On öeldud, et funktsioon on sees
Regioon D. kohalik maksimaalne(minimaalne) Kui selline naabruskonna lugeja on
Iga punkti jaoks
mis viiakse läbi ebavõrdsuse

Kui funktsioon on punktis
kohalik maksimaalne või kohalik miinimum, siis nad ütlevad, et see on selles küsimuses kohalik äärmuslik(või Lihtsalt äärmuslik).

Teoreem (vajalik tingimus ekstremmi olemasolu jaoks). Kui äärmusliku diferentseeritud funktsioonid punktis
, siis iga esimese tellimuse privaatne derivaat funktsioonilt sel hetkel lisab nulli.

Punktid, kus kõik erasektori derivaadid esimese tellimuse kaebuse nulli nimetatakse funktsiooni paigaldused
. Nende punktide koordinaadid leiate süsteemi otsustamisega võrrandid

.

Eringendi olemasolu vajalikku tingimust diferentseeritava funktsiooni puhul võib lühidalt sõnastada järgmiselt: \\ t

On juhtumeid, millal regulaarselt on mõned erasektori derivaatidel lõputud väärtused või ei ole olemas (ülejäänud on null). Selliseid punkte nimetatakse kriitilised funktsioonid.Neid punkte tuleb kaaluda ka ekstremina "kahtlastena", samuti statsionaarselt.

Kahe muutuja puhul eeltingimus Emmermus, nimelt võrdõiguslikkuse erasektori derivaatide null (diferentsiaal) äärmusmispunktis on geomeetriline tõlgendus: puutuja
Äärmuspunktis peaks olema tasapinnaga paralleelne
.

20. UURIMEmi olemasolu piisavad tingimused

Täitmine Mõnel hetkel nõudva ekstremi olemasolu tingimuse seisukorras ei taga seal ekstremi olemasolu. Näiteks saate eristada diferentsiaalfunktsiooni
. Mõlemad oma erasektori tuletisinstrumendid ja funktsiooni pöörduvad endale nullini.
. Kuid selle punkti naabruses on nii positiivne (suur
) ja negatiivne (väiksem
) Selle funktsiooni väärtused. Sellest tulenevalt ei täheldata äärmuslikult sellel hetkel määratluse järgi. Seetõttu on vaja teada piisavaid tingimusi, milles punkt, äärmuslik kahtlane, on uuritava funktsiooni esurm-punkt.

Mõtle kahe muutuja funktsiooni. Oletame, et funktsioon
see määratakse pidev ja neil on pidev erasektori derivaadid teisele järjekorrale, kaasa arvatud teatud punkti lähedusse.
mis on fikseeritud punkti funktsioon
See tähendab tingimusi

,
.

Tutvustame märget:

Teoreem (uURIMEmi olemasolu piisavad tingimused). Olgu funktsioon
vastab ülaltoodud tingimustele, nimelt: eristades mõnes statsionaarse naabruses
ja kaks korda erinevad
. Siis, kui


Kui
see funktsioon
punktis
jõuab

kohalik maksimaalnejaoks
ja

kohalik miinimumjaoks
.

Üldiselt funktsiooni jaoks
piisava seisundi olemasolu kohta
kohalikminimaalne(maksimaalne) on positiivne(negatiivne) Teise erinevuse määratlus.

Teisisõnu, järgmine avaldus on õige.

Teoreem . Kui punkt
funktsiooni jaoks

sest keegi ei võrdse samal ajal null
Siis selles punktis on funktsioon minimaalne(sarnane maksimaalne, kui a
).

Näide 18.Leia punktid Kohalikud äärmuslikud funktsioonid

Otsus. Leiame erasektori derivaadid ja võrdsustada neid null:

Selle süsteemi lahendamine leiame kahe võimaliku äärmuse punkti:

Leiame selle funktsiooni teise tellimuse privaatsed derivaadid:

Seetõttu esimeses statsionaarses punktis ja
Seetõttu nõuab see punkt täiendav uuring. Tähendusfunktsioon
sel hetkel on null:
Lisaks,

jaoks

aga

jaoks

Järelikult mis tahes piirkonna naabruses
ülesanne
võtab väärtusi suureks
ja väiksemad
ja siis punktis
ülesanne
Määratluse järgi ei ole tal kohalik äärmuslik.

Teises statsionaarses punktis



seega, nii et
siis punktis
funktsioonil on kohalik maksimaalne.

Määratlus: Punkti x0 nimetatakse kohalikuks maksimaalseks (või minimaalseks) punktiks, kui mõnes punkti X0 naabruses on funktsiooni suurim (või väikseim) väärtus, st. Kõigi X-ga mõne punkti x0 naabruses esineb seisund f (x) f (x0) (või f (x) f (x0)).

Kohalikud maksimaalsed või minimaalsed punktid on kombineeritud ühine pealkiri - Kohaliku äärmusliku funktsiooni punktid.

Pange tähele, et kohaliku ekstremmemi punktides jõuab funktsioon oma suurima või kõige vähem tähendus Ainult mõnes kohalikus piirkonnas. Weaxuini väärtus võib esineda juhtumeid.

Nõutav märk kohaliku äärmusliku funktsiooni olemasolu

Teoreem . Kui pidev funktsioon y \u003d f (x) on kohaliku esurm punkt x0, siis sel hetkel esimene derivaat on kas null või ei ole olemas, st. Local Expertm toimub kriitilistes küsimustes vormi I.

Kohalikule Expertum Punktis, kas 0x telje tangentsiaalne telg või on kaks puutujat (vt joonist). Pange tähele, et kriitilised punktid on vajalikud, kuid kohaliku äremi puudumine. Kohalik Expertm toimub ainult I tüübi kriitilistes punktides, kuid kohalik äärmuslik seisukoht toimub kõigis kriitilistes punktides.

Näiteks: kuupmeetri parabool y \u003d x3, on kriitiline punkt x0 \u003d 0, kus derivaat Y / (0) \u003d 0, kuid kriitiline punkt x0 \u003d 0 ei ole äärmuslik punkt, ja seal on kuulatuspunkt (vt allpool).

Piisav märk kohaliku ekstringemi funktsiooni olemasolust

Teoreem . Kui argumendi ülemineku ajal esimese tuletisinstrumendi paremal asuva perekonna kriitilise punkti I kaudu / x (x)

muudab märk "+" kuni "-", pidev funktsioon (x) selles kriitilises punktis on kohalik maksimaalne;

muudab märk "-" "+", siis (x) pidev funktsioon on selles kriitilises punktis kohalik miinimum

ei muuda tähist, siis selles kriitilises punktis puudub kohalik äärmuslik, on olemas jõud.

Kohaliku maksimumi puhul asendatakse funktsiooni suurenemise pindala (Y / 0) funktsiooni suurema pindalaga (Y / 0). Kohaliku miinimumini asendatakse funktsiooni (Y / 0) vähenemine piirkonnaga suurendamise funktsiooniga (Y / 0).

Näide: uurida funktsiooni Y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 monotoonsus, Expertum ja ehitada graafiku funktsiooni.

Leiame perekonna I kriitilised punktid, määrates derivaat (Y /) ja võrdsustab selle nulliga: at / \u003d 3x2 + 18x + 15 \u003d 3 (x2 + 6x + 5) \u003d 0

Spest Square kolm väheneb diskrimineeriva abiga:

x2 + 6x + 5 \u003d 0 (a \u003d 1, b \u003d 6, c \u003d 5) d \u003d, x1k \u003d -5, x2k \u003d -1.

2) Me murdame numbrilise telje kriitiliste punktidega 3 valdkonda ja me määratleme tuletisinstrumendi märke (Y /). Nende märkide kohaselt leiame funktsioone monotoonsuse (suurendamise ja vähenemise) alad ning muutudes märke kohaliku ekstringemi (maksimaalse ja minimaalse) punktide kindlaksmääramiseks.

Uuringu tulemused esitatakse tabeli kujul, millest saab teha järgmisi järeldusi: \\ t

  • 1. / (- 10) 0-ga, funktsiooni monotoonselt suureneb (derivaadi märk oli hinnanguliselt selle intervalliga võetud kontrollpunkti x \u003d -10);
  • 2. intervalliga (-5; -1) in / (- 2) 0, funktsiooni monotoonselt väheneb (derivaadi Yell oli hinnanguliselt kontrollpunkti x \u003d -2, mis on võetud selles intervalliga);
  • 3. ajavahemikus / (0) 0, funktsiooni monotoonselt suureneb (märk derivaadi Y hinnati kontrollpunkti x \u003d 0 selles ajavahemikus);
  • 4. Kriitilise punkti X1K \u003d -5 vahetamisel muudab derivaat märk "+" kuni "-", seetõttu on see punkt kohalik maksimaalne punkt
  • (Ymax (-5) \u003d (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 \u003d -125 + 225-75 - 9 \u003d 16);
  • 5. Kriitilise punkti X2K \u003d -1 vahetamise ajal muudab derivaat märk "-" "+", seetõttu on see punkt kohalik miinimumpunkt
  • (Ymin (-1) \u003d -1 + 9-5 - 9 \u003d - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) graafiku ehitamine, et järgida uuringu tulemusi koos funktsioonide funktsioonide täiendavate arvutuste atraktsiooniga kontrollpunktides:

me ehitame ristkülikukujulise koordinaatide süsteemi OHU;

näitame maksimaalse punkti koordinaate (-5; 16) ja minimaalse (-1; -16);

graafiku selgitamiseks arvutame funktsiooni väärtuse kontrollpunktides, valides need vasakul ja paremale maksimaalsete punktide ja keskmise intervalli miinimumi ja sees: Y (-6) \u003d (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 \u003d 9; Y (-3) \u003d (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 \u003d 0;

(0) \u003d -9 (-6; 9); (-3; 0) ja (0; -9) - hinnangulised kontrollpunktid, mida rakendatakse ajakava ehitamiseks;

näita graafikut kõvera kujul, kummardades maksimaalse punkti ja kumerdudes minimaalse ja arvutatud kontrollpunktide läbimisel.

\u003e\u003e Äärmused

Äärmuslik funktsioon

Äärmiselt määramine

Ülesanne y \u003d F (x) nimetatakse suurenev (kahanev) Mõnes intervallis, kui x 1 juures< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > F (x 2)).

Kui segmendi diferentsiaalfunktsioon Y \u003d F (x) suureneb (väheneb), seejärel selle segmendi derivaat f " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Punkt x. umbes kutsus kohaliku maksimaalse punkt (minimaalne) F (x) Kui on naabruses x O. Kõigi punktide jaoks on ustav ebavõrdsus f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Maksimaalselt ja minimaalseid punkte nimetatakse Äärmuspunktidja funktsioonide väärtused nendes punktides - see äärmuslikud.

Äärmuspunktid

Nõutavad äärmuslikud tingimused . Kui punkt x. umbes on äärmuslik punkt f (x), siis kas f " (x o) \u003d 0 või f(x o) ei eksisteeri. Selliseid punkte nimetatakse kriitiline Lisaks määratletakse funktsiooni kriitilises punktis. Selle kriitiliste punktide vahel tuleks otsida äärmuslikku funktsiooni.

Esimene piisav seisund. Las olla x. umbes - kriitiline punkt. Kui f " (x) Punkti vahetamisel x. umbes Muudab märk pluss miinus, siis punktis x O. Funktsioonil on maksimaalne, muidu minimaalne. Kui üleminekul läbi kriitilise punkti tuletis derivaat ei muuda märki, siis punktis x. umbes Äärmus ei ole.

Teine piisav seisund. Olgu funktsioon f (x)
f " (x) punkti naabruses x. umbes ja teine \u200b\u200bderivaat väga punktis x O. . Kui f "(x O.) = 0, >0 ( <0), то точка x O. See on koht kohaliku minimaalse minimaalse (maksimaalse) funktsioon f (x). Kui \u003d 0, siis peate kasutama esimest piisavat seisundit või meelitama kõrgeimat.

Segmendis võib funktsioon Y \u003d F (x) jõuda väikseima või suurima väärtusega või kriitilistes punktides või segmendi otstes.

Näide 3.22.

Otsus.Kui f. " (

Ülesanded äärmuslike funktsioonide leidmiseks

Näide 3.23. a.

Otsus. x. ja y. y.
0 ≤ x.≤
\u003e 0 ja millal x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funktsioonid kv.. elf).

Näide 3.24.p ≈

Otsus.p P.
SPEY S "
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Näide 3.22.Leia äärmuslik funktsioon f (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Otsus.Kui f. " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x -2) (x-3), seejärel funktsiooni X 1 \u003d 2 ja x 2 kriitilised punktid \u003d 3. Äärmused võivad olla ainult nendes punktides. Kuna lülitatakse läbi punkti x 1 \u003d 2, muudab derivaat miinus märgi pluss, siis sel hetkel on funktsioonil maksimaalne. Punkti x 2 \u003d 3 vahetamisel muudab derivaat märgi miinus pluss, seega punktis x 2 \u003d 3 funktsiooni vähemalt. Arvuta funktsiooni väärtused punktides
x 1 \u003d 2 ja x 2 \u003d 3, leiame funktsiooni esurms: maksimaalne f (2) \u003d 14 ja vähemalt f (3) \u003d 13.

Näide 3.23.Stoneseina lähedal on vaja ehitada ristkülikukujuline platvorm nii, et see puuritakse kolmest küljest traatvõrk ja külgtas seina seina. Sest see on saadaval a. MSH-mustrid. Mis kuvasuhe on kõrgeim ruut?

Otsus.Tähistage saidi külge läbi x. ja y. . Piirkonna ala on võrdne s \u003d xy-ga. Las olla y. - See on seina külgneva külje pikkus. Seejärel tuleb läbi viia võrdsuse 2x + y \u003d a. Seetõttu Y \u003d A - 2X ja S \u003d X (A - 2X), kus
0 ≤ x.≤ a / 2 (saidi pikkus ja laius ei saa olla negatiivne).S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 x \u003d a / 4 juures, kust
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d a / 2. Niivõrd kui x \u003d a / 4 on ainus kriitiline punkt, kontrollige, kas märk muutub ülemineku ajal selle punkti kaudu. X A / 4 S-ga "\u003e 0 ja millal x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funktsioonid S (a / 4) \u003d a / 4 (a - a / 2) \u003d 2/8 (kv.. elf). Kuna S on pidev sisse ja selle väärtused otstes S (0) ja S (A / 2) on , on leitud väärtus suurim funktsiooni väärtus. Seega on saidi kõige soodsam kuvasuhe nende probleemide tingimustes Y \u003d 2x.

Näide 3.24.Nõutav on suletud silindriline tank mahuga v \u003d 16p ≈ 50 m 3. Mis peaks olema paagi suurused (R raadius ja kõrgus H), nii et vähemalt materjali kogus läheb selle valmistamiseks?

Otsus.Silindri kogupinna pindala on S \u003d 2p. R (R + H). Me teame silindri V \u003d mahtp r 2H þ H \u003d V / P R2 \u003d 16 p / l R2 \u003d 16 / R2. Niisiis, s (r) \u003d 2p. (R2 + 16 / R). Leia selle funktsiooni derivaat:
SPEY S "(R) \u003d 2 p (2R-6 / R2) \u003d 4 p (R- 8 / R2). SPEY S " (R) \u003d 0 R3 \u003d 8 juures, seetõttu
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

$ E \\ alamhulk \\ MathBB (R) ^ (n) $. On öeldud, et $ F $ on kohalik maksimaalne Punktis $ x_ (0) \\ in e $, kui on selline naabruses $ u $ punkte $ x_ (0) $, et kõigi $ x \\ in u $, ebavõrdsuse on $ f vasakule (x \\ t Parem) \\ Leqslant f vasak (x_ (0) paremal) $.

Kohalik maksimaalne nimetatakse range Kui $ U $ naabruses saab valida nii, et kõik $ x u $, erinevad $ x_ (0) $, oli $ f vasakul (x paremal)< f\left(x_{0}\right)$.

Määratlus
Olgu $ F $ olla tegelik funktsioon avatud komplekt $ e \\ alamhulk \\ MathBB (R) ^ (N) $. On öeldud, et $ F $ on kohalik miinimum Punktis $ x_ (0) \\ in e $, kui on selline naabruskond $ u $ punkte $ x_ (0) $, et kõigi $ x \\ in u $, ebavõrdsuse $ f vasakule (x \\ t Parem) \\ Geqslant f vasak (x_ (0) \\ õige) $.

Kohalik miinimumini nimetatakse rangeks, kui $ U $ naabruses saab valida nii, et kõik $ x u $, mis erineb $ x_ (0) $, oli $ f vasakul (x paremal)\u003e Vasakule (x_ (0) paremal) $.

Kohalik äärmuslik ühendab kohaliku minimaalse ja kohaliku maksimaalse kontseptsioone.

Teoreem (vajalik seisund Expertum diferentseeritav funktsioon)
Olgu $ F $ olla tegelik funktsioon avatud komplekt $ e \\ alamhulk \\ MathBB (R) ^ (N) $. Kui punktis $ x_ (0) \\ in e $, $ F funktsioon on kohaliku esurm ja sel hetkel, siis $$ \\ teksti (d) f vasak (x_ (0) \\ õige) \u003d 0. $$ Võrdõiguslikkuse null diferentsiaal on samaväärne asjaoluga, et kõik on , s.t. $$ \\ displaystyle \\ frac (osaline f) (\\ osaline x_ (i)) vasakule (x_ (0) \\ paremalt

Ühemõõtmelisel juhul on see. Tähistage $ phi vasakule (paremale) \u003d f vasakpoolne (x_ (0) + th Funktsioon $ \\ Phi $ on määratletud piisavalt väike Modulo väärtused $ T $. Lisaks sellele on see vastavalt diferentseeruvaks ja $ (Phi) vasakule (t paremale) \u003d tekst (d) f vasak (x_ (0) + th
Olgu $ F $ on kohalik maksimaalselt $ 0 $ punkti. See tähendab, et funktsioon $ t $ t \u003d 0 $ on kohalik maksimaalne ja vastavalt talu teoreemile, $ (Phi) vasakule (0-le) \u003d 0 $.
Niisiis, me saime selle $ DF-i vasakule (x_ (0) paremale) \u003d 0 $, st Funktsioonid $ F $ punkti $ x_ (0) $ on null tahes vektor $ H $.

Määratlus
Punktid, kus diferentsiaal on , s.o. Selline, kus kõik erasektori derivaadid on , nimetatakse statsionaarseks. Kriitilised punktid Funktsioonid $ F $ nimetatakse selliste punktidena, kus $ F $ ei erine nulliga. Kui punkt on statsionaarne, siis see ei tähenda veel seda, et selles punktis on funktsiooni äärmuslik.

Näide 1.
Olgu $ f vasakul (x, y \\ paremal) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Siis $ \\ Displaystyle \\ Frac (osalise F) (osaline x) \u003d 3 CDOT X ^ (2) $, $ \\ displaystyle \\ frac (osaline f) (osaline y) \u003d 3 c cdot y ^ (2 ) $, nii $ \\ vasakul (0,0 ja paremal) $ on statsionaarne punkt, kuid selles punktis ei ole funktsiooni esurm. Tõepoolest, $ f vasakule (0,0 \\ paremalt) \u003d 0 $, kuid see on lihtne näha, et mis tahes naabruses $ vasakpoolse punkti (0,0 / paremale) $ funktsioon võtab nii positiivseid kui ka negatiivseid väärtusi.

Näide 2.
Funktsioon on $ f vasakul (x, y \\ paremal) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ statsionaarse punkti, kuid see on selge, et selles küsimuses ei ole ekstremi.

Teoreem (piisav äärmuslik seisund).
Olgu funktsioon $ f $ topelt-pidevalt diferentseeruvad avatud komplekt $ e \\ alamhulk \\ MathBB (R) ^ (n) $. Olgu $ x_ (0) E $ - statsionaarne punkt ja $$ \\ Displaystyle Q_ (x_ (0)) vasakule (H-paremale) \\ Eciv sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ sum_ (J \u003d 1) ) ^ n frac (osaline ^ (2) f) (osaline x_ (i) \\ osaline x_ (j)) vasakule (x_ (0) paremale) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Siis

  1. kui $ q_ (x_ (0)) $ -, siis funktsioon $ F $ $ X_ (0) $ on kohalik äärmuslik, nimelt vähemalt, kui vorm on positiivselt määratletud, ja maksimaalne, kui vorm on negatiivselt määratletud;
  2. kui ruutlik vorm $ q_ (x_ (0)) $ 00 on määramata, siis funktsioon $ F $ $ x_ (0) $ ei ole esurm.

Me kasutame lagunemist taylor valemiga (12,7 lk. 292). Arvestades, et esimese tellimuse individuaalsed derivaadid punktis $ x_ (0) $ on , saame $$ \\ Displaystyle f vasakule (x_ (0) + H \\ õige) -F ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n \\ sum_ (J \u003d 1) ^ n frac (osaline ^ (2) f) (\\ osaline x_ (i) \\ osaline x_ (\\ t j)) vasakule (x_ (0) + \\ theta h \\ õige) h ^ (i) h ^ (j), $$ kus $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ ja $ \\ Epsilon vasakule (H
Niisiis, me tulime asjaolule, et mõnes punkti $ x_ (0) $ naabruses oli see ebavõrdsus $ f vasakul (x paremal)\u003e f vasakult (x_ (0) paremal) $, kui ainult $ x NEQ X_ (0) $ (me paneme $ x \u003d x_ (0) + h $ \\ paremale). See tähendab, et punktil $ x_ (0) $ funktsioon on range kohaliku minimaalse ja seega tõestanud meie teoreemi esimene osa.
Oletame nüüd, et $ q_ (x_ (0)) $ on määramata vorm. Siis on vektoreid $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, näiteks $ Q_ (x_ (0)) vasakule (h_ (1) paremal) \u003d lambda_ (1)\u003e 0 $, $ q_ (x_ (0)) vasakule (h_ (2) paremal) \u003d lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Siis saame $$ F vasakule (x_ (0) + th_ (1) paremale) -f vasakule (x_ (0) paremale) \u003d frac (1) (2) vasakule [t ^ (2) \\ t lambda_ (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) \\ Epsilon vasakule (th_ (1) paremal) \\ paremalt] \u003d \\ Frac (1) (2) t ^ (2) vasakule [lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) \\ Epsilon \\ thow (th_ (1) paremal) \\ õigus]. \u200b\u200b$$ piisavalt väike $ t\u003e 0 $ parempoolse osa on positiivne. See tähendab, et iga punkti naabruses $ x_ (0) $, $ F $ funktsioon võtab väärtused $ f vasakule (x paremale) $, suur kui $ f vasakule (x_ (0) \\ t Parem) $.
Samamoodi saame, et ükskõik millise punkti $ x_ (0) $ funktsioon $ F $ võtab väärtused vähem kui $ f vasakule (x_ (0) paremale) $. See, koos eelmise, tähendab, et punkt $ x_ (0) $ funktsioon $ F $ ei ole esurm.

Kaaluma privaatne juhtum See teoreem funktsioon $ f vasakule (x, y \\ paremale) $ kaks muutujat määratletud mõnes naabruses punkt $ (x_ (0), y_ (0) \\ õige) $ ja millel on pidevad erasektori derivaadid selles naabruses ja teine \u200b\u200btellimus. Oletame, et $ \\ vasakule (x_ (0), y_ (0) \\ õigus) $ on statsionaarne punkt ja tähistage $$ \\ displaystyle a_ (11) \u003d frac (osaline ^ (2) f) ( ^ (2)) vasakule (x_ (0), y_ (0) paremal), a_ (12) \u003d prac (osaline ^ (2) f) (osaline x osaline y) vasakule (x_ ( 0), y_ (0) paremal), a_ (22) \u003d frac (osaline ^ (2) f) (osaline y ^ (2)) vasakule (x_ (0), y_ (0) ) $$ Siis eelmine teoreem võtab järgmise vormi.

Teoreem
Olgu $ \\ Delta \u003d A_ (11) CDot A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Siis:

  1. kui $ £ 0 $, siis $ F funktsioon on $ vasakule (x_ (0), y_ (0) paremale) $ kohaliku esurm, nimelt vähemalt siis, kui $ a_ (11)\u003e 0 $ ja Maksimaalne, kui $ a_ (11)<0$;
  2. kui $ \\ delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Probleemide lahendamise näited

Algoritm paljude muutujate äärmuslike funktsioonide leidmiseks:

  1. Leiame statsionaarseid punkte;
  2. Leiame 2. tellimuse erinevus kõigis statsionaarsetes punktides
  3. Paljude muutujate äärmuslike funktsioonide piisava seisundi kasutamine kaalume 2. tellimuse erinevus igas staadiumis
  1. Uurige funktsiooni äärmusliku $ f vasakule (x, y \\ paremale) \u003d x ^ (3) + 8 CDOT Y ^ (3) + 18 CDOT X - 30 CDOT Y $.
    Otsus

    Leiame erasektori derivaadid 1. tellimuse: $$ \\ Displaystyle \\ Frac (\\ osalise F) (osaline x) \u003d 3 c cdot x ^ (2) - 6 c cdot y; $$$$ \\ displaystytyle ( \\ Osaline f) (osaline y) \u003d 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X. $$ teha ja lahendada süsteemi: $$ \\ Displaystyle Alusta (juhtumid) Frac (\\ osaline f) (osaline x) \u003d 0 \\\\\\ frac (osaline f) (osaline y) \u003d 0 \\ Lõdude (juhtudel) ÕIGUSA Alusta (juhtumid) 3 CDOT X ^ (2) - 6 CDOT Y \u003d 0 \\ t CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X \u003d 0 \\ Lõdu (juhtumid) Õigerrow Alusta (juhtumid) X ^ (2) - 2 CDOT Y \u003d 0 \\\\ 4 c cdot y ^ (2) - x \u003d 0 \\ Lõdu (juhtumid) $$ Teise võrrandi Express $ X \u003d 4 C CDOT Y ^ (2) $ - me asendada 1. võrrandi: $$ \\ Displaystyle vasakule (4 c cdot y ^ (2) \\ Paremale) ^ (2) -2 CDOT Y \u003d 0 $$$$ 16 CDOT Y ^ (4) - 2 CDOT Y \u003d 0 $$$$ 8 CDOT Y ^ (4) - Y \u003d 0 $$ $$ y \\ Vahab (8 CDOT Y ^ (3) -1 \\ õigus) \u003d 0 $$ Selle tulemusena 2 statsionaarset punkti saadi:
    1) $ y \u003d 0 \\ Resparrow x \u003d 0, m_ (1) \u003d vasakule (0, 0 ja paremale) $;
    2) $ \\ DISPLAYSTYLE 8 CDOT Y ^ (3) -1 \u003d 0 \\ Rõhu y ^ (3) \u003d \\ frac (1) (8) \\ Rõhu y \u003d \\ t , M_ (2) \u003d vasakule (Frac (1) (2), 1 paremal) $
    Kontrollige äärmuslike seisundite rakendamist:
    $$ \\ displaystyle \\ frac (osaline ^ (2) f) (osaline x ^ (2)) \u003d 6 c cdot x; Frac (osaline ^ (2) f) (osaline x osaline y) \u003d - 6; Frac (osaline ^ (2) f) (osaline y ^ (2)) \u003d 48 CDOT Y $$
    1) punkti $ m_ (1) \u003d vasakule (0,0 paremale) $:
    $$ \\ Displaystyle A_ (1) \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline x ^ (2)) vasakule (0,0 ja paremale) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (osaline ^ (2) f) (osaline x osaline y) vasakule (0,0 ja paremale) \u003d - 6; C_ (1) \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline y ^ (2)) vasakule (0,0 ja paremale) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) CDOT B_ (1) - C_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) $ M_ (2) punkti $ jaoks:
    $$ \\ Displaystyle A_ (2) \u003d \\ Frac (osaline ^ (2) f) (osaline x ^ (2)) vasakule (1, suguharu (1) (2) \\ paremalt) \u003d 6; B_ (2) \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline X osaline y) vasakule (1, suguharu (1) (2) \\ paremalt) \u003d - 6; C_ (2) \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline y ^ (2)) vasakule (1, frac (1) (2) paremal) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) CDOT B_ (2) - C_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, see tähendab, punktis $ m_ (2) $ on äärmuslik ja alates $ a_ (2)\u003e 0 $, mis on minimaalne.
    Vastus: Point $ \\ Displaystyle M_ (2) vasakule (1, sugu (1) (2) \\ õige) $ on punkt minimaalne funktsioon $ F $.

  2. Uurige funktsiooni Extretrem F \u003d Y ^ (2) + 2 CDOT X CDOT Y - 4 CDOT X - 2 CDOT Y - $ 3.
    Otsus

    Leia statsionaarsed punktid: $$ \\ displaystyle \\ frac (osaline f) (osaline x) \u003d 2 c cdot y - 4; $$$$ \\ displaystyle \\ frac (\\ osaline f) (osaline y) \u003d 2 Y + 2 CDOT X - 2. $$
    Me lahendame ka süsteemi: $$ \\ Displaystyle Alusta (juhtumid) frac (osaline f) (osaline x) \u003d 0 (osaline f) (osaline f) (osaline y) \u003d 0 ) Õige Alusta (juhtumid) 2 CDOT Y - 4 \u003d 0 C CDOT Y + 2 CDOT X - 2 \u003d 0 Lõpeta (juhtumid) ÕIGUSTE ALGUSED (juhtumid) Y \u003d 2 Y + \\ t x \u003d 1 lõpeb (ümbrised) Reemerrow X \u003d -1 $$
    $ M_ (0) vasakule (-1, 2 paremale) $ - statsionaarne punkt.
    Kontrollige piisava äärmusliku seisundi täitmist: $$ \\ Displaystyle A \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline x ^ (2)) vasakule (-1,2 paremale) \u003d 0; B \u003d frac (osaline ^ (2) f) (osaline x osaline y) vasakule (-1.2 paremale) \u003d 2; C \u003d Frac (osaline ^ (2) f) (osaline y ^ (2)) vasakule (-1.2 paremale) \u003d 2; $$
    $ A CDOT B - C ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Vastus: äärmuslikud puuduvad.

Tähtaeg: 0

Navigeerimine (ainult töö numbrid)

0 neljast ülesandest lõppes

Teave

Täitke see test, et testida oma teadmisi paljude muutujate funktsioonide kohalike äärbemate teemadest.

Te olete testi juba varem läbinud. Sa ei saa seda uuesti käivitada.

Katse laaditakse ...

Te katse alustamiseks peate sisse logima või registreerima.

Selle alustamiseks peate järgmised testid lõpetama:

tulemused

Õiged vastused: 0 of 4

Sinu aeg:

Aeg on läbi

Sa viskas 0-st 0 punkti (0)

Teie tulemus registreeriti juhtide tabelis

  1. Vastusega
  2. Markeriga

    Ülesanne 1 4

    1 .
    Punktide arv: 1

    Avasta funktsioon $ F $ äärmuste: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 Cdeot y ^ (2)) $

    Õigus

    Vale

  1. Ülesanne 2 4

    2 .
    Punktide arv: 1

    Kas on olemas esurm funktsioon $ f \u003d 4 + sqrt (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Funktsiooni muutmine konkreetses punktis ja on määratletud kui funktsiooni suurendamise piiri argumendi suurendamiseni, mis kipub nullini. Selle leidmiseks kasutage derivaatide tabelit. Näiteks derivaatide funktsioon Y \u003d X3 on võrdne Y '\u003d x2-ga.

Eclay See derivaat nulli (sel juhul x2 \u003d 0).

Leidke selle muutuja väärtus. Need on väärtused, selle derivaadiga on võrdne 0. Selle tegemiseks asendage suvalised numbrid x asemel, kus kõik väljendid muutuvad nulliks. Näiteks:

2-2x2 \u003d 0.
(1-x) (1 + x) \u003d 0
x1 \u003d 1, x2 \u003d -1

Rakendage saadud väärtusi koordineerimiseks ja arvutama iga saadud derivaadi märkide märk. Koordinaatide otseste punktide märgitakse, mis võetakse vastu viite alguses. Väärtuse arvutamiseks ajavahemike järel asendavad suvalised väärtused sobivad kriteeriumide jaoks. Näiteks eelmise funktsiooni jaoks intervalli -1-le saate valida väärtuse -2. Alates -1 kuni 1 saate valida 0 ja rohkem kui 1 väärtused, valige 2. Asenda numbrid derivaadis ja teada saada derivaat. Sellisel juhul on x \u003d -2 derivaat -0,24, st Negatiivne ja selles intervallis on miinusmärk. Kui x \u003d 0, siis väärtus on 2 ja selle lõhele paigaldatakse märk. Kui X \u003d 1, on derivaat ka -0,24 ja on miinus.

Kui see läbib koordinaadi otsese punkti, muudab derivaat oma märgi miinusest plusse, siis see on minimaalne punkt, ja kui pluss miinus, siis see on maksimaalne punkt.

Video teemal

Kasulik nõuanne

Tuletisinstrumendi leidmiseks on võrguteenused, mis loendavad soovitud väärtusi ja tulemust väljund. Sellistel saitidel leiate derivaadi kuni 5 tellimuse.

Allikad:

  • Üks teenuse arvutamise teenuseid
  • maksimaalse funktsiooni punkt

Funktsiooni maksimaalsed punktid koos minimaalsete punktidega nimetatakse äärmuslikeks punktideks. Nendes punktides muudab funktsioon käitumise olemus. Äärmused määratakse piiratud arvuliste intervallidega ja on alati kohalikud.

Juhendamine

Kohalike esurmide leidmise protsessi nimetatakse funktsiooniks ja viiakse läbi esimese ja teise derivaadi funktsiooni analüüsimisega. Enne uuringu alustamist veenduge, et määratud argumentide väärtuse intervall kuulub kehtivatele väärtustesse. Näiteks funktsioon f \u003d 1 / x väärtus argumendi X \u003d 0 on vastuvõetamatu. Või Y \u003d Tg (x) funktsiooni jaoks ei saa argumendil olla väärtus x \u003d 90 °.

Veenduge, et funktsioon y on diferentseeruv kõik kindlaksmääratud segmendis. Leia esimene derivaat Y. "On ilmselge, et kuni kohaliku maksimumiinipunkti saavutamiseni suureneb funktsioon ja liigub funktsioon, funktsioon väheneb. Esimene derivaat selle füüsilises tähenduses iseloomustab funktsiooni muutmise kiirust. Kuigi Funktsioon suureneb, selle protsessi kiirus on positiivne. Kohaliku maksimaalse vahetamise korral hakkab funktsioon vähenema ja funktsiooni muutmisprotsessi kiirus muutub negatiivseks. Töörühma muutmise kiiruse üleminek läbi viidud kohaliku maksimaalse punkti juures.