Kuidas mitte meelde jätta.

Lahendamisel trigonomeetrilised võrrandid Või trigonomeetriliste transformatsioonide kandmine Esimene asi, mida vajate trigonomeetriliste funktsioonide erinevate argumentide arvu minimeerimiseks. Selleks on vaja kõiki nurkadeid esimese kvartali nurkade kaasamiseks, kasutades ära valemite poolt. Ma tahan tutvustada teile mnemonic reegel, mis võimaldab mitte meelde jätta. See reegel on nali, mida nimetatakse "hobujõuduks".

Selles videos ütlen teile, kuidas seda reeglit kasutada: tuua esimese kvartali nurka suvalise nurga trigonomeetriline funktsioon, \\ t Vabastades end vajadusest meelde jätta valemite:

Niisiis, " hobujõudu "See kõlab sellisena:

Kui me pärast nurka postitame vertikaalne telg, hobune ütleb "jah" (me toidame oma pea piki Oy telge) ja funktsiooni muudab selle nime: Sinus kosiinil, kosiini sinusele, puutuja Kotangentile, kotangenes puutujal.

Kui me pärast nurka postitame horisontaaltelgHobune ütleb "ei" (me toidame oma pea OH-i teljel) ja funktsiooni ei muuda oma nime.

Võrdõiguslikkuse parempoolse poole märk langeb kokku tuttava funktsiooniga võrdsuse vasakpoolse osaga.

Ma annan mõned näited kasutades valemi esitamise:

1 . Leidke väljendi väärtus:

1. Tõstke esile kogu osa fraktsioonis:

2. Kuna funktsiooni periood on võrdne "tühikäiguga":

Nüüd on meie argument alates nullist ja on aeg kohaldada "hobujõudu":

Et pöörduda pöörlemisnurgani vastava punkti juurde, teeme kõigepealt radiaani ja seejärel radiaani nurk viib sellest punktist edasi lükatud:

Me lükkasime horisontaalse telje nurka (hobune ütleb "ei") - ei muuda oma nime, nurk asub kolmandas kvartalis, kus kosinine on negatiivne, seega on antud funktsioon negatiivne. Saame:

2 . Leidke väljendi väärtus:

Me mõistame iga funktsiooniga individuaalselt:

Kõigepealt teeme omakorda radiaani ja aseme seejärel nurga 1 radiaani negatiivses suunas vertikaalsest teljest ja langema kolmandas kvartalis:

Sellest tulenevalt muudab funktsiooni muutmine oma nime, funktsioonil on rohkem null (kolmanda kvartali nurga puutuja on suurem kui null): .

Esiteks teeme omakorda radiaani ja siis sellest punktist liigume negatiivses suunas 1 radiaani. 1 Radilase nurga laulmine horisontaalteljel (siinus ei muuda oma nime) ja sattuge teises kvartalis, kus sinus on suurem kui null:

Trigonometria.formulas.

Nõude valemid ei pea neid õpetama. Mõista oma väljundi algoritmi. See on väga lihtne!

Võtke üks ring ja panna kõik kraadi (0 °; 90 °; 180 °; 270 °; 360 °).

Me analüüsime igas kvartalis funktsiooni pattu (A) ja COS (A).

Me mäletame, et SIN-funktsioon (a) Me vaatame Y-telje ja COS (A) funktsiooni X-teljel.

Esimeses kvartalis võib näha, et funktsioon sin (a)\u003e 0
Ja funktsioon cos (a)\u003e 0
Esimest kvartalit saab kirjeldada kraadi meetme kaudu (90-a) või (360 + α) abil.

Teises kvartalis võib seda funktsiooni näha sin (a)\u003e 0Kuna Y-telg on selles kvartalis positiivne.
Funktsioon cos a), sest X-telg on selles kvartalis negatiivne.
Teist kvartalit saab kirjeldada kraadi meetme kaudu (90 + α) või (180-a).

Kolmandas kvartalis võib seda funktsioonide vaadelda patt (a) Kolmandat kvartalit saab kirjeldada läbi kraadi, nagu (180 + α) või (270-a).

Neljandas kvartalis võib täheldada, et funktsioon patt (a), sest Y-telg on selles kvartalis negatiivne.
Funktsioon cos (a)\u003e 0Kuna X-telg on selles kvartalis positiivne.
Neljandat kvartalit saab kirjeldada kraadi meetme kaudu (270 + α) või (360-a).

Nüüd kaaluge valemite ise.

Me mäletame lihtsat algoritm:
1. Neljandaks. (Vaadake alati, milline veerand olete).
2. Märk. (Kvartali kohta vt positiivseid või negatiivseid kosiini või sinuse funktsioone).
3. Kui teil on sulgudes (90 ° või π / 2) ja (270 ° või 3π / 2), seejärel funktsioonide muudatused.

Ja nii alustame selle algoritmi sillutamist neljandikku.

Uuri välja, mis on võrdne ekspressiooni cos (90-a)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. Kvartal esimene.


Saab cos (90-a) \u003d patt (α)

Uuri välja, milline on väljendi patt (90-a) võrdne
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. Kvartal esimene.


Saab sin (90-a) \u003d cos (α)

Uuri välja, mis on väljend cos (360 + α)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. Kvartal esimene.
2. Esimeses kvartalis on kosiinifunktsiooni märk positiivne.

Saab cos (360 + α) \u003d cos (α)

Uuri välja, mis on võrdne väljendusega patu (360 + α)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. Kvartal esimene.
2. Esimeses kvartalis on siinse funktsiooni märk positiivne.
3. Sulgudes ei ole (90 ° või π / 2) ja (270 ° või 3π / 2), seejärel funktsioon ei muutu.
Saab patt (360 + α) \u003d patt (α)

Uuri välja, mis on võrdne ekspressiooni cos (90 + α)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. veerand sekundit.

3. Sulgudes on (90 ° või π / 2), siis muudab funktsiooni kosiinist siin.
Saab cos (90 + α) \u003d -sin (α)

Uuri välja, mis on võrdne väljendusega siniga (90 + α)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. veerand sekundit.

3. Sulgudes on (90 ° või π / 2), siis muutub funktsioon sinusest kosiini.
Saab patt (90 + a) \u003d cos (α)

Uuri välja, mis on võrdne ekspressiooni cos (180-a)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. veerand sekundit.
2. Teises kvartalis on kosiini funktsioon negatiivne.
3. Sulgudes ei ole (90 ° või π / 2) ja (270 ° või 3π / 2), seejärel funktsioon ei muutu.
Saab Cos (180-a) \u003d cos (α)

Uuri välja, mis on võrdne väljendusega pattuga (180-a)
Me väidame vastavalt algoritmile:
1. veerand sekundit.
2. Teises kvartalis on sinuse funktsioon positiivne.
3. Sulgudes ei ole (90 ° või π / 2) ja (270 ° või 3π / 2), seejärel funktsioon ei muutu.
Saab patt (180-a) \u003d patt (α)

Ma väidan kolmanda ja neljanda kvartali kohta sarnaselt tabeli tegemiseks:

Tellima youTube'i kanalil Ja vaadake videot, valmistage ette eksamid matemaatika ja geomeetria eksamid.

See artikkel on pühendatud trigonomeetriliste valemite üksikasjalikule uuringule. Dan täielik nimekiri Nende kasutamise näidete valimise valemid kuvatakse valemite lojaalsuse tõend. Samuti annab artikkel mnemonic reegli, mis võimaldab teil tuua valemi tuua, ilma mäleta iga valemi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nõuda valemite. Loetelu

FOMULES juhid võimaldavad meelevaldse väärtuse nurkade peamisi trigonomeetrilisi funktsioone nurkade funktsioonidele, mis asuvad vahemikus 0 kuni 90 kraadi (0 kuni π 2 radiaani). Anurk 0 kuni 90 kraadi töötamine on palju mugavam kui meelevaldselt suurte väärtustega töötamine, seega kasutatakse loomise valemite laialdaselt trigonomeetria ülesannete lahendamisel.

Enne valemite kirjutamist selgitage mõningaid olulisi hetkede mõistmist.

  • Trigonomeetriliste funktsioonide argumendid plii valemites on vormi ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z. Siin Z on mis tahes täisarv ja α on pöörlemise suvaline nurk.
  • Kõikide tuues olevate valemite õpetamine ei ole vaja õpetada, mille arv on üsna muljetavaldav. On mnemoniline reegel, mis muudab soovitud valemi eemaldamise lihtsaks. Kõne mnemonic reegli kohta läheb hiljem.

Nüüd pöördume otse tuua valemitele.

Selgitamise valemid võimaldavad teil liikuda töötamisest suvalise ja meelevaldselt suure nurga all töötada nurkadega vahemikus 0 kuni 90 kraadi. Me kirjutame kõik valemid tabeli kujul.

Valatud valemid

sin α + 2 π z \u003d patt α, cos α + 2 π z \u003d cos α tg α + 2 π z \u003d tg α, CTG α + 2 π z \u003d ctg α patt - α + 2 π z \u003d - patt α, cos - α + 2 π z \u003d cos α tg - α + 2 π z \u003d - tg a, ctg - α + 2 π z \u003d - ctg α pat π 2 + α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 + α + 2 π z \u003d - patt α tg π 2 + α + 2 π z \u003d - CTG α, CTG π 2 + a + 2 π z \u003d - tg α pat π 2 - α + 2 π z \u003d cos α, cos π 2 - α + 2 π z \u003d patt α tg π 2 - α + 2 π z \u003d ctg α, CTG π 2 - α + 2 π z \u003d tg α pat π + a + 2 π z \u003d - patt α, cos π + α + 2 π z \u003d - cos α tg π + a + 2 π z \u003d tg α, CTG π + α + 2 π z \u003d ctg α pat π - α + 2 π z \u003d patt α, cos π - α + 2 π z \u003d - cos α tg π - α + 2 π z \u003d - tg α, ctg π - α + 2 π z \u003d - ctg α sin 3 π 2 + α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 + a + 2 π z \u003d patt α tg 3 π 2 + a + 2 π z \u003d - CTG α, CTG3 π 2 + α + 2 π z \u003d - tg α 15 π 2 - α + 2 π z \u003d - cos α, cos 3 π 2 - α + 2 π z \u003d - patt α tg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d ctg a, ctg 3 π 2 - α + 2 π z \u003d tg α

Sel juhul salvestatakse valemid radiaanidega. Siiski saate salvestada need ja kasutades kraadi. See on piisav lihtsalt tõlkida radialasi kraadi, asendades π 180 kraadi.

Näited valemite kasutamise kohta

Näitame, kuidas kasutada valemite ja nende valemite kasutamist praktiliste näidete lahendamisel.

Trigonomeetrilise funktsiooni märkide all olevat nurka saab esindada mitte ühe võrra, vaid mitmel viisil. Näiteks argument trigonomeetrilise funktsiooni saab esindada tüüpi ± α + 2 π Z, π 2 ± α + 2 π Z, π ± α + 2 π Z, 3 π 2 ± α + 2 π Z. Me näitame seda.

Võtke nurk α \u003d 16 π 3. Seda nurka saab kirjutada sellisena:

α \u003d 16 π 3 \u003d π + π 3 + 2 π · 2 a \u003d 16 π 3 \u003d - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200bα \u003d 16 π 3 \u003d 3 π 2 - π 6 + 2 π

Sõltuvalt nurga esitlusest kasutatakse vastavat valemit.

Võta sama nurk α \u003d 16 π 3 ja arvutage selle puutuja

Näide 1. Valemite kasutamine

α \u003d 16 π 3, t g a \u003d?

Kujutage ette nurga α \u003d 16 π 3 vormis α \u003d π + π 3 + 2 π π π π · 2

See vaade nurgale vastab valemile

t g (π + α + 2 π z) \u003d t g a

t G 16 π 3 \u003d t g π + π 3 + 2 π · 2 \u003d t g π 3

Tabeli ärakasutamine, täpsustage puutuja väärtus

Nüüd kasutame teise nurga α \u003d 16 π 3 kujutist.

Näide 2. Kasutades valemit

α \u003d 16 π 3, t g a \u003d? α \u003d - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200bt g 16 π 3 \u003d t g - 2 π 3 + 2 π · 3 \u200b\u200b\u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Lõpuks kolmanda vaatenurga nurgal

Näide 3. Kasutades valemit

α \u003d 16 π 3 \u003d 3 π 2 - π 6 + 2 π t G3 π 2 - α + 2 π z \u003d c t g a t g a \u003d t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) \u003d C t g π 6 \u003d 3

Nüüd anname näite, et kasutada rohkem valemiini

Näide 4. Valemite kasutamine

Kujutage ette pattu 197 ° läbi sinuse ja ägeda nurga kosiini.

Selleks, et kasutada valemite tuua, peate esindama nurga α \u003d 197 ° ühes liigi

± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Vastavalt ülesande tingimusele peab nurk olema terav. Seega on meil kaks võimalust selle esitamiseks:

197 ° \u003d 180 ° + 17 ° 197 ° \u003d 270 ° - 73 °

Vastu võtma

sin 197 ° \u003d patt (180 ° + 17 °) Sin 197 ° \u003d patt (270 ° - 73 °)

Nüüd vaatame sinuse jaoks valemitele ja valige sobiv

sin (π + α + 2 πz) \u003d - Sinα patt (3 π 2 - α + 2 πz) \u003d - cosα sin 197 ° \u003d patt (180 ° + 17 ° + 360 ° z) \u003d - sin 17 ° Sin 197 ° \u003d patt (270 ° - 73 ° + 360 ° z) \u003d - COS 73 °

Mnemonic reegel

Palju valemite ja õnneks ei ole vaja neid meelde jätta. Seal on mustrid, mille jaoks saate tuletada erinevate nurkade ja trigonomeetriliste funktsioonide esitamise valemi. Neid mustreid nimetatakse mnemoniliseks reegliteks. MNEMONICA on mälestusmärk. Mnemonic reegel koosneb kolmest osast või sisaldab kolme etappi.

Mnemonic reegel

1. allika funktsiooni argument esitatakse ühes liiki

± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz

Nurk α peab seisma 0 kuni 90 kraadi.

2. Algse trigonomeetrilise funktsiooni märk on määratud. Sama märgiga on valemi paremas servas kirjutatud funktsioon.

3. Nurgade ± α + 2 πz ja π ± α + 2 πz puhul jääb esialgse funktsiooni nimi muutumatuks ja vastavalt π 2 ± α + 2 πz ja 3 π 2 ± α + 2 πz jaoks , muudatused "toimib". Sinus - kosiinil. Puutuja - Kotnence'is.

Et kasutada MNEMONIC PRAILi valemite jaoks, peate olema võimeline kindlaks määrama trigonomeetriliste funktsioonide märke ühe ringi kvartalitele. Analüüsime näiteid MNemonic reegli rakendamise kohta.

Näide 1. Mnemonic reegli kasutamine

Kirjutame valemi COS π 2 - α + 2 πz ja t g π - α + 2 πz. α - esimese kvartali usoloog.

1. Kuna tingimusel α - esimese kvartali Ulaoloogi, vahetame esimese lõigu reegli vahele.

2. Määrake COS π 2 - α + 2 πz ja T g π-α + 2 πz funktsioonide märke. Nurk π 2 - α + 2 πz on ka esimese kvartali nurk ja nurk π - α + 2 πz on teises kvartalis. Esimeses kvartalis on kosiinifunktsioon positiivne ja tangent teises kvartalis on miinusmärk. Me kirjutame, kuidas soovitud valemid selles etapis näevad välja.

cos π 2 - α + 2 πz \u003d + t g π - α + 2 πz \u003d -

3. Vastavalt nurga π 2-a + 2 π kolmandale lõikele, funktsiooni funktsioon muutub segasesse ja nurga π-α + 2 πz jaoks jääb samaks. Me kirjutame:

cos π 2 - α + 2 πz \u003d + patt α t g π - α + 2 πz \u003d - t g α

Ja nüüd ma vaatan ülaltoodud valemit ja veenduge, et mnemoniline reegel töötab.

Mõtle näide konkreetse nurga α \u003d 777 °. Esitame alfa-siinse terava nurga trigonomeetrilisele funktsioonile.

Näide 2. Mnemonic reegli kasutamine

1. Kujutage ette α \u003d 777 ° nõutava vormi

777 ° \u003d 57 ° \u003d 57 ° + 360 ° · 2 777 ° \u003d 90 ° - 33 ° + 360 ° · 2

2. Lähtenurk - esimese kvartali nurk. Niisiis on sinine nurgas positiivne märk. Selle tulemusena on meil:

3. Sin 777 ° \u003d patt (57 ° + 360 ° · 2) \u003d Sin 57 ° Sin 777 ° \u003d patt (90 ° - 33 ° + 360 ° ~ 2) \u003d COS33 °

Nüüd kaaluge näidet, mis näitab, kuidas on oluline õigesti määratleda trigonomeetrilise funktsiooni märk ja esitada mümilise reegli kasutamisel õigesti nurk. Korrake uuesti.

Oluline!

Nurk α peab olema terav!

Arvutage nurga 5 π 3 puutuja. Peamiste trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelist on võimalik kohe väärtuse t g 5 π 3 \u003d - 3, kuid me rakendame mnemonilist reeglit.

Näide 3. Mnemonic reegli kasutamine

Kujutage ette nurga α \u003d 5 π 3 nõutavas vormis ja kasutage reeglit

t G 5 π 3 \u003d t G3 π 2 + π 6 \u003d - C t g π 6 \u003d - 3 t g 5 π 3 \u003d t g 2 π - π 3 \u003d - t g π 3 \u003d - 3

Kui te esindate alfa-nurka kujul 5 π 3 \u003d π + 2 π 3, siis mnemonilise reegli kasutamise tulemus on vale.

t g 5 π 3 \u003d t g π + 2 π 3 \u003d - t g 2 π 3 \u003d - (- 3) \u003d 3

Vale tulemus on tingitud asjaolust, et nurk 2 π 3 ei ole äge.

Selgitamise valemite tõendamine põhineb trigonomeetriliste funktsioonide sageduse ja sümmeetria omadustel, samuti ülemineku omadused π 2 ja 3 π 2 nurkade omadustele. Kõikide valatud valemite õigluse tõendid tehakse erapooletult, võtmata arvesse 3 πz plakerit, kuna see tähistab nurga muutumist täisarvude arvuga täielike revolutsioonide arvuga ja peegeldab sageduse vara.

Esimesed 16 valemid järgivad otse peamiste trigonomeetriliste funktsioonide omadustest: sinus, kosiin, puutuja ja katananid.

Me anname tõendid sinuse ja kosiini valemite kohta

sin π 2 + α \u003d cos α ja cos π 2 + a \u003d - patt α

Vaatame ühiku ringi, mille esialgne punkt, mis pärast liikumist liigutasid nurk α punktini 1 x, Y ja pärast nurga π 2 + a - punkti a 2-ni pöörlemist. Mõlemast punktist teeme me risti Abscissa telje suhtes.

Kaks ristkülikukujulist kolmnurka O 1H1 ja O2H2 on võrdne hüpotenuse ja nurkade kõrval. Ringi ja võrdsete kolmnurkade punktide asukohast võib järeldada, et punkt a 2 on koordinaatide 2 - y, x. Kasutades mõisted sinuse ja kosiini, kirjutada:

sin α \u003d y, cos α \u003d x, sin π 2 + a \u003d x, cos π 2 + a \u003d y

sin π 2 + α \u003d cos α, cos π 2 + a \u003d - patt α

Võttes arvesse trigonomeetria peamisi identiteete ja lihtsalt tõestate, saate salvestada

tG π 2 + α \u003d patt π 2 + α cos π 2 + a \u003d cos α - patt α \u003d - ctg α ctg π 2 + a \u003d cos π 2 + α pat π 2 + a \u003d - patt α cos α \u003d - - Tg α.

Et tõestada valemite argument π 2 - α, see peab olema esindatud π 2 + (- α). Näiteks:

cos π 2 - α \u003d cos π 2 + (- α) \u003d - patt (- a) \u003d patt α

Tõend kasutab trigonomeetriliste funktsioonide omadusi märkide vastupidiste argumentidega.

Kõiki teisi selgituste valemeid saab tõendada eespool nimetatud põhjal.

Kui märkate teksti viga, valige see ja vajutage Ctrl + Enter

Need viitavad matemaatika sektsioonile "trigonomeetria". Nende olemus peitub nurkade trigonomeetriliste funktsioonide tuues "lihtsa" meelele. Te saate kirjutada palju nende teadmiste tundmise tähtsusest. Need valemid on juba 32 tükki!

Ära karda, ei ole vaja neid õpetada, nagu paljud teised valemid matemaatika käigus. Te ei pea vajama tarbetut teavet, peate meelde jätma "võtmed" või seadused ning meeles pidama või tühistama vajalik valem ei ole probleem. Muide, kui ma kirjutan artiklites "... sa pead õppima !!!" - See tähendab, et see on tõesti vaja õppida.

Kui te ei ole tuttav valemitega, siis nende järelduse lihtsus üllatab teid meeldivalt - "Seadus", millega seda on lihtne teha. Ja ükskõik milline 32 valemitest kirjutate 5 sekundi jooksul.

Ma loetlen ainult mõningaid ülesandeid, mis on eksamil matemaatikas, kus ilma nende valemite teadmata On suur tõenäosus kannatada Fiasko kannatavad otsuses. Näiteks:

- Ristkülikukujulise kolmnurga lahendamise ülesanded, kus me räägime välise nurga all ja mõned neist valemitest on vajalikud ka sisemiste nurkade ülesannete täitmiseks.

- trigonomeetriliste väljendite väärtuste arvutamise ülesanded; numbriliste trigonomeetriliste väljendite ümberkujundamine; Tähelehtede trigonomeetriliste väljendite ümberkujundamine.

- Tööjõu puutuja ja geomeetrilise tähenduse ülesanded nõuab puutuja, samuti muid ülesandeid.

- Stereomeetrilised ülesanded, lahenduse käigus ei ole harva kindlaks määrata nurga siin või kosiini, mis seisneb 90 kuni 180 kraadi vahel.

Ja need on vaid need hetked, mis on seotud eksamiga. Ja väga kursuse algebral on palju ülesandeid, kui lahendamisel, mis ei tea valem, lihtsalt ei saa teha.

Niisiis, mis toimub ja kuidas kokkulepitud valemid lihtsustavad meile ülesandeid?

Näiteks peate defineerima sinuse, kosiini, puutuja või ükskõik millise nurga altpoolt 0 kuni 450 kraadi:

aLFA nurga all seisneb piirid alates 0 kuni 90 kraadi

* * *

Niisiis on vaja mõista "seadust", mis toimib siin:

1. Määrake funktsiooni märk asjakohases kvartalis.

Tuletame neile meelde:

2. Pea meeles järgmist:

funktsioon varieerub tofiline

professionaalsuse funktsioon ei muutu

Mida tähendab kontseptsioon - funktsioon muutub toimib?

Vastus: Sine muutub kosiini või vastupidi, puutuja Kotannce'il või vastupidi.

See on kõik!

Nüüd, vastavalt esitatud seadusele paigaldame mitmeid valemid joondamise:

See nurk asub kolmandas kvartalis, kosiini kolmandas kvartalis on negatiivne. Ärge muutke funktsiooni toimib, sest meil on 180 kraadi, see tähendab:

Nurk asub esimeses kvartalis, Sinus esimeses kvartalis on positiivne. Me ei muuda funktsiooni tofunktsiooni, kuna meil on 360 kraadi, see tähendab:

Siin on teine \u200b\u200bkinnitus, et külgnevate nurkade siin on võrdsed:

Nurk asub teises kvartalis, teine \u200b\u200bkvartali sinus on positiivne. Me ei muuda funktsiooni tofunktsioonile, kuna meil on 180 kraadi, see tähendab:

Teeni vaimselt või kirjutada iga valemi ja te veenduge, et pole midagi keerulist.

***

Otsuse artikkel täheldati sellist asjaolu - ühe äge nurga sinus ristkülikukujuline kolmnurk See on võrdne teise ägeda nurga kosiiniga.

Saadud valemid on suhtarvud, mis võimaldavad teil minna sinusest, kosiinist, puutujalt ja katankestest `sugu (PI) 2 pm", `\\ PM \\ t PI) 2 \\ PM "\\ PM-i,` 2 \\ Pi \\ t Seega valemid, mis toovad "plii" töötada nurkadega 0 kuni 90 kraadi, mis on väga mugav.

Kõik koos 32 tükki toomise valemitega. Nad on kahtlemata osa eksamitest, eksamitest, krediitidest. Aga see on kohe ettevaatlik, et neid meelde jätta ei ole vajalik! On vaja kulutada veidi aega ja mõista nende rakenduse algoritmi, siis ei ole teil õigel ajal raske vajaliku võrdsuse tühistamiseks raske.

Esiteks kirjutage kõik valemid:

Nurga jaoks (`frac (PI) 2 PM \\ thte") või (`90 ^ cir \\ t pm"):

`patt (sugu (PI) 2 - \\ alfa) \u003d cos \\ naast;
`Cos (Frac (PI) 2 - \\ alfa) \u003d patt \\ \\ nakkuse;` cos (sugu (PI) 2 +
`TG (FRAC (PI) 2 - \\ alfa) \u003d CTG \\ \\ t" `tg (Frac (PI) 2 + \\ t) \u003d - CTG \\ \\ t"
`CTG (Frac (PI) 2 - \\ alfa) \u003d Tg \\ t" CTG (Frac (PI) 2 + \\ t) \u003d - Tg \\ t

Nurga ("\\ Pi \\ PM") või (`180 ^ cir \\ tma \\ alpha`):

`patt (PI - \\ alfa) \u003d patt \\ \\ t" `patt (PI + \\ alfa) \u003d - patt \\ \\ t
`Cos (Pi - \\ alfa) \u003d - cos \\ \\ t alfa;` cos (PI + \\ alfa) \u003d - cos \\ t
`Tg (\\ Pi - \\ alfa) \u003d - Tg \\ \\ t" `Tg (PI + \\ alfa) \u003d Tg \\ t
`CTG (\\ Pi - \\ alfa) \u003d - CTG \\ t" CTG (PI + \\ alfa) \u003d CTG \\

Nurga jaoks (`sugu (3 PI) 2 PM" \\ t alfa ") või (` 270 ^ cir 00 \\ TOPHA`):

`Patt (Frac (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - COS \\ \\ t
`Cos (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - patu \\ \\ t
`Tg (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d CTG \\ t" tg (FRAC (3 PI) 2 + \\ Tal) \u003d - CTG \\ \\ t "
`CTG (FRAC (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d Tg \\ t" "` `CTG (Frac (3 PI) 2 + \\ t) \u003d - Tg \\ t

Nurk (`2 \\ Pi \\ PM \\ alpha`) või (` 360 ^ cir 00 \\ alpha`):

`patt (2 Pi - \\ alfa) \u003d - patt \\ \\ ien-;` `patt (2 PI + \\ alfa) \u003d patt \\ t
`Cos (2 Pi - \\ alfa) \u003d cos \\ naast;` cos (2 PI + \\ alfa) \u003d cos \\ the
`Tg (2 PI - \\ alfa) \u003d - Tg \\ \\ t" Tg (2 PI + \\ alfa) \u003d Tg \\ t
`CTG (2 PI - \\ alfa) \u003d - CTG \\ t" CTG (2 PI + \\ alfa) \u003d CTG

Sageli on võimalik vastata tabeli esitamise valemile, kus nurgad registreeritakse radiaanides:

Selle kasutamiseks peate valima vajaliku funktsiooniga stringi ja veerg soovitud argumendiga. Näiteks, et teada saada tabeli abil, siis milline on "patt (PI + \\ alfa)`, on piisav, et leida vastus ristmikul `patt \\ beeta" ja veerg "PI + \\ T `. Me saame `patt (PI + \\ alfa) \u003d - patu".

Ja teine \u200b\u200bsarnane tabel, kus nurgad registreeritakse kraadides:

Mnemonic reegel valemite tuua või kuidas neid mäletada

Nagu me juba mainisime, ei pea te kõiki ülalmainitud suhteid meelde jätma. Kui sa vaatasid neid tähelepanelikult, märkasin ilmselt mõningaid mustreid. Nad võimaldavad meil koostada mnemonic reegel (mnemonics - meelde jätta), millega on lihtne saada kedagi, kellel on tuua valemitega.

Vahetult märgime, et selle reegli rakendamiseks peate olema võimelised kindlaks tegema (või mäletavad) ühe ringi erinevates kvartalites trigonomeetriliste funktsioonide märke.
Suurenenud ise sisaldab 3 etappi:

    1. Funktsiooni argument peab olema esindatud kujul "Frac (PI) 2 PM \\ t alfa", `Pi \\ alfa", `\\ Frac (3 PI) 2 PM \\ alfa", `2 PI \\ PM \\ alfa` ja `\\ alfa` on tingimata terav nurk (0 kuni 90 kraadi).
    2. Argumentide jaoks `Frac (PI) 2 PM \\ t alfa", `sugu (3 PI) 2 \\ Pm \\ t alfa" trigonomeetriline funktsioon Transformeeritud ekspressiooni muutused tofunktsiooni, mis on vastupidine (sinus kosiinis, puutuja catanangenis ja vastupidi). Argumendid `\\ Pi \\ PM \\ alfa`,` 2 \\ Pi \\ PM \\ alfa "funktsioon ei muutu.
    3. Algse funktsiooni märk on määratud. Saadud funktsioon paremal osal on sama märk.

Et näha, kuidas praktikas saate seda reeglit rakendada, muudame mitmeid väljendeid:

1. `cos (PI + \\ alfa)`.

Funktsioon ei muuda vastupidist. Anurk `\\ PI + \\ alfa` on kolmandas kvartalis, kosiini selles veerandil on märk" - ", nii et transformeeritud funktsioon on ka tähisega" - ".

Vastus: `cos (PI + \\ alfa) \u003d - cos \\ alfa`

2. "patt (sugu (3 PI) 2 - \\ alfa)`.

Mnemonionilise reegli kohaselt muutub funktsioon vastupidisele vastupidisele. Nurk "Frac (3 PI) 2 - \\ na" on kolmandas kvartalis, siinus siin on märk "-", nii et tulemus on ka märk "-".

Vastus: `patt (Frac (3 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - cos \\ alfa"

3. `cos (FRAC (7 PI) 2 - \\ alfa)`.

`Cos (Frac (7 PI) 2 - \\ alfa) \u003d cos (Frac (6 PI) 2+ \\ Frac (PI) 2- \\ alfa) \u003d cos (3 PI + (\\ t PI) 2- \\ alpha)) `. Kujutage ette `3 Pi` kuidas` 2 PI + \\ Pi`. "2 PI" on funktsiooni periood.

TÄHTIS: Funktsioonid `COS

Selle põhjal saab meie väljendust kirjutada järgmiselt: `cos (PI + (PI) 2- \\ T-)`. Rakendades kaks korda mnemonic reegli, saame: `cos (PI + ( Frac (PI) 2- \\ T alfa) \u003d - cos (Frac (PI) 2- \\ alfa) \u003d - patt \\ alfa ".

Vastus: `cos (FRAC (7 PI) 2 - \\ alfa) \u003d - patt \\ alfa`.

Hobujõudu

Eespool nimetatud mnemonionilise reegli teist punkti nimetatakse ka hobujõuduks. Ma ei tea, miks hobujõudu?

Niisiis, meil on funktsioone argumentidega `\\ Frac (PI) 2 PM \\ t alfa", `\\ Pi \\ PM-\\ alfa", `sugu (3 PI) 2 \\ Pm \\ t alfa", `2 PM \\ PM-s, potid `Frac (PI) 2`,` \\ Pi`, `sugu (3 PI) 2`,` 2 PI` on võti, nad asuvad koordinaatide teljed. "Pi` ja` 2 Pi` horisontaalsetel teljel Abscissa ja` Frac (PI) 2` ja` sugu (3 PI) 2` vertikaalse telje koordinaat.

Me küsime endalt küsimust: "Kas funktsiooni toimib funktsiooni?" Sellele küsimusele vastamiseks peate oma pea liigutama piki telje, millele peamine punkt asub.

See tähendab, et horisontaalsetel teljel asuvate põhipunktidega argumentide puhul vastame osapoolte "ei". Ja nurkade jaoks peamiste punktidega, mis asuvad vertikaalteljel, vastame "jah", noogutapea ülalt allapoole nagu hobune 🙂

Soovitame vaadata videoõpetust, kus autor selgitab üksikasjalikult, kuidas meeles pidada loomingu valemeid ilma südame meeldeta.

Praktilised näited valemite kasutamisest

Rakendus loomise valem algab 9, 10. klassi. Paljud ülesanded nende kasutamisega tehakse eksamil. Siin on mõned ülesanded, kus need valemid peavad rakendama:

  • ristkülikukujulise kolmnurga lahendamise ülesanded;
  • numbriliste ja kirjade trigonomeetriliste väljendite muutmine, nende väärtuste arvutamine;
  • stereomeetrilised ülesanded.

Näide 1. Arvutage valemite A) `Sin 600 ^ cresc`, b)` TG 480 ^ Ring`, c) `cos 330 ^ cir`, d)` sin 240 ^ cir`.

Lahendus: a) `Sin 600 ^ cresc \u003d patt (2 CDOT 270 ^ Cir cir + 60 ^ ciring) \u003d - cos 60

b) `TG 480 ^ cresc \u003d TG (2 CDOT 270 ^ cir cir-60 ^ ciring) \u003d CTG 60 ^ cir \u003d frac (SQRT 3) 3`;

c) `cos 330 ^ cir \u003d cos (360 ^ cir-30 cres) \u003d cos 30 ^ cirs \u003d frac (SQRT 3) 2`;

d) `Sin 240 ^ cresc \u003d patt (270 ^ cir-30 cres) \u003d - cos 30 ^ cresc \u003d - prac (SQRT 3) 2`.

Näide 2. Kosiini ekspresseerimist sinuse kaudu Sinuse kaudu vastavalt numbrite võrdlemise valemitele: 1) "patt \\ frac (9 PI) 8` ja" cos \\ frac (9 PI) 8`; 2) `patt \\ frac (PI) 8` ja` cos \\ frac (3 PI) 10`.

Lahendus: 1) `patt \\ frac (9 PI) 8 \u003d patt (PI + \\ Frac (PI) 8) \u003d - patt \\ frac (PI) 8`

`Cos \\ frac (9 PI) 8 \u003d cos (PI + sugu (PI) 8) \u003d - cos \\ frac (PI) 8 \u003d -sin \\ frac (3 PI) 8`

`-sin \\ frac (PI) 8\u003e -sin \\ frac (3 PI) 8`

`Patt \\ frac (9 PI) 8\u003e cos \\ frac (9 PI) 8`.

2) `cos \\ frac (3 PI) 10 \u003d cos (FRAC (PI) 2- \\ Frac (PI) 5) \u003d patt \\ frac (PI) 5`

"Patt \\ frac (PI) 8

"Patt \\ frac (PI) 8

Kõigepealt tõendame kahte valemit siinse ja kosiini argumenti jaoks `\\ Frac (PI) 2 + \\ t" pattu (PI) 2 + \\ t) \u003d cos \\ the "cos (frac) (PI) 2 + \\ alfa) \u003d - patt \\ \\ t alfa ". Ülejäänud on nendest tuletatud.

Võtke üks ring ja punkt a koordinaatide (1,0). Lase pärast sisselülitamist sisse lülitada anurk `\\ alfa` see läheb punkti` a_1 (x, y)` ja pärast pöörlemist nurga` rharge (PI) 2 + \\ alfa punkt `a_2 (-u, x) `. Nendest punktidest pärit punktide alandamine otse Oh, näeme, et kolmnurgad "oa_1h_1" ja "oa_2h_2" on võrdsed, kuna nende hüpoteenused ja külgnevad nurgad on võrdsed. Seejärel põhineb sinuse ja kosiini määratlustel, saate kirjutada `patt \\ alfa \u003d y`,` cos \\ alfa \u003d x`, `patt (Frac (PI) 2 + \\ t) \u003d x`,` cos ( Frac (PI) 2 + \\ alfa) \u003d - y ". Kust ma saan kirjutada sellest `patt (Frac (PI) 2 + \\ alfa) \u003d cos \\ alfa` ja` cos (PI) 2 + \\ alfa) \u003d - patt \\ alfa", mis tõestab Sinuse ja kosiini nurga valem "Frac (PI) 2 + \\ t.

Tangendi ja Kotangendi määratluse jätmine, saame `Tg (Frac (PI) 2 + \\ alfa) \u003d Frac (patt (PI) 2 + \\ t))) (cos (Frac (PI) ) 2 + \\ alfa)) \u003d frac (cos \\ alfa) (- patt \\ alfa) \u003d - CTG \\ alfa` ja `CTG (FTG (PI) 2 + \\ t) \u003d frac (cos (PI) 2 + \\ alfa)) (patu (PI) 2 + \\ alfa)) \u003d Frac (-Sin \\ alfa) (cos \\ alfa) \u003d - TG \\ alfa ", mis tõestab valemit puutuja ja cotangens nurga valamise eest "Frac (PI) 2 + \\ t.

Et tõestada valemi argumenti "Frac (PI) 2 - \\ alfa", see on piisav, et esitada seda "sugu (PI) 2 + (- \\ alfa)` ja teha samamoodi nagu eespool. Näiteks `cos (FAC (PI) 2 - \\ alfa) \u003d cos (Frac (PI) 2 + (- \\ alfa)) \u003d - patt (- \\ alfa) \u003d patt (\\ alfa)`.

"PI + \\ alfa" ja "Pi - \\ alfa" nurgad võivad esindada `frac (PI) 2+ (Frac (PI) 2+ \\ alfa)` ja "frac (\\ t PI) 2 + (Frac (PI) 2- \\ alfa) `vastavalt.

A` frac (3 PI) 2 + \\ alfa` ja `sugu (3 PI) 2 - \\ alfa`` pI + (sugu (PI) 2+ \\ alfa) `ja" Pi + (Sugu (PI) 2- \\ alfa) `.