У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму - тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

  1. Розкрити дужки, якщо вони є;
  2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
  3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
  4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

  1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
  2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

  1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
  2. Потім звести такі
  3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

  1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
  2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
  3. Наводимо подібні доданки.
  4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок - ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

  • Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
  • Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до більш складним рівнянням. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь - це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко і грамотно виконувати прості дії призводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це за таким правилом: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

  1. Розкрити дужки.
  2. Усамітнити змінні.
  3. Навести такі.
  4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

  1. Позбутися дробів.
  2. Розкрити дужки.
  3. Усамітнити змінні.
  4. Навести такі.
  5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

  • Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
  • Вміння розкривати дужки.
  • Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
  • Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Рівняння з одним невідомим, яке після розкриття дужок та приведення подібних членів набуває вигляду

aх + b = 0, де a і b довільні числа, називається лінійним рівнянням з одним невідомим. Сьогодні розберемося, як ці лінійні рівняння вирішувати.

Наприклад, усі рівняння:

2х + 3 = 7 - 0,5 х; 0,3 х = 0; x/2 + 3 = 1/2 (х – 2) – лінійні.

Значення невідомого, що звертає рівняння у правильну рівність, називається рішенням або коренем рівняння .

Наприклад, якщо в рівнянні 3х + 7 = 13 замість невідомого х підставити число 2 то отримаємо правильну рівність 3 · 2 +7 = 13. Значить, значення х = 2 є рішення або корінь рівняння.

А значення х = 3 не перетворює рівняння 3х + 7 = 13 у правильну рівність, оскільки 3· 2 +7 ≠ 13. Значить, значення х = 3 не є розв'язком або коренем рівняння.

Розв'язання будь-яких лінійних рівнянь зводиться до розв'язання рівнянь виду

aх + b = 0.

Перенесемо вільний член із лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед b на протилежний, отримаємо

Якщо a ≠ 0, то х = ‒ b/a .

приклад 1. Розв'яжіть рівняння 3х + 2 =11.

Перенесемо 2 з лівої частини рівняння в праву, змінивши при цьому знак перед 2 протилежний, отримаємо
3х = 11 - 2.

Виконаємо віднімання, тоді
3х = 9.

Щоб знайти їх треба розділити твір на відомий множник, тобто
х = 9: 3.

Значить, значення х = 3 є розв'язком чи коренем рівняння.

Відповідь: х = 3.

Якщо а = 0 та b = 0, Отримаємо рівняння 0х = 0. Це рівняння має нескінченно багато рішень, так як при множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b теж дорівнює 0. Рішенням цього рівняння є будь-яке число.

приклад 2.Розв'яжіть рівняння 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1.

Розкриємо дужки:
5х - 15 + 2 = 3х - 12 + 2х - 1.


5х - 3х - 2х = - 12 - 1 + 15 - 2.

Наведемо такі члени:
0х = 0.

Відповідь: х - будь-яке число.

Якщо а = 0 та b ≠ 0, Отримаємо рівняння 0х = - b. Це рівняння рішень немає, оскільки з множенні будь-якого числа на 0 ми отримуємо 0, але b ≠ 0 .

приклад 3.Розв'яжіть рівняння х + 8 = х + 5.

Згрупуємо в лівій частині члени, які містять невідомі, а в правій – вільні члени:
х - х = 5 - 8.

Наведемо такі члени:
0х = ‒ 3.

Відповідь: немає рішень.

на малюнку 1 зображено схему розв'язання лінійного рівняння

Складемо загальну схемурозв'язання рівнянь з однією змінною. Розглянемо рішення прикладу 4.

приклад 4. Нехай треба розв'язати рівняння

1) Помножимо всі члени рівняння на найменше загальне кратне знаменників, що дорівнює 12.

2) Після скорочення отримаємо
4 (х - 4) + 3 · 2 (х + 1) - 12 = 6 · 5 (х - 3) + 24х - 2 (11х + 43)

3) Щоб відокремити члени, які містять невідомі та вільні члени, розкриємо дужки:
4х - 16 + 6х + 6 - 12 = 30х - 90 + 24х - 22х - 86.

4) Згрупуємо в одній частині члени, які містять невідомі, а в іншій – вільні члени:
4х + 6х - 30х - 24х + 22х = - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Наведемо такі члени:
‒ 22х = ‒ 154.

6) Розділимо на – 22 , Отримаємо
х = 7.

Як бачимо, корінь рівняння дорівнює семи.

Взагалі такі рівняння можна вирішувати за наступною схемою:

а) привести рівняння до цілого виду;

б) розкрити дужки;

в) згрупувати члени, що містять невідоме, в одній частині рівняння, а вільні члени – в іншій;

г) навести таких членів;

д) вирішити рівняння виду aх = b, яке одержали після приведення подібних членів.

Однак ця схема не є обов'язковою для будь-якого рівняння. При вирішенні багатьох більше простих рівняньдоводиться починати не з першого, а з другого ( приклад. 2), третього ( приклад. 1, 3) і навіть із п'ятого етапу, як у прикладі 5.

Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2х = 1/4.

Знаходимо невідоме х = 1/4: 2,
х = 1/8 .

Розглянемо розв'язання деяких лінійних рівнянь, що зустрічаються на основному державному екзамені.

Приклад 6.Розв'яжіть рівняння 2 (х + 3) = 5 - 6х.

2х + 6 = 5 - 6х

2х + 6х = 5 - 6

Відповідь: ‒ 0, 125

Приклад 7.Розв'яжіть рівняння – 6 (5 – 3х) = 8х – 7.

- 30 + 18х = 8х - 7

18х - 8х = - 7 +30

Відповідь: 2,3

Приклад 8. Розв'яжіть рівняння

3 (3х - 4) = 4 · 7х + 24

9х - 12 = 28х + 24

9х - 28х = 24 + 12

Приклад 9.Знайдіть f(6), якщо f(x + 2) = 3 7-х

Рішення

Тому що треба знайти f(6), а нам відомо f(x + 2),
то х + 2 = 6.

Вирішуємо лінійне рівняння х + 2 = 6,
отримуємо х = 6 - 2, х = 4.

Якщо х = 4, тоді
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Відповідь: 27.

Якщо у Вас залишилися питання, є бажання розібратися з вирішенням рівнянь більш ґрунтовно, . Буду рада Вам допомогти!

Також TutorOnline радить переглянути новий відеоурок від нашого репетитора Ольги Олександрівни, який допоможе розібратися як з лінійними рівняннями, так і з іншими.

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Ви шукали, як вирішувати рівняння з дужками? . Докладне рішення з описом та поясненнями допоможе вам розібратися навіть із найскладнішим завданням і як вирішувати рівняння у дужках, не виняток. Ми допоможемо вам підготуватися до домашніх робіт, контрольних, олімпіад, а також до вступу до вузу. І який би приклад, якого б запиту з математики ви не ввели - у нас вже є рішення. Наприклад, «як вирішувати рівняння зі дужками».

Застосування різних математичних завдань, калькуляторів, рівнянь та функцій широко поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Математику людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Однак зараз наука не стоїть на місці і ми можемо насолоджуватися плодами її діяльності, такими, наприклад, як онлайн-калькулятор, який може вирішити завдання, такі як вирішувати рівняння з дужками, як вирішувати рівняння в дужках, як вирішити рівняння з дужками, рівняння з дужками як розв'язувати, рівняння зі дужками як розв'язати. На цій сторінці ви знайдете калькулятор, який допоможе вирішити будь-яке питання, у тому числі і як вирішувати рівняння з дужками. (наприклад, як розв'язати рівняння з дужками).

Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а як вирішувати рівняння з дужками Онлайн?

Вирішити завдання як вирішувати рівняння з дужками ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завданнябудь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.

Не всі рівняння, що містять дужки, вирішуються однаково. Звичайно, найчастіше в них потрібно розкрити дужки і навести подібні доданки (при цьому способи розкриття дужок відрізняються). Але іноді дужки розкривати не потрібно. Розглянемо всі ці випадки на конкретних прикладах:

  1. 5х - (3х - 7) = 9 + (-4х + 16).
  2. 2х – 3(х + 5) = -12.
  3. (Х + 1) (7х - 21) = 0.

Розв'язання рівнянь через розкриття дужок

Даний метод розв'язання рівнянь зустрічається найбільш часто, але і він при всій своїй універсальності, що здається, ділиться на підвиди в залежності від способу розкриття дужок.

1) Розв'язання рівняння 5х - (3х - 7) = 9 + (-4х + 16).

У цьому рівнянні перед дужками стоять символи мінус і плюс. Щоб розкрити дужки у першому випадку, де перед ними стоїть знак мінус, слід усі знаки усередині дужок поміняти на протилежні. Перед другою парою дужок стоїть знак плюс, який на знаки в дужках не вплине, значить їх можна просто опустити. Отримуємо:

5х – 3х + 7 = 9 – 4х + 16.

Доданки з х перенесемо в ліву частину рівняння, а інші в праву (знаки переносних доданків будуть змінюватися на протилежні):

5х – 3х + 4х = 9 + 16 – 7.

Наведемо такі складові:

Щоб знайти невідомий множник х, розділимо твір 18 на відомий множник 6:

х = 18/6 = 3.

2) Розв'язання рівняння 2х - 3(х + 5) = -12.

У цьому рівнянні також спочатку потрібно розкрити дужки, але застосувавши розподільну властивість: щоб -3 помножити на суму (х + 5) слід -3 помножити на кожен доданок у дужках і скласти отримані твори:

2х - 3х - 15 = -12

х = 3/(-1) = 3.

Розв'язання рівнянь без розкриття дужок

Третє рівняння (х + 1) (7х - 21) = 0 теж можна вирішити розкривши дужки, але набагато простіше в таких випадках скористатися властивістю множення: добуток дорівнює нулю тоді, коли один із множників дорівнює нулю. Значить:

х + 1 = 0 або 7х – 21 = 0.

Однією з найважливіших навичок при вступ до 5 класє вміння розв'язувати найпростіші рівняння. Так як 5 клас ще не так далекий від початкової школи, то й видів рівнянь, які може вирішувати учень не так уже й багато. Ми познайомимо Вас з усіма основними видами рівнянь, які необхідно вміти вирішувати, якщо Ви хочете вступити до фізико-математичної школи.

1 тип: "цибульні"
Це рівняння, які майже з ймовірністю зустрінуться Вам при вступ до будь-якої школиабо кружок 5 класу як окреме завдання. Їх легко відрізнити від інших: у них змінна є лише 1 раз. Наприклад, або .
Вирішуються вони дуже просто: необхідно просто "дістатись" до невідомої, поступово "знімаючи" все зайве, що оточує її - начебто почистити цибулину - звідси і така назва. Для вирішення достатньо пам'ятати кілька правил другого класу. Перерахуємо їх усі:

Додавання

  1. доданок1 + доданок2 = сума
  2. доданок1 = сума - доданок2
  3. доданок2 = сума - доданок1

Віднімання

  1. зменшуване - віднімається = різниця
  2. зменшуване = віднімання + різниця
  3. віднімання = зменшуване - різниця

множення

  1. множник1 * множник2 = добуток
  2. множник1 = добуток: множник2
  3. множник2 = добуток: множник1

Поділ

  1. ділене: дільник = приватне
  2. ділене = дільник * приватне
  3. дільник = ділене: приватне

Розберемо з прикладу, як застосовувати дані правила.

Зауважимо, що ми ділимо і отримуємо . У цій ситуації ми знаємо дільник та приватне. Щоб знайти ділене, потрібно дільник помножити на приватне:

Ми стали трохи ближче до самого. Тепер ми бачимо, що до додається і виходить. Отже, щоб знайти один із доданків, потрібно від суми відняти відомий доданок:

І ще один "шар" знятий із невідомої! Тепер ми бачимо ситуацію з відомим значенням твору () та одним відомим множником ().

Тепер ситуація "зменшуване - віднімається = різниця"

І останній крок - відомий твір() та один з множників ()

2 тип: рівняння з дужками
Рівняння даного типу найчастіше зустрічаються в задачах - саме до них зводиться 90% всіх завдань надходження до 5 клас. На відміну від "цибулинних рівнянь"Змінна тут може зустрітися кілька разів, тому вирішити її методами з попереднього пункту неможливо. Типові рівняння: або
Основні труднощі - це правильно розкрити дужки. Після того, як вдалося це правильно зробити, слід привести подібні доданки (числа до числа, змінні до змінних), а після цього ми отримуємо найпростіше "цибулеве рівняння", що вміємо вирішувати. Але про все гаразд.

Розкриття дужок. Ми наведемо кілька правил, якими слід скористатися в даному випадку. Але, як показує практика, правильно розкривати дужки учень починає лише після 70-80 вирішуваних завдань. Основне правило таке: будь-який множник, що стоїть за дужками, необхідно помножити на кожне доданок усередині дужок. А мінус, що стоїть перед дужкою, змінює знак усіх висловів, що стоять усередині. Отже, основні правила розкриття:










Приведення подібних. Тут все набагато легше: Вам необхідно шляхом перенесення доданків через знак рівності домогтися того, щоб з одного боку стояли тільки доданки з невідомою, а з іншого - тільки числа. Основне правило таке: кожне доданок, що переноситься через , змінює свій знак - якщо воно було з ,то стане з , і навпаки. Після успішного перенесення необхідно порахувати підсумкову кількість невідомих, підсумкове число, що стоїть з іншого боку рівності, ніж змінні, і вирішити просте "цибулеве рівняння".