Похідна за змінною x від котангенсу x дорівнює мінус одиниці, поділеній на синус у квадраті від x:
(ctg x)′ =.

Висновок формули похідної котангенсу

Щоб вивести формулу похідної котангенсу, ми скористаємося наступними математичними фактами:
1) Виразом котангенсу через косинус і синус:
(1) ;
2) Значенням похідної косинуса:
(2) ;
3) Значенням похідної синуса:
(3) ;
4) Формулою похідної частки:
(4) ;
5) Тригонометричною формулою:
(5) .

Застосовуємо ці формули та правила до похідної котангенсу.

.

Тим самим ми одержали формулу похідної котангенсу.

Формула похідного дробу (4) справедлива для тих значень змінної x , для яких існують похідні функцій і для яких знаменник дробу не звертається в нуль:
.
У нашому випадку
, . Оскільки похідні косинуса і синуса визначені всім значень змінної x , то формула похідної котангенсу справедлива всім x , крім точок, у яких синус дорівнює нулю. Тобто крім точок
,
де – ціле число.
Сама функція y = ctg xвизначена для всіх x, крім точок
.
Тому похідна котангенсу визначена на всій області визначення функції котангенсу.

Похідні вищих порядків

Простий формули для похідної n-го порядку від котангенсу y = ctg xні. Але обчислення похідних вищих порядків можна спростити. Можна звести сам процес до диференціювання багаточлена.

Для цього висловимо похідну від котангенсу через сам котангенс:
.
Отже, ми знайшли:
(6) .

Знайдемо похідні лівої та правої частини рівняння (6) та застосуємо правило диференціювання складної функції. Отримуємо похідну другого порядку:
.
Підставимо (6):
(7) .

Знайдемо похідну третього порядку. Для цього диференціюємо рівняння (7), застосовуємо правило диференціювання складної функціїі використовуємо вираз (6) для першої похідної:
.

Подібним способом знаходимо похідні четвертого та п'ятого порядків:

;

.

У загальному вигляді, похідну n-го порядку, по змінній x від функції котангенс, можна представити у вигляді многочлена за ступенями котангенсу:
.
Коефіцієнти цього многочлена пов'язані рекурентним співвідношенням:
,
де
; ;
.

Загальна формула

Уявимо процес диференціювання однією формулою. Для цього зауважимо, що
.
Тоді n-я похідна котангенса має такий вигляд:
,
де.

Найчастіші запитання

Чи можливо виготовити друк на документі за наданим зразком? Відповідь Так можливо. Надішліть на нашу електронну адресу скан-копію або фото хорошої якості, і ми виготовимо необхідний дублікат.

Які види оплати ви приймаєте? Відповідь Ви можете сплатити документ під час отримання на руки у кур'єра, після того, як перевірите правильність заповнення та якість виконання диплома. Також це можна зробити в офісі поштових компаній, що пропонують послуги післяплати.
Всі умови доставки та оплати документів розписані у розділі «Оплата та доставка». Також готові вислухати Ваші пропозиції щодо умов доставки та оплати за документ.

Чи можу я бути впевнена, що після оформлення замовлення ви не зникнете з моїми грошима? Відповідь У сфері виготовлення дипломів у нас є досить тривалий досвід роботи. У нас є кілька сайтів, які постійно оновлюються. Наші фахівці працюють у різних куточках країни, виготовляючи понад 10 документів на день. За роки роботи наші документи допомогли багатьом людям вирішити проблеми працевлаштування або перейти на більш високооплачувану роботу. Ми заробили довіру і визнання серед клієнтів, тому у нас немає причин чинити подібним чином. Тим більше, що це просто неможливо зробити фізично: Ви оплачуєте своє замовлення у момент отримання його на руки, передоплати немає.

Чи можу я замовити диплом будь-якого ВНЗ? Відповідь Загалом, так. Ми працюємо у цій сфері майже 12 років. За цей час сформувалася практично повна база документів, що видаються майже всіх ВНЗ країни і за різні рокивидачі. Все, що Вам потрібно – вибрати ВУЗ, спеціальність, документ та заповнити форму замовлення.

Що робити при виявленні в документі помилок та помилок? Відповідь Отримуючи документ у нашого кур'єра чи поштової компанії, ми рекомендуємо ретельно перевірити всі деталі. Якщо буде виявлено помилку, помилку або неточність, Ви маєте право не забирати диплом, при цьому потрібно вказати виявлені недоліки особисто кур'єру або письмово, відправивши листа на електронну пошту.
У найкоротший термінми виправимо документ та повторно відправимо на вказану адресу. Зрозуміло, пересилання буде сплачено нашою компанією.
Щоб уникнути подібних непорозумінь перед тим, як заповнювати оригінальний бланк, ми надсилаємо на пошту замовнику макет майбутнього документа, для перевірки та затвердження остаточного варіанту. Перед надсиланням документа кур'єром або поштою ми також робимо додаткове фото та відео (в т. ч. в ультрафіолетовому світінні), щоб Ви мали наочне уявлення про те, що отримаєте у результаті.

Що потрібно зробити, щоб замовити диплом у вашій компанії? Відповідь Для замовлення документа (атестата, диплома, академічної довідки та ін.) необхідно заповнити онлайн-форму замовлення на нашому сайті або повідомити свою електронну пошту, щоб ми надіслали вам бланк анкети, який потрібно заповнити та надіслати назад нам.
Якщо ви не знаєте, що вказати в якомусь полі форми замовлення/анкети, залиште їх незаповненими. Всю інформацію, що бракує, ми тому уточнимо в телефонному режимі.

Останні відгуки

Torywild:

Придбати диплом у вашій компанії я вирішила, коли переїхала до іншого міста, а серед своїх речей не змогла знайти свій диплом. Без нього мене не взяли б на хорошу високооплачувану роботу. Ваш консультант мене запевнила, що ця інформація не розголошується і документ ніхто не відрізнить від оригіналу. Сумніву не залишали, але довелося ризикнути. Сподобалося, що не потрібна передплата. Загалом отримала диплом вчасно і мене не обдурили. Дякую!

Оксана Іванівна:

Коли в мене вкрали диплом, я страшенно засмутилася. Адже мене якраз у цей час звільнили, а знайти зараз гарну роботубез диплома про вищій освітіпрактично неможливо. Благо, сусідка наказала звернутися до вашої організації. Спочатку я поставилася з недовірою, але вирішила ризикнути. Зателефонувала менеджеру компанії, пояснила свою ситуацію. І мені пощастило! Усі зробили оперативно, а головне пообіцяли не розголошувати мою таємницю. Мене хвилювало, щоб згодом не сплив факт купівлі мною диплома.

Маша Кутенкова:

Дякую за роботу! Замовляла диплом 1991 року. Коли почали піднімати документи, виявилося, що досвіду мало, потрібний і папір, який підтверджує освіту. У мене її не було, причому начальниця це знала і сама порекомендувала вашу компанію (мабуть, співробітник я нічого так). На документі вона мені вказала на деталі – мовляв, у яких роках використовують туш чи чорнило, товщина підпису тощо. Дякую за скрупульозність та якість!

LenOK:

Начитавшись історій про ганебні звільнення співробітників, які мають дипломи надруковані на кольоровому принтері, я пішла подавати документи в універ. На жаль, бюджету немає, грошей вчитися та оплачувати сесії також немає, довелося ризикувати. Хоча я дуже рада, що познайомилась із вашою компанією. Хоч мене й не взяли на роботу з вашим дипломом, через невдачу практичного блоку, це не ваша вина. Як знайду нове місце – одразу до вас, без зволікань!

Jerry Terry:

Спостерігаючи, з яким конфузом вилетів мій колега з роботи за підроблений диплом, було страшно наслідувати його приклад. Якби не кума, яка замовляла у вас, не ризикнула б. Вона запевнила, що тут все гладко, і моє прізвище буде скрізь, де треба. На все про все я мав 4 дні. Дякую вам за швидкість - впоралися за 3, ще й встигли ретельно вивчити способи підробки документів, але ваш бланк не підходить під підробку, отже, зійде за оригінал.

Андрій:

Ніколи не міг би подумати, що доведеться купувати диплом. Донька після школи поїхала до Польщі на заробітки, коли повернулася за 5 років, захотіла влаштуватися дизайнером одягу до місцевого будинку моди. Без диплома ніхто брати її на роботу не хотів. Розумів, що якщо не влаштується на цю роботу, знову поїде. Пройнявся вечір в інтернеті, і на ранок з документами доньки був уже в офісі. Через тиждень разом із нею забрав диплом, і вона нарешті залишилася працювати у своєму місті на бажаній посаді. Не уявляєте, як я вам вдячний!

З курсу геометрії та математики школярі звикли, що поняття похідної доноситься до них через площу фігури, диференціали, межі функцій, а також ліміти. Спробуємо подивитися на поняття похідної під іншим кутом і визначити, як можна ув'язати похідну та тригонометричні функції.

Отже, розглянемо довільну криву, яка описується абстрактною функцією y = f(x).

Уявімо, що графік — це карта туристичного маршруту. Приріст ∆x (дельта ікс) на малюнку – це певний проміжок шляху, а ∆y – це зміна висоти стежки над рівнем моря.
Тоді виходить, що відношення ∆x/∆y характеризуватиме складно маршруту на кожному відрізку шляху. Дізнавшись це значення можна з упевненістю сказати, чи крутий підйом/спуск, чи знадобиться альпіністське спорядження і чи потрібна туристам певна фізична підготовка. Але цей показник буде справедливий тільки для одного маленького проміжку ∆x.

Якщо організатор походу візьме значення для початкової та кінцевої точок стежки, тобто ∆x – дорівнюватиме довжині маршруту, то не зможе отримати об'єктивні дані про ступінь складності подорожі. Отже, необхідно побудувати ще один графік, який характеризуватиме швидкість і «якість» змін шляху, тобто визначати відношення ∆x/∆y для кожного «метра» маршруту.

Цей графік і буде наочною похідною для конкретної стежки і об'єктивно опише її зміни на кожному інтервалі, що цікавить. Переконатися в цьому дуже просто, значення ∆x/∆y – не що інше, як диференціал, взятий для конкретного значення x та y. Застосуємо диференціювання не певним координатам, а до функції в цілому:

Похідна та тригонометричні функції

Тригонометричні функції нерозривно пов'язані з похідною. Зрозуміти це можна з наступного креслення. На малюнку координатної осі зображено функцію Y = f(x) – синю криву.

K (x0; f (x0)) – довільна точка, x0 + ∆x – збільшення осі OX, а f (x0 + ∆x) – збільшення осі OY у певній точці L.

Проведемо пряму через точки K та L і побудуємо прямокутний трикутник KLN. Якщо подумки переміщати відрізок LN за графіком Y = f (x), то точки L і N прагнутимуть значення K (x0; f (x0)). Назвемо цю точку умовним початком графіка - лімітом, якщо функція нескінченна, хоча б на одному з проміжків - це прагнення також буде нескінченним, а його граничне значення близьким до 0.

Характер цього прагнення можна описати дотичною до обраної точки y = kx + b або графіком похідної первісної функції dy – зелена пряма.

Але де тут тригонометрія?! Все просто розглянемо прямокутний трикутник KLN. Значення диференціала для конкретної точки K є тангенсом кута α або ∠K:

Таким чином можна описати геометричний смимсл похідної та її взаємозв'язок з тригонометричними функціями.

Формули похідних для тригонометричних функцій

Перетворення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу при визначенні похідної необхідно завчити напам'ять.

Останні дві формули не є помилкою, річ у тому, що існує різниця між визначенням похідної простого аргументу та функції у тій самій якості.

Розглянемо порівняльну таблицюз формулами похідних від синісу, косинуса, тангенсу та котангенсу:

Також виведені формули для похідних арксинусу, арккосинусу, арктангенсу та арккотангенсу, хоча вони застосовуються вкрай рідко:

Варто зазначити, що наведених формул явно недостатньо для успішного вирішення типових завданьЄДІ, що буде продемонстровано під час вирішення конкретного прикладупошуку похідної тригонометричного виразу.

Завдання: Необхідно знайти похідну функції та знайти її значення для π/4:

Рішення: Щоб знайти y’ необхідно згадати основні формули перетворення вихідної функції у похідну, а саме.