Математика, яка мені подобається. Найбільше в світі 1 зі 100 нулями як називається

У дитинстві мене мучило питання, яке існує найбільше число, і я мучив цим безглуздим питанням практично всіх підряд. Дізнавшись число мільйон, я запитував, чи є число більше мільйона. Мільярд? А понад мільярд? Трильйон? А більше за трильйон? Нарешті, знайшовся хтось розумний, хто мені пояснив, що питання дурне, тому що достатньо лише додати до найбільшого числа одиницю, і виявиться, що воно ніколи не було найбільшим, тому що існують число ще більше.

І ось, через багато років, я вирішив поставити інше питання, а саме: яке існує найбільше число, яке має власну назву?Благо, зараз їсти інет і спантеличити їм можна терплячі пошукові машини, які не будуть називати мої питання ідіотськими;-). Власне, це я й зробив, і ось що в результаті з'ясував.

Існують дві системи найменування чисел – американська та англійська.

Американська система побудована досить просто. Усі назви великих чисел будуються так: на початку йде латинське порядкове число, а в кінці до неї додається суфікс-ілліон. Виняток становить назву "мільйон", яка є назвою числа тисяча (лат. mille) та збільшувального суфікса -ілліон (див. таблицю). Так виходять числа - трильйон, квадриліон, квінтиліон, секстильйон, септиліон, октиліон, нонільйон та дециліон. Американська система використовується у США, Канаді, Франції та Росії. Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за американською системою, можна за простою формулою 3 x + 3 (де x - латинське числівник).

Англійська система найменування найпоширеніша у світі. Їй користуються, наприклад, у Великій Британії та Іспанії, а також у більшості колишніх англійських та іспанських колоній. Назви чисел у цій системі будуються так: так: до латинського чисельного додають суфікс -ілліон, наступне число (у 1000 разів більше) будується за принципом - те саме латинське чисельне, але суфікс - -ілліард. Тобто після трильйона в англійській системі йде трильярд, а потім квадрилліон, за яким слідує квадрилліард і т.д. Таким чином, квадрильйон за англійською та американською системами - це зовсім різні числа! Дізнатися кількість нулів у числі, записаному за англійською системою і що закінчується суфіксом -ілліон, можна за формулою 6 x + 3 (де x - латинське числове) і за формулою 6 x +6 для чисел, що закінчуються на -ілліард.

З англійської системи в російську мову перейшло лише число мільярд (10 9), яке все ж таки було б правильніше називати так, як його називають американці - більйоном, так як у нас прийнята саме американська система. Але хто у нас у країні щось робить за правилами! ;-) До речі, іноді в російській мові вживають і слово трильярд (можете самі в цьому переконатися, запустивши пошук у Гугліабо Яндексі) і означає воно, зважаючи на все, 1000 трильйонів, тобто. квадрильйон.

Крім чисел, записаних з допомогою латинських префіксів за американської чи англійської системі, відомі і звані позасистемні числа, тобто. числа, які мають свої власні назви без жодних латинських префіксів. Таких чисел існує кілька, але докладніше про них розповім трохи пізніше.

Повернемося до запису за допомогою латинських чисельників. Здавалося б, що ними можна записувати числа до безкінечності, але це не зовсім так. Зараз поясню чому. Подивимося для початку як називаються числа від 1 до 10 33:

І ось тепер виникає питання, а що далі. Що там за дециліоном? В принципі, можна, звичайно ж, за допомогою об'єднання приставок породити такі монстри, як: андециліон, дуодециліон, тредециліон, кваттордециліон, квіндециліон, сексдециліон, септемдециліон, октодециліон і новемдециліон, але це вже будуть нам складні чисел. Тому власних імен за цією системою, крім зазначених вище, ще можна отримати лише три - вігінтильйон (від лат. viginti- двадцять), центильйон (від лат. centum- сто) та міліліон (від лат. mille– тисяча). Більше тисячі своїх назв для чисел у римлян не було (усі числа більше тисячі у них були складовими). Наприклад, мільйон (1 000 000) римляни називали decies centena milia, тобто "десять сотень тисяч". А тепер, власне, таблиця:

Таким чином, за подібною системою числа більше, ніж 10 3003 , який мав би власну, нескладну назву отримати неможливо! Проте числа більше мільйона відомі - це ті самі позасистемні числа. Розкажемо нарешті про них.

Найменше таке число – це міріада(воно є навіть у словнику Даля), яке означає сотню сотень, тобто - 10 000. Слово це, щоправда, застаріло і практично не використовується, але цікаво, що широко використовується слово "міріади", яке означає зовсім не певну кількість, а незліченна, незліченна безліч чогось. Вважається, що слово міріада (англ. myriad) прийшло до європейських мов із стародавнього Єгипту.

Гугол(Від англ. Googol) - це число десять сотою мірою, тобто одиниця зі ста нулями. Про "гугол" вперше написав у 1938 році у статті "New Names in Mathematics" у січневому номері журналу Scripta Mathematica американський математик Едвард Каснер (Edward Kasner). За його словами, назвати "гуголом" велику кількість запропонував його дев'ятирічний племінник Мілтон Сіротта (Milton Sirotta). Загальновідомим же це число стало завдяки пошуковій машині, названій на честь нього. Google. Зверніть увагу, що Google - це торгова марка, а googol - число.

У відомому буддійському трактаті Джайна-сутри, що відноситься до 100 до н.е., зустрічається число асанкхейя(Від кит. асенці- незліченний), що дорівнює 10 140 . Вважається, що цьому числу дорівнює кількість космічних циклів, необхідних для набуття нірвани.

Гуголплекс(англ. googolplex) - Число також придумане Каснер зі своїм племінником і означає одиницю з гуголом нулів, тобто 10 10 100 . Ось як сам Каснер описує це "відкриття":

Words of wisdom are spoken by children at least as often as by scientists. Назву "googol" був введений за хлопцем (Dr. Kasner's nine-year-old nephew), який був поставлений до думки про дуже велику кількість, хіба що, 1 з високим ceroм після нього. certain that this number був не infinite, і єfore equally certain that it had to have a name. the same time that he suggested "googol" he gave a name for still larger number: "Googolplex." А googolplex є дуже великим, ніж googol, але є більш міцним, як гравець з name був кинути до пункту out.

Mathematics and the Imagination(1940) Kasner і James R. Newman.

Ще більше, ніж гуголплекс число - число Скьюза (Skewes) було запропоновано Скьюзом в 1933 році (Skewes). J. London Math. Soc. 8 , 277-283, 1933.) за доказом гіпотези Ріманна, що стосується простих чисел. Воно означає eу ступені eу ступені eступенем 79, тобто e e e 79 . Пізніше, Рієл (te Riele, H. J. J. "On the Sign of the Difference П(x)-Li(x)." Math. Comput. 48 , 323-328, 1987) звів число Скьюза до e e 27/4, що приблизно дорівнює 8,185 · 10370. Зрозуміло, що якщо значення числа Скьюза залежить від числа eто воно не ціле, тому розглядати ми його не будемо, інакше довелося б згадати інші ненатуральні числа - число пі, число e, число Авогадро і т.п.

Але слід зазначити, що є друге число Скьюза, що у математиці позначається як Sk 2 , яке ще більше, ніж перше число Скьюза (Sk 1). Друге число Скьюза, було запроваджено Дж. Скьюзом у тій статті для позначення числа, до якого гіпотеза Ріманна справедлива. Sk 2 дорівнює 10 10 10 10 3 тобто 10 10 10 1000 .

Як ви розумієте чим більше серед ступенів, тим складніше зрозуміти яке з чисел більше. Наприклад, подивившись на числа Ск'юза, без спеціальних обчислень практично неможливо зрозуміти яке з цих двох чисел більше. Таким чином, для надвеликих чисел користуватися ступенями стає незручно. Мало того, можна придумати такі числа (і вони вже придумані), коли ступені ступенів просто не влазять на сторінку. Так що на сторінку! Вони не влізуть, навіть у книгу, розміром із увесь Всесвіт! У такому разі постає питання як їх записувати. Проблема, як ви розумієте, можна вирішити, і математики розробили кілька принципів для запису таких чисел. Щоправда, кожен математик, хто ставив цю проблему придумував свій спосіб записи, що призвело до існування кількох, які пов'язані друг з одним, способів для запису чисел - це нотації Кнута, Конвея, Стейнхауза та інших.

Розглянемо нотацію Х'юго Стенхауза (H. Steinhaus). Mathematical Snapshots 3rd edn. 1983), яка досить проста. Стейн хауз запропонував записувати великі числа всередині геометричних фігур - трикутника, квадрата та кола:

Стейнхауз придумав два нові надвеликі числа. Він назвав число - Мега, а число - Мегістон.

Математик Лео Мозер доопрацював нотацію Стенхауза, яка була обмежена тим, що якщо потрібно записувати числа набагато більше мегістону, виникали труднощі і незручності, тому що доводилося малювати безліч кіл один всередині іншого. Мозер запропонував після квадратів малювати не кола, а п'ятикутники, потім шестикутники і таке інше. Також він запропонував формальний запис цих багатокутників, щоб можна було записувати числа, не малюючи складних малюнків. Нотація Мозера виглядає так:

Таким чином, за нотацією Мозера стейнхаузовська мега записується як 2, а мегістон як 10. Крім того, Лео Мозер запропонував називати багатокутник з числом сторін рівним меге - мегагоном. І запропонував число "2 у Мегагоні", тобто 2. Це число стало відомим як число Мозера (Moser's number) або просто як мозер.

Але й мозер не найбільше. Найбільшим числом, яке коли-небудь застосовувалося в математичному доказі, є гранична величина, відома як число Грема(Graham"s number), вперше використана в 1977 в доказі однієї оцінки в теорії Рамсея. Воно пов'язане з біхроматичними гіперкубами і не може бути виражене без особливої ​​64-рівневої системи спеціальних математичних символів, введених Кнутом в 1976 році.

На жаль, число записане в нотації батога не можна перевести в запис за системою Мозера. Тому доведеться пояснити і цю систему. У принципі, у ній теж немає нічого складного. Дональд Кнут (так, так, це той самий Кнут, який написав "Мистецтво програмування" і створив редактор TeX) придумав поняття надступеня, яке запропонував записувати стрілками, спрямованими вгору:

У загальному виглядіце виглядає так:

Думаю, що все зрозуміло, тому повернемося до Грема. Грем запропонував, так звані G-числа:

Число G 63 стало називатися числом Грема(Позначається воно часто просто як G). Це число є найбільшим відомим у світі числом і занесене навіть до "Книги рекордів Гінесса". А, ось що число Грема більше числа Мозера.

P.S.Щоб принести велику користь всьому людству і прославитися у віках, я вирішив сам придумати і назвати найбільше. Це число називатиметься стасплексі воно дорівнює числу G 100 . Запам'ятайте його, і коли ваші діти будуть питати яке найбільше у світі число, кажіть їм, що це число називається стасплекс.

Update (4.09.2003):Дякуємо всім за коментарі. Виявилося, що при написанні тексту я припустився кількох помилок. Спробую зараз виправити.

1. Я зробив відразу кілька помилок, просто згадавши кількість Авогадро. По-перше, кілька людей вказали мені, що насправді 6,022·10 23 - саме, що не є натуральне число. А по-друге, є думка і вона мені здається вірною, що число Авогадро взагалі не є числом у власному, математичному сенсі слова, оскільки воно залежить від системи одиниць. Тепер воно виявляється у " моль -1 " , але якщо його висловити, наприклад у молях чи ще у чомусь, воно буде висловлюватися зовсім іншою цифрою, але числом Авогадро від цього бути не перестане.
2. 10 000 - пітьма
   100 000 – легіон
   1 000 000 – леодр
   10 000 000 - ворон чи брехень
   100 000 000 – колода
   Що цікаво, стародавні слов'яни теж любили значні числа вміли рахувати до мільярда. Причому такий рахунок називався вони " малий рахунок " . У деяких рукописах авторами розглядався і " великий рахунок", Доходив до числа 10 50. Про числа більше, ніж 10 50 говорилося: "І більше цього немає людському розуму розуміти ". Назви вживалися в "малому рахунку", переносилися на "великий рахунок", але з іншим змістом. Так, темрява. означала вже не 10 000, а мільйон, легіон - темряву тем (мільйон мільйонів); леодрів (10 в 47), леодр леодрів (10 в 48) називався ворон і, нарешті, колода (10 в 49).
3. Тему національних назв чисел можна розширити, якщо згадати і про забуту мною японську систему найменування чисел, яка дуже відрізняється від англійської та американської системи (ієрогліфи я малювати не буду, якщо комусь цікаво, то вони):
   10 0 - ichi
   10 1 - jyuu
   10 2 - hyaku
   10 3 - sen
   10 4 - man
   10 8 - oku
   10 12 - chou
   10 16 - kei
   10 20 - gai
   10 24 - jyo
   10 28 - jyou
   10 32 - kou
   10 36 - kan
   10 40 - sei
   10 44 - sai
   10 48 - goku
   10 52 - gougasya
   10 56 - asougi
   10 60 - nayuta
   10 64 - fukashigi
   10 68 - muryoutaisuu
4. З приводу чисел Хьюго Стейнхауза (у Росії його ім'я перекладали чомусь Гуго Штейнгауз). botev запевняє, що ідея записувати надвеликі числа у вигляді чисел у кружечках, належить не Стейнхаузу, а Данилові Хармсу, який задовго до нього опублікував цю ідею у статті "Підняття числа". Також хочу подякувати Євгену Скляревському, автору найцікавішого сайту з цікавої математики в російськомовному інтернеті - Арбуза, за інформацію, що Стейнхауз придумав не тільки числа мега і мегістон, але й запропонував ще число медзон, рівне (у його нотації) "3 у кружечку".
5. Тепер про кількість міріадаабо миріо. Щодо походження цієї кількості існують різні думки. Одні вважають, що воно виникло в Єгипті, інші ж вважають, що воно народилося лише в Античної Греції. Як би там не було насправді, але популярність міріаду набула саме завдяки грекам. Міріада була назвою для 10 000, а для чисел більше десяти тисяч назв не було. Однак у замітці "Псаміт" (тобто обчислення піску) Архімед показав, як можна систематично будувати і називати скільки завгодно великі числа. Зокрема, розміщуючи в маковому зерні 10 000 (міріада) піщин, він знаходить, що у Всесвіті (куля діаметром у міріаду діаметрів Землі) помістилося б (у наших позначеннях) не більше ніж 10 63 піщин. Цікаво, що сучасні підрахунки кількості атомів у видимому Всесвіті призводять до 10 67 (всього в міріаду разів більше). Назви чисел Архімед запропонував такі:
   1 міріада = 10 4 .
   1 ді-міріада = міріада міріад = 10 8 .
   1 три-міріада = ді-міріада ді-міріад = 10 16 .
   1 тетра-міріада = три-міріада три-міріад = 1032.
   і т.д.

Якщо є зауваження -

Знаменита Пошукова система, а також компанія, що створила цю систему та багато інших продуктів, названа на честь числа гугол - одного з найбільших чисел у нескінченній множині натуральних чисел. Однак найбільшим числом є навіть не гугол, а гуголплекс.

Число гуголплекс вперше було запропоновано Едвардом Казнером у 1938-му році, воно являє собою одиницю та неймовірну кількість нулів. Назва походить від іншого числа - гугол - одиниці з сотнею нулів. Зазвичай число гугол пишеться як 10 100 , або 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000.

Гуголплекс, своєю чергою, - це число десять у ступені гугол. Зазвичай його пишуть так: 1010^100, і це дуже, дуже багато нулів. Їх настільки багато, що якби ви вирішили підрахувати число нулів за допомогою окремих частинок у Всесвіті, частки закінчилися б раніше, ніж нулі у гуголплексі.

За оцінкою Карла Сагана, написати це число неможливо, тому що для його написання потрібно більше місця, ніж існує у видимому Всесвіті.

Як працює «мозгопошта» - передача повідомлень від мозку до мозку через інтернет

10 таємниць світу, які наука нарешті розкрила

10 головних питань про Всесвіт, відповіді на які вчені шукають прямо зараз

2500-річна наукова таємниця: чому ми позіхаємо

3 найдурніші аргументи, якими противники Теорії еволюції виправдовують своє невігластво

Чи можна за допомогою сучасних технологій реалізувати здібності супергероїв?

Будь-які два предмети у вакуумі будуть падати з однаковою швидкістю

Є числа, які так неймовірно, неймовірно великі, що навіть для того, щоб записати їх, знадобиться весь всесвіт цілком. Але ось що справді зводить з розуму ... деякі з цих незбагненно великих чисел вкрай важливі для розуміння світу.

Коли я говорю “наї більша кількістьу Всесвіті”, насправді я маю на увазі найбільше значущечисло, максимально можливе число, яке певною мірою корисне. Є багато претендентів на цей титул, але я відразу ж попереджаю вас: дійсно існує ризик того, що спроба зрозуміти все це підірве ваш мозок. І, крім того, з надлишком математики, ви отримаєте мало задоволення.

Гугол та гуголплекс

Едвард Каснер

Ми могли б почати з двох, ймовірно, найбільших чисел, про які ви коли-небудь чули, і це дійсно два найбільших числа, які мають загальноприйняті визначення в англійською. (Є досить точна номенклатура, що використовується для позначення чисел настільки великих, як вам хотілося б, але ці два числа в даний час ви не знайдете в словниках.) Гугол, відколи він став всесвітньо відомим (хоча і з помилками, прямуючи. це googol) у вигляді Google, народився в 1920 році як спосіб зацікавити дітей великими числами.

З цією метою Едвард Каснер (на фото), взяв двох своїх племінників, Мільтона та Едвіна Сіротт, на прогулянку Нью-Джерсі Palisades. Він запропонував їм висувати будь-які ідеї, і тоді дев'ятирічний Мільтон запропонував “гугол”. Звідки він узяв це слово, невідомо, але Каснер вирішив, що або число, в якому за одиницею стоять сто нулів відтепер називатиметься гугол.

Але молодий Мільтон на цьому не зупинився, він запропонував ще більше, гуголплекс. Це число, на думку Мільтона, в якому на першому місці стоїть 1, а потім стільки нулів, скільки ви могли б написати до того, як втомитесь. Хоча ця ідея чарівна, Каснер вирішив, що необхідне формальне визначення. Як він пояснив у своїй книзі 1940 року видання “Математика і уява”, визначення Мільтона залишає відкритою ризиковану можливість того, що випадковий блазень може стати математиком, який перевершує Альберта Ейнштейна просто тому, що він має більшу витривалість.

Таким чином, Каснер вирішив, що гуголплекс дорівнюватиме , або 1, а потім гугол нулів. Інакше, і в позначеннях, аналогічних тим, з якими ми матимемо справу для інших чисел, говоритимемо, що гуголплекс — це . Щоб показати, наскільки це заворожує, Карл Саган якось зауважив, що фізично неможливо записати всі нулі гуголплексу, бо просто не вистачить місця у Всесвіті. Якщо заповнити весь обсяг Всесвіту, що спостерігається дрібними частинкамипилу розміром приблизно 1,5 мікрона, число різних способів розташування цих частинок буде приблизно дорівнює одному гуголплексу.

Лінгвістично кажучи, гугол і гуголплекс, ймовірно, два найбільших значущих числа (принаймні в англійській мові), але, як ми зараз встановимо, способів визначення “значущості” нескінченно багато.

Реальний світ

Якщо ми говоритимемо про найбільшу значну кількість, існує розумний аргумент, що це дійсно означає, що потрібно знайти найбільше число з реально існуючим у світі значенням. Ми можемо почати з поточної людської популяції, яка зараз становить близько 6920 мільйонів. Світовий ВВП у 2010 році, за оцінками, становив близько 61960 мільярдів доларів, але обидва ці числа незначні порівняно з приблизно 100 трильйонами клітин, що становлять організм людини. Звичайно, жодне з цих чисел не може зрівнятися з повним числом частинок у Всесвіті, яке, як правило, вважається рівним приблизно і це число настільки велике, що наша мова не має відповідного йому слова.

Ми можемо пограти трохи з системами заходів, роблячи числа більше та більше. Так, маса Сонця в тоннах буде меншою, ніж у фунтах. Прекрасний спосіб зробити це полягає у використанні системи одиниць Планка, які є найменшими можливими заходами, для яких залишаються чинними закони фізики. Наприклад, вік Всесвіту в часі Планка становить близько . Якщо ми повернемося в першу одиницю часу Планка після Великого Вибуху, то побачимо, що щільність Всесвіту була тоді. Ми отримуємо все більше, але ми ще не досягли навіть гугола.

Найбільше з будь-яким реальним додатком світі — чи, у разі реальним застосуванням у світах — мабуть, , — одне з останніх оцінок числа всесвітів у мультивсеселенной. Це число настільки велике, що людський мозок буде буквально не в змозі сприйняти всі ці різні всесвіти, оскільки мозок здатний лише приблизно на конфігурації. Насправді це число, ймовірно, найбільше число з будь-яким практичним змістом, якщо ви не берете до уваги ідею мультивсесвіту в цілому. Однак є ще набагато більші числа, які там ховаються. Але для того, щоб знайти їх, ми повинні вирушити в область чистої математики, і немає кращого початку, ніж прості числа.

Прості числа Мерсенна

Частина труднощів полягає в тому, щоб придумати хороше визначення того, що таке “значне” число. Один із способів полягає в тому, щоб міркувати у термінах простих та складових чисел. Просте число, як ви, напевно, пам'ятаєте з шкільної математики, - це будь-яке натуральне число (прим. не рівне одиниці), яке ділиться тільки на самого себе. Отже, і прості числа, а і складові числа. Це означає, що будь-яке складове число може зрештою бути представлене своїми простими дільниками. У певному сенсі число є більш важливим, ніж, скажімо, тому, що немає ніякого способу висловити його через добуток менших чисел.

Очевидно, ми можемо піти трохи далі. Наприклад, насправді просто , що означає, що в гіпотетичному світі, де наші знання чисел обмежені числом , математик ще може висловити число . Але вже наступне число просте, і це означає, що єдиним способом його висловити безпосередньо знати про його існування. Це означає, що найбільші відомі прості числа відіграють важливу роль, а, скажімо, гугол – який, зрештою, просто набір з чисел і перемножених між собою взагалі-то й немає. І оскільки прості числа переважно випадкові, невідомо ніяких способів передбачити, що неймовірно велике число насправді буде простим. Досі відкриття нових простих чисел — це важка справа.

Математики Стародавню Греціюмали поняття про прості числа, принаймні, вже в 500 році до нашої ери, а через 2000 років люди все ще знали, які числа прості тільки приблизно до 750. Мислителі часів Евкліда побачили можливість спрощення, але аж до епохи Відродження математики не могли дійсно використовувати це практично. Ці числа відомі як числа Мерсенна, вони названі на честь французького вченого XVII століття Марина Мерсенна. Ідея досить проста: число Мерсенна - це будь-яке число виду. Так, наприклад, , і це число просте, те саме вірно і для .

Набагато швидше і легше визначити прості числа Мерсенна, ніж будь-який інший вид простих чисел, і комп'ютери напружено працюють у пошуках протягом останніх шести десятиліть. До 1952 найбільшим відомим простим числом було число - число з цифрами. У тому ж році на комп'ютері вирахували, що число просте, і це число складається з цифр, що робить його вже набагато більше, ніж гугол.

Комп'ютери з тих пір були на полюванні, і в даний час число Мерсенна є найбільшим простим числом, відомим людству. Виявлене у 2008 році, воно становить число з майже мільйонами цифр. Це найбільша відома кількість, яка не може бути виражена через будь-які менші числа, і якщо ви хочете допомогти знайти ще більше Мерсенна, ви (і ваш комп'ютер) завжди можете приєднатися до пошуку на сайті http://www.mersenne. org/.

Число Скьюза

Стенлі Скьюз

Знову звернемося до простих чисел. Як я вже казав, вони поводяться докорінно неправильно, це означає, що немає ніякого способу передбачити, яким буде таке просте число. Математики були змушені звернутися до деяких досить фантастичних вимірів, щоб придумати якийсь спосіб передбачити майбутні прості числа навіть у якийсь туманний спосіб. Найбільш успішною з цих спроб, ймовірно, є функція, що вважає прості числа, яку вигадав наприкінці XVIII століття легендарний математик Карл Фрідріх Гаус.

Я позбавлю вас від більш складної математики— так чи інакше, у нас ще багато попереду — але суть функції полягає в наступному: для будь-якого цілого можна оцінити, скільки існує простих чисел, менших . Наприклад, якщо , функція передбачає, що має бути простих чисел, якщо простих числа, менших , і якщо , то існує менших чисел, які є простими.

Розташування простих чисел дійсно має нерегулярний характер, і це лише наближення фактичного числа простих чисел. Насправді ми знаємо, що простих чисел, менших , простих чисел менших , і простих чисел менших . Це чудова оцінка, що й казати, але це завжди лише оцінка… і, конкретніше, оцінка зверху.

У всіх відомих випадках до , функція, яка знаходить кількість простих чисел, трохи перебільшує фактичну кількість простих чисел менших . Математики колись думали, що так буде завжди, до нескінченності, що це, безумовно, відноситься і до деяких неймовірно величезних чисел, але в 1914 Джон Ідензор Літтлвуд довів, що для якогось невідомого, неймовірно величезного числа ця функція почне видавати менше простих чисел, а потім вона буде перемикатися між оцінкою зверху та оцінкою знизу нескінченне число разів.

Полювання було на точку початку стрибків, і тут з'явився Стенлі Скьюз (див. фото). В 1933 він довів, що верхня межа, коли функція, що наближає кількість простих чисел вперше дає менше значення - це число . Важко по-справжньому зрозуміти навіть у найбільш абстрактному сенсі, що насправді це число, і з цієї точки зору це було найбільше число, коли-небудь використане в серйозному математичному доказі. З того часу математики змогли зменшити верхню межу до відносно невеликого числа, але вихідне число залишилося відоме як число Скьюза.

Отже, наскільки велике число, яке робить карликом навіть могутній гуголплекс? У словнику The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers Девід Уеллс розповідає один спосіб, з допомогою якого математику Харді вдалося осмислити розмір числа Скьюза:

"Харді думав, що це "найбільше число, що коли-небудь служило будь-якої певної мети в математиці'', і припустив, що якщо грати в шахи з усіма частинками Всесвіту як фігурами, один хід полягав у перестановці місцями двох частинок, і гра припинялася б, коли одна й та сама позиція повторювалася б втретє, то число всіх можливих партій дорівнювало б приблизно числу Скьюза''.

І останнє перед тим, як рухатися далі: ми говорили про менше з двох чисел Ск'юза. Існує інше число Скьюза, який математик знайшов у 1955 році. Перше число отримано на тій підставі, що так звана гіпотеза Рімана істинна - це особливо складна гіпотеза математики, яка залишається недоведеною, дуже корисна, коли йдеться про прості числа. Тим не менш, якщо гіпотеза Рімана є хибною, Ск'юз виявив, що точка початку стрибків збільшується до .

Проблема величини

Перш ніж ми перейдемо до числа, поряд з яким навіть число Скьюза виглядає крихітним, нам потрібно трохи поговорити про масштаб, тому що інакше ми не маємо можливості оцінити, куди ми збираємося йти. Спочатку давайте візьмемо число - це крихітне число, настільки мале, що люди можуть справді мати інтуїтивне розуміння того, що воно означає. Є дуже мало чисел, які відповідають цьому опису, тому що числа більше шести перестають бути окремими числами і стають “декілька”, “багато” тощо.

Тепер давайте візьмемо, тобто. . Хоча ми насправді не можемо інтуїтивно, як це було для числа, зрозуміти, що таке, уявити те, чим є дуже легко. Поки що все йде добре. Але що станеться, якщо ми перейдемо до ? Це одно, або. Ми дуже далекі від здатності уявити собі цю величину, як і будь-яку іншу, дуже велику — ми втрачаємо здатність осягати окремі частини близько мільйона. (Правда, шалено велика кількістьчасу зайняло б, щоб дійсно дорахувати до мільйона будь-чого, але справа в тому, що ми все ще здатні сприймати це число.)

Тим не менш, хоча ми не можемо уявити, ми принаймні спроможні зрозуміти загалом, що таке 7600 млрд, можливо, порівнюючи його з чимось таким, як ВВП США. Ми перейшли від інтуїції до уявлення і до простого розуміння, але принаймні ми ще маємо певну прогалину в розумінні того, що таке число. Це ось-ось зміниться, у міру нашого просування на ще один щабель вгору сходами.

Для цього нам потрібно перейти до позначення, введеного Дональдом Кнутом, відомого як стрілочна нотація. У цих позначеннях можна записати як . Коли ми потім перейдемо до , число, яке ми отримаємо, буде рівним . Це де в цілому трійок. Ми тепер значно і по-справжньому перевершили всі інші числа, про які ми вже говорили. Зрештою, навіть у найбільших з них було лише три чи чотири члени у ряді показників. Наприклад, навіть супер-число Скьюза — це “тільки” навіть з поправкою на те, що і основа, і показники набагато більші, ніж воно, як і раніше, абсолютно ніщо в порівнянні з величиною числової вежі з млрд членів.

Очевидно, що немає ніякого способу для розуміння настільки величезних чисел… проте процес, за допомогою якого вони створені, ще можна зрозуміти. Ми не могли б зрозуміти реальну кількість, яка задається вежею ступенів, в якій мільярд трійок, але ми можемо в основному уявити таку вежу з багатьма членами, і справді пристойний суперкомп'ютер зможе зберігати в пам'яті такі вежі, навіть якщо він не зможе обчислити їх дійсні значення .

Це стає все абстрактнішим, але далі буде тільки гірше. Ви можете подумати, що вежа ступенів довжина показника якої дорівнює (більше того, в попередній версії цього посту я зробив саме цю помилку), але це просто. Іншими словами, уявіть, що у вас є можливість обчислити точне значення статечної вежі з трійок, яка складається з елементів, а потім ви взяли це значення і створили нову вежу з такою кількістю в ньому, що дає .

Повторіть цей процес з кожним наступним числом ( прямуючи.починаючи справа), поки ви не зробите цього разу, і тоді нарешті ви отримаєте . Це число, яке просто неймовірно велике, але принаймні кроки його отримання начебто зрозумілі, якщо робити дуже повільно. Ми більше не можемо зрозуміти числа або уявити процедуру, завдяки якій воно виходить, але, принаймні, ми можемо зрозуміти основний алгоритм лише у досить великий термін.

Тепер підготуємо розум до того, щоб його справді підірвати.

Число Грема (Грехема)

Рональд Грем

Ось як ви отримаєте число Грема, яке займає місце в Книзі рекордів Гіннеса як найбільше число, яке коли-небудь використовували в математичному доказі. Цілком неможливо уявити, наскільки воно велике, і так само важко точно пояснити, що це таке. У принципі число Грема з'являється, коли мають справу з гіперкубами, які є теоретичними геометричними формами з більш ніж трьома вимірами. Математик Рональд Грем (див. фото) хотів з'ясувати, за якого найменшого числа вимірювань певні властивості гіперкуба залишатимуться стійкими. (Вибачте за таке розпливчасте пояснення, але я впевнений, що нам усім потрібно отримати принаймні дві вчені ступеніз математики, щоб зробити його більш точним.)

У будь-якому випадку число Ґрема є оцінкою зверху цього мінімального числа вимірювань. Отже, наскільки великий цей верхній кордон? Давайте повернемося до такого великого, що алгоритм його отримання ми можемо зрозуміти досить неясно. Тепер, замість того, щоб просто стрибати вгору ще на один рівень до , ми будемо рахувати число , в якому є стрілки між першою та останньою трійками. Тепер ми далеко за межами навіть найменшого розуміння того, що таке це число або навіть від того, що потрібно робити, щоб його обчислити.

Тепер повторимо цей процес рази ( прямуючи.на кожному наступному кроці ми пишемо число стрілок, рівну числуотриманому на попередньому кроці).

Це, пані та панове, число Грема, яке приблизно на порядку стоїть вище за точку людського розуміння. Це число, яке настільки більше, ніж будь-яке число, яке можна собі уявити - це набагато більше, ніж будь-яка нескінченність, яку ви могли б коли-небудь сподіватися собі уявити - воно просто не піддається навіть абстрактним описом.

Але дивна річ. Оскільки число Грема переважно — це просто трійки, перемножені між собою, ми знаємо деякі його властивості без фактичного його обчислення. Ми не можемо уявити число Грема за допомогою будь-яких знайомих нам позначень, навіть якби ми використали весь Всесвіт, щоб записати його, але я можу назвати вам прямо зараз останні дванадцять цифр числа Грема: . І це ще не все: ми знаємо принаймні останні цифри Грема.

Звичайно, варто пам'ятати, що це число лише верхня межа у вихідному завданні Грема. Цілком можливо, що фактичне число вимірювань, необхідних для виконання потрібної властивості набагато менше. Насправді ще з 1980-х років вважалося, на думку більшості фахівців у цій галузі, що фактично кількість вимірів лише шість — число настільки мале, що ми можемо зрозуміти його на інтуїтивному рівні. З того часу нижня межа була збільшена до , але є ще дуже великий шанс, що розв'язання задачі Грема не лежить поряд з числом настільки ж великим, як число Грема.

До нескінченності

То чи є числа більше, ніж число Грема? Є, звичайно, для початку є число Грема. Що стосується значного числа… добре, є деякі диявольськи складні галузі математики (зокрема, області, відомої як комбінаторика) та інформатики, в яких зустрічаються числа навіть більші, ніж число Грема. Але ми майже досягли межі того, що, як я можу сподіватися, будь-коли зможуть розумно пояснити. Для тих, хто досить нерозважливий достатньо, щоб піти ще далі, пропонується література для додаткового читання на свій страх та ризик.

Ну а зараз дивовижна цитата, яка приписується Дугласу Рею ( прямуючи.Чесно кажучи, звучить досить смішно):

“Я бачу скупчення невиразних чисел, які ховаються там, у темряві, за невеликою плямою світла, що дає свічка розуму. Вони шепочуться один з одним; змовляючись хто знає про що. Можливо, вони нас не дуже люблять за захоплення їхніх менших братиків нашими умами. Або, можливо, вони просто ведуть однозначний числовий спосіб життя, там, за межами нашого розуміння”.