Lihtsaim trigonomeetriline võrrandid lahendatakse reeglina vastavalt valemitele. Lubage mul teile meelde tuletada, et neid trigonomeetrilisi võrrandeid nimetatakse lihtsaimaks:

sINX \u003d A.

cOSX \u003d A.

tGX \u003d A.

cTGX \u003d A.

x - nurk, mida soovite leida
a - Iga number.

Kuid valemid, millega saate nende lihtsate võrrandite otsuseid kohe kirjutada.

Sinus:


Kosiini jaoks:

x \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ z


Puutuja jaoks:

x \u003d arctg a + π n, n ∈ z


Kotnence jaoks:

x \u003d ARCCTG A + π N, n ∈ Z

Tegelikult on see lihtsaimate trigonomeetriliste võrrandite lahenduse teoreetiline osa. Ja kõik!) Midagi. Selle teema vigade arv lihtsalt rullub. Eriti, väikese kõrvalekalde näite melli. Miks?

Jah, sest inimeste mass kirjutab need tähed, Ärge mõistke nende tähendust absoluutselt!Ettevaatusega kirjutab, kuidas ei juhtuks ...) See on vajalik selle välja mõelda. Trigonomeetria inimestele või inimestele trigonomeetria jaoks, lõpuks!?)

Võta?

Üks nurgas on meiega võrdne aRCCOS A, Teiseks: -ARCCOS a.

Ja nii see on alati võimalik. Mis tahes aga.

Kui te ei usu, libistage hiirt pildi peale või puudutage tableti pilti.) Ma muutsin numbrit aga Mingit negatiivset. Igatahes, üks nurgas osutus aRCCOS A, Teiseks: -ARCCOS a.

Järelikult saab vastust alati kirjutada juurte kahe numbri kujul:

x 1 \u003d arccos a + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d - arccos a + 2π n, n ∈ z

Me ühendame need kaks seeria ühte:

x \u003d ± arccos a + 2π n, n ∈ z

Ja kõik asjad. Sai üldise valemiga, et lahendada kõige lihtsama trigonomeetrilise võrrandiga kosiiniga.

Kui te mõistate, et see ei ole mingi ülem tarkus, kuid lihtsalt lühendatud salvestus kahe vastuse seeria, Sina ja ülesanded "C" on õlal. Ebavõrdsusega koos juurte valikuga antud intervalliga ... Ei ole vastust pluss / miinus. Ja kui te arvate, et vastus ärile, kuid murda see kaheks eraldi vastuseks, kõik on lahendatud.) Tegelikult selle eest me mõistame. Mis, kuidas ja kus.

Lihtsaim trigonomeetrilise võrrandi

sINX \u003d A.

saadakse ka kaks juurte rida. Alati. Ja neid kahte seeriat saab registreerida ka Üks rida. Ainult see rida õmblemine on:

x \u003d (-1) n arcsiin a + π n, n ∈ z

Kuid sisulisus jääb samaks. Matemaatika lihtsalt kujundas valemi asemel kaks kirjet seeria juured, tehke üks. Ja see on kõik!

Kontrollige matemaatikuid? Ja siis mitte kunagi ...)

Eelmises õppetund, otsus (ilma valemiteta) trigonomeetrilise võrrandi sinusega detailselt detailselt:

Vastus osutus kaheks juuresarjadeks:

x 1 \u003d π / 6 + 2π n, n ∈ z

x 2 \u003d 5π / 6 + 2π n, n ∈ z

Kui me otsustame sama võrrandi valemiga, saame vastuse:

x \u003d (-1) n arcsiin 0,5 + π n, n ∈ z

Tegelikult on see lõpetamata vastus.) Õpilane on kohustatud seda teadma arcsiin 0,5 \u003d π / 6.Täiendav vastus on:

x \u003d (-1) n π / 6. + π n, n ∈ z

Siin tekib huvi küsida. Vastus läbi x 1; x 2 (See on õige vastus!) Ja üksildase h. (Ja see on õige vastus!) - Sama või mitte? Nüüd me saame teada.)

Me asendame vastuse x 1 väärtused n. \u003d 0; üks; 2; Jne Me usume, et saame rea juured:

x 1 \u003d π / 6; 13π / 6; 25π / 6. jne.

Sama asendamise vastuseks x 2 Saame:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π / 6; 29π / 6. jne.

Ja nüüd me asendame väärtusi n. (0; 1; 2; 3; 4 ...) üldises valemis Lonely h. . Need me ehitame ühe null kraadi, siis esimese, teise jne Loomulikult asendame loomulikult 0; üks; 2 3; 4 jne. Ja uskuge. Me saame seeria:

x \u003d π / 6; 5π / 6; 13π / 6; 17π / 6; 25π / 6. jne.

See on nähtav.) Üldvalem annab meile täpselt samad tulemused Kaks vastust eraldi. Ainult kõik korraga paar. Ei petta matemaatika.)

Samuti saab kontrollida trigonomeetriliste võrrandite lahendamise valemeid puutuja ja kotangendi lahendamiseks. Aga me ei.) Nad on nii lihtsad.

Ma värvisin selle asendamise ja kontrollin konkreetselt. Oluline on mõista ühte lihtsat asja: elementaarsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamise valemid on, ainult vastuste lühike kirje. Selle lühiduse jaoks oli vaja lisada pluss / miinus kosiini ja (-1) N lahusesse sinuse lahusesse.

Need lisad ei sekku ülesandeid, kus sa lihtsalt vaja kirjutada elementaarse võrrandi vastuse. Aga kui teil on vaja lahendada ebavõrdsust või siis peate tegema midagi vastusega: valige juured intervallil, kontrollige OTZ jne, need lisad võivad kergesti koputada ruti.

Ja mida teha? Jah, või kirjutage vastus kahe seeria kaudu või lahendage võrrand / ebavõrdsus trigonomeetrilises ringis. Siis kaovad need lisad ja elu lihtsamaks.)

Saate kokku võtta.

Kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks on vastuste jaoks valmis valemid valmis. Neli tükki. Nad on hea vahetu salvestamise lahendamisel võrrandi. Näiteks on vaja võrrandeid lahendada:


sINX \u003d 0,3.

Lihtsalt: x \u003d (-1) n arcsiin 0,3 + π n, n ∈ z


cOSX \u003d 0,2

Pole probleemi: x \u003d ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ z


tGX \u003d 1,2

Lihtne: x \u003d ARCTG 1,2 + π n, n ∈ z


cTGX \u003d 3.7.

Üks vasak: x \u003d ARCCTG3,7 + π n, n ∈ z

cos x \u003d 1,8

Kui te, villimine kirjutage kohe vastus:

x \u003d ± arccos 1.8 + 2π n, n ∈ z

siis sa säravad juba, see ... see ... alates Puddles.) Õige vastus: lahendusi ei ole. Ära mõista, miks? Lugege, mis on arosiin. Lisaks, kui tabeli väärtused sinuse, kosiini, puutuja, kotangens seisab paremal pool algse võrrandi, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 jne. - vastus kaare kaudu on lõpetamata. Kaarjad tuleb üle kanda radiaanidele.

Ja kui sa püütud ebavõrdsuse, näiteks

see vastus kujul:

x πn, n ∈ z

on haruldane Achinea, YES ...) On vaja lahendada trigonomeetriline ring. Mida me vajame sobivas teema.

Neile, kes neid jooni kangelaslikult lugesid. Ma lihtsalt ei saa hinnata oma Titanic jõupingutusi. Sa boonus.)

Boonus:

Kui valemite kirjutamine murettekitavas võitluses olukorras on isegi karastatud uuringud segaduses, kus πn Ja kus 2π n. Siin on lihtne vastuvõtja. Sisse kõik Valemid on väärt πn. Lisaks ainus valemile Arkkosiiniga. See seisab seal 2πn. Kaks korda mänd. Märksõna - kaks. Samas ainulaadne valem kaks korda Märk alguses. Plus ja miinus. Siin-seal - kaks.

Nii et kui sa kirjutad kaks korda Logi sisse Arkkosiini ees, see on lihtsam meeles pidada, et lõpus tahe kaks korda mänd. Ja vastupidine juhtub. Kadunud mehe märk ± jõuab lõpuni, kirjutage õigesti kaks korda Piine ja ta rikub. Enne midagi ees kaks korda Sign! Mees naaseb algusesse, kuid viga parandab selle! Nagu nii.)

Kui sulle meeldib see sait ...

Muide, mul on teile veel üks paar huvitavat saiti.)

Seda saab kasutada näidete lahendamisel ja teie taseme teada saada. Testimine kiirgage. Õpi - huviga!)

Te saate tutvuda funktsioone ja derivaatidega.

Saate tellida üksikasjaliku lahenduse oma ülesandele !!!

Võrdõiguslikkust, mis sisaldab tundmatut trigonomeetrilist funktsiooni (`pattu x, cos x, TG X" või "CTG X) nimetatakse trigonomeetriliseks võrrandile, kaalume nende valemeid veelgi.

Kõige lihtsamaid nimetatakse võrranditeks `pattu x \u003d a, cos x \u003d a, tg x \u003d a, ctg x \u003d a", kus "X" on nurk, mis leiab, `A` Me kirjutame igale neist valemi juured.

1. võrrand `pattu x \u003d a`.

Mis `|\u003e 1` ei ole lahendusi.

`| A | LeQ 1` on lõpmatu arv lahendusi.

Vormel Roots: `x \u003d (- 1) ^ n arcsiin A + \\ Pi n, n z"

2. Võrdmik `cos x \u003d a`

Mis `|\u003e 1` - nagu Sinuse puhul ei ole kehtivate numbrite seas lahendusi.

`| A | LeQ 1` on lõpmatu seatud lahendused.

Vormel Roots: `x \u003d PM ARCCOS A + 2 PI N, N z"

Privaatsed juhtumid sinuse ja kosiini jaoks graafikutes.

3. Võrrand "TG X \u003d A`

Sellel on lõpmatu lahenduste komplekt mis tahes väärtuste jaoks.

Rootsi valem: `x \u003d ARCTG A + PI N, N z"

4. Võrrand "CTG X \u003d A`

Sellel on ka lõpmatu seatud lahendused iga väärtuste jaoks `A`.

Vormel Roots: `X \u003d ARCCTG A + PI N, N z"

Trigonomeetriliste võrrandite juurte valemid tabelis

Sinus:
Kosiini jaoks:
Puutuja ja Kotnence jaoks:
Valemid võrrandite lahendamiseks, mis sisaldavad inverse trigonomeetrilisi funktsioone:

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid

Lahus tahes trigonomeetrilise võrrandi koosneb kahest etapist:

  • muundades selle kõige lihtsamale;
  • selle lahendamiseks saadud lihtsama võrrandi lahendamiseks kasutage ülaltoodud juurte ja tabelite ülaltoodud kirjalikke valemeid.

Kaaluge näidete lahenduste põhilisi meetodeid.

Algebraline meetod.

Selles meetodis asendatakse muutuja ja selle asendamine võrdseks.

Näide. Lahenda võrrandi: `2cos ^ 2 (x + \\ frac \\ P 6) -3sin (Frac \\ PI 3 - X) + 1 \u003d 0``

`2Cos ^ 2 (x + \\ frac \\ Pi 6) -3cos (x + \\ frac \\ Pi 6) + 1 \u003d 0`

teeme asendamise: `cos (x + \\ frac \\ Pi 6) \u003d y`, siis` 2y ^ 2-3Y + 1 \u003d 0`,

me leiame juured: `y_1 \u003d 1, y_2 \u003d 1/2, millest kaks juhtumit järgnevad:

1. `cos (x + \\ frac \\ Pi 6) \u003d 1` x + \\ frac \\ Pi 6 \u003d 2 PI n`,` x_1 \u003d - frac \\ Pi 6 + 2 Pi n`.

2. `COS (x + \\ frac \\ Pi 6) \u003d 1/2`,` x + \\ frac \\ Pi 6 \u003d PM ARCCOS 1/2 + 2 PI n ",` x_2 \u003d \\ PM 3- PI 6 + 2 PI n ".

Vastus: `x_1 \u003d - \\ Pi 6 + 2 PI n`,` x_2 \u003d PM \\ PM \\ Pi 3- \\ Frac \\ Pi 6 + 2 \\ Pi n`.

Faktoratsiooni.

Näide. Lahenda võrrandi: `pattu x + cos x \u003d 1`.

Otsus. Liiguta kõik võrdõiguslikkuse liikmed: `pattu x + cos x-1 \u003d 0`. Kasutades, me muudame ja lagundame vasaku osa:

`Sin x - 2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2Sin x / 2 cos x / 2-2sin ^ 2 x / 2 \u003d 0`

`2Sin X / 2 (COS X / 2-Sin X / 2) \u003d 0`

  1. `Sin X / 2 \u003d 0`,` x / 2 \u003d PI n`, `x_1 \u003d 2 PI n`.
  2. `COS X / 2-Sin X / 2 \u003d 0,` TG X / 2 \u003d 1`, `x / 2 \u003d ARCTG 1+ PI N`,` x / 2 \u003d PI / 4 + \\ Pi n ", `x_2 \u003d PI / 2 + 2 Pi n".

Vastus: `x_1 \u003d 2 PI n`,` x_2 \u003d PI / 2 + 2 PI n ".

Homogeense võrrandi tuues

Esialgu tuleks see trigonomeetriline võrrand viia ühele kahele tüübile:

`Sin x + b cos x \u003d 0 (homogeenne võrrand esimese astme) või" patt ^ 2 x + b sin x cos x + c cos ^ 2 x \u003d 0` (homogeenne võrrandi teise astme).

Seejärel jaga mõlemad osad `cos x \\ n 0` - esimesel juhul ja ON` com ^ 2 x \\ t 0` - teisele. Saame võrrand võrrandi TG X`: `TG X + B \u003d 0 ja" tg ^ 2 x + b tg x + c \u003d 0`, mis teil on vaja lahendada tuntud meetodeid.

Näide. Lahenda võrrand: `2 patt ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d 1`.

Otsus. Me kirjutame paremale küljele `1 \u003d sin ^ 2 x + cos ^ 2 x`:

`2 patt ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x \u003d` `patt ^ 2 x + cos ^ 2 x`,

`2 patt ^ 2 x + sin x cos x - cos ^ 2 x -`` pat ^ 2 x - cos ^ 2 x \u003d 0`

`sin ^ 2 x + sin x cos x - 2 cos ^ 2 x \u003d 0`.

See on teise astme homogeenne trigonomeetriline võrrand, jagame oma vasak- ja parempoolsed osad `cos ^ 2 x \\ n", saame:

`Frac (sin ^ 2 x) (cos ^ 2 x) + \\ frac (sin x cos x) (cos ^ 2 x) - \\ frac (2 cos ^ 2 x) (cos ^ 2 x) \u003d 0``"

`Tg ^ 2 x + tg x - 2 \u003d 0`. Tutvustame asendamise `tg x \u003d t`, tulemusena` t ^ 2 + t - 2 \u003d 0`. Selle võrrandi juured: `t_1 \u003d -2` ja` t_2 \u003d 1`. Siis:

  1. `TG X \u003d -2`,` x_1 \u003d ARCTG (-2) + \\ Pi n`, `n z"
  2. `Tg x \u003d 1`,` x \u003d ARCTG 1+ PI n`, `x_2 \u003d PI / 4 + \\ Pi n`,` n z.

Vastus. `x_1 \u003d ARCTG (-2) + \\ pi n`,` n z ",` x_2 \u003d PI / 4 + \\ Pi n "` n z.

Üleminek poolenurgale

Näide. Lahenda võrrandi: `11 pattu x - 2 cos x \u003d 10`.

Otsus. Avaldas kahekordse nurga valemite, selle tulemusena: `22 patt (x / 2) cos (x / 2) -` 2 cos ^ 2 x / 2 + 2 patt ^ 2 x / 2 \u003d` 10 patt ^ 2 x / 2 +10 cos ^ 2 x / 2`

`4 TG ^ 2 X / 2 - 11 TG X / 2 + 6 \u003d 0`

Ülalkirjeldatud algebralise meetodi rakendamine saame:

  1. `TG X / 2 \u003d 2`,` x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 PI n`, `n z",
  2. `TG X / 2 \u003d 3/4`,` x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 PI n`, `n z.

Vastus. `x_1 \u003d 2 ARCTG 2 + 2 PI N, N z" `x_2 \u003d ARCTG 3/4 + 2 PI n`,` n z.

Lisanurga sissetoomine

Trigonomeetrilise võrrandi `patu x + b cos x \u003d c", kus A, B, C - koefitsiendid ja X on muutuja, jagame mõlemad osad SQRT (A ^ 2 + B ^ 2) `:

"Frac A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2))) Sin X +` Frac B (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) COS X \u003d `Frac C (SQRT (A ^ 2) + B ^ 2)) `.

Koefitsiendid vasakul asuvad omadused sinuse ja kosiini, nimelt summa oma ruutude võrdne 1 ja nende moodulid ei ole rohkem kui 1. tähistavad neid järgmiselt: `Frac A (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d cos \\ varfhi`, `frac b (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d patt \\ Varphi`,` \\ Frac C (SQRT (A ^ 2 + B ^ 2)) \u003d C `, siis:

`Cos \\ varfhi pattu x + patt \\ varfhi cos x \u003d c`.

Mõelgem üksikasjalikumalt järgmise näitena:

Näide. Lahenda võrrandi: `3 pattu x + 4 cos x \u003d 2`.

Otsus. Me jagame mõlemad võrdõiguslikkuse osad `sqrt (3 ^ 2 + 4 ^ 2)`, saame:

"\\ Frac (3 pattu x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) +` `\\ Frac (4 cos x) (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) \u003d` `\\ Frac 2 (SQRT (3 ^ 2 + 4 ^ 2)) `

`3/5 pattu x + 4/5 cos x \u003d 2/5`.

Tähistage `3/5 \u003d cos \\ varfhi`,` 4/5 \u003d patt \\ varfhi`. Kuna `patt \\ Varphi\u003e 0,` cos \\ Varphi\u003e 0, siis kui abinurk, võtta `Varphi \u003d Arcsin 4 / 5`. Siis kirjutab meie võrdõiguslikkus vormis:

`Cos \\ varfhi pattu x + patt \\ varfhi cos x \u003d 2/5`

Rakendades Sinuse nurkade summa summat, kirjutame välja meie võrdsuse järgmisel kujul:

`patt (x + \\ varfhi) \u003d 2 / 5`

`X + Varphi \u003d (- 1) ^ n arcsiin 2/5 + \\ Pi n`,` n z "

`X \u003d (- 1) ^ n arcsiini 2/5-` `arcsiin 4/5 + \\ pi n`,` n z.

Vastus. `X \u003d (- 1) ^ n arcsiini 2/5-` `arcsiin 4/5 + \\ pi n`,` n z.

Murdosa-ratsionaalsed trigonomeetrilised võrrandid

Need on võrdõiguslikkuse fraktsioonidega, mille lugejaid ja nimetajaid on trigonomeetrilisi funktsioone.

Näide. Lahenda võrrand. `Frac (pattu x) (1 + cos x) \u003d 1-cos x`.

Otsus. Korruta ja jagada võrdsuse parempoolse poole "(1 + cos x)`. Selle tulemusena saame:

`Frac (pattu x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac ((1-cos x) (1 + cos x)) (1 + cos x)`

`Frac (pattu x) (1 + cos x) \u003d` `frac (1-cos ^ 2 x) (1 + cos x)`

`Frac (pattu x) (1 + cos x) \u003d` `\\ frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x)`

`Frac (pattu x) (1 + cos x) -`" frac (sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

`Frac (pattu x-sin ^ 2 x) (1 + cos x) \u003d 0`

Arvestades, et nimetaja on võrdne nulliga, ei saa me saame `1 + cos x \\ t 0,` cos x \\ ne -1`, `x x \\ n pI + 2 Pi n, n z.

Me võrdsustame nulliga lugeja fraktsiooni: `patt x-sin ^ 2 x \u003d 0`,` patt x (1-sin x) \u003d 0`. Siis `pattu x \u003d 0` või` 1-sin x \u003d 0`.

  1. `Sin x \u003d 0`,` x \u003d PI n`, `n z`
  2. `1-sin x \u003d 0`,` patt x \u003d -1`, `x \u003d PI / 2 + 2 PI n, n z.

ARVESTADES, et `x r , `n z".

Vastus. `x \u003d 2 Pi n", `n z", `x \u003d PI / 2 + 2 PI n`,` n z.

Trigonomeetria ja eriti trigonomeetriliste võrrandite puhul kasutatakse peaaegu kõigis geomeetria, füüsika, inseneriteaduse sfäärides. Õppimine 10. klassi algab, ülesanded on tingimata kohal eksami jaoks, nii et proovige meeles pidada kõiki trigonomeetriliste võrrandite valemeid - nad kasutavad teid kindlasti!

Siiski ei ole vaja neid meeles pidada, peamine asi on mõista sisuliselt ja suutma tagasi võtta. See ei ole raske, nagu tundub. Vaadake kindlasti videot.

Paljude lahendamisel matemaatilised ülesandedEriti need, mis esinesid kuni 10 klassi, määratletakse kindlasti läbi viidud toimingute menetlus, mis toovad kaasa eesmärgi saavutamisele. Need ülesanded hõlmavad näiteks lineaarseid ja ruutvõrrandid, lineaarne I. ruudu ebavõrdsus, fraktsioneerivad võrrandid ja võrrandid, mis vähendavad ruudukujulisi. Iga nimetatud ülesannete eduka lahenduse põhimõte on järgmine: on vaja kindlaks teha, kuidas tüüp on lahendatud ülesanne on seotud, et meenutada vajalikku toimingute järjestust, mis toovad kaasa soovitud tulemuse, st. Vastata ja nende tegevuste täitmiseks.

On ilmselge, et ühe või teise ülesande lahendamise edu või ebaõnnestumine sõltub peamiselt sellest, kui õigesti on võrrandi tüüp määratletud, kui õigesti on selle lahuse kõigi etappide järjestus reprodutseeritud. Muidugi on vaja oma oskuste oskusi identsed muutused ja arvutused.

Muu olukord on saadud trigonomeetrilised võrrandid. Kehtestada asjaolu, et võrrand on trigonomeetriline, absoluutselt ei ole raske. Õige vastuse põhjustanud toimingute järjestuse määramisel ilmnevad raskused.

Kõrval välimus Võrrandid Mõnikord on raske selle tüübi määrata. Ja mitte teadmata võrrandi tüüpi, on vaja mitmesuguse tosin trigonomeetrilise valemite hulgast peaaegu võimatu valida.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks peate proovima:

1. Loo kõikide võrrandi kuuluvad funktsioonid "samadesse nurkadesse";
2. Loo võrdne "identsed funktsioonid";
3. Laske tehase võrrandi vasakpoolse osa jne.

Kaaluma põhilised meetodid trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.

I. Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite tuues

Skemaatiline lahendus

Samm 1. Express trigonomeetriline funktsioon tuntud komponentide kaudu.

2. samm. Leia valemite argumentfunktsioon:

cos x \u003d a; x \u003d ± Arccos A + 2πn, n єz.

sin x \u003d a; x \u003d (-1) n arcsiin a + πn, n є z.

tG x \u003d a; x \u003d arctg a + πn, n є z.

ctg x \u003d a; X \u003d ARCCTG A + πN, n є z.

3. samm. Leia tundmatu muutuja.

Näide.

2 cos (3x - π / 4) \u003d -√2.

Otsus.

1) Cos (3x - π / 4) \u003d -√2 / 2.

2) 3x - π / 4 \u003d ± (π - π / 4) + 2πn, n є z;

3x - π / 4 \u003d ± 3π / 4 + 2πn, n є Z.

3) 3x \u003d ± 3π / 4 + π / 4 + 2πn, n є z;

x \u003d ± 3π / 12 + π / 12 + 2πn / 3, n є z;

x \u003d ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

Vastus: ± π / 4 + π / 12 + 2πn / 3, n є z.

II. Muutuse asendamine

Skemaatiline lahendus

Samm 1. Looge algebralise vormi võrrand ühe trigonomeetrilise funktsiooni suhtes.

2. samm. Määrake saadud muutuja T-funktsioon (vajadusel sisestage t) piirangud.

3. samm. Salvestage ja lahendage saadud algebralise võrrandi.

Samm 4. Tee asendamine.

5. samm. Lahenda kõige lihtsama trigonomeetrilise võrrandi.

Näide.

2COS 2 (x / 2) - 5SIN (x / 2) - 5 \u003d 0.

Otsus.

1) 2 (1 - sin 2 (x / 2)) - 5Sin (x / 2) - 5 \u003d 0;

2Sin 2 (x / 2) + 5SIN (x / 2) + 3 \u003d 0.

2) Olgu patt (x / 2) \u003d t, kus | t | ≤ 1.

3) 2T 2 + 5T + 3 \u003d 0;

t \u003d 1 või e \u003d -3/2, ei vasta tingimusele T | ≤ 1.

4) Sin (x / 2) \u003d 1.

5) X / 2 \u003d π / 2 + 2πn, n є z;

x \u003d π + 4πn, n є z.

Vastus: x \u003d π + 4πn, n є z.

III. Võrrandi järjekorra vähendamise meetod

Skemaatiline lahendus

Samm 1. Asendage see lineaarne võrrand, kasutades selleks kraadi vähendamise valemit:

sin 2 x \u003d 1/2 · (1 - cos 2x);

cos 2 x \u003d 1/2 · (1 + cos 2x);

tG 2 x \u003d (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. samm. Lahenda saadud võrrandi kasutades meetodeid I ja II.

Näide.

cos 2x + cos 2 x \u003d 5/4.

Otsus.

1) COS 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) \u003d 5/4.

2) Cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x \u003d 5/4;

3/2 · cos 2x \u003d 3/4;

2x \u003d ± π / 3 + 2πn, n є z;

x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

Vastus: x \u003d ± π / 6 + πn, n є z.

IV. Ühtsed võrrandid

Skemaatiline lahendus

Samm 1. Tuua see võrrand vormi

a) patt x + b cos x \u003d 0 (esimese astme homogeenne võrrand)

või nägema

b) patu 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x \u003d 0 (homogeenne võrrand teise astme).

2. samm. Split mõlemad osad võrrandi

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ja saada võrrand võrrandi TG X-ga:

a) tg x + b \u003d 0;

b) TG 2 X + B ARCTG X + C \u003d 0.

3. samm. Lahenda võrrandi tuntud meetoditega.

Näide.

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 \u003d 0.

Otsus.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4 (sin 2 x + cos 2 x) \u003d 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x - 4sin² x - 4cos 2 x \u003d 0;

sIN 2 X + 3SIN X · COS X - 4COS 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) TG 2 x + 3TG X - 4 \u003d 0.

3) Olgu TG x \u003d t, siis

t 2 + 3T - 4 \u003d 0;

t \u003d 1 või t \u003d -4, siis

tG X \u003d 1 või TG X \u003d -4.

Esimesest võrrandist x \u003d π / 4 + πn, n є z; Teisest võrrandi X \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.

Vastus: x \u003d π / 4 + πn, n є z; X \u003d -Arctg 4 + πk, k є z.

V. võrrandi konverteerimise meetod trigonomeetriliste valemite abil

Skemaatiline lahendus

Samm 1. Kasutades igasuguseid trigonomeetrilised valemidAnda see võrrand võrrandile, lahendatud meetoditele I, II, III, IV.

2. samm. Lahenda saadud võrrandi tuntud meetodid.

Näide.

sin X + Sin 2x + Sin 3x \u003d 0.

Otsus.

1) (Sin X + Sin 3x) + Sin 2x \u003d 0;

2Sin 2x · cos x + sin 2x \u003d 0.

2) sin 2x · (2COS X + 1) \u003d 0;

sin 2x \u003d 0 või 2cos x + 1 \u003d 0;

Esimesest võrrandi 2x \u003d π / 2 + πn, n є z; Teisest võrrandi cos x \u003d -1/2.

Meil on x \u003d π / 4 + πN / 2, n є z; Teisest võrrandi x \u003d ± (π - π / 3) + 2πk, k є z.

Selle tulemusena x \u003d π / 4 + πN / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Vastus: x \u003d π / 4 + πN / 2, n є z; x \u003d ± 2π / 3 + 2πk, k є z.

Oskused ja oskused trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks oluline, nende areng nõuab märkimisväärseid jõupingutusi nii üliõpilasel kui ka õpetajalt.

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega seostatakse paljude stereomeetria, füüsika ja teiste väljakutseid selliste ülesannete lahendamise protsessiga, kuna see järeldab paljude teadmiste ja oskuste lahendamise protsessiga, mis ostetakse trigonomeetria elementide uuringus.

Trigonomeetrilised võrrandid on oluline koht matemaatika ja isiksuse arengu õppimise protsessis tervikuna.

Kas teil on küsimusi? Ei tea, kuidas trigonomeetriliste võrrandite lahendada?
Et saada juhendaja abi - register.
Esimene õppetund on tasuta!

kohapeal, täis- või osalise kopeerimise materjali viide algse allikas on vajalik.


Näited:

(2 patu (\u2061x) \u003d SQRT (3) \\ t
TG \\ (3x) \u003d - \\)) \\ (frac (1) (SQRT (3)) \\ t
(4 COS ^ 2\u2061X + 4 SIN\u2061X-1 \u003d 0 \\)
\\ (COS\u20614X + 3 COS\u20612X \u003d 1)

Kuidas lahendada trigonomeetrilised võrrandid:

Iga trigonomeetriline võrrand peaks püüdma vähendada ühte tüüpi:

\\ (Sin\u2061t \u003d a \\ t), \\ (\\ t cos\u2061t \u003d a \\), Tg \\ (t \u003d a \\ t

kus \\ (t \\) on väljend Xa, \\ (A \\) - number. Sellised trigonomeetrilised võrrandid kutsutakse lihtsam. Neid on lihtne lahendada () või spetsiaalsete valemitega:


Infograplie Lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendamise kohta Vaata siin: ja.

Näide . Otsustage trigonomeetrilise võrrandi (SIN\u2061X \u003d - \\) (1) (1) (2) \\).
Otsus:

Vastus: (vasakule [alustada (kogutud) x \u003d - \\ frac (π) (6) + 2πk, \\\\ x \u003d - \\ frac (5π) (6) + 2πn, lõpetada (kogutud) \\ paremale. \\ T (K, N∈Z \\)

Mis tähendab iga sümbol trigonomeetriliste võrrandite juuresemi, vt.

Tähelepanu! Võrrandid \\ (Sin\u2061x \u003d A \\) ja \\ (Cos\u2061x \u003d A) ei ole lahendusi, kui (a ε (-∞; -1) ∪ (1; ∞) \\). Kuna sinus ja kosiin mis tahes X on suurem või võrdne (- 1) ja vähem või võrdse (1):

(- 1≤ Sin x≤1 \\) \\ (- 1≤ Cos\u2061x≤1 \\)

Näide . Lahenda võrrand (COS\u2061X \u003d -1.1 \\).
Otsus: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Vastus : lahendused puuduvad.


Näide . Otsustage trigonomeetrilise võrrandi TG \\ (\u2061X \u003d 1).
Otsus:

Me lahendame võrrandi numbrilise ringi abil. Selle jaoks:
1) ehitada ring)
2) Me ehitame telje (x \\ t (y \\ t) ja puutujate telje (see läbib punkti ((0; 1)) paralleelselt teljega \\ (Y \\)).
3) puutuja telgede kohta märgime punkti \\ (1).
4) Ühendage see punkt ja koordinaatide algus - otsene.
5) Me märgime selle otsese ja numbrilise ringi ristumiskohti.
6) allkirjastada nende punktide väärtused: \\ (Frac (π) (4) \\ t
7) Kirjutage kõik nende punktide väärtused. Kuna nad on üksteisest täpselt sisse (π \\), siis saab kõik väärtused kirjutada ühe valemiga:
Vastus: (x \u003d \\ t) (π) (4) \\ (+ πk \\), \\ (K∈z \\).

Näide . Otsustage trigonomeetrilise võrrandi (3x + prac (π) (4)) \u003d 0 \\ t
Otsus:


Jällegi kasutame numbrilist ringi.
1) Me ehitame ringi, telje (x \\ (y \\ t).
2) kosiini teljel (telg \\ (x)), me märgime \\ (0 \\).
3) Me teostame selle punkti kaudu kosiini telje suhtes risti.
4) Me märgime ristmiku ja ringi ristmikupunkte.
5) Registreerige nende punktide väärtused: \\ (- \\ t \\ (Frac (π) (2) \\), \\ (Frac (π) (2) \\).
6) Jooge nende punktide kogu väärtus ja võrdsusta need kosiini (asjaolule, et kosiini sees).

(3x + \\ t) (π) (4) \\ t (\u003d ± \\ t π) (2)

(3x + \\ (π) (4) \\ t (\u003d \\ t Frac (π) (4) \\) (\u003d - \\ (π) (2) \\ t

8) Nagu tavaline võrranditel väljendada \\ (x \\).
Ärge unustage seostada numbritega (π \\), samuti 1. (1) (1) (1) (4), jne Need on samad numbrid nagu kõik teisedki. Numbrilist diskrimineerimist pole!

(3x \u003d - \\ t (π) (4) \\ t (+ \\ t (Frac (π) (4) \\) (+ \\ t
(3x \u003d \\ t (π) (4) \\) (+ 2πk \\) (+ 2πk \\) \\ (|: 3)
x \u003d \\ t (π) (π) (π) (12) \\ (3) (3) \\ t 4) \\ T-aastased (+ \\ t) (2πk) (3) \\ t
Vastus: x \u003d \\ t (π) (π) (π) (12) \\ (3) (3) \\ t 4) \\ (\u003e (2πk) (3) \\ (K∈Z \\).

Trigonomeetriliste võrrandite vähendamiseks lihtsaim - ülesanne on loominguline, siin peate kasutama ja spetsiaalseid võrrandite lahenduste meetodeid:
- meetod (kõige populaarsem kasutamisel).
- meetod.
- abi argumentide meetod.


Kaaluge näidet ruudukujulise trigonomeetrilise võrrandi lahendamisest

Näide . Lahenda trigonomeetrilise võrrandi (2 cos ^ 2\u2061x-5 \\ cos\u2061x + 2 \u003d 0 \\)
Otsus:

(2 cos ^ 2\u2061x-5 \\ cos\u2061x + 2 \u003d 0 \\)

Me asendame \\ (t \u003d cos\u2061x \\).

Meie võrrand on muutunud tüüpiliseks. Te saate selle lahendada.

(D \u003d 25-4 CDOT 2 CDOT 2 \u003d 25-16 \u003d 9 \\ t

(T_1 \u003d \\ t-3) (5-3) (4) (\\ t (T_2 \u003d \\ t) (sugu (5 + 3) (4) \\ (\u003d 2)

Me teeme asendamise.

\\ (COS\u2061X \u003d \\ t- / \\ (1) (2) \\)); (COS\u2061X \u003d 2)

Esimene võrrand lahendab numbrilise ringi abil.
Teisel võrrandil ei ole otsuseid. (COS\u2061X∈ [-1; 1]) ja ei tohiks olla võrdne ilma ideaaliga.

Me kirjutame kõik need numbrid asuvad numbrid.
Vastus: (x \u003d ± \\ t) (π) (3) \\ (+ 2πk \\), \\ (K∈Z \\).

Näide trigonomeetrilise võrrandi lahendamisest OTZ uuringuga:

Näide (EGE) . Lahenda trigonomeetrilise võrrandi \\ (\u003d 0 \\)

(Frac (2 cos ^ 2\u2061x- \\ sin (\u20612x)) (CTG X) \\)\(=0\)

Seal on murdosa ja seal on katent - see tähendab, et peate salvestama. Lubage mul teile meelde tuletada, et Cotangenees on tegelikult murdosa:

cTG \\ (x \u003d \\ t) (cos\u2061x) (Sin\u2061x) \\ t

Sest OTZ CTG jaoks (x \\ t): \\ (Sin\u2061x ≠ 0 \\).

OTZ: CTG \\ (X ≠ 0 \\); \\ (Sin\u2061x ≠ 0 \\)

(X ≠ ± \\) \\ (sugu (π) (2) \\ (+ 2πk \\); x ≠ πn \\); (K, N∈Z \\)

Me märgime numbrilisel ringil "Storm".

(Frac (2 cos ^ 2\u2061x- \\ sin (\u20612x)) (CTG X) \\)\(=0\)

 Suhtekorralduse suhtelise nimiväärtuse võrrandiga, korrutades selle CTG \\ (x \\ t). Me saame seda teha, sest nad kirjutasid selle CTG kohal (x ≠ 0 \\).

(2 cos ^ 2\u2061x- \\ sin\u2061 (2x) \u003d 0 \\)

Rakendage sinuse kahekordse nurga valemi: \\ (Sin\u2061 (2x) \u003d 2 Sin\u2061x \\ Cos\u2061x \\).

(2 cos ^ 2\u2061x-2 Sin\u2061x \\ Cos\u2061x \u003d 0 \\)

Kui teie käed venitatud, et jagada kosiini - tiir neid! Te saate jagada väljendusega muutujaga, kui see on täpselt mitte null (näiteks: x ^ 2 + 1,5 ^ x \\)). Selle asemel toob ma sulgude jaoks \\ (Cos\u2061x \\).

(COS\u2061X (2 COS\u2061X-2 SIN\u2061X) \u003d 0 \\)

"Spinch" võrrand kaheks.

\\ (Cos\u2061x \u003d 0); (2 COS\u2061X-2 SIN\u2061X \u003d 0 \\)

Esimene võrrand lahendades arvulise ringi abil. Teine võrrand jagatakse 1. (2) ja üleandmise (Sin\u2061x \\) paremale küljele.

(x \u003d ± \\ t) (π) (2) \\ (+ 2πk \\), \\ (K∈Z \\). (COS\u2061X \u003d SIN\u2061X \\)

Juured, mis ei tulnud OTZ-sse. Seetõttu ei kirjuta nad vastusena.
Teine võrrand on tüüpiline. Me jagame seda (Sin\u2061x \\) (\\ (Sin\u2061x \u003d 0) ei saa olla võrrandi lahendus, sest sel juhul on ( \u2061 x \u003d -1 \\)).

Jällegi kasutame ringi.


x \u003d \\ t (π) (4) \\ (+ πn \\), \\ (n∈z \\)

Need juured ei ole välistatud OTZ-i, nii et saate neid vastuseks salvestada.
Vastus: (x \u003d \\ t) (π) (4) \\ (+ πn \\), \\ (n∈z \\).