Kuidas redutseerimisvalemeid meelde jätta trigonomeetrilised funktsioonid? See on lihtne, kui kasutada ühendust. Nagu juba mainitud, peaks hea kooslus "püüdma", st tekitama erksaid emotsioone. Sellest kooslusest tekkinud emotsioone ma positiivseks nimetada ei saa. Kuid see annab tulemuse - see võimaldab teil meeles pidada redutseerimisvalemeid, mis tähendab, et tal on õigus eksisteerida. Lõppude lõpuks, kui teile see ei meeldi, ei pea te seda kasutama, eks?

Redutseerimisvalemid on kujul: sin(πn/2±α), cos(πn/2±α), tg(πn/2±α), ctg(πn/2±α). Pidage meeles, et +α annab vastupäeva liikumise, -α annab päripäeva.

Reduktsioonivalemitega töötamiseks vajate kahte punkti:

1) pane märk, et algfunktsioonil on (õpikutes kirjutatakse: redutseeritav. Aga et mitte segadusse sattuda, on parem nimetada seda algfunktsiooniks), kui lugeda α esimese veerandi nurgaks, st. , väike.

2) Horisontaalne läbimõõt - π±α, 2π±α, 3π±α... - üldiselt, kui murdosa pole, siis funktsiooni nimi ei muutu. Vertikaalne π/2±α, 3π/2±α, 5π/2±α... - kui on murd, muutub funktsiooni nimetus: siinus - koosinus, koosinus - siinus, puutuja - kotangens ja kotangent – ​​puutuja juurde.

Nüüd tegelikult ühendus:

vertikaalne läbimõõt (seal on murdosa) -

seistes purjus. Mis temast varakult saab?

või on juba hilja? See on õige, see kukub.

Funktsiooni nimi muutub.

Kui läbimõõt on horisontaalne, on joodik juba pikali. Ta ilmselt magab. Temaga ei juhtu midagi, ta on juba võtnud horisontaalse asendi. Vastavalt sellele funktsiooni nimi ei muutu.

See tähendab, patt(π/2±α), patt(3π/2±α), patt(5π/2±α) jne. anna ± cosα,

ja sin(π±α), sin(2π±α), sin(3π±α), … - ±sinα.

Me juba teame, kuidas.

Kuidas see töötab? Vaatame näiteid.

1) cos(π/2+α)=?

Meist saab π/2. Kuna +α tähendab, et liigume edasi, vastupäeva. Leiame end teisest veerandist, kus koosinusel on “-“ märk. Funktsiooni nimi muutub ("purjus inimene seisab", mis tähendab, et ta kukub). Niisiis,

cos(π/2+α)=-sin α.

Jõuame 2π-ni. Kuna -α - liigume tagurpidi, st päripäeva. Satume IV kvartalisse, kus puutujal on “-“ märk. Funktsiooni nimi ei muutu (läbimõõt on horisontaalne, “joodik on juba pikali”). Seega tan(2π-α)=- tanα.

3) ctg²(3π/2-α)=?

Näiteid, kus funktsioon tõstetakse paarisastmeni, on veelgi lihtsam lahendada. Paarisaste “-” eemaldab selle, see tähendab, et peate lihtsalt välja selgitama, kas funktsiooni nimi muutub või jääb alles. Läbimõõt on vertikaalne (seal on murdosa, "seisab purjus", see kukub), funktsiooni nimi muutub. Saame: ctg²(3π/2-α)= tan²α.

Kuidas mitte taandamise valemeid pähe õppida.

Otsustades trigonomeetrilised võrrandid või sooritades trigonomeetrilisi teisendusi, on esimene samm trigonomeetriliste funktsioonide erinevate argumentide arvu minimeerimine. Selleks peate viima kõik nurgad esimese kvartali nurkadesse, kasutades redutseerimisvalemid. Tahan teile tutvustada mnemoreeglit, mis võimaldab teil vältida päheõppimist. Seda reeglit nimetatakse naljatamisi "hobusereegliks".

Selles VIDEOÕPETUSES räägin teile, kuidas seda reeglit kasutada: vähendada suvalise nurga trigonomeetrilist funktsiooni esimese kvartali nurgaks, vabastades end vajadusest meeles pidada vähendamise valemeid:

Niisiis, " hobuse reegel " kõlab nii:

Kui joonistame nurga alates vertikaalne telg, hobune ütleb "jah" (noogutame pead mööda OY-telge) ja redutseeritav funktsioon muudab oma nime: siinus koosinus, koosinus siinus, puutuja kootangens, kotangens puutuja.

Kui joonistame nurga alates horisontaaltelg, hobune ütleb “ei” (noogutame pead mööda OX-telge) ja vähendatud funktsiooni ei muuda oma nime.

Võrdsuse paremal küljel olev märk langeb kokku taandatava funktsiooni märgiga võrdsuse vasakul küljel.

Siin on mõned näited redutseerimisvalemite kasutamisest:

1 . Leidke väljendi tähendus:

1. Valige murdosast kogu osa:

2. Kuna funktsiooni periood on võrdne , tõstkem esile "tühikäigu kiirus":

Nüüd on meie argument vahemikus null kuni , ja on aeg rakendada "hobusereeglit":

Pöördenurgale vastavasse punkti jõudmiseks teeme esmalt pöörde radiaanide võrra ja seejärel joonistame sellest punktist radiaanide nurga:

Joonistasime nurga horisontaalteljelt (hobune ütleb “ei”) - see ei muuda oma nime, nurk asub kolmandas kvartalis, milles koosinus on negatiivne, seetõttu on redutseeritud funktsioon negatiivne. Saame:

2 . Leidke väljendi tähendus:

Vaatame iga funktsiooni eraldi:

Pöörame kõigepealt radiaani võrra ja seejärel loome vertikaaltelje suhtes 1 radiaani nurga negatiivses suunas ja jõuame kolmandasse kvartalisse:

Järelikult muudab taandatav funktsioon oma nime, taandatav funktsioon on suurem kui null (kolmanda veerandnurga puutuja on suurem kui null): .

Kõigepealt teeme radiaani võrra pöörde ja seejärel liigume sellest punktist 1 radiaani võrra negatiivses suunas. Jätame horisontaaltelje suhtes kõrvale 1 radiaani nurga (siinus ei muuda oma nime) ja leiame end teisest kvartalist, kus siinus on suurem kui null:

Reduktsioonivalemite kasutamisel on kaks reeglit.

1. Kui nurka saab esitada kui (π/2 ±a) või (3*π/2 ±a), siis funktsiooni nimi muutub sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Kui nurka saab esitada kujul (π ±a) või (2*π ±a), siis Funktsiooni nimi jääb muutumatuks.

Vaadake allolevat pilti, see näitab skemaatiliselt, millal peaksite märki muutma ja millal mitte.

2. Reegel "nagu sa olid, selliseks sa jääd."

Vähendatud funktsiooni märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Arvuta Sin (150˚)

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis, jooniselt näeme, et patu märk selles kvartalis on võrdne +. See tähendab, et antud funktsioonil on ka plussmärk. Rakendasime teist reeglit.

Nüüd 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. See tähendab, et tegemist on juhtumiga π/2+60, seetõttu muudame esimese reegli järgi funktsiooni sin asemel cos. Selle tulemusena saame Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.

Soovi korral saab kõik redutseerimisvalemid koondada ühte tabelisse. Kuid siiski on lihtsam neid kahte reeglit meeles pidada ja neid kasutada.

Vajad õpingutega abi?



Eelmine teema:

See artikkel on pühendatud üksikasjalikule uuringule trigonomeetrilised valemid kummitused Dan täielik nimekiri redutseerimisvalemid, toodud näited nende kasutamisest ja toodud valemite õigsuse tõestus. Artiklis on ka mnemooniline reegel, mis võimaldab tuletada redutseerimisvalemeid ilma iga valemit meelde jätmata.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vähendamise valemid. Nimekiri

Redutseerimisvalemid võimaldavad taandada suvalise suurusega nurkade trigonomeetrilised põhifunktsioonid nurkade funktsioonideks, mis jäävad vahemikku 0 kuni 90 kraadi (0 kuni π 2 radiaani). Nurkadega 0 kuni 90 kraadi töötamine on palju mugavam kui suvaliselt suurte väärtustega töötamine, mistõttu kasutatakse trigonomeetriaülesannete lahendamisel laialdaselt reduktsioonivalemeid.

Enne valemite enda üleskirjutamist selgitame mitut mõistmise jaoks olulist punkti.

  • Trigonomeetriliste funktsioonide argumendid redutseerimisvalemites on nurgad kujul ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z. Siin z on suvaline täisarv ja α on suvaline pöördenurk.
  • Pole vaja õppida kõiki redutseerimisvalemeid, mille arv on üsna muljetavaldav. On olemas mnemooniline reegel, mis muudab soovitud valemi tuletamise lihtsaks. Mnemoreeglist räägime hiljem.

Liigume nüüd otse redutseerimisvalemite juurde.

Vähendamisvalemid võimaldavad teil liikuda suvaliste ja meelevaldselt suurte nurkadega töötamiselt 0 kuni 90 kraadise nurga all töötamisele. Kirjutame kõik valemid tabeli kujul.

Vähendamise valemid

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + = - 2 π z cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π α z =, cos π z . π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = -s π z , π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z , = α s α + 2 π z + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 π z + 2 - α = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Sel juhul kirjutatakse valemid radiaanides. Kuid võite neid kirjutada ka kraadide abil. Piisab, kui teisendada radiaanid kraadideks, asendades π 180 kraadiga.

Näited redutseerimisvalemite kasutamisest

Näitame, kuidas kasutada redutseerimisvalemeid ja kuidas neid valemeid kasutatakse praktiliste näidete lahendamisel.

Trigonomeetrilise funktsiooni märgi all olevat nurka saab esitada mitte ühel, vaid mitmel viisil. Näiteks võib trigonomeetrilise funktsiooni argumendi esitada kujul ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Näitame seda.

Võtame nurga α = 16 π 3. Selle nurga saab kirjutada järgmiselt:

α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π

Sõltuvalt nurga esitusest kasutatakse vastavat redutseerimisvalemit.

Võtame sama nurga α = 16 π 3 ja arvutame selle puutuja

Näide 1: Taandusvalemite kasutamine

α = 16 π 3, t g α =?

Esitagem nurka α = 16 π 3 kui α = π + π 3 + 2 π 2

See nurga esitus vastab vähendamise valemile

t g (π + α + 2 π z) = t g α

t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3

Tabeli abil näitame puutuja väärtuse

Nüüd kasutame teist nurga α = 16 π 3 esitust.

Näide 2: Taandusvalemite kasutamine

α = 16 π 3, t g α =? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Lõpuks kirjutame nurga kolmanda esituse jaoks

Näide 3. Redutseerimisvalemite kasutamine

α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π 3 π = c 6 g )

Toome nüüd näite keerukamate redutseerimisvalemite kasutamisest

Näide 4: Taandusvalemite kasutamine

Kujutagem ette pattu 197° läbi teravnurga siinuse ja koosinuse.

Reduktsioonivalemite rakendamiseks peate esitama nurga α = 197 ° ühes vormidest

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Vastavalt ülesande tingimustele peab nurk olema terav. Sellest lähtuvalt on meil selle esitamiseks kaks võimalust:

197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°

Saame

sin 197° = patt (180° + 17°) sin 197° = patt (270° - 73°)

Nüüd vaatame siinuste vähendamise valemeid ja valime välja sobivad

sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °

Mnemooniline reegel

Taandusvalemeid on palju ja õnneks pole vaja neid pähe õppida. On seaduspärasusi, mille abil saab tuletada erinevate nurkade ja trigonomeetriliste funktsioonide redutseerimisvalemeid. Neid mustreid nimetatakse mnemoreegliteks. Mnemoonika on meeldejätmise kunst. Mnemooniline reegel koosneb kolmest osast või kolmest etapist.

Mnemooniline reegel

1. Algfunktsiooni argument on esitatud ühel järgmistest vormidest:

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Nurk α peab olema vahemikus 0 kuni 90 kraadi.

2. Määratakse algse trigonomeetrilise funktsiooni märk. Valemi paremale küljele kirjutatud funktsioonil on sama märk.

3. Nurkade ± α + 2 πz ja π ± α + 2 πz puhul jääb algfunktsiooni nimi muutumatuks ning nurkade π 2 ± α + 2 πz ja 3 π 2 ± α + 2 πz puhul muutub see väärtuseks. "koostöö". Siinus - koosinus. Tangent – ​​kotangent.

Redutseerimisvalemite mnemoonilise juhendi kasutamiseks peate suutma määrata trigonomeetriliste funktsioonide märke ühikuringi neljandike põhjal. Vaatame rakenduste näiteid mnemooniline reegel.

Näide 1: Mnemoreegli kasutamine

Kirjutame üles taandamise valemid cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz jaoks. α on esimese kvartali logi.

1. Kuna tingimuse järgi on α esimese veerandi logi, jätame reegli esimese punkti vahele.

2. Määrake funktsioonide cos π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz märgid. Nurk π 2 - α + 2 πz on ühtlasi esimese veerandi nurk ja nurk π - α + 2 πz on teises kvartalis. Esimesel veerandil on koosinusfunktsioon positiivne ja teise kvartali puutuja on miinusmärgiga. Paneme kirja, kuidas nõutavad valemid selles etapis välja näevad.

cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -

3. Vastavalt kolmandale punktile muutub nurga π 2 - α + 2 π puhul funktsiooni nimi Konfutsiuseks ja nurga π - α + 2 πz puhul jääb samaks. Paneme kirja:

cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α

Vaatame nüüd ülaltoodud valemeid ja veendume, et mnemoonireegel töötab.

Vaatame näidet konkreetse nurgaga α = 777°. Taandagem siinus alfa teravnurga trigonomeetriliseks funktsiooniks.

Näide 2: Mnemoreegli kasutamine

1. Kujutage ette nurka α = 777 ° nõutud kujul

777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2

2. Algne nurk on esimese kvartali nurk. See tähendab, et nurga siinusel on positiivne märk. Selle tulemusena on meil:

3. sin 777° = sin (57° + 360° 2) = sin 57° sin 777° = sin (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°

Vaatame nüüd näidet, mis näitab, kui oluline on mnemoonilise reegli kasutamisel õigesti määrata trigonomeetrilise funktsiooni märk ja esitada õigesti nurka. Kordame uuesti.

Tähtis!

Nurk α peab olema terav!

Arvutame nurga 5 π 3 puutuja. Peamiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist saate kohe võtta väärtuse t g 5 π 3 = - 3, kuid me rakendame mnemoreeglit.

Näide 3: Mnemoreegli kasutamine

Kujutame ette nurga α = 5 π 3 nõutud kujul ja kasutame reeglit

t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3

Kui kujutame alfanurka kujul 5 π 3 = π + 2 π 3, siis on mnemoreegli rakendamise tulemus vale.

t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3

Vale tulemus on tingitud sellest, et nurk 2 π 3 ei ole terav.

Taandusvalemite tõestus põhineb trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisuse ja sümmeetria omadustel, samuti nurkade π 2 ja 3 π 2 võrra nihke omadusel. Kõigi redutseerimisvalemite kehtivuse tõendamist saab läbi viia ilma terminit 2 πz arvesse võtmata, kuna see tähistab nurga muutust täisarvu täispöörete võrra ja peegeldab täpselt perioodilisuse omadust.

Esimesed 16 valemit tulenevad otseselt trigonomeetriliste põhifunktsioonide omadustest: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens.

Siin on siinuste ja koosinuste redutseerimisvalemite tõend

sin π 2 + α = cos α ja cos π 2 + α = - sin α

Vaatleme ühikringi, mille alguspunkt läheb pärast nurga α kaudu pööramist punkti A 1 x, y ja pärast pööramist läbi nurga π 2 + α - punkti A 2. Mõlemast punktist tõmbame risti abstsissteljega.

Kaks täisnurkne kolmnurk O A 1 H 1 ja O A 2 H 2 on hüpotenuusis ja külgnevates nurkades võrdsed. Ringjoone punktide asukohast ja kolmnurkade võrdsusest võime järeldada, et punktil A 2 on koordinaadid A 2 - y, x. Kasutades siinuse ja koosinuse definitsioone, kirjutame:

sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y

sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α

Võttes arvesse trigonomeetria põhiidentiteete ja äsja tõestatut, võime kirjutada

t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - α α = cos t g α

Taandusvalemite tõestamiseks argumendiga π 2 - α tuleb see esitada kujul π 2 + (- α). Näiteks:

cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α

Tõestuses kasutatakse trigonomeetriliste funktsioonide omadusi vastandmärkide argumentidega.

Kõiki teisi redutseerimisvalemeid saab tõestada ülalkirjeldatu põhjal.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Definitsioon. Taandusvalemid on valemid, mis võimaldavad liikuda vormi trigonomeetrilistelt funktsioonidelt argumendi funktsioonidele. Nende abiga saab suvalise nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi taandada nurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensiks vahemikust 0 kuni 90 kraadi (0-st radiaanini). Seega võimaldavad redutseerimisvalemid liikuda edasi 90-kraadise nurga all töötamise juurde, mis on kahtlemata väga mugav.

Vähendamise valemid:


Reduktsioonivalemite kasutamisel on kaks reeglit.

1. Kui nurka saab esitada kui (π/2 ±a) või (3*π/2 ±a), siis funktsiooni nimi muutub sin to cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Kui nurka saab esitada kujul (π ±a) või (2*π ±a), siis Funktsiooni nimi jääb muutumatuks.

Vaadake allolevat pilti, seal on skemaatiliselt näha, millal märki vahetada ja millal mitte

2. Funktsiooni vähenemise märk jääb samaks. Kui algsel funktsioonil oli plussmärk, siis ka vähendatud funktsioonil on plussmärk. Kui algsel funktsioonil oli miinusmärk, siis vähendatud funktsioonil on ka miinusmärk.

Alloleval joonisel on näidatud põhiliste trigonomeetriliste funktsioonide märgid sõltuvalt kvartalist.

Näide:

Arvutama

Kasutame redutseerimisvalemeid:

Sin(150˚) on teises veerandis, jooniselt näeme, et patumärk selles kvartalis on võrdne “+”. See tähendab, et antud funktsioonil on ka “+” märk. Rakendasime teist reeglit.

Nüüd 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ on π/2. See tähendab, et tegemist on juhtumiga π/2+60, seetõttu muudame esimese reegli järgi funktsiooni sin asemel cos. Selle tulemusena saame Sin(150˚) = cos(60˚) = ½.