Казва се, че функцията има вътре
Регион Д. местен максимум(минимален) Ако има такъв квартал
за всяка точка
което се извършва неравенство

Ако функцията има в точката
местен максимален или местен минимум, тогава те казват, че има в този момент местен екстремум(или Просто екстрем).

Теорема (необходимо условие за съществуването на екстремум). Ако диференцираните функции на екстремум в точката
след това всяко частно производно на първата поръчка от функцията в този момент добавя към нула.

Точки, при които всички частни деривати на първото призовават за нула, се наричат \u200b\u200bнула стационарни характеристики на функцията
. Координатите на тези точки могат да бъдат намерени чрез решаване на системата от уравнения

.

Необходимото условие за съществуването на екстремум в случай на диференцируема функция може да бъде формулирано накратко, както следва:

Има случаи, когато в редовни точки някои частни деривати имат безкрайни стойности или не съществуват (докато останалите са нулеви). Такива точки се наричат критични точки на функцията.Тези точки също трябва да се считат за "подозрителни" на екстремум, както и неподвижни.

В случай на две променливи предпоставка Екстрем, а именно равенство нула от частни деривати (диференциал) в точката на екстремум, има геометрично тълкуване: допирателна
в точката на екстрема трябва да бъде успоредна на равнината
.

20. Достатъчни условия за съществуването на екстремум

Изпълнението в някаква точка на необходимото състояние на съществуването на екстремум не гарантира наличието на екстремум там. Като пример, можете да разграничите разликата
. Както от частните му деривативи, така и самата функция се обръщат към нула в точката.
. Въпреки това, във всеки квартал на тази точка има както положителни (големи
) и отрицателен (по-малък
) Стойностите на тази функция. Следователно в този момент по дефиниция екстремум не се наблюдава. Ето защо е необходимо да знаете достатъчно условия, при които точката, подозрителна към екстремума, е екстремумната точка на изследваната функция.

Помислете за случая на функцията на две променливи. Да предположим, че функцията
определя се непрекъснато и има непрекъснати частни деривати до втори ред, включително в близост до определена точка.
което е фиксирана точка функция
Това е, отговаря на условията

,
.

Въвеждаме нотация:

Теорема (достатъчно условия за съществуването на екстремум). Нека функцията
отговарят на горните условия, а именно: диференциране в някои квартали на стационарна точка
и два пъти диференциране в самата точка
. Тогава, ако има


Ако имаш
тази функция
в точка
достъпа

местен максимумза
и

местен минимумза
.

Като цяло, за функция
достатъчно условие за съществуване в точката
местниминимален(максимум) е положителен(отрицателен) Определение на втория диференциал.

С други думи, следното изявление е правилно.

Теорема . Ако в точката
за функция

за всеки, който не е равен в същото време нула
Тогава в този момент функцията има минимален(подобен на максимум, ако
).

Пример 18.Намерете точки за локални екстремум функции

Решение. Ние намираме частни деривати и ги приравняваме към нула:

Решаване на тази система, ние намираме две точки на възможния екстрем:

Ще намерим частни деривати на втория ред за тази функция:

Следователно в първата стационарна точка и
Следователно, тази точка изисква допълнително проучване. Което означава функция
в този момент е нула:
По-нататък,

за

но

за

Следователно, във всеки квартал на точката
функция
изисква ценности като големи
и по-малки
и след това в точката
функция
По дефиниция тя няма местен екстрем.

Във втората стационарна точка



следователно, така че, защото
след това в точка
функцията има местен максимум.

Определение: Точката x0 се нарича местен максимален (или минимум) точка, ако в някакъв квартал на точката x0 функцията отнема най-голямата (или най-малка) стойност, т.е. За всички X от някои квартали от точка X0 се извършва състоянието f (x) f (x0) (или f (x) f (x0)).

Местните максимални или минимални точки са комбинирани общо заглавие - точки на локална екстремулна функция.

Обърнете внимание, че в местата на местния екстремун функцията достига своя най-голям или най-малко значение Само в някои местни райони. Може да има случаи, когато стойността на weaxuin.

Необходим знак за съществуването на локална екстремум функция

Теорема . Ако непрекъсната функция y \u003d F (x) има локален екстрем в точка X0, след това в този момент първото производно е или нула, или не съществува, т.е. Местният екстремум се осъществява в критични точки на формата I.

В локалните екстремумни точки, или тангенциалната ос на осите 0x или има две допирателни (виж фигурата). Имайте предвид, че са необходими критичните точки, но липсата на местен екстрем. Местният екстремум се извършва само в критични точки от типа I, но местният екстремум се извършва във всички критични точки.

Например: кубична Parabola y \u003d x3, има критична точка x0 \u003d 0, в която производно Y / (0) \u003d 0, но критичната точка x0 \u003d 0 не е екстремум точка и има точка на инфлексия (виж по-долу).

Достатъчен признак на съществуването на локална екстремулна функция

Теорема . Ако по време на прехода на аргумента чрез критичната точка от рода, оставена вдясно от първото производно в / (x)

променя знака от "+" до "-", непрекъсната функция на (x) в тази критична точка има местен максимум;

променя знака от "-" ON "+", след това непрекъсната функция на (x) има местен минимум в тази критична точка

не променя знака, след това в тази критична точка няма местен екстрем, има точка на инфлексия.

За местен максимум, площта на увеличаването на функцията (Y / 0) се заменя с по-голямата област на функцията (Y / 0). За местен минимум, намаляването на функцията (Y / 0) се заменя с площта на функцията за увеличаване (Y / 0).

Пример: Изследвайте функцията y \u003d x3 + 9x2 + 15x - 9 върху монотонност, екстремум и изграждане на графика на функцията.

Ще намерим критичните точки на I на рода, определяйки деривата (Y /) и го приравня с нула: при / \u003d 3x2 + 18x + 15 \u003d 3 (x2 + 6x + 5) \u003d 0

Space Square три намалява с помощта на дискриминация:

x2 + 6x + 5 \u003d 0 (a \u003d 1, b \u003d 6, c \u003d 5) d \u003d, x1k \u003d -5, x2k \u003d -1.

2) Прекъсваме числата с критични точки за 3 области и определяме признаците на производно (Y /). Според тези знаци ще намерим области на монотонност (увеличаване и намаляване) на функции и чрез промяна на знаците, за да определят точките на локалния екстремум (максимум и минимум).

Резултатите от проучването ще бъдат представени под формата на таблица, от която могат да се направят следните заключения:

  • 1. На интервала на / (- 10) 0 функцията монотонно увеличава (знакът на производно Y се оценява на контролната точка X \u003d -10, взета в този интервал);
  • 2. на интервала (-5; -1) в / (- 2) 0, функцията монотонно намалява (знакът на производно Y се оценява на контролната точка X \u003d -2, взета в този интервал);
  • 3. На интервала на / (0) 0 функцията monotonoully се увеличава (знакът на производно Y се оценява на контролната точка x \u003d 0, взето в този интервал);
  • 4. При преминаване през критичната точка X1K \u003d -5, производно променя знака от "+" до "-", затова тази точка е местна максимална точка
  • (Ymax (-5) \u003d (-5) 3 + 9 (-5) 2 +15 (-5) -9 \u003d -125 + 225 - 75 - 9 \u003d 16);
  • 5. При преминаване през критичната точка x2k \u003d -1, производно променя знака от "-" на "+", следователно, тази точка е местен минимален момент
  • (Ymin (-1) \u003d -1 + 9 - 15 - 9 \u003d - 16).

x -5 (-5; -1) -1

3) Изграждане на графика, която да следва резултатите от проучването с привличането на допълнителни изчисления на функциите на функцията в контролни точки:

ние изграждаме правоъгълна координатна система OHU;

ние показваме максималната точка на координатите (-5; 16) и минимум (-1; -16);

за да изясним графиката, ние изчисляваме стойността на функцията в контролната точка, като ги избираме отляво и надясно на максималните точки и минимум и вътрешен интервал, например: Y (-6) \u003d (- 6) 3 +9 (-6) 2 + 15 (-6) -9 \u003d 9; Y (-3) \u003d (- 3) 3 + 9 (-3) 2 + 15 (-3) -9 \u003d 0;

(0) \u003d -9 (-6; 9); (-3; 0) и (0; -9) - оценени контролни точки, които се прилагат за изграждане на график;

покажете графиката под формата на крива чрез изпъкнали при максималната точка и изпъкнали в точката на минимума и преминаване през изчислените контролни точки.

\u003e\u003e крайности

Екстремна функция

Определяне на екстремум

Функция y \u003d f (x) извика повишаване на (низходящ) В някакъв интервал, ако в x 1< x 2 выполняется неравенство (f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > F (x 2)).

Ако диференциалната функция y \u003d f (x) върху сегмента се увеличава (намалява), тогава производно на този сегмент f " (х)> 0

(f(х)< 0).

Точка х. относно Наречен точка на местен максимум (минимален) Функции F (x) Ако има квартал x O. За всички от които е вярно неравенство f (x)≤ f (x o) (f (x)≥ f (x o)).

Всички максимални и минимални точки се наричат точки на екстремуми стойностите на функцията в тези точки - то крайности.

Точки на екстремум

Необходими условия на екстремум . Ако точка х. относно е екстремулна точка F (x), след това или f " (x o) \u003d 0 или f(x o) не съществува. Такива точки се наричат критичен Освен това самата функция е определена в критичната точка. Трябва да се търси екстремна функция сред критичните му точки.

Първото достатъчно условие. Нека бъде х. относно - критична точка. Ако f (x) при преминаване през точката х. относно променя знака плюс в минус, след това в точката x O. Функцията има максимален, в противен случай, минимум. Ако по време на прехода чрез критичната точка производно не променя знака, след това в точката х. относно Екстремум не е.

Второто достатъчно условие. Нека функцията f (x) да бъде
f (x) В съседство на точката х. относно и второ производно в самата точка x O. . Ако f(x O.) = 0, >0 ( <0), то точка x O. Това е точка от местен минимален (максимален) функция f (x). Iff 0, тогава трябва или да използвате първото достатъчно състояние, или да привлечете най-високата.

На сегмента функцията y \u003d f (x) може да достигне най-малката или най-голяма стойност или в критични точки или в края на сегмента.

Пример 3.22.

Решение.Като е. " (

Задачи за намиране на екстремни функции

Пример 3.23. а.

Решение. х. и y. y.
0 ≤ х.≤
\u003e 0 и кога x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Функции kv.. елф).

Пример 3.24.p ≈.

Решение.напр.
С "
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

Пример 3.22.Намерете Funmmas Function F (x) \u003d 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Решение.Като е. " (x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x -2) (x - 3), след това критичните точки на функцията x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3. крайности могат да бъдат само в тези точки. Тъй като при преминаването през точка x 1 \u003d 2, производно променя знака плюс на минус, след това на този момент функцията има максимум. При преминаване през точка x 2 \u003d 3, производно променя знака минус и следователно в точка x 2 \u003d 3 в функцията най-малко. Изчислете стойностите на функциите в точки
x 1 \u003d 2 и x 2 \u003d 3, ние откриваме екстремуните на функцията: максималната F (2) \u003d 14 и най-малко F (3) \u003d 13.

Пример 3.23.Необходимо е да се изгради правоъгълна платформа в близост до каменната стена, така че да се пробие с телена мрежа от три страни и прилежи на стената до стената. За това е налично а. Течащи мрежи. С какъв аспект ще има най-висок квадрат?

Решение.Означаваме страната на сайта х. и y. . Областта е равна на s \u003d xy. Нека бъде y. - Това е дължината на страната в непосредствена близост до стената. След това, чрез условието, трябва да се извърши равенството 2x + y \u003d a. Следователно y \u003d a - 2x и s \u003d x (a - 2x), където
0 ≤ х.≤ a / 2 (дължината и ширината на сайта не могат да бъдат отрицателни).S "\u003d a - 4x, a - 4x \u003d 0 при x \u003d a / 4, от където
Y \u003d A - 2 × A / 4 \u003d A / 2. Дотолкова доколкото x \u003d A / 4 е единствената критична точка, проверете дали знакът се променя по време на прехода през тази точка. С x a / 4 s "\u003e 0 и кога x\u003e a / 4 s " < 0, значит, в точке x=a /4 функция S имеет максимум. Значение Функции S (A / 4) \u003d A / 4 (A - A / 2) \u003d A 2/8 (kv.. елф). Тъй като S е непрекъснато и неговите стойности в края на S (0) и S (A / 2) са нула, установената стойност ще бъде най-голямата функционална стойност. По този начин най-изгодното съотношение на обекта при тези условия на проблема е y \u003d 2x.

Пример 3.24.Необходимо е да се направи затворен цилиндричен резервоар с капацитет V \u003d 16p ≈. 50 m 3. Какви трябва да бъдат размерите на резервоара (R радиус и височина h), така че най-малкото количество материал датира неговото производство?

Решение.Площта на общата повърхност на цилиндъра е \u003d 2пс. R (R + H). Ние знаем обема на цилиндъра v \u003dp R2H þ H \u003d V / P R2 \u003d 16 p / p R2 \u003d 16 / R2. Така, s (r) \u003d 2пс. (R2 + 16 / R). Намерете дериват на тази функция:
С "(R) \u003d 2 р (2R- 16 / R2) \u003d 4 p (R- 8 / R2). С " (R) \u003d 0 при R3 \u003d 8, следователно,
R \u003d 2, n \u003d 16/4 \u003d 4.

$ E Подгрупа Mathbb (R) ^ (n) $. Казва се, че $ f $ има местен максимум В точка $ x_ (0) в e $, ако има такъв квартал от $ u $ точки $ x_ (0) $, че за всички $ x в U $, неравенството е $ f, ляво (x \\ t leqslant f, ляво (x_ (0) вдясно) $.

Местен максимален, наречен стриктно Ако кварталът от $ U $ може да бъде избран така, че за всички $ x в U $, различен от $ x_ (0) $, има $ f, ляво (x]< f\left(x_{0}\right)$.

Дефиниция
Нека $ f $ е действителната функция на отворен комплект $ e подмножество mathbb (r) ^ (n) $. Казва се, че $ f $ има местен минимум В точка $ x_ (0) в e $, ако има такъв квартал от $ u $ точки $ x_ (0) $, че за всички $ x в U $, неравенство от $ f, ляво (x \\ t Right) geqslant f остави (x_ (0) вдясно) $.

Местният минимум се нарича строг, ако кварталът от $ U $ може да бъде избран така, че за всички $ x в U $, различен от $ x_ (0) $, има $ f, оставени (x]\u003e f \\ t Наляво (x_ (0) вдясно) $.

Местният екстрем съчетава концепциите за местен минимум и местен максимум.

Теорема (необходимото състояние на екстремум диференцируема функция)
Нека $ f $ е действителната функция на отворен комплект $ e подмножество mathbb (r) ^ (n) $. Ако в точка $ x_ (0) в E $ функцията $ f има локален екстремум и в този момент, след това $$ текст (d) f, ляво (x_ (0) дясно) \u003d 0. $$ Равенство Zero Диференциалът е еквивалентен на факта, че всички са нулеви, т.е. $$ DisplaySley FRAC (частичен е) (частичен x_ (i)) left (x_ (0) вдясно) \u003d 0. $$

В едноизмерния случай е. Donote с $ phi остави (t] led) \u003d f left (x_ (0) + th] $, където $ h $ е произволен вектор. Функцията $ PHI $ се дефинира с достатъчно малки стойности на модуло от $ t $. В допълнение, според, тя е диференцирана, а $ (phi) "ляво (t] \u003d tex) \u003d текст (d) f, ляво (x_ (0) + th] h $.
Нека $ f $ имат местен максимум на $ 0 $ точка. Това означава, че функцията $ phi $ с $ t \u003d 0 $ има локален максимум и според теоремата на фермата, $ (phi), ляво (0 дясно) \u003d 0 $.
Така че, имаме, че $ df ляво (x_ (0) вдясно) \u003d 0 $, т.е. Функции $ F $ в точка $ x_ (0) $ е нула на всеки вектор $ h $.

Дефиниция
Точки, в които диференциалът е нула, т.е. Такива, в които всички частни деривати са нулеви, се наричат \u200b\u200bстационарни. Критични точки Функциите на $ f $ се наричат \u200b\u200bтакива точки, в които $ f $ не е диференциран или равен на нула. Ако точката е неподвижна, тя все още не следва, че в този момент функцията има екстремул.

Пример 1.
Нека $ f остави (x, y dide) \u003d x ^ (3) + y ^ (3) $. След това $ DisplessSley FRAC (частичен е) (частичен x) \u003d 3 ccot x ^ (2) $, $ \\ t (частичен) (частичен y) \u003d 3 cdot y ^ (2) \\ t ) $, so $ лява (0.0 дясно) $ е неподвижна точка, но в този момент функцията няма екстремул. Наистина, $ f, ляво (0.0 дясно) \u003d 0 $, но е лесно да се види, че във всеки квартал на лявата точка (0.0 дясно) $ функция приема както положителни, така и отрицателни стойности.

Пример 2.
Функцията е $ f, ляво (x, y дясно) \u003d x ^ (2) - y ^ (2) $ Старт - неподвижна точка, но е ясно, че в този момент няма екстремум.

Теорема (достатъчно състояние на екстрема).
Нека функцията $ f $ двойно непрекъснато е диференцирана на отворен комплект $ e подмножество matebb (r) ^ (n) $. Нека $ x_ (0) в e $ - стационарна точка и $$ displaySyle Q_ (x_ (0)) ляво (h] equive sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ) ^ n frac (частичен ^ (2) е) (частичен x_ (i) paidial x_ (j)) наляво (x_ (0) вдясно) h ^ (i) h ^ (j). $ $ Тогава

  1. ако $ q_ (x_ (0)) $ -, след това функцията $ f $ на $ x_ (0) $ има местен екстремум, а именно, най-малко, ако формулярът е определен положително, и максималната, ако формулярът се дефинира отрицателно;
  2. ако квадратичната форма $ Q_ (x_ (0)) $ е неопределен, тогава функцията $ f $ на $ x_ (0) $ няма екстремум.

Използваме разлагането от Формула Taylor (12.7 p. 292). Като се има предвид, че индивидуалните деривати на първата поръчка в точка $ x_ (0) $ са нула, ние получаваме $$ displessSyle f al left (x_ (0) + h] -f остави (x_ (0) \\ t ) \u003d Frac (1) (2) sum_ (i \u003d 1) ^ n sum_ (j \u003d 1) ^ n frac (частичен ^ (2) f) (частичен x_ (i) paidial x_ ( й)) наляво (x_ (0) + theta h ^ (i) h ^ (j), $ $, където $ 0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0 $, и $ epsilon лява (h] дясно) дясно 0 $ с $ h в дясно 0 $, тогава дясната страна ще бъде положителна с всеки вектор $ h $ достатъчно малка дължина.
Така че, стигнахме до факта, че в някои съседство от $ x_ (0) $ това е неравенството от $ f, ляво (x вдясно)\u003e f, ляво (x_ (0) дясно) $, ако само $ x Neq x_ (0) $ (сложим $ x \u003d x_ (0) + h $ \\ t Това означава, че в точка $ x_ (0) функция $ има стриктен местен минимум и по този начин доказва първата част от нашата теорема.
Да предположим сега, че $ Q_ (x_ (0)) $ е неопределена форма. След това има вектори $ h_ (1) $, $ h_ (2) $, като $ q_ (x_ (0)), ляво (h_ (1) вдясно) \u003d lambda_ (1)\u003e 0 $, $ q_ (x_ (0)) ляво (h_ (2) дясно) \u003d lambda_ (2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. След това получаваме $$ f, ляво (x_ (0) + th_ (1) вдясно) -f ъгъл (x_ (0) вдясно) \u003d frac (1) (2) оставен [t ^ (2) \\ t (1) + t ^ (2) | h_ (1) | ^ (2) epsilon лява (Th_ (1) дясно) право] \u003d frac (1) (2) t ^ (2) \\ t Ляво [lambda_ (1) + | h_ (1) | ^ (2) epsilon остави (th_ (1) дясно) право]. $ $ с достатъчно малък $ t\u003e 0 $ дясната част е положителен. Това означава, че във всеки квартал на точката $ x_ (0) $, $ f $ function взема стойностите на $ f оставени (x] $, големи от $ f, ляво (x_ (0) \\ t Дясно) $.
По същия начин, ние получаваме, че във всеки квартал на точката $ x_ (0) $ function $ f $ взема стойностите по-малко от $ f оставени (x_ (0) вдясно) $. Това, заедно с предишния, означава, че в точка $ x_ (0) $ function $ f $ няма екстремум.

Обмисли частно дело Тази теорема за функцията $ f остави (x, y дясно) $ две променливи, определени в някакъв квартал на точката $ left (x_ (0), y_ (0) $ и имащи непрекъснати частни деривати в това квартал и втори ред. Да предположим, че $ лява (x_ (0), y_ (0) вдясно) $ е неподвижна точка и обозначава $$ displaySyle a_ (11) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x) ^ (2)) наляво (x_ (0), y_ (0), a_ (12) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично x частичен y), ляво (X_ ( 0), y_ (0) вдясно), a_ (22) \u003d frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) наляво (x_ (0), y_ (0) \\ t ) $$ Тогава предишната теорема ще вземе следната форма.

Теорема
Нека $ delta \u003d A_ (11) CDOT A_ (22) - A_ (12) ^ $ 2. Тогава:

  1. ако $ delta\u003e 0 $, тогава функцията $ f има $ лява (x_ (0), y_ (0) вдясно) $ местен екстремум, а именно, ако $ a_ (11)\u003e 0 $, и максимум, ако $ a_ (11)<0$;
  2. ако $ \\ t<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Примери за решаване на проблеми

Алгоритъм за намиране на екстремни функции на много променливи:

  1. Откриваме стационарни точки;
  2. Ние намираме диференциал в 2-ри ред във всички стационарни точки
  3. Използване на достатъчно условие за екстремни функции на много променливи, ние разглеждаме диференциала на втората поръчка във всяка стационарна точка
  1. Разгледайте функцията на екстремум $ f лява (x, y dide) \u003d x ^ (3) + 8 cdot y ^ (3) + 18 cdot x - 30 cdot y $.
    Решение

    Ще намерим частни деривати на първия ред: $$ DisplessSley Frac (частичен е) (частичен x) \u003d 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y; $$$$ displaystyle \\ t Частично е) (частично y) \u003d 24 ccot y ^ (2) - 6 ccot x. $$ make и разрешават система: $$ displaySley започват (случаи) frac (частично е) (частично е) x) \u003d 0 frac (частичен f) (частичен y) \u003d 0 край (случаи) дясното начало (случаи) 3 cdot x ^ (2) - 6 cdot y \u003d 0 \\ t Cdot y ^ (2) - 6 cdot x \u003d 0 край (случаи) дясно начало (случаи) x ^ (2) - 2 cdot y \u003d 0 cdot y ^ (2) - x \u003d 0 Край (случаи) $ $ от второто уравнение Express $ x \u003d 4 cdot y ^ (2) $ - ние заместваме в 1-то уравнение: $$ displaySley ляво (4 cdot y ^ (2) \\ t Дясно) ^ (2) -2 cdot y \u003d 0 $$$$ 16 cdot y ^ (4) - 2 cdot y \u003d 0 $$$$ 8 cdot y ^ (4) - y \u003d 0 $$ $$ y \\ t
    1) $ y \u003d 0 Радница x \u003d 0, m_ (1) \u003d ляво (0, 0 дясно) $;
    2) $ DisplessSyle 8 cdot y ^ (3) -1 \u003d 0 дясно y ^ (3) \u003d frac (1) (8) дясно y \u003d frac (1) (2) дясното радство x \u003d 1 , M_ (2) \u003d ляво (frac (1) (2), 1 дясно) $
    Проверете прилагането на достатъчно условия на екстремум:
    $$ DisplaySley FRAC (частичен ^ (2) f) (частичен x ^ (2)) \u003d 6 ccot x; Frac (частичен ^ (2) е) (частичен х частичен y) \u003d - 6; Frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) \u003d 48 cdot y $$
    1) за точката $ m_ (1) \u003d ляво (0.0 дясно) $:
    $$ displaySyle a_ (1) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) ляво (0,0 дясно) \u003d 0; B_ (1) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x частичен y) оставен (0.0 дясно) \u003d - 6; C_ (1) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично y ^ (2)) ляво (0.0 дясно) \u003d 0; $$
    $ A_ (1) cdot b_ (1) - c_ (1) ^ (2) \u003d -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
    2) за $ m_ (2) точка $:
    $$ displaySyle a_ (2) \u003d frac (частично ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) (частичен x ^ (2)) наляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d 6; B_ (2) \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x частичен y) вляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d - 6; C_ (2) \u003d frac (частично ^ (2) f) (частично y ^ (2)) ляво (1, frac (1) (2) дясно) \u003d 24; $$
    $ A_ (2) cdot b_ (2) - c_ (2) ^ (2) \u003d 108\u003e 0 $, това означава, в точка $ m_ (2) $ има екстремум, а от $ a_ (2)\u003e 0 $, това е минимум.
    Отговор: Точка $ \\ t

  2. Разгледайте функцията на екстремум $ f \u003d y ^ (2) + 2 cdot x cdot y - 4 cdot x - 2 cdot y - $ 3.
    Решение

    Намерете стационарни точки: $$ DisplaySley Frac (частичен е) (частичен x) \u003d 2 cdot y - 4; $$$$ displaySyle \\ t (частичен е) (частичен y) \u003d 2 ccot Y + 2 cdot x - 2. $$
    Ще разрешим и системата: $$ DisplaySley Начална (случаи) FRAC (частичен x) (частичен x) \u003d 0 frac (частичен е) (частичен y) \u003d 0 край (случаи \\ t ) Започнете (случаи) 2 cdot y - 4 \u003d 0 cdot y + 2 cdot x - 2 \u003d 0 край (случаи) дясното начало (случаи) y \u003d 2 \\ t x \u003d 1 край (случаи) дясното радост x \u003d -1 $$
    $ M_ (0) left (-1, 2 дясно) $ - стационарна точка.
    Проверете изпълнението на достатъчно състояние на екстрема: $$ displaySyle a \u003d frac (частичен ^ (2) е) (частичен x ^ (2)) ляво (-1.2 дясно) \u003d 0; B \u003d frac (частично ^ (2) е) (частичен x частичен y) оставен (-1.2 дясно) \u003d 2; C \u003d frac (частично ^ (2) е) (частично y ^ (2)) ляво (-1.2 дясно) \u003d 2; $$
    $ A cdot b - c ^ (2) \u003d -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
    Отговор: Отсъстват крайностите.

Срок: 0

Навигация (само числа)

0 от 4 задачи приключиха

Информация

Попълнете този тест, за да тествате знанията си за темите на "местните екстремни функции на много променливи".

Вече сте преминали теста по-рано. Не можеш да го пуснеш отново.

Тестът е натоварен ...

Трябва да влезете или да се регистрирате, за да започнете теста.

Трябва да завършите следните тестове, за да започнете това:

Резултати.

Правилни отговори: 0 от 4

Твоето време:

Времето изтече

Вкарахте 0 от 0 точки (0)

Вашият резултат е записан в таблицата на лидерите

  1. С отговора
  2. С маркер

    Задача 1 от 4

    1 .
    Брой точки: 1

    Разгледайте функцията $ f $ за крайности: $ f \u003d e ^ (x + y) (x ^ (2) -2 cdot y ^ (2)) $

    Дясно

    Погрешно

  1. Задача 2 от 4

    2 .
    Брой точки: 1

    Има ли екстремум във функцията $ f \u003d 4 + sqrt (((x ^ (2) + y ^ (2)) ^ (2)) $

Промяна на функцията в определена точка и се определя като граница за увеличаване на функцията за увеличаване на аргумента, който има тенденция към нула. За да го намерите, използвайте таблицата на дериватите. Например, производна функция y \u003d x3 ще бъде равна на y '\u003d x2.

Eclay това производно до нула (в този случай x2 \u003d 0).

Намерете стойността на променливата на това. Това ще бъдат стойностите, с това производно ще бъде равно на 0, за да се направи това, заместващи произволни цифри вместо X, в които цялата експресия става нула. Например:

2-2x2 \u003d 0.
(1-x) (1 + x) \u003d 0
x1 \u003d 1, x2 \u003d -1

Прилагат получените стойности на директна директна и изчисляване на знака на производно за всеки от получените. Отбелязват се координатните директни точки, които се приемат за началото на справка. За да се изчисли стойността на интервали, заместващи произволни стойности, подходящи за критерии. Например, за предишната функция към интервала -1, можете да изберете стойността -2. От -1 до 1 можете да изберете 0 и за повече от 1 стойности, изберете 2. Заменете числата в деривата и разберете производна знака. В този случай производно с x \u003d -2 ще бъде -0.24, т.е. Отрицателен и на този интервал ще има знак минус. Ако x \u003d 0, тогава стойността ще бъде 2 и се инсталира знак в тази празнина. Ако X \u003d 1, производно също ще бъде -0.24 и е минус.

Ако, когато се премине през точката на координата, дериватив променя своя знак от минус до плюс, това е минимална точка и ако от плюс до минус, това е максимална точка.

Видео по темата

Полезни съвети

За да намерите дериват, има онлайн услуги, които преброяват желаните стойности и извеждат резултата. На такива сайтове можете да намерите дериват до 5 поръчки.

Източници:

  • Една от услугите за изчисляване на услугите
  • точка на максимална функция

Максималните точки на функцията, заедно с точките на минималната, се наричат \u200b\u200bекстремум точки. В тези точки функцията променя естеството на поведението. Крайностите се определят в ограничени цифрови интервали и винаги са локални.

Инструкция

Процесът на намиране на локални екстремуни се нарича функция и се извършва чрез анализ на първата и втората дериватна функция. Преди да започнете проучването, уверете се, че посоченият интервал на стойността на аргумента принадлежи на валидни стойности. Например, за функцията F \u003d 1 / x, стойността на аргумента X \u003d 0 е неприемлива. Или за функцията y \u003d tg (x), аргументът не може да има стойност x \u003d 90 °.

Уверете се, че функцията Y е диференцирана върху целия определен сегмент. Намерете първото производно Y. "очевидно е, че до достигане на точката на локалната максимална максимална функция, функцията се увеличава и когато се движи, функцията става намаляваща. Първото производно в неговото физическо значение характеризира скоростта на промяна на функцията. Докато Функцията се увеличава, скоростта на този процес е положителна. При преминаване през локален максимум, функцията започва да намалява и скоростта на процеса на промяна на функцията става отрицателна. Настъпва преход на скоростта на промяна на функцията чрез нула в местната максимална точка.