Mówi się, że funkcja ma wewnątrz
Region RE. lokalny maksimum.(minimum) Jeśli jest taki czytelnik sąsiedztwa
Dla każdego punktu.
który prowadzi nierówność

Jeśli funkcja ma w momencie
minimum lokalne lub lokalne, a potem mówią, że w tym momencie lokalny ekstremum.(lub Po prostu ekstremum).

Twierdzenie (niezbędny warunek istnienia ekstremum). Jeśli zróżnicowane funkcje ekstremum w punkcie
, a następnie każda prywatna pochodna pierwszego zamówienia z funkcji w tym momencie dodaje zero.

Punkty, w których nazywane są wszystkie prywatne pochodne pochodne pierwszego odwołania do zera stacjonarne cechy funkcji
. Współrzędne tych punktów można znaleźć, podejmując decyzję równania

.

Niezbędny warunek istnienia ekstremum w przypadku funkcji różnorodnej można krótko sformułować w następujący sposób:

Są przypadki, gdy w regularnych punktach niektóre prywatne pochodne mają niekończące się wartości lub nie istnieją (podczas gdy reszta wynosi zero). Takie punkty są nazywane krytyczne punkty funkcji.Punkty te muszą również być uważane za "podejrzane" ekstremum, a także stacjonarne.

W przypadku dwóch zmiennych warunek wstępny Extremum, mianowicie równość zero prywatnych pochodnych (różnicowych) w punkcie ekstremum, ma interpretację geometryczną: tangens
w punkcie ekstremum powinno być równoległe do samolotu
.

20. Wystarczające warunki do istnienia ekstremum

Wykonanie w pewnym momencie wymaganego stanu istnienia ekstremum nie gwarantuje tam obecności ekstremum. Jako przykład możesz wziąć różniczkową funkcję różnicującą
. Oba swoje prywatne pochodne i sama funkcja odwoła się do zera w punkcie.
. Jednak w dowolnym sąsiedztwie tego punktu jest zarówno pozytywny (duży
) i negatywne (mniejsze
) Wartości tej funkcji. W związku z tym w tym momencie, z definicji ekstremum nie jest przestrzegany. W związku z tym konieczne jest znanie wystarczających warunków, w których punkt, podejrzany dla ekstremum, jest punktem ekstremum funkcji w ramach badań.

Rozważmy przypadek funkcji dwóch zmiennych. Załóżmy, że funkcja
jest ustalany ciągły i ma ciągłe prywatne pochodne do drugiego rzędu włącznie w pobliżu pewnego punktu.
który jest funkcją stałej punktu
to znaczy spełniać warunki

,
.

Wprowadzamy notację:

Twierdzenie (wystarczające warunki do istnienia ekstremum). Pozwól funkcji
spełnia powyższe warunki, a mianowicie: zróżnicowanie w niektórych sąsiedztwie stacjonarnego punktu
i dwa razy różnicowanie w samym punkcie
. A następnie, jeśli


Gdyby
ta funkcja
w punkcie
sięga

lokalny maksimum.dla
i

lokalny minimum.dla
.

Ogólnie rzecz biorąc, dla funkcji
wystarczający warunek istnienia w punkcie
lokalnyminimum(maksymalny) jest A. pozytywny(negatywny) Definicja drugiego różnicowego.

Innymi słowy, następujące stwierdzenie ma rację.

Twierdzenie . Jeśli w punkcie
dla funkcji

dla każdego, kto nie jest równy w tym samym czasie zero
W tym momencie funkcja ma minimum(podobny do maksymalny, Jeśli
).

Przykład 18.Znajdź punkty Lokalne funkcje Extremum

Decyzja. Znaleźmy prywatne pochodne i równimy ich do zera:

Rozwiązywanie tego systemu, znajdziemy dwa punkty możliwego ekstremum:

Znajdziemy prywatne pochodne drugiego zamówienia dla tej funkcji:

W pierwszym stacjonarnym punkcie, a zatem i
Dlatego ten punkt wymaga dodatkowego badania. Znaczenie funkcji.
w tym momencie jest zero:
Dalej,

dla

ale

dla

W konsekwencji, w dowolnym sąsiedztwie punktu
funkcjonować
zabiera wartości jako duże
i mniejszy
, a potem w punkcie
funkcjonować
Z definicji nie ma lokalnego ekstremum.

W drugim miejscu stacjonarnym



dlatego, więc dlatego
następnie w pkt
funkcja ma maksimum lokalne.

Definicja: Punkt X0 nazywany jest lokalnym maksymalnym punktem (lub minimalnym), jeśli w niektórych sąsiedztwie punktu X0 funkcja bierze największą (lub najmniejszą) wartość, tj. Dla wszystkich X z niektórych sąsiedztwie punktu X0 wykonywane jest stan f (x) f (x0) (lub f (x) f (x0)).

Lokalne maksymalne lub minimalne punkty są łączone wspólny tytuł - Punkty lokalnej funkcji Extremum.

Zauważ, że w punktach lokalnego ekstremum funkcja osiąga największy lub najmniej znaczenie Tylko w niektórych okolicach. Może występować przypadki, gdy wartość Wexuin.

Wymagany znak istnienia funkcji lokalnej ekstremum

Twierdzenie . Jeśli funkcja ciągła Y \u003d F (X) ma lokalny ekstremum w punkcie X0, w tym momencie pierwsza pochodna jest zerowa lub nie istnieje, tj. Lokalny ekstremum odbywa się w krytycznych punktach formularza I.

W lokalnych punktach ekstremum, albo osi stycznej osi 0x lub istnieją dwa styczności (patrz rysunek). Należy pamiętać, że konieczne są punkty krytyczne, ale brak lokalnego ekstremum. Lokalny ekstremum odbywa się tylko w krytycznych punktach typu I, ale lokalny ekstremum odbywa się we wszystkich punktach krytycznych.

Na przykład: sześcienna parabola y \u003d x3 ma punkt krytyczny x0 \u003d 0, w którym pochodna Y / (0) \u003d 0, ale punkt krytyczny X0 \u003d 0 nie jest punktem ekstremum, a istnieje punkt fleksu (patrz poniżej).

Wystarczający znak istnienia funkcji lokalnego ekstremum

Twierdzenie . Jeśli podczas przejścia argumentu przez krytyczny punkt I z rodzaju pozostawiony na prawo od pierwszej pochodnej w / (X)

zmienia znak z "+" do "-", ciągła funkcja (x) w tym punkcie krytycznym ma lokalne maksimum;

zmienia znak z "-" ON "+", a następnie ciągłą funkcję (X) ma lokalne minimum w tym punkcie krytycznym

nie zmienia znaku, w tym punkcie krytycznym nie ma lokalnego ekstremum, istnieje punkt fleksji.

W przypadku maksimum lokalnego obszar przyrostu funkcji (Y / 0) zastępuje się większym obszarem funkcji (Y / 0). W celu lokalnego minimum, obszar zmniejszania funkcji (Y / 0) zastępuje obszar funkcji zwiększenia (Y / 0).

Przykład: zbadaj funkcję y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 na monotonii, ekstremum i zbuduj wykres funkcji.

Znajdziemy krytyczne punkty I z rodzaju, określając pochodną (Y /) i równoważąc ją z zerową: w / \u003d 3x2 + 18x + 15 \u003d 3 (x2 + 6x + 5) \u003d 0

Plac spestowy Trzy zmniejsza się przy pomocy dyskryminacyjnej:

x2 + 6x + 5 \u003d 0 (A \u003d 1, B \u003d 6, C \u003d 5) D \u003d, X1K \u003d -5, X2K \u003d -1.

2) Złamamy oś liczbową z punktami krytycznymi dla 3 obszarów i definiujemy oznaki pochodnej (Y /). Zgodnie z tymi znakami znajdziemy obszary monotonii (zwiększenie i zmniejszenie) funkcji oraz zmieniając znaki w celu określenia punktów lokalnego ekstremum (maksymalnie i minimum).

Wyniki badania zostaną przesłane w postaci tabeli, z której można wyciągnąć następujące wnioski:

  • 1. W przedziale / (- 10) 0, funkcja monotonicznie wzrasta (znak pochodnej Y oszacowano w punkcie kontrolnym X \u003d -10 wykonane w tym przedziale);
  • 2. W przedziale (-5; -1) w / (- 2) 0, funkcja monotonicznie zmniejsza się (znak pochodnej Y oszacowano w punkcie kontrolnym X \u003d -2, wykonane w tym przedziale);
  • 3. W przedziale / (0) 0, funkcja monotokoukcyjnie wzrasta (oznakowanie pochodnej Y oszacowano w punkcie kontrolnym X \u003d 0 wykonane w tym przedziale);
  • 4. Podczas przełączania punktu krytycznego X1K \u003d -5, pochodne zmienia znak z "+" do "-", dlatego ten punkt jest lokalnym maksymalnym punktem
  • (Ymax (-5) \u003d (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 \u003d -125 + 225 - 75 - 9 \u003d 16);
  • 5. Podczas przełączania punktu krytycznego X2K \u003d -1, pochodne zmienia znak z "-" ON "+", dlatego ten punkt jest lokalnym punktem minimalnym
  • (Ymin (-1) \u003d -1 + 9 - 15 - 9 \u003d - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Konstruowanie wykresu do wykonania wyników badania przy przyciąganiu dodatkowych obliczeń funkcji funkcji w punktach kontroli:

budujemy prostokątny układ współrzędnych OHU;

pokazujemy współrzędne maksymalne (-5; 16) i minimum (-1; -16);

aby wyjaśnić wykres, obliczymy wartość funkcji w punktach sterowania, wybierając je po lewej i prawej stronie maksymalnych punktów i minimum i wewnątrz średniego przedziału, na przykład: y (-6) \u003d (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 \u003d 9; y (-3) \u003d (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 \u003d 0;

(0) \u003d -9 (-6; 9); (-3; 0) i (0; -9) - Szacowane punkty kontrolne, które są stosowane do budowy harmonogramu;

pokaż wykres w postaci krzywej, wypukając w maksymalny punkt i wypukły w dół w punkcie minimalnego i przechodzącego przez obliczone punkty kontrolne.

\u003e\u003e Ekstremalne

Ekstremalna funkcja

Określenie ekstremum.

Funkcjonować y \u003d f (x) o nazwie wzrastający (malejący) W pewnym przedziale, jeśli w x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > F (x 2)).

Jeśli funkcja różnicowa Y \u003d F (X) w segmencie wzrasta (zmniejsza), następnie jego pochodna w tym segmencie F " (x)> 0

(f "(x)< 0).

Punkt x. o nazywa punkt maksimum lokalnego (minimum) Funkcje F (x) Jeśli jest sąsiedztwo x O. Dla wszystkich punktów, z których jest wierna nierówność f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Nazywa się maksymalne i minimalne punkty punkty ekstremum.i wartości funkcji w tych punktach - to skrajności.

Punkty ekstremum.

Wymagane warunki ekstremum . Jeśli punkt x. o jest punktem ekstremum f (x), a następnie f " (x o) \u003d 0 lub f(x o) nie istnieje. Takie punkty są nazywane krytyczny Ponadto sama funkcja jest określona w punkcie krytycznym. Należy zwrócić uwagę na ekstremalną funkcję wśród swoich krytycznych punktów.

Pierwszy wystarczający stan. Zostawiać x. o - punkt krytyczny. Jeśli f " (x) Podczas przełączania przez punkt x. o zmienia znak plus na minus, a następnie w punkcie x O. Funkcja ma maksimum, w przeciwnym razie minimum. Jeśli podczas przejścia przez punkt krytyczny pochodna nie zmienia znaku, a następnie w punkcie x. o Extremum nie jest.

Drugi wystarczający stan. Niech funkcja f (x) będzie
f " (x) W sąsiedztwie punktu x. o i druga pochodna w samym punkcie x O. . Jeśli f "(x O.) = 0, >0 ( <0), то точка x O. Jest punktem lokalnej minimalnej (maksymalnej) funkcji f (x). Jeśli \u003d 0, musisz użyć pierwszego stanu wystarczającego lub przyciągnąć najwyższy.

W segmencie funkcja Y \u003d F (X) może osiągnąć najmniejszą lub największą wartość lub w punktach krytycznych lub na końcach segmentu.

Przykład 3.22.

Decyzja.Tak jak fA. " (

Zadania do znalezienia funkcji ekstremum

Przykład 3.23. zA.

Decyzja. x. i y. y.
0 ≤ x.≤
\u003e 0, a kiedy x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje kv.. elf).

Przykład 3.24.p ≈.

Decyzja.p.
S "
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Przykład 3.22.Znajdź funkcję Entermas F (X) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Decyzja.Tak jak fA. " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), a następnie krytyczne punkty funkcji X 1 \u003d 2 i x 2 \u003d 3. Ekstremalne mogą być tylko w tych punktach. Ponieważ podczas przełączania przez punkt x 1 \u003d 2 pochodne zmienia znak plus na minus, a następnie w tym momencie funkcja ma maksimum. Podczas przełączania przez punkt x 2 \u003d 3 pochodne zmienia znak minus na plus, dlatego w punkcie x 2 \u003d 3 w funkcji przynajmniej. Oblicz wartości funkcji w punktach
X 1 \u003d 2 i X 2 \u003d 3, znajdziemy ekstremum funkcji: maksymalnie F (2) \u003d 14 i co najmniej F (3) \u003d 13.

Przykład 3.23.Konieczne jest zbudowanie prostokątnej platformy w pobliżu kamiennej ściany, tak że jest wywiercona z siatką drucianą z trzech boków i przyległa do ściany do ściany. Za to jest dostępne zA. Uruchamianie wzorów siatki. Z jakim współczynnik proporcji będzie miał najwyższy obszar?

Decyzja.Oznacz bok strony x. i y. . Obszar obszaru jest równy S \u003d XY. Zostawiać y. - Jest to długość boku przylegające do ściany. Następnie, według stanu, należy wykonać równość 2x + y \u003d a. Dlatego y \u003d a - 2x i s \u003d x (a - 2x), gdzie
0 ≤ x.≤ a / 2 (długość i szerokość witryny nie może być ujemna).S "\u003d A - 4X, A - 4X \u003d 0 w X \u003d A / 4, z miejsca
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. ISOFAR AS. x \u003d A / 4 jest jedynym punktem krytycznym, sprawdź, czy znak zmienia się podczas przejścia przez ten punkt. Z x A / 4 s "\u003e 0, a kiedy x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Funkcje S (A / 4) \u003d A / 4 (A - A / 2) \u003d 2/8 (kv.. elf). Ponieważ S jest ciągły i jego wartości na końcach S (0) i S (A / 2) są zero, stwierdzona wartość będzie największą wartością funkcji. Zatem najkorzystniejszy współczynnik proporcji witryny w tych warunkach problemu jest y \u003d 2x.

Przykład 3.24.Wymagane jest wykonanie zamkniętego zbiornika cylindrycznego o pojemności V \u003d 16p ≈. 50 m 3. Co powinno być rozmiary zbiornika (Radius R i wysokość H) tak, że najmniejsza ilość materiału idzie na produkcję?

Decyzja.Obszar całkowitej powierzchni cylindra jest S \u003d 2p. R (R + H). Znamy objętość cylindra V \u003dp 2 h þ h \u003d v / p 2 \u003d 16 p / p R2 \u003d 16 / R2. Tak, s (r) \u003d 2p. (R2 + 16 / R). Znajdź pochodną tej funkcji:
S "(R) \u003d 2 p (2- 16 / R2) \u003d 4 p (R-8 / R2). S " (R) \u003d 0 w R3 \u003d 8, dlatego,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

$ E Substeta MathBB (R) ^ (N) $. Mówi się, że $ F $ ma lokalny maksimum. W punkcie $ X_ (0) W e $, jeśli jest taka dzielnica $ U $ Punkty $ X_ (0) $, że za wszystkie $ X w Y $, nierówności jest $ F Left (x Right) Leqslant F Left (x_ (0) prawy) $.

Lokalny maksymalny zwany. Ścisły Jeśli sąsiedztwo $ u $ można wybrać tak, że za wszystkie $ X w CH $, inne od $ X_ (0) $, było $ F Left (X Prawa)< f\left(x_{0}\right)$.

Definicja
Pozwól $ F $ być rzeczywistą funkcją na otwartym zestawie $ E. Subset MathBB (R) ^ (N) $. Mówi się, że $ F $ ma lokalny minimum. W punkcie $ X_ (0) W e $, jeśli jest taka dzielnica $ U $ Punkty $ X_ (0) $, to dla wszystkich $ X w Y $, nierówność $ F Left (x PRAWO) GEQSLANT F Left (x_ (0) prawy) $.

Lokalny minimum nazywa się rygorystyczny, jeśli sąsiedztwo $ u $ można wybrać tak, że dla wszystkich $ X w C $, inaczej od $ X_ (0) $, było $ F Left (X Prawa)\u003e F Lewo (x_ (0) prawy) $.

Lokalny ekstremum łączy koncepcje lokalnego minimum i lokalnego maksimum.

Twierdzenie (wymagany stan funkcji różnicowej ekstremum)
Pozwól $ F $ być rzeczywistą funkcją na otwartym zestawie $ E. Subset MathBB (R) ^ (N) $. Jeśli w pkt x_ (0) w E $, funkcja $ F ma lokalne ekstremum iw tym momencie, a następnie $$ tekst (D) F Left (X_ (0) \u003d 0. $$ Równość Zero Różnica jest równoważna faktu, że wszystkie są zero, tj. $$ DisplayStyle Frac (Częściowy F) (Częściowy X_ (I)) Left (X_ (0) Po prawej) \u003d 0. $$

W przypadku jednowymiarowego przypadku jest. Oznacz o $ Phi Left (t racja) \u003d f Funkcja $ phi $ jest zdefiniowana z wystarczająco małych wartości modułowych $ T $. Ponadto, zgodnie z odróżnieniem i $ (PHI) 'Left (t Prawy) \u003d Tekst (D) F Left (X_ (0) + TH PRAWO) H $.
Pozwól $ F $ mieć lokalną maksimum za 0 $ punkt. Oznacza to, że funkcja $ $ z $ t \u003d 0 $ ma maksimum lokalne i zgodnie z twierdzeniem rolniczego, $ (phi) 'left (0 po prawej) \u003d 0 $.
Dostaliśmy więc $ DF Left (x_ (0) prawy) \u003d 0 $, tj. Funkcje $ F $ w punkcie $ X_ (0) $ to zero na dowolnym Vector $ H $.

Definicja
Punkty, w których różnica jest zero, tj. Takie, w których wszystkie prywatne pochodne są zerowe, nazywane są stacjonarne. Punkt krytyczny Funkcje $ F $ nazywane są takimi punktami, w których $ F $ nie jest zróżnicowany ani równy zero. Jeśli punkt jest nieruchomy, nie jest jeszcze podąża, że \u200b\u200bw tym momencie funkcja ma ekstremum.

Przykład 1.
Niech $ f pozostawił (x, y racja) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. Następnie $ DisplayStyle Frac (Częściowy F) (Częściowy X) \u003d 3 CDOT X ^ (2) $, $ DisplayStyle frac (częściowy f) (częściowe y) \u003d 3 CDOT Y ^ (2 ) $, więc $ Left (0,0 prawy) $ jest stacjonarnym punktem, ale w tym momencie funkcja nie ma ekstremum. Rzeczywiście, $ F Left (0,0 right) \u003d 0 $, ale łatwo jest zobaczyć, że w dowolnej dzielnicy Lewego punktu $ (0,0 Prawej) $ Funkcja przyjmuje wartości dodatnie, jak i ujemne.

Przykład 2.
Funkcja jest $ F Left (x, y racja) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ Start - stacjonarny punkt, ale jasne jest, że w tym momencie nie ma ekstremum.

Twierdzenie (stan wystarczających ekstremum).
Pozwól funkcji $ F $ podwójnie różnorodnie różniczkowane na otwartym zestawie $ E. Subset MathBB (R) ^ (N) $. Pozwól $ X_ (0) w e $ - punkt stacjonarny i $$ DisplayStyle Q_ (X_ (0)) Left (H Right) Equiv sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1 ) ^ n frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe x_ (i) częściowe x_ (j)) lewej (x_ (0) prawej) h ^ (i) h ^ (j). $ $

  1. jeśli $ Q_ (X_ (0)) $ -, a następnie funkcja $ F $ za $ X_ (0) $ ma lokalny ekstremum, a mianowicie, jeśli forma jest pozytywnie zdefiniowana, a maksymalna, jeśli forma jest negatywnie zdefiniowany;
  2. jeśli kwadratowa forma $ Q_ (X_ (0)) $ jest nieokreślona, \u200b\u200ba następnie funkcja $ F $ in $ X_ (0) $ nie ma ekstremum.

Używamy rozkładu przez formułę Taylora (12.7 str. 292). Biorąc pod uwagę, że poszczególne pochodne pierwszego rzędu w punkcie $ X_ (0) $ są zero, otrzymujemy $$ DisplayStyle F Left (X_ (0) + H prawo) -f Left (x_ (0) ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ^ n frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe x_ (i) częściowe x_ ( j)) Left (x_ (0) + theta h prawo) h ^ (i) h ^ (j), $$, gdzie 0 $<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $ i $ Epsilon Left (H Right) Urynrow 0 $ z $ Hrrow 0 $, wtedy prawa strona będzie pozytywna z dowolną wektorową $ H $ wystarczająco małą długość.
Dlatego przyszliśmy do tego, że w niektórych sąsiedztwie punktu $ X_ (0) $ to była nierówność $ F Left (X Prawa)\u003e F Left (X_ (0) prawy) $, jeśli tylko $ X NEQ X_ (0) $ (umieściliśmy $ x \u003d x_ (0) + h $ right). Oznacza to, że w punkcie $ X_ (0) $ Funkcja ma ścisły lokalne minimum, a tym samym udowodnił pierwszą część naszego twierdzenia.
Przypuśćmy teraz, że $ Q_ (X_ (0)) $ jest formą nieokreśloną. Wtedy są wektory $ H_ (1) $, $ H_ (2) $, takie jak $ Q_ (X_ (0)) Left (H_ (1) Prawa) \u003d Lambda_ (1)\u003e 0 $, $ Q_ (X_ (0)) Left (H_ (2) Prawa) \u003d lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Następnie dostajemy $$ F Left (X_ (0) + TH_ (1) PRAWO) -F Left (X_ (0) Prawo) \u003d FRAC (1) (2) Lewa [T ^ (2) lambda_ (1) + t ^ (2) | H_ (1) | ^ (2) Epsilon lewe (th_ (1) prawy) Prawo] \u003d frac (1) (2) t ^ (2) Left [lambda_ (1) + | H_ (1) | ^ (2) Epsilon Left (th_ (1) prawy) Prawo]. $$ z wystarczająco małym $ t\u003e 0 $ po prawej stronie jest pozytywny. Oznacza to, że w dowolnym sąsiedztwie punktu $ X_ (0) $ Funkcja $ F $ Funkcja podejmuje wartości $ F Left (X Prawa) $, duża niż $ F Left (x_ (0) \\ \\ Po prawej) $.
Podobnie, otrzymujemy to w dowolnym sąsiedztwie punktu X_ (0) $ Funkcja $ F $ Wykonuje wartości mniejsze niż $ F Left (x_ (0) prawy) $. To wraz z poprzednią, oznacza, że \u200b\u200bw punkcie $ X_ (0) $ Funkcja $ F $ nie ma ekstremum.

Rozważać prywatny przypadek Ta twierdzenie o funkcji $ F Left (X, Y Prawy) Dwa zmienne 2 USD zdefiniowane w niektórych sąsiedztwie punktu $ w lewo (X_ (0), Y_ (0) prawej) $ i mając ciągłe prywatne pochodne w tym sąsiedztwo i drugi rozkaz. Przypuśćmy, że $ Left (X_ (0), Y_ (0) prawy) $ to punkt stacjonarny, a oznaczyć $$ DisplayStyle A_ (11) \u003d Frac (Częściowy ^ (2) F) (częściowy x ^ (2)) Left (X_ (0), Y_ (0) PRAWO), A_ (12) \u003d FRAC (Częściowy ^ (2) F) (częściowe x częściowe y) w lewo (X_ ( 0), Y_ (0) Po prawej), A_ (22) \u003d Frac (Częściowy ^ (2) F) (częściowy Y ^ (2)) Left (X_ (0), Y_ (0) ) $$ wtedy poprzedni terem zajmie następującą formę.

Twierdzenie
Niech $ delta \u003d a_ (11) CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ 2 $. Następnie:

  1. jeśli $ delta\u003e 0 $, funkcja $ F ma $ left (X_ (0), Y_ (0) prawy) $ Local Extremum, a mianowicie, przynajmniej, jeśli $ A_ (11)\u003e 0 $ i Maksymalnie, jeśli $ a_ (11)<0$;
  2. jeśli $ delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Przykłady rozwiązywania problemów

Algorytm do znalezienia funkcji ekstremum wielu zmiennych:

  1. Znajdujemy punkty stacjonarne;
  2. Znajdujemy różnicę 2 kolejności we wszystkich punktach stacjonarnych
  3. Korzystając z wystarczającego warunku dla funkcji extremum wielu zmiennych, rozważamy różnicę 2 kolejności w każdym stacjonarnym punkcie
  1. Przeglądaj funkcję na ekstremum $ F Left (X, Y PRAWO) \u003d X ^ (3) + 8 CDOT Y ^ (3) + 18 CDOT X - 30 CDOT Y $.
    Decyzja

    Znajdziemy prywatne pochodne pierwszej kolejności: $$ DisplayStyle Frac (Częściowy F) (Częściowy X) \u003d 3 CDOT X ^ (2) - 6 CDOT Y; $$$$ DisplayStyle Frac ( Częściowy f) (częściowe y) \u003d 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X. $$ Make and Resolve System: $$ DisplayStyle Rozpocznij (Przypadki) Frak (częściowe F) (częściowe x) \u003d 0 frac (częściowe f) (częściowe y) \u003d 0 end (przypadki) słupek Rozpocznij (przypadki) 3 CDOT X ^ (2) - 6 CDOT Y \u003d 0 \\\\ 24 CDOT Y ^ (2) - 6 CDOT X \u003d 0 KONIEC (Przypadki) Urynrow rozpocznij (przypadki) x ^ (2) - 2 CDOT Y \u003d 0 \\\\ 4 CDOT Y ^ (2) - x \u003d 0 end (przypadki) $$ z drugiego równania Express $ X \u003d 4 CDOT Y ^ (2) $ - Zastazujemy na 1 równaniu: $$ DisplayStyle Left (4 CDOT Y ^ (2) Po prawej) ^ (2) -2 CDOT Y \u003d 0 $$$$ 16 CDOT Y ^ (4) - 2 CDOT Y \u003d 0 $$$$ 8 CDOT Y ^ (4) - Y \u003d 0 $$ $$ YE YELE (8 CDOT Y ^ (3) -1 PRAWO) \u003d 0 $$ W rezultacie uzyskano 2 stacjonarne punkty:
    1) $ y \u003d 0 w prawej stronie x \u003d 0, M_ (1) \u003d Left (0, 0 prawy) $;
    2) $ DisplayStyle 8 CDOT Y ^ (3) -1 \u003d 0 Urynrow Y ^ (3) \u003d Frac (1) (8) Urynrow Y \u003d FRAC (1) (2) Urynrrow x \u003d 1 , M_ (2) \u003d Left (Frac (1) (2), 1 prawy) $
    Sprawdź wdrażanie wystarczających warunków ekstremum:
    $$ DisplayStyle Frac (Częściowy ^ (2) F) (częściowy x ^ (2)) \u003d 6 CDOT X; Frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe x częściowe y) \u003d - 6; Frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe y ^ (2)) \u003d 48 cdot y $$
    1) dla punktu $ M_ (1) \u003d Left (0,0 prawy) $:
    $$ DisplayStyle A_ (1) \u003d FRAC (Częściowy ^ (2) F) (Częściowy X ^ (2)) Lewa (0,0 Prawo) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (częściowy ^ (2) f) (częściowe x częściowe y) lewej (0,0 prawej) \u003d - 6; C_ (1) \u003d frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe y ^ (2)) w lewo (0,0 prawej) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) CDOT B_ (1) - C_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) Za $ M_ (2) punkt $:
    $$ DisplayStyle A_ (2) \u003d Frac (Częściowy ^ (2) F) (Częściowy X ^ (2)) Lewa (1, FRAC (1) (2) PRAWO) \u003d 6; B_ (2) \u003d frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe x częściowe y) w lewo (1, frac (1) (2) prawy) \u003d - 6; C_ (2) \u003d frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe y ^ (2)) Lewa (1, frac (1) (2) prawy) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) CDOT B_ (2) - C_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, oznacza to, w punkcie $ M_ (2) $ Jest ekstremum, a od $ a_ (2)\u003e 0 $, to minimum.
    Odpowiedź: Początek $ DisplayStyle M_ (2) Left (1, Frac (1) (2) Prawa) $ to punkt minimalnej funkcji $ F $.

  2. Przeglądaj funkcję na ekstremum $ F \u003d Y ^ (2) + 2 CDOT X CDOT Y - 4 CDOT X - 2 CDOT Y - 3 USD.
    Decyzja

    Znajdź punkty stacjonarne: $$ DisplayStyle Frac (Częściowy F) (Częściowy X) \u003d 2 CDOT Y - 4; $$$$ DisplayStyle Frac (Częściowy F) (częściowe Y) \u003d 2 CDOT Y + 2 CDOT X - 2. $$
    Rozwiązujemy również system: $$ DisplayStyle Rozpocznij (przypadki) FRAC (częściowy f) (częściowy x) \u003d 0 frac (częściowy f) (częściowe y) \u003d 0 (przypadki ) Słuszne (przypadki) 2 CDOT Y - 4 \u003d 0 2 CDOT Y + 2 CDOT X - 2 \u003d 0 KONIEC (CASE) UPRAWY PUNKT (Przypadki) Y \u003d 2 Y + x \u003d 1 end (przypadki) słupek x \u003d -1 $$
    $ M_ (0) Left (-1, 2 po prawej) $ - stacjonarny punkt.
    Sprawdź wykonanie wystarczającego stanu ekstremum: $$ DisplayStyle A \u003d FRAC (częściowe ^ (2) F) (częściowe x ^ (2)) Lewa (-1.2 Prawo) \u003d 0; B \u003d frac (częściowe ^ (2) f) (częściowe x częściowe y) w lewo (-1.2 Prawo) \u003d 2; C \u003d frac (częściowy ^ (2) f) (częściowy y ^ (2)) Left (-1.2 Prawo) \u003d 2; $$
    $ A Cdot B - C ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Odpowiedź: skrajności są nieobecne.

Limit czasu: 0

Nawigacja (tylko numery pracy)

0 z 4 zadań zakończyło się

Informacja

Wypełnij ten test, aby przetestować swoją znajomość tematów "lokalnych ekstrematorów funkcji wielu zmiennych".

Wcześniej minęłeś test. Nie możesz go ponownie uruchomić.

Test jest ładowany ...

Musisz się zalogować lub zarejestrować, aby rozpocząć test.

Musisz ustawić następujące testy, aby rozpocząć:

Wyniki

Prawe odpowiedzi: 0 z 4

Twój czas:

Czas się skończył

Zdobyłeś 0 z 0 punktów (0)

Twój wynik odnotowano w tabeli liderów

  1. Z odpowiedzią
  2. Z markerem.

    Zadanie 1 z 4

    1 .
    Liczba punktów: 1

    Przeglądaj funkcję $ F $ za ekstremalne: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 cdot y ^ (2)) $

    Dobrze

    Źle

  1. Zadanie 2 z 4

    2 .
    Liczba punktów: 1

    Czy istnieje ekstremum w funkcji $ F \u003d 4 + sqrt (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Zmiana funkcji w określonym punkcie i jest zdefiniowany jako limit zwiększania funkcji do przyrostu argumentu, który ma tendencję do zera. Aby znaleźć go używać tabeli pochodnych. Na przykład funkcja pochodna Y \u003d X3 będzie równa Y '\u003d X2.

Eclay Ta pochodna do zera (w tym przypadku x2 \u003d 0).

Znajdź wartość zmiennej tego. Będą to wartości, dzięki tej pochodnej będzie równe 0. Aby to zrobić, zastępować dowolne cyfry zamiast X, w którym wszystkie wyrażenie staje się zero. Na przykład:

2-2x2 \u003d 0.
(1-x) (1 + x) \u003d 0
x1 \u003d 1, x2 \u003d -1

Zastosuj uzyskane wartości do współrzędnych bezpośrednio i obliczyć znak pochodnej dla każdego z otrzymanych. Zauważane są bezpośrednie punkty współrzędnych, które są akceptowane na początek odniesienia. Aby obliczyć wartość w odstępach czasu, substytut arbitralnych wartości odpowiednich do kryteriów. Na przykład, dla poprzedniej funkcji w interwale -1, możesz wybrać wartość -2. Od -1 do 1 można wybrać 0, a przez więcej niż 1 wartości wybierz 2. Zastąp liczby w pochodnej i dowiedz się znaku pochodnego. W tym przypadku pochodna z X \u003d -2 będzie -0,24, tj. Negatyw i w tym przedziale będzie znak minus. Jeśli x \u003d 0, wartość będzie 2, a znak jest zainstalowany w tej szczelinie. Jeśli X \u003d 1, pochodna będzie również -0,24 i jest minus.

Jeśli, przechodząc przez punkt na koordynatowi bezpośrednio, pochodne zmienia swój znak z minus do plus, to jest to minimalny punkt, a jeśli z plus dla minus, to jest to maksymalny punkt.

Wideo na ten temat

Pomocna rada

Aby znaleźć pochodną, \u200b\u200bistnieją usługi online, które liczą pożądane wartości i wynika wynik. Na takich witrynach można znaleźć pochodną do 5 zamówień.

Źródła:

  • Jedna z usług obliczania usług
  • punkt maksymalnej funkcji

Maksymalne punkty działania wraz z punktami minimum są zwane punktami ekstremum. W tych punktach funkcja zmienia charakter zachowania. Ekstremalne są określane w ograniczonych odstępach numerycznych i są zawsze lokalne.

Instrukcja

Proces wyszukiwania lokalnych ekstremów jest nazywany funkcją i przeprowadza się poprzez analizę pierwszej i drugiej funkcji pochodnej. Przed rozpoczęciem bada należy upewnić się, że określony interwał wartości argumentu należy do ważnych wartości. Na przykład, dla funkcji F \u003d 1 / X, wartość argumentu X \u003d 0 jest niedopuszczalna. Lub dla funkcji Y \u003d TG (X) argument nie może mieć wartości x \u003d 90 °.

Upewnij się, że funkcja Y jest różniczalna we wszystkich określonych segmencie. Znajdź pierwszą pochodną Y. "Jest oczywiste, że aż do osiągnięcia punktu maksimum lokalnego, funkcja wzrasta, a podczas przemieszczania funkcja staje się malejąca. Pierwsza pochodna w swoim fizycznym znaczeniu charakteryzuje prędkość zmiany funkcji. Podczas gdy Funkcja wzrasta, szybkość tego procesu jest dodatnia. Podczas przełączania przez lokalne maksimum funkcja zaczyna się zmniejszać, a prędkość procesu zmiany funkcji staje się ujemna. Oddaje się przejście prędkości zmiany funkcji przez zero w lokalnym maksymalnym punkcie.