Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.

За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".

Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.

D = b 2 - 4ас.

Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.

Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.

Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),

тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.

Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.

D = 4 2 - 4 · 4 = 0

x = (- (-4)) / 2 = 2

Відповідь: 2.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23

Відповідь: коріння немає.

Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81

х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5

х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1

Відповідь: - 3,5; 1.

Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.

За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду

а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що

а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді

D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).

Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.

При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.

Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .

На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.

приклад. Вирішити рівняння

3х 2 + 6х - 6 = 0.

Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.

D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3

х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3

Можна помітити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо розв'язати рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3

х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння
рівняння рисунок 3.

D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3

х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Відповідь: –1 – √3; -1 + √3.

Як бачимо, при вирішенні цього рівняння за різними формулами ми отримали одну й ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Дискримінант дозволяє вирішувати будь-які квадратні рівняння за допомогою загальної формули, яка має такий вигляд:

Формула дискримінанта залежить від рівня багаточлена. Вищеописана формула підійде на вирішення квадратних рівнянь наступного виду:

Дискримінант має такі властивості, які потрібно знати:

* "D" дорівнює 0, коли многочлен має кратне коріння (рівне коріння);

* "D" є симетричним багаточленом щодо коріння багаточлена і тому є багаточленом від його коефіцієнтів; більше, коефіцієнти цього многочлена цілі незалежно від розширення, у якому беруться коріння.

Допустимо, нам дано квадратне рівняння наступного виду:

1 рівняння

За формулою маємо:

Оскільки \, то рівняння має 2 корені. Визначимо їх:

Де можна вирішити рівняння через дискримінант онлайн вирішувачем?

Вирішити рівняння можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете подивитися відео інструкцію і дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.

Неповне квадратне рівняння від класичних (повних) рівнянь тим, що його множники чи вільний член рівні нулю. Графіком таких функцій є параболи. Залежно від загального виду їх поділяють на 3 групи. Принципи розв'язання для всіх типів рівнянь однакові.

Нічого складного у визначенні типу неповного багаточлена немає. Розглянути основні відмінності найкраще на наочних прикладах:

  1. Якщо b = 0, то рівняння має вигляд ax 2 + c = 0.
  2. Якщо c = 0, то слід вирішувати вираз ax 2 + bx = 0.
  3. Якщо b = 0 і c = 0, то многочлен перетворюється на рівність типу ax 2 = 0.

Останній випадок є скоріше теоретичною можливістю і ніколи не зустрічається в завданнях для перевірки знань, тому що єдине правильне значення змінної x у виразі – це нуль. Надалі буде розглянуто способи та приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь 1) та 2) видів.

Загальний алгоритм пошуку змінних та приклади з рішенням

Незалежно від різновиду рівняння алгоритм рішення зводиться до таких кроків:

  1. Привести вираз до зручного пошуку коренів виду.
  2. Здійснити обчислення.
  3. Записати відповідь.

Вирішувати неповні рівняння найпростіше, розклавши на множники ліву частину і залишивши нуль у правій. Таким чином, формула неповного квадратного рівняння для пошуку коренів зводиться до обчислення значення x для кожного множника.

Навчитися способам рішення можна тільки на практиці, тому розглянемо конкретний прикладзнаходження коренів неповного рівняння:

Як видно, в даному випадку b = 0. Розкладемо ліву частину на множники та отримаємо вираз:

4(x – 0,5) ⋅ (x + 0,5) = 0.

Очевидно, що добуток дорівнює нулю, коли хоча б один із множників дорівнює нулю. Подібним вимогам відповідають значення змінної x1 = 0,5 та (або) x2 = -0,5.

Для того, щоб легко та швидко справлятися із завданням розкладання квадратного тричленана множники, слід запам'ятати таку формулу:

Якщо у виразі немає вільного члена, завдання багаторазово спрощується. Достатньо буде лише знайти і винести за дужки спільний знаменник. Для наочності розглянемо приклад, як розв'язувати неповні квадратні рівняння виду ax2 + bx = 0.

Винесемо змінну x за дужки та отримаємо наступне вираз:

x ⋅ (x + 3) = 0.

Керуючись логікою, дійшли висновку, що x1 = 0, а x2 = -3.

Традиційний спосіб розв'язання та неповні квадратні рівняння

Що буде, якщо застосувати формулу дискримінанта і спробувати знайти коріння многочлена, при коефіцієнтах рівних нулю? Візьмемо приклад зі збірки типових завданьдля ЄДІ з математики 2017 року, вирішимо його за допомогою стандартних формул та методом розкладання на множники.

7x 2 - 3x = 0.

Розрахуємо значення дискримінант: D = (-3)2 – 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 = 9. Виходить, багаточлен має два корені:

Тепер, розв'яжемо рівняння розкладанням на множники і порівняємо результати.

X ⋅ (7x + 3) = 0,

2) 7x + 3 = 0,
7x = -3,
x = -.

Як видно, обидва методи дають однаковий результат, але вирішити рівняння другим способом вийшло набагато простіше та швидше.

Теорема Вієта

А що ж робити з уподобаною теоремою Вієта? Чи можна застосовувати даний методпри неповному тричлен? Спробуймо розібратися в аспектах наведення неповних рівняньдо класичного вигляду ax2+bx+c=0.

Насправді застосовувати теорему Вієта у разі можливо. Необхідно лише навести вираз до загального вигляду, замінивши відсутні члени банкрутом.

Наприклад, при b = 0 і a = 1, щоб виключити ймовірність плутанини слід записати завдання у вигляді: ax2 + 0 + c = 0. Тоді відношення суми та добутку коренів та множників багаточлена можна виразити так:

Теоретичні викладки допомагають ознайомитися із суттю питання, і завжди вимагають відпрацювання навички під час вирішення конкретних завдань. Знову звернемося до довідника типових завдань для ЄДІ та знайдемо відповідний приклад:

Запишемо вираз у зручному для застосування теореми Вієта вигляді:

x 2 + 0 - 16 = 0.

Наступним кроком складемо систему умов:

Вочевидь, що корінням квадратного многочлена будуть x 1 = 4 і x 2 = -4.

Тепер, потренуємося наводити рівняння до загального вигляду. Візьмемо наступний приклад: 1/4× 2 – 1 = 0

Для того, щоб застосувати до вираження теорему Вієта, необхідно позбутися дробу. Перемножимо ліву та праву частини на 4, і подивимося на результат: x2– 4 = 0. Отримана рівність готова для вирішення теореми Вієта, але набагато простіше та швидше отримати відповідь просто перенісши з = 4 у праву частину рівняння: x2 = 4.

Підсумовуючи, слід сказати, що найкращим способомРозв'язання неповних рівнянь є розкладання на множники, є найпростішим і найшвидшим методом. У разі виникнення труднощів у процесі пошуку коренів можна звернутися до традиційним методомзнаходження коріння через дискримінант.

Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.

Зміст

Див. також: Розв'язання квадратних рівнянь онлайн

Основні формули

Розглянемо квадратне рівняння:
(1) .
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
; .
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.

Далі вважаємо, що - дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
; .
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
; .
Тоді

.

Графічна інтерпретація

Якщо збудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь) у двох точках ().
При , графік стосується осі абсцис в одній точці ().
При , графік не перетинає вісь абсцис ().

Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Висновок формули для коріння квадратного рівняння

Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):




,
де
; .

Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння

виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.

Приклади визначення коренів квадратного рівняння

Приклад 1


(1.1) .


.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.

Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:

.

Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).

;
;
.

Приклад 2

Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1) .

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.

Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.

Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.

;
.

Приклад 3

Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1) .

Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1) .
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.

Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.

Тоді


.

Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.

Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.

Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.

Див. також:

Графіком квадратичної функції парабола. Рішеннями (корінням) квадратного рівняння називають точки перетину параболи з віссю абсцис. Якщо парабола описується квадратичною функцією, не перетинається з віссю абсцис, рівняння не має речових коренів. Якщо парабола перетинається з віссю абсцис в одній точці (вершині параболи), рівняння має один речовий корінь (також кажуть, що рівняння має два збігаються корені). Якщо парабола перетинає вісь абсцис у двох точках, рівняння має два речові корені.

Якщо коефіцієнт апозитивний, гілки параболи спрямовані вгору, якщо негативний - гілки параболи спрямовані вниз. Якщо коефіцієнт b позитивний, то вершина параболи лежить у лівій напівплощині, якщо негативний - у правій напівплощині.

Висновок формули для розв'язання квадратного рівняння

Формулу для вирішення квадратного рівняння можна отримати так

a x 2 + b x + c = 0
a x 2 + b x = - c

Помножимо рівняння на 4 a

4a 2 x 2 + 4 ab x = -4 ac
4a 2 x 2 + 4 ab x + b 2 = -4ac + b 2
(2a x + b) 2 = b 2 -4ac
2a x + b= ±$\sqrt(b^2-4 a c)$

Знаходження коріння квадратного рівняння

Квадратне рівняння з речовими коефіцієнтами може мати від 0 до 2 речових коренів залежно від значення дискримінанта D = b 2 − 4ac:

  • при D > 0 коріння два, і вони обчислюються за формулою
  • при D = 0 корінь один (два рівні або збігаються кореня), кратності 2: