Рассмотрим решение следующих задач.

1. Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону мА. Длительность импульса 0,1 с. Определить работу, совершаемую током за это время, если сопротивление участка равно 20 кОм.

За малый интервал времени dt , когда ток практически не меняется, на сопротивлении R совершается работа . За время всего импульса будет совершена работа

.

Подставляя в полученное выражение значение тока, получим.

2. Скорость точки равна (м/с). Найти путь S , пройденный точкой за время t =4с, прошедшее от начала движения.

Найдем путь , пройденный точкой за бесконечно малый промежуток времени . Так как в течение этого времени скорость можно считать постоянной, то . Интегрируя, имеем

3. Найти силу давления жидкости на вертикальную треугольную пластину с основанием a и высотой h , погруженную в жидкость так, что ее вершина лежит на поверхности.

Систему координат расположим, как показано на рис. 5.

Рассмотрим горизонтальную бесконечно малую полоску толщиной dx , находящуюся на произвольной глубине x . Принимая эту полоску за прямоугольник, найдем ее основание EF . Из подобия треугольников ABC и AEF получаем

Тогда площадь полоски равна

Так как сила P давления жидкости на площадку S , глубина погружения которой r , по закону Паскаля равна

где r- плотность жидкости, g - ускорение силы тяжести, то искомая сила давления на рассматриваемую площадку dS вычисляется по формуле

.

Следовательно, сила давления P жидкости на площадку ABC

.

Решить задачи .

5.41 Скорость движения точки определяется уравнением см/с. Найти путь, пройденный точкой за время t =5с, протекшее от начала движения.

5.42 Скорость тела выражается формулой м/с. Найти путь, пройденный телом за первые три секунды после начала движения.

5.43 Скорость движения тела определяется уравнением см/с. Какой путь пройдет тело за третью секунду движения?

5.44 Два тела начинают двигаться одновременно из одной и той же точки: одно со скоростью (м/мин), а другое со скоростью (м/мин). На каком расстоянии друг от друга они будут через 10 мин, если двигаются по одной линии в одном направлении?

5.45 На тело массой 5 г, движущееся прямолинейно, действует сила (дин). Найти расстояние, пройденное телом в течение третьей секунды движения.

5.46 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (см/с). Определить смещение точки через 0,1 с после начала движения.

5.47 Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06 м, если сила в 1Н растягивает ее на 0,01 м?

5.48 Скорость колеблющейся точки изменяется по закону (м/с). Определить путь, пройденный точкой за с от начала движения.

5.49 Азот, масса которого 7 г, расширяется при неизменной температуре, равной 300°К так, что его объем увеличивается вдвое. Определить работу, совершаемую газом. Универсальная газовая постоянная Дж/кмоль.

5.50 Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину длиной в 25 см до длины в 35 см, если известно, что коэффициент жесткости пружины равен 400 Н/м?

5.51 Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону (мА). Длительность импульса равна 0,1с. Определить заряд, протекающий через тело животного.

5.52 Какая работа совершается при растяжении мышцы на l мм, если известно, что при нагрузке P 0 мышца растягивается на l 0 мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышц, пропорциональна ее удлинению.

5.53 Тело двигается в некоторой среде прямолинейно по закону . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости . Найти работу, произведенную силой сопротивления среды при передвижении тела от S =0 до S =a метров.

ЕН 01 МАТЕМАТИКА

Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач».

для специальности:

100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства

Вологда 2013

Математика: Сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» для специальности: 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства

Данный сборник заданий для внеаудиторной самостоятельной работы по теме: «Применение определённого интеграла для решения физических задач» представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов.

Содержит задания для самостоятельной внеаудиторной работы для шести вариантов и критерии оценки выполнения самостоятельной работы.

Комплект призван помочь студентам систематизировать и закрепить полученные на аудиторных занятиях по математике теоретический материал, сформировать практические навыки.

Составитель: Е. А. Севалёва – преподаватель математики высшей категории БОУ СПО ВО «Вологодский строительный колледж»

1. Пояснительная записка.

2. Самостоятельная работа.

3. Критерии оценки.

4. Литература.

Пояснительная записка

Данная работа представляет собой учебно-методическое пособие по организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» для специальности 100126 Сервис домашнего и коммунального хозяйства.

Цель методических указаний состоит в обеспечении эффективности самостоятельной работы, определении ее содержания, установления требований к оформлению и результатам самостоятельной работы.

Целями самостоятельной работы студентов по дисциплине ЕН 01 «Математика» являются:

· систематизации и закрепления полученных теоретических знаний и практических навыков;

· углубление и расширение теоретических знаний;

· формирование умений использовать справочную и дополнительную литературу;

· развитие познавательных способностей и активности студентов, творческой инициативы, самостоятельности и самоорганизации;

· активизации учебно-познавательной деятельности будущих специалистов.

Самостоятельные работы выполняются индивидуально в свободное от занятий время.

Студент обязан:

  • перед выполнением самостоятельной работы, повторить теоретический материал, пройденный на аудиторных занятиях;
  • выполнить работу согласно заданию;
  • по каждой самостоятельной работе представить преподавателю отчет в виде письменной работы.

Самостоятельная работа по теме:

«Применение определённого интеграла для решения физических задач»

Цель: научиться применять определённый интеграл для решения физических задач.

Теория.

Вычисление пути, пройденного точкой.

Путь, пройденный точкой при неравномерном движении по прямой с переменной скоростью а промежуток времени от до , вычисляется по формуле

…… (1)

Пример 1. м/с . Найти путь, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Решение: Согласно условию , , .

По формуле (1) находим:

Ответ: .

Пример 2. Скорость движения точки изменяется по закону м/с . Найти путь, пройденный точкой за 4-ую секунду.

Решение: Согласно условию , ,

Следовательно:

Ответ: .

Пример 3. Скорость движения точки изменяется по закону м/с . Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

Решение:

· Скорость точки равна 0 в момент начала движения и в момент остановки.

· Определим, в какой момент времени точка остановится, для этого решим уравнение:

То есть , .

· По формуле (1) находим:

Ответ: .

Вычисление работы силы.

Работа, произведённая переменной силой при перемещении по оси Ох материальной точки от х = а до х = , находится по формуле:

…… (2)

При решении задач на вычисление работы силы часто используется закон Гука : ……(3), где

Сила (Н );

х – абсолютное удлинение (сжатие) пружины, вызванное силой (м );

Коэффициент пропорциональности (Н/м ).

Пример 4. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 0,04 м , если для сжатия её на 0,01 м нужна сила 10 Н .

Решение:

· Так как х = 0,01 м при силе =10 Н

, находим , т.е. .

Ответ: Дж .

Пример 5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 0,2 м . Сила в 50 Н растягивает пружину на 0,01 м . Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от 0,22 м до 0,32 м ?

Решение:

· Так как х = 0,01 при силе =50 Н , то, подставляя эти значения в равенство (3): , получим:

· Подставив теперь в это же равенство найденное значение , находим , т.е. .

· Находим пределы интегрирования: м , м .

· Искомую работу найдём по формуле (2):

Тест по теме «Кинематика» Вариант 1.

1. Расстояние между начальной и конечной точками - это:

А) путь Б) перемещение В) смещение Г) траектория

2. В каком из следующих случаев движение тела нельзя рассматривать как движение материальной точки?

А) Движение Земли вокруг Солнца. Б) Движение спутника вокруг Земли.

В) Полет самолета из Владивостока в Москву. Г) Вращение детали, обрабатываемой на

станке

3. Какие из перечисленных величин являются скалярными?
А) перемещение Б) путь В) скорость

4 . Что измеряет спидометр автомобиля?
А) ускорение; Б) модуль мгновенной скорости;
В) среднюю скорость; Г) перемещение

5. Какая единица времени является основной в Международной системе единиц?
А) 1час Б) 1 мин В) 1 с Г) 1 сутки.

6. Два автомобиля движутся по прямому шоссе в одном направлении. Если направить ось ОХ вдоль направления движения тел по шоссе, тогда какими будут проекции скоростей автомобилей на ось ОХ?


7. Автомобиль объехал Москву по кольцевой дороге, длина которой 109 км. Чему равны пройденный путь l и перемещение S автомобиля?
A) l = 109 км; S = 0 Б) l =218 км S = 109 кмВ) l = 218 км; S = 0. Г) l=109 км; S=218 км

8.

А) 1 Б)2 В)3 Г) 4.

9 . Определите путь, пройденный точкой за 5 с. (Рис. 2).

А) 2м Б) 2,5м В) 5м Г) 10м.

10 .. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 1c до t 2 = 3с?

11 . Если ускорение равно 2 м/с 2 , то это:

А) равномерное движение Б) равнозамедленное движение

В) равноускоренное движение Г) прямолинейное

12 . Ускорение характеризует изменение вектора скорости

А) по величине и направлению Б) по направлению В) по величине

13 . Автомобиль, движущийся прямолинейно равноускоренно, увеличил свою скорость с
3 м/с до 9 м/с за 6 секунд. С каким ускорением двигался автомобиль?
А) 0 м/с 2 Б) 3 м/с 2 В) 2 м/с 2 Г) 1 м/с 2

14. Какую скорость приобретает автомобиль при торможении с ускорением 0,5 м/с 2 через 10 с от начала торможения, если начальная скорость его была равна 72 км/ч?

А) 15м/с Б) 25м/с В) 10м/с Г) 20м/с.

Тест по теме «Кинематика» Вариант 2.

1 . Велосипедист движется из точки А велотрека в точку В по кривой АВ. Назовите
физическую величину, которую изображает вектор АВ.
А) путь Б) перемещение В) скорость

2 . Почему при расчетах можно считать Луну материальной точкой (относительно Земли)?

А)Луна - шарБ) Луна - спутник Земли В)Масса Луны меньше массы Земли

Г) Расстояние от Земли до Луны во много раз больше радиуса Луны.

3. . Физические величины бывают векторными и скалярными. Какая физическая величина из перечисленных является скалярной?
А) ускорение Б) время В) скорость Г) перемещение

4. . Какие из перечисленных ниже величин являются векторными:
1) путь 2) перемещение 3) скорость?
А) 1 и 2 Б) 2 и 3 В) 2 Г) 3 и 1.

5 . Основными единицами длины в СИ являются:
А) метр Б) километр В) сантиметр Г) миллиметр

6 . Два автомобиля движутся по прямому шоссе в противоположных направлении. Если направить ось ОХ вдоль направления движения первого автомобиля по шоссе, тогда какими будут проекции скоростей автомобилей на ось ОХ?
А) обе положительные Б) обе отрицательные
В) первого - положительная, второго - отрицательная
Г) первого - отрицательная, второго – положительная

7 . Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 10 м и упало на
землю. Чему равны путь l и перемещение S за все время его движения?
A) l = 20 м, S = 0 м Б) l = 10 м, S = 0 B) l = 10 м, S = 20 м Г) l = 20 м, S = 10 м.

8 . Какой из графиков соответствует равномерному движению? (Рис. 1).

А) 3 Б)4 В)1 Г) 2

9 . Определите путь, пройденный точкой за 3 с. (Рис. 2).

А) 2м Б) 6м В) 5м Г) 1,5м.

10. . На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 2c до t 2 = 4с?

А) 9 м Б) 6 м В) 3 м. Г) 12 м

11 . Если ускорение равно -3м/с 2 , то это:

А) равномерное движение Б) равноускоренное движение

В) равнозамедленное движение Г) прямолинейное движение

12 . Автомобиль трогается с места и движется с возрастающей скоростью прямолинейно.
А) ускорение равно 0 Б) направлен против движения автомобиля
В) направлен в сторону движения автомобиля

13. Скорость автомобиля за 20с уменьшилась с 20м/с до 10м/с. С каким средним ускорением двигался автомобиль?

А) 0,5м/с 2 Б) 5м/с 2 В) -5м/с 2 Г) -0,5м/с 2

14 . Определить скорость тела при торможении с ускорением 0,2м/с 2 через 30с от начала движения, если начальная скорость его была равна 2м/с.

А) -4м Б) 4 м В) -6м Г) 8м.

Ответы

Вариант 1 Вариант 2

1 –б 1 -б

2 - г 2 – г

3 – а 3 – б

4 – б 4 – в

5 – в 5 – а

6 – а 6 – в

7 – в 7 – а

8 – б 8 – г

9 – г 9 – б

10 – б 10 – б

11 – в 11 – в

12 – а 12 – в

13 – г 13 – г

14 – б 14- а

1.13. Автомобиль трогается с места и движется с возрастающей скоростью прямолинейно.
Какое направление имеет вектор ускорения?

1.14. Автомобиль тормозит на прямолинейном участке дороги. Какое направление имеет
вектор ускорения?
А) ускорение равно 0; Б) направлен против движения автомобиля;
В) направлен в сторону движения автомобиля.

1.16. Физические величины бывают векторными и скалярными. Какая физическая величина из перечисленных является скалярной?
А) ускорение; Б) время; В) скорость; Г) перемещение.

1.18. Основными единицами длины в СИ являются:
А) километр; Б) метр; В) сантиметр; Г) миллиметр.

1.19. Какие из перечисленных ниже величин являются векторными:
1) путь, 2) перемещение, 3) скорость?
А) 1 и 2; Б) 2; В) 2 и 3; Г) 3 и 1.

1.22. Двигаясь прямолинейно, одно тело за каждую секунду проходит путь 5 м, другое тело - за каждую секунду 10 м. Движения этих тел являются: А) равномерными; Б) неравномерными; В) первого неравномерным, второго равномерным; Г) первого равномерным, второго неравномерным

1 25. Модуль скорости тела за каждую секунду увеличивался в 2 раза. Какое утверждение будет правильным?
А) ускорение уменьшалось в 2 раза; Б) ускорение не изменялось;
В) ускорение увеличивалось в 2 раза

1.26. Тело, брошенное вертикально вверх, достигло наибольшей высоты 10 м и упало на
землю. Чему равны путь l и перемещение S за все время его движения?
A) l = 10 м, S = 0 м; Б) l = 20 м, S = 0;
B) l = 10 м, S = 20 м; Г) l = 20 м, S = 10 м.

1.35. При отходе от станции ускорение поезда составляет 1 м/с2. Какой путь проходит поезд за 10 с?
А) 5 м; Б) 10 м; В) 50 м; Г) 100 м.

1.36. При равноускоренном движении в течение 5 с автомобиль увеличил скорость от 10 до
15 м/с. Чему равен модуль ускорения автомобиля?
А) 1 м/с2; Б) 2 м/с2; В) 3 м/с2; Г) 5 м/с2.

1.55. Какая из приведенных функций (v(t)) описывает зависимость модуля скорости от
времени при равномерном прямолинейном движении тела вдоль оси ОХ со скоростью 5 м/с?
A) v = 5t; Б) v = t; B) v = 5; Г) v = -5.

1.65. Находящемуся на горизонтальной поверхности стола бруску сообщили скорость 5 м/с. Под действием сил трения брусок движется с ускорением 1 м/с2. Чему равен путь, пройденный бруском за 6 секунд?
А) 48 м; Б) 12 м; В) 40 м; Г) 30 м.


13. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить путь, пройденный велосипедистом за интервал времени от t 1 = 1c до t 2 = 4с?

А) 15 м. Б) 3 м. В) 12 м. Г) 9 м. Д) 20 м.

14. На рисунке 3 представлен график зависимости пути, пройденного велосипедистом, от времени. Определить скорость движения велосипедиста в момент времени t = 2c .

А) 2 м/с. Б) 6 м/с. В) 3 м/с. Г) 12 м/с. Д) 8 м/с.

18. Тело движется прямолинейно и уменьшает скорость. Куда направлено ускорение?

А) По ходу движения. Б) По нормали. В) Против движения. Г) По радиусу-вектору к данной точке траектории. Д) По касательной к траектории

А) Луна - шар. Б) Луна - спутник Земли. В) Масса Луны меньше массы Земли.

Г) Расстояние от Земли до Луны во много раз больше радиуса Луны.

Д) Среди предложенных ответов нет правильного.

Скорость автомобиля за 20 с уменьшилась с 20 м/с до 10 м/с . С каким средним ускорением двигался автомобиль? [−0,5 м/с 2 ]

Пример 1. По заданному закону движения S = 10 + 20t - 5t 2 ([S] = м; [t] = с) определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

Решение

1. Вид движения: равнопеременное

2. При сравнении уравнений очевидно, что

  • начальный путь, пройденный до начала отсчета – 10 м;
  • начальная скорость 20 м/с;
  • постоянное касательное ускорение a t /2 = 5 м/с; a t = - 10 м/с.
  • ускорение отрицательное, следовательно, движение замедлен­ное (равнозамедленное), ускорение направлено в сторону, противо­положную направлению скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю:

v = S" = 20 - 2 5t; v = 20 – 10t = 0; t = 20/10 = 2 c.

Примечание. Если при равнопеременном движении скорость растет, значит, ускорение - положительная величина, гра­фик пути - вогнутая парабола. При торможении скорость падает, ускорение (замедление) - отрицательная величина, график пути - выпуклая парабола (рис. 10.4).

Пример 2. Точка движется по желобу из точки А в точку D (рис. 10.5).

Как изменятся касательное и нормальное ускорения при прохождении точки через В и С ?

Решение

1. Рассмотрим участок АВ. Касательное ускорение равно нулю (v = const).

Нормальное ускорение (а п = v 2 /r) при переходе через точку В уве­личивается в 2 раза, оно меняет направление, т. к. центр дуги АВ не совпадает с центром дуги ВС.

2. На участке ВС:

Касательное ускорение равно нулю: a t = 0;

Нормальное ускорение при переходе через точку С меняется: до точки С движение вращательное, после точки С движение стано­вится прямолинейным, нормальное напряжение на прямолинейном участке равно нулю.

3. На участке CD полное ускорение равно нулю.

Пример 3. По заданному графику скорости найти путь, прой­денный за время движения (рис. 10.6).

Решение

1. По графику следует рассмотреть три участка движения. Первый участок - разгон из состояния покоя (равноускоренное движение).

Второй участок - равномерное движение: v = 8 м/с; a 2 = 0.

Третий участок - торможение до остановки (равнозамедленное движение).

2. Путь, пройденный за время движения, будет равен:

Пример 4. Тело, имевшее начальную скорость 36 км/ч, про­шло 50 м до остановки. Считая движение равнозамедленным, опре­делить время торможения.

Решение

1. Записываем уравнение скорости для равнозамедленного дви­жения:

v = v о + at = 0.

Определяем начальную скорость в м/с: v о = 36*1000/3600 = 10 м/с.

Выразим ускорение (замедление) из уравнения скорости: a = - v 0 /t

2. Записываем уравнение пути: S = v o t/2 + at 2 /2 . После подстановки получим: S = v o t/2

3. Определяем время до полной остановки (время торможения):

Пример 5. Точка движется прямолинейно согласно уравнению s = 20t – 5t 2 (s - м, t - с). Построить графики расстояний, скорости и ускорения для первых 4 с движения. Определить путь, пройденный точкой за 4 с, и описать движение точки.

Решение

1. Точка движется прямолинейно по уравнению s = 20t – 5t 2 следовательно, скорость точки u = ds/d/t = 20 - 10t и ускорение a = a t = dv/dt = -10 м/с 2 . Значит, движение точки равнопеременное (a = a t = - 10 м/c 2 = const) с начальной скоростью v 0 = 20 м/с.

2. Составим зависимость числовых значений s и v для первых 4 с движения

3. По приведенным числовым значениям построим графики расстояний (рис. а ), скорости (рис. б ) и ускорения (рис. в ), выбрав мас­штабы для изображения по осям ординат расстояний s, скорости v и ускорения а , а также одинаковый для всех графиков масштаб времени по оси абсцисс. Напри­мер, если расстояние s = 5 м изображать на графике длиной отрезка l s = 10 мм, то 5м = μ s *10мм, где коэффициент пропорциональности μ s и есть масштаб по оси Os : μ s = 5/10 = 0,5 м/мм (0,5 м в 1 мм); если модуль скорости v = 10 м/с изобра­жать на графике длиной l v =10 мм, то 10 м/c = μ v * 10 мм и масштаб по оси Ov μ v = 1 м/(с-мм) (1 м/с в 1 мм); если модуль ускорения а = 10 м/с 2 изображать отрезком l a = 10 мм, то, аналогично предыдущему, масштаб по оси Оа μ a = 1 м/(с 2 -мм) (1 м/с 2 в 1 мм); и наконец, изображая промежуток време­ни Δt = 1 с отрезком μ t = 10 мм, получим на всех графиках масштаб по осям Ot μ t = 0,1 с/мм (0,1 с в 1 мм).

4. Из рассмотрения графиков следует, что в течение времени от 0 до 2 с точка движется равнозамедленно (скорость v и ускорение в течение этого промежутка времени имеют разные знаки, значит, их векторы направлены в противоположные стороны); в период времени от 2 до 4 с точка движется равноускоренно (скорость v и ускорение имеют одинаковые знаки, т. е. их векторы направлены в одну сто­рону).

За 4 с точка прошла путь s o _ 4 = 40 м. На­чав движение со скоростью v 0 = 20 м/с, точка по прямой прошла 20 м, а затем вернулась в исходное положение, имея ту же скорость, но направленную в противоположную сторону.

Если условно принять ускорение свободно­го падения g = 10 мс 2 и пренебречь сопротивле­нием воздуха, то можно сказать, что графики описывают движение точки, брошенной верти­кально вверх со скоростью а 0 = 20 м/с.

Пример 6. Точка движется по траектории, изображенной на рис. 1.44, а, согласно уравнению s = 0,2t 4 (s - в метрах, t - в секундах). Определить скорость и ускорение точки в положениях 1 и 2.

Решение

Время, необходимое для перемещения точки из положения 0 (начала отсчета) в положение 1, опреде­лим из уравнения движения, подставив частные значения расстояния и времени:

Уравнение изменения скорости

Скорость точки в положении 1

Касательное ускорение точ­ки в положении 1

Нормальное ускорение точки на прямолинейном участке траектории равно нулю. Ско­рость и ускорение точки в конце этого участка траекто­рии показаны на рис.1.44, б.

Определим скорость и уско­рение точки в начале криво­линейного участка траектории. Очевидно, что v 1 = 11,5 м/с, а t1 = 14,2 м/с 2 .

Нормальное ускорение точки в начале криволинейного участка

Скорость и ускорение в начале криволинейного участ­ка показаны на рис. 1.44, в (векторы a t 1 и a a 1 изобра­жены без соблюдения масштаба).

Положение 2 движущейся точки определяется прой­денным путем, состоящим из прямолинейного участка 0 - 1 и дуги окружности 1 - 2, соответствующей цент­ральному углу 90°:

Время, необходимое для перемещения точки из поло­жения 0 в положение2,

Скорость точки в положении 2

Касательное ускорение точки в положении 2

Нормальное ускорение точки в положении 2

Ускорение точки в положении 2

Скорость и ускорения точки в положении 2 показаны на рис. 1.44, в (векторы at „ и а Пг изображены без соблюде­ния масштаба).

Пример 7. Точка движется по заданной траекто­рии (рис. 1.45, а) согласно уравнению s = 5t 3 (s - в мет­рах, t - в секундах). Определить ускорение точки и угол α между ускорением и скоростью в момент t 1 , когда скорость точки v 1 = 135 м/с.

Решение

Уравнение изменения скорости

Время t 1 определим из уравнения изменения скорости, подставив частные значения скорости и времени:

Определим положение точки на траектории в момент 3 с:

Дуга окружности длиной 135 м соответствует цент­ральному углу

Уравнение изменения касательного ускорения

Касательное ускорение точки в момент t t

Нормальное ускорение точки в момент t t

Ускорение точки в момент t x

Скорость и ускорение точки в момент времени t 1 по­казаны на рис. 1.45, б.

Как видно из рис. 1.45, б


Пример 8. В шахту глубиной H = 3000 м с по­верхности земли без начальной скорости брошен предмет. Определить, через сколько секунд звук, возникающий в момент удара предмета о дно шахты, достигнет поверх­ности земли. Скорость звука 333 м/с.

Решение

Уравнение движения свободно падающего тела

Время, необходимое для перемещения предмета от поверхности земли до дна шахты, определим из уравне­ния движения.

где x и y – в см, а t – в с. Определить траекторию движения точки , скорость и ускорение в моменты времени t 0 =0 с, t 1 =1 с и t 2 =5 с , а также путь, пройденный точкой за 5 с.

Решение

Расчет траектории

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A 0 , подставим в заданные уравнения значения t 0 =0 ; из первого уравнения получим x 0 =2 см , из второго y 0 =1 см . При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A 0 (2; 1).

Рисунок 1.5

Расчет скорости

Определяем , найдя сначала ее проекции на оси координат :

При t 0 =0с скорость точки v 0 =0 , при t 1 =1с – v 1 =5 см/с , при t 2 =5с – v 2 =25см/с .

Расчет ускорения

Определяем ускорение точки . Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости.