арифметичних операцій та дужками. Значення виразів із змінними залежать від значень, що входять до нього змінних. Послідовність виконання операцій тут та ж, що й для числових виразів. Вирази із змінними іноді буває корисно спрощувати, виконуючи різні дії – винесення за дужки, розкриття дужок, угруповання, скорочення дробів, приведення подібних тощо. Також для спрощення виразів часто використовують різні формули, наприклад, формули скороченого множення, властивості різних функцій тощо.

Алгебраїчні вирази.

Алгебраїчним виразом називається одна або кілька алгебраїчних величин (чисел і букв), з'єднаних між собою знаками алгебраїчних дій: додавання, віднімання, множення та поділу, а також вилучення кореня та зведення в цілий ступінь (причому показники кореня та ступеня повинні обов'язково бути цілими числами) та знаками послідовності цих дій (зазвичай дужками різного виду). Кількість величин, що входять до виразу алгебри має бути кінцевим.

Приклад виразу алгебри:

«Алгебраїчне вираз» - поняття синтаксичне, тобто щось є виразом алгебри тоді і тільки тоді, коли підпорядковується деяким граматичним правилам (див. Формальна граматика). Якщо ж літери в виразі алгебри вважати змінними, то алгебраїчне вираз набуває сенсу алгебраїчної функції.

Рівняння із модулями, методи рішень. Частина 1.

Перш ніж приступати до безпосереднього вивчення техніки розв'язання таких рівнянь, важливо зрозуміти суть модуля, його геометричне значення. Саме у розумінні визначення модуля та його геометричному сенсі закладено основні методи розв'язання таких рівнянь. Так званий метод інтервалів при розкритті модульних дужок настільки ефективний, що використовуючи його можливо вирішити абсолютно будь-яке рівняння або нерівність з модулями. У цій частині ми докладно вивчимо два стандартні методи: метод інтервалів та метод заміни рівняння сукупністю.

Однак, як ми переконаємося, ці методи завжди ефективні, але не завжди зручні і можуть призводити до довгих і навіть не дуже зручних обчислень, які природно вимагатимуть більшого часу на їх вирішення. Тому важливо знати й ті методи, які вирішення певних структур рівнянь значно спрощують. Зведення обох частин рівняння квадрат, метод введення нової змінної, графічний метод, Вирішення рівнянь, що містять модуль під знаком модуля. Ці методи ми розглянемо у наступній частині.

Визначення модуля числа. Геометричний зміст модуля.

Насамперед познайомимося з геометричним змістом модуля:

Модулем числа а (|а|)називають відстань на числовій прямій від початку координат (точки 0) до точки А(а).

Виходячи з цього визначення, розглянемо деякі приклади:

|7| - це відстань від 0 до точки 7, звичайно вона дорівнює 7. → | 7 |=7

|-5|- цевідстань від 0 до точки -5 і воно дорівнює: 5. → |-5| = 5

Усі ми розуміємо відстань не може бути негативною! Тому |х| ≥ 0 завжди!

Розв'яжемо рівняння: |х |=4

Це рівняння можна прочитати так: відстань від точки 0 до точки x дорівнює 4. Ага, виходить, від 0 ми можемо рухатися як вліво так і вправо, значить рухаючись вліво на відстань 4 ми опинимося в точці: -4, а рухаючись вправо опинимося у точці: 4. Дійсно, |-4 |=4 і |4 |=4.

Звідси відповідь х=±4.

При уважному вивченні попереднього рівняння можна помітити, що: відстань вправо по числовій прямій від 0 до точки дорівнює самій точці, а відстань вліво від 0 до числа дорівнює протилежному числу! Розуміючи, що праворуч від 0 позитивні числа, а вліво від 0 негативні, сформулюємо визначення модуля числа: модулем ( абсолютною величиною) числа х(|х|) називається саме число х, якщо х ≥0, та число – х, якщо х<0.

Тут нам треба знайти безліч точок на числовій прямій відстань від 0 до яких буде менше 3, давайте представимо числову пряму, на ній точка 0, йдемо вліво і рахуємо один (-1), два (-2) і три (-3), стоп. Далі підуть точки, які лежать далі 3 або відстань до яких від 0 більше 3, тепер йдемо вправо: один, два, три, знову стоп. Тепер виділяємо всі наші точки та отримуємо проміжок х:(-3;3).

Важливо, щоб ви це чітко бачили, якщо поки не виходить, намалюйте на папері і подивіться, щоб ця ілюстрація була вам цілком зрозуміла, не полінуйтеся і спробуйте побачити рішення наступних завдань:

|х |=11, x=? |х|=-5, х=?

|х |<8, х-? |х| <-6, х-?

|x |>2, х-? |x|> -3, х-?

|π-3|=? |-х ²-10 | =?

|√5-2|=? | 2х-х ²-3 | =?

|х²+2|=? |х²+4|=0

|х²+3х+4|=? |-х ² +9 | ≤0

Звернули увагу на дивні завдання у другому стовпці? Справді, відстань може бути негативним тому: |х|=-5- немає рішень, звісно ж може бути і менше 0, тому: |х|<-6 тоже не имеет решений, ну и естественно, что любое расстояние будет больше отрицательного числа, значит решением |x|>-3 є всі числа.

Після того, як ви навчитеся швидко бачити малюнки з рішеннями читайте далі.

У цій статті ми детально розберемо модуль числа. Ми дамо різні визначення модуля числа, введемо позначення та наведемо графічні ілюстрації. При цьому розглянемо різні приклади знаходження модуля числа за визначенням. Після цього ми перерахуємо та обґрунтуємо основні властивості модуля. Наприкінці статті поговоримо про те, як і знаходиться модуль комплексного числа.

Навігація на сторінці.

Модуль числа – визначення, позначення та приклади

Спочатку введемо позначення модуля числа. Модуль числа a будемо записувати як , тобто, ліворуч і праворуч від числа ставитимемо вертикальні рисочки, що утворюють знак модуля. Наведемо кілька прикладів. Наприклад, модуль −7 можна записати як ; модуль 4,125 записується як, а модуль має запис виду.

Наступне визначення модуля відноситься до , а отже, і до , і до цілих, і до раціональних, і до ірраціональних чисел, як до частин множини дійсних чисел. Про модуль комплексного числа ми поговоримо в.

Визначення.

Модуль числа a– це або саме число a , якщо a – позитивне число, чи число −a , протилежне числу a , якщо a – негативне число, чи 0 , якщо a=0 .

Озвучене визначення модуля числа часто записують у такому вигляді , цей запис означає, що , якщо a>0 , якщо a=0 , і , якщо a<0 .

Запис можна представити у більш компактній формі . Цей запис означає, що , якщо (a більше або дорівнює 0 ), і якщо a<0 .

Також має місце та запис . Тут окремо слід пояснити випадок, коли a = 0. І тут маємо , але −0=0 , оскільки нуль вважають числом, яке протилежне себе.

Наведемо приклади знаходження модуля числаза допомогою озвученого визначення. Наприклад знайдемо модулі чисел 15 і . Почнемо з перебування. Оскільки число 15 – позитивне, його модуль за визначенням дорівнює самому цьому числу, тобто, . А чому дорівнює модуль числа? Оскільки - негативне число, його модуль дорівнює числу, протилежному числу , тобто, числу . Таким чином, .

На закінчення цього пункту наведемо один висновок, який дуже зручно застосовувати практично при знаходженні модуля числа. З визначення модуля числа випливає, що модуль числа дорівнює числу під знаком модуля без урахування його знака, та якщо з розглянутих вище прикладів це дуже чітко видно. Озвучене твердження пояснює, чому модуль числа ще називають абсолютною величиною числа. Так модуль числа та абсолютна величина числа – це те саме.

Модуль числа як відстань

Геометрично модуль числа можна інтерпретувати як відстань. Наведемо визначення модуля числа через відстань.

Визначення.

Модуль числа a– це відстань від початку відліку на координатній прямій до точки, що відповідає числу a.

Дане визначення узгоджується з визначенням модуля числа, даного у першому пункті. Пояснимо цей момент. Відстань від початку відліку до точки, якій відповідає позитивне число, дорівнює цьому числу. Нулю відповідає початок відліку, тому відстань від початку відліку до точки з координатою 0 дорівнює нулю (не потрібно відкладати жодного одиничного відрізка і жодного відрізка, що становить якусь частку одиничного відрізка, щоб від точки O потрапити до точки з координатою 0). Відстань від початку відліку до точки з негативною координатою дорівнює числу, протилежному координаті даної точки, оскільки дорівнює відстані від початку координат до точки, координатою якої є протилежне число.

Наприклад, модуль числа 9 дорівнює 9 так як відстань від початку відліку до точки з координатою 9 дорівнює дев'яти. Наведемо приклад. Точка з координатою −3,25 знаходиться від точки O на відстані 3,25 тому .

Озвучене визначення модуля числа є окремим випадком визначення модуля різниці двох чисел.

Визначення.

Модуль різниці двох чисел a і b дорівнює відстані між точками координатної прямої з координатами a і b.


Тобто, якщо дані точки на координатній прямій A(a) і B(b) , то відстань від точки A до точки B дорівнює модулю різниці чисел a і b. Якщо в якості точки взяти точку O (початок відліку), то ми отримаємо визначення модуля числа, наведене на початку цього пункту.

Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь

Іноді зустрічається визначення модуля через арифметичний квадратний корінь.

Наприклад обчислимо модулі чисел −30 і підставі даного визначення. Маємо. Аналогічно обчислюємо модуль двох третіх: .

Визначення модуля числа через арифметичний квадратний корінь також узгоджується з визначенням у першому пункті цієї статті. Покажемо це. Нехай a – позитивне число, у своїй число −a – негативне. Тоді і якщо ж a = 0, то .

Властивості модуля

Модулю притаманний ряд характерних результатів - властивості модуля. Зараз ми наведемо основні і найчастіше використовувані їх. При обґрунтуванні цих властивостей ми спиратимемося на визначення модуля числа через відстань.

    Почнемо з самої очевидної якості модуля – модуль числа не може бути негативним числом. У літерному вигляді ця властивість має запис виду для будь-якого числа a. Цю властивість дуже легко довести: модуль числа є відстань, а відстань не може виражатися негативним числом.

    Переходимо до наступного властивості модуля. Модуль числа дорівнює нулю і тоді, коли це число є нуль. Модуль нуля є нуль за визначенням. Нулю відповідає початок відліку, ніяка інша точка на координатній прямій нулю не відповідає, тому що кожному дійсному числу поставлена ​​у відповідність єдина точка на координатній прямій. З цієї причини будь-якому числу, відмінному від нуля, відповідає точка, відмінна від початку отсчета. А відстань від початку відліку до будь-якої точки, відмінної від точки O, не дорівнює нулю, так як відстань між двома точками дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці точки збігаються. Наведені міркування доводять, що нулю дорівнює лише модуль нуля.

    Йдемо далі. Протилежні числа мають рівні модулі, тобто для будь-якого числа a . Дійсно, дві точки на координатній прямій, координатами яких є протилежні числа, знаходяться на однаковій відстані від початку відліку, отже, модулі протилежних чисел рівні.

    Наступна властивість модуля така: модуль добутку двох чисел дорівнює добутку модулів цих чисел, тобто, . За визначенням модуль добутку чисел a і b дорівнює або a b, якщо , або −(a b) , якщо . З правил множення дійсних чисел випливає, що добуток модулів чисел a і b дорівнює або a·b , або -(a·b) , якщо , що доводить розглянуту властивість.

    Модуль приватного від розподілу a на b дорівнює частці від розподілу модуля числа a на модуль числа b, тобто, . Обгрунтуємо цю властивість модуля. Так як приватне дорівнює добутку, то. У силу попередньої властивості маємо . Залишилося лише скористатися рівністю , яка справедлива через визначення модуля числа.

    Наступна властивість модуля записується у вигляді нерівності: , a, b і c – довільні дійсні числа. Записана нерівність є ні що інше як нерівність трикутника. Щоб це стало зрозуміло, візьмемо точки A(a), B(b), C(c) на координатній прямій і розглянемо вироджений трикутник АВС, у якого вершини лежать на одній прямій. За визначенням модуля різниці дорівнює довжині відрізка АВ, - Довжині відрізка АС, а - Довжині відрізка СВ. Так як довжина будь-якої сторони трикутника не перевищує суму довжин двох інших сторін, то справедлива нерівність Отже, справедливо і нерівність.

    Щойно доведена нерівність набагато частіше зустрічається у вигляді . Записану нерівність зазвичай розглядають як окрему властивість модуля з формулюванням: « Модуль суми двох чисел вбирається у суму модулів цих чисел». Але нерівність безпосередньо випливає з нерівності , якщо в ньому замість b покласти −b і прийняти c = 0 .

Модуль комплексного числа

Дамо визначення модуля комплексного числа. Нехай нам дано комплексне число, Записане в алгебраїчній формі , де x і y - деякі дійсні числа, що є відповідно дійсну і уявну частини даного комплексного числа z, а - уявна одиниця.

Визначення.

Модулем комплексного числа z=x+i·y називається арифметичний квадратний корінь із суми квадратів дійсної та уявної частини даного комплексного числа.

Модуль комплексного числа z позначається як , тоді озвучене визначення модуля комплексного числа може бути записане у вигляді .

Дане визначення дозволяє обчислити модуль будь-якого комплексного числа в формі алгебри запису. Наприклад обчислимо модуль комплексного числа. У цьому прикладі дійсна частина комплексного числа дорівнює, а уявна - мінус чотирьом. Тоді за визначенням модуля комплексного числа маємо .

Геометричну інтерпретацію модуля комплексного числа можна дати через відстань за аналогією з геометричною інтерпретацією модуля дійсного числа.

Визначення.

Модуль комплексного числа z – це відстань від початку комплексної площини до точки, що відповідає числу z у цій площині.

За теоремою Піфагора відстань від точки O до точки з координатами (x, y) знаходиться як , тому, , де . Отже, останнє визначення модуля комплексного числа узгоджується з першим.

Дане визначення також дозволяє відразу вказати, чому дорівнює модуль комплексного числа z якщо воно записано в тригонометричній формі як або в показовій формі. Тут. Наприклад, модуль комплексного числа дорівнює 5, а модуль комплексного числа дорівнює.

Можна також помітити, що добуток комплексного числа комплексно пов'язане число дає суму квадратів дійсної і уявної частини. Справді, . Отримана рівність дозволяє ще одне визначення модуля комплексного числа.

Визначення.

Модуль комплексного числа z – це арифметичний квадратний корінь з добутку цього числа та числа, комплексно пов'язаного з ним, тобто .

На закінчення відзначимо, що це властивості модуля, сформульовані у відповідному пункті, справедливі й у комплексних чисел.

Список літератури.

  • Віленкін Н.Я. та ін Математика. 6 клас: підручник для загальноосвітніх закладів.
  • Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
  • Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. Функції комплексного змінного: підручник для вишів.
  • Привалов І.І. Введення у теорію функцій комплексного змінного.

Відеоурок «Геометричний зміст модуля дійсного числа» – наочний посібник для уроку математики з відповідної теми. У відеоуроці детально і наочно розглядається геометричний зміст модуля, після чого на прикладах розкривається, як знаходиться модуль дійсного числа, причому рішення супроводжується малюнком. Матеріал може бути використаний на етапі пояснення нової теми як окрема частина уроку або забезпечення наочністю пояснення вчителя. Обидва варіанти сприяють підвищенню ефективності уроку математики, допомагають вчителю досягти цілей уроку.

У даному відеоуроці є побудови, які наочно демонструють геометричний зміст модуля. Щоб демонстрація була наочнішою, ці побудови виконуються із застосуванням анімаційних ефектів. Щоб навчальний матеріал легше запам'ятовувався, важливі тези виділені кольором. Докладно розглядається рішення прикладів, яке з допомогою анімаційних ефектів подається структуровано, послідовно, зрозуміло. Під час складання відео було використано інструменти, які допомагають зробити відеоурок ефективним сучасним інструментом навчання.

Вигляд починається з подання теми уроку. На екрані виконується побудова - зображений промінь, на якому відзначені точки aі b, відстань між якими відзначено як ρ(a;b). Нагадується, що відстань вимірюється на координатному промені відніманням з більшого числа меншого, тобто для даної побудови відстань дорівнює b-a для b>aі дорівнює a-b при a>b. Нижче демонструється побудова, на якій зазначена точка а лежить правіше b, тобто відповідна їй числове значеннябільше b. Нижче зазначено ще один випадок, коли положення точок a і b збігається. І тут відстань між точками дорівнює нулю ρ(a;b)=0. Усі разом ці випадки описуються однією формулою ρ(a;b)=|a-b|.

Далі розглядається вирішення завдань, у яких застосовуються знання про геометричний зміст модуля. У першому прикладі необхідно вирішити рівняння | х-2 | = 3. Зазначається, що це аналітична форма запису даного рівняння, яку для пошуку рішення перекладаємо геометричною мовою. Геометрично дана задача означає, що необхідно знайти точки х, для яких вірна рівність ρ(х;2)=3. На координатній прямій це означатиме рівновіддаленість точок х від точки х=2 на відстані 3. Щоб продемонструвати рішення на координатній прямій, зображується промінь, на якому зазначено точку 2. На відстані 3 від точки х=2 відзначаються точки -1 і 5. Очевидно , що дані зазначені точки і будуть рішенням рівняння.

Для вирішення рівняння |x+3,2|=2 пропонується привести його спочатку до виду |a-b|, щоб вирішити завдання координатної прямої. Після перетворення рівняння набуває вигляду |х-(-3,2)|=2. Це означає, що відстань між точкою -3,2 і точками, що шукаються, буде дорівнює 2, тобто ρ(х;-3,2)=2. На координатній прямій відзначається точка -3,2. Від неї з відривом 2 розташовуються точки -1,2 і -5,2. Ці точки відзначаються на координатній прямій та вказані як розв'язання рівняння.

Рішення ще одного рівняння |x|=2,7 розглядає випадок, коли шукані точки розташовуються з відривом 2,7 від точки 0. Рівняння переписується як |x-0|=2,7. При цьому зазначено, що відстань до точок, що шукаються, визначається як ρ(х;0)=2,7. На координатній прямій відзначається початок відліку точка 0. З відривом 2,7 від точки 0 розміщуються точки -2,7 і 2,7. Ці точки відзначаються на побудованій прямій, вони є рішеннями рівняння.

Для вирішення наступного рівняння | x - √ 2 | = 0 не потрібна геометрична інтерпретація, так як якщо модуль виразу дорівнює нулю, це означає, що цей вираз дорівнює нулю, тобто x - √ 2 = 0. З рівняння слід, що х=√2.

У прикладі розглядається рішення рівнянь, які перед рішенням вимагають перетворення. У першому рівнянні |2x-6|=8 перед х є числовий коефіцієнт 2. Щоб позбавитися коефіцієнта і перевести рівняння геометричний мову ρ(х;а)=b, виносимо загальний множник за дужки, отримуючи |2(x-3) | = 2 | x-3 |. Після цього права та ліва частини рівняння скорочуються на 2. Отримуємо рівняння виду | x-3 | = 4. Це рівняння аналітичного виду перекладається геометричною мовою ρ(х;3)=4. На координатній прямій відзначаємо точку 3. Від цієї точки відкладаємо точки, розташовані на відстані 4. Розв'язанням рівняння будуть точки -1 та 7, які відзначаються на координатній прямій. Друге розглянуте рівняння |5-3x|=6 також містить числовий коефіцієнт перед змінною х. Щоб розв'язати рівняння, коефіцієнт 3 виноситься за дужки. Рівняння набуває вигляду |-3(x-5/3)|=3|x-5/3|. Права та ліва частини рівняння можуть бути скорочені на 3. Після цього виходить рівняння виду | x-5/3 | = 2. Переходимо від аналітичної форми геометричної інтерпретації ρ(х;5/3)=2. До рішення будується малюнок, у якому зображується координатна пряма. На цій прямій відзначається точка 5/3. З відривом 2 від точки 5/3 розташовуються точки -1/3 і 11/3. Ці точки є рішеннями рівняння.

Останнє розглянуте рівняння | 4x + 1 | = -2. Для вирішення цього рівняння не потрібно перетворень та геометричного уявлення. У лівій частині рівняння очевидно виходить невід'ємне число, а права частина містить число -2. Тому це рівняння немає рішень.

Відеоурок "Геометричний сенс модуля дійсного числа" може застосовуватися на традиційному уроці математики в школі. Матеріал може стати корисним вчителю, який здійснює Дистанційна освіта. Детальне зрозуміле пояснення рішення завдань, у яких використовується функція модуля, допоможе освоїти матеріал учню, який освоює тему самостійно.