еромагнітний порядок зберігається у широкій області концентрацій х до надпровідної фази.

На якісному рівні явище пояснюється так. При допуванні дірки з'являються на атомах кисню, що призводить до виникнення конкуруючої феромагнітної взаємодії між спинами та придушення антиферомагнетизму. Різкому зниженню температури Нееля також сприяє рух дірки, що призводить до руйнування антиферомагнітного порядку.

З іншого боку, кількісні результати різко розходяться зі значеннями порогу протікання для квадратних ґрат, в рамках яких вдається описати фазовий перехіду ізоструктурних матеріалах. Постає завдання видозмінити теорію протікання в такий спосіб, щоб у межах описати фазовий перехід у шарі.

При описі шару вважається, що кожен атом міді припадає одна локалізована дірка, тобто вважають, що це атоми міді магнітні. Проте, результати зонних і кластерних розрахунків показують, що недоповненому стані числа заповнення міді становлять 0,5 - 0,6, а кисню - 0,1-0,2. На якісному рівні цей результат легко зрозуміти, аналізуючи результат точної діагоналізації гамільтоніану для кластера з періодичними граничними умовами. Основний стан кластера є суперпозицією антиферомагнітного стану та станів без антиферомагнітного впорядкування на атомах міді.

Можна вважати, що приблизно на половині атомів міді є по одній дірці, а на решті атомів є або жодна, або дві дірки. Альтернативна інтерпретація: лише половину часу дірка проводить на атомах міді. Антиферомагнітне впорядкування виникає у тому випадку, коли на найближчих атомах міді є по одній дірці. Крім того, необхідно, щоб на атомі кисню між цими атомами міді або не було дірки, або було дві дірки, щоб унеможливити виникнення феромагнітної взаємодії. При цьому не має значення, ми розглядаємо миттєву конфігурацію дірок або одну або складових хвильової функції основного стану.

Використовуючи термінологію теорію протікання, називатимемо атоми міді з однією діркою неблокованими вузлами, а атоми кисню з однією діркою розірваними зв'язками. Перехід далекий феромагнітний порядок - ближній феромагнітний порядок у цьому випадку відповідатиме порогу протікання, тобто появі кластера, що стягує, - нескінченного ланцюжка неблокованих вузлів, з'єднаних нерозірваними зв'язками.

Принаймні два моменти різко відрізняють завдання від стандартної теорії протікання: по-перше, стандартна теорія передбачає наявність атомів двох сортів, магнітних і немагнітних, ми маємо лише атоми одного сорту (міді), властивості яких змінюються залежно від локалізації дірки; по-друге, стандартна теорія вважає два вузли пов'язаними, якщо обидва вони не блоковані (магнітні) – завдання вузлів, або, якщо зв'язок між ними не розірвано – завдання зв'язків; в нашому випадку відбувається як блокування вузлів, так і розрив зв'язків.

Таким чином, завдання зводиться до віднайдення порогу протікання на квадратних гратах для комбінування задачі вузлів і зв'язків.

3 Застосування теорії перколяції для дослідження газочутливих датчиків з перколяційною структурою

У Останніми рокамишироке застосування нанотехнології знаходять золь-гель процеси, які є термодинамічно рівноважними. На всіх етапах золь-гель процесів протікають різноманітні реакції, що впливають на кінцевий склад та структуру ксерогеля. На етапі синтезу та дозрівання золю виникають фрактальні агрегати, еволюція яких залежить від складу прекурсорів, їх концентрації, порядку змішування, значення pH середовища, температури та часу реакції, складу атмосфери тощо. Продуктами золь-гель технології в мікроелектроніці, як правило, є шари, яких пред'являються вимоги гладкості, суцільності і однорідності по складу. Для газочутливих сенсорів нового покоління більший інтерес становлять технологічні прийоми отримання пористих шарів нанокомпозитних з керованими і відтворюваними розмірами пор. При цьому нанокомпозити повинні містити фазу для покращення адгезії та одну або більше фаз напівпровідникових металооксидів n-типу електропровідності для забезпечення газочутливості. Принцип дії напівпровідникових газових сенсорів на основі перколяційних структур металооксидних шарів (наприклад, діоксиду олова) полягає у зміні електрофізичних властивостей при адсорбції заряджених форм кисню та десорбції продуктів реакцій з молекулами відновлювальних газів. З уявлень фізики напівпровідників випливає, що якщо поперечні розміри провідних гілок перколяційних нанокомпозитів будуть порівняти зі значенням характеристичної довжини дебаївського екранування, газочутливість електронних датчиків зросте на кілька порядків. Однак накопичений авторами експериментальний матеріал свідчить про складнішу природу виникнення ефекту різкого підвищення газочутливості. Різке зростання газочутливості може відбуватися на сітчастих структурах з геометричними розмірами гілок, що у кілька разів перевершують значення довжини екранування, і залежати від умов фракталоутворення.

Гілки сітчастих структур являють собою матрицю діоксиду кремнію (або змішану матрицю діоксидів олова і кремнію) з включеними до неї кристаліти діоксиду олова (що підтверджується результатами моделювання), що утворюють провідний стягуючий перколяційний кластер при вмісті SnO2 більше 50%. Таким чином, можна якісно пояснити підвищення значення порогу протікання за рахунок витрати частини вмісту SnO2 змішану непровідну фазу. Проте природа формування сітчастих структур видається складнішою. Численні експерименти щодо аналізу структури шарів методами АСМ поблизу передбачуваного значення порога перколяційного переходу не дозволили отримати достовірних документальних підтверджень еволюції системи з утворенням великих пір за закономірностями перколяційних моделей. Іншими словами, моделі зростання фрактальних агрегатів у системі SnO2 – SnO2 якісно описують лише початкові стадії еволюції золю.

У структурах з ієрархією пір протікають складні процеси адсорбції-десорбції, перезарядки поверхневих станів, релаксаційні явища на межах зерен і пір, каталіз на поверхні шарів та в області контактів та ін. ) застосовні лише розуміння переважаючої усередненої ролі тієї чи іншої явища. Для поглиблення вивчення фізичних особливостеймеханізмів газочутливості знадобилося створення спеціальної лабораторної установки, що забезпечує можливість реєстрації тимчасових залежностей зміни аналітичного сигналу за різних температур у присутності та відсутності відновлювальних газів заданої концентрації. Створення експериментальної установки дозволяло автоматично знімати та обробляти 120 вимірів за хвилину в робочому діапазоні температур 20 - 400 ºС.

Для структур із сітчастою перколяційною будовою були виявлені нові ефекти, що спостерігаються при експонуванні в атмосфері поновлювальних газів пористих наноструктур на основі металооксидів.

Із запропонованої моделі газочутливих структур з ієрархією доби випливає, що для збільшення чутливості адсорбційних напівпровідникових сенсорних шарів принципово можливо забезпечити відносно високий опір зразка на повітрі та відносно низький опір плівкових наноструктур у присутності газу-реагенту. Практичне технічне рішення може бути реалізовано шляхом створення в зернах системи нанорозмірних пір високої щільності розподілу, що забезпечує ефективну модуляцію процесів токопротікання в сітчастих перколяційних структурах. Це було реалізовано за допомогою цілеспрямованого введення оксиду індію в систему на основі діоксидів олова та кремнію.

Висновок

Теорія перколяції є досить новим і не до кінця вивченим явищем. Щороку у сфері теорії перколяції робляться відкриття, пишуться алгоритми, публікуються роботи.

Теорія перколяції привертає до себе увагу різних фахівців із низки причин:

Легкі та елегантні формулювання завдань теорії перколяції поєднуються з труднощами їх вирішення;

Вирішення завдань перколяції вимагає поєднання нових ідей з геометрії, аналізу та дискретної математики;

Фізична інтуїція буває дуже плідною під час вирішення завдань перколяції;

Техніка, розвинена для теорії перколяції, має численні додатки в інших завдання про випадкові процеси;

Теорія перколяції дає ключі до розуміння інших фізичних процесів.

Список літератури

Тарасевіч Ю.Ю. Перколяція: теорія, додатки, алгоритми. - М: УРСС, 2002.

Шабалін В.М., Шатохіна С.М. Морфологія біологічних рідин людини. - М: Хризостом, 2001. - 340 с.: іл.

Плакіда Н. М. Високотемпературні надпровідники. - М: Міжнародна програма освіти, 1996.

Фізичні властивостівисокотемпературних надпровідників/Під. ред. Д. М. Гінзберга. - М.: Світ, 1990.

Просандєєв С.А., Тарасевич Ю.Ю. Вплив кореляційних ефектів на зонну структуру, низькоенергетичні електронні збудження та функції відгуків у шаруватих оксидах міді. / / УФЖ 36 (3), 434-440 (1991).

Єльсін В.Ф., Кашурніков В.А., Опєнов Л.А. Подливаєв А.І. Енергія зв'язку електронів або дірок у кластерах Cu - O: точна діагоналізація гамільтоніану Емері. // ЖЕТФ 99 (1), 237-248 (1991).

Мошников В.А. Сітчасті газочутливі нанокомпоненти на основі діоксидів олова та кремнію. – Рязань, "Вісник РДГТУ", – 2007.

Безліч ступенів свободи

Ієрархічність архітектури/структури на різних масштабних рівнях

У звичайних матеріалах неоднорідність проявляється на атомних розмірах, та фізика

явищ має квантово-механічну природу. Говорячи про штучні середовища - полімерні КМ, маються на увазі суміші, складені з таких звичайних речовин і мають як регулярну, так і випадкову, невпорядковану структуру. Основна увага буде зосереджена на явищах, пов'язаних із такою вторинною неоднорідністю. Це означає, що масштаб неоднорідності штучних середовищ досить великий для того, щоб у кожній точці виконувались звичайні локальні матеріальні рівняння, властиві речовині, що заповнює об'єм навколо цієї точки. Хоча більшість результатів вірна і для випадку плавної зміни матеріальних параметрів, буде матися на увазі найпростіша модель композиційного матеріалу - матриці, наповненої будь-якими включеннями.

Структура полімерних КМ

При виготовленні КМ конструкційного призначення основна мета наповнення є отримання посиленого полімерного матеріалу, тобто. матеріалу з покращеним комплексом фізико механічних властивостей. Досягається воно як введенням волокнистих армуючих наповнювачів, так і тонкодисперсних наповнювачів, рубаного скловолокна, аеросилу та ін. . При цьому частинки наповнювача тим чи іншим способом розподіляються полімерної матриці.

За характером розподілу компонентів композити можна поділити на матричні системи, статистичні суміші та структуровані композиції. У матричних (регулярних) системах частинки наповнювача розташовуються у вузлах регулярних грат (а). У статистичних системах компоненти розподілені хаотично та не утворюють регулярних структур (б). До структурованих композитів відносять системи, в яких компоненти утворюють ланцюжкові, плоскі або об'ємні структури (в, г). На рис. 1 зображені типові структури композитів та розподіл наповнювача в матриці.

Мал. 1 Структури композитів та розподіл наповнювачів у матриці

Топологія гетерогенних систем (композитів)

Під топологією КМ розуміється форма частинок дисперсної фазиїх розміри, а також розподіл дисперсної фази за обсягом дисперсійного середовища. Сюди також входять розмір включень, відстань з-поміж них, координати центрів включень, кут орієнтації у просторі неізомерних включень (т. е. включень, розмір яких у одному чи двох виділених напрямах набагато перевищує розмір інших напрямах, наприклад волокна, пластини).

Композиційні матеріали з урахуванням одноосно орієнтованих безперервних волокон чи тканин (рис. 2) легко піддаються аналізу. У напрямку вздовж волокон (у

Вінера) (рис. 3). Тут f і m - електропровідність наповнювача і матриці, p - об'ємна частка наповнювача. Ці вирази мають загальний характер, оскільки відповідають ефективної провідності двофазної системи при послідовній та паралельній дії фаз і є оптимальними за умови, що відомі лише об'ємні часткикожної фази. Неважко показати, що для шаруватих композиційних матеріалівпоздовжня провідність 1 завжди вище, ніж провідність 3 в напрямку, перпендикулярному шарам. Дійсно, для пачки шарів товщиною d i та провідністю σ i поздовжня провідність дорівнює σ 1 = Σd i σ i , а поперечна провідність 1/σ 3 = Σd i /σ i . Середня поздовжня провідність σ eff ,1 = σ 1 /? d i . Середня поперечна провідність 1/σ eff ,3 = Σd i /σ 3 . Використовуючи нерівність Коші-Буняковського, отримуємо, що σ eff ,3< σ eff ,1 .

Мал. 2. Два крайні випадки мікрогеометрії укладання наповнювача. Електропровідність у напрямку, паралельному шарам визначається верхньою межею Вінера; електропровідність перпендикулярна до шарів − нижньою межею Вінера.

Мал. 3. Залежність ефективної електропровідності композиту σ eff / σ m від концентрації наповнювача для верхньої та нижньої межі Вінера у разі σ f / σ m = 10.

Верхня та нижня межі Вінера визначають область значень електропровідності КМ при даному співвідношенні параметрів матриці та наповнювача незалежно від форми частинок та способу приготування КМ. Насправді межі Вінера дають занадто грубу оцінку провідності, тому що не враховують топології композиту, контактів між частинками наповнювача та ін факторів, але дозволяють оцінити діапазон зміни провідності та інших транспортних характеристик (наприклад, теплопровідності) для конкретної пари компонентів КМ.

p align="justify"> Деякі топологічні характеристик ряду часто зустрічаються структур композиційних матеріалів наведені в наступній Таблиці.

Геометрична структура гетерогенних систем

Геометрична	Характеристика	Характеристика
характеристика	спрямованості	розмірності

Регулярні структури

Паралельні шари	Анізотропія сильна	Двовимірна

Паралельні волокна в	Анізотропія сильна	Одновимірна


Кульові включення у матриці	Анізотропія слабка	Тривимірна

Взаємопроникні каркаси	Анізотропія слабка	Тривимірна

Нерегулярні структури

Хаотично орієнтовані	Ізотропія	Тривимірна
волокна у матриці

Хаотично орієнтовані	Ізотропія	Тривимірна
волокна, що контактують

Переважно	Анізотропія	Тривимірна
орієнтовані волокна в

Теорія перколяції (протікання)

Термін перколяція використовувався спочатку для протиставлення дифузії: якщо у разі дифузії ми маємо справу з випадковим блуканням частки в регулярному середовищі, то у разі перколяції йдеться про регулярний рух (наприклад, перебіг рідини або струму) у випадковому середовищі. Розглянемо квадратну сітку 3x3. Зафарбуємо частину квадратів чорним кольором. 3. Частка зафарбованих квадратів становить р = 1/3. Можна вибирати квадратики випадково та незалежно; можна ввести якісь правила. У першому випадку говорять про випадкову перколяцію (математики називають її ще перколяцією Бернуллі), у другому – про корельовану. Одним з основних питань, на які намагається відповісти теорія перколяції, - при якій частці розфарбованих квадратів виникає ланцюжок чорних квадратів, що з'єднує верхню і нижню сторони нашої сітки? Легко збагнути, що з сітки кінцевого розміру такі ланцюжка можуть бути при різних концентраціях (рис. 4). Однак якщо розмір сітки L спрямувати до нескінченності, критична концентрація стане цілком визначеною (рис. 5). Це суворо підтверджено. Таку критичну концентрацію називають порогом перколяції.

У разі електропровідного наповнювача до тих пір, поки не виникне ланцюжок провідних ділянок, що зв'язує верх і низ зразка, той буде ізолятором. Якщо розглядати чорні квадрати як молекули, то утворення ланцюжка молекул, що пронизує всю систему, відповідає освіті гелю. Якщо чорні квадрати – це мікротріщини, то утворення ланцюжка таких тріщин призведе до руйнування, розколювання зразка. Отже, теорія перколяції дозволяє описати процеси різної природи, коли за плавному зміні однієї з параметрів системи (концентрації чогось) властивості системи змінюються стрибком. Навіть такий простий моделі виявляється достатньо, щоб описати, наприклад, фазовий перехід парамагнетик феромагнетик, процес поширення епідемії або лісової пожежі.

Мал. 4. Різні варіанти заповнення грат.

Мал. 5. Можливість виникнення перколяції Р залежно від частки заповнених вузлів р . Гладка крива відповідає решітці кінцевого розміру. ступінчаста - нескінченно великою решіткою.

Завдання теорії протікання полягають в описі кореляцій між відповідними фізичними та геометричними характеристиками аналізованих середовищ. Найпростішими, і, найбільш вивченими є структури, що базуються на регулярних решітках. Для них розглядають зазвичай завдання вузлів і задачу зв'язків, які виникають коли описуються фізичні властивості (будемо для визначеності говорити про електропровідність) решіток, з яких видалена певна частка (1 p) випадково обраних вузлів (разом з вихідними з них зв'язками) або частка обраних випадковим чином зв'язків. У задачі зв'язків шукають у відповідь питання: яку частку зв'язків потрібно видалити (перерізати), щоб сітка розпалася на частини? У задачі вузлів блокують вузли (видаляють вузол, перерізають усі вхідні вузол зв'язку) і шукають, при якій частці блокованих вузлів сітка розпадеться. Квадратна сітка є лише однією з можливих моделей. Можна розглядати перколяцію на трикутній, шестикутній сітках, деревах, тривимірних ґратах, наприклад, кубічній, у просторі з розмірністю більше 3. Сітка не обов'язково має бути регулярною. Розглядаються процеси і на випадкових ґратах.

Завдання вузлів (ліворуч) та завдання зв'язків (праворуч) на квадратній решітці.

Ланцюжок пов'язаних об'єктів, наприклад чорних квадратів, називається теоретично перколяції кластер (cluster - англ. - гроно). Кластер, що з'єднує дві протилежні сторони системи, називається перколяційним (percolating), нескінченним (infinite), стягуючим (spanning) або сполучним (connecting).

Перколяційний перехід є фазовим геометричним переходом. Поріг перколяції або критична концентрація поділяє дві фази: в одній фазі існують кінцеві кластери, в іншій існує один нескінченний кластер.

Для опису електричних властивостей КМ найбільше адекватна перколяційна задача, сформульована для безперервного середовища. Відповідно до цього завдання кожній точці простору з ймовірністю р = v f відповідає провідність σ = σ f і з ймовірністю 1 p провідність σ = σ m . Тут індекс f означає наповнювач (filler), а індекс m матрицю (matrix). Поріг протікання (v f * ) у разі дорівнює мінімальній частці простору, зайнятої провідними областями, коли він система ще проводить. При зміні v f в межах від 0 до 1 електропровідність композиту зростає від m до f , що зазвичай становить 20 порядків, Збільшення σ відбувається немонотонно: найбільш різке її зміна спостерігається, як правило, у вузькій області концентрацій наповнювача (див.рис.6 ), що дозволяє говорити про перехід діелектрик металу або, як його ще називають, перколяційному переході, при v f , що дорівнює порогу протікання. Цей перехід є фазовий перехід другого роду.

Рис.6. Залежність електропровідності КМ поліпропілен+алюміній отриманих різним способом від об'ємного вмісту алюмінію: 1 змішування компонентів у вигляді порошків з подальшим пресуванням, 2 наповнення полімеризації, 3 змішування на вальцях.

Розглянемо розподіл провідностей у системі за різних змістах наповнювача v f . При малих v f всі провідні частинки поєднуються в кластери кінцевого розміру, ізольованих один від одного. Принаймні збільшення v f середній розмір кластерів зростає і за v f =v f * значна частина ізольованих кластерів зливаються т.зв. нескінченний кластер, що пронизує всю систему: виникає канал провідності. Подальше збільшення v f призводить до різкого зростання обсягу нескінченного кластера. Він росте, поглинаючи кінцеві кластери, причому найперше найбільші з них. В результаті, середній розмір кінцевих кластерів зменшується.

Вивчаючи топологію нескінченного кластера, дослідники прийшли до висновку, що основна його частина зосереджена в ланцюжках, що закінчуються глухими кутами. Ці ланцюжки дають вклад у щільність нескінченного кластера і в діелектричну проникність, але не дають вклад у провідність. Такі ланцюжки назвали «мертвими кінцями». Нескінченний кластер без мертвих кінців був названий скелетом нескінченного кластера. Першою моделлю скелета нескінченного кластера була модель Шкловського Де Дружина. Вона являє собою нерегулярну решітку із середньою відстанню між вузлами, що залежить від близькості концентрації наповнювача до порогу протікання.

Поблизу порога протікання провідність з двокомпонентної суміші з біномінальним розподілом частинок дорівнює:

	= f (v f	−v * f	) β ,	при v f	> v * f
	= f (v f	−v * f	) β ,	при v f	< v * f
	σc ≈ σ f	X δ ,	при v f ≈ v
Тривимірна модель протікання (безперервне середовище)

Якісно характер зміни провідності зображено наступному малюнку.

У разі анізотропних наповнювачів провідна фаза може складатися з випадково орієнтованих анізометричних частинок (волокна, циліндри), провідність такого матеріалу завжди ізотропна; або провідна фаза може складатися з випадково орієнтованих частинок з анізотропною власною провідністю. Поріг протікання для таких наповнювачів зазвичай набагато нижчий, ніж для частинок сферичної або сфероїдної форми, що легко видно з малюнка: у першому випадку для перекриття відстані між протилежними гранями зразка досить меншої кількості частинок. Тут же наведено залежність порога протікання від коефіцієнта форми частинок наповнювача - відношення довжини l до діаметру d, l/d.

Іншою моделлю розрахунку властивостей композиційних матеріалів є теорія ефективного середовища, в якому використовується принцип самоузгодженого поля. Він у тому, що з розрахунку поля всередині мікроскопічного елемента

перколяція інакшепротікання(англ.) - у матеріалознавстві – стрибкоподібне виникнення нових властивостей у матеріалі (електричної провідності – для ізолятора, газопроникності – для газонепроникного матеріалу тощо) при його наповненні «заповнювачем», що має дану характеристику. У ряді випадків, заповнювачем можуть виступити пори та порожнечі.

Опис

Перколяція виникає при певній критичній концентрації наповнювача або пір (порозі перколяції) в результаті утворення від однієї сторони зразка матеріалу до протилежної безперервної сітки (каналу) частинок (кластерів) наповнювача.

Процес перколяції може бути наочно розглянутий на прикладі протікання електричного струмуу двовимірній квадратній решітці, що складається з електропровідних та непровідних ділянок. До двох протилежним сторонамґрати припаяні металеві контакти, які приєднані до джерела живлення. При деякому критичному значенні частки провідних елементів, розташованих випадково, ланцюг замикається (рис.).

У 2010 р. «за доказ конформної інваріантності перколяції та моделі Ізинга в статистичної фізикиСтаніслав Смирнов, уродженець Санкт-Петербурга, став лауреатом математичної премії Філдса - еквівалента Нобелівської премії.

Ілюстрації

Вступ

1. Теорія перколяції

2.1 Процеси гелеутворення

Висновок

Теорії перколяції вже понад п'ятдесят років. Щороку на заході публікуються сотні статей, присвячених як теоретичним питанням перколяції, так і її програмам.

Теорія перколяції має справу з утворенням пов'язаних об'єктів у невпорядкованих середовищах. З погляду математика, теорію перколяції слід зарахувати до теорії ймовірності у графах. З погляду фізика – перколяція – це геометричний фазовий перехід. З погляду програміста - найширше поле розробки нових алгоритмів. З погляду практика - простий, але потужний інструмент, що дозволяє в єдиному підході вирішувати найрізноманітніші життєві завдання.

Ця робота буде присвячена основним положенням теорії перколяції. Я розгляну теоретичні основиперколяції, наведу приклади, що пояснюють явище перколяції. Також буде розглянуто основні додатки теорії перколяції.

Теорія перколяції (протікання) - теорія, що описує виникнення нескінченних зв'язкових структур (кластерів), що складаються з окремих елементів. Представляючи середовище у вигляді дискретних ґрат, сформулюємо два найпростіші типи завдань. Можна вибірково випадковим чином фарбувати (відкривати) вузли решітки, вважаючи частку фарбованих вузлів основним незалежним параметром і вважаючи два фарбовані вузли, що належать одному кластеру, якщо їх можна з'єднати безперервним ланцюжком сусідніх фарбованих вузлів.

Такі питання, як середня кількість вузлів у кластері, розподіл кластерів за розмірами, поява нескінченного кластера і частка фарбованих вузлів, що входять до нього, складають зміст завдання вузлів. Можна також вибірково фарбувати (відкривати) зв'язки між сусідніми вузлами і вважати, що одному кластеру належать вузли, з'єднані ланцюжками відкритих зв'язків. Тоді ті самі питання про середню кількість вузлів у кластері і т.д. складають зміст завдання зв'язків. Коли всі вузли (чи всі зв'язки) закриті, грати є моделлю ізолятора. Коли вони всі відкриті і через зв'язки через відкриті вузли може йти струм, то грати моделює метал. При якомусь критичному значенні станеться перколяційний перехід, який є геометричним аналогом переходу метал-ізолятор.

Теорія перколяції важлива саме на околиці переходу. Далеко від переходу досить апроксимації ефективного середовища перколяційний перехід аналогічний фазовому переходу другого роду.

Явище перколяції (або перебігу середовища) визначається:

Середовищем, у якому спостерігається це явище;

Зовнішнім джерелом, яке забезпечує перебіг у цьому середовищі;

Спосіб протікання середовища, який залежить від зовнішнього джерела.

Як найпростіший приклад можна розглянути модель протікання (наприклад електричного пробою) у двовимірній квадратній решітці, що складається з вузлів, які можуть бути провідними або непровідними. У початковий час всі вузли сітки є непроводящими. Згодом джерело замінює непровідні вузли на провідні, і кількість вузлів, що проводять, поступово зростає. При цьому вузли заміщуються випадковим чином, тобто вибір будь-якого з вузлів для заміщення є рівноймовірним для всієї решітки.

Перколяцією називають момент появи такого стану ґрат, при якому існує хоча б один безперервний шлях через сусідні провідні вузли від одного до протилежного краю. Очевидно, що зі зростанням числа провідних вузлів, цей момент настане раніше, ніж вся поверхня решітки складатиметься виключно з провідних вузлів.

Позначимо непровідний та провідний стан вузлів нулями та одиницями відповідно. У двовимірному випадку середовищі відповідатиме бінарна матриця. Послідовність заміни нулів матриці на одиниці відповідатиме джерелу протікання.

У початковий час матриця складається повністю з непровідних елементів:

перколяція гелеутворення газочутливий кластер

У міру збільшення числа провідних вузлів настає такий критичний момент, коли відбувається перколяція, як показано нижче:

Видно, що від лівої до правої межі останньої матриці є ланцюжок елементів, що забезпечує протікання струму по провідних вузлах (одиницях), безперервно наступним один за одним.

Перколяція може спостерігатися як у ґратах, так і в інших геометричних конструкціях, у тому числі безперервних, що складаються з великої кількостіподібних елементів або безперервних областей відповідно, які можуть бути в одному з двох станів. Відповідні математичні моделіназиваються ґратовими або континуальними.

Як приклад перколяції в безперервному середовищі може виступати проходження рідини через об'ємний пористий зразок (наприклад, води через губку з піноутворювального матеріалу), в якому відбувається поступове надування бульбашок до тих пір, поки їх розмірів не стане достатньо для просочування рідини від одного краю зразка до іншого.

Індуктивно, поняття перколяції переноситься на будь-які конструкції або матеріали, які називаються перколяційним середовищем, для якого має бути визначено зовнішнє джерело протікання, спосіб протікання та елементи (фрагменти) якого можуть перебувати в різних станах, одне з яких (первинне) не задовольняє даним способомпроходження, а інше задовольняє. Спосіб протікання також передбачає певну послідовність виникнення елементів або зміну фрагментів середовища в необхідний для протікання стан, що забезпечується джерелом. Джерело ж поступово переводить елементи або фрагменти зразка з одного стану до іншого, поки не настане момент перколяції.

Поріг протікання

Сукупність елементів, якими відбувається протікання, називається перколяційним кластером. Будучи за своєю зв'язковим випадковим графом, залежно від конкретної реалізації він може мати різну форму. Тому заведено характеризувати його загальний розмір. Порогом протікання називається кількість елементів перколяційного кластера, віднесена до загальної кількості елементів середовища.

Зважаючи на випадковий характер перемикань станів елементів середовища, в кінцевій системі чітко визначеного порога (розміру критичного кластера) не існує, а є так звана критична область значень, в яку потрапляють значення порога перколяції, отримані в результаті різних випадкових реалізацій. Зі збільшенням розмірів системи область звужується до точки.

2. Область застосування теорії перколяції

Застосування теорії перколяції великі та різноманітні. Важко назвати область, де б не застосовувалася теорія перколяції. Утворення гелів, стрибкова провідність у напівпровідниках, поширення епідемій, ядерні реакції, утворення галактичних структур, властивості пористих матеріалів – ось далеко не повний перелік різноманітних додатків теорії перколяції. Не можна дати скільки-небудь повний огляд робіт з додатків теорії перколяції, тому зупинимося деяких із них.

2.1 Процеси гелеутворення

Хоча саме процеси гелеутворення були першими завданнями, де було застосовано перколяційний підхід, ця область ще далеко не вичерпана. Процес гелеутворення полягає у злитті молекул. Коли в системі виникають агрегати, що простягаються крізь усю систему, кажуть, що відбувся перехід золь-гель. Зазвичай вважають, що система описується трьома параметрами – концентрацією молекул, ймовірністю утворення зв'язків між молекулами та температурою. Останній параметр впливає на можливість утворення зв'язків. Отже, процес гелеутворення можна як змішане завдання теорії перколяції. Дуже примітно, що цей підхід використовують і для опису магнітних систем. Є цікавий напрямок на розвиток цього підходу. Завдання гелеутворення білка альбуміну має важливе значеннядля медичної діагностики

Є цікавий напрямок на розвиток цього підходу. Завдання гелеутворення білка альбуміну має значення для медичної діагностики. Відомо, що молекули білка мають витягнуту форму. При переході розчину білка у фазу гелю істотно впливає як температура, а й наявність домішок у розчині чи поверхні самого білка. Таким чином, у змішаному завданні теорії перколяції необхідно додатково врахувати анізотропію молекул. У певному сенсі це зближує розглянуте завдання із завданням "голок" та завданням Накамури. Визначення порога перколяції у змішаній задачі для анізотропних об'єктів – нове завдання теорії перколяції. Хоча для цілей медичної діагностики достатньо вирішити завдання для об'єктів одного типу, цікавить дослідити завдання для випадків об'єктів різної анізотропії і навіть різної форми.

2.2 Застосування теорії перколяції для опису магнітних фазових переходів

Однією з особливостей сполук на основі є перехід з антиферомагнітного в парамагнітний стан вже при незначному відхиленні від стехіометрії. Зникнення далекого порядку відбувається при надмірній концентрації дірок у площині, водночас ближній антиферомагнітний порядок зберігається у широкій області концентрацій x до надпровідної фази.

З іншого боку, кількісні результати різко розходяться зі значеннями порогу протікання для квадратних ґрат, в рамках яких вдається описати фазовий перехід в ізоструктурних матеріалах. Постає завдання видозмінити теорію протікання в такий спосіб, щоб у межах описати фазовий перехід у шарі .

2.3 Застосування теорії перколяції для дослідження газочутливих датчиків з перколяційною структурою

В останні роки широке застосування в нанотехнології знаходять золь-гель процеси, які не є термодинамічно рівноважними. На всіх етапах золь-гель процесів протікають різноманітні реакції, що впливають на кінцевий склад та структуру ксерогеля. На етапі синтезу та дозрівання золю виникають фрактальні агрегати, еволюція яких залежить від складу прекурсорів, їх концентрації, порядку змішування, значення pH середовища, температури та часу реакції, складу атмосфери тощо. Продуктами золь-гель технології в мікроелектроніці, як правило, є шари, яких пред'являються вимоги гладкості, суцільності і однорідності по складу. Для газочутливих сенсорів нового покоління більший інтерес становлять технологічні прийоми отримання пористих шарів нанокомпозитних з керованими і відтворюваними розмірами пор. При цьому нанокомпозити повинні містити фазу для покращення адгезії та одну або більше фаз напівпровідникових металооксидів n-типу електропровідності для забезпечення газочутливості. Принцип дії напівпровідникових газових сенсорів на основі перколяційних структур металооксидних шарів (наприклад, діоксиду олова) полягає у зміні електрофізичних властивостей при адсорбції заряджених форм кисню та десорбції продуктів реакцій з молекулами відновлювальних газів. З уявлень фізики напівпровідників випливає, що якщо поперечні розміри провідних гілок перколяційних нанокомпозитів будуть порівняти зі значенням характеристичної довжини дебаївського екранування, газочутливість електронних датчиків зросте на кілька порядків. Однак накопичений авторами експериментальний матеріал свідчить про складнішу природу виникнення ефекту різкого підвищення газочутливості. Різке зростання газочутливості може відбуватися на сітчастих структурах з геометричними розмірами гілок, що у кілька разів перевершують значення довжини екранування, і залежати від умов фракталоутворення.

У структурах з ієрархією пір протікають складні процеси адсорбції-десорбції, перезарядки поверхневих станів, релаксаційні явища на межах зерен і пір, каталіз на поверхні шарів та в області контактів та ін. ) застосовні лише розуміння переважаючої усередненої ролі тієї чи іншої явища. Для поглиблення вивчення фізичних особливостей механізмів газочутливості знадобилося створення спеціальної лабораторної установки, що забезпечує можливість реєстрації тимчасових залежностей зміни аналітичного сигналу за різних температур у присутності та відсутності відновлювальних газів заданої концентрації. Створення експериментальної установки дозволяло автоматично знімати та обробляти 120 вимірів за хвилину в робочому діапазоні температур 20 - 400 ºС.

Висновок

Теорія перколяції привертає до себе увагу різних фахівців із низки причин:

Легкі та елегантні формулювання завдань теорії перколяції поєднуються з труднощами їх вирішення;

Вирішення завдань перколяції вимагає поєднання нових ідей з геометрії, аналізу та дискретної математики;

Фізична інтуїція буває дуже плідною під час вирішення завдань перколяції;

Техніка, розвинена для теорії перколяції, має численні додатки в інших завдання про випадкові процеси;

Теорія перколяції дає ключі до розуміння інших фізичних процесів.

Список літератури

Тарасевіч Ю.Ю. Перколяція: теорія, додатки, алгоритми. - М: УРСС, 2002.
Шабалін В.М., Шатохіна С.М. Морфологія біологічних рідин людини. - М: Хризостом, 2001. - 340 с.: іл.
Плакіда Н. М. Високотемпературні надпровідники. - М: Міжнародна програма освіти, 1996.
Фізичні властивості високотемпературних надпровідників/Під. ред. Д. М. Гінзберга. - М.: Світ, 1990.
Просандєєв С.А., Тарасевич Ю.Ю. Вплив кореляційних ефектів на зонну структуру, низькоенергетичні електронні збудження та функції відгуків у шаруватих оксидах міді. / / УФЖ 36 (3), 434-440 (1991).
Єльсін В.Ф., Кашурніков В.А., Опєнов Л.А. Подливаєв А.І. Енергія зв'язку електронів або дірок у кластерах Cu - O: точна діагоналізація гамільтоніану Емері. // ЖЕТФ 99 (1), 237-248 (1991).
Мошников В.А. Сітчасті газочутливі нанокомпоненти на основі діоксидів олова та кремнію. – Рязань, "Вісник РДГТУ", – 2007.

Теорія перколяції (протікання) є найбільш загальним підходом до опису процесів перенесення у неупорядкованих системах. З її допомогою розглядають ймовірності утворення кластерів з частинок, що стосуються один одного, і передбачають як величини порогів протікання, так і властивості.композитів (Електричні, механічні, теплові та ін.).

Перебіг електричного струму в композиційних матеріалах найбільш адекватна перколяційна задача, сформульована для безперервного середовища. Згідно з цим завданням, кожній точці простору з ймовірністю p=xвідповідає провідністьg = g Н і з ймовірністю (1- p) – провідністьg = g Д , де g Н - електропровідність наповнювача,g Д - Електропровідність діелектрика. Поріг протікання в цьому випадку дорівнює мінімальній частині простору x C, зайнятий провідними областями, при якій система ще є провідною. Таким чином, при критичному значенні ймовірності p=xЗ у системі спостерігається перехід метал-діелектрик. При малих pвсі провідні елементи містяться в кластерах кінцевого розміру ізольованих один від одного. У міру збільшення pсередній розмір кластерів зростає і при p=xЗ у системі вперше виникаєнескінченний кластер . І, нарешті, за високих pізольованими одна від одної будуть непровідні області.

Основним результатом теорії перколяції є статечний характер концентраційної поведінки питомої провідності в критичній галузі:

де x- об'ємна концентрація провідної фази з провідністюg Н ; x З- Критична концентрація (поріг протікання);g Д - Проводимість діелектричної фази. Залежність (1)-(3) наведено на рис.1.

Мал. 1. Залежність провідності композиційного матеріалу від концентрації наповнювача

Зв'язок між показниками ступеня (критичними індексами):

Q=t(1/S-1)

Ймовірно, єдиним точним результатом, отриманим у теорії гетерогенних систем, є результат для двовимірної двофазної системи метал-діелектрик з такою структурою, що при x Д = x Н = 0,5 заміна металу на діелектрик статистично не змінює структуру. Це дозволяє визначити критичний індекс для двовимірних систем: S 2 =0,5. Тоді з (1.17) q 2 = t 2 = 1,3. Для тривимірних систем: S3 = 0,62, q3 = 1, t3 = 1,6.

Одним із найважливіших параметрів теорії протікання є поріг протікання x З.Цей параметр чутливіший до зміни структури, ніж критичні індекси. Для двовимірних систем він варіюється в межах 0,30-0,50 із середнім теоретичним x З=0,45, а тривимірних – не більше 0,05-0,60 з x З=0,15. Ці варіації пов'язані з різноманітністю типів структур композиційних матеріалів, оскільки в реальних системах критична концентрація сильною мірою визначається технологічним режимом отримання суміші: характером дисперсності порошку, способом напилення, режимами пресування, термообробки і т.д. Тому найбільш доцільно визначати поріг протікання експериментально за концентраційними залежностямиg (x), а не вважати теоретичним параметром.

Поріг протікання визначається характером розподілу наповнювача у матриці, від форми частинок наповнювача, типу матриці.

Для структурованихкомпозиційних матеріалів характер електропровідності та вид залежностіg (x) якісно не відрізняються від аналогічних залежностей для статистичних систем, проте поріг протікання зміщується у бік менших концентрацій. Структурування може бути зумовлене взаємодією матриці та наповнювача, або здійснюватися примусовим чином, наприклад, під дією електричного чи магнітного полів.

Також поріг протікання залежить від форми частинок наповнювача. Для витягнутих частинок і частинок лускатої форми поріг протікання нижче, ніж частинок сферичної форми. Це пов'язують з тим, що значна протяжність електропровідних ділянок, обумовлена геометрією частинок, підвищує ймовірність створення надійного контакту та сприяє утворенню нескінченного кластера при порівняно невеликих ступенях наповнення композиту.

Для волокон, що мають однакове відношення довжини до діаметру, але введених у різні полімери, отримані різні значення x З.

Незважаючи на значний прогрес, теорія перколяції не отримала широкого застосування для трикомпонентних і складніших.композиційних матеріалів .

Також можливо поєднувати теорію перколяції та інші методи розрахунку