Вектор є одиничним, якщо він координатний. Координати та вектори. Вичерпний гід (2020). Обчислення відстані від точки до площини
Перш ніж розпочати тематику статті, нагадаємо основні поняття.
Визначення 1
Вектор- Відрізок прямий, що характеризується чисельним значенням та напрямком. Вектор позначається малою латинською літерою зі стрілкою зверху. За наявності конкретних точок кордонів позначення вектора виглядає як дві великі латинські літери (маркуючі межі вектора) також зі стрілкою зверху.
Визначення 2
Нульовий вектор– будь-яка точка площини позначається як нуль зі стрілкою зверху.
Визначення 3
Довжина вектора- Величина, рівна або велика нуля, що визначає довжину відрізка, що становить вектор.
Визначення 4
Колінеарні вектори- що лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Вектори, що не виконують цю умову, називають неколлінеарними.
Визначення 5Вихідні дані: вектори a →і b →. Для виконання над ними операції додавання необхідно з довільної точки undefined відкласти вектор A B →, рівний вектору а →; з отриманої точки undefined – вектор В С →, рівний вектору b →. З'єднавши точки undefined і C отримуємо відрізок (вектор) АС →, який і буде сумою вихідних даних. Інакше описану схему складання векторів називають правилом трикутника.
Геометрично додавання векторів виглядає так:
Для неколлінеарних векторів:
Для колінеарних (соннаправлених або протилежно спрямованих) векторів:
Взявши за основу описану вище схему, ми отримуємо можливість зробити операцію додавання векторів у кількості більше 2: по черзі додаючи кожен наступний вектор.
Визначення 6
Вихідні дані: вектори a → , b → , c →, d → . З довільної точки А на площині необхідно відкласти відрізок (вектор), рівний вектору a →; потім від кінця отриманого вектора відкладається вектор, рівний вектору b →; далі – за тим самим принципом відкладаються такі вектори. Кінцевою точкою останнього відкладеного вектора буде точка B, а отриманий відрізок (вектор) A B →- Сумою всіх вихідних даних. Описану схему складання кількох векторів називають також правилом багатокутника .
Геометрично воно виглядає так:
Визначення 7
Окремої схеми дії віднімання векторівні, т.к. по суті різниця векторів a →і b →є сума векторів a →і - b → .
Визначення 8Щоб зробити дію множення вектора на кілька k , необхідно враховувати такі правила:
- якщо k > 1, це число призведе до розтягування вектора в k раз;
- якщо 0< k < 1 , то это число приведет к сжатию вектора в
1 k разів;
- якщо k< 0 , то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
- якщо k = 1 то вектор залишається колишнім;
- якщо один із множників – нульовий вектор або число, що дорівнює нулю, результатом множення буде нульовий вектор.
Вихідні дані:
1) вектор a →і число k = 2;
2) вектор b →та число k = - 1 3 .
Геометрично результат множення відповідно до зазначених вище правил виглядатиме таким чином:
Описаним вище операціям над векторами властиві властивості, деякі з яких очевидні, інші можна обгрунтувати геометрично.
Вихідні дані: вектори a → , b → , c →та довільні дійсні числаλ та μ.
Властивості комутативності та асоціативності дають можливість складати вектори у довільному порядку.
Перелічені властивості операцій дозволяють здійснювати необхідні перетворення векторно-числових виразів аналогічно звичним числовим. Розглянемо це з прикладу.
Приклад 1
Завдання:спростити вираз a → - 2 · (b → + 3 · a →)
Рішення
- використовуючи другу розподільну властивість, отримаємо: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →)
- задіємо поєднану властивість множення, вираз набуде наступного вигляду: a → - 2 · b → - 2 · (3 · a →) = a → - 2 · b → - (2 · 3) · a → = a → - 2 · b → - 6 · a →
- використовуючи властивість комутативності, міняємо місцями доданки: a → - 2 · b → - 6 · a → = a → - 6 · a → - 2 · b →
- потім за першою розподільчою властивістю отримуємо: a → - 6 · a → - 2 · b → = (1 - 6) · a → - 2 · b → = - 5 · a → - 2 · b → Короткий запис рішення буде виглядати так: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = a → - 2 · b → - 2 · 3 · a → = 5 · a → - 2 · b →
Відповідь: a → - 2 · (b → + 3 · a →) = - 5 · a → - 2 · b →
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Будуть і завдання для самостійного рішення, до яких можна переглянути відповіді.
Концепція вектор
Перш ніж Ви дізнаєтеся про вектори та операції над ними, налаштуйтеся на вирішення нескладного завдання. Є вектор вашої підприємливості та вектор ваших інноваційних здібностей. Вектор підприємливості веде Вас до Цілі 1, а вектор інноваційних здібностей - до Цілі 2. Правила гри такі, що Ви не можете рухатися відразу за напрямками цих двох векторів і досягти відразу двох цілей. Вектори взаємодіють, або якщо говорити математичною мовою, над векторами проводиться деяка операція. Результатом цієї операції стає вектор "Результат", який наводить Вас до Цілі 3.
А тепер скажіть: результатом якої операції над векторами "Підприємливість" та "Інноваційні здібності" є вектор "Результат"? Якщо не можете сказати одразу, не сумуйте. У міру вивчення цього уроку Ви зможете відповісти на це запитання.
Як ми вже побачили вище, вектор обов'язково йде від певної точки Aпо прямій до деякої точки B. Отже, кожен вектор має не тільки числове значення- Довжину, але також фізичне та геометричне - спрямованість. З цього виводиться перше, найпростіше визначення вектора. Отже, вектор - це спрямований відрізок, що йде від точки Aдо точки B. Позначається він так: .
А щоб приступити до різних операціям із векторами нам потрібно познайомитися з ще одним визначенням вектора.
Вектор - це вид уявлення точки, до якої потрібно дістатися з деякої початкової точки. Наприклад, тривимірний вектор, як правило, записується у вигляді (х, y, z) . Говорячи дуже просто, ці числа означають, як далеко потрібно пройти в трьох різних напрямках, щоб дістатися точки.
Нехай дано вектор. При цьому x = 3 (права рука вказує праворуч), y = 1 (ліва рукавказує вперед), z = 5 (Під точкою стоїть сходи, що ведуть вгору). За цими даними ви знайдете точку, проходячи 3 метри в напрямку, що вказується правою рукою, потім 1 метр в напрямку, що вказується лівою рукою, а далі на Вас чекає сходи і, піднімаючись на 5 метрів, Ви нарешті опинитеся в кінцевій точці.
Решта термінів - це уточнення представленого вище пояснення, необхідних різних операцій над векторами, тобто, вирішення практичних завдань. Пройдемося цим суворішим визначенням, зупиняючись на типових завданнях на вектори.
Фізичними прикладамивекторних величин можуть бути зміщення матеріальної точки, що рухається в просторі, швидкість і прискорення цієї точки, а також сила, що діє на неї.
Геометричний векторпредставлений у двовимірному та тривимірному просторі у вигляді спрямованого відрізка. Це відрізок, у якого розрізняють початок та кінець.
Якщо A- Початок вектора, а B- його кінець, то вектор позначається символом або однією малою літерою. На малюнку кінець вектора вказується стрілкою (рис. 1)
Довжиною(або модулем) геометричного вектора називається довжина його відрізка, що породжує
Два вектори називаються рівними , якщо можуть бути поєднані (при збігу напрямів) шляхом паралельного переносу, тобто. якщо вони паралельні, направлені в ту саму сторону і мають рівні довжини.
У фізиці часто розглядаються закріплені вектори, задані точкою програми, довжиною та напрямком. Якщо точка програми вектора не має значення, то її можна переносити, зберігаючи довжину та напрямок у будь-яку точку простору. В цьому випадку вектор називається вільним. Ми домовимося розглядати лише вільні вектори.
Лінійні операції над геометричними векторами
Розмноження вектора на число
Добутком вектора на числоназивається вектор, що виходить з вектора розтягуванням (при ) або стисненням (при ) в раз, причому напрямок вектора зберігається, якщо , і змінюється на протилежне, якщо . (Мал. 2)
З визначення випливає, що вектори = завжди розташовані на одній або на паралельних прямих. Такі вектори називаються колінеарними. (Можна говорити також, що ці вектори паралельні, проте у векторній алгебрі прийнято говорити "колінеарні".) Справедливо і зворотне твердження: якщо вектори і колінеарні, то вони пов'язані ставленням
Отже, рівність (1) висловлює умову колінеарності двох векторів.
Складання та віднімання векторів
При складанні векторів потрібно знати, що сумоювекторів і називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець - з кінцем вектора , за умови, що початок вектора прикладено до кінця вектора . (Мал. 3)
Це визначення може бути розподілене на будь-яке кінцеве число векторів. Нехай у просторі дані nвільних векторів. При додаванні кількох векторів їх суму приймають замикаючий вектор, початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора. Тобто, якщо до кінця вектора додати початок вектора, а до кінця вектора - початок вектора і т.д. і, нарешті, до кінця вектора - початок вектора , то сумою цих векторів служить замикаючий вектор 
початок якого збігається з початком першого вектора, а кінець - з кінцем останнього вектора. (Мал. 4)
Доданки називаються складовими вектора, а сформульоване правило - правилом багатокутника. Цей багатокутник може бути плоским.
При множенні вектора число -1 виходить протилежний вектор . Вектори і мають однакові довжинита протилежні напрямки. Їхня сума дає нульовий вектор, Довжина якого дорівнює нулю. Напрямок нульового вектора не визначено.
У векторной алгебрі немає необхідності розглядати окремо операцію віднімання: відняти з вектора вектор означає додати до вектора протилежний вектор, тобто. 
приклад 1.Спростити вираз:
.
,
тобто, вектори можна складати і множити числа так само, як і багаточлени (зокрема, також завдання на спрощення виразів). Зазвичай, необхідність спрощувати лінійно подібні вирази з векторами виникає перед обчисленням творів векторів.
приклад 2.Вектори і є діагоналями паралелограма ABCD (рис. 4а). Виразити через вектори , , і , що є сторонами цього паралелограма.
Рішення. Точка перетину діагоналей паралелограма поділяє кожну діагональ навпіл. Довжини необхідних умов завдання векторів знаходимо або як половини сум векторів, що утворюють з шуканими трикутник, або як половини різниць (залежно від напрямку вектора, що служить діагоналлю), або, як в останньому випадку, половини суми, взятої зі знаком мінус. Результат - необхідні завдання вектори:
Є всі підстави вважати, що тепер Ви правильно відповіли на запитання про вектори "Підприємливість" та "Інноваційні здібності" на початку цього уроку. Правильна відповідь: над цими векторами провадиться операція складання.
Вирішити завдання на вектори самостійно, а потім переглянути рішення
Як знайти довжину суми векторів?
Це завдання займає особливе місце в операціях з векторами, оскільки передбачає використання тригонометричних властивостей. Допустимо, Вам трапилося завдання на кшталт наступного:
Дані довжини векторів 
та довжина суми цих векторів. Знайти довжину різниці цих векторів.
Розв'язання цієї та інших подібних завдань та пояснення, як їх вирішувати - в уроці " Додавання векторів: довжина суми векторів і теорема косінусів. ".
А перевірити вирішення таких завдань можна на Калькулятор онлайн "Невідома сторона трикутника (складання векторів і теорема косінусів)" .
А де твори векторів?
Твори вектора вектор не є лінійними операціями і розглядаються окремо. І у нас є уроки "Скалярний твір векторів" та "Векторний та змішаний твор векторів".
Вектор проекції на вісь
Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора, що проектується, на косинус кута між вектором і віссю:
Як відомо, проекцією точки Aна пряму (площину) служить основу перпендикуляра, опущеного з цієї точки на пряму (площину).
Нехай – довільний вектор (Рис. 5), а й – проекції його початку (точки A) та кінця (точки B) на вісь l. (Для побудови проекції точки A) на пряму проводимо через точку Aплощину, перпендикулярну до прямої. Перетин прямої та площини визначить необхідну проекцію.
Складає вектор на осі lназивається такий вектор, що лежить на цій осі, початок якого збігається з проекцією початку, а кінець - з проекцією кінця вектора.
Вектор проекції на вісь lназивається число
,
рівне довжині складового вектора на цій осі, взяте зі знаком плюс, якщо напрямок складової збігається з напрямком осі lі зі знаком мінус, якщо ці напрямки протилежні.
Основні властивості проекцій вектора на вісь:
1. Проекції рівних векторів на ту саму вісь рівні між собою.
2. При множенні вектора на число його проекція множиться на це число.
3. Проекція суми векторів на якусь вісь дорівнює сумі проекцій на цю вісь доданків векторів.
4. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини проектованого вектора на косинус кута між вектором та віссю:
.
Рішення. Спроектуємо вектори на вісь lяк визначено у теоретичній довідці вище. З рис.5а очевидно, що проекція суми векторів дорівнює сумі векторних проекцій. Обчислюємо ці проекції:
Знаходимо остаточну проекцію суми векторів:
Зв'язок вектора з прямокутною декартовою системою координат у просторі
Знайомство з прямокутною декартовою системою координат у просторі відбулося у відповідному уроцібажано відкрити його в новому вікні.
Впорядкована система координатних осей 0xyzвісь Oxназивається віссю абсцисвісь 0y – віссю ординат, і вісь 0z – віссю аплікат.
З довільною точкою Мпростору зв'яжемо вектор
званий радіус-векторомкрапки Мта спроектуємо його на кожну з координатних осей. Позначимо величини відповідних проекцій:
Числа x, y, zназиваються координатами точки Мвідповідно абсцисою, ординатоюі аплікати, і записуються як упорядкованої точки чисел: M (x; y; z)(Рис.6).
Вектор одиничної довжини, напрямок якого збігається із напрямком осі, називають одиничним вектором (або ортом) Осі. Позначимо через
Відповідно орти координатних осей Ox, Ой, Oz
Теорема.Будь-який вектор може бути розкладений по орт координатних осей:
(2)
Рівність (2) називається розкладанням вектора за координатними осями. Коефіцієнтами цього розкладання є проекції вектора координатні осі. Таким чином, коефіцієнтами розкладання (2) вектора координатними осями є координати вектора.
Після вибору в просторі певної системи координат вектор і трійка координат однозначно визначають один одного, тому вектор може бути записаний у формі
Подання вектора у вигляді (2) та (3) тотожні.
Умова колінеарності векторів у координатах
Як ми вже зазначали, вектори називаються колінеарними, якщо вони пов'язані ставленням
Нехай дані вектори 
. Ці вектори є колінеарними, якщо координати векторів пов'язані ставленням
,
тобто, координати векторів пропорційні.
Приклад 6.Дано вектори 
. Чи колінеарні ці вектори?
Рішення. З'ясуємо співвідношення координат даних векторів:
.
Координати векторів пропорційні, отже, вектори колінеарні, або, що те саме, паралельні.
Довжина вектора та напрямні косинуси
Внаслідок взаємної перпендикулярності координатних осей довжина вектора
дорівнює довжині діагоналі прямокутного паралелепіпеда, побудованого на векторах
і виражається рівністю
(4)
Вектор повністю визначається завданням двох точок (початку та кінця), тому координати вектора можна виразити через координати цих точок.
Нехай у заданій системі координат початок вектора знаходиться у точці
а кінець – у точці
З рівності
Випливає, що
або в координатній формі
Отже, координати вектора рівні різницям однойменних координат кінця та початку вектора . Формула (4) у цьому випадку набуде вигляду
Напрямок вектора визначають напрямні косинуси . Це косинуси кутів, які вектор утворює з осями Ox, Ойі Oz. Позначимо ці кути відповідно α , β і γ . Тоді косинуси цих кутів можна знайти за формулами
Напрямні косинуси вектора є координатами орта цього вектора і, таким чином, орт вектора
.
Враховуючи, що довжина векторного орта дорівнює одній одиниці, тобто
,
отримуємо наступну рівність для напрямних косінусів:
Приклад 7.Знайти довжину вектора x = (3; 0; 4).
Рішення. Довжина вектора дорівнює
Приклад 8.Дані точки:
З'ясувати, чи рівнобедрений трикутник, побудований на цих точках.
Рішення. За формулою довжини вектора (6) знайдемо довжини сторін і встановимо, чи є серед них дві рівні:
Дві рівні сторонизнайшлися, отже необхідність шукати довжину третьої сторони відпадає, а заданий трикутник є рівностегновим.
Приклад 9.Знайти довжину вектора та його напрямні косинуси, якщо 
.
Рішення. Координати вектора:
.
Довжина вектора дорівнює квадратного кореняіз суми квадратів координат вектора:
.
Знаходимо напрямні косинуси:
Вирішити завдання на вектори самостійно, а потім переглянути рішення
Операції над векторами, заданими у координатній формі
Нехай дані два вектори і , задані своїми проекціями:
Вкажемо події над цими векторами.
Oxy
Про А ОА.
, звідки 
ОА 
.
Таким чином, 
.
Розглянемо приклад.
приклад.
Рішення.
:
Відповідь:
Oxyzв просторі.
А ОАбуде діагоналлю.
В цьому випадку (бо ОА 
ОА 
.
Таким чином, довжина вектора 
.
приклад.
Обчисліть довжину вектора 
Рішення.
, отже, 
Відповідь:
Пряма на площині
Загальне рівняння
Ax + By + C (> 0).
Вектор = (А; В)- Нормальний вектор прямий.
У векторному вигляді: + С = 0де - радіус-вектор довільної точки на прямій (рис. 4.11).
Приватні випадки:
1) By + C = 0- Пряма паралельна осі Ox;
2) Ax + C = 0- Пряма паралельна осі Ой;
3) Ax + By = 0- Пряма проходить через початок координат;
4) y = 0- вісь Ox;
5) x = 0- вісь Ой.
Рівняння прямої у відрізках
де a, b- величини відрізків, що відсікаються прямою на осях координат.
Нормальне рівняння прямої(Рис. 4.11)
де - кут, утворений нормально до прямої та віссю Ox; p- Відстань від початку координат до прямої.
Приведення загального рівняння прямого до нормального вигляду:
Тут - нормований множник прямий; знак вибирається протилежним знаку Cякщо і довільно, якщо C = 0.
Знаходження довжини вектора за координатами.
Довжину вектора будемо позначати. Через таке позначення довжину вектора часто називають модулем вектора.
Почнемо із знаходження довжини вектора на площині за координатами.
Введемо на площині прямокутну декартову систему координат Oxy. Нехай у ній заданий вектор і має координати . Отримаємо формулу, що дозволяє знаходити довжину вектора через координати та .
Відкладемо від початку координат (від точки Про) Вектор . Позначимо проекції точки Ана координатні осі як і відповідно і розглянемо прямокутник із діагоналлю ОА.
У силу теореми Піфагора справедлива рівність , звідки . З визначення координат вектора в прямокутній системі координати можемо стверджувати, що і , а за побудовою довжина ОАдорівнює довжині вектора , отже, .
Таким чином, формула для знаходження довжини вектораза його координатами на площині має вигляд .
Якщо вектор представлений у вигляді розкладання за координатними векторами , то його довжина обчислюється за цією ж формулою , так як в цьому випадку коефіцієнти є координатами вектора в заданій системі координат.
Розглянемо приклад.
приклад.
Знайдіть довжину вектора , заданого в системі декарт координат.
Рішення.
Відразу застосовуємо формулу для знаходження довжини вектора за координатами :
Відповідь:
Тепер отримаємо формулу для знаходження довжини вектора за його координатами у прямокутній системі координат Oxyzв просторі.
Відкладемо від початку координат вектор і позначимо проекції точки Ана координатні осі як і . Тоді ми можемо побудувати на сторонах і прямокутний паралелепіпед, у якому ОАбуде діагоналлю.
В цьому випадку (бо ОА– діагональ прямокутного паралелепіпеда), звідки . Визначення координат вектора дозволяє нам записати рівність , а довжина ОАдорівнює довжині вектора, отже, .
Таким чином, довжина вектора у просторі дорівнює кореню квадратному із суми квадратів його координаттобто знаходиться за формулою .
приклад.
Обчисліть довжину вектора , де - орти прямокутної системи координат.
Рішення.
Нам дано розкладання вектора за координатними векторами виду , отже, . Тоді за формулою знаходження довжини вектора за координатами маємо .
1. Визначення вектора. Довжина вектор. Колінеарність, компланарність векторів.
Вектор називається спрямований відрізок. Довжиною чи модулем вектора називається довжина відповідного спрямованого відрізка.
Модуль вектор aпозначається. Вектор aназивається одиничним, якщо . Вектори називаються колінеарними, якщо вони паралельні до однієї прямої. Вектори називаються компланарними, якщо вони паралельні до однієї площини.
2. Розмноження вектора на число. Властивості операції.
Умножение вектора на число, дає протилежно спрямований вектор в довжиною більше. Умноження вектора на число в координатній формі проводиться множенням усіх координат на це число:
З визначення виходить вираз для модуля вектора, помноженого на число:
Аналогічно як і числами, операції складання вектора із самим собою можна записати через множення на число:
А віднімання векторів можна переписати через додавання та множення:
Виходячи з того, що множення не змінює довжини вектора, а змінює тільки напрям і враховуючи визначення вектора, отримуємо:
3. Додавання векторів, віднімання векторів.
У координатному поданні вектор суми виходить підсумовуванням відповідних координат доданків:
Для геометричної побудови вектора суми використовують різні правила (методи), проте вони дають однаковий результат. Використання того чи іншого правила обґрунтовується завданням, що розв'язується.
Правило трикутника
Правило трикутника найбільше природно випливає з розуміння вектора як перенесення. Зрозуміло, що результат послідовного застосування двох переносів і деякої точки буде тим самим, що застосування відразу одного переносу, що відповідає цьому правилу. Для складання двох векторів за правилом трикутникаобидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб початок одного з них збігався з кінцем іншого. Тоді вектор суми задається третьою стороною трикутника, що утворився, причому його початок збігається з початком першого вектора, а кінець з кінцем другого вектора.
Це правило прямо і природно узагальнюється для складання будь-якої кількості векторів, переходячи в правило ламаної:
Правило багатокутника
Початок другого вектора поєднується з кінцем першого, початок третього - з кінцем другого і т.д. . Також називається правилом ламаною.
Правило паралелограма
Для складання двох векторів і за правилом паралелограмаобидва ці вектори переносяться паралельно самим собі так, щоб їх початки збігалися. Тоді вектор суми задається діагоналлю побудованого на них паралелограма, що виходить із їхнього загального початку. (Легко бачити, що ця діагональ збігається із третьою стороною трикутника при використанні правила трикутника).
Правило паралелограма особливо зручне, коли є потреба зобразити вектор суми відразу доданим до тієї ж точки, до якої прикладено обидва доданки - тобто зобразити всі три вектори, що мають загальний початок.
Модуль суми векторів
Модуль суми двох векторівможна обчислити, використовую теорему косінусів:
Де - косинус кута між векторами.
Якщо вектори зображені відповідно до правила трикутника і береться кут по малюнку - між сторонами трикутника - що не збігається із звичайним визначенням кута між векторами, а значить і з кутом у наведеній формулі, то останній член набуває знак мінус, що відповідає теоремі косинусів у її пряме формулювання.
Для суми довільної кількості векторівзастосовна аналогічна формула, в якій членів з косинус більше: по одному такому члену існує для кожної пари векторів з сумованого набору. Наприклад, для трьох векторів формула виглядає так:
Віднімання векторів
Два вектори та вектор їх різниці
Для отримання різниці в координатній формі треба відняти відповідні координати векторів:
Для отримання вектора різниці початку векторів з'єднуються і початком вектора буде кінець, а кінцем - кінець. Якщо записати, використовуючи точки векторів, то.
Модуль різниці векторів
Три вектори, як і при додаванні, утворюють трикутник, і вираз для модуля різниці виходить аналогічним:
де - косинус кута між векторами
На відміну від формули модуля суми у знаку перед косинусом, при цьому треба добре стежити, який саме кут береться (варіант формули модуля суми з кутом між сторонами трикутника при підсумовуванні за правилом трикутника на вигляд не відрізняється від даної формули для модуля різниці, але треба мати в виду, що тут беруться різні кути: у разі суми береться кут, коли вектор переноситься до кінця вектора, коли ж шукається модель різниці, береться кут між векторами, прикладеними до однієї точки, вираз для модуля суми з використанням того ж кута, що в даному вираженні для модуля різниці, відрізняється знаком перед косінус).
| " |
Визначення
Скалярна величина- Величина, яка може бути охарактеризована числом. Наприклад, довжина, площа маса, температура і т.д.
Векторназивається спрямований відрізок $ \ overline (AB) $; точка $A$ – початок, точка $B$ – кінець вектора (рис. 1).
Вектор позначається двома великими літерами - своїм початком і кінцем: $\overline(A B)$ або однією малою літерою: $\overline(a)$.
Визначення
Якщо початок і кінець вектора збігаються, такий вектор називається нульовим. Найчастіше нульовий вектор позначається як $ \ overline (0) $.
Вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать або на одній прямій, або на паралельних прямих (рис. 2).
Визначення
Два колінеарних вектори $\overline(a)$ і $\overline(b)$ називаються співспрямованими, якщо їх напрямки збігаються: $\overline(a) \uparrow \uparrow \overline(b)$ (рис. 3, а). Два колінеарних вектори $\overline(a)$ і $\overline(b)$ називаються протилежно спрямованими, якщо їх напрямки протилежні: $ \ overline (a) \ uparrow \ downarrow \ overline (b) $ (рис. 3, б).
Визначення
Вектори називаються компланарнимиякщо вони паралельні одній площині або лежать в одній площині (рис. 4).
Два вектори завжди компланарні.
Визначення
Довжиною (модулем)вектора $\overline(AB)$ називається відстань між його початком і кінцем: $|\overline(AB)|$
Детальна теорія про довжину вектора за посиланням.
Довжина нульового вектора дорівнює нулю.
Визначення
Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним векторомабо ортом.
Вектори називаються рівнимиякщо вони лежать на одній або паралельних прямих; їх напрями збігаються і довжини дорівнюють.
Пошук
Ми можемо сповіщати вас про нові статті,