В медицине, в здравоохранении очень часто используются выражаемые числами признаки, которые могут принимать различные числовые значения у разных единиц совокупности, нередко повторяющиеся у нескольких единиц. В каждой данной совокупности и в данных конкретных условиях этот признак характеризуется определенной величиной (уровнем), которая отличается от величины этого признака в другой совокупности, при наличии других условий. Пульс, АД, температура тела, длительность временной нетрудоспособности, длительность пребывания в стационаре отличаются (варьируют) у больных даже с одним диагнозом.

Величину изучаемого признака могут принимать либо дискретные (прерывные), либо непрерывные числовые значения. Примеры дискретных величин, при которых значения выражены целыми числами: число детей в семье, число больных в палате, число койко-дней, число каких-либо медицинских аппаратов в учреждении, пульс. Примеры непрерывно изменяющихся величин, когда значения выражены дробными величинами, могут постепенно переходить одно в другое: рост, масса тела, температура, АД.

Полученные при исследовании величину сначала записывают хаотично, то есть в том порядке, как их получает исследователь. Ряд, в котором упорядочение сопоставлены (по степени возрастания или убывания) варианты и соответствующие им частоты, называется вариационным. Отдельные количественные выражения признака называются вариантами (V), а числа, показывающие, как часто эти варианты повторяются - частотами (Р).

Для обобщенной числовой характеристики изучаемого признака у совокупности обследуемых рассчитываются средние величины, достоинство которых заключается в том, что одна величина характеризует большую совокупность однородных явлений.

Различают несколько видов средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя гармоническая, средняя прогрессивная, средняя хронологическая. Кроме указанных средних, иногда в качестве обобщающих величин вариационного ряда используют особые средние относительного характера - моду и медиану.

Мода (Мо) - наиболее часто повторяющаяся варианта. Медиана (Me) -значение варианты, делящей вариационный ряд пополам; по обе стороны от нее находится равное число вариант.

Наиболее часто используется средняя арифметическая. Средняя арифметическая, которая рассчитана в вариационной ряду, где каждая варианта встречается только один раз (или все варианты встречаются с одинаковой частотой) называется средней арифметической простой. Она определяется по формуле:

М - средняя арифметическая;

V - значение вариационного признака;

n - общее число наблюдений.

Если в исследуемом ряду одна или несколько вариант повторяются, то вычисляют среднюю арифметическую взвешенную. При этом учитывается вес каждой варианты и, чем большую частоту имеет данная варианта, тем больше будет ее влияние на среднюю арифметическую. Расчет такой средней производится по формуле.

§ 6. Числовые и буквенные выражения. Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,

- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,

: (читаем "разделить ") - знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки. Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Таблица 1

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)! В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Таблица 2


Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g =12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18= 134.

Блок 6.1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из § 6. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть § 6.

4. Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

  1. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.
  1. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

  1. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Список терминов и определений


Таблица ответов

Блок 6 .2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

В вариант 1

В ариант 2


Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

  1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
  2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
  3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
  4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
  5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
  6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
  7. Разность меньше уменьшаемого на 7
  8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
  9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
  10. m = 8, n = 10, k = 5
  11. m = 6, n = 8, k = 15
  12. t = 121, x = 1458

  1. Значение данного выражения
  2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
  3. Периметр, выраженный в сантиметрах
  4. Формула пути s, пройденного автомобилем
  5. Формула скорости v, движения туриста
  6. Формула времени t, движения туриста
  7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
  8. Скорость туриста в километрах в час
  9. Время движения туриста в часах
  10. Первое число равно…
  11. Вычитаемое равно….
  12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
  14. Буквенное выражение для возраста Кати
  15. Возраст Кати
  16. Координата точки В, если координата точки С равна t
  17. Координата точки D, если координата точки С равна t
  18. Координата точки А, если координата точки С равна t
  19. Длина отрезка BD на числовом луче
  20. Длина отрезка CА на числовом луче
  21. Длина отрезка DА на числовом луче

Ответы (равно, имеет вид, не определено):

а)1; б) s= b ∙ d; в) 9; г) 40; д) b + c + d + m; е) 7; ж) выражение не имеет смысла (некорректно) для натуральных чисел; з) 2 ∙ m (m + n) ∙ k; и) (m + n) - k; к) 6; л) 15; м) 3760; н) t - 3; о) фигура не может быть треугольником; п) 22; р) t - 3 ∙ 7; с) 0; т) 32; у) 59600; ф) 6019; х) 2880; ц) 10378; ч)1440; ш) на ноль делить нельзя; щ) 13; ы) 1800; э) 496; ю) 2; я) 12; аа) 14; бб) 5; вв) 35; дд) 79200; ее) 1900; жж) 118; зз) 18; ии) 12800; кк) 98; лл) 1458; мм) v = c: m; нн) 100; оо) 19900; пп) t = b: m; рр) 2520; сс) c + d + m; тт) x; уу) 1579; фф) t + 2; хх) 10206; цц) 135; чч) t + 2 ∙ 7; шш) 7 ∙ x; щщ) x - 2; ыы) 7 ∙ x - 2 ∙ 7; ээ) t + x ∙ 7; юю) 10192; яя) t + x; ааа) 123; ббб) 1456; ввв) 10327.


ПОКАЗАТЕЛИ ТЕСТА. Число задач 70, время выполнения 2 - 3 часа, сумма баллов: 1 ∙ 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 24 = 142. Для фасетного теста можно использовать следующую шкалу оценок.

Обучающая игра «Сокровища подземелья»

На игровом поле иллюстрация к книге Р.Киплинга “Маугли”. На пяти сундуках навесные замки, на их обратных сторонах указано число очков, получаемое командой, если ей удается “открыть сундук”. Это число для каждого из сундуков различно: для деревянного - 1 очко, для оловянного - 2, для медного - 3, для серебряного - 4, для золотого - 5. Чтобы открыть сундук, надо выполнить “задание Белой кобры”.

Задание общее для всех сундуков

Прочитайте, как были истрачены деньги каждого из сундуков, и составьте буквенного выражение для этих денег. Затем подставьте значения переменных и рассчитайте количество денег, которое находилось в сундуке сначала . Это число надо вводить в ответ компьютерной версии игры. Ответы под замком!

Деревянный сундук. Было куплено а книг по цене 50 рублей, b картин по цене 250 рублей,d стульев по цене 300 рублей. В сундуке осталось 250 рублей. Значения переменных: а = 40, b = 8, d = 20.

Оловянный сундук. Для ремонта школы было куплено d кг краски по цене 120 рублей, k мешков цемента по цене 200 рублей, m светильников по цене 280 рублей. В сундуке ещё осталась сумма денег, как в деревянном сундуке, но округлённая до тысяч. Значения переменных: d= 12, к = 16, m = 25.

Медный сундук. Из этого сундука взяли округлённое до сотен количество денег оловянного сундука. Если в него доложить 5200 рублей, то на эти деньги можно купить m столов по цене n рублей и 5 компьютеров по цене р рублей. Значения переменных: m = 10,n = 400 (рублей),p = 6000 (рублей).

Серебряный сундук. Из серебряного сундука взяли количество денег, равное округлённой до тысяч сумме денег медного сундука. Затем доложили 12000 рублей и купили x микроскопов по цене y рублей и r химических наборов по цене z рублей. Значения переменных: х = 15, y = 8600 (руб), r = 16, z =1500 (руб).

Золотой сундук. За деньги этого сундука был отремонтирован кабинет математики, на что ушло количество денег, равное деньгам серебряного сундука. На оставшиеся деньги планировалось купить для спортзала: маты по цене r (рублей), мячи по неp (рублей), спортивную форму по ценеz (рублей). Каждого из предметов по k штук. Однако ценамяча и формыувеличилась на m рублей. Поэтому пришлось взять в кредит 5200 рублей. Значения переменных: k = 20 , r = 3200, m = 200, p = 400, z = 1200.

иʞwɐε ɐн иmıqw dоɔdʎʞ ǝɯиɓǝʚɐн wɐҺɐɓɐε ʞ ıqɯǝʚɯо qɯɐнεʎ ıqƍоɯҺ

Обучающая игра «Уроки кота Леопольда»

В различных местах игрового полямышата Толстяк и Гений устроили засады, на поле они пронумерованы. Всего пять засад. Наводите курсор на номер засады и получайте задания. Ответы вводите в окна на экране. Если ответы верны, значит, засада найдена, а мышата просят у Леопольда прощения. В случае ошибки игру надо повторить.

Западня №1

Определите каждую из незакрашенных долей и введите в ответ. Используйте для написания дробей косую черту. Например: 1/2, 1/3, 1/4 и т.д.

Западня №2

Переведите в арабские цифры и решите:

  1. IX + III = ?
  2. VI - IV = ?
  3. II + Х1 = ?
  4. X - V = ?

Западня №3

Решите цепочку

В ответ подставляйте значения переменных. При каком значении переменной a буквенное выражение 4 ?

Западня №4

Решите цепочку

4 становится некорректным, если все переменные - натуральные числа?

Западня №5

Решите цепочку

В ответ подставляйте значения переменных. При каком значении переменной с буквенное выражение 4 становится некорректным, если все переменные - натуральные числа?

Ответы к игре «Уроки Леопольда»

Западня 1 : 1/2, 1/3, 2/3, 7/8.

Западня 2 . 12, 2, 13 5.

Западня 3. 6

Западня 4. 15.

Числовые значения величин в тексте должны указываться с необходимой степенью точности, при этом в ряду величин обяза­тельно выравнивание числа знаков после запятой. Недопустимо приводить следующий ряд величин: 10; 20; 16,7; 13,14. Данный ряд должен выглядеть следующим образом: 10,00; 20,00; 16,70; 13,14. В тексте работы не следует приводить значения, в которых количество значимых цифр более трех. Не следует указывать 86,7897. Для использования в тексте работы лучше округлить величину до 86,8. А еще лучше, если величины будут выражены целыми числами. Поэтому в экономических расчетах чаще при­меняют выраженные целым числом проценты, дающие достаточ­ную точность, а при описании социально-экономических процес­сов - промилле.

В тексте работы числовые значения величин с обозначением единиц физических величин и единиц счета следует писать циф­рами, а число без обозначения физических величин и единиц счета от единицы до девяти - словом. Например: «Выборка докумен­тов осуществляется пять раз, при этом общая сумма по денеж­ным документам должна быть не менее 9 руб.», «Выборка осу­ществляется 15 раз». Недопустимо отделять единицу физической величины от числового значения (переносить их на разные стро­ки или страницы), кроме единиц физических величин, помещен­ных в таблицах.

Если в тексте для характеристики показателя приводится диапазон числовых значений, выраженных в одних и тех же еди­ницах измерения, то измерения единицы указываются после пос­леднего числового значения диапазона, например: «количество переплат на сумму от 100 до 500 руб.».

Если в тексте работы приводится ряд числовых значений, вы­раженных в одних и тех же единицах измерения, то единицы измерения указывают только после последнего числового значе­ния, например: «200, 300, 4000 руб.».

Условные буквенные обозначения, изображения или знаки дол­жны соответствовать принятым в действующем законодательстве или государственных стандартах.

Правила применения формул

В тексте работы обычно используются математические форму­лы, использующие обозначение параметров. Перед обозначением параметра дают его пояснение, например: «коэффициент парной корреляции г». Формулы должны иметь сквозную нумерацию арабскими цифрами, которые записывают на уровне формулы справа в круглых скобках. Одну формулу обозначают - «(1)». Допускается нумерация формул в пределах главы дипломной или вопроса курсовой работы. В этом случае номер формулы состоит из номера главы или вопроса и номера формулы, разделенных точкой, например: «(3.1)». Ссылки в тексте на порядковые номе­ра формул дают в круглых скобках, например, «...в формуле (1)».

Расшифровки символов, входящих в формулу, должны быть приведены непосредственно под формулой. Значения каждого символа дают с новой строки в той последовательности, в какой они приведены в формуле. Первая строка расшифровки должна начинаться со слова «где» без двоеточия после него, например:

где г - коэффициент парной корреляции;

Х У - среднее значение произведения фактора на показатель;

* - среднее значение показателя;

У - среднее значение фактора;

<т, - среднеквадратическое отклонение показателя; - среднеквадратическое отклонение фактора.

Переносить формулу на следующую строку допускается толь­ко на знаках выполняемых операций. При этом применяемый знак в начале следующей строки повторяют. При переносе фор­мулы на знаке умножения применяют знак «х». Порядок изло­жения в тексте работы математических уравнений такой же, как и формул.


Запись условий задач с помощью принятых в математике обозначений приводит к появлению так называемых математических выражений, которые называют просто выражениями. В этой статье мы подробно поговорим про числовые, буквенные выражения и выражения с переменными : дадим определения и приведем примеры выражений каждого вида.

Навигация по странице.

Числовые выражения – что это?

Знакомство с числовыми выражениями начинается чуть ли не с самых первых уроков математики. Но свое имя – числовые выражения – они официально приобретают немного позже. Например, если следовать курсу М. И. Моро, то это происходит на страницах учебника математики для 2 классов. Там представление о числовых выражениях дается так: 3+5 , 12+1−6 , 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 и т.п. – это все числовые выражения , а если в выражении выполнить указанные действия, то найдем значение выражения .

Можно сделать вывод, что на этом этапе изучения математики числовыми выражениями называют имеющие математический смысл записи, составленные из чисел, скобок и знаков сложения и вычитания.

Чуть позже, после знакомства с умножением и делением, записи числовых выражений начинают содержать знаки «·» и «:». Приведем несколько примеров: 6·4 , (2+5)·2 , 6:2 , (9·3):3 и т.п.

А в старших классах разнообразие записей числовых выражений разрастается как снежный ком, катящийся с горы. В них появляются обыкновенные и десятичные дроби, смешанные числа и отрицательные числа, степени, корни, логарифмы, синусы, косинусы и так далее.

Обобщим всю информацию в определение числового выражения:

Определение.

Числовое выражение - это комбинация чисел, знаков арифметических действий, дробных черт, знаков корня (радикалов), логарифмов, обозначений тригонометрических, обратных тригонометрических и других функций, а также скобок и других специальных математических символов, составленная в соответствии с принятыми в математике правилами.

Разъясним все составные части озвученного определения.

В числовых выражениях могут участвовать абсолютно любые числа: от натуральных до действительных, и даже комплексных. То есть, в числовых выражениях можно встретить

Со знаками арифметических действий все понятно – это знаки сложения, вычитания, умножения и деления, имеющие соответственно вид «+», «−» , «·» и «:». В числовых выражениях может присутствовать один из этих знаков, некоторые из них или все сразу, и причем по нескольку раз. Вот примеры числовых выражений с ними: 3+6 , 2,2+3,3+4,4+5,5 , 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12 .

Что касается скобок , то имеют место как числовые выражения, в которых есть скобки, так и выражения без них. Если в числовом выражении есть скобки, то они в основном

А иногда скобки в числовых выражениях имеют какое-нибудь определенное отдельно указанное специальное предназначение. К примеру, можно встретить квадратные скобки, обозначающие целую часть числа, так числовое выражение +2 обозначает, что к целой части числа 1,75 прибавляется число 2 .

Из определения числового выражения также видно, что в выражении могут присутствовать , , log , ln , lg , обозначения или и т.п. Вот примеры числовых выражений с ними: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 и .

Деление в числовых выражениях может быть обозначено с помощью . В этом случае имеют место числовые выражения с дробями. Приведем примеры таких выражений: 1/(1+2) , 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3 и .

В качестве специальных математических символов и обозначений, которые можно встретить в числовых выражениях, приведем . Для примера покажем числовое выражение с модулем .

Что такое буквенные выражения?

Понятие буквенных выражений дается практически сразу после знакомства с числовыми выражениями. Вводится оно примерно так. В некотором числовом выражении одно из чисел не записывается, а вместо него ставится кружочек (или квадратик, или нечто подобное), и говорится, что вместо кружочка можно подставить некоторое число. Для примера приведем запись . Если вместо квадратика поставить, например, число 2 , то получится числовое выражение 3+2 . Так вот вместо кружочков, квадратиков и т.п. условились записывать буквы, а такие выражения с буквами назвали буквенными выражениями . Вернемся к нашему примеру , если в этой записи вместо квадратика поставить букву a , то получится буквенное выражение вида 3+a .

Итак, если допустить в числовом выражении присутствие букв, которыми обозначены некоторые числа, то получится так называемое буквенное выражение. Дадим соответствующее определение.

Определение.

Выражение, содержащее буквы, которыми обозначены некоторые числа, называется буквенным выражением .

Из данного определения понятно, что принципиально буквенное выражение отличается от числового выражения тем, что может содержать буквы. Обычно в буквенных выражениях используются маленькие буквы латинского алфавита (a, b, c, … ), а при обозначении углов – маленькие буквы греческого алфавита (α, β, γ, … ).

Итак, буквенные выражения могут быть составлены из чисел, букв и содержать все математические символы, которые могут встречаться в числовых выражениях, такие как скобки, знаки корней, логарифмы, тригонометрические и другие функции и т.п. Отдельно подчеркнем, что буквенное выражение содержит по крайней мере одну букву. Но может содержать и несколько одинаковых или различных букв.

Теперь приведем несколько примеров буквенных выражений. Например, a+b – это буквенное выражение с буквами a и b . Вот другой пример буквенного выражения 5·x 3 −3·x 2 +x−2,5 . И приведем пример буквенного выражения сложного вида: .

Выражения с переменными

Если в буквенном выражении буква обозначает величину, которая принимает не какое-то одно конкретное значение, а может принимать различные значения, то эту букву называют переменной и выражение называют выражением с переменной .

Определение.

Выражение с переменными – это буквенное выражение, в котором буквы (все или некоторые) обозначают величины, принимающие различные значения.

Например, пусть в выражении x 2 −1 буква x может принимать любые натуральные значения из интервала от 0 до 10 , тогда x – есть переменная, а выражение x 2 −1 есть выражение с переменной x .

Стоит отметить, что переменных в выражении может быть несколько. К примеру, если считать x и y переменными, то выражение является выражением с двумя переменными x и y .

Вообще, переход от понятия буквенного выражения к выражению с переменными происходит в 7 классе, когда начинают изучать алгебру. До этого момента буквенные выражения моделировали какие-то конкретные задачи. В алгебре же начинают смотреть на выражение более общо, без привязки к конкретной задаче, с пониманием того, что данное выражение подходит под огромное число задач.

В заключение этого пункта обратим внимание еще на один момент: по внешнему виду буквенного выражения невозможно узнать, являются ли входящие в него буквы переменными или нет. Поэтому ничто нам не мешает считать эти буквы переменными. При этом разница между терминами «буквенное выражение» и «выражение с переменными» исчезает.

Список литературы.

  • Математика . 2 кл. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М. И. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова и др.] - 3-е изд. - М.: Просведение, 2012. - 96 с.: ил. - (Школа России). - ISBN 978-5-09-028297-0.
  • Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
  • Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.